Моделирование устойчивых случайных векторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Багрова, Инна Александровна

• Багрова, Инна Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Багрова, Инна Александровна

Введение.

1 Об устойчивых случайных величинах

1.1 Определения и параметры устойчивых распределений.

1.2 Параметризации устойчивых распределений.

1.3 Свойства устойчивых законов.

1.4 Применения устойчивых распределений.

2 Моделирование одномерных устойчивых случайных величин

2.1 Ранее известные методы моделирования.

2.2 Моделирование устойчивых случайных величин на основе обобщенной ЦПТ.

2.2.1 Вспомогательные утверждения.

2.2.2 Моделирование устойчивых случайных величин с бесконечным математическим ожиданием при а е (0,1).

2.2.3 Моделирование устойчивых случайных величин с бесконечным математическим ожиданием при а = 1.

2.2.4 Моделирование устойчивых случайных величин с конечным математическим ожиданием при а 6 (1,2).

3 Моделирование устойчивых случайных векторов.

3.1 Некоторые сведения о многомерных устойчивых законах

3.2 Моделирование устойчивыхучайных векторов дискретной спектральной мерой на основе ОЦПТ.

3.3 Моделирование сферически симметричных. устойчивых распределений в ^.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование устойчивых случайных векторов»

Актуальность

При изучении и построении вероятностных моделей различных явлений часто используется хорошо исследованное нормальное распределение, зависящее от двух параметров, описывающих его. Но нормальное распределение, в свою очередь, принадлежит более широкому классу устойчивых распределений, обладающих набором четырех параметров, благодаря чему при их применении возможна более тонкая настройка модели под реальные данные. Кроме того, использование нормального распределения не приводит к удовлетворительным результатам для описания явлений, имеющих импульсный характер, когда вероятность появления экстремального значения отлична от нуля. Поэтому устойчивые распределения, главной особенностью которых являются «тяжелые хвосты», нашли широкое применение во многих областях [12], [69], [72]. В силу того, что многие эмпирические данные имеют такое распределение, необходимо строить модели, обладающие этими свойствами. Например, при описании и получении характеристик процессов в теории лазерного охлаждения атомов [7] и радиотехнике [17]. В [63] устойчивые распределения использовались для получения оптимального портфеля акций на основе методологии УаЯ. В работе [10] авторы используют устойчивые распределения и предлагают алгоритм определения параметров регрессионных уравнений, обеспечивающий максимально правдоподобное оценивание даже в ситуациях, когда распределение случайных ошибок имеет большую дисперсию. Кроме того, устойчивые законы применяются в математических моделях точечных источников влияния, примерами которых являются гравитационное поле звезд, распределение температур в ядерном реакторе, распределение напряжений в кристаллических решетках. Моделирование устойчивых случайных векторов необходимо также для проверки робастности методов оценки их параметров. Таким образом, имеющаяся потребность оценивания параметров эмпирического распределения и построения моделей с использованием устойчивых распределений делает актуальной задачу настоящего исследования по разработке датчика для моделирования этих законов с заданными параметрами.

Обзор литературы

Устойчивые распределения описывались в монографиях Б.В.Гнеденко и А. Н. Колмогорова [9], В. Феллера [21], И. А. Ибрагимова и Ю. В. Лхшника [13] и В. В. Петрова [19]. Основные результаты, касающиеся характеризации устойчивых законов, вошли в книгу A.M.Кагана, Ю.В. Линника и С. Р. Pao [14]. Вопросы, связанные с аналитическими свойствами устойчивых законов, рассматривались в монографиях В. Феллера, И. А. Ибрагимова и Ю. В. Линника, в книге Е. Лукача [16], а также в статье Д. Холта и Е. Кроу [37]. Труды следующих авторов специально посвящены устойчивым распределениям и процессам: Золотарев В.М., Учайкин В.В., Janicki A., Weron А., Samorodnitsky G., Taqqu M.S., Nolan J. P.

Исторически первым появился датчик для односторонних устойчивых случайных величин, использующий интегральное представление функции распределения, полученное в статьях Ибрагимова, Чернина [35] и Kanter'a [43]. Затем на основе интегрального представления Золотарева [32], [51] Chambers, Mallows, Stuck разработали датчик устойчивых чисел с произвольными параметрами, использующий экспоненциально и равномерно распределенные случайные величины. Другая методика, основанная на представлении устойчивых величин с помощью случайных рядов LePage'a была предложена A. Janicki и A.Weron'oM [42].

Цель работы

Целью работы является разработка метода моделирования устойчивых случайных величин и векторов, основанного на обобщенной центральной предельной теореме (ОЦПТ) [12]:

Х\ + . + Хп а оп =---=> У, при п —> оо, а £ (0, 2). где Х3 - центрированные (при а > 1) независимые одинаково распределенные случайные величины со значениями из (¿-мерного евклидова пространства В!1, принадлежащие области притяжения устойчивых законов, а нормирующий множитель 6 зависит от формы параметризации устойчивой случайной величины У.

Таким образом, стоит задача получить такие значения параметра 6, чтобы распределение суммы сходилось к распределению устойчивой случайной величины У. Эту задачу можно решить через рассмотрение соответствующих им характеристических функций. Следовательно, необходимо получить характеристическую функцию суммы 5П. Первым шагом является разработка датчика для одномерного случая.

Основные задачи I

Для достижения поставленной цели в диссертации решены следующие задачи: получены асимптотические представления параметров в ОЦПТ для устойчивых случайных величин с бесконечным математическим ожиданием (в случае, когда показатель устойчивости а £ (0,1]); получены асимптотические представления параметров в ОЦПТ для устойчивых случайных величин с конечным математическим ожиданием (а 6 (1,2)); получены асимптотические представления параметров в ОЦПТ для устойчивых случайных векторов в случае дискретной спектральной меры; получены асимптотические представления параметров в ОЦПТ для устойчивых случайных векторов в случае сферически симметричной спектральной меры.

Методика исследования

Для построения алгоритмов моделирования используется ОЦПТ. Для вывода формул применяется метод характеристических функций, асимптотические методы математического анализа, численные методы и комплексный анализ. Программная реализация разработанных алгоритмов и методик осуществлена в системе Ма^аЬ.

Практическая и теоретическая значимость работы

К настоящему времени разработаны два метода моделирования устойчивых величин: а) с помощью интегрального представления Золотарева; б) с помощью представления устойчивых случайных величин рядами LePage'a.

Однако для этих методов не были получены обобщения для многомерного случая. Предложенный в диссертационной работе метод, основанный на ОЦПТ, может быть использован для моделирования устойчивых случайных векторов в Яа с произвольной спектральной мерой, как дискретной, так и непрерывной. Поэтому он может применяться для построения математических моделей с «тяжелыми хвостами» распределения, появляющихся в различных разделах науки.

В ходе работы над диссертацией был разработан комплекс программ, реализующий разработанные методы и алгоритмы моделирования устойчивых случайных величин и векторов.

Для упрощения ввода параметров, сохранения и загрузки сгенерированных случайных чисел использован графический интерфейс. Программный комплекс состоит их двух модулей: модуль моделирования устойчивых величин и модуль моделирования устойчивых векторов.

На вход подаются параметры требуемого устойчивого распределения У, а также параметры распределения Х^ из области притяжения У. Результатом работы программы являются К случайных чисел, имеющих устойчивое распределение в выбранной форме параметризации.

Внедрение результатов работы

Результаты диссертационной работы внедрены в учебный процесс на факультете прикладной математики и кибернетики Тверского госуниверситета. Методы моделирования устойчивых случайных векторов, полученные в диссертации, представлены в дисциплине «Моделирование трейдинговых стратегий».

Апробация

Основные результаты работы докладывались на Второй Российской школе-конференции для молодых ученых с международным участием «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» (812 декабря 2010 года, Тверской государственный университет, Тверь), на XIV Всероссийском симпозиуме с международным участием по теории и приложениям непараметрических и робастных статистических методов «НЕПАРАМЕТРИКА- XIV» (1-3 июля 2012 года, Томский государственный университет, Томск).

Достоверность и обоснованность

Достоверность полученных результатов основана па использовании ОЦПТ, а также на подтверждении результатов моделирования теоретическими результатами, полученными аналитическими методами.

Структура работы и ее содержание

Структурно диссертация состоит из введения, трех глав основного содержания, заключения, приложений и библиографии.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Багрова, Инна Александровна

Заключение

В ходе решения поставленных в диссертационной работе задач были достигнуты следующие результаты:

1. разработан алгоритм моделирования устойчивых случайных величин с бесконечным математическим ожиданием (а £ (0,1]): уточнена формула для ¿>п и получены выражения для ее характеристической функции выявлена взаимосвязь параметров распределений У и Х^, получены асимптотические представления параметров 6 и сдвига а в5„;

2. разработан алгоритм моделирования устойчивых случайных величин с конечным математическим ожиданием (а € (1,2)): выведены формулы для характеристической функции 5П, получены выражения и разработан алгоритм для вычисления скорректированного коэффициента /Зд и нормирующего множителя 6;

3. разработан алгоритм моделирования устойчивых случайных векторов в случае дискретной спектральной меры: определен вид характеристической функции суммы получены формулы для нормирующего параметра Ь\

4. разработан алгоритм моделирования устойчивых случайных векторов для сферически симметричной спектральной меры: получены формулы для нормирующего множителя отдельно для случаев а Е (0,1) и а 6 (1,2);

5. разработанные алгоритмы реализованы в программном комплексе, использование которого позволяет моделировать устойчивые случайные величины и векторы.

Результаты, полученные в диссертации, позволяют расширить круг практических задач, решаемых в математических моделях с «тяжелыми хвостами», за счет возможности использования датчика устойчивых случайных векторов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Багрова, Инна Александровна, 2012 год

1. Архипов C.B., Багрова И.А. О моделировании устойчивых случайных величин при а близких к единице // Вестник Тверского госуниверситета. Серия: Прикладная математика, выпуск 3(18). -Тверь: изд-во Тверского государственного университета, 2010. -с. 5 14.

2. Архипов C.B., Багрова И.А. О моделировании двухсторонних устойчивых случайных чисел при а е (0,1) // Вестник Тверского госуниверситета. Серия: Прикладная математика, выпуск 1(24). -Тверь: изд-во Тверского государственного университета, 2012. -с.103-116.

3. Багрова И.А. Моделирование устойчивых случайных величин в случае альфа равном единице. Вестник Тверского госуниверситета. Серия: Прикладная математика, выпуск 4(23) Тверь: изд-во Тверского государственного университета, 2011. - с. 51-62.

4. Барду Ф., Бушо Ж.-Ф., Acne А., Коэн-Таннуджи К. Статистика Леви и лазерное охлаждение. Как редкие события останавливают атомы // Пер. с англ. под ред. В.П. Яковлева. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. 216 с.

5. Гнеденко Б.В. К теории областей притяжения устойчивых законов. Учёные записки Московского университета 30, 1939, с. 61—82.

6. Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. М.;Л.: Гостехиздат, 1949. -264 с.

7. Денисов В.П., Тимофеев B.C. Устойчивые распределения и оценивание параметров регрессионных зависимостей // Известия Томского политехнического университета. Томск: Изд-во ТПУ. -2011. - Т.318, №2. - с. 10-15.

8. Золотарев В.М. Устойчивые законы и их применения. М.: Знание, 1984. - с.64

9. Золотарев В.М. Одномерные устойчивые распределения. М.: Наука, 1983. - 304 с.

10. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М., 1965 г. - с. 524

11. Каган A.M., Линник Ю. В., Pao С.Р. Характеризационные задачи математической статистики. М.: Наука, 1972.- 656 с.

12. Леви П. Стохастические процессы и броуновское движение. М.: Наука, 1972. - 375 с.

13. Лукач Е. Характеристические функции. М: Наука, 1979. - 249 с.

14. Маслов О.Н. Устойчивые распределения и их применение в радиотехнике. М: Радио и связь, 1994. - 152 с.

15. Маслов О.Н. Моделирование вероятностных распределений с «тяжелыми хвостами». // Инфокоммуникациопные технологии.-2011- Т.9, Nl.-c. 8-15.

16. Петров В.В. Суммы независимых случайных величин. М.: Наука, 1972,- 416с.

17. Хинчнн А. Я. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. ГОНТИ, 1938.

18. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 2.-М.: Мир. 1967.-752 с.

19. Abdul-Hamid Н. Approximation of multivariate stable densities. Ph. D. thesis, American University. 1996

20. Abdul-Hamid H. and Nolan J. P. Multivariate stable densities as functions. of one dimensional projections. J. Multivar. Anal. 67, 1998. -p. 80-89.

21. Achim, A., Tsakalides P. and A. Bezerianos . SAR image denoising via Bayesian wavelet shrinkage based on heavy-tailed modeling. IEEE Transactions on Geoscicnce and Remote Sensing 41, 2003. p. 1773-1784.

22. Araujo, A. and E. Gine The Central Limit Theorem for Real and Banach Valued Random Variables. NY: Wiley. 1980.

23. Bak. P. How Nature Works. Copernicus, Springer-Verlag, New-York (1996).

24. Borak S. , Hardle W., Weron R. Statistical Tools in Finance and Insurance. Springer, 2005.- 517p.

25. Bouchaud J.P., Georges. A. // Anomalous diffusion in disordered media: statistical mechanisms, models and physical applications. Phys. Rep. 195, 1990. p. 127-293 .

26. Bouchaud J.P., Potters. M. Theory of Financial Risks. Cambridge University Press, 2000.

27. Byczkowski T., Nolan J. P., Rajput B. Approximation of multidimensional stable densities. J. Multivar. Anal. 46, 1993. -p. 13-31.

28. Chambers J., Mallows C., Stuck B. A method for simulating stable random variables. // Journal of the American Statistical Association. Theory and Methods Section. 1976. Vol. 71, № 354. - p. 340-344.

29. Combe G., Roux J. N. Stress versus strain in granular materials: A Devil staircase. Phys. Rev. Lett. 85, 3628 (2000).

30. Dance C. R., Kuruoglu E.E. Estimation of the Parameters of Skewed cv-Stable Distributions American University, Washington, DC, 3-5 June 1999- 9p. http://www.eurasip.org/Proceedings/Ext/NSIP99/Nsip99/papers/45.pdf

31. Ibragimov I.A., Chernin, K.E. On the unimodality of Geometric stable laws //Theory of Probability and Its Applications, 4, No. 4 (1959), 417-19.

32. Heath D., Resnick S., Samorodnitsky G. Heavy tails and long range dependence in on/off processes and associate fluid models. Math. Op-er.res., 23(1), 1998.-pp. 125-165.

33. Holt D.R., Crow E.L. Tables and graphs of the stable probability density functions. J. Research Nat. Bur. of Standarts, Sect. B, 1973, v. 1973, N 3-4, 143-197.

34. Fama E. F. The behaviour of stock prices //Journal of Business 60,1965. -p. 401-424.

35. Fama, E. F., French, K. R. Common risk factors in the returns on stocks and bonds //Journal of Financial Economics 33, 1993. p.3-56.

36. Fama E. F., French K. R. Size and book-to-market factors in earnings and returns // The Journal of Finance 50, 1995. p.131-155.

37. Fofack H., Nolan J.P. Tail Behavior, Modes and Other Characteristics of Stable Distributions.

38. Extremes, Vol.2, No.l., 1 March 1999.-p. 39-58,

39. Janicki A., Weron A. Simulation and Chaotic Behavior of o-Stable Stochastic Processes. -New York: Marcel Dekker, 1994. 355 p.

40. Kanter M. Stable densities under change of scale and total variation inequalities. The Annals of Probability. - 1981. Vol. 9, No4. - p. 624-632.

41. LePage P., Woodroofe M., Zinn J. Convergence to a stable distribution via opder statistics41st Conference on Simulation and Modelling, Scandinavian Simulation Society, 2000.-p. 87-94.

42. Levy P. Theorie de 1'addition des variables aleatoires. Paris (1937, also 1954).

43. Nolan. J. // http://academic2.american.edu/~jpnolan/stable/stable.html

44. Nolan, J. Maximum likelihood estimation amd diagnostics for stable distributions. URL:http://academic2.american.edu/~jpnolan/stable/stable.html

45. Nolan, J. P. and B. Rajput. Calculation of multidimensional stable densities. Commun. Statist. Simula. 24, 1995. - 551-556.

46. Nolan, J. P. Numerical calculation of stable densities and distribution functions. Commun. Statist. -Stochastic Models 13, 1997.- p. 759-774.

47. Nolan, J. P. Parameterizations and modes of stable distributions. Statistics and Probability Letters, Volume 38, Number 2, 1 June 1998.-p. 187-195

48. Nolan J. P., Swami A. (Eds.) Proceedings of the ASA-IMS Conference on Heavy Tailed Distributions, Washington, DC, 1999

49. Nolan J. P. Modeling financial data with stable distributions. 2005. URL: http://academic2.american.edu/ jp-nolan / stable/StableFinance23Mar2005.pdf

50. Nolan J. P. An overview of multivariate stable distributions. 2008. URL:http://academic2.american.edu/ jpnolan/stable/overview.pdf

51. Mandelbrot B. Sur certain prix spéculatifs: faits empiriques et modèle basé sur les processes stables additifs de Paul Lévy. Comptes Rendus. 254,1962,- p. 3968-3970.

52. Mandelbrot, B. New methods in statistical economics. Journal of Political Econ. 71,1963a.- p.421-440.

53. Mandelbrot B. The variation of some other speculative prices. Journal of Business 40, 1967,- p. 393-413.

54. Mandelbrot B. B. Fractals and Scaling in Finance. Discontinuity, Concentration, Risk. Springer-Verlag, Berlin, 1997.

55. Mandelbrot B. B., Hudson R.L. The (Mis)Behavior of Markets: A Fractal View of Risk, Ruin, and Reward. Basic Books, 2004. 328 p.

56. Mantegna R., Stanley .H. E. Introduction to Econophysics. Cambridge University Press, 1999.

57. Mittnik S., Rachev S., Schwartz E. Value-at-risk and asset allocation with stable return distributions. Allgemeines Statistisches Archiv, 86:1, 2002,- p. 53-68.

58. Mohammad Ali Baradaran Ghahfarokhi, Baradaran Ghahfarokhi. Applications of Stable Distributions in Time scries analysis, Computer sci-. ences and Financial markets// Word Academy of Science, Engineering and Techology 49 2009, pp. 1027-1031

59. Modarres R., Nolan J. P. A method for simulating stable random vectors. // Computational Statistics 9, 1994.- p. 11-19.

60. Authors: P. Olivares, L. Seco. Stable distribution: A survey on simulation and calibration methodologies. Technical Report, 2003. URL: http://www.risklab.ca/Stableproject.pdf

61. Paul W., Baschnagel. J. Stochastic Processes: From Physics to Finance. Berlin, Springer, 1999.- 232p.

62. Pesquet-Popescu B., Pesquet J.-C. Synthesis of bidimensional a-stable models with long-range dependence

63. Signal Processing, Volume 82, Number 12, December 2002. p. 19271940

64. Rachev S., Mittnik S. Stable paretian models in finance. Wiley, 2000,855 p.

65. Rachev, S., ed. Handbook of Heavy-tailed Distributions in Finance. North Holland, 2003

66. Rachel Kuske, Joseph B. Keller Rate of convergence to a stable law Society for Industrial and Applied Mathematics.Vol. 61, No. 4, Nov., 2000 Jan., 2001,- p. 1308-1323.

67. Samorodnitsky G., Taqqu M.S. Stable Non-Gaussian Random Processes, Chapman and Hall. New York, New York, 1994

68. Shlesinger M.F. , Zaslavsky G.M.,Frisch U. (Eds). Levy Flights and Related Topics in Physics. Lecture Notes in Physics 450, Springer-Verlag, 1995.

69. Stuck B. W., Kleiner B. A statistical analysis of telephone noise. Bell Syst. Tech. J. 53,1974. 1263-1320

70. Tsakalides P., Nikias C. Maximum likelihood localization of sources in noise modeled as a stable processes. IEEE Trans, on Signal Proc. 43, 1995 -2700-2713.

71. Veillet M. http://math.bu.edu/people/mvcillet/research.html

72. Uchaikin V.V., Zolotarev V.M. Chance and Stability. Stable Distributions and their Applications. Utrecht: VSP, 1999. - 594 p.

73. Uchaikin V. V., Gusarov G. G. Simulation of random vectors from three-dimensional spherically symmetric stable distributions // Journal of Mathematical Sciences, Vol. 93, No. 4, 1999,- p.591-599.

74. Zaslavsky. G. M. Chaotic Dynamics and the Origin of Statistical Laws. Physics Today, p. 39-45 (August 1999).

75. Zolotarev, V.M. On Representation of Stable Laws by Integrals // Selected Translations in Mathematical Statistics and Probability, Vol. 6, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1966.- p. 84-88.