Моделирование узлов и зацеплений в пространствах постоянной кривизны тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Кутбаев Айдос Бакберген улы

• Кутбаев Айдос Бакберген улы
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Кутбаев Айдос Бакберген улы

1.2 Гиперболическая геометрия

1.3 Формула Шлефли

2 Моделирование двумостовых узлов в пространствах постоянной кривизны

2.1 Узел

2.2 Узел

2.3 Узел

3 Моделирование узла трилистник с мостом

3.1 Фундаментальное множество конического многообразия

3.2 Геометрические структуры на 31(а,7)

3.3 Объемы конического многообразия 31(а,7) в геометриях Евклида и Лобачевского

4 О реализации зацепления в геометрии Лобачевского

4.1 Коническое многообразие б1(а)

4.2 О рациональности производящей функции для числа корневых лесов в циркулянтном графе

4.2.1 Производящая функция для числа остовных лесов

в циркулянтных графах четной валентности

4.2.2 Производящая функция для числа остовных лесов

в циркулянтных графах нечетной валентности

4.2.3 Примеры

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование узлов и зацеплений в пространствах постоянной кривизны»

Введение

Математическое моделирование геометрических объектов и их свойств является одной из ключевых задач современной науки. Особое место среди таких объектов занимают узлы и зацепления, которые исследуются в топологии, дифференциальной геометрии, физике, химии и биоинформатике. Эти структуры имеют широкий спектр приложений, начиная с анализа сложных полей в физике высоких энергий и заканчивая пространственными формами молекул ДНК.

Изучение узлов и зацеплений в пространствах постоянной кривизны представляет особый интерес, поскольку такие пространства естественным образом возникают в контексте общей теории относительности, космологии и геометрической теории групп. В отличие от евклидова пространства, гиперболические и сферические пространства обладают специфическими свойствами, которые влияют на форму, классификацию и динамическое поведение узлов.

Исследования в области теории узлов имеют глубокие корни, начиная с классических работ конца XIX века. Наиболее известные достижения в этой области связаны с именами таких математиков, как Дж.

К. Максвелл, П. Г. Тейт и К. Рейд. В середине XX века произошел качественный скачок в понимании природы узлов благодаря развитию теории топологических инвариантов, таких как полиномы Джонса, Александера и Хомфли. Эти инварианты стали мощным инструментом классификации узлов и зацеплений.

Однако большая часть этих работ была сосредоточена на узлах в евклидовом пространстве, где свойства пространства трехмерного мира остаются неизменными. Между тем, гиперболическое и сферическое пространства, обладающие отрицательной и положительной кривизной соответственно, открывают новые перспективы. Они предоставляют возможность изучать узлы и зацепления в условиях, где геометрия значительно отличается от привычной.

Пространства постоянной кривизны (гиперболическое Н3, сферическое §3 и евклидово Е3) являются моделями, которые охватывают весь спектр возможных геометрий трехмерных пространств согласно теореме о классификации трехмерных многообразий, доказанной русским математиком Г. Перельманом [1, 2, 3]. В гиперболических пространствах, например, длины геодезических кривых и углы между ними подчиняются гиперболическим законам, что существенно изменяет характеристики узлов и их динамику.

Изучение узлов в обычном трехмерном пространстве - архетип топологической проблемы. Узлы - это удивительно сложные вещи, и даже со всеми изощренными методами современной топологии они не поддаются определенному лечению. Замечательные разработки, вытекающие из полинома Джонса, свидетельствуют о тонкости теории узлов.

Узел, по определению, является кусочно-гладким вложением окружности в К3. Два узла эквивалентны, если один узел может непрерывно деформироваться в другой без пересечений самого себя [6].

Теория узлов имеет интересную историю. Археологи обнаружили, что завязывание узлов восходит к доисторическим временам. Помимо их использования, такого, как запись информации и связывание предметов, узлы интересовали людей своей эстетикой и духовным символизмом. Узлы появляются в различных формах китайских произведений искусства, датируемых несколькими веками до нашей эры [38]. Бесконечный узел появляется в тибетском буддизме, в то время как Боромеевы кольца неоднократно появлялись в разных культурах, часто отражая силу в единстве. Кельтские монахи, создавшие Келлскую книгу, украшали целые страницы замысловатым кельтским узором. Математическая теория узлов была впервые разработана в 1771 году Александром-Теофилем Вандермондом, который явно отметил важность топологических особенностей при обсуждении свойств узлов, связанных с геометрией положения. Возможность математического изучения узлов, наверное, впервые была признана К. Ф. Гауссом. Его исследования по электродинамике (1833) включили аналитическую формулировку числа заузленности, базового инструмента в теории узлов [6].

В XIX веке физики размышляли над природой атомов. Лорд Кельвин, один из лидеров среди физиков в свое время, выдвинул в 1867 году творческую и амбициозную идею о том, что атомы представляют собой завязанные узлами вихревые трубки эфира.

Аргументы в пользу этой идеи можно резюмировать следующим

образом [4, 5].

1) Устойчивость. Устойчивость материи можно объяснить устойчивостью узлов (т. е. их топологической природой).

2) Разнообразие. Разнообразие химических элементов можно объяснить разнообразием различных узлов.

3) Спектр. Вихревые атомы обладают энергетическими состояниями и режимами колебаний, как и физические атомы.

С современной точки зрения, оглядываясь назад, мы могли бы добавить четвертый.

4) Трансмутация. Способность атомов превращаться в другие атомы при высоких энергиях может быть связана с разрезанием и рекомбинацией узлов.

В течение 20 лет теория Кельвина вихревых атомов считалась передовой. Приговор Максвелла был таким: вихревой атом удовлетворяет большему количеству условий, чем любой другой, который до сих пор рассматривался.

Сотрудник Кельвина П. Дж. Тейт провел обширное исследование и классификацию узлов. Он перечислил узлы с точки зрения числа пересечений проекции плоскости, а также сделал несколько прагматических открытий, которые с тех пор были названы «гипотезами Тейта». После того, как теория Кельвина была отвергнута как атомарная теория, изучение узлов стало эзотерическим разделом чистой математики.

Несмотря на большие успехи топологов в двадцатом веке, гипотезы Тейта сопротивлялись всем попыткам их доказать до конца 1980-х годов. Новые инварианты Джонса [16] оказались достаточно мощными, чтобы

довольно быстро избавиться от большинства гипотез.

Одним из первых достижений современной топологии было открытие в 1928 году полинома Александера для узла. Хотя это не помогло доказать гипотезы Тейта, это был чрезвычайно полезный инвариант узлов и значительно упростил эффективную классификацию узлов. Многочлен Александера возникает из гомологии бесконечного циклического накрытия дополнения к узлу. Эквивалентно это может быть получено из рассмотрения когомологий узлового дополнения с коэффициентами в плоском линейном расслоении. Это в значительной степени является контекстом эффекта Ааронова-Бома.

Более 50 лет многочлен Александера оставался единственным в своем роде инвариантом узлов. Поэтому для всех экспертов было большим сюрпризом, когда в 1984 году Воан Джонс открыл еще один полиномиальный инвариант узлов. Как уже упоминалось, это оказалось чрезвычайно полезным и позволило подтвердить несколько гипотез Тей-та.

Математические основы теории узлов были заложены в работах Карла Фридриха Гаусса, Джеймса Клерка Максвелла, Питера Гутри Тейта и Уильяма Томсона (Лорда Кельвина). Их интерес к узлам был тесно связан с теорией электромагнетизма. В частности, в работе была дана «хорошая» интерпретация интегральной формулы Гаусса для коэффициента зацепления двух узлов в трехмерном пространстве. Отметим также, что поверхность Зейферта, границей которого является некоторый данный узел, была обнаружена Тэйтом на основании физического исследования. Благодаря усилиям Йохана Бенедикта Листинга, Кюрта

Вернера, Курта Райдемайстера, Макса Вильгельма Дэна теория узлов была применена в более общей теории трехмерных многообразий, было определено понятие фундаментальной группы, и теория групп стала одним из наиболее важнейших инструментов в теории узлов. Во второй половине ХХ века Роберт Райли заметил примеры гиперболических структур на некоторых узлах и дополнениях зацеплений в трехмерной сфере [14]. Позже Уильям Пауль Терстон доказал теорему существования ри-мановой метрики постоянной отрицательной кривизны на трехмерных многообразиях [10]. Теория узлов нашла применение во многих областях науки и техники, в частности, в статистической механике, молекулярной биологии, химии и компьютерном моделировании.

В 1877 году П.Г. Тейт опубликовал первую в серии работ, посвященных перечислению узлов. Теория атома Лорда Кельвина утверждала, что химические свойства элементов связаны с образованием узлов между атомами, подразумевая, что понимание химии может быть получено с пониманием узлов. Это побудило Тейта начать составлять список всех узлов, которые можно было нарисовать с небольшим количеством пересечений. Первоначально проект был сосредоточен на узлах из 5 или 6 пересечений, но к 1900 году его работа, наряду с работой К. Н. Литтла, почти завершила подсчет узлов из 10 пересечений.

Тейт рассматривал два узла как эквивалентные или одного типа, если один из них можно было деформировать, чтобы он выглядел как другой, и искал перечисление, которое включало бы каждый тип узла только один раз. Всем очевидно, в чем трудность этой задачи. На данный момент узел можно представить просто как веревочную петлю.

Когда Тейт начал свою работу в этом направлении, формальная математика, необходимая для исследования, была недоступна. Аргументы в пользу полноты его списков убедительны, но свидетельство того, что перечисленные узлы различны, было эмпирическим. Разработка средств доказательства того, что узлы различны, остается наиболее важной из многих проблем, предложенных Тейтом.

Работы на рубеже веков поставили предмет топологии на прочную математическую основу, и стало возможным точно определять объекты теории узлов и доказывать теоремы о них. В частности, в предмет исследования были введены алгебраические методы, которые позволили доказать, что узлы действительно различны. Наибольшим успехом в этот ранний период было доказательство М. Дена в 1914 году того, что два простейших на вид узла, правый и левый трилистник, представляют разные типы узлов; то есть невозможно деформировать один, чтобы он был похож на другой.

В 1928 году Дж. Александер описал метод сопоставления каждому узлу многочлена, который теперь называется многочленом Александе-ра, так что если один узел можно деформировать в другой, оба будут иметь один и тот же связанный многочлен. Этот инвариант сразу же стал особенно мощным инструментом в данной области.

Первоначальные определения и аргументы Александера были комбинаторными и основывались исключительно на изучении диаграммы узла, без обращения к алгебре, которая уже продемонстрировала свою эффективность.

К 1932 году тема теории узлов была достаточно развита, и в

этом же году К. Райдемейстер опубликовал первую книгу об узлах -«Кпс^епЛеопе». Инструменты, которые он представил в тексте, теоретически достаточны, чтобы различить почти любую пару отдельных узлов, хотя на практике для узлов со сложными диаграммами вычисления часто бывают слишком длинными, чтобы их можно было использовать.

Одной из тем, которая к тому времени была хорошо известна, было изучение семейств узлов. Наиболее интересное семейство образуют тори-ческие узлы, названные так потому, что их можно нарисовать лежащими на поверхности тора. М. Ден и О. Шрайер использовали группово-теоретические методы для первого доказательства того, когда ториче-ские узлы будут одинаковыми.

Позднее, с появлением теории Райдемейстера, Х. Зейферт совершил важное открытие. Он продемонстрировал, что если узел является границей поверхности в трехмерном пространстве, то эту поверхность можно использовать для изучения узла. Он также представил алгоритм построения поверхности, ограниченной любым заданным узлом. Этот подход, безусловно, имел практическое значение, поскольку давал эффективные средства для вычисления многих известных инвариантов. Что еще более важно, он заложил основу для использования геометрических методов в предмете, в котором до этого доминировали комбинаторика и алгебра.

В 1947 г. Х. Шуберт с помощью геометрических методов доказал ключевой результат о разложении узлов. Узел называется простым, если его нельзя разложить в связную сумму нетривиальных узлов. Шуберт доказал, что любой узел может быть разложен единственным образом в

связную сумму простых узлов.

В отличие от проблемы выделенных узлов проблема разработки общих средств доказательства того, что один узел можно деформировать в другой, осталась нетронутой. Все изменилось в 1975 году. В начале века Ден дал неверное доказательство того, что стало известно как лемма Де-на. Грубо говоря, в нем утверждалось, что если узел нельзя отличить от тривиального узла с помощью алгебраических методов, то он является тривиальным. В 1957 г. К. Папакириакопулосу удалось доказать лемму Дена, и вскоре она стала центральным элементом ряда крупных разработок в этой области. Одно из особых примечаний произошло в 1968 г., когда Ф. Вальдхаузен доказал, что два узла эквивалентны тогда и только тогда, когда некоторые алгебраические данные, связанные с узлами, одинаковы. В этой работе существенную роль сыграло взаимодействие между алгеброй и геометрией, а связь между ними обеспечивалась леммой Дена.

1950-1970-е годы также ознаменовались обширным изучением классических инвариантов узлов, в частности их связи с различными свойствами узлов. Например, К. Мурасуги доказал, что если узел можно нарисовать так, чтобы пересечения чередовались сверху вниз, то коэффициенты многочлена Александера меняют знак. В работе Мурасуги также подробно описаны отношения между инвариантами узлов и сим-метриями узлов, что является еще одной важной темой в этом направлении [17].

В совершенно другом направлении важной темой стало исследование узлов более высоких размерностей, таких как связанные с узлами

двумерные сферы в четырехмерном пространстве. В 1960 году эта тема представляла собой собрание небольшого количества примеров. С 1970 года она стала хорошо развитой областью топологии. Также она стала важным источником вопросов, касающихся классических узлов.

С 1970-х годов теория узлов развивалась огромными темпами. Дж. Х. Конвей представил новые комбинаторные методы, которые в сочетании с недавними работами В. Джонса привели к появлению огромных новых семейств инвариантов.

Теория узлов остается актуальной темой и сегодня. Многие фундаментальные вопросы, некоторые из которых восходят к первой статье Тейта по этой теме, остаются открытыми. С другой стороны, результаты последних лет обещают дать много новых открытий.

В 1975 году Роберт Райли нашел некоторые примеры гиперболических структур на дополнениях узлов и зацеплений на трехмерной сфере. Семь из них, так называемые «великолепные узлы», были рассмотрены в [13]. Еще один очень важный случай узла восьмерка был исследован в его монографии [14, 15]. Позже весной в 1977 году У. П. Терстон объявил теорему о существовании римановой метрики постоянной отрицательной кривизны на трехмерных многообразиях. В частности, оказалось, что дополнение к простому узлу (за исключением торических и сателлитных) обладает полной гиперболической структурой. Этот факт открыл возможность рассматривать теорию узлов как часть геометрии и теории дискретных групп. Новые геометрические методы были введены У. П. Терстоном (гиперболическая геометрия), У. Миксом и С. Т. Яу (минимальная поверхность), А. Д. Медных (геометрии постоянной кривизны),

и вместе они дали новые важные идеи и результаты. Наконец, в 1988 г. К. М. Гордон и Дж.Люке решили одну из фундаментальных проблем теории узлов. Многие методы теории узлов сосредотачиваются не на самом узле, а на его дополнении в трехмерном пространстве; Гордон и Люке доказали, что узлы с эквивалентными дополнениями сами эквивалентны.

В данной диссертации представлены методы моделирования узлов и зацеплений в трёхмерных пространствах с заданной постоянной кривизной. Найдены точные аналитические формулы для объема их конических многообразий в соответствующих пространствах.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на заседаниях семинаров «Геометрическая теория функций» Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН под руководством д.ф.-м.н., проф. А. Д. Медных, чл.-корр. РАН А. Ю. Веснина, д.ф.-м.н., проф. В. В. Асеева; «Римановы поверхности и графы» Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН под руководством д.ф.-м.н., проф. А. Д. Медных; на семинаре по геометрическому анализу Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН под руководством д.ф.-м.н., проф. С. К. Водопьянова.

Кроме того, результаты диссертации докладывались на Международной научной студенческой конференции, Новосибирск, 2021-2024 гг. (4 доклада), Международном молодежном научном форуме «Ломоносов», Москва, 2021-2024 гг. (4 доклада), Международной (54-ой всерос-сийкой) молодежной школе-конференции «Современные проблемы математики и ее приложений», Екатеринбург, 2023 г.

Основные результаты диссертации опубликованы в научных жур-

налах, рекомендованных для соискателей ученых степеней кандидата и доктора физико-математических наук ([43]-[46]), две из которых индексируются в Scopus (квартиль Q2), а одна — в Scopus (квартиль Q4) по данным Scimago Journal Ranking.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Каждая глава, в свою очередь, разбита на несколько параграфов. Нумерация формул состоит из двух чисел - номера главы и порядкового номера формулы в главе. Таким же образом нумерованы рисунки и таблицы. Для замечаний и теорем используется сплошная нумерация. Работа содержит 16 иллюстраций. В список литературы входит 46 использованных источников, которые приведены в порядке их цитирования. Опубликованные работы автора по теме диссертации выделены в отдельную часть списка литературы. Общий объем диссертации - 92 страница.

Автор выражает огромную благодарность руководителю Александру Дмитриевичу Медных за полученные знания, всестороннюю заботу и руководство работой над диссертацией, а также Николаю Владимировичу Абросимову и Лилии Александровне Грюнвальд за совместную работу и советы по написанию диссертации.

Автор также выражает особенную благодарность Ларисе Ивановне Каноненко за внимательное прочтение текста диссертации и исправление грамматических ошибок.

Во введении приводится краткая история о зарождении бурно развивающейся в настоящее время геометрической теории узлов. А также изложены актуальность и структура полученных результатов.

Глава 1 посвящена основным понятиям и определениям, используемым в представлении результатов диссертации.

Глава 2 посвящена моделированию двумостовых узлов в пространствах постоянной кривизны. Представлены условия существования геометрических структур на конических многообразиях над двумостовыми узлами и точные аналитические формулы для их гиперболических объемов.

Глава 3 посвящена моделированию узла трилистник с одним мостом в евклидовой и гиперболической геометриях. Приведены условия существования соответствующих конических многообразий и точные интегральные формулы для их объемов в терминах конических углов.

Глава 4 посвящена моделированию так называемого «магического» зацепления (в таблице Рольфсена имеет обозначение 6^) в геометрии Лобачевского. Дополнительно в этой главе представлен результат о рациональности порождающей функции для числа корневых остовных лесов в циркулянтных графах четной и нечетной валентностей.

В заключении сформулированы основные выводы, обобщающие полученные результаты, а также приведены перспективы для дальнейших исследований.

Глава 1

Предварительные сведения

В настоящей главе диссертации приведены общие сведения. В параграфе 1.1 данной главы приведены обозначения и определения, используемые в диссертации. Параграф 1.2 содержит общие сведения о некоторых моделях трехмерного гиперболического пространства. В параграфе 1.3 приведено дифференциальное уравнение Шлефли, которое применяется для определения объема параметрических многогранников. Материал данной главы изложен в соответствии с работами [10, 11, 12, 29].

1.1 Основные понятия и определения теории узлов

Узлом называется подмножество ¡З3 (или К3), (кусочно-линейно) гомеоморфное одномерной сфере ¡З1 (Рис. 1.1). Формально узел опре-

деляется как гладкое или кусочно-линейное отображение f : 81 ^ М3, которое является вложением, то есть отображением без самопересечений.

Рис. 1.1. Примеры узлов

Если вместо одной окружности 81 мы рассматриваем конечное число окружностей, то такое вложение называется зацеплением [Рис. 1.2]. Узел можно рассматривать как частный случай зацепления, состоящего из одной компоненты. Обычно узел обозначается большой латинской буквой К, а зацепление через Ь.

Рис. 1.2. Примеры зацепления

Дополнением узла К называется открытое многообразие §3 \К.

Группой узла К будем называть фундаментальную группу дополнения узла ¡З3\К.

Два узла (или зацепления) называются эквивалентными, если существует изотопия ^ : К3 х [0,1] ^ К3, переводящая один узел в другой. Это означает, что один узел можно непрерывно деформировать в другой без разрыва или самопересечения.

Все эти понятия аналогичным образом определяются для зацепления.

Для изучения узлов и зацеплений удобно использовать их проекции на плоскость. Такая проекция при условии, что она имеет конечное число двойных точек пересечения, называется диаграммой узла [Рис. 1.1, 1.2]. На диаграмме узла в местах пересечения указывается, какая часть узла проходит «сверху», что позволяет однозначно восстановить трёхмерную структуру узла.

1.2 Гиперболическая геометрия

Если узел допускает гиперболическую структуру, то в зависимости от типа вычислений и структур мы используем разные модели гиперболического пространства. Трехмерное гиперболическое пространство является фундаментальным объектом в римановой геометрии, характеризующимся постоянной отрицательной кривизной. Существуют несколько моделей трехмерного пространства Лобачевского. Мы лишь напомним некоторые из них, с которыми будем иметь дело.

Модель в верхнем полупространстве

Одной из наиболее удобных моделей гиперболического пространства является модель верхнего полупространства, которая обладает наглядными аналитическими и геометрическими свойствами.

Модель верхнего полупространства для трехмерного гиперболического пространства определяется как множество

Ни = {(х,у,г) Е М3| г> 0}.

Метрика в этой модели имеет вид ¿в2 = Лх .

Эта метрика индуцирует расстояние, существенно отличающееся от евклидова, делая геометрию пространства принципиально иной. В частности, геодезические, представляющие кратчайшие пути между точками, в этой модели являются либо вертикальными лучами, либо полуокружностями, перпендикулярными плоскости г = 0.

Одной из ключевых особенностей гиперболического пространства является его группа изометрий, которая действует как группа Мёбиуса РБЬ(2, С). Изометрии включают в себя параллельные переносы, растяжения и инверсии относительно окружностей, ортогональных границе пространства. Такое представление позволяет эффективно изучать дискретные подгруппы изометрий, что важно для исследования гиперболических многообразий, теории узлов и динамических систем.

Модель на гиперболоиде

Пусть Я1'3 - пространство Минковского, т.е. пространство М4, снабженное билинейной формой < х,у >= х0у0 — х1у1 — х2у2 — х3у3 (х =

(Хо,Х1 ,Х2,Хз), y =(yo,yi ,У2,Уз) e R4.

Гиперболическая геометрия в модели на гиперболоиде представляется как верхняя половина гиперболоида, заданная в пространстве Мин-ковского Я1'3 уравнением

H = {x = (x0,x1,x2,x4) e Я1,3| < x, x >= 1, x0 > 0}.

Гиперболическое расстояние между двумя точками x и y пространства H3 задается формулой

coshp(x,y) =< x,y > .

Геодезическими в этой модели являются пересечения гиперболоида с плоскостями, проходящими через начало координат. Это означает, что геодезические представляют собой гиперболы, аналогичные большим кругам на сфере в сферической геометрии. Эти свойства позволяют легко описывать движение частиц и потоков в гиперболическом пространстве.

Группой изометрий модели на гиперболоиде является группа Лоренца 0(3,1), а её связная компонента, сохраняющая ориентацию, — это группа Лоренца специального типа S0+(3,1). Эти преобразования включают гиперболические вращения и преобразования Лоренца.

Изометрии можно выразить через матрицы порядка 4, действующие линейно в пространстве Минковского, при этом сохраняя форму квадратичной гиперболической поверхности. Это даёт удобное алгебраическое представление, используемое, например, в теории дискретных групп.

1.3 Формула Шлефли

Основным инструментом для вычисления гиперболического объема конических многообразий является дифференциальная формула Шлефли [29]. Имеет место

Теорема 1 (Шлефли). Пусть С - гладкое однопараметрическое семейство (кривизны К) структур конических многообразий в п—мерном многообразии с сингулярным множеством £ фиксированного топологического типа. Тогда дифференциал объема С удовлетворяет,

где сумма берется по всем компонентам а сингулярного множества £, Уп-2(а) - (п — 2) - мерный объем сингулярного компонента а и 9 (а) -конический угол вокруг а.

Поскольку мы ограничимся только 3-мерными коническими многообразиями постоянной кривизны К, формула Шлефли в этом случае примет следующий вид

где сумма берется по всем компонентам сингулярного множества £ с длинами 1а. и коническими углами а^.

(п — 1)KdV(а) = К-2(а)ад,

(1.1)

Глава 2

Моделирование двумостовых узлов в пространствах постоянной кривизны

В теории узлов с особым интересом изучаются специальные классы узлов таких, как двумостовые узлы, торические узлы и т.п. Это связано с тем, что узлы в одном классе обладают близкими друг к другу свойствами и что они охватывают широкий круг узлов. В данной главе мы представим двумостовые узлы, моделируемые в пространствах постоянной кривизны. Двумостовый узел может быть описан с помощью специального типа диаграммы и обладает важными алгебраическими и геометрическими свойствами.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кутбаев Айдос Бакберген улы, 2025 год

Литература

[1] Arkady L. Kholodenko, Towards physically motivated proofs of the Poincare and geometrization conjectures. Journal of Geometry and Physics, 58: 2 (2008), pp. 259-290.

[2] John Morgan, Gang Tian, Completion of the Proof of the Geometrization Conjecture, preprint.

[3] Izabella Muraro de Freitas, Alvaro KrUger Ramos, Geometrization in Geometry, preprint.

[4] Atiyah, Sir Michael F., "The Mysteries of Space," The 1991 Josiah Willard Gibbs Lecture, San Francisco, California, January 1991, AMS Selected Lectures in Mathematics (video tape).

[5] Atiyah, Sir Michael F., "The Geometry and Physics of Knots,"

Cambridge University Press 1990.

[6] D. Rolfsen, Knots and Links. Publish or Perish, Berkeley, 1976.

[7] Colin C.Adams, The Knot Book. American Mathematical Soc., 1994

[8] The Knot Atlas, https://katlas.org/wiki.

[9] Lydia Chen, The complete book of chinese knotting : a compendium of techniques and variations. Tuttle Publishing, 2007.

[10] W. Thurston, The geometry and topology of 3-manifolds, Lecture notes : Princeton University, 1980.

[11] W. Fenchel, Elementary Geometry in Hyperbolic Space, De Gruyter Studies in Mathematics, 11, 1989.

[12] J. G. Ratcliffe, Foundations of Hyperbolic Manifolds. Springer, 2006.

[13] Riley R. Seven excellent knots. Low-dimensional Topology, 1982, vol. 48, pp. 81-151. https://doi.org/10.1017/CB09780511758935.009

[14] R. Riley, A personal account of the discovery of hyperbolic structure on some knot complements, Expo. Math., 31:2 (2013), 104-115.

[15] Brin M.G., Jones G.A., Singerman D. Commentary on Robert Riley's article "A personal account of the discovery of hyperbolic structures on some knot complements". Expositiones Mathematicae, 2013, vol. 31, no.2, pp. 99-103.

[16] P. de la Harpe, M. Kervaire and C. Weber, On the Jones Polynomial, Enseign. Math., 32 (1986), 271-335.

[17] K. Murasugi, Knot theory and its applications. Birkhauser, 1996.

[18] Ch. Livingston, Knot theory. The Math.Ass.Am., 24 (1993).

[19] Mednykh A.D. Volumes of two-bridge cone manifolds in spaces of constant curvature. Transformation Groups, 2021, vol. 26, no. 2, pp. 601629. https://doi.org/10.1007/s00031-020-09632-x

[20] Porti J. Spherical cone structures on 2-bridge knots and links. Kobe J. Math., 2004, vol. 21, no. 1-2, pp. 61-70.

[21] Cooper D., Culler M., H. Gillet, Long D.D., Shalen P.B. Plane curves associated to character varieties of 3-manifolds. Inventiones mathematicae, 1994, vol. 118, pp. 47-84. https://doi.org/10.1007/BF01231526

[22] J.Weeks, SnapPea, available from the author at www.geometrygames.org.

[23] M. Culler, N. M. Dunfield, M. Goerner, and J. R. Weeks, SnapPy, a computer program for studying the geometry and topology of 3-manifolds, http://snappy.computop.org.

[24] A. Mednykh, A. Rasskazov, On the structure of the canonical fundamental set for 2-bridge link orbifolds, Sonderforschungsbereich 343, 1998.

[25] W. P. Neumann, Notes on geometry and 3-manifolds (with appendix by Paul Norbury), Low dimensional topology, Boroczky, Neumann, Stipsicz, Eds., Bolyai Soc. Math. Studies. 8 (1999), 191-267.

[26] Seifert H., Weber C. Die beiden Dodecaederrame, Math. Z., 37 (1933), 237-253.

[27] W.D. Dunbar, Geometric orbifolds, Rev. Mat. Univ. Complut. Madrid, 1 (1988), 67-99.

[28] D. Derevnin, A. Mednykh, M. Mulazzani, Geometry of Trefoil cone-manifold, Annales Univ. Sci. Budapest, 57 (2014), 3-14.

[29] J. Milnor, How to compute volume in hyperbolic space, Publish or Perish, 1 (1994), 189-212.

[30] R. N. Shmatkov, Properties of Euclidean Whitehead link cone-manifolds, Siberian Advances in Mathematics, 13: 1 (2003), 55-86.

[31] Arkadiusz Jadczyk, Quantum Fractals: From Heisenberg's Uncertainty to Barnsley's Fractality. World Scientific Publishing Co., Singapore, 2014.

[32] N. Abrosimov, B. Vuong, On the volume of hyperbolic polyhedra, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 23: 4 (2017), 7-17.

[33] A. D. Mednykh and I. A. Mednykh. The number of spanning trees in circulant graphs, its arithmetic properties and asymptotic, Discrete Math. 342 (2019), 1772-1781, doi:10.1016/j. disc.2018.08.030.

[34] A.D. Mednykh and I.A. Mednykh. On the rationality of generating function for the number of spanning trees in circulant graphs. Algebra Colloquium 27: 1 (2020) 87-94. DOI: 10.1142/S1005386720000085.

[35] L.A. Grunwald, I.A. Mednykh. The number of rooted forests in circulant graphs. ARS MATHEMATICA CONTEMPORANEA 22 (2022) #P.4.10, https://doi.org/10.26493/1855-3974.2029.01d

[36] L.A. Grunwald, Young Soo Kwon, I.A. Mednykh. Counting rooted spanning forests for circulant foliation over a graph. Tokohu Math. J. 74 (2022) DOI: 10.2748/tmj.20210810.

[37] F.T. Boesch and H.Prodinger. Spanning tree formulas and Chebyshev polynomials, Graphs Comb. 2 (1986), 191-200, doi:10.1007/bf01788093.

[38] X.B. Chen. The numbers of spanning trees in undirected circulant graphs, J. Zhang-zhou Teach. Coll. (Nat. Sci.) 13 (4) (2000) 1-6.

[39] X.B. Chen, Q.Y. Lin, F.J. Zhang. The number of spanning trees in odd valent circulant graphs, Discrete Math. 282 (1) (2004) 69-79.

[40] Y.S. Kwon, A.D. Mednykh, I.A. Mednykh. On Jacobian group and complexity of the generalized Petersen graph GP(n; k) through Chebyshev polynomials, Linear Algebra Appl. 529 (2017) 355-373.

[41] J. Louis. Asymptotics for the number of spanning trees in circulant graphs and degenerating d-dimensional discrete tori, Ann. Comb. 19 (3) (2015) 513-543.

[42] J.C. Mason, D.C. Handscomb. Chebyshev Polynomials, Taylor and Francis, London, 2002.

Работы автора по теме диссертации

[43] У. П. Камалов, А. Б. Кутбаев, А. Д. Медных. О рациональности производящей функции для числа корневых лесов цир-кулянтных графов. Математические труды, 2023, 26:2, 129-137. https://doi.org/10.33048/mattrudy.2023.26.206

[44] Grunwald, Lilya and Qutbaev, Aydos (2022) "On a fundamental polyhedron of a hyperbolic cone-manifold," Bulletin of National University of Uzbekistan: Mathematics and Natural Sciences: Vol. 5: Iss. 4, Article 1, pp. 213-228. https://doi.org/10.56017/2181-1318.1232

[45] Mednykh A.D., Qutbaev A.B. Hyperbolic Volumes of Two Bridge Cone-Manifolds. The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics, 2025, vol. 51, pp. 21-33. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2025.51.21

[46] N. V. Abrosimov, L. A. Grunwald, A. D. Mednykh, A. B. Qutbaev, B. Vuong. Hyperbolic and Euclidean structures on cone-manifolds over trefoil knot with a bridge. Sib Math J 66, Issue 3 (2025). to appear