Модельная система полярона в магнитном поле тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Казарян, Анна Арменаковна

• Казарян, Анна Арменаковна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Казарян, Анна Арменаковна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. СИСТЕМА ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ МОДЕЛИ ПОЛЯРОНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ.

1.1. Свободная энергия полярона.

1.2. Свободная энергия полярона для одночастотного случая.

1.3. Линейный полярон в отсутствии магнитного поля.

1.4. Вычисление свободной энергии полярона методом диагонализации.

1.5. Сравнение двух теорий.

ГЛАВА 2. БОГОЛЮБОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МОДЕЛИ ПОЛЯРОНА И ЕЕ ПОЛНАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ В ПРИБЛИЖЕНИИ

СЛУЧАЙНЫХ ФАЗ.

2. 1. Модель полярона в приближении случайных фаз.

2. 2. Модель полярона в приближении случайных фаз в постоянном магнитном поле.

2.3. Масса полярона.

ГЛАВА 3. КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В ТЕОРИИ ПОЛЯРОНА В СЛУЧАЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ НЕОДНОРОДНОСТИ.

3.1. Теория полярона.

3.2. Фермионная система.

3.3. Эволюционное и кинетическое уравнения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модельная система полярона в магнитном поле»

Основной задачей статистической механики является исследование систем многих взаимодействующих частиц, прежде всего последовательное микроскопическое описание фазовых переходов, эволюции и кинетики динамических систем. При последовательном исследовании макроскопических свойств многочастичных систем на основе микроскопического описания, исходным пунктом должны являться управляющие динамические уравнения или уравнение Лиувилля.

Однако, зачастую, для описания конкретных характеристик и свойств многочастичных систем не требуется знания полной функции распределения и иссследования уравнения Лиувилля, а достаточно работать в рамках сокращенного описания, на основе кинетических уравнений для 5 - частичных функций распределения. При этом необходимо проводить математические исследования условий, при которых переход к сокращенному описанию является корректным.

Такой подход впервые был развит в фундаментальной работе Н.Н.Боголюбова [1], где была показана эквивалентность уравнения Лиувилля и цепочки уравнений для Б - частичных функций распределения, были найдены и исследованы условия (принцип ослабления корреляций), при которых первое уравнение цепочки Боголюбова переходит в кинетическое уравнение Больцмана [2] для одночастичной функции распределения. Первоначальный вывод кинетического уравнения, данный самим Больцманом, носил полуинтуитивный характер и основывался на гипотезе о вероятном числе столкновений. При этом предполагалось, что все эффекты, связанные с корреляциями частиц, пренебрежимо малы. Естественно, что вопрос о рамках применимости кинетического уравнения Больцмана при таком подходе оставался открытым.

В работе [1] показано, что для не очень малых интервалов времени, значительно больших времени столкновения, происходит синхронизация функций распределения, заключающаяся в том, что все частичные функции распределения, выше первой, начинают зависеть от времени только через одночастичную функцию распределения, взятую в тот же момент времени. То есть показана возможность сокращенного описания неравновесных процессов. Кроме того в рамках данного подхода, основанного на основных законах механики и принципе ослабления корреляций, предложена схема нахождения поправок к уравнению Больцмана [3], [4] и соответственно критерии его применимости.

По прошествии достаточно большого времени (времени релаксации) каждая изолированная макроскопическая система переходит в состояние статистического равновесия. То есть объект исследования равновесной статистической механики, равновесное состояние, является частным предельным состоянием макроскопической системы. Из общих соображений ясно, что описание и исследование предельного равновесного состояния должно быть значительно проще, чем описание и исследование тех процессов, в результате которых достигается это состояние.Однако уже получение строгих и адекватных результатов в равновесной теории оказалось довольно сложной задачей, потребовавшей в каждом конкретном случае развития мощных математических методов [5] - [12]. При этом сложнейшим оказался уже вопрос о существовании функции свободной энергии в термодинамическом пределе (N—ьоо, V—>оо, у = const), непосредственно связанной с устойчивостью материи [5], [6], [12] - [17]. Сложность этих задач связана как со сложностью гамильтонианов реальных систем, так и с самой проблемой вычисления термодинамических потенциалов и термодинамических средних по заданному гамильтониану. Эти обстоятельства вынуждают идти на упрощение ситуации. Выделяя самые существенные особенности реальной системы и пренебрегая многочисленными деталями, по полному гамильтониану системы строится упрощенный гамильтониан, который описывает модель данной системы. Например, модельный гамильтониан теории сверхпроводимости (модель БКШ-Боголюбова) [18] - [20] получается редукцией из более общего гамильтониана Фрелиха, гамильтониан Дикке [23] - из полного гамильтониана, описывающего взаимодействие вещества с излучением.

Интерес к модельным системам обусловливается тем, что их изучение вносит существенный вклад в наше понимание весьма сложных задач статистической механики и, в частности, для обоснования приближенных методов. Например, точное решение модели БКШ-Боголюбова в теории сверхпроводимости дало значительный толчок дальнейшему развитию этой теории [21], [22], а точное решение двумерной модели Изинга [24] - [29] и других точно решаемых моделей в статистической физике [30] сыграло большую роль при построении теории фазовых переходов и критических явлений.

Одой из интересных моделей квантовой теории поля, физики твердого тела и статистической физики является модель полярона [31] - [34]: электрона, движущегося в ионном кристале с сопутствующей ему поляризацией. Повышенный интерес к этой модели обусловлен тем, что здесь оказались применимы методы квантовой теории поля [35], [36]. При этом круг возникающих задач для этой модели, например, нахождение эффективной массы квазичастицы, определение подвижности полярона [37] и так далее не поддаются решению в рамках строгого подхода. Следует отметить, что рассмотрение дайной модели в рамках неравновесной статистической физики [38], [39] представляет как большую сложность, так и большой интерес.

Большой интерес представляет строгий подход в неравновесной статистической физике, где получение точных результатов является еще более сложной задачей. В связи с этим важно получение точных эволюционных и кинетических уравнений для различного рода взаимодействующих систем. Математические исследования в физике неравновесных процессов [1] инициированы как чрезвычайной сложностью возникающих в теории задач, так и естественным стремлением распространить идеи и методы строгого подхода, нашедшего успешное применение в равновесной статистической механике [5] - [12], в кинетическую теорию. Большое стимулирующее значение исследований в этом направлении имеет метод изучения эволюции динамических систем, взаимодействующих с бозонным полем, предложенный Н.Н.Боголюбовым в работе [40] и развитый в работах [41] - [43], являющийся принципиальным обобщением метода кинетического уравнения Больцмана в теории электронов, движущихся в кристалле и взаимодействующих с колебаниями решетки I и внешним электрическим полем, а также развитие и применение мощного аппарата двумерных корреляционных и гриновских функций [44], [10] к таким системам.

В работе [40] дан вывод точного эволюционного уравнения для электрон-фононных систем, находящихся под действием внешнего электрического поля. С помощью специально доказанной леммы операторы фононного поля исключены из уравнения и получено обобщенное точное эволюционное уравнение, содержащее только переменные электронной подсистемы. Аналогичное уравнение получено в работе [41] с использованием квантово-полевой техники Г-нроизведений. Обобщение этих результатов на более широкий класс систем дано в работах [42], [43]. В работах [40] - [43] дано применение полученного точного уравнения к конкретным системам. Показано, что для модели полярона при выборе надлежащей аппроксимации можно получить уравнение Больцмана, исследованное в работе [45] при низких температурах, и соотношение Фейнмана-Торнбера, связывающее среднюю скорость движения электрона в криссталле с внешним электрическим полем [46].

Выход за рамки стандартного кинетического уравнения неизбежен и при описании эволюции носителей в конденсированных средах, например, при рассмотрении кинетики электрона с учетом эффектов локализации и авто локализации, а также под действием высокочастотных полей [47].

Действительно, для целого ряда веществ в широком диапазоне экспериментальных условий изучение кинетики электронов не может быть сведено к исследованию в рамках стандартного кинетического уравнения. В связи с этим большой интерес представляют исследования по созданию более мощного подхода к кинетической теории, основанного, например, на эффективных методах квантовой теории поля [48].

Одной из наиболее актуальных задач в данной области является проблема полярона - квазичастицы, образуемой электроном, движущимся в кристалле, с сопутствующей ему поляризацией решетки [43], [49]. Гамильтониан Фрелиха, нашедший успешное применение в ряде задач физики конденсированных сред и теории элементарных частиц, послужил исходной моделью для развития нового метода [40] - [43] исследования электрон-фононпых систем. Этот метод, развитый в основополагающих работах Н.Н.Боголюбова и Н.Н.Боголюбова (мл.), нашел успешное применение и для описания других динамических систем, взаимодействующих с бозонным полем, каким, например, является многочастичная система двухуровневых объектов под действием электромагнитного излучения, описывающая процессы сверхизлучательной генерации [50] - [53], рассматриваемые в нелинейной оптике.

В работе [43], кроме известной модели Фрелиха, рассмотрена также не менее важная линейная модель полярона во внешнем электрическом поле. Линейная модель полярона во внешнем электрическом поле в рамках техники двухвременных корреляционных функций и двухвременных функций Грина решена точно. То есть для этой модели математически строго в термодинамическом пределе (N—>oo, V—>-оо, у = const) вычислены функция свободной энергии, корреляционные функции и функции Грина.

Данная работа посвящена исследованию линейной модели полярона во внешнем магнитном поле, исследованию модели Фрелиха в приближении случайных фаз, а также построению точных эволюционных уравнений для электрон-фононных систем с исключенными бозонными операторами в пространственно-неоднородном случае и получению из них кинетических уравнений в том же пространственно-неоднородном случае [54] - [58].

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Казарян, Анна Арменаковна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации:

1. Линейная модель полярона во внешнем магнитном поле в рамках техники двухвременных корреляционных функций и двухвременных функций Грина решена точно. То есть для этой модели математически строго вычислены: а) двухвременные корреляционные функции; б) двухвременные функции Грина; в) функция свободной энергии в термодинамическом пределе.

2. Рассмотрены и получены явные выражения в одночастотном случае.

3. Проведены сравнения с результатами, полученными в рамках других методов.

4. Исследована модель полярона во внешнем магнитном поле в приближении случайных фаз.

5. Дано другое доказательство леммы Боголюбова-Боголюбова (мл.) в теории динамических систем, взаимодействующих с бозонным полем.

6. Из точного эволюционного уравнения с исключенными бозонными переменными для динамических систем, взаимодействующих с бозонным полем, в частности, модели Фрелиха, при выборе надлежащей аппроксимации получено кинетическое уравнение в пространственно-неоднородном случае.

В заключении автор выражает глубокую благодарность член-корреснонденту РАН, профессору Н.Н.Боголюбову (мл.) за постановку задачи, постоянное внимание, стимулирующие советы и обсуждения. Автор признателен также сотрудникам кафедры Квантовой статистики и теории поля Физического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова, в особенности профессорам Б.И.Садовникову,

П.Н.Николаеву, доц. О.Ю.Шведову, за постоянное внимание, полезные советы и обсуждения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Казарян, Анна Арменаковна, 2010 год

1. Боголюбов Н.Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. -M.-JL: ГТТИ, 1946, -119с.

2. Больцман Л. Лекции по теории газов. М.: ГИТЛ, 1956,-556с.

3. Choh S.T., Uhlenbeck G.E. The Kinetic Theory Of Dense Gases.-Univ. of Michigan, 1958.

4. Dorfman J.R., Cohen E.G.D. On the density expansion Of the pair distribution function for a dense gas not in equilibrium.- Phys. Lett., 1965, V.16, №, p.124-125.

5. Боголюбов H.H., Хацет Б.И. О некоторых математических вопросах теории статистического равновесия. ДАН СССР, 1949, т.66, №3, с.321-324.

6. Боголюбов Н.Н, Петрина Д.Я., Хацет Б.И. Математическое описание равновесного состояния классических систем, основанное на каноническом формализме. ТМФ, 1969, т.1, №2, с.251-274.

7. Bogolubov N.N. On some problems of the theory of superconductivity.- Physica, I960, V.26, Suppl, p. 1-16.

8. Боголюбов Н.Н. Квазисредние в задачах статистической механики.- Дубна, 1963, 123с. (Препринт ОИЯИ Р-1451).

9. Боголюбов Н.Н.(мл.) Метод исследования модельных гамильтонианов.- М.: Наука, 1974. 176с.

10. Боголюбов Н.Н.(мл.), Садовников Б.И. Некоторые вопросы статистической механики. М.: Высшая школа, 1975. -352с.

11. Боголюбов Н.Н.(мл.) Бранков Й.Г, Загребнов В.А, Курбатов A.M., Тончев Н.С. Метод аппроксимирующего гамильтониана в статистическойфизике. София: Изд-во БАН, 1981. - 246с.

12. Рюэль Д. Статистическая механика. Строгие результаты. М.: Мир. 1971. -367с.

13. Van Hove L. Omelques proprieties generales de l'integrale de configuration d'un systeme de particules avec interaction. -Physica, 1949, v.15, №5, p.951-961.

14. Lee T.D., Yang C.N. Statistical theory of equations of state and phase transitions I.-Phys. Rev., 1952, v.87, №2, p.404-410.

15. Yang C.N., Lee T.D. Statistical theory of equations of state and phase transitions II, Lattice Gass And Ising Model. Phys. Rev., 1952, v.87, №2, p.410-419.

16. Lieb E.,Lebowitz J.L. The constitution of matter; existence of thermodynamics for systems composed of electrons and nuclei. Adv. Math., 1972, v.9, №3, p.316-398.

17. Дайсон Ф., Монтролл M., Кац M., Фишер M. Устойчивость и фазовые переходы. М.: Мир, 1973. 375с.

18. Боголюбов Н.Н. К вопросу о модельном гамильтониане в теории сверхпроводимости. Дубна, 1960. - 99с. ( Препринт ОИЯИ, Р-511).

19. Bardeen J., Cooper L.N., Schriefïer J.R. Microscopic theory of superconductivity. -Phys. Rev., 1957, v.106, №1, p.162-164.

20. Bardeen J., Cooper L.N., Schrieffer J.R. Microscopic theory Of superconductivity. -Phys. Rev., 1957, v.108, №5, p.1175-1204.

21. Шриффер Дж. Теория сверхпроводимости. M.: Наука, 1970.-311с.

22. Боголюбов Н.Н., Толмачев В.В., Ширков Д.В. Новый метод втеории сверхпроводимости.- М; АН СССР, 1958. 128с.

23. Dicke R.H. Coherence in spontaneous radiation processes. Phys. Rev, 1954, v.93, №1, p.99-110.

24. Onsager L. Crystal Statistics, I, A Two-Dimensional Model With an Order-Disorder Transition. Phys. Rev, 1944, v.65, №1, p.117-149.

25. Shultz T, Mattis D.C, Lieb E. Two-Dimentional Ising Model As a Soluble Problem Of Many Fermions. Rev. Mod. Phys. 1964, v.36, p.856-871.

26. Хуанг К. Статистическая механика. М.: Мир, 1966. -520с.

27. Браут Р. Фазовые переходы. М.: Мир, 1967. - 288с.

28. Фишер М. Природа критического состояния. М.: Мир, 1968. -221с.

29. Стенли Г. Фазовые переходы и критические явления. М.: Мир, 1973. - 420с.

30. Бэкстер Р. Точно решаемые модели в статистической механике. -М.: Мир, 1985. -486с.

31. Пекар С. И. Авто локализация электрона в диэлектрической поляризующейся среде. ЖЭТФ, 1946, т. 16, №4, с.335-340.

32. Ландау Л.Д., Пекар С.И.Эффективная масса полярона.- ЖЭТФ, 1948, т. 18, №5, с.419-423.

33. Пекар С.И. Исследования по электронной теории кристаллов, -M.-JL: ГТТЛ, 1951. -251с.

34. Froehlich Н. Theory of the Superconductivity State I. The Ground State at the Absolute Zero of Temperature.- Phys. Rev, 1950, v.79, №4, p.845-856.

35. Боголюбов Н.Н. Об одной новой форме адиабатической теории возмущений в задаче о взаимодействии частицы с квантованным полем.- УМЖ, 1950, т.2, №2, с.2-24.

36. Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям.- М.: Мир, 1968. 382с.

37. Feynman R., Hellwarth R., Iddings С., Platzman P. Mobility of slow electrons in a polar crystal. Phys. Rev., 1962, v.127, №4, p.1004-1017.

38. Балеску P. Равновесная и неравновесная статистическая механика.- М.: Мир, 1978. т.1 405с.; т.2 - 399с.

39. Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т.З. Теория неравновесных систем. Едиториал УРСС, 2003, 448с.

40. Bogolubov N.N. Kinetic equations for the electron-phonon system. -Dubna, 1978. 70p. (Preprint JINR E17 11822).

41. Боголюбов Н.Н.(мл.) Кинетическое уравнение для динамической системы, взаимодействующей с фононным полем. ТМФ, 1979, т.40, №1, с. 77-94.

42. Боголюбов Н.Н., Боголюбов Н.Н.(мл.) Кинетическое уравнение для динамической системы, взаимодействующей с фононным полем,-ЭЧАЯ, 1980, т. 11, вып.2, с.245-300.

43. Боголюбов Н.Н., Боголюбов Н.Н.(мл.) Аспекты теории нолярона. М.: ФИЗМАТ, 2004. 175с.

44. Боголюбов Н.Н., Боголюбов Н.Н.(мл.) Введение в квантовую статистическую механику. М.: Наука, 1984. - 384с.

45. Devreese J.T., Evrard R. Linear and Nonlinear Transport in Solids, edited by Devreese J.T. and Van Doren V.E., Plenum Press, 1976.

46. Thornber К.К., Feynman R.P. Velocity acquired by an electron in a finite electric field in a polar crystal. Phys. Rev, 1970, v.Bl, №10, p.4099-4114.

47. Поляроны (Сб. статей под ред. Фирсова В.А.). М.: Наука, 1975. - 423с.

48. Кочетов Е.А, Кулешов С.П, Смондырев М.А. Функциональный вариационный подход в теории полярона. В кн.: Труды 2-ого Международного симпозиума по избранным проблемам статистической механики. Дубна, 1981. с. 70-93 (Сообщения ОИЯИ D17-81-758).

49. Фейнман Р. Статистическая механика. М.: Мир, 1975. -407с.

50. Боголюбов Н.Н.(мл.), Фам Ле Киен, Шумовский А.С. О кинетическом уравнении для двухуровневой системы, взаимодействующей с электромагнитным полем. ТМФ, 1982, т.52, №3, с.423-443.

51. Боголюбов Н.Н.(мл.), Фам Ле Киен, Шумовский А.С. Об интенсивности сверхизлучательной генерации в двухуровневых системах ТМФ, 1984, т.60, №2, с.254-261.

52. Боголюбов Н.Н.(мл.), Казарян А.Р, Курбатов A.M., Нескоромный В.Н. Функции Грина в модели Дикке I. Эволюционное уравнение ТМФ, 1983, т,54, №1, с. 147-153.

53. Боголюбов Н.Н.(мл.), Казарян А.Р, Курбатов A.M., Нескоромный В.Н. Функции Грина в модели Дикке И.Сверхизлучающее состояние -ТМФ, 1984, т.59, №2, с. 249-261.

54. Ghazaryan А.А. THE LINEARIZED POLARON MODEL SYSTEM IN A MAGNETIC FIELD. International Journal of Modern Physics B, v.22, №28(2008) 5015-5026.

55. Bogolubov N. N.(jr.),Ghazaryan A. A., Prykarpatsky Y.A. The Bogolubov representation of the polaron model and its completely integrable RPA-approximation. TRIEST, 2009, 13,(Preprint ICTP IC/2009/094).

56. Боголюбов H.H.(мл.), Казарян A.A. Кинетические уравнения в теории полярона в случае пространственной неоднородности ЭЧАЯ, 2010, вып.7.

57. Landau L.D. Z.Phys., 3 (1933) р.664.

58. Feynman R.P. Phys.Rev. 97, p.660-665 (1955).

59. Froehlich H., Pelzer H., Zineau S., Philos. Mag. 41, 221 (1950).

60. Bogolubov N.N.(jr.), Soldatov A.V. WICK'S SYMBOL APPROACH TO THE FRÖHLICH POLARON PROBLEM. Special issue of Ukr. Fizich. Jour., 9, 2009, v.154.

61. Alexandrov A.S., Krebs A.B. Polarons in high-temperature superconductors. Sov. Phys. Usp. 35 (5), May 1992, p.345.

62. Firsov Yu., Kudinov E., Sov. Fizika tverdogo tela, 1997, v.39, p.215

63. A. Ercelebei and M. Tomak // Solid State Commun. V. 54, p. 883, 1985.

64. A. Thilagam and J. Singh // Phys. Rev. V. 49, p. 135, 1994.

65. Hai G.Q, Peeters F.M, Devreese J.T, Wendler L. Screening of the electron-phonon interaction in quasi-one-dimentional semiconductor structures. Phys. Rev. 48, p. 12016-12022 (1993).

66. Buonocore F, Ladonisi G, Ninno D, Ventriglia F. Phys. Rev. В 65 205415 (2002).

67. Боголюбов H.H., Крылов H.M. Приближенные методы нелинейной механики, примененные к теории стационарных колебаний. Записки кафедры математической физики. Киев: АН УРСР, 1939, т.4, с. 5.

68. Larsen D.M. Phys.Rev. 172, 967 (1968).

69. Devreese J.T, Brosens F. Rigorous ground state energy of a linearized model of a polaron in a magnetic field.Phys. Stat. Sol, v.В 145, p.517 (1988).

70. Peeters F.M, Devreese J.T. Phys. Rev. В 25, 72817301 (1982).

71. Devreese J.T, Evrard R. Kartheuser E. Self-consistent equation-of-motion approach for polarons. Phys. Rev. В 12, 3353 (1975).

72. Боголюбов H.H, Боголюбов Н.Н.(мл.) Аспекты теории полярона. Дубна, 1981, 132с. ( ОИЯИ, Р17-81-65).

73. Bogolubov N.N, Bogolubov N.N.(jr.). Polaron theory. Gordon and Breach Sci. Relativistic quantum fields. Mc Graw-Hill Book Co, NY, 1965.

74. Исихара А. Статистическая физика. M.: Мир 1973г.

75. Боголюбов Н.Н.(мл.), Плечко В.Н. Теория возмущений в модели полярона. ТМФ, 1985, 65, №3, 423-434с.

76. Lieb Е.Н, Thomas L.E. Exact Ground State Energy of the Strong

77. Coupling Polaron. Commun. Math. Phys. 1983, 183, 11-519.

78. Lee T.D., Low F.E., Pines D. The motion of slow electrons in a polar crystal. Phys. Rev. 1953, v.90, p.297

79. Митропольский Ю.А., Боголюбов H.H. (мл.), Прикарпатский А.К., Самойленко В.Н. Интегрируемые динамические системы. "Наукова Думка", Киев, 1987.

80. Петрина Д.Ю. Математические основы квантовой статистической механики. АН Украины, Институт математики, Киев, 1995.

81. Raimes S. Many-electron theory. North-Holland Publ., 1972.

82. Дирак П. Принципы квантовой механики. М.: Наука, 1979г., 480с.

83. Rodriges К., Fedyanin V.K. Fiz. Elem. Chastits Atom. Yadra, 1984, 15, p.870

84. Lieb E.H., Seiringer R. Bose-Einstein condensation. Rep. Math. Phys., 2007, 59, №3, p.389-399.

85. Doria M.M., MenikofF R., Sharp D.H. Magnetophonons in the two-dimentional liquid state of interacting charged particles. Phys. Rev. (A), 1988, v.37, №7,p. 2605-2607

86. Kochetov E.A., Kuleshov S.P., Smondyrev M.A. Functional variational approach to polaron models. Fiz. Elem. Chastits Atom. Yadra, 1982, 13, p.635-666.

87. Боголюбов H.H., Боголюбов H.H. (мл.). Обобщенное кинетическое уравнение для динамической системы, взаимодействующей с фононным полем. ТМФ, 1980, т.43, №1, с. 3-17.