Мономиальные идеалы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Шакин, Дмитрий Александрович

• Шакин, Дмитрий Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Мономиальные идеалы»

Современные методы теории базисов Гребнера позволяют сводить многие вопросы об идеалах в кольце многочленов в изучению мономиальных идеалов, которые имеют гораздо более простуюктуру. В связи с этим особую важность приобретает исследование свойств мономиальных идеалов, в частности, их численных характеристик - функций Гильберта и градуированных чисел Бетти.

В 1927 Маколей [27] описал функции Гильберта всех однородных идеалов в кольце коммутативных многочленов А = к[х 1,.,жп] над полем к. Он рассмотрел так называемые лекссегментные идеалы, т.е., мономиальные идеалы, однородные компоненты которых порождаются (как векторные пространства) старшими по лексикографическому порядку мономами соответствующей степени, и показал, что для всякого однородного идеала существует лекссегментный идеал с такой же функцией Гильберта.

Результат Маколея оказался полезен не только с алгебраической, но и с комбинаторной точки зрения: лекссегментные идеалы имеют достаточно простое строение, что позволяет явно выписать численные ограничения, которым должна удовлетворять функция Гильберта однородного идеала. Дальнейшее развитие, особенно в теории графов, комбинаторная интерпретация результатов Маколея получила в работах Клементса, Линдстрема, Лека (см. также работу Стенли [29]).

Оказалось, что лекссегментные идеалы обладают также интересными экстремальными свойствами. Например, теорему Маколея можно переформулировать следующим образом: если V - векторное пространство с базисом из однородных многочленов степени ¿¿и Ь- векторное пространство с базисом из старших по лексикографическому порядку мономов степени 6, (лекссегмент-ное пространство) такой же размерности, то размерность пространства хУ (хУ порождено многочленами вида где / е V) не меньше размерности пространства хЬ, т.е., сНтхУ > сНтхЬ. Г. Гоцман [18] исследовал пространства, для которых в предыдущем неравенстве достигается равенство (теперь такие пространства называются гоцмановыми). Он, в частности, показал, что если V - гоцманово пространство, то xV - тоже гоцманово (теорема Гоцмана об устойчивости).

Другое следствие теоремы Маколея состоит в следующем: лекссегментный идеал имеет наибольшее число минимальных порождающих в каждой степени среди всех однородных идеалов с фиксированной функцией Гильберта. Иными словами, лекссегментный идеал имеет максимальные числа Бетти ¡3^ для всех г. Обобщение этого результата было получено в работах [10] и [23] (случай char А; = 0), а также [28] (случай char А; > 0), где было показано, что лекссегментный идеал обладает максимальными градуированными числами Бетти среди всех однородных идеалов в кольце многочленов, имеющих такую же функцию Гильберта.

Параллельно с изучением свойств экстремальности лекссегментных идеалов, возник вопрос о возможности описания функций Гильберта однородных идеалов в фактор-кольцах кольца многочленов по мономильным идеалам с помощью различных модификаций понятия лекссегментного идеала. Одними из первых результатов в этой области были работы Крушкаля [26] и Ка-тоны [25], которые описали с помощью лекссегментных1 идеалов функции Гильберта однородных идеалов во внешней алгебре2 Е = к(еi,. ,е„). Эти результаты имели важные геометрические приложения, так как позволяли описывать /-векторы (т.е., количество граней каждой размерности) симпли-циальных комплексов.

Обобщение результатов Маколея на более широкий класс идеалов было получено в работе [11], где были описаны функции Гильберта идеалов в фактор-алгебрах вида A/^xf1,. где d\ < ■ ■ • < dn < сю. Этот результат обобщал как теорему Маколея (d\ = ■ ■ ■ = dn = оо), так и теорему Крушкаля-Катоны (d\ = •■• — dn — 2).

Результаты работ [10], [23], [26] и [25], наряду с развитием техник для изучения чисел Бетти ([14], [4], [1]), привели к появлению большого количества новых результатов в этой области.

Так, М. Грин [19] изучал свойства экстремальности лекссегментных пространств при факторизации по общим линейным формам. Впоследствии его

Т.е., таких мономиальных идеалов во внешней алгебре, однородные компоненты которых порождаются (как векторные пространства) старшими по лексикографическому порядку мономами во внешней алгебре соответствующей степени. о

Рассмотрение функций Гильберта однородных идеалов во внешней алгебре равносильно рассмотрению функций Гильберта однородных идеалов в фактор-алгебре А/{х\,., х^) результаты были обобщены на случай общих однородных форм в работах [22] И [17].

Целый цикл работ был посвящен обобщению неравенств для чисел Бетти, а также результатов Гоцмана, на случай внешней алгебры. В частности, в работе [3] доказано неравенство, аналогичное полученному в работах [10] и [23] для чисел Бетти над внешней алгеброй, а в работах [5] и [7] - для бесквадратных идеалов в кольце многочленов. Обобщение теоремы Гоцмана об устойчивости на случай внешней алгебры получено в работе [3].

Связь между результатами Гоцмана и Грина исследовалась в работе [15], где было показано, что всякое гоцманово пространство, является экстремальным в смысле теоремы Грина.

Наконец, частичное обобщение результатов Грина и Гоцмана на случай идеалов в фактор-кольце вида А/(xf1,., х„п) было получено в работе [16].

Целью данной работы является изучение численных характеристик (функция Гильберта, градуированные числа Бетти) мономиальных идеалов в кольце коммутативных многочленов и во внешней алгебре над полем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шакин, Дмитрий Александрович, 2004 год

1. Eliahou, S., and Kervaire, M. Minimal resolutions of some monomial ideals. J. Algebra 129, 1 (1990), 1-25.

2. Gasharov, V. Extremal properties of Hilbert functions. III. J. Math. 41, 4 (1997), 612-629.

3. Gasharov, V. Green and Gotzmann theorems for polynomial rings with restricted powers of the variables. J. Pure Appl. Algebra 130, 2 (1998), 113-118.

4. Gasharov, V. Hilbert functions and homogeneous generic forms II. Compos. Math. 116, 2 (1999), 167-172.

5. Gotzmann, G. Eine Bedingung fur die Flachheit und das Hilbertpolynom eines graduierten Ringes. Math. Z. 158 (1978), 61-70.

6. Herzog, J., and Hibi, T. Componentwise linear ideals. Nagoya Math. J. 153 (1999), 141-153.

7. Herzog, J., and Popescu, D. Hilbert functions and generic forms. Compos. Math. 113, 1 (1998), 1-22.

8. Hulett, H. A. Maximum Betti numbers of homogeneous ideals with a given Hilbert function. Commun. Algebra 21, 7 (1993), 2335-2350.

9. Iyengar, S., and Pardue, K. Maximal minimal resolutions. J. reine angew. Math 512 (1999), 27-48.

10. Katona, G. A theorem for finite sets. In Theory of Graphs, P. Erdos and G. Katona, Eds. Academic Press, 1968, pp. 187-207.

11. Kruskal, J. The number of simplices in a complex. In Mathematical Optimization Techniques, R. Bellman, Ed. University of California Press, 1963, pp. 251-278.

12. Macaulay, F. S. Some properties of enumeration in the theory of modular systems. Proceedings L. M. S. 26, 2 (1927), 531-555.

13. Pardue, К. Deformation of classes of graded modules and maximal Betti numbers. III. J. Math. 40, 4 (1996), 564-585.

14. Stanley, R. P. Hilbert functions of graded algebras. Adv. Math 28 (1978), 57-83.30. голод, E. С. О гомологиях некоторых локальных колец. Докл. АН СССР Ц4, 3 (1962), 479-482.

15. ШАКИН, Д. А. О некоторых обобщениях комбинаторной теоремы Ма-колея на случай факторколец. Матем. сб. 192, 9 (2001), 143-160.

16. ШАКИН, Д. А. I-устойчивые идеалы. Изв. РАН. Сер. матем. 66, 32002), 197-224.33. шакин, Д. А. Кусочно лекссегментные идеалы. Матем. сб. 194, П2003), 117-140.

17. ШАКИН, Д. А. О функциях Гильберта и числах Бетти однородных идеалов во внешней алгебре. УМН 59, 5 (2004), 165-166.