Молекулярный транспорт в субнанометровых каналах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Тронин, Иван Владимирович

• Тронин, Иван Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тронин, Иван Владимирович

ВВЕДЕНИЕ.

1. Актуальность проблемы и цель работы.

2. Содержание диссертации.

3. Научная новизна и практическая значимость работы.

4. Положения, выносимые на защиту.

5. Список основных опубликованных по теме диссертации работ.

6. Апробация работы.

7. Структура и объем диссертации.

1. АНАЛИЗ ЛИТЕРАТУРЫ.

1.1. Анализ экспериментальных работ.

1.2. Анализ теоретических работ.

1.3. Выводы из анализа литературы.

2. СОРБЦИЯ И ТРАНСПОРТ ЧАСТИЦ В Ш-КАНАЛАХ.

2.1. Введение.

2.2. Изотерма сорбции в Ш канале.

2.3. Транспорт в Ш плотной системе.

2.4. Эффективное взаимодействие и образование кластеров частиц в канале.

2.5. Влияние межмолекулярного взаимодействия на транспортные свойства Ш системы частиц.

2.6. Анализ экспериментальных данных. Сравнение теории с экспериментом.

3. ПОДВИЖНОСТЬ ЧАСТИЦ В Ш-КАНАЛЕ.

3.1. Введение.

3.2. Релаксационные спектры, функция распределения по координатам и средний квадрат смещения взаимодействующих частиц в Ш системе произвольной плотности

3.3. Обсуждение результатов. Сравнение с экспериментом.

4. ТРАНСПОРТ ДВУХКОМПОНЕНТНОЙ СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ В Ш-КАНАЛАХ

4.1. Изотерма сорбции двухкомпонентного газа в Ш-канале.

4.2. Флуктуации в двухкомпонентной системе частиц и уравнение движения для параметра порядка в Ш-каналах.

4.3. Основное состояние системы в Ш-каналах.

4.4. Транспорт двухкомпонентного газа вШ плотной системе.

4.5. Сравнение с экспериментом.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Молекулярный транспорт в субнанометровых каналах»

1. Актуальность проблемы и цель работы

В настоящее время большое внимание уделяется исследованию объектов, размеры которых лежат в нанометровом диапазоне [1-12]. Такие объекты (нанокластеры, нанотрубки, а также образованные на их основе нанокомпозитные и наноструктурированные материалы) проявляют физические и химические свойства, отличные от свойств макрообъектов, что обусловлено их промежуточным положением между отдельными атомами и объемным твердым телом. К объектам такого рода принадлежат также недавно синтезированные поликристалличекие керамические мембраны из сложных оксидов (цеолитов), которые имеют каналы субнанометрового масштаба с диаметром от 0.3 до 1.4 нм.

Цолитовые мембраны широко применяются в различных областях от мембранного катализа до нефтяной промышленности [13-16]. Это обусловлено термической стойкостью цеолитовых мембран, высокой по сравнению с полимерными мембранами селективностью и некоторыми другими свойствами. Так, ионно-обменные свойства цеолита А (отношение Si/Al=l) используется для очистки воды от тяжелых ионов таких, как ионы Са2+ [14]. Цеолит Y используется в нефтяной промышленности в процессе каталитического расщепления при производстве бензина. Высокая производительность р-xylene по сравнению с изомерами о- и m-xylene мембраны ZSM-5 используется в утилизации. В порах этого цеолита могут образоваться все изомеры xylene, но /?-ху1епе диффундирует быстрее всех остальных изомеров. Цеолиты также используются в качестве селективных адсорбентов в процессах разделения, например разделении воздуха, удалении SOx, NOx из воздуха и т.п. [14]

При уменьшении диаметра каналов мембран до нанометрового масштаба, молекулярный транспорт определяется кнудсеновским течением в центральной зоне канала, свободной от поля взаимодействия молекул со стенками, и диффузией частиц в поле сил поверхности [17]. В каналах субнанометрового масштаба потенциалы взаимодействия молекул с противоположными стенками перекрываются, и молекулярный транспорт происходит в условиях постоянного взаимодействия молекул с твердым телом. Поэтому величина коэффициента диффузии в пределе малых заполнений канала молекулами определяется релаксацией частиц на фононах и дефектах поверхности [18]. За исключением легких частиц (Н, Не), стенки каналов непроницаемы для молекул, и поэтому молекулярный транспорт возможен лишь вдоль оси каналов. В этом смысле он отличен от диффузии в твердых телах и может считаться одномерным. В отличие от поверхностной диффузии в каналах с диаметром с!>1 нм, в субнанометровых каналах должно проявляться принципиально новое свойство молекулярного транспорта. При увеличении степени заполнения канала или диаметра (о) молекул, когда ¿/<2 ст, каждая молекула может блокировать движение других молекул. Поэтому можно ожидать, что при увеличении диаметра молекул или внешнего давления газа, молекулярных поток в мембранах с субнанометровыми каналами должен уменьшаться. Однако выполненные недавно эксперименты показали, что диффузионный поток ряда молекул (СН4, СгНб, и др.) в мембране из цеолита 7ЭМ-5 с диаметром каналов 0.54-г0.57 нм при увеличении внешнего давления газа не уменьшается, а увеличивается для этой мембраны [19]. Установлено также, что коэффициент диффузии для этих газов при увеличении степени заполнения каналов молекулами увеличивается более чем на порядок. Оказалось, что для ряда газов зависимость потока от температуры имеет максимум и минимум. Микроскопической теории, объясняющей эти закономерности, в литературе нет.

Для большинства исследованных газов сорбцию и транспорт в цеолитовых мембранах можно рассматривать как процессы в одномерной (Ш) системе. Теоретические модели Ш систем являются в статистической физике классическими примерами точно решаемых моделей [20]. Известно [21,22], что в Ш системах при повышении плотности не происходит фазового перехода (конденсации). Это означает, в частности, что в системе нет критического зародыша, и не появляются устойчивые зародыши новой фазы с макроскопически большими временами жизни. Вместе с тем, система Ш каналов в цеолитовых мембранах состоит из каналов конечной длины, в которых при достаточно большой степени заполнения могут образовываться кластеры с размером, сравнимым с длиной канала. Возникновение сильных флуктуаций плотности, приводит к тому, что с повышением степени заполнения канала молекулами время жизни и размер образующихся короткоживущих кластеров возрастает. Транспорт частиц в среде с такими кластерами происходит как коллективный эффект безбарьерной передачи возбуждения плотности. Это приводит к росту коэффициента диффузии (П) и потока (/) при увеличении степени заполнения. Такой механизм позволяет объяснить наблюдаемые для различных молекул зависимости величин Ь и /' от степени заполнения каналов однокомпонентным газом. Однако оказалось, что в двухкомпонентной смеси зависимость селективности транспорта от давления газовой смеси немонотонна, при увеличении давления селективность достигает максимума и далее уменьшается, а не увеличивается и, следовательно, описанный механизм ускорения диффузии в Ш каналах в случае двухкомпонентной смеси не работает.

Исследования показали, что с ростом степени заполнения двухкомпонентная смесь в каналах переходит в пространственно неоднородное состояние. При этом при повышенных степенях заполнения в двухкомпонентной смеси появляется новое свойство, отличающее ее от однокомпонентной системы - кластеры определенных размеров в каналах, вследствие возникающего эффективного притяжения частиц, стабилизируются потенциальным барьером. Такая ситуация характерна для переходов системы в неоднородное состояние [23]. Время жизни образующихся кластеров экспоненциально увеличивается в соответствии с законом Аррениуса, и при достаточно низкой температуре каналы с этими кластерами могут быть заблокированы для транспорта частиц смеси. Явление блокировки движения частицы другой частицей в канале может оказать существенное влияние на характер подвижности частиц не только в случае многокомпонентных, но также и в случае однокомпонентных систем, приводя к неэйнштейновской зависимости среднего квадрата смещения (х2^ частиц от времени

2)~л/О

Таким образом, описание молекулярного транспорта в цеолитовых мембранах сводится к описанию транспорта в Ш плотной многокомпонентной системе, в которой есть сильные флуктуации плотности, приводящие к образованию кластеров с конечным временем жизни. С другой стороны в силу высокой селективности молекулярного транспорта в цеолитовых мембранах по сравнению с известными полимерными мембранами [12,17], на их основе ведутся интенсивные разработки новых технологий разделения, переработки и утилизации веществ [12]. Все это вместе взятое объясняет интерес, проявляемый к цеолитовым мембранам, как с фундаментальной, так и с практической точки зрения.

Целью настоящей работы является описание закономерностей молекулярного транспорта в субнанометровых каналах цеолитовых мембран. В рамках данного исследования ставились следующие задачи:

• разработка теоретического подхода, позволяющего описать транспортные свойства и подвижность частиц в одно- и двухкомпонентных Ш-системах с произвольной плотностью и блокировкой с учетом произвольного парного взаимодействия частиц друг с другом;

• вычисление зависимости коэффициентов диффузии и парциальных потоков частиц газов через мембрану в зависимости от внешних условий (давления и температуры);

• описание с единых позиций немонотонных зависимостей потока от температуры, роста коэффициента диффузии при увеличении плотности (степени заполнения) частиц в субнанометровых каналах;

• вычисление подвижности частиц в Ш-каналах на различных пространственно-временных масштабах с учетом межчастичных корреляций и взаимной блокировки движения частиц;

• исследование основного состояния и механизмов транспорта двухкомпонентной системы частиц в Ш-канале;

• вычисление зависимости селективности и парциальных потоков от внешних условий и состава смеси газов над мембраной. Описание немонотонных зависимостей селективности для ряда смесей газов, а также зависимостей парциальных потоков от внешних условий для различных смесей газов.

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Тронин, Иван Владимирович

5. Заключение

1. Разработан теоретический подход, основанный на методе функционала плотности, позволяющий исследовать транспортные свойства и подвижность частиц в одно- и двухкомпонентных Ш системах с произвольной плотностью и блокировкой при произвольном взаимодействии между частицами.

2. Вычислена изотерма адсорбции чистого газа и двухкомпонентной смеси газов в субнанометровые каналы поликристаллических цеолитовых мембран с учетом взаимодействия между частицами в каналах.

3. Показано, что в случае одного сорта частиц при определенной степени заполнения частицы в субнанометровых каналах могут образовывать кластеры, размер и время жизни которых остаются конечными при произвольных плотностях вследствие одномерности системы. В зависимости от плотности частиц в системе могут быть реализованы два механизма транспорта: диффузия отдельных частиц при малых плотностях и коллективный эффект передачи возбуждения по кластеру при высоких плотностях. Процесс передачи возбуждения по кластеру носит безбарьерный характер, что при высоких плотностях приводит к ускорению диффузии.

4. Вычислены зависимости коэффициента диффузии и потока частиц через цеолитовую мембрану в зависимости от внешних условий (давления, температуры). Показано, что в отличие от 2Б и ЗБ систем, коэффициент диффузии частиц увеличивается с увеличением плотности.

5. Вычисленная зависимость восприимчивости от плотности частиц в канале показывает, что притяжение между частицами приводит к появлению кластеров различной плотности (различным расстоянием между частицами в кластере) при повышении плотности частиц в системе.

6. Построенная теория позволяет с единых позиций описать немонотонный характер зависимости потока газа от температуры, рост коэффициента диффузии при увеличении плотности частиц, различный характер зависимости подвижности от времени на разных пространственно-временных масштабах наблюдения, а также известные в литературе зависимости потоков и коэффициентов диффузии от внешних условий.

7. Вычислена подвижность частиц в Ш-каналах на различных пространственно

I2 / временных масштабах. На временах наблюдения £« у р. (/0 - среднее расстояние между частицами, £) — коэффициент диффузии) подвижность определяется взаимной блокировки движения частиц в Ш-канале, существенную роль играют межчастичные корреляции и подвижность частиц описывается соотношением х2^-^^. Это позволяет объяснить наблюдаемые в экспериментах зависимости подвижности от времени.

8. Для случая двух сортов частиц в субнанометровом канале вычислена свободная энергия Ш системы с учетом флуктуаций и возникающее из нее уравнение, определяющее амплитуду возникающих в рассматриваемой системе флуктуаций (уравнение параметра порядка). Показано, что при определенной степени заполнения канала основное состояние системы становится пространственно-неоднородным, что приводит к образованию кластеров с экспоненциально большим временем жизни. Стабилизация кластеров обусловлена корреляционными эффектами, вызванными эффективным притяжением частиц одного сорта и блокировкой кластера частицами другого сорта.

9. Вычислены зависимости селективности и парциальных потоков от внешних условий и состава смеси. Полученные соотношения позволяют описать немонотонный характер известной зависимости селективности от давления для ряда смесей, а также зависимости парциальных потоков от внешних условий для различных смесей газов. соотношением Эйнштейна тогда как на временах

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тронин, Иван Владимирович, 2004 год

1. Krylov S.Yu., Prosyanov A.V., Beenakker J.J.M. // J.Chem.Phys., 1997,107, p. 6970.

2. Beenakker J.J.M., Borman Y.D., Krylov S.Yu. // Phys. Rev. Lett., 1995, 103, p. 4622.

3. Vasenkov S., Karger J. // Phys. Rev. E, 2002, 66, 052601.

4. Halm K., Jobic H., Karger J. // Phys. Rev. E, 1999, 59, p. 6662.

5. Rodenbeck C., Karger J., Hahn K. // Phys. Rev. E., 57, p. 4382.

6. Skorodumova N.V., Simak S.I. Stability of gold nanowires at large Au-Au separations // Phys. Rev. B, 2003, 67,121404.

7. Борман В.Д., Крылов С.Ю., Просянов A.B. // ЖЭТФ, 1990, 97, с. 1795.

8. Rodrigues V., Ugarte D. Real-time imaging of atomistic process on one-atom-thick metal junctions //Phys. Rev. B, 2001, 63, 073405.

9. Sirkar K.K. // Chem. Eng. Comm., 1997,157, p. 145.

10. Flanders C.L., Tuan Y.A., Noble R.D., Falconer J.L. // J. Mem. Sci., 2000,176, p. 43.

11. Bowen T.C., Kalipcilar H., Falconer J.L., Noble R.D. // J. Mem. Sci., 2003,215, p. 235.

12. Хванг С.Т., Каммермейер К., Мембранные процессы разделения, М. Химия, 1981.

13. Tie S.T. Past, present and future role of microporous catalysts in the petroleum industry // Elsevier, 1994, chapter 13.

14. Davis M.E. Zeolites and molecular sieves: not just ordinary catalysts // Ind. Eng. Chem. Res., 1991, 30, p. 1675.

15. Ruthven D.M. Zeolites as selective adsorbents // Chem. Eng. Prog., 1988, 84(2), pp. 42.

16. Chen N.Y., Degnan T.F. Industrial catalytic applications of zeolites, Chem. Eng. Prog., 1988, 84(2), p.32.

17. Van de Graaf J.M. Permeation and separation properties of supported Silicalite-1 membranes: a modeling approach // Thesis, 1999.

18. Борман В.Д., Крылов С.Ю., Просянов A.B. //ЖЭТФ, 1990, 97, с. 1795.

19. Kapteijn F., Bakker W. J. W., Zheng G., Poppe J., Moulijn J. A. Permeation and separation of light hydrocarbons through a silicalite-1 membrane. Application of the generalized Maxwell-Stefan equations // Chem. Eng. Journal, 1995, 57, pp. 145-153.

20. Займан Дж., Модели беспорядка М.: Мир, 1984.

21. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика, часть 1 М: Наука, 1980.

22. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. ч1., ч2. М.: Мир, 1978.

23. Voskresensky D.N. The pahse transition to an inhomogeneous condensate state // Physica scripta, 1984,29, pp. 259-268.

24. Richards R. E., Rees L. V. C. Sorption and packing of n-alkane molecules in ZSM-5 // Langmuir, 1987, 3, p. 335.

25. Olson D. H., Haag W. D., Lago R. M. // J. Catal., 1980, 61, p. 390.

26. Доценко B.C. Физика спин-стекольного состояния // УФН, 1993, 163(6).

27. Bakker W.J.W., Zheng G., Kapteijn F., Makkee M., Moulijn J.A. Single and multi-component transport through metal-supported MFI zeolite membranes // Precision Process Technology, M.P.C. Weijnen cmd A.A.H. Drinkenburh (eds), 1993, pp. 425-436.

28. Nishiyama N., Gora L., Teplyakov V., Kapteijn F., Moulijn J.A. Evaluation of reproducible high flux silicalite-1 membranes: gas permeation and separation characterization // Sep. and purify. Tech., 2001,22-23, pp. 295-307.

29. Gupta V., Nivarthi S.S., McCorurich A.V. et al. // Chem. Phys. Lett., 1995,247, p. 596.

30. Kukla V., Kornatowski J., Demuth D. et al. // Science, 1996,222, p. 702.

31. Jobie H., Hahn K., Karger J. et al. // J. Phys. Chem., 1997,101, p. 5834.

32. Kapteijn F., Bakker W.J.W., Zheng G., Moulijn J.A. Temperature and occupancy-dependent diffusion on n-butane through a silicalite-1 membrane // Microporuos materials, 1994, 3, pp. 227-234.

33. Van den Broeke L.J.P., Bakker W.J.W., Kapteijn F., Moulijn J.A. // AIChE Journal, 1999, 45, 976.

34. Van de Graaf J.M., Kapteijn F., Moulijn J.A. // AIChE Journal, 1999, 45,497.

35. Ахиезер А.И., Пелетминский C.B. Методы статистической физики-M: Наука, 1977.

36. Zhu W., van de Graaf J.M., van den Broeke L.P.J., Kapteijn F., Moulijn J.A. TEOM: A unique technique for measuring adsorption properties. Light alkanes in silicalite-1 // Ind. Eng. Chem. Res., 1998, 37, p. 1934.

37. Rees L.V.C., Bruckner P., Hampson J. Sorption of N2, CH4 and CO2 in silicalite-1 // Gas Sep. & Pur., 1991, 5, p. 67.

38. Abdul-Rehman H.B., Hasanain M.A., Loughlin K.F. Quaternary, ternary, binary and pure component sorption on zeolites. 1. Light alkanes on Linde S-115 silicalite at moderate to high pressures // Ind. Eng. Chem. Res., 1990,29, p. 1525.

39. Meyers A.L., Prausznitz J.M. Thermodynamics of mixed gas adsorption // AIChE J., 1965, 11, p.121.

40. Habgood H.W. The kinetics of molecular sieves // Introduction to zeolite science and practice, Elsevier Science publishers, Amsterdam, 1991, p. 391.

41. Karger J., Bulow M. Theoretical prediction of uptake behavior in adsorption kinetics of binary gas mixtures using irreversible thermodynamics // Chem. Eng. Sci., 1975, 30, p. 893.

42. Yang R.T., Chen Y.D., Yeh Y.T. Prediction of cross-term coefficients in binary diffusion: diffusion in zeolite // Chem. Eng. Sci., 1991,46, p. 3089.

43. Karger J., Ruthven D.M. Diffusion in zeolites and other microporous solids // John Wiley & Sons, Inc., New York, 1992.

44. Xiao J., Wei J. Diffusion mechanism of hydrocarbons on zeolites-I. Theory // Chem. Eng. Sci., 1992,47(5), p. 1123.

45. Shelekhin A.B., Dixon A.G., Ma Y.H. Theory of gas diffusion and permeation in inorganic molecular-sieve membranes // AIChE J., 1995,41(1), p. 58.

46. Bakker W.J.W., Kapteijn F., Poppe J., Moulijn J.A. Permeation characteristics of a metal-supported silicalite-1 zeolite membrane // J. Membr., 1996,117, p. 57.

47. Beenakker J.J.M., Krylov S.Yu. Jump length distribution in molecule-on-substrate diffusion // Surface science letters, 1998,411, pp. L816-L821.

48. Резибуа П., Де Лернер М. Классическая кинетическая теория жидкостей и газов М.: Мир, 1980.

49. Девятко Ю.Н., Тронин В.Н. //ЖЭТФ, 1990, 98,1570.

50. Тронин В.Н. Применение метода функционала плотности для описания равновесных свойств и кинетики релаксации классических газоподобных систем // препринт МИФИ, 1990.

51. Ходель В. А., Шагинян В. Р. // Ядерная физика, 1987,46, с. 6.

52. Abrahams Е., Anderson P.W., Licciardello Р.С., Ramakrishman T.Y. // Phys. Rev. Lett., 1979, 42, p. 673.

53. Altshuler B.L., Aronov A.G., Khmelnitskii D.E., Larkin A.I. In: Quantum theory of solids / Ed. By I.M. Lifshits, Moscow: Mir Publishers, 1982, p. 130.

54. Derrida В., Luck J.M. // Phys Rev., 1983, B28, p. 7183.

55. Sinai la. In: Proceedings of the Berlin conference on mathematical problems in theoretical physics, ed. By R. Schrader, R. Seiler and D.A. Ohlenbrock. Berlin: Springer, 1982. p. 12.

56. Luck J.M. // Nucl. Phys., 1983, B225, p.169.

57. Peliti L. // Phys. Rept., 1984, 103, p. 225.

58. Fisher D.S. // Phys. Rev., 1984, A30, p.960.

59. В.Ю. Забурдаев, K.B. Чукбар // Письма в ЖЭТФ, 2003, 77, с. 654.

60. В.В. Учайкин // УФН, 2003, 173, с. 847.

61. F.A. Fedders // Phys. Rev. В, 1978, 17, p. 40.

62. J. Karger // Phys. Rev A, 1992,45, p. 4173.63. к. Hahn, J. Karger, Y. Kukla // Phys. Rev. Lett., 1996, 76, p. 2762.

63. Aslangul C. Single file diffusion with random diffusion constants //J. Phys. A, 2000, 33, pp. 851-862.

64. Фишер И. 3. Статистическая теория жидкостей М: Государственное издательство физико-математичекой литературы, 1961.

65. Зубарев Д. Н. Неравновесная статистическая термодинамика М: Наука, 1971.

66. Teodorovich E.V. Renormalization group method in the problem of effective conductivity of a randimly heterogeneous porous medium // JETP, 2002, 95, pp. 67-76.

67. Олемской А.И., Коплык И.В. Теория пространственно-временной эволюции неравновесной термодинамической системы//УФН, 1995, 165, с. 1105-1144

68. Олемской А.И. Теория стохастических систем с сингулярным мультипликативным шумом // УФН, 1998,168, с. 287-321.

69. Metzler R., Klafter J. // Phys. Rep, 2000,339, p. 1.

70. Климонтович Ю.Л. Статистическая физика M.: Наука, 1982.

71. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика М: Наука, 1980.

72. Цянь Сюэ-сень Физическая механика М: Мир, 1965.

73. Лагарьков А.Н. // УФН, 1978, 125,3, с. 409.

74. Herzfeld K.F., Goeppert-Mayer М. // J. Chem. Phys., 1932, 2, pp. 36-45.

75. Skorodumova N.V., Simak S.I. Spatial configurations of monoatomic gold chains // Сотр. Mat. Sci., 2000, 17, pp. 178-181.

76. Nilius N., Wallis T.M., Ho. W. From single atoms to one-dimensional solids: artificial gold chains on NiAl(l 10) // Jpn. J. Appl. Phys., 2003, 42, pp. 4790-4794.

77. Nilius N., Wallis T.M., Ho. W. Development of one-dimensional band structure in artificial gold chains // Science, 2002,297, pp. 1853-1856.

78. Ohnishi H., Kondo Y., Takaynagi K. Quantized conductance through individual rows of suspended gold atoms // letters to Nature, 1998, 395, pp. 780-783.

79. Introduction to zeolite science and practice. Editors H. Van Bekkam, E. M. Flanigen, J. C. Jancen, V.58, Amsterdam, 1991.

80. Kokotailo G. Т., Lawton S. L., Olson D. H., Meier W. M. // Nature 1978,272, p. 437.

81. Krishna R. // Gas Sep. Purif., 1993,7, p. 91.

82. Bakker W. J. W., Zheng G., Kapteijn F., Makkee M., Moulijn J.A. // Microporous Materials, 1993, 3, pp. 227-234.

83. Bakker W. J. W., Kapteijn F., Jansen K. J., Bekkum H., Moulijn J.A. // Proces Technologie, 1993.

84. Rodenbeck Chr., Karger J., Hahn K. // Phys. Rev. E, 1997, 55, p. 5697.

85. Rodenbeck Chr., Karger J., Hahn K. // Phys. Rev. E, 1998, 57, p. 4382.

86. Золотарев B.M. Одномерные устойчивые распределения M: Наука, 1983.

87. Физические величины, Справочник под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова, М.: Энергоатомиздат, 1991.

88. Воскресенский Д.Н., в сб. Многочастичные эффекты в твердых телах, М.: Энергоатомиздат, 1983, с. 25.

89. Бакунин О.Г. //УФН, 2003, 173, с. 317.

90. Саркисов Г.Н. //УФН, 1999,169, 625.7. Благодарности

91. Автор считает своим приятным долгом выразить искреннюю благодарность профессору Борману В.Д. за научное руководство, постановку задач, обсуждение результатов и плодотворные дискуссии.

92. Автор благодарит профессора Трояна В.И., профессора Теплякова В.В., профессора Волкова В.В., доцента Тронина В.Н., доцента Лагунцова Н.И., доцента Попова А.П. за постоянное внимание к работе, ценные замечания и обсуждение полученных результатов.