Математическое моделирование контактного взаимодействия системы тел при термомеханическом нагружении тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Аронов Павел Сергеевич

• Аронов Павел Сергеевич
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Аронов Павел Сергеевич

элементов

2.2. Реализация mortar-метода для моделирования контактного

взаимодействия нескольких тел с помощью метода конечных

элементов

2.3. Алгоритмы решения системы линейных алгебраических уравнений

2.3.1. Прямые методы

2.3.2. Итерационные методы

2.4. Численная модель ползучести

2.4.1. Явный метод Эйлера

2.4.2. Неявный метод Эйлера

2.4.2.1. Линеаризация с помощью метода простой итерации

2.4.2.2. Линеаризация с помощью метода Ньютона

2.4.3. Алгоритм автоматического выбора шага

Глава 3. Программа и результаты расчетов

3.1. Описание программы

3.2. Тестовые задачи

3.2.1. Задача с известным аналитическим решением

Стр.

3.2.2. Оценка значений оптимальных итерационных

параметров для метода MJOR

3.2.3. Контакт двух тел

3.2.3.1. Контакт двух тел с прямолинейной границей

3.2.3.2. Контакт двух тел с криволинейной границей

3.2.4. Тестовая задача об установившейся ползучести двух участков толстостенных труб, вступающих в контакт

3.3. Математическое моделирование термомеханики твэла

3.3.1. Сравнение эффективности различных методов

решения систем линейных уравнений для задачи с твэлом в термоупругой постановке

3.3.1.1. Задача №1

3.3.1.2. Задача №2

3.3.1.3. Задача №3

3.3.2. Моделирование участка твэла, состоящего из 10 таблеток. Сравнение с методом декомпозиции области

3.4. Результаты моделирования контактного взаимодействия элементов участка тепловыделяющего элемента, включающего

до 100 топливных таблеток, на интервале времени 10 лет

Выводы по диссертации и заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование контактного взаимодействия системы тел при термомеханическом нагружении»

Введение

Актуальность темы исследования. Тепловыделяющая сборка (ТВС) ядерного реактора — основной технологический компонент активной зоны ядерного энергетического реактора, содержащий в единой сборке ядерные материалы, барьеры защиты и устройства теплообмена, предназначенные для получения тепловой энергии в ядерном реакторе за счет осуществления контролируемой ядерной реакции [37]. Базовым компонентом ТВС является тепловыделяющий элемент (твэл) — конструктивный элемент ядерного реактора, в котором происходит процесс деления или деления и воспроизводства ядерного горючего. Тепловыделяющий элемент состоит из сердечника, выполненного из делящегося материала, и оболочки, служащей, как правило, для предупреждения выхода осколков деления в теплоноситель и исключения взаимодействия материалов теплоносителя и сердечника. Для оболочки используются вещества, слабо поглощающие нейтроны (алюминий и цирконий в тепловых реакторах, сталь — в быстрых). Конструкция твэла должна быть устойчивой против изменения размеров сердечника под воздействием облучения, нагрева и прочих факторов. Обычно твэлы объединяются в реакторах в группы, образуя ТВС (Рис. В1) или кассеты.

При детальном моделировании работы твэла, вообще говоря, необходимо учитывать следующие термомеханические процессы [47]: термоупругое расширение таблеток и оболочки, ползучесть таблеток и оболочки, механическое взаимодействие топливного столба с оболочкой, пластическое деформирование оболочки, распухание и радиационное доспекание таблеток, радиационный рост оболочки, выделение газообразных и летучих продуктов деления под оболочку твэла, растрескивание и фрагментация таблеток, перестройка структуры топлива, молекулярная, контактная, излучательная проводимость газового зазора, повреждаемость и трещиностойкость материала оболочки в условиях коррозии, теплоотдача на наружной

Головка

Решетка дисгаицноннрующая Уголок

Гвэлы

Хвостовик

Рис. В1.

Схема тепловыделяющей сборки

поверхности твэла.

При первоначальном выходе твэла на номинальную мощность преимущественно протекают процессы термического расширения топлива, вследствие чего уменьшается радиальный зазор между топливом и оболочкой. При температуре топлива Т > 1000° C наблюдается релаксация напряжений вследствие термической ползучести. Повышение мощности, как правило, сопровождается появлением радиальных трещин в топливе.

Квазистационарный режим работы твэла характеризуется дальнейшей фрагментацией топлива, на ранней стадии — доспеканием, а в дальнейшем — распуханием таблеток. При этом наблюдается уменьшение температуры топлива и, следовательно, радиального зазора. Уменьшению радиального зазора также способствуют терморадиационная ползучесть оболочки и растрескивание топлива.

Механическое взаимодействие таблеток с оболочкой и радиационный

?

Рис. В2.

Схема устройства твэла

рост оболочки под действием облучения приводят к необратимому удлинению твэла в процессе его работы. Наиболее интенсивно процесс удлинения твэла происходит в периоды повышения или маневрирования мощностью реактора вследствие сцепления расширяющегося топлива с оболочкой. При этом возможно накопление пластических деформаций оболочки. При сбросе мощности зависание фрагментированного топлива может приводить к образованию осевых зазоров между таблетками. При эксплуатации твэла на повышенной мощности возможно перекрытие радиального зазора и, следовательно, деформирование оболочки под действием распухающего топлива.

На Рис. В2 показана схема устройства твэла, состоящего из: 1 — наконечника, 2 — оболочки из сплава циркония, 3 — опорной решетки, 4 — пружины, 5 — топливных таблеток из диоксида урана (Рис. В3), 6 — заглушки.

В исходном состоянии топливные таблетки, сечение которых представлено на Рис. В4, имеют форму цилиндра высотой Кр, диаметром Dp, c фаской высотой hch, углом а^ и внутренним отверстием диаметром (1Р. Как правило, высота и диаметр таблетки — это величины порядка 1 см.

ч

Рис. В3.

Топливная таблетка

Рис. В4.

Сечение топливной таблетки

Моделирование термомеханического состояния тепловыделяющего элемента (твэла) в энергетических реакторах является актуальной и важной задачей. Одной из главных частей твэла является столб из топливных таблеток (их количество обычно составляет несколько сотен), заключенный в цилиндрическую оболочку. Изначально между топливом и оболочкой имеется зазор, заполненный газом. При эксплуатации топлива зазор

уменьшается вследствие изменения геометрических параметров топлива и оболочки.

Расчет термомеханического поведения твэла с учетом локальных неоднородностей нагружения оболочки необходимо проводить с учетом зависимости компонент механических напряжений по радиусу, по высоте, а также по угловой координате топливного элемента. Распределение напряжений в твэле определяется неоднородностью температуры, контактным взаимодействием таблеток и оболочки, наличием трещин в топливных таблетках. Неоднородное распределение температуры по топливной таблетке приводит к изменению ее геометрической формы и неоднородности нагружения оболочки по высоте таблетки. Образование трещин в таблетках происходит под действием растягивающих механических напряжений, возникающих вследствие температурных градиентов. Взаимодействие фрагментированной таблетки с оболочкой может приводить к появлению концентраторов напряжений, расположенных в областях оболочки, прилегающих к трещине. Высокие пиковые растягивающие напряжения в оболочке могут ускорять процессы, ведущие к разгерметизации твэла.

Для адекватного моделирования термомеханического состояния твэла важно аккуратно учитывать контактное взаимодействие его элементов, поэтому в работе особое внимание уделено решению контактных задач.

Основополагающие работы в теории контактного взаимодействия принадлежат Г. Р. Герцу [82], который получил распределение напряжений в зоне контакта упругих тел. Существенный вклад в развитие методов и алгоритмов аналитического решения контактных задач внесли труды отечественных ученых — Н.И. Мусхелишвили [35], А.Галина [13], И.Я. Штаермана [54], Д. И. Шермана [53] и многих других, а также работы зарубежных механиков и математиков К. Каттанео [69], Д. Синьорини [95], Р. Д. Миндлина [89], М.Губера [84] и других. Обзор основных контактных

алгоритмов приведен в работе Н. Г. Бураго, В.Н. Кукуджанова [9]. Подробный обзор современного состояния исследований в области механики дискретного контакта, включая основные подходы к постановке задач, методы аналитического и численного решения, конкретные результаты и области их практического использования приведен в [14].

Для большого числа видов контактного взаимодействия и форм контактирующих поверхностей, в частности для большинства практически важных задач, не получено соответствующих аналитических решений [9]. В этих случаях наиболее перспективными представляются численные методы [65, 96]. В задачах, характеризующихся сравнительно невысокими требованиями к гладкости входящих в их формулировку функций, основным методом расчетов является метод конечных элементов (МКЭ). Первые вклады в изучение контактной механики в рамках метода конечных элементов можно проследить в течение 1970-х и 1980-х годов. В [55,76] условия контакта сформулированы на основе очень простого, чисто узлового подхода, который требует сопоставления узлов с сетками конечных элементов на границе контакта и ограничивается небольшими деформациями. В дальнейшем получили развитие другие идеи, характеризующиеся дискретным, точечным выполнением условия непроникаемости в узлах конечных элементов. Этот подход может быть легко применен к случаю конечных деформаций, поэтому постепенно он стал стандартной процедурой в вычислительной контактной механике [63,105].

Основными алгоритмами решения контактных задач являются метод множителей Лагранжа [12], метод штрафов и их комбинации [61], метод декомпозиции области [21,32,45]. Подробный обзор численных методов, используемых для решения контактных задач, приведен в [102].

Одним из вариантов метода конечных элементов для случая несогласованных сеток является mortar-метод [79, 92], в котором непрерывность решения, как правило, обеспечивается с помощью

множителей Лагранжа [60] либо с помощью техники Нитше [29,78,90]. Данные методы использовались для удовлетворения условиям на границе области в слабом смысле и в более поздних работах [64,87] были перенесены на случай стыковки сеток. В [56,61] для приближенного удовлетворения главным условиям на границе области предложен метод штрафа. В работах [27,28] использован метод штрафа стыковки сеток для уравнений второго и четвертого порядка.

Первые использования mortar-метода применительно к контактным задачам можно найти в работах [66, 83]. Дальнейшее развитие mortar-метода в разных постановках и применительно к различных задачам можно проследить в работах [68,81,107], а также [91,97,98].

Целью работы является разработка и применение математических моделей, алгоритмов и программных средств для моделирования контактного взаимодействия тел в условиях высокоинтенсивного термомеханического нагружения применительно к тепловыделяющему элементу ядерного реактора.

Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих основных задач.

1. Анализ математических моделей, описывающих термомеханические процессы, протекающие в тепловыделяющем элементе.

2. Построение численных алгоритмов решения контактных задач.

3. Разработка программного комплекса для математического моделирования контактного взаимодействия системы тел в двумерной плоской и осесимметричной постановках с учетом ползучести.

4. Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния системы контактирующих тел при термомеханическом нагружении.

Методы исследования. При решении задач, возникших в ходе выполнения диссертационной работы, использовались различные методы

математического моделирования и вычислительной математики: методы решения задач математической физики, вычислительный эксперимент, метод конечных элементов, mortar-метод, модифицированные итерационные методы решения систем линейных уравнений.

Достоверность и обоснованность полученных результатов гарантируется строгостью используемого математического аппарата и подтверждается сравнением результатов расчетов с известными аналитическими решениями тестовых задач.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научные результаты.

1. Построены алгоритмы численного решения мультиконтактных задач на основе mortar-метода в двумерной плоской и осесимметричной постановках. На их основе построен вычислительный алгоритм для моделирования термомеханических процессов в тепловыделяющем элементе на всем временном интервале его эксплуатации с учетом процессов ползучести.

2. Предложены обобщенные на случай контакта многих тел алгоритмы на основе модифицированных итерационных методов решения систем линейных уравнений, позволяющие автоматически учитывать изменяющуюся конфигурацию контактных поверхностей.

3. Создан программный комплекс для моделирования напряженно-деформированного состояния системы термоупругих контактирующих тел, имеющий модульную структуру, благодаря которой его можно расширять, включая новые модули, описывающие новые эффекты.

Теоретическая и практическая значимость диссертационной работы состоит в развитии методов численного исследования контактных задач теории термоупругости с учетом процессов ползучести, что необходимо для моделирования термомеханических процессов, протекающих в тепловыделяющем элементе.

Разработан и зарегистрирован программный комплекс, позволяющий моделировать участок твэла, в который могут входить от одной до нескольких десятков топливных таблеток, в осесимметричном термоупругом приближении с учетом процесса ползучести.

Проведено сопоставление данных вычислительного эксперимента с известными аналитическими решениями, подтвердившее корректность разработанных алгоритмов.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях: Международная научная конференция «Современные проблемы вычислительной математики и математической физики» (Москва, 2019), XVII International Seminar Mathematical models and modeling in laser plasma process and advanced science technologies (LPpM3-2019) (Черногория, Петровац, 2019), Международная конференция «Актуальные проблемы математической физики», посвященная 95-летию профессора А. Г. Свешникова и 80-летию профессора В.Ф. Бутузова (Москва, 2019), Всероссийская конференция с международным участием «Теория управления и математическое моделирование» (Ижевск, 2020), 11-я Всероссийская конференция «Необратимые процессы в природе и технике» (Москва, 2021), 27-я Всероссийская конференция с участием зарубежных ученых по численным методам решения задач теории упругости и пластичности, посвященная 100-летию Н. Н. Яненко (Красноярск, 2021), Международная инновационная конференция молодых ученых и студентов по современным проблемам машиноведения МИКМУС-2021 (Москва, 2021; награжден почетным дипломом), а также на семинаре в Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН (Москва, 2022).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в 10 печатных работах, в том числе 2 статьях в изданиях, индексируемых в международных базах данных и системах цитирования Scopus и Web of

Science.

Работы 2018 - 2020 годов поддержаны грантами Российского фонда фундаментальных исследований (проекты РФФИ № 18-01-00252 и № 18-3120020).

Личный вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь материал, который непосредственно принадлежит соискателю, заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

Структура и объём работы Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы. Диссертационная работа изложена на 136 страницах, содержит 75 иллюстраций и 17 таблиц. Библиография включает 107 источников.

Опишем содержание работы.

В первой главе представлены математические модели, описывающие некоторые происходящие в тепловыделяющем элементе процессы. Приведены математические формулировки начально-краевой задачи для нелинейного уравнения теплопроводности и задачи механики деформируемого твердого тела, а также дан обзор реалистичных математических моделей происходящих в твэле процессов, среди которых выделен ряд эффектов, представляющих наибольший интерес (тепловая задача, контактная задача, развитие деформаций ползучести).

Описана совокупность физических процессов, протекающих в твэле. К их числу относятся механическое взаимодействие топливного столба с оболочкой, ползучесть таблеток и оболочки, радиационное доспекание, распухание, перестройка структуры топлива, растрескивание и фрагментация таблеток диоксида урана. Эти процессы приводят к деформации топливных таблеток, изменению плотности, открытой пористости и других свойств топлива и сопровождаются выходом газообразных продуктов под оболочку.

Обычно интенсивность перечисленных процессов связывают со степенью выгорания топлива.

Построенная в работе математическая модель учитывает тепловую задачу, термоупругое деформирование, контактное взаимодействие элементов твэла, а также развитие деформаций ползучести на всем временном интервале его эксплуатации.

Решение контактной задачи является одним из ключевых моментов при создании программного комплекса для полноценного моделирования твэла. В частности, при решении контактной задачи в случае твэла возникают трудности, связанные с наличием в расчетной области большого количества тел, причем конфигурация контактных поверхностей существенно меняется в ходе расчета. Именно на участках контакта таблеток с оболочкой возникают концентраторы напряжений, которые нужно корректно учитывать при оценке долговечности конструкции.

Рассмотрены дополнительные контактные условия, учитывающие различные ситуации при изменении конфигурации контактных поверхностей.

Для моделирования процесса ползучести использована теория течения, в которой предполагается, что при заданной температуре между напряжением, скоростью деформации ползучести и временем существует определенная зависимость.

Проанализированы математические модели, описывающие разнообразные термомеханические процессы, проходящие в твэле. Осуществлен переход к слабой постановке задачи, основанной на минимизации функционала полной энергии с учетом вклада в нее распределенных контактных сил.

Во второй главе предложены методы численного решения термомеханических задач с учетом ползучести. Учет контактного взаимодействия осуществлен с помощью mortar-метода, который является одним из вариантов метода множителей Лагранжа для несогласованных

поверхностных сеток. Для пространственной дискретизации задачи использован метод конечных элементов, в расчетах применены элементы второго порядка на четырехугольной сетке. Для численного решения задачи развития деформаций ползучести предложены алгоритмы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе явного и неявного методов Эйлера с автоматическим выбором шага по времени. Проведено обобщение модифицированных итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений на случай контакта многих тел.

Для учета интеграла по контактной поверхности использовано два способа. В первом из них считается, что в интеграл всегда входят все узлы сетки, лежащие на рассматриваемых потенциально контактных поверхностях. Во втором способе в конце каждой итерации необходимо корректировать список узлов, относящихся к контактным поверхностям (если узел выходит из контакта, то он больше не дает вклад в интеграл).

Для численного решения полученных плохо обусловленных систем линейных уравнений с нулевым блоком на главной диагонали использованы различные итерационные методы: модифицированные итерационные методы, метод Узавы, обобщенный метод минимальных невязок (вМЯЕВ). Также использованы два итерационных процесса для двух способов учета интеграла по контактной поверхности, в которых на каждой итерации глобальная система уравнений решается с помощью метода Гаусса.

В третьей главе приведены результаты численного моделирования серии мультиконтактных термомеханических задач с учетом ползучести с помощью разработанного программного комплекса. Приведено описание разработанного программного комплекса «Морконт». Отмечено, что программный комплекс позволяет моделировать основные качественные и количественные характеристики твэла, содержащего до 100 топливных таблеток, в выбранном приближении.

Для верификации разработанного программного комплекса решены

тестовые задачи с известными аналитическими решениями: задача с контактом колонны прямоугольных брусков (их количество варьировалось от 1 до 100), поставленных друг на друга, а также задача о контакте двух толстостенных труб, нагруженных внутренним давлением со степенным законом для скорости ползучести материала.

Для задачи, моделирующей участок твэла в термоупругой постановке, показано, что использование модифицированных итерационных методов решения системы линейных уравнений, возникающей при дискретизации задачи, позволяет учитывать выход из контакта участков контактной поверхности без дополнительного вмешательства в алгоритм. Рассмотрена задача определения эффективного метода решения полученной плохо обусловленной системы линейных уравнений. Показано, что для большого числа таблеток минимальное время расчета достигается при использовании модифицированного метода Якоби (например, для фиксированной сетки и 50 таблеток различие в 25 раз по сравнению с вМЯЕВ и в 262 раза по сравнению с методом Гаусса).

Учет деформаций ползучести приводит к заметному (в 5-10 раз) уменьшению значений напряжений в конструкции в конце рассматриваемого интервала времени. При моделировании участка твэла с учетом процессов ползучести использование переменного шага позволяет существенно уменьшить количество шагов по времени, а время расчетов уменьшается в 10-15 раз по сравнению с расчетами с постоянным шагом.

Качественное и количественное соответствие результатов вычислительных экспериментов и известных аналитических решений свидетельствует о корректности используемых в диссертационной работе моделей и алгоритмов.

Глава 1. Математическая модель

1.1. Математическая постановка контактной задачи для системы термоупругих тел с учетом ползучести

Ограничимся решением следующей двумерной плоской или осесимметричной задачи, моделирующей термомеханические процессы, происходящие в твэле: внутри цилиндрической оболочки С^ расположен столб из N — 1 поставленных друг на друга одинаковых цилиндрических таблеток С1,..., С^—1, имеющих внутреннее отверстие и фаски на обоих торцах. На Рис. 1.1 показана область моделирования, соответствующая половине продольного сечения участка твэла. Введем следующие обозначения для поверхностей тел: 51 — участок поверхности, на котором поставлено условие 1-го рода для нормальной компоненты перемещения, ¿2 — внутренняя поверхность таблеток, 53 — верхний торец верхней таблетки, 54 — внешняя поверхность таблеток, 55 — внутренняя поверхность оболочки, 56 — внешняя поверхность оболочки.

Предположим, что эффектом связанности можно пренебречь, поэтому задачу теплопроводности будем решать отдельно, а полученное температурное поле использовать при решении контактной задачи термомеханики.

Рассмотрим следующую начально-краевую задачу для нелинейного

ж

уравнения теплопроводности в области С = У Са [25]:

а=1

с(т)рж = {кг*+х е 1> (1-1)

Т(х, 0) = То(х), х е С; (1.2)

Т(х,г) = Т1(х), х е 5а, г> 0; (1.3)

-пгкгз(Т)Ту(х, Ь) = 0, х е дСрг> 0; (1.4)

-пгкгз(т)т^(х,г) = а[т(х,г) - т/(х,г)], х е 54, х е 5в, г> 0, (1.5)

Рис. 1.1.

Схема области моделирования

где с(Т) — удельная массовая теплоемкость среды, р — плотность среды, х —

вектор пространственных координат, Ь — время, к^ — компоненты тензора

дТ

теплопроводности, Т7 = ——, д(х^) — мощность внутренних источников

ох^

тепла (отлична от нуля в таблетках), То(х) — начальная температура, Т^х, ^ — температура на поверхности 56, Т(х, £) — температура в момент времени щ — компоненты единичного вектора внешней нормали к границе дС, а — коэффициент теплоотдачи на поверхностях 54 и 55, (х) — температура в сходственной точке, лежащей на внутренней поверхности оболочки.

Математическая формулировка квазистационарной задачи механики деформируемого твердого тела для случая, когда объемные силы отсутствуют, включает в себя [16] следующие соотношения для каждого тела с номером

а (г,3 = 13):

- уравнения равновесия

а^э(и, £) = 0, х е Са, г> 0; (1.6)

- кинематические граничные условия

и(х,г) = и0(х,£), х е , г> 0; (1.7)

- силовые граничные условия

а^(и,1)щ = Рг(х,1), х е , 0; (1.8)

- соотношения Коши для линейного тензора полной деформации

1 2

£гз(x,t) = -(uhJ(x,t) + Uj¿(x),t), x e Ga, t> 0; (1.9)

- определяющие уравнения (закон Гука)

(x,t) = Cijki(ski (x,t) - eh (x,t), x e Ga, t> 0; (1.10) где Xi — координаты вектора x e Ga; a¡j — компоненты тензора напряжений;

' а 5 ^ ij

£ki — компоненты тензора полной деформации; £°к1 — компоненты тензора

неупругой деформации; щ — компоненты вектора перемещения; С,-ф\ — компоненты тензора упругих постоянных; рГ1 — компоненты вектора поверхностных сил; п^ — компоненты вектора внешней нормали к соответствующей поверхности Б^; Б в и Б^ — объединение поверхностей, на которых заданы кинематические и силовые граничные условия соответственно.

Здесь и далее по повторяющимся латинским индексам ведется суммирование.

Запишем принятое в теории [16] соотношение для производной тензора неупругой деформации

4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4, (1.11)

где — компоненты тензора температурных деформаций, £\- — компоненты

тензора деформаций ползучести, — компоненты тензора пластических деформаций, — компоненты тензора радиационной деформации, е7^ — компоненты тензора деформаций уплотнения, — компоненты тензора деформаций растрескивания.

Дадим краткий обзор математических моделей, описывающих некоторые происходящие в твэле процессы.

1. Для термоупругого тела температурные деформации записываются следующим образом [25]:

4 = о£ АТ, (1.12)

где аф — компоненты тензора теплового расширения, АТ = Т(х, I) — Т0 — приращение температуры относительно начального уровня температуры. В детальных моделях тепловыделяющего элемента компоненты тензора теплового расширения зависят от большого количества параметров. Конкретный вид расчетных формул для оф будет приведен в разделе 1.2.

2. При длительном нагружении различных конструкций, эксплуатация которых протекает при повышенных температурах, возникают необратимые деформации, в результате чего напряжения могут изменяться во времени. Это явление изменения во времени деформаций и напряжений, возникших при нагружении, называют ползучестью. В общем случае ползучести изменение деформаций сопровождается изменением напряжений. Для установления зависимостей между деформациями, напряжениями, скоростями их изменения и временем предварительно необходимо максимально ограничить число переменных и сделать предположение о том, между какими из них существует функциональная зависимость. Это предположение носит название технической теории ползучести. Существуют три технические теории ползучести: старения, течения и упрочнения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Аронов Павел Сергеевич, 2022 год

Литература

[1] Аронов П. С. Численное решение задач теории упругости методом конечных элементов // Политехнический молодежный журнал. 2017. №6(11). С. 10-15.

[2] Аронов П. С. Численное решение контактной задачи теории упругости с односторонними связями с помощью смешанной схемы метода конечных элементов // Политехнический молодежный журнал. 2017. № 10 (15). С. 1-10.

[3] Аронов П. С., Родин А. С. Математическое моделирование контактного взаимодействия двух упругих тел с криволинейными границами на несогласованных сетках // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2019. № 87. 27 с.

[4] Аронов П. С., Галанин М. П., Родин А. С. Математическое моделирование контактного взаимодействия элементов твэла с учетом ползучести на основе шоГаг-метода. // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. 2020. № 110. 24 с.

[5] Аронов П.С., Галанин М.П., Родин А.С. Сравнение методов решения систем линейных уравнений, возникающих в задачах с изменяющейся конфигурацией контактной поверхности // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. 2021. № 39. 28 с.

[6] Аронов П. С., Галанин М. П., Родин А. С. Численное решение задачи контактного взаимодействия элементов твэла с помощью шоГаг-метода и метода декомпозиции области // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2021. № 1. С. 4-22.

[7] Аронов П. С., Галанин М. П., Родин А. С. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2022613631.

Программа для численного моделирования системы термоупругих тел «Морконт». Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 14.03.2022.

[8] Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. 636 с.

[9] Бураго Н. Г., Кукуджанов В.Н. Обзор контактных алгоритмов // Известия РАН. Механика твердого тела. 2005. № 1. С. 45-87.

[10] Бутюгин Д. С. Параллельный предобуславливатель ББОК для решения задач электромагнетизма в частотной области // Вычислительные методы и программирование. 2011. Т. 12. № 1. С. 110-117.

[11] Быченков Ю. В., Чижонков Е. В. Итерационные методы решения седловых задач. М.: БИНОМ, 2010. 349 с.

[12] Варианты реализации метода множителей Лагранжа для решения двумерных контактных задач / М. П. Галанин [и др.] // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2015. № 89. С. 1-27.

[13] Галин Л. А. Развитие теории контактных задач в СССР. М.: Наука, 1976. 493 с.

[14] Горячева И. Г., Цуканов И. Ю. Развитие механики дискретного контакта с приложениями к исследованию фрикционного взаимодействия деформируемых тел (Обзор) // Прикладная математика и механика. 2020. Т. 84. № 6. С. 757-789.

[15] Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. М.: Мир, 2001. 435 с.

[16] Зарубин В. С., Кувыркин Г. Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2008. 512 с.

[17] Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 318 с.

[18] Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986. 318 с.

[19] Исследование сходимости метода Шварца при решении плоской контактной задачи / М. П. Галанин [и др.]. М.: РАН, 2017. 40 с.

[20] Исследования влияния итерационных параметров на сходимость метода Шварца при решении задачи контакта упругих тел / М. П. Галанин [и др.] // МаШешаНеа Мопйв^п. 2018. Т. ХЫ С. 33-54.

[21] Караваев А. С., Копысов С. П. Метод Шварца декомпозиции области в контактных задачах // Труды Института механики УрО РАН «Проблемы механики и материаловедения». 2017. С. 6-20.

[22] Качанов Л. М. Основы механики разрушения. М.: Наука, 1974. 312 с.

[23] Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел. Новосибирск: Издательство СО РАН. 2000. 262 с.

[24] Котович А. В., Станкевич И. В. Решение задач теории упругости методом конечных элементов. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2012. 112 с.

[25] Котович А. В., Станкевич И. В. Решение задач теплопроводности методом конечных элементов. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2010. 84 с.

[26] Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1975. 400 с.

[27] Масловская Л. В., Масловская О. М. Метод штрафа для стыковки сеток в методе конечных элементов // Известия высших учебных заведений. Математика. 2006. № 10. С. 33-43.

[28] Масловская Л. В., Масловская О. М. Метод штрафа стыковки сеток в смешанном методе конечных элементов // Известия высших учебных заведений. Математика. 2009. № 3. С. 37-54.

[29] Масловская Л. В., Масловская О. М. Мортар-метод Нитше стыковки сеток в смешанном методе конечных элементов // Известия высших учебных заведений. Математика. 2010. № 4. С. 19-35.

[30] Масловская Л. В., Масловская О. М. Мортар-метод стыковки сеток в смешанной схеме Германна — Мийоси для бигармонического уравнения // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2009. Т. 49. № 4. С. 681-695.

[31] Математическое моделирование разрушения хрупкого материала под действием тепловых нагрузок / М. П. Галанин [и др.] // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2013. № 100. 36 с.

[32] Моделирование контактного взаимодействия системы термоупругих тел методом Шварца для многомерного случая / М. П. Галанин [и др.] // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 2016. № 12. С. 9-20.

[33] Модель разрушения хрупкого материала под действием тепловых нагрузок / М. П. Галанин [и др.] // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2014. № 6. С. 96-118.

[34] Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. М.: Мир. 1974. 319 с.

[35] Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. Физматгиз. 1966. 708 с.

[36] Пластинки и оболочки из стеклопластиков / БажановВ. Л. [и др.]. М.: Высшая школа, 1970. 480 с.

[37] Пучков В. А. Гражданская оборона. М.: ФГБУ ВНИИ ГОЧС (ФЦ). 2017. 414 с.

[38] Разностные схемы метода опорных операторов для уравнений теории упругости / Колдоба А. В. [и др.] // Математическое моделирование. 2012. Т. 24. № 12. С. 86-96.

[39] Решение задачи контакта упругих тел шоГаг-методом и методом Шварца на несогласованных сетках / П. С. Аронов [и др.] // Таврический вестник информатики и математики. 2019. Т. 42. № 1. С. 24-42.

[40] Розин Л. А. Вариационные постановки задач для упругих систем. Л.: Изд-во Ленинградского университета, 1978. 222 с.

[41] Розин Л. А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. М.: Стройиздат, 1977. 129 с.

[42] Саад Ю. Итерационные методы для разреженных линейных систем. В 2 т. Т. 1: пер. с англ. М.: Изд-во МГУ, 2013. 326 с.

[43] Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. 392 с.

[44] Станкевич И. В., Аронов П. С. Математическое моделирование контактного взаимодействия двух упругих тел с помощью шоГаг-метода // Математика и математическое моделирование. 2018. № 3. С. 26-44.

[45] Станкевич И. В., Яковлев М. Е., Си Ту Хтет. Разработка алгоритма контактного взаимодействия на основе альтернирующего метода Шварца // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. Спец. вып. Прикладная математика, 2011. С. 134-141.

[46] Темам Р. Уравнения Навье — Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981. 408 с.

[47] Тутнов Ан. А., Тутнов А. А., Ульянов А. И. РиЬ8ЛК-2: Математическое моделирование теплофизических процессов в твэлах реакторов // Атомная энергия. Т. 76. № 5. 1994. С. 411-417.

[48] Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи: Пер. с англ. М.: Мир, 1990. 512 с.

[49] Цвик Л. Б. Принцип поочередности в задачах о сопряжении и контакте твердых деформируемых тел // Прикладная механика. 1980. Т. 16. № 1. С. 13-18.

[50] Чижонков Е. В. К сходимости метода искусственной сжимаемости // Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика. Механика. 1996. № 2. С. 13-20.

[51] Чижонков Е. В. О сходимости модифицированного метода 88ОЯ для алгебраической системы типа Стокса // Численный анализ: методы и программы. М.: Изд-во МГУ, 1998. 83-91 с.

[52] Чижонков Е. В. Об алгоритме Эрроу — Гурвица с переменными итерационными параметрами // Известия высших учебных заведений. Математика. 1999. № 5. С. 65-72.

[53] Шерман Д. И. Плоская задача теории упругости для анизотропной

среды // Труды Сейсмологического института Академии наук СССР. 1938. № 86. С. 51-78.

[54] Штаерман И. Я. Контактная задача теории упругости. М.: Гостехиздат, 1949. 270 с.

[55] A finite element method for a class of contact-impact problems / Hughes T. J. R. [et al.] // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1976. Vol. 8. P. 249-276.

[56] Aubin J.-P. Approximation des problemes aux limites non homogenes et regularite de la convergence // Calcolo. 1969. Vol. 6. P. 117-140.

[57] Adams M. F. Algebraic multigrid methods for constrained linear systems with applications to contact problems in solid mechanics // Numerical Linear Algebra with Applications. 2004. No. 11. P. 141-153.

[58] Aronov P. S., Galanin M.P., Rodin A. S. Mathematical modeling of the contact interaction of fuel elements using the mortar method // Mathematica Montisnigri. 2020. Vol. 48. P. 43-57.

[59] Aronov P.S., Galanin M.P., Rodin A. S. Application of the MSSOR for solving systems of linear equations corresponding to problems with a changing configuration of the contact surface // AIP Conference Proceedings. 2021. Vol. 2448. No. 020002. P. 1-12.

[60] Babuska I. Error-bounds for finite element method // Numerische Mathematik. 1971. Vol. 16. P. 322-333.

[61] Babuska I. The finite element method with penalty // Mathematics of Computation. 1973. Vol. 27. No. 122. P. 221-228.

[62] Bathe K.-J. Finite Element Procedures. Prentice-Hall, 1996. 1052 p.

[63] Bathe K.-J., Chaudhary A. A solution method for planar and axisymmetric contact problems // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1985. Vol. 21. P. 65-88.

[64] Becker R., Hansbo P., Stenberg R. A finite element method for domain decomposition with non-matching grids // Mathematical Modelling and Numerical Analysis. 2003. Vol. 37. No 2. P. 209-225.

[65] Ben Belgacem F. Numerical simulation of some variational inequalities arisen from unilateral contact problems by the finite element methods // SIAM Journal on Numerical Analysis. 2000. Vol. 37. No. 4. P. 11981216.

[66] Ben Belgacem F., Hild P., Laborde P. The mortar finite element method for contact problems // Mathematical and Computer Modelling. 1998. Vol. 28. No. 4-8. P. 263-271.

[67] Bernardi C., Maday Y., Rapetti F. Basics and some applications of the mortar element method // GAMM-Mitteilungen. 2005. Vol. 28. No. 2. P. 97-123.

[68] Buffa A., Maday Y., Rapetti F. A sliding mesh-mortar method for a two dimensional eddy currents model of electric engines // Mathematical Modelling and Numerical Analysis. 2001. Vol. 35. No. 2. P. 191-228.

[69] Cattaneo C. Sul contatto di due corpi elastici: distribuzione locale degli sforzi // Rendiconti dell'Accademia Nazionale dei Lincei. 1938. Vol. 27. P. 342-348.

[70] De Lorenzis L., Wriggers P., Zavarise G. A mortar formulation for 3D large deformation contact using NURBS-based isogeometric analysis and the augmented Lagrangian method // Computational Mechanics. 2012. Vol. 49. P. 1-20.

[71] Duong T. X., De Lorenzis L., Sauer R. A. A segmentation-free isogeometric extended mortar contact method // Computational Mechanics. 2019. No. 63. P. 383-407.

[72] Eck C., Wohlmuth B. Convergence of a contact-Neumann iteration for the solution of two-body contact problems // Eck C., Wohlmuth B. Convergence of a contact-Neumann iteration for the Mathematical models methods application science. 2003. Vol. 13. P. 1103-1118.

[73] Finite deformation frictional mortar contact using a semi-smooth Newton method with consistent linearization / Gitterle M. [et al.] // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2010. Vol. 84. No. 5. P. 543-571.

[74] Fischer K. A., Wriggers P. Frictionless 2D Contact formulations for finite deformations based on the mortar method // Computational Mechanics. 2005. Vol. 36. P. 226-244.

[75] Fischer K. A., Wriggers P. Mortar based frictional contact formulation for higher order interpolations using the moving friction cone // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2006. Vol. 195. No. 37-40. P. 5020-5036.

[76] Francavilla A., Zienkiewicz O. V. A note on numerical computation of elastic contact problems // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1975. Vol. 9, P. 913-924.

[77] Fuel Analysis and Licensing Code: FALCON M0D01: Volume 1: Theoretical and Numerical Bases. EPRI, Palo Alto, CA. 2004. 246 p.

[78] Gustafsson T., Stenberg R., Videman J. Error analysis of Nitsche's mortar method//Numerische Matematik. 2019. Vol. 142. No. 4. P. 973-994.

[79] Healy M. The Mortar Boundary Element Method. London: Brunei University, 2010. 160 p.

[80] Hagrman D. L. MATPRO — A Library of Materials Properties for Use in the Analysis of Light Water Reactor Fuel Rod Behavior. NUREG/CR-6150 TREE-1280. 1993. 445 p.

[81] Hesch C., Betsch P. A mortar method for energy-momentum conserving schemes in frictionless dynamic contact problems // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2009. Vol. 77. No. 10. P. 14681500.

[82] Hertz H., Über die Beruhrung fester elastischer Korper // Journal fur die reine und angewandte Mathematik. 1882. Vol. 92. P. 156-171.

[83] Hild P., Numerical implementation of two nonconforming finite element methods for unilateral contact // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2000. Vol. 184. P. 99-123.

[84] Huber M. T. Zur theorie der berührung fester elastischer korper // Annalen der Physik. 1904. Vol. 14. P. 153-163.

[85] Lamichhane B. P. Higher Order Mortar Finite Elements with Dual Lagrange Multiplier Spaces and Applications. Stuttgart: Universitat Stuttgart, 2006. 190 p.

[86] Laursen T. A., Puso M.A., Sanders J. Mortar contact formulations for deformable-deformable contact: Past contributions and new extensions for enriched and embedded interface formulations // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2012. Vol. 205-208. P. 3-15.

[87] Le Tallec P., Sassi T. Domain decomposition with nonmatching grids:

augmented Lagrangian approach // Mathematics of Computation. 1995. Vol. 64. No. 212. P. 1367-1396.

[88] Lleras V. A stabilized Lagrange multiplier method for the finite element approximation of frictional contact problems in elastostatics // Mathematical Modelling of Natural Phenomena. 2009. Vol. 4. No. 1. P. 163-182.

[89] Mindlin R. D. Compliance of elastic bodies in contact // J. Appl. Mech. T-ASME. 1949. V. 16. P. 259-268.

[90] Nitsche J. A. Convergence of nonconforming methods // Mathematical aspects of finite elements in partial differential equations. 1974. P. 15-53.

[91] Popp A., Wall W. A. Dual mortar methods for computational contact mechanics — overview and recent developments // GAMM-Mitteilungen. 2014. Vol. 37. No. 1. P. 66-84.

[92] Poulios K., Renard Y. An unconstrained integral approximation of large sliding frictional contact between deformable solids // Computers and Structures. 2015. Vol. 153. P. 75-90.

[93] Puso M. A., Laursen T. A. A mortar segment-to-segment contact method for large deformation solid mechanics // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2004. Vol. 193. No. 6-8. P. 601-629.

[94] Puso M. A., Laursen T. A. A mortar segment-to-segment frictional contact method for large deformations // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2004. Vol. 193. No. 45-47. P. 4891-4913.

[95] Signorini A. Questioni di elastostatica linearizzata e semilinearizzata // Rend di Matern. 1959. Vol. 18. P. 381-402.

[96] Stadler G. Semismooth Newton and augmented Lagrangian methods for a

simplified friction problem // SIAM Journal on Optimization. 2004. Vol. 15. No. 1. P. 39-62.

[97] Temizer I. A mixed formulation of mortar-based frictionless contact // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2012. Vol. 223-224. P. 173-185.

[98] Temizer I., Wriggers P., Hughes T. J. R. Three-dimensional mortar-based frictional contact treatment in isogeometric analysis with NURBS // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2012. Vol. 209-212. P. 115-128.

[99] Toselli A., Widlund O. Domain Decomposition Methods — Algorithms and Theory. 2005. 450 p.

[100] Tur M., Fuenmayor F. J., Wriggers P. A mortar-based frictional contact formulation for large deformations using Lagrange multipliers // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2009. Vol. 198. No. 37-40. P. 2860-2873.

[101] Wohlmuth B. I. A mortar finite element method using dual spaces for the Lagrange multiplier // SIAM Journal on Numerical Analysis. 2000. Vol. 38. No. 3. P. 989-1012.

[102] Wohlmuth B. Variationally consistent discretization schemes and numerical algorithms for contact problems // Acta Numerica. 2011. Vol. 20. P. 569734.

[103] Wriggers P. Computational Contact Mechanics. Berlin-Heidelberg: Speinger-Verlag, 2006. 520 p.

[104] Wriggers P., Nackenhorst U. Analysis and Simulation of Contact Problems.

Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics, Vol. 27. Springer, Berlin, Heidelberg, 2006. 392 p.

[105] Wriggers P., Vu Van T., Stein E. Finite element formulation of large deformation impact-contact problems with friction // Computers & Structures. 1990. Vol. 37. P. 319-331.

[106] Yang B., Laursen T. A., Meng X. Two dimensional mortar contact methods for large deformation frictional sliding // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2005. Vol. 62. No. 9. P. 1183-1225.

[107] Zimmerman B.K., Ateshian G. A. A Surface-to-Surface Finite Element Algorithm for Large Deformation Frictional Contact in FEBIO // Journal of Biomechanical Engineering. 2018. Vol. 140. No. 8. P. 1-15.