Модификация метода множителей Лагранжа с независимой границей для термомеханических контактных задач тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Соломенцева Полина Владимировна

• Соломенцева Полина Владимировна
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Соломенцева Полина Владимировна

Введение

1 Глава 1. Математические модели термомеханического контакта

1.1 Задача контакта в модели электромагнитного ускорителя масс

1.2 Задача контакта в модели тепловыделяющего элемента

1.3 Определяющие уравнения контактных задач

1.3.1 Модель упругого деформирования тел

1.3.2 Моделирование контактного взаимодействия

1.4 Двумерная плоско-деформированная постановка задачи об электромагнитном ускорителе рельсового типа

1.5 Осесимметричная постановка задачи о твэле

1.6 Выводы

2 Глава 2. Численные методы решения задач

2.1 Численное решение задач теории упругости

2.1.1 Учет граничных условий при численном решении

2.2 Учет контактного взаимодействия

2.2.1 Алгоритм расчета с независимой границей контакта

2.3 Методы построения контактной кривой

2.3.1 Базовый алгоритм для построения контактной кривой

2.3.2 Модификации методов построения контактной кривой

2.4 Выводы

3 Глава 3. Программная реализация и тестирование метода

3.1 Описание основных модулей программного комплекса

3.1.1 Модуль СоМа^РгоЫетРЕМ

3.1.2 Модуль Е1а8йсКегпе1

3.1.3 Модуль 8рНпеР1оШЬ

3.1.4 Модуль 8оЬ/егЕ1§еп

3.1.5 Модуль \\Г| Н с!»1/|Ь

3.2 Решение тестовых задач

3.2.1 Стационарная тепловая задача без источников

3.2.2 Стационарная тепловая задача с источником

3.2.3 и внутреннее нагружение упругой трубы

3.2.4 Взаимодействие одинаковых брусков

3.2.5 Взаимодействие брусков с наклонной границей контакта

3.2.6 Взаимодействие брусков с криволинейной границей контакта

3.2.7 Задача о теплообмене между двумя вложенными трубами

3.2.8 Задача о механическом контакте двух труб

3.2.9 Задача о термоупругом нагружении трубы

3.3 Выводы

4 Глава 4. Результаты расчетов модельных задач

4.1 Задача об электромагнитном ускорителе рельсового типа

4.2 Задача о тепловыделяющем элементе атомного реактора

4.2.1 Взаимодействие топливной таблетки с оболочкой твэла в нормальном режиме

4.2.2 Взаимодействие топливной таблетки с оболочкой твэла во внештатном режиме

4.2.3 Взаимодействие топливной таблетки крестообразной формы

с оболочкой твэла

4.3 Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модификация метода множителей Лагранжа с независимой границей для термомеханических контактных задач»

Введение

Контактные задачи являются важными и актуальными в механике, физике, инженерных науках и многих других прикладных дисциплинах. Они возникают в различных областях науки и техники, таких как биомеханика, строительство, аэрокосмическая промышленность, атомная энергетика и другие. Довольно часто моделирование контактного взаимодействия требуется для определения оптимальных параметров системы, как физических, так и геометрических, а также для последующего анализа критических ситуаций в процессе работы механизма или устройства.

Во многих задачах критически важен анализ напряженного - деформируемого состояния системы, особенно при работе в экстремальных режимах. В случае, когда тела физически воздействуют друг на друга, такой анализ возможен только при учете контактных условий между телами. Дополнительные напряжения, возникающие в зоне контакта, могут оказывать серьезное влияние на работу всего механизма, в том числе могут приводить к разрушению его элементов. Поэтому важно моделирование таких ситуаций, а также анализ возможных сценариев работы устройства, особенно если дело касается важных процессов, таких как, например, работа тепловыделяющего элемента атомного реактора или работа биомеханического устройства в теле человека.

В данной работе рассмотрены две задачи, в которых механическое контактное взаимодействие играет решающую роль. Первая из них — математическая модель электромагнитного ускорителя рельсотронного типа. Взаимодействие метаемого тела и токопроводящих рельсов может привести к разрушению канала установки. Вторая — модель тепловыделяющего элемента атомного реактора, где термо-механический контакт топливной таблетки из диоксида урана и циркониевой оболочки определяет эффективность работы и нагрева теплоносителя. Рассмотрим эти задачи подробнее.

Электромагнитный ускоритель масс.

Электромагнитный ускоритель масс рельсотроппого типа, предложенный в |15|, представлял собой большой контур из магнитов, позволяющий запускать метаемое тело па расстояние, превосходящее показатели аналогичных устройства, использующие химическую реакцию веществ. Сейчас рельсотропы рассматриваются как перспективные экологичные устройства для доставки грузов па космические станции. Также они могут применяться для исследования поведения материалов при критических нагрузках, гиперскоростях, высоком давлении и температуре и в других сферах.

Рис. В.1. Установка PEGASUS |23|

Современные электромагнитные ускорители состоят из якоря, как правило, довольно сложной формы, проводящих рельсов иногда с дополнительными витками подмагпичивапия изоляторов и внешней силовой оболочки. Иногда под "якорем" подразумевается метаемое тело. Электромагнитные ускорители применяются для разных целей, например, для проведения экспериментов и исследований в области физики — так используется установка PEGASUS в Национальной Лаборатории Лос-Аламоса (Рис. В.1) |23|. В процессе своей работы рельсотрон подвергается значительным динамическим нагрузкам, токопроводящие рельсы при работе устройства нагреваются и расширяются, вступая в механический контакт с изолятором, а тот в свою очередь — с оболочкой. Это может привести к деформи-

рованию элементов конструкции или даже разрушению. Поэтому математическое моделирование и оценка напряженно-деформированного состояния электромагнитных ускорителей является актуальной и важной задачей.

Тепловыделяющие элементы ядерных реакторов.

Главным элементом конструкции активной зоны ядерного реактора является тепловыделяющая сборка (TBC), представляющая собой пучок тепловыделяющих элементов (твэлов) длиной 2.5 - 3.5 метров. В одной TBC может содержаться разное количество твэлов, например, в РБМК-1000 (Реактор большой мощности канальный), созданном в СССР, содержится 18 стержневых твэлов в каждой сборке [134], а в реакторе ВВЭР-1200 (водо-водяной энергетический реактор) — уже 312 [116].

Рис. В.2. ТВС-2М, тепловыделяющая сборка реактора ВВЭР-1200

Сам тепловыделяющий элемент состоит из топливного сердечника, в который помещают ядерное топливо, и оболочки, служащей для предотвращения попадания осколков деления в теплоноситель. Сердечник может быть металлическим, металлокерамическим или керамическим. В первом случае часто используют в качестве основного материала уран, торий или плутоний, а также их сплавы с цирконием, хромом, алюминием или цинком [63]. Для металлокерамических сердечников используют пресованные смеси порошка алюминия и урана. Для кера-

мичсских сердечников используют сплав оксида или карбида урана или тория. В большинстве энергетических ядерных реакторов применяют сердечники в виде таблеток из диоксида урана {и02).

Оболочка в твэле играет пе менее важную роль. Она нужна для предотвращения попадания продуктов деления топлива в теплоноситель, так как это может спровоцировать распространение радиоактивных элементов в активную зону и контур охлаждения реактора. Материал оболочки твэла должен обладать, в основном, двумя фундаментальными свойствами: быть стойким к коррозии, эрозии и термической обработке, а также пе должен существенно изменять характер поглощения нейтронов в атомном реакторе. В качестве такого материала часто используют цирконий, алюминий или нержавеющую сталь |95|.

При использовании керамических сердечников между ними и оболочкой делают небольшой зазор, так как топливные таблетки расширяются при работе. Пространство между таблетками и оболочкой заполняют газом для улучшения теплообмена, а, значит, и эффективности работы устройства. Чаще всего в качестве такого газа используют гелий, так как он достаточно хорошо проводит тепло.

На Рис. В.З показано устройство твэла ядерного реактора РБМК, состоящего из заглушки, столба топливных таблеток диоксида урана, циркониевой оболочки, пружины, втулки и наконечника.

Рис. В.З. Устройство твэла реактора РБМК: 1 — заглушка, 2 — топливные таблетки, 3 — оболочка, 4 — пружина, 5 — втулка, 6 — наконечник

В процессе работы ядерного реактора в твэле происходит много процессов, которые необходимо учитывать при математическом моделировании |130|: термоупругое расширение топливных таблеток и оболочки, механический и тепловой

контакт между таблетками и оболочкой, ползучесть таблеток и оболочки, упругое и пластическое деформирование оболочки, растрескивание таблеток, выделение газообразных и летучих продуктов деления под оболочку твэла, изменение структуры топлива, повреждаемость и трегциностойкость материала оболочки в условиях коррозии, теплоотдача на наружной поврехности твэла и другие.

При старте работы устройства твэлу нужно время, чтобы достигнуть требуемой мощности. При этом процессе происходит термическое расширение топлива с уменьшением зазора между таблетками и оболочкой. Повышение мощности может сопровождаться растрескиванием топливных таблеток, а также появлением областей механического контакта, которые приводят к пластическому деформированию оболочки.

При квазистанционарном режиме работы реактора продолжается фрагментация топлива, на ранней стадии наблюдается спекание, а в дальнейшем — распухание топливных таблеток. При этом зазор между таблетками и оболочкой уменьшается, что ведет и к уменьшению температуры топлива. Механическое взаимодействие топлива и оболочки, а также радиационный рост оболочки под действием облучения приводят к удлинению твэла, причем необратимому. Пластические деформации оболочки при этом могут накапливаться, а при сбросе мощности зависание фрагментированного топлива может приводить к образованию зазоров между топливными таблетками.

Моделирование и анализ напряженно-деформированного состояния тепловыделяющего элемента атомного реактора с обязательным учетом механического и теплового контакта между таблетками и оболочкой является, безусловно, актуальной и важной задачей. В базовом приближении при моделировании рассматривается столб топливных таблеток, окруженный цилиндрической оболочкой.

Контактные задачи механики.

Класс контактных задач отдельно выделен в теории механики деформируемого твердого тела. Такие задачи являются нелинейными, так как для их решения необходимо определение контактной границы двух и более тел, а также силы контактного взаимодействия между ними.

Одно из первых исследований в области механики контактного взаимодействия было представлено в [21]. Автор изучал задачу контакта шара и полупространства (задача Герца), которая часто используется в качестве тестовой для анализа свойств разрабатываемых численных методов. Однако разрабатываемая им теория могла быть применена лишь к ограниченному кругу задач: тела, вступающие в контакт, должны быть идеально-упругими, а трение между ними не учитывается.

В работах [108,109] представлены методы теории функций комплексного переменного, а также получены фундаментальные результаты в области теории потенциала, интегральных уравнений и методах интегральных преобразований, использующиеся в дальнейшем для развития теории контактного взаимодействия.

В работах [70-74] представлено расширение теории контактного взаимодействия, в том числе переход от одномерных задач к двумерным, а также решение задачи о растяжении пластинки с круговым отверстием и решение задачи об изгибе балки с круговым отверстием. Результаты, представленные в данных работах, в дальнейшем вошли в основополагающие труды по теории пластичности.

Дальнейшее расширение контактная механика деформируемого твердого тела получила в [101], в которой рассмотрена задача о действии жесткого штампа на упругое полупространство, а также в монографии [136], в которой рассмотрены как уже известные решения основных уравнений для моделирования контактного взаимодействия, так и другие исследования, например, периодическая контактная задача и ряд новых решений для осесимметричной контактной задачи теории упругости.

Отметим вклад в решение задачи авторов работ [29, 52-54, 59, 60, 68, 83,102, 103,115]. Постановки контактных задач исследовались в работах [97,98], также в [65] дан обзор эйлерово-лагранжевых формулировок задач контактной механики сплошных сред. Решения задач контактного взаимодействия с жесткими телами представлены в [61,84,96,110,133].

В [77] приведена статистика, что в США экономические потери от трения, износа и разрушения элементов машин и оборудования составляют около 50 мил-

лиардов долларов в год. В работе [77] рассмотрен широкий круг вопросов контактного взаимодействия тел с поверхностями несогласованной формы, уделено много внимания эффектам неупругости и вязкости, а также накоплению повреждений, сцеплению и скольжению в контактной области. В работе [25] предложена модель ЖК(ЛопЬ80п-Кепс1а11-КоЫп8) для зондов с большим радиусом кривизны, а также малым коэффициентом жесткости. В модели учтен вклад сил Ван-Дер-Вальса на контактной площадке.

Монография [48] охватывает простые начальные формулировки контакта, основы механики сплошных сред, вариационные задачи. Отдельно рассмотрены случаи контактного взаимодействия при малых и больших деформациях. Предложены формулировки для случая без трения и с трением. Отдельная глава посвящена термо-механическому контакту, который возникает во многих системах и устройствах и требует особого внимания. Также рассмотрены различные методы учета контактных ограничений: метод множителей Лагранжа в различных вариациях, метод штрафов, тойаг-метод, метод Нитцше [19], смешанные методы и др. Особое внимание уделено численной реализации.

Одним из наиболее часто используемых численных методов для решения задач в области механики деформируемого твердого тела является метод конечных элеметов (МКЭ). Основная идея метода заключается в аппроксимации неизвестных функций с помощью интерполяционных полиномов, обладающих свойством финитности, то есть определенными лишь на локальных участках расчетной области. Такие участки называются конечными элементами. Система линейных алгебраических уравнений может быть получена с помощью вариационных формулировок решаемой задачи или же с помощью слабых форм уравнений равновесия или движения. В первом случае МКЭ можно рассматривать как вариант метода Ритца, во втором — метода Бубнова-Галеркина-Петрова. Довольно подробно метод и способы его применения описаны в [89, 113]. Универсальность подхода МКЭ дала толчок его всестороннему развитию, в последние 30 лет он активно используется в различных областях науки и техники.

Задачи контактного взаимодействия принадлежат к классу задач с ограниче-

ниями. Для решениях таких задач самыми известными используемыми методами являются метод множителей Лагранжа и метод штрафных функций. Применение метода множителей Лагранжа описано, например, в работах [1,2,7,16,22,27,31, 48,55,64,86,87,119,121], а метода штрафных функций — в работах [8,10,48,51,55]. Контактное взаимодействие между телами накладывает ограничения на движение тел, так как одно тело не может проникнуть в другое, а также, согласно третьему закону Ньютона, силовое воздействие тел друг на друга должно быть одинаковым. При применении метода множителей Лагранжа к энергии системы тел добавляется слагаемое, которое содержит это ограничение, записанное с использованием дополнительных переменных - множителей Лагранжа. В таком случае множители Лагранжа при дискретизации задачи, например, с помощью метода конечных элементов, добавляются в систему алгебраических уравнений в качестве новых неизвестных, что усложняет систему, меняет ее структуру и портрет матрицы, однако позволяет учитывать кинематические условия контакта.

Метод штрафных функций не добавляет новые уравнения в систему, однако кинематические условия контакта точно учесть не удается. К тому же введение большого штрафного коэффициента может привести к плохой обусловленности матрицы системы, а введение слишком малого коэффициента приведет к плохому выполнению кинематических условий контакта. Поэтому выбор штрафных коэффициентов является отдельной нетривиальной задачей.

Кроме описанных выше метода множителей Лагранжа и метода штрафов находит применение еще ряд методов. Например, метод конечных элементов с базисом эрмитовой интерполяции [75,76]. Преимуществом такого подхода является возможность прямого учета контактных условий второго рода — равенства нормальной компоненты напряжений на поверхности контакта, однако платить за это приходится значительным увеличением временных и производственных ресурсов. Данный подход был применен лишь в одномерном случае, в двух и более авторами статьи [75] был признан неоптимальным.

Также для решения контактных задач может быть применен альтернирующий метод Шварца [78,91-93,106,111,112,124]. В данном методе происходит чередо-

вание силовых и кинематических итераций до достижения сходимости по обоим критериям. Более подробно метод описан в [124,131,132]. В работе [92] проведено сравнение результатов численного решения контактной задачи методом Шварца и методом множителей Лагранжа, а также исследовано влияние начального приближения на процесс сходимости.

Уйти от подхода master-slave удалось Питеру Вриггерсу в [30,32-36,38-41]. В своих работах он описывает master-master подход, позволяющий считать тела равнозначными друг другу. Обе поверхности подвергаются одинаковой процедуре учета контактного интеграла. В работе [32] исследован случай без трения, в работе [33], соответственно, трение уже учитывается.

Изучение контактных задач с учетом трения были рассмотрены в [107,126].

В диссертационной работе представлено решение контактных задач с помощью метода множителей Лагранжа. Основным методом для получения системы линейных алгебраических уравнений выбран МКЭ. Метод множителей Лагранжа является одним из основных методов решения задач оптимизации и вариационного исчисления. Он позволяет свести решение вариационных задач с ограничениями к решению системы уравнений Эйлера—Лагранжа, которая затем может быть решена численно или аналитически. К решению контактных задач метод множителей Лагранжа может быть применен различными способами, что зависит от ряда обстоятельств.

Во-первых, аппроксимация функции множителей Лагранжа может быть выполнена разными способами. В работе [123] проведено сравнение таких способов при решении контактных задач с помощью mortar-методов, а в работе [79] — методом с независимой контактной границей. В обеих статьях рассмотрена тестовая задача о контакте двух брусков разных геометрических размеров и с разными контактными границами, однако наблюдался общий нефизичный эффект — колебания нормальной компоненты напряжений вдоль контактной границы. Некоторые варианты аппроксимации функций множителей Лагранжа, например, кусочно-постоянная и кусочно-линейная, позволили максимально сгладить этот эффект. Также выявлена необходимость учета согласования с базисными функциями ме-

тода конечных элементов и их порядком.

Во-вторых, отдельной задачей, требующей дополнительных ресурсов и подходов, является задача определения контактной границы и контактных сил при взаимодействии между телами, что добавляет нелинейность в изначальную задачу. Одним из наиболее используемых подходов является семейство mortar - методов [3-6,11-14,17-19,24,26,28,42-46,49,50,56-58,125]. Этот метод предполагает, что одно из пары контактирующих тел выбирается активным (master), второе же тело считается пассивным (slave). В качестве приближения для контактной границы берется участок границы конечно - элементной сетки активного тела, соответствующий зоне контакта. Вдоль него производится учет контактного интеграла, на поверхности второго же (пассивного) тела ищут сходственные точки. В рамках mortar - метода используется независимая конечно-элементная дискретизация непересекающихся подобластей контактирующих тел, сетки на которых могут быть несогласованными на границе контакта. Однако у такого подхода есть и значительные недостатки: тела становятся неравнозначными, а сам выбор активного или пассивного тела, как правило, случаен. Также сама контактная граница не обладает достаточной степенью гладкости, что не соответствует физике задачи.

Более подробное описание mortar-методов можно найти в работах [9,20,37,47]. Сравнение вариантов аппроксимации функции множителей Лагранжа при использовании mortar-метода приведено в [123] с русифицированными названиями метод «точка-точка», «точка-поверхность», «поверхность-поверхность». Также в [57] выполнено моделирование с помощью mortar-метода контактного взаимодействия элементов тепловыделяющем элемента ядерного реактора (твэла).

Целью работы является разработка новых методов решения контактных задач на основе метода множителей Лагранжа с использованием независимой контактной поверхности, а также применение указанных методов для решения задач математического моделирования напряженно-деформированного состояния канала рельсотрона и термомеханического взаимодействия ядерного топлива с оболочкой внутри твэла.

Для достижения поставленных целей решены следующие основные задачи.

1. Анализ математических моделей элементов конструкции тепловыделяющего элемента ядерного реактора и электромагнитного ускорителя масс рельсового типа.

2. Разработка численного алгоритма для решения контактных задач с помощью метода множителей Лагранжа с независимой контактной границей. Разработка численных методов построения независимой контактной границы.

3. Разработка программного комплекса, реализующего метод множителей Лагранжа с независимой контактной границей.

4. Проведение расчетов и анализ результатов для тестовых задач с контактными границами разной степени сложности. Проведение расчетов и анализ результатов для задачи численного моделирования процессов, протекающих в твэле, и для задачи об электромагнитном ускорителе.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты.

1. Разработан метод численного решения контактных задач механики деформируемого твердого тела, основанный на методе множителей Лагранжа и построении независимой контактной границы между телами. Метод разработан в вариантах конечных элементов разного порядка, различных пространственных постановок задачи. Проведены тестовые расчеты, показавшие работоспособность метода и позволившие сравнить варианты аппроксимации функции множителей Лагранжа.

2. Представленный метод реализован в виде программного комплекса на языке С++, включающего в себя основные конечно-элементные процедуры для задач теплопроводности и теории упругости, библиотеку для построения независимой контактной границы.

3. Построены математические модели элементов канала электромагнитного ускорителя масс и тепловыделяющего элемента ядерного реактора. Модели включают в себя контактные задачи теории упругости и (в случае моделирования твэлов) теплопроводности. Проведенные расчеты позволили найти контактные границы между элементами конструкций, определить положения концентрато-

ров напряжений, могут быть использованы для анализа прочности и надежности конструкций.

Теоретическая и практическая значимость диссертационной работы состоит в развитии методов математического моделирования задач контактного взаимодействия с использованием метода множителей Лагранжа с независимой контактной границей и применении разработанных подходов к решению задач математического моделирования процессов, происходящих в электромагнитном ускорителе масс и твэле ядерного реактора.

В ходе выполнения диссертационной работы разработан и зарегистрирован программный комплекс, включающий в себя основные конечно-элементные процедуры для задач теплопроводности и теории упругости, библиотеку для построения независимой контактной границы, процедуры для решения термомеханических контактных задач.

Корректность разработанных алгоритмов подтверждена путем сравнения результатов математического моделирования с аналитическими решениями тестовых задач.

Методы исследования. Основным методом исследования задач, поставленных в диссертационной работе, является вычислительный эксперимент. При их решении были применены известные и разработаны новые методы математического моделирования, в частности метод конечных элементов, метод множителей Лагранжа с независимой контактной границей, методы построения контактной границы.

Положения, выносимые на защиту.

1. Математические модели электромагнитного ускорителя масс рельсового типа и тепловыделяющего элемента ядерного реактора, ориентированные на применение метода множителей Лагранжа с независимой контактной границей.

2. Численный метод решения задач контактного взаимодействия на основе метода множителей Лагранжа с независимой контактной границей, позволяющий строить контактную границу любой степени гладкости и с различными вариантами аппроксимации функции множителей Лагранжа.

3. Программный комплекс для математического моделирования напряженно -деформируемого состояния систем, включающего в себя основные конечно - элементные процедуры для задач теплопроводности и теории упругости, библиотеку для построения независимой контактной границы.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечиваются строгостью применяемого математического аппарата, а также подтверждаются сравнением расчетных данных с известными аналитическими решениями тестовых задач.

Апробация результатов. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на XLIV International Summer School - Conference «Advanced Problems in Mechanics» (Санкт-Петербург, 2016); VI Международной научно - технической конференции «Проблемы химмотологии: от эксперимента к математическим моделям высокого уровня» (Москва, 2016); Научной конференции «Современные проблемы математической физики и вычислительной математики;, приуроченной к 110-летию со дня рождения академика А.Н. Тихонова» (Москва, 2016); XLV Международной молодёжной научной конференции «Гагаринские чтения» (Москва, 2019); XLIX International Summer School - Conference «Advanced Problems in Mechanics» (Санкт-Петербург, 2021); XXII Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике» (Москва, 2023); XLIX International Summer School - Conference «Advanced Problems in Mechanics» (Санкт-Петербург, 2023); Научном семинаре «Вычислительные методы и математическое моделирование» ИПМ им. М.В. Келдыша РАН под руководством проф. М.П. Га-ланина и проф. В.М. Чечеткина (2025).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в 12 научных работах, в том числе в 7 статьях в журналах, входящих в Перечень российских рецензируемых научных изданий, и 2 научных публикаций, индексируемых в международных базах данных Scopus. Зарегистрирована 1 программа для ЭВМ.

Личный вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности.

Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю, заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (проекты 1801-00252 А, 18-31-20020 мол_а_вед, 16-31-00302 мол_а, 14-01-31496 мол_а).

Глава 1. Математические модели термомеханического контакта тел

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Соломенцева Полина Владимировна, 2025 год

источников

Анализировалась норма ошибки решения численного решения T относительно точного T, рассчитываемая по формуле

£с = max^,,,,!|T - T| ^ ioo (¡} 4)

maxxe[ri ,r2] |T 1

в процентном представлении для сеток с различными шагами h по радиальной координате. Результаты приведены в Таблице 3.4.

Таблица 3.2: Относительная ошибка решения

h

i 3.5 • 10-1 %

0.5 6.3 • 10-2 %

0.25 9.8 • 10-3 %

Видно, что при измельчении шага в два раза норма ошибки уменьшается в 5.6 - 6.4 раз.

3.2.2 Стационарная тепловая задача с источником

Рассмотрим стационарную задачу теплопроводности для толстостенной круглой трубы с внутренними источниками теплоты. Параметры задачи приведены в Таблице 3.3.

Таблица 3.3: Параметры стационарной тепловой задачи с источниками

Название и размерность

Обозначение Значение

Удельная теплоемкость, Дж/(кг К) с 1

Коэффициент теплопроводности, Вт/(м К) к 1

Внутренний источник, Вт/м3 I 4

Внутренний радиус трубы, м Г1 1

Внешний радиус трубы, м Г2 5

Высота трубы, м к 200

Температура внутренней границы, °С Т (гх) 0

Поток на внешней границе Ф 2) 10

В этом случае точное решение имеет вид

Т(г) = г2 - 1.

(3.5)

Задача решена численно в двумерном осесимметричном приближении, полученное решение в сечении г = 0 изображено на рисунке 3.7. Точками обозначено численное решение, а красной линией — точное.

Анализировалась норма ошибки решения численного решения Т относительно Т

шахже[ГьГ2] |Т - Т|

£а =

шах

■ж€

[Г1 ,Г2] |Т 1

100

для сеток с различными шагами к по радиальной координате. Результаты приведены в Таблице 3.4.

Рис. 3.7. Распределение температуры для стационарной тепловой задачи с

источником

Таблица 3.4: Относительная ошибка решения (максимальное значение)

к £о

0.4 3.1 ■ 10-6%

0.2 1.5 ■ 10-6%

0.1 7.1 ■ 10-7%

Рис. 3.8. Распределение температуры при расчете стационарной тепловой задачи

с источником счетом па установление

Решим эту же задачу счетом на установление. Зададим с = 1, р = 1. На

Рис. 3.8 черной линией показано точное решение стационарной задачи, а точками — численное решение динамической задачи при Ь = 1; 10; 30; 70 с. Как можно заметить, решение со временем приближается к точному.

3.2.3 Внешнее и внутреннее нагружение упругой трубы

Рассмотрим задачу о равномерном нагружении упругой толстостенной трубы в двумерной осесимметричной пространственной постановке. Параметры задачи приведены в Таблице 3.5.

Таблица 3.5: Параметры задачи о внутреннем и внешнем нагружении упругой трубы

Название и размерность Обозначение Значение

Внутренний радиус трубы, м: Г1 1

Внешний радиус трубы, м: Г2 5

Давление на внутреннюю часть трубы, МПа р -0.04

Давление на внешнюю часть трубы, МПа р2 0.02

Аналитическое решение этой задачи приведено в [101] и имеет вид

^г = (1 _1г2)г2 ((^2 - 1)РгГ2 - (г2 - Г^)Р1) , (3.6)

^ = (1 _1Г2)Г2 ((г2 + 1)РгГ? _ (г2 + Г2)Р1) , (3.7)

2

»ггГ _ Р1 ^о,

иг = 2^——1—, (3.8)

1 _ г2

Тгг = 0. (3.9)

На Рис. 3.9 представлено распределение радиальной, а па Рис. 3.10 — угловой компоненты напряжений. Точное решение показано красной линией, численное — фиолетовыми точками. Можно заметить, что решение вполне удовлетворительно.

Рис. 3.9. Распределение аг

Рис. 3.10. Распределение ав

Анализировалась норма ошибки решения численного решения а относительно

шахже[ГьГ2] | а - а |

точного а, рассчитываемая по формуле ее = -,—,— для сеток с раз-

шахже[г1?г2] |а|

к

3.13.

Таблица 3.6: Относительная ошибка решения (максимальное значение)

н (щ ) (щ)

0.2 3.8 % 0.38 %

0.1 1.1 % 0.11 %

0.05 0.31 % 3.1 • 10-2 %

3.2.4 Взаимодействие одинаковых брусков

Рассмотрим систему брусков, изображенную на Рис. 3.11. Бруски геометрически одинаковы и имеют форму параллелепипеда. Первый брусок лежит на гладкой поверхности, второй лежит на первом. Сверху ко второму бруску приложена вертикальная распределенная сила р. Также закрепим правую и левую границу системы брусков по горизонтали.

р- '1 р

1 1

и.

|12

х

Рис. 3.11. Система из двух одинаковых брусков

Возьмем бруски, одинаковые и по геометрическим, и по физическим параметрам (сделаны из одного материала). Значения параметров в безразмерном виде приведены в Таблице 3.7.

Таблица 3.7: Задача о двух одинаковых брусках. Параметры задачи

Название Значение

Ширина первого бруска, 1\: 8

Высота первого бруска, Н\\ 4

Ширина второго бруска, 12: 8

Высота второго бруска, 4

Распределенная нагрузка сверху, р: 0.1

Модуль Юнга для материала брусков, Б: 70 Коэффициент Пуассона для материала брусков, V: 0.3

Так как задача симметрична, рассмотрим лишь половину области. В таком случае закрепим ось симметрии системы брусков по горизонтали на левой границе, закрепим оба бруска по горизонтали на правой границе, первый брусок — по вертикали на нижней границе и ко второму бруску приложим сверху распределенную нагрузку.

На рисунке 3.12 приведен фрагмент конечноэлементной сетки в окрестности контактной границы. Максимальная длина ребра треугольников сетки для нижнего тела составляет 0.05, для верхнего — 0.06, конечноэлементные сетки не совпадают на границе контакта. Количество ячеек в обеих сетках составляет около 40000.

Предложенная задача линейна и ее решение соответствует задаче о равномерном нагружении однородного бруска соответствующих размеров. В точном решении вертикальная компонента напряжений ауу должна быть равна распределенной силе р в каждой точке расчетной области. Для решения данной задачи использована прямолинейная контактная граница, соответствующая недеформи-

роваппой линии стыковки соток (см. Рис. 3.12). Для аппроксимации функции множителей Лагранжа выбрана постоянная функция и N = 2 множителя Лагранжа.

Рис. 3.12. Задача о двух одинаковых брусках. Фрагмент копсчпоэлсмептпой сетки в окрестностях контактной границы

В силу линейности задачи численное решение совпадает с точным с точностью до ошибок округления.

3.2.5 Взаимодействие брусков с наклонной границей контакта

Теперь изменим условие предыдущей задачи так, что ее решение перестает быть линейным и, следовательно, пе может быть получено точно. Как и прежде, первый брусок системы, показанной па рисунке 3.13, лежит па гладкой поверхности, второй лежит па первом. Сверху ко второму бруску приложена распредслеп-р

могут свободно перемещаться по вертикали (их = 0), а также закреплена нижняя граница нижнего бруска по вертикали (иу = 0).

р

и.

х

Рис. 3.13. Система из двух брусков с наклонной границей контакта

Граница контакта является наклонной относительно направления действия распределенной силы, тангенс угла наклона границы контакта к оси Ох составляет tga =1/6. Безразмерные значения параметров задачи приведены в Таблице 3.8. Бруски сделаны из одного материала.

Таблица 3.8: Задача о двух брусках с наклонной границей контакта. Параметры задачи

Название

Значение

Ширина первого бруска, 1\\ Высота первого бруска, Н\. Ширина второго бруска, /2; Высота второго бруска, к2:

4

6

6

2

Распределенная нагрузка сверху, р: Модуль Юнга для материала брусков, Б:

7000

1

Коэффициент Пуассона для материала брусков, у\ 0.227

Рис. 3.14. Задача о двух брусках с наклонной границей контакта. Фрагмент копсчпоэлсмсптпой сетки в окрестностях контактной границы

На рисунке 3.14 приведен фрагмент копсчпоэлсмсптпой сетки в окрестностях контактной границы. Максимальная длина ребра треугольников в сетке для нижнего тела составляет 0.1, для верхнего — 0.08, суммарное количество ячеек в сетках составляет 16336.

На рисунке 3.15 показаны компоненты их и иу вектора перемещений и компоненты ахх и ауу тензора напряжений.

Заметим, что ауу теперь не передает полностью приложенную вертикальную распределенную силу р. И поскольку соответствующий орт не нормален поверхности контакта, компонента ауу на границе контакта при переходе из одного тела в другое терпит разрыв.

Рассмотрим нормальные к поверхности контакта компоненты вектора перемещений ип и тензора напряжений ап. На Рис. 3.16 приведены соответствующие результаты расчетов с 2, 4, 20 и 60 множителями Лаграпжа соответственно при неизменной пространственной сетке в контактирующих телах. Для аппроксимации функции множителей Лаграпжа выбрана постоянная функция. Красный график соответствует верхнему телу, черный — нижнему.

Рис. 3.15. Задача о двух брусках с наклонной границей контакта. Слева направо сверху вниз компоненты их и иу вектора перемещений и компоненты ахх и ауу

тензора напряжений

Приведенные иллюстрации подтверждают сходимость метода, достигаемую без измельчения сетки в контактирующих телах и, соответственно, без существенного увеличения вычислительных затрат. Решение при 20 и 60 множителях Лаграпжа оказываются удовлетворительными в том числе и для напряжений, значимые расхождения возникают лишь в окрестностях концентраторов напряжений.

Для сравнения вариантов аппроксимации функции множителей Лаграпжа па Рис. 3.17 представлено решение задачи о двух брусках с наклонной границей контакта с использованием непрерывной кусочпо-липсйпой функции для аппроксимации функции множителей Лаграпжа, а па Рис. 3.18 — решение той же задачи с использованием разрывной кусочпо-липсйпой функции. Красный график соответствует верхнему телу, черный — нижнему.

ип

аг

а) 2 множителя Лагранжа

б) 4 множителя Лагранжа

в) 20 множителя Лагранжа

г) 60 множителя Лагранжа

Рис. 3.16. Задача о двух брусках с наклонной границей контакта. Кусочно-постоянная функция множителей Лагранжа. Распределения нормальных к границе контакта компоненты вектора перемещений ип и

напряжений ап

ип

аг

б) 30 множителей Лаграпжа

Рис. 3.17. Задача о двух брусках с наклонной границей контакта. Непрерывная кусочно-линейная функция множителей Лаграпжа. Распределения нормальных к границе контакта компоненты вектора перемещений ип и напряжений ап

Из рисунков видно, что во всех случаях перемещения сходятся при увеличении количества отрезков разбиения. В то же время при малом количестве отрезков каждый раз видны различия черного и красного графиков, что говорит о приближенном выполнении кинематического контактного условия.

Наибольшую информацию о качестве аппроксимации решения даст сопоставление нормальных контактных напряжений, полученных различными методами. В углах брусков находятся концентраторы напряжений, что приводит к существенному различию напряжений па верхнем и нижнем теле па краях графиков.

ип

Оп

б) 60 множителей Лаграпжа

Рис. 3.18. Задача о двух брусках с наклонной границей контакта. Разрывная кусочно-линейная функция множителей Лаграпжа. Распределения нормальных к границе контакта компоненты вектора перемещений ип и напряжений оп

Напряжения в середине границы во всех случаях близки па верхнем и нижнем телах. При этом результаты, полученные с помощью непрерывной кусочпо-липейпой аппроксимации функции множителей Лаграпжа (Рис. 3.17), содержат осцилляции напряжений, которые пс исчезают даже при увеличении количества множителей Лаграпжа (Рис. 3.17, б). В свою очередь наличие разрывов па границах ячеек разбиения контактной границы позволяет либо свести область осцилляции напряжений к окрестности концентраторов напряжений (Рис. 3.18, а), либо вообще избежать искусственных осцилляций (Рис. 3.18, б).

Различие результатов, полученных с кусочпо-постояппой и кусочно-линейной разрывной аппроксимацией функции множителей Лаграпжа (Рис. 3.16 и 3.18),

соответствует различиям в порядках применяемых методов. В то же время оба метода избавлены от паразитных осцилляций нормальных напряжений в середине контактной границы, что указывает на важность применения именно разрывной аппроксимации функции множителей Лагранжа. Отметим снова, что и напряжения во внутренних ячейках сетки являются разрывными.

3.2.6 Взаимодействие брусков с криволинейной границей контакта

Рассмотрим аналогичную предыдущим задачу для случая криволинейной контактной границы. Пусть контактная граница представляет собой не отрезок прямой, а фрагмент параболы (Рис. 3.19), заданный уравнением у(х) = 4 + х — 0.25х2, х е [0,4].

Рис. 3.19. Система из двух брусков с наклонной границей контакта

Как и прежде, первый брусок лежит на гладком столе, второй лежит на первом. Сверху ко второму бруску приложена распределенная сила р. Левая и правая

границы обоих брусков закреплены по горизонтали (их = 0) и могут двигаться по вертикали. Нижняя граница первого бруска закреплена по вертикали (иу = 0).

Безразмерные значения параметров задачи приведены в Таблице 3.9. Бруски сделаны из одного материала.

Таблица 3.9: Задача о двух брусках с криволинейной границей контакта. Параметры задачи

Название Значение

Ширина первого бруска, 1\: 4

Высота первого бруска, Н\\ 4

Ширина второго бруска, 12: 4

Высота второго бруска, Н2: 4

Распределенная нагрузка сверху, р: 100

Модуль Юнга для материала брусков, Б: 70 Коэффициент Пуассона для материала брусков, V: 0.227

Рис. 3.20. Задача о двух брусках с криволинейной границей контакта. Фрагмент копсчпоэлсмсптпой сетки в окрестностях контактной границы

На Рис. 3.20 приведен фрагсмспт копсчпоэлсмсптпой сетки в окрестностях

контактной границы. Рассмотрен случай с совпадающей на границе контакта сеткой, общее количество конечных элементов равно 46990.

На рисунке 3.21 показаны компоненты Пу вектора перемещений и компоненты &уу тензора напряжений. Видно, что в окрестности вершины параболы, которая является границей контакта, Оуу близка по значению нормальным напряжениям и терпит минимальный разрыв, а у самой вершины является с высокой степенью точности непрерывной.

пг

Оп

Рис. 3.21. Задача о двух брусках с криволинейной границей контакта. Распределение компонент Пу вектора перемещений и Оуу тензора

Рассмотрим численное решение, полученное с использованием кусочно - постоянной функции для аппроксимации функции Л. На Рис. 3.22 приведены распределения нормальной компоненты вектора перемещений пп и нормальной компоненты тензора напряжений ап на границе контакта. Красным обозначена величина для верхнего тела, а черным — для нижнего. Для оценки выполнения условий контактного взаимодействия, а также для проверки улучшения решения при увеличении количества множителей Лагранжа решим задачу с использованием 10, 30, 60 и 100 множителей.

ип

<7Г

а) 10 множителей Лагранжа

а) 30 множителей Лагранжа

в) 60 множителей Лагранжа

г) 100 множителей Лагранжа

Рис. 3.22. Распределения нормальных к границе контакта компоненты вектора перемещений ип и напряжений ап. Кусочно-постоянная функция множителей

Лагранжа

Графики показывают, что с увеличением числа контактных отрезков решение улучшается, однако видно, что численное решение испытывает трудности в окрестностях концентраторов напряжений (в угловых точках) и в окрестностях вершины параболы, где кривизна контактной границы максимальна.

Теперь рассмотрим решение с использованием непрерывной и разрывной кусочно - линейной функций для аппроксимации функции множителей Лаграпжа (Рис. 3.23 и Рис. 3.24).

а) 60 множителей Лаграпжа

сг, ГПа

1.8г

и, см

б) 100 множителей Лаграпжа

Рис. 3.23. Распределения нормальных к границе контакта компоненты вектора перемещений ип и напряжений ап, непрерывная кусочно-линейная функция Л

а) 60 множителей Лаграпжа

сг, ГПа

1.8г

и, см

б) 100 множителей Лаграпжа

Рис. 3.24. Распределения нормальных к границе контакта компонентов вектора перемещений пп и напряжений ат разрывная кусочно-линейная функция Л

Как видно из графиков 3.22, 3.23, 3.24, во всех случаях остаются осцилляции решения в окрестностях концентраторов напряжений и в центре контактной границы, причем измельчение разбиения контактной границы пе приводит к их существенному уменьшению. Однако кусочно-линейная разрывная аппроксимация функции множителей Лаграпжа при большом количестве отрезков разбиения позволяет принципиально уменьшить амплитуду этих осцилляций, хотя и пе приводит к полной ликвидации расхождения напряжений па нижнем и верхнем телах (Рис. 3.24, б)).

Заметим, что, как и в случае линейной границы, сильнее всего искусственные осцилляции искажают решение, полученное с помощью кусочно-линейной пепре-

рывной аппроксимации функции Л. Этот эффект имеет место в том числе в том случае, когда задача упругости внутри тел решалась с использованием конечных элементов второго порядка. Этот результат снова подчеркивает важность отказа

Л

3.2.7 Задача о теплообмене между двумя вложенными трубами

Рассмотрим задачу о теплообмене между двумя вложенными друг в друга толстостенными трубами. Параметры задачи приведены в Таблице 3.10.

Несложно проверить, что такая постановка соответствует точному решению

Т = г2 - 1, (3.10)

если температура на границе между телами передается с высокой степенью точности. Для обеспечения этого условия и выбран большой коэффициент теплопередачи.

Таблица 3.10: Параметры задачи о теплообмене толстостенных труб

Название и размерность Обозначение Значение

Удельная теплоемкость первого цилиндра, Дж/(кг К) С1 1

Удельная теплоемкость второго цилиндра, Дж/(кг К) С2 1

Коэффициент теплопроводности внутренней трубы, Вт/(м К) к1 1

Коэффициент теплопроводности внешней трубы, Вт/(м К) к2 1

Внутренний источник внутренней трубы, Вт/м3 ¡1 -4

Внутренний источник внешней трубы, Вт/м3 ¡2 -4

Внутренний радиус внутренней трубы, м Г а1 1

Внутренний радиус внешней трубы, м Га2 5

Внешний радиус внутренней трубы, м ГЬ1 5

Внешний радиус внешней трубы, м ГЬ2 9

Температура внутренней границы внутренней трубы, °С д(га 1) 0

Температура внешней границы внешней трубы, °С Т(Г62) 80

Коэффициент теплопередачи Вт/(м2 К) а 106

Задача решалась в двумерном осесимметричпом приближении. На рисунке 3.25 сплошной линией приведено точное решение для одной трубы, а точками — численное для двух контактирующих труб. Заметим, что в этом случае нельзя говорить о расчете ошибки вычислений температуры, однако приведем расхождение решений задачи для одной трубы Т и двух контактирующих труб Т в зависимости от шага сетки.

4 6 8

Рис. 3.25. Задача о теплообмене между двумя вложенными трубами.

Распределение температуры

Расхождения решений в норме

£с = тахте[,-„„||Т - Г| ^ 100 (зл1)

тахже[г1 ,,2| |Т 1

в зависимости от шага к по радиальной координате приведены в Таблице 3.11.

Таблица 3.11: Задача о теплообмене между двумя вложенными трубами. Расхождение решений в норме || ■ || с

к £с

0.4 6.6 ■ 10-5 %

0.2 3.3 ■ 10-5 %

0.1 1.9- 10-5 %

3.2.8 Задача о механическом контакте двух труб

Рассмотрим механическую контактную задачу для двух нагруженных труб (Рис. 3.26) в двумерной осссиммстричпой пространственной поствповкс. К внутренней трубе изнутри приложено давление р/, к наружней трубе снаружи приложено давление рг. Зазор между трубами нулевой.

Рис. 3.26. Система из двух труб в задаче о механическом контакте двух труб

Параметры задачи приведены в Таблице 3.12. Таблица 3.12: Параметры в задаче о механическом контакте двух труб

Название и размерность Обозначение Значение

Внутренний радиус внутренней трубы гь 1

Внешний радиус внутренней трубы гт1 5

Внутренний радиус внешней трубы гт2 5

Внешний радиус внешней трубы га 9

Давление изнутри внутренней трубы р/ -0.04

Давление снаружи внешней трубы рг 0.02

Рис. 3.27. Копсчпо-элсмсптпыс сотки в задаче о механическом контакте двух

труб

При идеальном контакте давление должно равномерно передаваться по всей системе, так что решение совпадает с аналогичным, полученным для цельной трубы. В таком случае аналитическое решение приведено в |101| и имеет вид

а, = т—((х2 - 1)(-р)х\ - (х2 - ж?)(-рг)) , (3.12)

(1 - х2)х2

а в = Тл—((х2 + 1)(-Р1 )^2 - (х2 + х1)(-р,)) , (3.13)

(1 - х2)х2

г тъ

где х = —, х\ = —.

Гг

а 1 а

Копсчпо-элсмсптпыс сетки для тестового расчета представлены па рисунке 3.27. Важно отмстить, что сетки не совпадают па границе контакта.

На Рис. 3.28 представлено распределение радиальной, а па Рис. 3.29 — угловой компонент напряжений. Точное решение показано синей линией, численное — фиолетовыми точками для первой трубы и зелеными — для второй.

Анализировалась норма ошибки решения численного решения ф относительно точного ф, рассчитываемая по формуле

тахже гГ1 Г21 |ф — ф| ее (ф) =- [ 1 — • 100 (3.14)

тах

ж 6

[Г1,Г2] |ф|

для сеток с различными шагами к по радиальной координате. Результаты приведены в Таблице 3.13.

Таблица 3.13: Относительная ошибка решения (максимальное значение)

к ее (от) ее (ов) 0.4 1.2 % 10.4 % 0.2 0.38 % 3.6 % 0.1 0.12 % 1.1 %

Результаты анализа ошибок подтверждают, что напряжения вычисляются со вторым порядком точности.

3.2.9 Задача о термоупругом нагружении трубы

Рассмотрим длинную круглую полую трубу, которая деформируется вследствие нагрева. Температура в задаче считается распределенной симметрично относительно оси и не зависящей от осевой координаты. Предположим, что осевое перемещение также всюду равно нулю.

Параметры задачи приведены в Таблице 3.14.

Таблица 3.14: Задача о термоупругом нагружении трубы. Параметры задачи Название и размерность Обозначение Значение

Внутренний радиус трубы, м: Г\ 1

Внешний радиус трубы, м: г2 5

Давление на внутреннюю часть трубы, МПа рх 0

Давление на внешнюю часть трубы, МПа р2 0

Модуль упругости, РПа Е 200.

Коэфициент Пуассона V 0.33

Коэффициент теплового расширения, 1/К а 7 • 10—6

Аналитическое решение задачи имеет вид 1128

а, = ^I (С-^ (" Тгёг _ Г ТгА,

1 — V т2 V Ь2 — а2

а, =

аЕ 1 ^ + а2 ^ Ттйт + Г Тт(!т — Тг2

1 — vтM Ь2 — а2

а^ = а, + .

(3.15)

(3.16)

(3.17)

Зададим точное решение тепловой задачи и поставим необходимые граничные условия и выпишем правую часть. Пусть точное решение Т = 5т2. Тогда граничные условия для задачи теплопроводности имеют вид

Т (т1) = 5, Т (т2) = 125.

Внутренний источник имеет вид

д 2Т 1 дТ 1

/ = ^ + -— = 10 +-10т = 20. дт2 т дт т

На Рис. 3.30 показано полученное распределение температуры. Красной линией обозначено точное решение, фиолетовыми точками — численное.

Рис. 3.30. Задача о термоупругом пагружепии трубы. Распределение

температуры

а

0.10

0.05

-0.05

-0.10

0.10

0.05

-0.05

-0.10

Рис. 3.31. Задача о термоупругом пагружепии трубы. Числсппос и точное распределения напряжений, а — оу, б — ав, в — ог

Получив распределение температуры, решим задачу термоупругости. На Рис. 3.31 приведены результаты для трех основных компонент напряжений. Красной линией обозначено точное решение, фиолетовыми точками — численное.

Таблица 3.15: Задача о термоупругом нагружении трубы. Ошибка в норме || • ||е

к ее (ог) ее (о в) ее (о г)

0.4 5.5 % 0.96 % 0.91 %

0.2 1.9 % 0.33 % 0.33 %

0.6 % 0.1 % 0.1 %

Анализировалась норма ошибки решения численного решения ф относительно

тахже[ГьГ2] |ф — ф|

точного ф, рассчитываемая по формуле ее(ф) = -г—,— для сеток с

тахже[г1,г2] |ф|

к

лице 3.15. Также анализировалась ошибка по норме ^2, результаты приведены в Таблице 3.16

Таблица 3.16: Задача о термоупругом нагружении трубы. Ошибка в норме || • ||^2

к еь2 (от) еь2 (ов) е^ (о г)

0.4 17.03 % 2.83 % 2.8 %

4.59 % 0.76 % 0.75 %

1.17 % 0.19 % 0.19 %

Результаты анализа ошибок подтверждают, что напряжения вычисляются со вторым порядком точности.

3.3 Выводы

В главе описаны программная реализация предложенного метода и проведенные тестовые расчеты.

В качестве базового языка реализации программного комплекса для решения контактных задач был выбран С++. Комплекс состоит из пяти модулей, реализующих МКЭ, в том числе сборку матрицы жесткости и контактной матрицы, библиотеку для создания контактной границы, решение системы линейных алгебраических уравнений и другой необходимый для решения задач функционал.

Программный комплекс верифицирован тестовыми расчетами.

Глава 4. Результаты расчетов модельных задач

Рассмотрим результаты применения описанной методики к решению задач о напряженно-деформированном состоянии стенок канала ЭМУ [122] и о термомеханическом нагружении ТВЭЛа атомного реактора [120].

4.1 Задача об электромагнитном ускорителе рельсового типа

Проведены расчеты с использованием авторского программного комплекса на языке С++. В силу симметрии конструкции канала электромагнитного ускорителя расчеты проводились на четвертой части области. Задача приведена в безразмерных параметрах. Предложено считать, что токопроводягцие рельсы изготовлены из изотропного материала (сталь), материал изолятора рассматривается как трансверсально ортотропный с осями ортотропии, совпадающими с осями координат X, У (стеклотекстолит), а материал силовой оболочки также считается трансверсально-ортотропным, но с осями ортотропии, совпадающими с направлениями нормали и касательной к поверхности силовой оболочки [82]. Предполагается, что силовая оболочка сделана с помощью намотки полимерного композиционного материала. Безразмерные значения физических параметров материалов приведены в Таблице 4.1.

Изолятор закреплен слева и снизу, рельс не закреплен нигде, силовая оболочка имеет закрепление вдоль левого и нижнего края. На рельс воздействуют силы Бх = _4200 • 10_8, Бу = 6100 • 10_8. Геометрия задачи приведена на Рис. 4.1. На этом же рисунке показана используемая в расчете конечноэлементная сетка. Сетка внутри рельса состоит из 2780 конечных элементов, изолятор — из 4683-х, силовая оболочка — из 12477-и.

На Рис. 4.2 представлены горизонтальная и вертикальная компонента перемещений на деформированной форме, а также приведены полученные контактные границы (зеленая линия). На Рис. 4.3 представлены аналогичные компоненты, но

для напряжений.

Таблица 4.1: Задача об электромагнитном ускорителе рельсотронного типа. Физические обезразмеренные параметры задачи

Название Значение

Токопроводягций рельс

Материал сталь

Модуль Юнга, Е: 169

Коэффициент Пуассона, V: 0.3

Изолятор

Материал стеклотекстолит

Модуль Юнга в нормальном направлении, Еп: 20.5

Модуль Юнга в касательном направлении, Ет: 16.5

Коэффициент сдвига, Отп 2.5

Коэффициент Пуассона, V: 0.3

Силовая оболочка

Материал ПКМ

Еп

Модуль Юнга в касательном направлении, Ет: 2.7

Коэффициент сдвига, Отп 3

Коэффициент Пуассона, V: 0.3

При работе электромагнитного ускорителя под воздействием внешних нагрузок рельс начинает вжиматься в изолятор и деформировать его. Можно заметить, что при деформировании тел между рельсом и изолятором справа появился зазор между телами, в этом месте тела не находятся в контакте. Похожий расчет с использованием альтернирующего метода Шварца представлен в работе [81]. Согласно результатам, приведенным в этой работе, между рельсом и изолятором тоже появляется аналогичный зазор. Однако еще появляется зазор между изо ля-

тором и силовой оболочкой, что отсутствует в наших результатах.

Рис. 4.1. Задача об электромагнитном ускорителе рельсотронного типа. Геометрия задачи и конечноэлементная сетка

х-компонента

у-компонента

Рис. 4.2. Задача об электромагнитном ускорителе рельсотронного типа.

Распределение перемещений

х-компопспта

у-компопспта

Рис. 4.3. Задача об электромагнитном ускорителе рсльсотроппого типа.

Распределение напряжений

Наибольший интерес при исследовании напряженно-деформированного состояния конструкции представляют нормальные компоненты напряжений вдоль каждой из контактных границ. Контактную границу между рельсом и изолятором достаточно естественно можно разделить па 4 части (слева направо). Контактная граница между изолятором и силовой оболочкой состоит из одной части. На Рис. 4.4 приведены нормальные компоненты напряжений для контактной границы между рельсом и изолятором, па Рис. 4.5 — для контактной границы между изолятором и силовой оболочкой. Черным обозначена рассматриваемая величина для первого тела (в контактной парс рсльс-изолятор это рсльс, в контактной парс изолятор-оболочка это изолятор), красным — для второго тела.

Можно заметить, что равенство контактных напряжений выполняется почти всюду. Имеют место концентраторы напряжений в углах рельса, наибольший из них в точке с координатами (32.5, 73) на исходной форме (Рис. 4.1, красная точка). Такое исследование позволяет предположить, что пиковые давления можно снизить, сгладив грани токопроводящего рельса.

контактная граница 1

контактная граница 2

контактная граница 3 контактная граница 4

Рис. 4.4. Задача об электромагнитном ускорителе рельсотронного типа. Распределение напряжений вдоль контактных границ между рельсом и

изолятором

контактная граница 5

Рис. 4.5. Задача об электромагнитном ускорителе рельсотронного типа. Распределение напряжений вдоль контактных границ между изолятором и

г.илоной оболочкой

>-

100

40

20

60

80

0

X

100

X

а) расчетная область

б) контактная граница

Рис. 4.6. Задача об электромагнитном ускорителе рсльсотроппого типа.

Используемая геометрия и полученные результаты из работы |81|

Аналогичная задача смоделирована в |81|. Для решения задачи в работе |81| применен метод Шварца, позволивший свети задачу во всей области к ряду локальных контактных задач, сформулированных в отдельных подобластях. На Рис. 4.6, б) показана полученная контактная граница. Сравнивая ее с полученной в наших расчетах (Рис. 4.3, зеленая линия), можно заметить, что результаты качественно похожи: контактная граница между рельсом и изолятором терпит разрыв па правой границе рельса, по сохраняет контакт в нижней части правой границы рельса. Контактная граница между изолятором и силовой оболочкой также терпит разрыв в ссрсдипс. Места разрывов контактной границы, а также протяженность этих разрывов сходны в обеих работах. Также па Рис. 4.7 представлены контактные напряжения между рельсом и изолятором и между изолятором и оболочкой. Заметим, что численно решения тоже похожи. График па Рис. 4.5, соответствующий контактной границе 5, инвертирован относительно результатов упомянутой работы — в работе |81| обход этой части контактной границы идет от точки О до точки Б (4.6, а), а на Рис. 4.5 идет в обратном направлении — от Б

до С.

Контактные напряжения между

Контактные напряжения между

рельсом и изолятором

изолятором и оболочкой

Рис. 4.7. Задача об электромагнитном ускорителе рельсотроппого типа. Результаты, полученные в работе |81|

4.2 Задача о тепловыделяющем элементе атомного реактора

4.2.1 Взаимодействие топливной таблетки с оболочкой твэла в нормальном режиме

Проведем расчет численной модели твэла в двумерной осесимметричпой пространственной постановке |120|. Геометрические параметры модели указаны в Таблице 4.2. Топливная таблетка состоит из спресованного порошка диоксида ура-па. Это керамический материал, обладающий высокой температурой плавления. Обсзразмсреппые параметры таблетки указаны в Таблице 4.3. Оболочка топливных таблеток твэлов играет критическую роль в безопасности ядерного реактора. Она должна быть устойчивой к высоким температурам, коррозии, радиационному излучению и иметь хорошую теплопроводность. Безразмерные значения параметров оболочки указаны в Таблице 4.4.

Таблица 4.2: Задача о твэле в нормальном режиме. Геометрические параметры задачи

Название Значение

Диаметр центрального отверстия О

Наружный диаметр таблетки 7.785