Моделирование течений в наноструктурах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Родыгина Ольга Александровна

• Родыгина Ольга Александровна
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Родыгина Ольга Александровна

1.3 Течения Стокса

1.4 Перистальтические течения

1.5 Течения в наноструктурах

2 Постановка задачи и общая математическая конструкция

2.1 Постановка задачи

2.2 Стокслет и теория расширений операторов

2.3 Солитон в нанотрубке

3 Модель возмущения для точечного источника

3.1 Решение для двумерного течения

3.2 Трехмерное течение

4 Модель локального возмущения границы

4.1 Трехмерное течение (локальное возмущение границы)

4.2 Течение с кристаллитом внутри

4.3 Моделирование течения с помощью конечно-разностных методов

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование течений в наноструктурах»

Введение

Развитие нанотехнологий стимулируется потребностями компьютерной индустрии, материаловедения, химических технологий, электроники. На одно из первых мест в науке о наносистемах в последнее время выходит нанофлюидика. Течения в наноструктурах важны для обеспечения ряда физических процессов, создания химических нанореакторов, новых материалов. Однако свойства этих течений сильно отличаются от их классических макроскопических аналогов. Полная теория нанотечений пока не разработана, да и математических моделей, позволяющих достаточно адекватно их описывать, пока мало. А без разработки математического аппарата исследование нанотечений, прогнозирование их свойств и создание новых систем и материалов невозможны.

Целью данной диссертационной работы является исследование течений в нанослоях и нанотрубках, вызванных наличием упругих солитонов, распространяющихся в стенках, и создание математических моделей, позволяющих описывать данные процессы.

Настоящая работа организована следующим образом. Глава 1 содержит обзор имеющихся результатов в данной области. В Главе 2 рассматривается постановка задачи и проводится общее математическое построение модели точечного возмущения на базе теории самосопряженных расширений симметрических операторов, а также описывается солитон, порождающий течение. Глава 3 посвящена построению и изучению модели течения через нанослой и через нанотрубку, построенной в рамках теории расширений операторов. Рассмотрена трехмерная (нанотрубка) задача. Проведен расчет течения методом конечных разностей, сделано сравнение с модельными результатами. В главе 4 анализируется течение в нанотрубке при локальном возмущении границы. Проведен анализ, как в рамках классической теории жидкости, так и в рамках кристаллитной теории жидкого состояния. В заключении перечислены основные результаты работы.

Таким образом, тема диссертационной работы отвечает современным проблемам рассматриваемой области науки и поэтому является актуальной.

Степень разработанности темы. Работ по классическим стоксовским течениям существует много. Что же касается течений в наноструктурах, эта тема только начинает развиваться.

Научная новизна результатов, полученных в работе:

1.Использовать теорию самосопряженных расширений операторов для моделирования сингулярных возмущений в теории стоксовских течений было предложено в конце 1990-х. Однако для описания нанотечений этот математический аппарат никогда ранее не применялся.

2. Математических моделей течения, вызванных солитоном в стенке нанотрубки (нанослоя) ранее не предлагалось. Построенные в работе двумерный и трехмерный варианты модели течения, вызванного сингулярным возмущением стенки, являются новыми.

3. В работе построена модель движущегося локального возмущения и описано порождаемое им течение. Подобных моделей течения, вызванных солитоном, ранее не предлагалось. Новой является и модель течения на базе кристаллитной теории жидкости. Проведено сравнение результатов моделирования с численными расчетами методом конечных разностей.

Теоретическая значимость результатов данной работы связана с разработкой методов расчета нанотечений, созданием математических моделей, которые могут быть использованы в большом классе задач. При этом модели относятся к типу явно решаемых, что позволяет получить большое количество результатов аналитически.

Практическая значимость результатов подтверждается возможностью их применения при создании реальных объектов: от системы нанотранспорта до химических нанореакторов.

Методы исследования, используемые в данной работе, можно разделить на две группы - аналитические и численные. К аналитическим методам

относятся такие методы, как подход функции Грина, теория самосопряженных расширений симметрических операторов, преобразование Фурье, методы решения дифференциальных уравнений. К численным методам относятся метод конечных разностей для решения уравнений в частных производных и приемы написания программ на языке С и в пакете MathCAD.

Положения, выносимые на защиту:

1.Математическая модель нанотечения, вызванного движущимся сингулярным возмущением границы нанослоя или нанотрубки, построенная на базе теории самосопряженных расширений симметрических операторов.

2. Математическая модель нанотечения с движущимся локальным малым возмущением границы для нанотрубки.

3. Математическая модель нанотечения с движущимся локальным малым возмущением границы для нанотрубки на основе кристаллитной теории жидкости.

Достоверность результатов обеспечивается надежностью используемых теоретических методов, воспроизводимостью полученных результатов, использованием современного вычислительного оборудования, хорошим согласием с теоретическими расчетами других авторов и многократной апробацией результатов на научных конференциях.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на: международной конференции «1st International Conference on Micro & Nanofluidics Fundamentals and Applications» (Энсхеде, Нидерланды, 2014 г.), международной конференции «Advanced problems in mechanics» (Санкт-Петербург, 2012 г.), международных конференциях «Mathematical Challenge of Quantum Transport in Nanosystems» (Санкт-Петербург, 2013 г. и 2014 г.), IV Всероссийском конгрессе молодых ученых (Санкт-Петербург, 2015 г.), международной конференции «Saint-Petersburg OPEN 2015» (Санкт-Петербург, 2015 г.).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 10 печатных работах, из них 3 в журналах из Перечня ВАК

1. Rodygina O.A. Crystallite model for flow in nanotube caused by wall soliton / O.A. Rodygina, S.A. Chivilikhin, I.Y. Popov, V.V. Gusarov // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics - 2014. -Vol. 5 - № 3. - P. 400 -404 (входит в Перечень ВАК).

2. Rodygina O.A. Soliton-induced flow in carbon nanotubes / M.B. Belonenko, S.A. Chivilikhin, V.V. Gusarov, I.Y. Popov, O.A. Rodygina, // Europhysics Letters -2013. - Vol. 101 - №6. - P. 66001 (входит в Перечень ВАК).

3. Родыгина О.А. Солитон в стенке нанотрубки и стоксово течение в ней / И.Ю. Попов, О.А. Родыгина, С.А. Чивилихин, В.В. Гусаров // Письма в Журнал технической физики - 2010. - Т. 36. - № 18. - С. 48-54 (входит в Перечень ВАК).

4. Rodygina O.A. Flow in nanotube with soliton perturbation at the wall and with crystallite in the center of the tube / O.A. Rodygina // Mathematical Challenge of Quantum Transport in Nanosystems, "Pierre Duclos Workshop", Университет ИТМО, Санкт-Петербург, Россия (23-26 сентября, 2014): Book of Abstracts. -2014. - P. 17.

5. Rodygina O.A. Soliton induced flow in nanotube / O.A. Rodygina // International Conference 'Mathematical Challenge of Quantum Transport in Nanosystems, "Pierre Duclos Workshop"', НИУ ИТМО, Санкт-Петербург, Россия (12-15 марта, 2013): Book of Abstracts. - 2013. - P. 20.

6. Родыгина О.А. Стоксово течение в нанотрубке, вызванное локальным возмущением в ее стенке / О.А. Родыгина // Сборник тезисов II Всероссийского конгресса молодых ученых - 2013. - C.220

7. Rodygina O.A. Wall soliton and flow in nanotube / O.A. Rodygina // International Conference 'Advanced Problems in Mechanics" 2012: Book of Abstracts - 2012. - P. 74.

8. Родыгина О.А. Стоксово течение в нанотрубке, вызванное солитоном / О.А. Родыгина // Труды студенческого центра прикладных математических исследований. Сборник статей. - 2011. - С. 72-79.

9. Rodygina O.A. Crystallite model of nanotube flow caused by soliton / O.A.Rodygina, S.A.Chivilikhin, I.Yu.Popov, V.V.Gusarov // International Conference 'Saint-Petersburg Open', СПб АУ НОЦНТ РАН, Санкт-Петербург, Россия (07 апреля 2015): Book of Abstracts - 2015. - P.259-260.

10. Родыгина О.А. Течение в нанотрубке и солитон в ее стенке / О.А. Родыгина // Сборник научно-исследовательских выпускных квалификационных работ магистров НИУ ИТМО - 2012. - С. 70-72.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из оглавления, введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Полный объем диссертации составляет 92 страницы с 19 рисунками. Список литературы содержит 84 наименований

1. Обзор результатов

1.1 Солитонные возбуждения в нанотрубках

С момента открытия углеродных нанотрубок было экспериментально исследовано огромное количество морфологий углеродных нанотрубок. Нанотрубки - это объекты, представляющие интерес как для

экспериментальных, так и для теоретических научных исследований, из-за множества необычных свойств, которыми они обладают. Возможности для практических применений углеродных нанотрубок, особенно в сфере нанотехнологий, являются очень широкими. Среди их множества применений

предусмотрены приложения в наноразмерных электронных устройствах. Легирование нанотрубок и изменение их структуры может привести к формированию диодов, транзисторов с полевым эффектом и проводников с электронной проводимостью.

Динамические свойства нанотрубок представляют собой большой интерес из-за возможности их применения на практике. Теоретические методы для объяснения этих свойств варьируются от абсолютно расчетных методов до приблизительных экспериментальных схем. Однако, несколько экспериментальных результатов были проанализированы с помощью эмпирических методов, которые учитывали эффекты различных колебательных мод. В частности, нелинейные локальные возбуждения могут переносить энергию и могут быть вовлеченными в процессы, представляющие интерес для практических применений. Были сделаны некоторые предположения о том, какую роль играют одиночные возбуждения в процессах переноса тепла, разрушения полимеров, а также, в других процессах, происходящих в молекулярных системах. Хотя в большинстве случаев гармонического приближения достаточно для описания молекулярных процессов, некоторые молекулярные материалы содержат атомы, взаимодействующие через нелинейные межатомные потенциалы, что может привести к возникновению солитонных возбуждений.

В работе [1] с помощью эмпирических методов исследуются нелинейные эффекты в углеродных нанотрубках, порождающие солитоны.

Углеродные нанотрубки являются анизотропными и упорядоченными объектами с большим соотношением сторон. Поверхность нанотрубок получается сворачиванием листа графита, состоящего из одного слоя молекул углерода, в цилиндр, при этом длины связи и углы немного отличаются от кристаллической решетки графита за счет деформации, вызванной сворачиванием.

Негармоническое решение в нелинейных одномерных решетках часто приближают с помощью уравнения Кортевега — де Фриза.

Для уравнения Кортевега — де Фриза найдено большое количество точных решений, представляющих собой стационарные нелинейные волны. В том числе, данное уравнение имеет решения солитонного типа следующего вида: 2к2

и(X, Г) =-т-т-,

еЬ2[к(х - 4к2 г - х0)]

где к — свободный параметр, определяющий высоту и ширину солитона, а также его скорость, х0 — также произвольная константа, зависящая от выбора начала отсчёта оси х.

Так как нанотрубки являются квазиодномерными объектами, то для получения нелинейных возбуждений в них имеет смысл рассматривать их в качестве одномерной решетки с нелинейным эффективным потенциалом. Затем в конечном приближении могут быть получены соответствующие уравнения Кортевега — де Фриза.

С помощью численных методов было аналитически продемонстрировано, что солитоны Кортевега — де Фриза - это достаточно хорошее приближение для описания нелинейных возмущений в нанотрубках. Солитон линейно увеличивается с увеличением диаметра трубки. Найденное решение описывает нелинейные возмущения в графите. Достоверность численной имитации развития зарождающегося солитона подтверждает высокая устойчивость результатов численной имитации.

Вопросы, рассматривающие методы солитонных возбуждений в реальных углеродных нанотрубках, и их возможный вклад в описание различных химических и физических явлений, пока не решены. На самом деле, генерация высоко когерентных ультракоротких продольных перемещений атомов в нанотрубках кажется маловероятной. Это, однако, не относится к длинноволновым одиночным возмущениям. В связи с этим хотелось бы отметить недавние результаты в изучении оптико-механических эффектов в нанотрубках. Предположительно, что короткая вспышка света может вызвать возбуждение в нанотрубке таким образом, что появится солитонное возбуждение. Солитонные возбуждения так же могут быть получены за счет

внешних факторов, такие как воздействие электрона или иона, изменение электрического напряжения и др. Если солитонное возбуждение присутствует в нанотрубке в достаточной «концентрации», то оно может быть обнаружено через его вклад в некоторые обнаруживаемые свойства нанотрубки. В качестве примера можно привести эффект цунами, когда энергия, равномерно распределенная в возбуждении произвольного профиля, может быть сконцентрирована на нескольких связях дефекта со значительным избытком энергии. Чем больше это искажение в нанотрубке, тем больше это влияние. Это так же может быть способом для самовосстановления нанотрубкт, когда перестройка структурных несовершенств, вызывается солитонным возмущением. Этот эффект так же может способствовать химической реакции.

Наличие высокой теплоемкости, которую мы можем наблюдать в однослойных нанотрубках, частично объясняется солитонными возбуждениями, которые возникают параллельно с фононами. Перенос тепла в нанотрбуках это другой пример влияния солитонных возбуждений на свойства нанотрубок. Эмиссия коротких электрических импульсов поля, когда солитон неупруго взаимодействует с несимметричным колпаком или другим дефектом, может служить еще одним примером. Результаты расчета изменения в распределении разряда подтверждают большое отклонение электрических свойств от своих равновесных значений при солитонных возбуждениях. Процесс изменения распределения заряда из-за динамических возбуждений, вероятно, обратно пропорционально связан с оптико-механическим феноменом в нанотрубках.

1.2 Моделирование ламинарного обтекания жидкостью цилиндра

Несмотря на обширные экспериментальные исследования и математическое моделирование на протяжении почти всего века, обтекание жидкостью тела в виде кругового цилиндра по-прежнему остается сложной проблемой гидродинамики, где интенсивные исследования продолжаются даже сегодня,

для того чтобы понять сложную нестабильную динамику обтекающего цилиндр потока [2]. Поток жидкости, текущий перпендикулярно к продольной оси неподвижного кругового цилиндра, и связанные с этим проблемы переноса тепла и массы встречаются в самых разнообразных инженерных приложениях. Экспериментальные измерения и математические расчеты подтверждают возникновение неустойчивости в следе за цилиндром, близкой к критическому числу Рейнольдса, приводящей в итоге к своего рода периодическому потоку, определяемому точными частотами, хорошо известным в литературе, как вихревая дорожка фон Кармана. В случае ламинарного обтекания цилиндра, имеющего в сечении правильный многоугольник, поток обычно разделяется на одном или нескольких ребрах, образуя системы вихрей по обе стороны от середины плоскости симметрии. С другой стороны, для кругового цилиндра, где точка разделения потока определяется свойствами поверхности цилиндра, физика потока намного сложнее, чем можно было бы предположить, исходя из его простой формы.

Число Рейнольдса (Яе=иО/у) зависит от скорости потока(и), диаметра цилиндра(Д) и кинематической вязкости течения V и может изменяться от значения порядка 0,1 для ползучего ламинарного течения, до значения равного 106 и более для турбулентного течения, когда вступают в силу различные физические сложности. При значении числа Рейнольдса от 5 до 40 образуется устойчивый ламинарный поток с парой симметричных вращающихся в противоположных направлениях вихрей, формирующихся за цилиндром. При превышении некоего критического значения числа Рейнольдса, в зависимости от свойств других возмущений потока, исчезает симметрия потока и вихрей после цилиндра и возникают поперечные колебания. При значении числа Рейнольдса от 190 до 260 появляются следы от двухмерных цилиндров, которые становятся восприимчивыми к основным механизмам нестабильности, что приводит к усилению трехмерных возмущений и, в конечном счете, к развитию сильных продольно ориентированных вихревых структур. Эти трехмерные возмущения изменяют структуру и развитие вихревых следов, и, как следствие,

даже при низких значениях числа Рейнольдса, двумерное моделирование часто не в состоянии точно предсказать даже такие количественные характеристики потока, как средний коэффициент сопротивления и среднеквадратичный коэффициент подъемной силы.

Недавно Здравкович [3] в прекрасной монографии собрал почти все экспериментальные, аналитические и математически смоделированные данные об обтекании цилиндров, доступные с 1938 года, и систематически классифицировал это сложное явление для пяти различных режимов течения, основываясь на различных значениях числа Рейнольдса. Здесь [2] процедуры математического моделирования ограничиваются несколькими первыми режимами, которые были обозначены, как:

(1) - ползучее ламинарное состояние потока (Ь1) при значении числа Рейнольдса от 0 до 4;

(2) - ламинарное течение со стационарным разделением (4<Яв<48), формирующее пару симметричных вращающихся в противоположные стороны вихрей в следе;

(3)- ламинарный поток (ЬЗ) с периодичным отделением вихрей (48<Яв< 180);

(4)- режим частичного перехода в след (Тг^), (180<Яв<400), когда трехмерная нестабильность приводит к образованию продольных вихревых структур.

Вычисления были проведены [2] в диапазоне 0.1<Яв<400 для сравнения с имеющимися данными измерений или результатами других вычислений, как для стационарных, так и нестационарных условий потока. Все вычисления используют алгоритм Навье-Стокса (ЯЛКЗЗВ), основанный на методе конечных объемов, для точного по времени прогнозирования поведения течения. Этот алгоритм решения для течения, первоначально предложенный последним автором, далее разрабатывался в национальной аэрокосмической лаборатории в Бангалоре в течение последних 10 лет. Вся область потока, охватывающая эти режимы (Ь1 - Тг^), была впервые вычислена для двухмерного течения. Позже, для того, чтобы понять эффект от трехмерного

возмущения при сложной динамике следа за цилиндром, трехмерный анализ был проведен для 5 различных значений числа Рейнольдса, которые охватывают часть режимов, результаты этого анализа уже были опубликованы ранее в литературе общенаучного характера несколькими исследователями. Результаты математического моделирования, полученные в данном исследовании, были сравнены с имеющимися данными экспериментальных измерений, а также с результатами математического моделирования при изменении структуры следа, при изменении по времени коэффициента сопротивления, при изменения угла разделения, давления торможения и давления на основание цилиндра при увеличении числа Рейнольдса и для частоты и амплитуда силы колебаний, возникающих из явления образования вихрей в соответствующем режиме течения.

Уравнение Навье-Стокса, используемое в данном методе математического моделирования, для нестационарного ламинарного несжимаемого течения может быть записано в компактной форме в неортогональных криволинейных координатах в следующем виде:

+~ [риир)--А^К + д-Ц- КР1)+гру ] = ^ (1)

дг и дХ ■ и дл,„ дл„,

у т т

Где J - якобиан преобразования между декартовыми и криволинейными координатами, р\ - соответствующие метрические коэффициенты, связанные с

геометрическим преобразованием, Р - давление, и ], к, т - повторяющиеся индексы суммирования вдоль направлений сетки. и - средняя декартова скорость, найденная вдоль каждого «¡-того» направления. Эти три уравнения импульса, далее дополненные уравнением непрерывности, выглядят следующим образом:

Уравнение неприрывности: д

-д. рик р) = о (2)

дх]

Используемый в данном исследовании алгоритм (RANS3D) нахождения решения для течения является итерационным двухступенчатым методом

предсказаний и поправок, схожим с алгоритмом Патанкара SIMPLE. В предсказывающем шаге уравнение импульса решено для частичного во времени продвижения поля скоростей для угаданного поля давления. Непрерывность же обеспечена путем решения уравнения Пуассона для коррекции давления, с последующими соответствующими поправками поля давления и поля скорости в корректирующем шаге. Интегрирование уравнения момента переноса (1) по каждому контрольному объему преобразует соответствующие уравнения в частных производных в дискретные алгебраические уравнения, представляющих собой баланс между конвективными и диффузионными потоками через грань ячеек и другими условиями, например, объемом источников. Второй порядок точности разностной схемы используется для пространственной дискретизации конвективных и диффузионных потоков через грани ячеек. Временные производные также дискретизируют, используя трехуровневую полную неявную схему второго порядка точности. Численная стабильность обеспечивается посредством отложенной процедуры коррекции, где подходящая весовая функция используется для смешивания потока желаемой схемы с потоком противоположного направления, которые допускают некоторые небольшие численные диффузии для устойчивости решения. Используя соответствующие геометрические факторы со схемой второго порядка пространственной и временной дискретизации для граней ячеек и линеаризацию исходного уровня, уравнение баланса потока может быть выражено неявным образом в следующей квазилинейной форме:

\^Ло + Аф1 = £ ЛпЬфТ + SU (3)

nb

Где Ар = ^ Ль ~ SP; коэффициент АпЪ представляет собой совокупный

результат конвекции и диффузии из соседних узлов граней ячеек; SU и SP компоненты линеаризации исходного уровня; Лу - это клеточный объем, а Лг -это размер временного шага. Верхний индекс ф представляет собой соответствующий временной шаг. Подробный вывод уравнения (3) с точки зрения переменных потока и фронтальных проекции ячеек дан в [82-84].

Уравнение Пуассона для коррекции давления, представленное непрерывным, также преобразуется в линеаризированное уравнение для коррекции давления в виде уравнения (3). Поправки добавлены к импульсу давления и скорости, соответственно, в центр ячеек и на грани ячеек. Выделенный итерационный метод, связанный с полностью неявной процедурой Стоуна, используется для решения системы линейных уравнений, соответствующих каждому уравнению переноса в последовательном порядке. На каждом временном шаге нормированный остаток для всех решений уравнений снижается до критерия сходимости.

Программа RANS3D, использующая метод конечных объемов, разработанная для общей многоблочной структурированной неортогональной сетки, была использована в [2], как для двухмерного, так и для трехмерного варианта решения задачи. В случае режимов L1 и L2, где поток устойчив, данное решение было предложено только для двухмерного потока. Даже в режиме L3 периодических вихревых потоков при значении числа Рейнольдса меньше 200, структура потока в периодических завихрениях следа, которая наблюдалась в при измерениях, была по большей части двухмерной, лежащей в плоскости нормальной к оси цилиндра. Данное исследование проводилось при значении числа Рейнольдса меньше 200, поэтому они выполнялись только для двухмерного потока и предсказанные результаты были сравнены с данными измерений, приведенными в литературе для частоты Струхаля, тангенциального изменения усредненных по времени поверхностного давления и поверхностного трения и среднего и среднеквадратичного значений подъемной силы и коэффициента сопротивления. Помимо критического диапазона чисел Рейнольдса, измерения, а также данные моделирования показывают восприимчивость двумерного следа за цилиндром в трехмерном нестабильном механизме Флокета, который усиливает трехмерные возмущения и, в конечном счете, приводит к образованию сильных продольно ориентированных вихревых структур. Поэтому в данном исследовании расчеты были проведены для трехмерного обтекания цилиндра с конечным соотношением сторон для числа

Рейнольдса, изменяющегося от 100 до 400. Целью данного расчета для трехмерного потока была проверка точности программы ЯЛКБЗВ для прогнозирования объединенной мощности коэффициентов и также для проверки того, являются ли характерные для трехмерного сложного потока свойства, наблюдаемые при измерении или других расчетах, представленных в литературе общенаучного характера, охваченными в данном моделировании.

Структура попутной струи за круговым цилиндром была вычислена для двухмерного и трехмерного потока, с использованием неявного решателя RANS3D уравнения Навье-Стокса второго порядка точности. Вычисления были проведены при изменении числа Рейнольдса от 0.1 до 400, что охватывает три различных характерных режима, классифицированных Здравковичем - ползучее течение, устойчиво замкнутое вблизи попутной струи и режим ламинарных вихрей, частично перекрывающегося с режимом переход-в-попутную струю. Основные физические особенности течения в различных режимах, охваченные данным вычислением, достаточно хороши. В режимах Ь1 и Ь2, наблюдаетсядостаточно хорошая согласованность между двумерными вычисленными результатами и соответствующими измерениями для периферийного распределения поверхностного давления и поверхностного натяжения, а также для формы и силы зоны рециркуляции следа, включая раздельное расположение. Это подтверждает адекватность и точность алгоритма для решения течения. До Яв=200 результаты двумерного вычисления достаточно хорошо согласуются с точными данными измерений числа Струхаля, коэффициента основного давления и среднего коэффициента сопротивления. Однако, помимо наступления трехмерной нестабильности при критическом числе Рейнольдса равном 180, расхождения наблюдаются между результатами двумерного вычисления и данных измерения для частоты Струхаля и амплитуды колебаний подъемной силы и коэффициента сопротивления. Рассматриваемое в [2] вычисление трехмерного течение охватило завихрения следа по размаху так же хорошо, как и завихрения вдоль течения, что было оглашено в данных измерений или других численных

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Родыгина Ольга Александровна, 2015 год

Литература

1. Astakhova T. Yu. Longitudinal solitons in carbon nanotubes / T. Yu. Astakhova, O. D. Gurin, M. Menon, and G. A. Vinogradov // Physical review B. - 2001. - № 64. - P.035418.

2. Rajani B.N. Numerical simulation of laminar flow past a circular cylinder / B.N. Rajani, A. Kandasamy, Sekhar Majumdar // Applied Mathematical Modelling. - 2009. - № 33. - P.1228-1247.

3. Zdravkovich M. Flow Around Circular Cylinders / M. Zdravkovich// - Oxford Science Publication. - 1997. - Vol.1

4. Popov I.Yu. Stokeslet and the operator extension theory / I.Yu.Popov // Revista Matematica Univ. Compl. Madrid. - 1996. - V. 9. - N 1. - P 235-258.

5. Palaniappan D. Interior Stokes flows with stick-slip boundary conditions / D. Palaniappan, P. Daripa // Physica A. - 2001. - V. 397. - P. 37-63.

6. Smith S.H. Unsteady Stokes' flow in two dimensions / S.H. Smith// J.Eng.Math. - 1987. - V. 21. - P. 271-285.

7. Blake J.R. Fundamental singularities of viscous flow / J.R. Blake, A.T. Chwang // J.Eng.Math. - 1974. - V. 8. - No 1 - P. 24-29.

8. Happel J. Low Reynolds Number Hydrodynamics / J.Happel, H.Brenner -Prentice Hill, Englewood Cliffs, NJ, 1965.

9. Prasad K.M. Effect of Peripheral Layer on Peristaltic Transport of a Micropolar Fluid / K.M. Prasad, G. Radhakrishnamacharya // Nonlinear Analysis: Modelling and Control. - 2009. - Vol. 14. - No. 1 - P. 103-113.

10.Vishnyakov V.I. Peristaltic flow of a viscous incompressible fluid in a plane channel / V. I. Vishyakov, K.B. Pavlov, V.I. Semenov// Journal of engineering physics. - 1985. - V.48. - P. 55-59.

11. Edited by Li D. (Ed.) Encyclopedia of microfuidics and nanofuidics. - New York: Springer. - 2008.

12. Rivera J. L. Rapid transport of water via carbon nanotube syringe/ J.L Rivera, F.W. Starr // J. Phys. Chem. C - 2010. — P.114. 3737-3742.

13. Kadau K. Nanohydrodynamics simulations: An Atomic view of the Reyleigh-Taylor instability/ K. Kadau, T. C. Germann, N. G. Hadjiconstantinou, P. S. Lomdahl , G. Dimonte // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. - 2004. - P. 101. 58515855.

14. Joly, L. Probing the Nanohydrodynamics at liquid-solid interface using thermal motion / L. Joly, C. Ybert, N. Ew, M. O. Robbins // Phys. Rev. Lett. - 2006. -P.96. 046101-1 046101-4.

15. X. B. Nie. Continuum and molecular dynamics hybrid method for micro- and nano-fuid flow/ X. B. Nie, S. Y. Chen, L. A. Bocquet // J. Fluid. Mech. - 2004. - P. 500. 55-64.

16.Kang W. Universality Crossover of the Pinch-Off Shape Profiles of Collapsing Liquid Nanobridges / W. Kang, U. Landman // Phys. Rev. Lett. - 2007 - P. 98. 064504-1-064504-4.

17.Antognozzi M. Observation of molecular layering in a confined water film and study of the layers viscoelastic properties/ M. Antognozzi, A.D.L. Humphris, M.J. Miles // Appl. Phys. Lett. - 2001. - P.78. 300-302.

18. Эйнштейн А. Броуновское движение/ А. Эйнштейн, М. Смолуховский. -Ленинград: ГИТТЛ, 1936.

19. Коган М. Н. Динамика разреженного газа (Кинетическая теория)/ М.Н. Коган - Москва: Наука, 1967.

20.Frenkel Ya. I. New development of the theory of liquid state/ Ya. I. Frenkel . // Appl. Uspekhi Fiz. Nauk. -1941. -P. 25. 1-18.

21.Ubbelohde A. R. Melting and Crystal Structure/ A. R. Ubbelohde - Oxford: Clarendon Press, 1965.

22.Зацепина Г.Н. Структура и свойства воды/ Г.Н. Зацепина - Москва: Наука, 1974.

23.Huang C. The inhomogeneous structure of water at ambient conditions / C. Huang // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. - 2009. - P. 106. 15214-15218.

24.Li T.-D. Structured and viscous water in subnanometergaps / T.D.Li, J. Gao, R. Szoszkeiwicz, U. Landnan, E. Riedo // Phys. Rev. B. - 2007. - P. 75. 1154151-115415-6.

25.Mashl R. J. Anomalously Immobilized Water: A New Water Phase Induced by Confinement in Nanotubes/ R. J. Mashl, S. Joseph, N.R. Aluru, E. Jakobsson // Nano Letters. - 2003. - P.3. 589-592.

26.Kolesnikova A.I. Anomalously Soft Dynamics of Water in a Nanotube: A Revelation of Nanoscale Confinement / A.I. Kolesnikov, J.-M. Zanotti, Ch.-K. Loong, and P. Thiyagarajan // Phys. Lett. - 2004. - P. 93. 035503-1-035503-4.

27. Kolesnikova A.I. Anomalously soft dynamics of water in carbon nanotubes/

A.I. Kolesnikova, C.K. Loonga, N.R. de Souzaa, C.J. Burnhamb, A.P. Moravskyc // Physica B. - 2006. - P. 385386. 272-274.

28. Дерягин Б.Н. Вода в дисперсных системах/ Б.Н Дерягин, Ф.Д. Овчаренко,

B.Н. Чураев - Москва: Наука, 1989.

29. Jason K. H. Fast Mass Transport Through Sub-Nanometer Carbon Nanotubes/ K.H. Jason, G.P. Hyung, W. Yinmin, S. Michael, B. Alexander, C.P Artyukhin, A.N Grigoropoulos, B. Olgica // Science. - 2006. - P. 312. 1034-1037.

30.Maslov V. P. Superfluidity of classical liquid in a nanotube for even and odd numbers of neutrons in a molecule / V.P. Maslov // Theor. and Math.l Phys. -2007. - P. 153. 1677-1796.

31. Hanasaki I. Fluidized piston model for molecular dynamics simulations of hydrodynamic flow/ I. Hanasaki, A. Nakatani // Modelling Simul. Mater. Sci. Eng. - 2006. - P.14. 9-20.

32.Chivilikhin S. A. Model of fluid flow in a nano-channel / S. A. Chivilikhin, I.Yu. Popov, V. V. Gusarov, A.I. Svitenkov // Russian J. Math. Phys. - 2008. -№ 33. - P.410-412.

33.Batchelor G. K. Stress generated in a non-dilute suspension of elongated particles by pure straining motion / G.K. Batchelor // J. Fluid Mech. - 2008. -№46. - P. 813-829.

34.Hinch E. J. The effect of Brownian motion on the rheological properties of a suspension of non-spherical particles / E.J. Hinch, L.G. Leal // J. Fluid Mech. -1972. - № 52. - P. 683-712.

35.Kononova S. V. Polimer-inorganic nanocomposites based on aromatic polyamidoimides effective in the process of liquids separation / S.V. Kononova // Russ. J. Gen. Chem. - 2010. - №80. - P. 1136-1142.

36.Insepov Z. Using Carbon Nanotubes / Z. Insepov, D. Wolf, A. Hassanein// Nano Letters. - 2006. -№ 6. - P. 1893-1895.

37.Gusarov V. V. Flows in two-dimentional non-autonomous phases in polycrystalline systems / V.V Gusarov, I. Yu.Popov // Nuovo Cim. - 1996.-№18D. - P. 799-805.

38.J. A. Thomas. Reassessing Fast Water Transport through Carbon Nanotubes / J. A. Thomas, A. J. H. McGaughey // Nano Lett. - 2008. - №8. - P. 788-793.

39.Yingchun L. Transport behavior of water confined in carbon nanotubes/ L.Yingchun, Q. Wang // Phys. Rew. B. - 2005. - №72. - P. 085420-1-0854204.

40.Sony J. Why Are Carbon Nanotubes Fast Transporters of Water? / J. Sony, N.R. Aluru // Nano Lett. - 2008. - №72. - P. 452-458.

41.Demkov Yu. N. Zero-range Potential Method in Atomic Physics/ Yu. N. Demkov, V.N. Ostrovskii. - Leningrad: Leningrad University Publishing,1975.

42.Albeverio S. Models in Quantum Mechanics Berlin/ S. Albeverio, F. Gesztesy, Hoegh-Krohn, H. Holden - Solvable: Springer, 1989.

43. Pavlov B. S. Extensions theory and explicitly solvable models/ B.S. Pavlov // Uspekhi Math. Nauk. - 1987. - №42. - P. 99-131.

44.Chivilikhin S. A. Simulation of the formation of nanorolls/ S.A. Chivilikhin, V.V. Gusarov, I.Yu. Popov, I.V. Blinova // Russian J.Math.Phys. - 2007. -№15. - P. 410-412.

45.Gerjuoy E. Momentum Transfer Cross Section Theorem/ E. Gerjuoy // J. Math. Phys. - 1965. - № 6. - P. 993-996.

46.Olla S. Hydrodynamical limit for a Hamiltonian system with weak noise/ S. Olla, S.R.Varadhan, H. -T. Yau // Comm. Math. Phys. - 1993. - № 155. - P. 523-560.

47.De Masi A. Incompressible Navier-Stokes and Euler limits of the Boltzmann equation / A. De Masi, R. Esposito, J.L. Lebowitz // Comm. Pure Appl. Math. - 1989. -№ 42. - P. 1189-1214.

48.Bardos C. On the asymptotic limits of kinetic theory towards incompressible fuid dynamics / C. Bardos, F. Golse, D. Levermore // Comptes Rendus de lAcad. Sci. Paris. Ser. - 1989. - №11. - P. 727-727.

49.Reiser B. Real processing 1V: The derivation of the Navier-Stokes equation from the principle of minimal deformation/ B. Reiser // Physica A. - 2001. -№219. - P. 512-522.

50.Jackson J. L. On the statistical mechanical derivation of the correlation formula for the viscosity / J.L. Jackson, P. Mazur // Physica. - 1964. - №30. - P. 22952304.

51.Visscher P. B. Renormalization-group derivation of Navier-Stokes equation / P.B. Visscher // J.Stat. Phys. - 1985. - №38. - P. 989-1013.

52.Helbingn D. Gas-kinetic derivation of Navier-Stokes-like trafic equations / D. Helbingn // Phys. Rev. E. - 1996. - №53. - P. 2366-2381.

53.Куни Ф.М Статистическая физика и термодинамика / Ф.М. Куни. -Москва: Наука, 1981.

54. Maslov V.P. Nonstandard analysis, parastatistics, and fractals/ V.P. Maslov// Theoretical and Mathematical Physics. - 2007. - V. 153 - № 3. - P. 16771796.

55.Insepov Z. Nanopumping using carbon nanotubes / Z. Insepov, D. Wolf, A. Hassanein // Nano Letters. - 2006. - V.6. - №9. - P. 1893-1895.

56.Hancock, G.j., The self-propulsion of microscopic organisms through liquids/ G.J. Hancock// Proc. R. Soc. London. - 1953. - P. 96-121.

57.Batchelor G.K., Slender-body theory for particles of arbitrary cross-section in Stokes flow/ G.K. Batchelor// J. Fluid Mech. - 1970 - №44. - P. 419-440.

58.Hackborn W.W., Asymmetric Stokes flow between parallel planes due to a rotlet/ W.W. Hackborn// J. fluid Mech. - 1990. - №218. - P. 531-546.

59.Liron N. Stokes flow between two parallel flat plates/ N. Linor, R. Shahar// J. Eng. Math. -1976. - №10. - P. 287-303.

60.Liron N. Stokes floe due to a stokeslet in a pipe / N. Linor, R. Shahar// J. Fluid Mech. - 1978. - №86. - P. 727-744.

61.Blake J.R. Fundamental singularities of viscous flow. Part 1. The image system in the vicinity of a stationary no-slip boundary / J.R. Blake, A.T. Chwang.// J.Eng.Math. - 1974 - №8. - P. 23-29.

62.Chwang A.T. and Wu, T.Y., Hydromechanics of low-Reynolds-number flow. Part 2. Singularity method for Stokes flow/ A.T. Chwang, T.Y.Wu // J. Fluid Mech. - 1975. - №67 - P. 787-815.

63.Hasimoto H. Stokeslet and eddies in creeping flow/ H. Hasimoto, O. Sano// Ann. Rev. Fluid Mech. - 1980. - №12. - P. 335-363

64.Fermi E., Sopra lo spostamento per pressione delle righe elevate delle serie spettrali / E.Fermi// Nuovo Cim. - 1934. - №11. - P. 157-166.

65.Fermi, E., Sul moto dei neutroni nelle sostanze idrogenate / E.Fermi// Ric. Sci. - 1936. - №7. - P.13-52.

66.Berezin F.A. Remarks on the Schrodinger equation with singular potentials / F.A. Berezin, L.D. Faddeev// Doklady AN SSSR. - 1961. - № 5. - P. 10111014.

67.Albeverio S. Nonstandart Methods on Stohastic Analysis and Mathematical Physics / S. Albeverio, J.E. Fenstad, R. Hoegh-Krohn, T. Lindstrom // Bull. Amer. Math. Soc . - 1987. - V.17. - P. 385-389.

68.Albeverio S. Solvable Models in Quantum Mechanics/ S. Albeverio, F. Gesztesy, R. Hoegh-Krohn, H. Holden - New York: Springer-Verlag,1988

69.Chivilikhin S. A. Flows in nanostructures: hybrid classical-quantum models/ S. A. Chivilikhin, V. V. Gusarov, I. Yu. Popov// NANOSYSTEMS: PHYSICS, CHEMISTRY, MATHEMATICS. - 2012. - №3(1) - P. 7-26

70.Pavlov B.S. Acoustic model of zero-width slits and hydrodynamic stability of boundary layer/ B.S. Pavlov, I. Yu. Popov// Teor. Mat. Fiz. - 1991 - V.86. - № 3. - P. 391-401.

71.Popov I. Yu., The extension theory and diffraction problems / I. Yu. Popov // Lect. Notes in Physics. - 1989. - V. 324 - P. 218-229

72.Popov I. Yu. The stability of boundary layer and the model of suction through a small opening / I. Yu. Popov // in book: "Schrodinger Operators, Standard and Non-standard" (World Scientific, Singapore, New Jersey, London, Hong Kong). - 1989. - P. 403-404.

73.Popov I.Yu. A model of zero-width slits and the real diffraction problem, Operator Theory: Advances and Applications / I. Yu. Popov // Birkhauser Verlag Basel. - 1990. - № 46. - P. 195-196.

74.Popov I.Yu. The extensions theory and the opening in semitransparent surface / I. Yu. Popov // J. Math. Phys. - 1992 - №33. - P. 1685-1689.

75.Popov I. Yu., The resonator with narrow slit and the model based on the operator extensions theory / I. Yu. Popov // J. Math. Phys. - 1992 - №33. - P. 3794-3801.

76.Moffat H.K., Viscous and resistive eddies near a sharp corner/ H.K. Moffat// J. Fluid Mech. - 1964. - №18. - P. 1-18.

77.Karpeshina Yu.E. Zero-range interaction for a biharmonic and poliharmonic equations/ Yu.E. Karpeshina, B.S. Pavlov // Mat. Zametki. - 1986. - V.40. -№1. - P. 49-59.

78.Proudman I. Expansions at small Reynolds number for the flow past a sphere and a circular cylinder/ I. Proudman, J.R.A. Pearson// J. Fluid. Mech. - 1957. -№2. - P. 237-262.

79.Berezin F.A., On the Lee model/ F.A. Berezin// Mat. Sbornik. - 1963 - V.60. -№4. - P. 425-446.

80.Bognar J. Indefinite Inner Product Spaces/ J. Bognar. - Berlin: Springer-Verlag, 1974.

81.Buchwald V.T. Eigenfunctoins of plane elastostatics / V.T. Buchwald// Proc. Royal Soc. London. - 1964. - № 1370. - P. 385-400.

82. Majumdar S. Pressure based Navier-Stokes solver for three-dimensional flow in hydrodynamics and low speed aerodynamicsapplication / S. Majumdar// Proceedings of the 3rd Asian CFD Conference, Bangalore. - 1998. - №1. - P. 137-146.

83. Majumdar S. Numerical computation of flow around aerostats using a pressure-based Navier-Stokes solver/ S. Majumdar, B.N. Rajani// J.Aeronaut. Soc. India. - 2001. - V.53. - №2. - P. 117-127.

84.Majumdar S. RANS computation of low speed turbulent flow in complex configuration/ S. Majumdar, B.N. Rajani, D.S.Kulkarni, S.Mohan // Proceedings of the Symposium on State of the Art and Future Trends of CFD at NAL, NAL SP03 01. - 2003. - P. 31-48.