Мультипольная электродинамика в средах с сильным теллегеновским откликом" тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Сеидов Тимур Заурович

• Сеидов Тимур Заурович
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Сеидов Тимур Заурович

Реферат

Synopsis

Введение

Глава 1. Сильный теллегеновский отклик

1.1 Ограничения на величину теллегеновского отклика

1.2 Переход к квантовой модели

1.3 Двухуровневая квантовая модель

1.4 Трёхуровневая квантовая модель

1.5 Влияние потерь на трёхуровневую систему

1.6 Выводы и обсуждение

Глава 2. Мультипольный эффект Виттена

2.1 Эффект Виттена

2.2 Статический диполь в теддегеновской сфере

2.3 Векторные сферические гармоники и их свойства

2.4 Осциллирующий диполь: гибридизация мод и аиаполи

2.5 Общее мудьтиподыюе решение: двойные пики

2.6 Выводы и обсуждение

Глава 3. Дуальный аксионный отклик и приложение эффекта

Виттена

3.1 Дуальный аксионный отклик

3.2 Отображение на аксионный отклик и проблема различения

3.3 Использование эффекта Виттена для различения откликов

3.4 Выводы и обсуждение

Стр.

Заключение

Список литературы

Список иллюстративного материала

Приложение А. Лагранжиан дуальной аксионной

электродинамики

Приложение Б. Основные публикации автора по теме

диссертации

Реферат

Общая характеристика диссертации

Актуальность и значимость

Искусственно структурированные среды позволяют создавать экзотические оптические явления, основанные на взаимодействии света и вещества на субволновых масштабах [1 3]. Примером такого рода является бианизотропия, также известная как магнитоэлектрическая связь [4]. В простейшем изотропном случае она описывается материальными уравнениями

где £ и ( - диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, а к и х от_ ражают эффект бианизотропии и называются киральностыо и теллегеновским откликом. В отсутствие потерь оба параметра являются вещественными.

Киралыюсть является фундаментальным понятием, требующим нарушения симметрии к инверсии V. Она широко распространена в природе и проявляется в огромном числе органических соединений со спиральной структурой, включая биологически значимые молекулы, такие как аминокислоты и сахара. Киральная асимметрия играет определяющую роль в химии и биологии, формируя основу для процессов молекулярного узнавания и стереоспецифической каталитической активности.

В отличие от этого, теллегеновский отклик представляет собой гораздо более редкое и экзотическое явление. Его реализация возможна лишь при одновременном нарушении симметрий к инверсии V и к обращению времени что накладывает жёсткие ограничения на возможные физические платформы. Такая двойная асимметрия делает теллегеновский отклик уникальным среди

Б = £Е + (х + ж)И , В = (х - гк)Е + (Н ,

(1) (2)

электромагнитных эффектов и подчёркивает его особый статус в классификации откликов среды.

Исторически концепция была впервые введена Бернардом Теддегеном в 1948 году [5], а впоследствии на протяжении десятилетий оставалась предметом дискуссий и теоретических споров. Само существование теллегеновского отклика неоднократно подвергалось сомнению [6 8], главным образом из-за так называемого ограничения Поста, вытекающего из-за отсутствия вклада постоянного теллегеновского отклика в объёмную динамику системы, а также отсутствия на тот момент надёжных экспериментальных подтверждений.

Однако за последние десятилетия ситуация принципиально изменилась. В частности, убедительные доказательства теллегеновского отклика были получены в ряде классов материалов: антиферромагнетиках (например, в Сг203 [ ; 10]), мудьтиферроиках и трёхмерных топологических изоляторах [11; 12]. Эти результаты значительно усилили аргументы в пользу существования эффекта и обозначили его как универсальное явление, связанное с глубинными симмет-рийными свойствами конденсированных сред.

Теоретическое описание теллегеновского отклика естественным образом соотносится с аксионной электродинамикой [11; 13] расширением уравнений Максвелла, введённым в физике высоких энергий для моделирования взаимодействия электромагнитного поля с гипотетической частицей, аксионом. Несмотря на то что аксион до сих пор не обнаружен, математическая структура аксионной электродинамики оказалась чрезвычайно полезной для описания теддегеновских материалов. При этом характерные значения теллегеновского параметра х в системах конденсированного состояния остаются сравнительно малыми и обычно лежат в диапазоне 10-6-10-2 [14]. Это существенно ограничивает возможности практического применения эффекта и одновременно стимулирует поиск новых материалов, структур и методов управления для его усиления.

Таким образом, изучение теллегеновского отклика находится на стыке фотоники, физики твёрдого тела и физики высоких энергий, являясь муль-тидисциилинарным исследовательским направлением. Продвижение в данной области не только углубляет понимание фундаментальных свойств электродинамических систем, но и открывает перспективы для разработки новых типов квантовых материалов и метаматериалов, а также для потенциальных приложений в области оитоэлектроники и квантовых технологий. Это подчёркивает значимость настоящей работы.

В последнее время наблюдается всплеск интереса к теддеговским средам, в котором ключевую роль играет оптическое сообщество. В первую очередь, это связано с активным исследованием математериадов, предоставляющих возможности для реализации теллегеновского отклика, и топологических изоляторов, как сред, в которых он возникает естественным образом. Ключевая причина интереса большие значения величины отклика, которые можно достичь в этих материалах, на порядки большие, чем в естественных средах. За несколько предшествующих данной работе лет было предложено несколько реализаций как отдельных теллегеновских мета-атомов, так и полных теллегеновских сред [15 18]. Более того, за последний год была не только неоднократно экспериментально продемонстрирована реализация среды [19 21], но и на практике было показано, что теллегеновский отклик в таких средах может достигать значений, недоступных в естественных средах, вплоть до х ~ 0.1 — 1 [20; 21].

Текущий прогресс в области, в частности, достижение сильного теллегеновского отклика в метаматериалах, показывает актуальность данной работы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Мультипольная электродинамика в средах с сильным теллегеновским откликом"»

Цель работы

Целью работы является выявление характерных особенностей взаимодействия сред с сильным теллегеновским откликом с излучением мультииольных ис-

точников и применение полученных закономерностей для различения двух модификаций невзаимного би-изотропного отклика.

Задачи работы

В ходе выполнения данной работы необходимо:

— Исследовать влияние резонансов дисперсии среды на величину телле-геновского отклика. Выявить условия, при которых может возникать сильный теллегеновский отклик в средах с частотной дисперсией.

— Используя методы математической физики аналитически решить задачу о диполе, помещённом в сферу из теллегеновской среды. При помощи полученных решений и численного анализа выявить характерные особенности взаимодействия дипольного излучения со средой.

— Обобщить решение дипольной задачи на общий мультипольный случай. При помощи полученных решений и численного анализа выявить характерные особенности взаимодействия общего мультипольного излучения со средой. Описать мультипольное обобщение эффекта Випени в Ми-сферах.

— Применить полученные закономерности и особенности мультипольного эффекта Вт тени в качестве эффекта, чувствительного к нарушению V- и Т- симметрии, для различения теллегеновского отклика от концептуально схожего дуального аксионного отклика.

Научная новизна работы

— Впервые выявлены условия, при которых величина теллегеновского отклика может превышать величину д/ёц, ранее считавшуюся наибольшим возможным значением теллегеновского отклика на заданной частоте.

и

— Впервые описано мультипольное обобщение эффекта Виттена с нестатическими излучающими источниками в теллегеновской среде без пространственной и временной модуляции — явление гибридизации электрических и магнитных мультипильных мод под действием теллегеновской среды, обладающее рядом характерных особенностей: ана-польными состояниями и двойными пиками, возникающими вследствие несовпадения электрических и магнитных резонансов среды.

— Впервые продемонстрирована экспериментальная возможность различения теллегеновского (аксионного) отклика и дуального аксионного отклика с помощью эффекта Виттена.

Теоретическая и практическая значимость работы

Теоретическая значимость работы:

— Теоретическое обоснование возможности превышения ранее установленной верхней границы теллегеновского отклика на заданной частоте снимает противоречие между возможностью экспериментального достижения сильного отклика и ранее принятым теоретическим ограничением.

— Обобщение эффекта Виттена на излучающие мультиполи — ситуацию, актуальную для задач в фотонике и физике твёрдого тела.

— Доказательство возможности отличить модификации эффективного теллегеновского отклика друг от друга с использованием локализованных источников, помещенных в материал.

Практическая значимость работы:

— Представленный механизм усиления теллегеновского отклика в области между спектрально близкими резонансами может быть напрямую использован для создания материалов и мета-материалов с сильным теллегеновским откликом. Создание подобных материалов важно для энергоэффективных устройств, в которых манипуляция

магнитно-активными элементами и частицами может производиться электрическим полем.

— Описанный в работе мультипольный эффект Вт тени представляет собой чувствительную платформу для экспериментального обнаружения и различения V- и Т- нарушающих откликов в оптике, фотонике и физике твёрдого тела.

— Существование дуального аксионного отклика открывает целую новую область для исследований и приложений, предоставляя дополнительную степень свободы в манипулировании светом.

Положения выносимые на защиту

1. В средах со спектрально близкими дипольными резонансами с ненулевыми матричными элементами коллинеарных и синфазных электри-

х

известное ранее ограничение х ^ на частотах, находящихся в спектральном интервале между резонансами.

2. Дальнее поле осциллирующего электрического диполя, находящегося в ограниченном сферическом объеме среды с теллегеновским откликом, содержит как электродипольный, так и магнитодипольный вклады. На частотах, соответствующих нулям сферической функции Бесселя ](дД) = 0, где Я — радиус сферического объёма, а^ - волновое число излучения диполя, спектр системы содержит магнитные анапольные состояния, при которых магнитодипольный вклад зануляется, а электродипольный вклад достигает своего максимума.

3. В среде с теллегеновским откликом электрические и магнитные моды Ми-резонансных частиц гибридизируются, что приводит к возникновению характерных двойных пиков в спектрах коэффициентов Ми. Этот эффект наиболее выражен для высокодобротных резонансов высших

мудьтиподей и подавляется как в случае низших мудьтиподей, так и в случае высших радиальных резонансов.

Апробация работы

Результаты работы были апробированы на следующих школах и конференциях:

— ICTP Summer School on New Trends in Modern Quantum Science: from Novel Functional Materials to Quantum Technologies, Бухара, Бухарский Государственный Университет, 2023

— ISCTP - THE INTERNATIONAL SUMMER CONFERENCE ON THEORETICAL PHYSICS, Axion-indnced hybridization of electric and magnetic mnltipoles, Санкт-Петербург, ITMO Congress Center, 2024

— FLAMN-25 Conference, Mie Mode Hybridization in Tellegen Media, Санкт-Петербург, ITMO Congress Center, 2025

Достоверность научных достижений

Достоверность результатов обеспечена полнотой приводимых аналитических выводов, их воспроизводимостью, использованием широко известных и проверенных методов математической физики. Результаты по усилению телле-геновского отклика также обеспечены общим соответствием с независимыми работами других авторов [15], в том числе экспериментальными [20; 21]. Результаты по обобщению эффекта Виттена и различению модификаций тел-легеновского отклика дополнительно обеспечены соответствием результатам численного моделирования, проведённого Д. Бобылевым для аналогичных рассматриваемым эффективным средам метаматериадов в работе [22].

Объём и структура работы

Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и 2 приложений. Полный объём диссертации составляет 215 страниц, включая 25 рисунков и 5 таблиц. Список литературы содержит 130 наименований.

Основное содержание работы

Во введении показано, что современные исследования оптики и электродинамики во многом сосредоточены на искусственно структурированных средах, позволяющих реализовывать нетривиальные электромагнитные эффекты. Одним из таких эффектов является бианизотропия, формализуемая через материальные соотношения, включающие тензоры £, |1, | связывающие электрические и магнитные поля.

Продемонстрировано, что в пределе би-изотропных сред параметры би-

к

х

ское описание, они отражают принципиально различные физические явления. Основное различие выявляется при анализе симметрий: киральность оказывается Р-иечётной и Т-чётной, тогда как теллегеновский параметр является одновременно V- и Т-нечётным. Это различие задаёт фундаментальную разницу в наблюдаемых проявлениях соответствующих откликов.

Далее подробно рассмотрен киральный отклик и история его описания в литературе. В главе показано, что он соответствует естественной оптической активности, описываемой через эффекты пространственной дисперсии, и проявляется как вращение плоскости поляризации при распространении света в среде. Подчёркивается, что киральность является широко распространённым явлением в природе и связана с симметрийными свойствами органических и кристаллических структур.

Затем изложены история описания и основные свойства теллегеновского отклика. Показано, что он требует одновременного нарушения симметрий V и что делает его существенно более редким. В главе продемонстрированы модифицированные уравнения Максвелла, которые получаются из теллегенов-ских материальных соотношений с псевдоскалярным параметром невзаимности

X для постоянного теллегеновского отклика это сводится к граничным условиям среды, несмотря на ненулевой параметр в объёме; продемонстрировано, что в динамике участвуют только производные и неоднородности теллегеновского параметра.

Далее описаны дискуссии вокруг существования теллегеновского отклика, происходившие в литературе на протяжении нескольких десятков лет. Описаны доказательства и аргументы, в конечном итоге положившие конец дискуссии: как экспериментальные свидетельства существования изотропного псевдоскалярного отклика во многих твердотельных средах, включая антиферромагнетики, мультиферроики и трёхмерные топологические изоляторы, так и теоретические аргументы в пользу ошибочности ограничений, приводивших к выводам о невозможности существования теллегеновских сред. Подробно продемонстрирована связь теллегеновских сред с аксионной электродинамикой и трёхмерными топологическими изоляторами, указаны как параллели, так и различия теллегеновских сред в фотонике, аксионов в физике высоких энергий и топологических изоляторов в физике твёрдого тела.

Таким образом, вступительная часть включает теоретическую основу данного исследования, показано разделение бианизотропных параметров на киральность и теллегеновский отклик, описаны их различия, рассмотрены характерные проявления каждого отклика и обозначены системы, в которых они реализуются. В конце введения формирулируются цели и задачи работы.

Первая глава посвящена вопросу существования верхней границы на величину теллегеновского отклика на фиксированной частоте. Широко распространённое в литературе ограничение [4; 23 33] на величину отклика на заданной частоте имеет форму

|х| ^ /ёЦ. (3)

Показано, как данное ограничение возникает из условия положительной определённости энергии поля в теддегеновской среде в предположении о прене-брежимом влиянии дисперсии. Продемонстрировано также, что аналогичное

нитоэдектрическую поляризуемости мета-атомов во внешнем поле, возникает из отрицательной определённости потенциальной энергии.

Реальные среды, однако, всегда обладают частотной дисперсией, что связано с конечной скоростью отклика среды на внешнее поле. Кроме того, как было показано далее, недавнее теоретическое предложение теллегеновского ме-таматериада [15], подкреплённое численным моделированием, явным образом нарушает (3), причём в области с сильной дисперсией. Для обоснования дальнейших утверждений было выведено ограничение на теддегеновский параметр X при наличии дисперсии и отсутствии потерь:

Чтобы понять, какие физические механизмы могут приводить к нарушению ограничения (3) при наличии частотной дисперсии, необходимо построить достаточно общую модель поляризуемости мета-атома с частотной дисперсией. Для корректного описания поляризации макроскопического мета-атома требуется использовать теорию квазинормальных мод [34; 35]. Математически, квазинормальные моды можно определить как решения волновых (и вообще дифференциальных) уравнений с комплексными собственными значениями. Применительно к фотонике это означает, что в теории квазинормальных мод рассматриваются открытые резонаторы, собственные моды которых утекают со временем. Именно эта особенность квазинормальных мод делает весьма громоздким описание мета-атома с их помощью. Формально, это связано с тем, что квазинормальные моды не ортогональны в обычном смысле, так как они, во-первых, не убывают на бесконечности в ноль, а наоборот - экспоненциадь-

ограничение |ает| ^ аееатт, связывающее электрическую, магнитную и маг

Таблица 1 Концептуальная схожесть квантовой механики и подхода квазинормальных мод

Теория квазинормальных мод Квантовая механика

Основное уравнение Г 2 ж-, ж-, Ш - - УХУХ--• £ 2 Еп = 0 Н\п) = Еп\п)

Разложение состояний Е = Еп«п(0 е-^Еп №> = Еп Ф) е-' * '|п)

Уравнение эволюции ( а 1(*)\ : = —г Яед м (Ъ)) ^1(1) \ \ам (Ъ)) л (сЛ*) ^ Н (сЛ*) \ сИ ' Н ' (гу \ск (г))

но расходятся, что приводит к бесконечной энергии квазинормальной моды и неопределённой нормализации мод, а во-вторых, моды перекрываются между собой.

Во избежание сложностей, связанных с описанием мета-атомов в терминах квазинормальных мод, на основании формальной аналогии (Таблица 1) и концептуальной схожести задач, в работе произведён переход от описания единичного мета-атома во внешнем поле к квантово-механической задаче о возбуждении п-уровневой системы (например, единичной молекулы) внешним полем в первом порядке теории возмущений. Был использован ряд приближений и упрощений: уровни энергии невозбуждённой системы полагаются невырожденными; взаимодействие со внешним полем описывается диполь-ным приближением; внешнее поле мало и описывается плоскими волнами; наведённые дипольные моменты синфазны (необходимо, чтобы исключить из рассмотрения киральную часть бианизотропии) и коллинеарны (необходимо,

чтобы получить изотропный отклик с единственным параметром после усреднения по направлениям). В рамках данных предположений были получены общие выражения для электрической, магнитной и магнитоэлектрической подяризу-емостей основного состояния в зависимости от частоты возбуждающих) поля, а также матричных элементов и частот дипольиых переходов. Полученные выражения имеют вид:

= 1 £ , (5)

1 "У Ш|о - ш2

тт 2

атт = |У ^е||ш,о||2, (6)

1 ¿г' ш2о - Ш2

ает = 2 V Ш о), (7)

1 ^ Ш20 — Ш2

где ^о и ш^0 — векторы матричных элементов дипольиых моментов системы, а нотации (^ш) и ||d||2 обозначают эрмитово произведение и соответствующую эрмитову норму.

Полученные выражения были проанализированы в случаях двухуровневой и трёхуровневой систем. Показано, что для двухуровневой системы с единственным резонансом неравенство |ает| ^ аееатт выполняется как следствие более общего выражения (4), и наличие единственного резонанса не приводит к нарушению ограничения (3). Для трёхуровневой системы с двумя резонансными переходами, наоборот, ограничение (3) нарушается в области между резонансами, тогда как (4) остаётся справедливым. Показано, что величина данного нарушения А = Яе2(ает) — аееатт, в рамках нашей модели имеющая вид

Ш1оШ2о /и 1 ......... ....... 2 /0ч

А = — К;, — Ш1)(0.2о — Ш2)(1№о11 1|Ш1оН — l|dl0ll 1Ш2о11) , (8)

тем больше, чем ближе расположены резонансы. Проанализировано влияние потерь на данный результат в рамках доренцевой модели резонансных потерь,

•¡а ■е

ей

N

•13

13 а

•¡з

15 10 5 0 - 5 - 10

- 15

0.6 0.4 0.2 0.0

- 0.2

- 0.4

- 0.6

(а) 1 1 / ■ и в + 1 \ г ■ \ || 1 \ I" \ V Ч к\ Ч ---------- г— ^ .

Жаее - ^атт ----- ^ аее ^ атт - ет

(Ь)

"Л с

4.8 5.0 5.2 5.4

Wavelength X (цт)

5.6

Рисунок 1 — Нарушение ограничения на теддегеновский отклик основного состояния в трёхуровневой системе. Иллюстрация из работы [36]. Резонансы системы подобраны в соответствие с работой [ ], на длинах волн \ = 5 мкм и Л2 = 5.36 мкм. Матричные элементы дипольных моментов выбраны |^1о| = 1.24, |^2о| = 2.36, |т1о| = 0.86, |т2о| = 0.58 в произвольных единицах. Ширина затухания Г = 0.2 с-1, (а) Поляризуемости системы в зависимости от частоты. (Ь) Величина нарушения А'' в зависимости от частоты в произвольных единицах, случай с потерями

эквивалентной добавлению постоянной мнимой части в исходный гамильтониан задачи:

ш^о 2

ш2о - ш2

ш2о — ш2 — гГш

(9)

Показано (Рис.1), что наличие потерь не оказывает существенного влияния на подученные результаты, и промежуток нарушения ограничения (3) в случае малых потерь остаётся между резонансами.

В конце главы обсуждаются возможные перспективы и приложения описанного эффекта. Обобщение эффекта на большее число резонансов не вно-

сит принципиальных различий, качественные выводы остаются неизменными. Подчёркивается важность выбора схемы гомогенизации и учёта анизотропии мета-атома для реальных приложений. Проводится возможная параллель с работами по гигантскому киральному отклику, где огромные значения киральности достигаются также за счёт наличия дисперсии. Обозначены возможные приложения описанного эффекта: исследование топологической физики трёхмерных аксионных изоляторов, моделирование электродинамики гипотетических аксионов и создание энергоэффективных устройств с контролем намагниченных частиц электрическим полем.

По результатам главы сформулировано положение:

В средах со спектрально близкими дипольными резонансами с ненулевыми матричными элементами коллинеарных и синфазных электрических и магнитных моментов, теллегеновский отклик х превышает известное ранее ограничение х ^ на частотах, находящихся в спектральном интервале

между резонансами.

Вторая глава работы посвящена последовательному обобщению эффекта Виттена на случай точечных мультипильных источников, помещённых в шар из теллегеновской среды, и выявлению характерных исибеннистей взаимодействия мул ьти пильного излучения с теллегеновской средой на основе данной задачи.

В начале главы приводится классический вывод эффекта Виттена: в акси-онной электродинамике, формально эквивалентной электродинамике в теллеге-

электрический заряд = 4пхд7 пропорциональный теллегеновскому парах

природы, обладает нулевым или околонулевым значением при нулевой частоте возбуждения, для обобщения эффекта Виттена на актуальные в фотонике задачи необходимо рассматривать излучающие источники, погружённые в статическую теллегеновскую среду. Для устранения лишних сложностей, система

центре шара радиуса Л с однородными и изотропными проницаемостями £, ц

х

Для развития физического понимания задачи и получения предельного случая для дальнейшей проверки решений, в качестве затравочного источника сначала был рассмотрен статический электрический диполь (или статический магнитный диполь то), помещённый в теллегеновский шар. Показано, что в силу линейных граничных условий для теллегеновской среды, поле снаружи шара представимо в виде суперпозиции полей электрического и магнитного диполей, тогда как поле внутри состоит из поля исходного диполя, а также регулярной в центре шара добавки, индуцированной границей. Выражения для индуцированных ли пильных моментов снаружи шара принимают вид

А а0 X ¿о ( ,

а =-^, т =---(10

1 + 2х! 31 + М 1 ;

1 + 9 1 + 9

для случая электрического диполя в шаре, и

2х то то ^

а =--^, т =-^ 11

3 1 + 2х! 1 + 2х! 1 у

1 + 9 1 + 9

для случая магнитного диполя. Данный результат уже контрастирует с классическим эффектом Виттена, поскольку электрический монополь в теллегеновской среде не приобретает магнитного заряда.

Затем задача обобщается на осциллирующий точечный электрический диполь. Через базис векторных сферических гармоник приводятся явные формулы для разложения полей и коэффициентов связи с мультипольными моментами. Используя разложение по векторным сферическим гармоникам, поле внутри и снаружи шара вновь представляется в виде суперпозиции полей электрических и магнитных дипольных мод. Поле внутри моделируется суперпозицией излучения электрического диполя и регулярных в нуле дипольных

собственных мод шара теддегеновской среды:

Е/ = - Ух [(Ак^^г) + Бл(дг))Х1о(е,ф)] - Вл(дг)Х ю (0,ф), (12)

Я

В/ = (АкЦ)(дг) + Вл(дг))Хю(0,ф) + - Ух [Вл(дг)Х ю(0,ф)]. (13)

Ч

Поде снаружи шара представлено в общем виде суперпозцией излучающих электрического и магнитного диполей:

Е0 = - Ух [аЕ ^11}(дг)Хю(0,ф)] - ам ^(^Хю^ф), (14)

Ч

В0 = аЕ ^(^Хю^ф) + - Ух [ам ^(^Хю^ф)]. (15)

Ч

Здесь д = ш/с — волновое чиело, Х1о(0,ф) — дипольиая векторная сферическая гармоника, связанная с диполем, направленым вдоль оси г, ^(дг),^1''^) сферическая функция Бесселя и сферическая функция Ханкедя первого рода, А — амплитудный коэффициент излучающего внутри шара диполя, а В,В, аЕ,ам ~ неизвестные коэффициенты разложения, в общем случае зависящие от частоты. Разрешение граничных условий теддегеновской среды приводит к решениям, демонстрирующим частотно-зависимую гибридизацию электрической и магнитной диподьных мод, происходящей под действием среды. Выявлены характерные особенности: при изменении размерного параметра дЯ появляются попеременные максимумы-минимумы индуцированных снаружи шара диподьных моментов; определены частоты, где магнитодиподыюе излучение полностью подавлено магнитные анаподи, находящиеся на частотах, соответствующих нулям сферической функции Бесселя ^(дг) (Рис. ). Решение в статическом пределе совпадает с рассмотренной ранее задачей для статического диполя. Продемонстрировано, что обобщение на случай теддегеновской среды с £ = 1,^ =1 сохраняет обнаруженные особенности системы. Далее весь метод переносится на произвольный порядок излучающего

параметров £,Ц-,Х- Структура полей внутри и снаружи полагается такой же,

(а) X =0.01

1.0 -

о &

тЗ

-0.5

-1.0

- Л^^М^ Л^М8)/л

- ЛЫ^М) — Л^М8)/л

Рисунок 2 — Индуцированные дииольные моменты, наблюдаемые снаружи теллегеновской сферы, нормированные на затравочный дипольный момент, в зависимости от размерного параметра дЯ при трёх различных значениях X-

Иллюстрация взята из работы [37]

как и в случае диполя, с поправкой на иные мультипольные коэффициенты, поскольку линейность граничных условий гарантирует отсутствие гибридизации мультиполей с разными мультипольными индексами в силу их линейной независимости. Общая система линейных уравнений, получаемая из граничных условий, записывается через четыре безразмерных коэффициента, зависящих от сферических функций и их производных Ия/(дЯ) = дя(Я /(дЯ)):

а/ = -тгч-, в/ =-тг\-, (16)

к(р(д Я) Бп ^Я)

^ ^(1)($Д) с и я ^(1)(дД) П7ч

У/ = _(1-, с/ =-(1-,

к(^)(д Я) Бп к(^)(дЯ)

что позволяет получить компактные выражения для электрических (1е и магнитных а1т амплитуд поля, связанных с индуцированными моментами, наблюдаемыми снаружи шара:

а1,ш = (а/ц - в/)(а/Ь/ - в/У/) (18)

е /ц а/е(а/ц - в/) + в/(в/ - а/ц(х2 + 1)) '

„= _лт хУ^а(а/Ь/ - в/У/) , ,

т а/е(а/ц - в/) + в/(в/ - а/ц(х2 + 1)) , 1 ;

Решение (Рис. 3) демонстрирует структуру, названную нами в работе «двойными пиками»: в присутствии нетривиальных и ц спектр собственных мод Ми шара представляет собой набор спаренных электрических и магнитных резон ансов, которые затем гибридизуются под действием теллегеновской среды, что порождает характерные сдвоенные пики в амплитудах а1т, заметные у высокодобротных фундаментальных гармоник высших мультиполей и подавленные в случае низших мультиполей и высших радиальных гармоник за счёт большой ширины гибридизуемых резонансов.

Показано, что значение отношения е/ц регулирует вклад электрической и магнитной компонент в гибридизацию. Замена электрического источника на магнитный приводит к схожим выражениям для амплитудных коэффициентов

1.5

§ Ъ

1.0

8

"Чз 0.5 0.0

й

.<и <3

£

<и о о

<и тз 43

(а) 1=6 1=5 1 /1

1=4 1=3

1=2 1=1

01 2 3 4 5 6

1.5 (с) |а|| .....к1; 1 а6| .....|Ь61:

1.0 } 1

0.5 К 1« .1 1н

0.0 IV У'

..........................',

0.5 — 0.4

§ Ъ

0.3

Й 0.2

а

_ 0.1 0.0

1=6 1=5 (Ь)

1=4 1=3

и 1.0 — |ае|

• <и 'Л 0.8 — |ат|

|а1|

<и о о 0.6 |Ь1|

<и 0.4 / !

Г* /

0.2 / .

0.0 /

№

/ > '. \ ■

3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 дЯ

Рисунок 3 — (а,Ь) Индуцированный электрический (а) и магнитный (Ь) муль-тииоли поля вне теддегеновской сферы, нормированные на соответствующий затравочный электрический мультипольиый момент источника, в зависимости от размерного параметра дЯ. Разные цвета соответствуют разным порядкам мультиполей. (с,с1) Электрический а1е и магнитный а1т мультиполи вне сферы, нормированные на мультипольиый момент источника, в сравнении со стандартными коэффициентами Ми а/ и для I = 6 (с) и I = 1 (с1). Во всех расчетах £ = 5,^ = 1,Х = 0.4- Иллюстрация из работы [ ]

для полей снаружи сферы, ассоциированным с индуцированными дииольны-ми моментами:

Л.т

а1,т = ат,в ае =

Ь[ - вт)

уё (а/£(а^ - в/) + в/ (в/ - а/^ (х2 + 1))) '

а 1.т = и,т

а

1.т

(а/£ - в/)(а/6/ - в/У/)

(20) (21)

у/£ (а/ё(а/^ - в/) + в/ (в/ - а^ (х2 + 1))) '

В первом порядке по теллегеновскому отклику эти выражения являются дуальным обращением соответствующих амплитудных коэффицентов в случае электрического диполя в качестве источника. Поэтому замена типа источника дуально меняет рисунок гибридизации, что можно увидеть на рисунке 4 (а).

Было рассмотрено влияние потерь и дисперсии, для чего была введена лоренцева дисперсия с конечными потерями из первой части работы для всех

т. в

трёх материальных параметров системы е(ш), ц(ш) и х(ш):

/ \ а ш0 Ьшо

£(Ш) = Ш2 - ш2 - г Го>, ц(Ш) = Ш0 - Ш2 -г ГШ ' (22)

х = В* ( 2 С Ш" Г ) , (23)

- ш2 - г Гш )

Ш0 Г

как а,Ь,с - параметры системы, которые были подбираны так, чтобы результат приблизительно соответствовал современной экспериментальной работе по теллегеновским средам [ ]. Резонанс расположен в районе дЯ = 10, так как фундаменатальные гармоники для мультиполей до 1 = 6 включительно находятся при дЯ ^ 3, а ширина выбрана относительно небольшой, чтобы влияние потерь было ощутимо, но не размазывало бы резонансные пики сразу, таким образом 1т (е) ~ 1т.(ц) к 10-2. Анализ показывает (Рис. 4 (Ь)), что потери и дисперсия подавляют эффект, но структура двойных пиков остаётся различимой, и, при умеренных потерях, потенциально измеримой. Показано, что большую роль играет баланс между высокой добротностью высших мультиполей и их чувствительностью к потерям чем выше порядок мультиполя, тем больше добротность его фундаментальной гармоники, но при этом тем выше становится и его чувствительность к потерям, способным подавить эффект и сделать его трудноразличимым.

В завершение обсуждается, как выявленные характерные особенности спектральной структуры индуцированного теллегеновской средой излучения гибридизация электрических и магнитных мультипольных компонент, магнитные анаполи и двойные пики гибридизированных Ми-мод могут служить экспериментальными маркерами теллегеновского отклика и его модификаций в естественных и метаматериальных структурах, а сферическая модель может быть обобщена на некоторые другие геометрии благодаря линейности уравнений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сеидов Тимур Заурович, 2025 год

Список литературы

1. Eleftheriades G. V., В almoin К. G. Negative-Refraction Metamaterials: Fundamental Principles and Applications. — John Wiley & Sons, New Jersey, 2005.

2. Marques R., Martin F., Sorolla M. Metamaterials with negative parameters. — John Wiley & Sons, New Jersey, 2008.

3. Theory and Phenomena of Metamaterials / под ред. F. Capolino. — CRC Press, New York, 2009.

4. Electromagnetics of Bi-anisotropic Materials: Theory and Applications / A. Serdyukov [и др.]. — United States : Gordon, Breach Science Publishers, Amsterdam, 2001.

5. Tellegen B. D. H. The gyrator, a new electric network element // Philips Research Reports. - 1948. - T. 3, № 2. - C. 81-101.

6. Lakhtakia A., Weiglhofer W. Are linear, nonreciprocal, biisotropic media forbidden? // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. — 1994. - T. 42, № 9. - C. 1715-1716.

7. Kamenetskii E. О., Sigalov M.. Shavit R. Tellegen particles and magnetoelectric metamaterials // Journal of Applied Physics. — 2009. — Янв. - Т. 105, № 1.

8. Lakhtakia A. Remarks on the current status of the Post constraint // Optik. — 2009. - T. 120, № 9. - C. 422-424.

9. Spontaneous non-reciprocal reflection of light from antiferromagnetic Cr203 / B. Krichevtsov [и др.] // Journal of Physics: Condensed Matter. — 1993. — T. 5, № 44. - C. 8233.

10. Relativistic analysis of magnetoelectric crystals: Extracting a new 4-dimensional P odd and T odd pseudoscalar from Cr203 data / F. W. Helil |n ;ip.| // Physics Letters A. - 2008. - OeBp. - T. 372, № 8. -C. 1141—1146.

11. Axion physics in condensed-matter systems / D. M. Nenno [h ,np.] // Nature Reviews Physics. - 2020. - Oem. - T. 2, № 12. - C. 682 696.

12. Sekine A., Nomura K. Axion electrodynamics in topological materials // Journal of Applied Physics. - 2021. - Anp. - T. 129, № 14. - C. 141101.

13. Wilczek F. Two Applications of Axion Electrodynamics // Physical Review Letters. - 1987. - Mali. - T. 58, m>m. 18, № 18. - C. 1799 1802.

14. Fiebig M. Revival of the magnetoelectric effect // Journal of Physics D: Applied Physics. - 2005. - Anp. - T. 38, № 8. - R123 R152.

15. Optical Tellegen metamaterial with spontaneous magnetization / S. Safaei Jazi |n ;ip.| // Nature Communications. — 2024. — OeBp. — T. 15, № 1. — C. 1293.

16. Emergent axion response in multilayered metamaterials / L. Shaposhnikov |n ;ip.| // Physical Review B. - 2023. - Oem. - T. 108, № 11. - C. 115101.

17. Prudencio F. R., Silveirinha M. G. Synthetic Axion Response with SpaceTime Crystals // Physical Review Applied. — 2023. — <I>enp. — T. 19, m>m. 2. - C. 024031.

18. Saltykova D., Bobylev D. A., Gorlach M. A. Analytical model of a Tellegen meta-atom. — 2025.

19. Realization of the Tellegen Effect in Resonant Optical Metasurfaces / S. S. Jazi |n ;ip.| // arXiv:2503.22184. - 2025.

20. Gigantic Tellegen responses in metamaterials / Q. Yang [h ,np.] // Nature Communications. — 2025. — 5îhb. — T. 16, № 1. — C. 151.

21. Photonic axion insulator / G.-G. Liu [и др.] // Science. — 2025. — Янв. — Т. 387, № 6730. - С. 162-166.

22. Dual origin of effective axion response / T. Z. Seidov [и др.] // Nature Communications. — 2025. — Июль. — Т. 16, № 1.

23. Brown W. F., Hornreich R. M.. Shtrikman S. Upper Bound on the Magnetoelectric Susceptibility // Phys. Rev. — 1968. — Апр. — T. 168, вып. 2. - С. 574-577.

24. O'Dell Т. H. The field invariants in a magneto-electric medium // Philosophical Magazine. - 1963. - Март. - Т. 8, № 87. - С. 411-418.

25. Ascher E., Janner A. Upper bounds on the magneto-electric susceptibility // Physics Letters A. - 1969. - Июнь. - Т. 29, № 6. - С. 295.

26. Bertaut E., Mercier M. Magnetoelectricity in theory and experiment // Materials Research Bulletin. - 1971. - Окт. - Т. 6, № 10. - С. 907-921.

27. Rivera J. P. A short review of the magnetoelectric effect and related experimental techniques on single phase (multi-) ferroics // The European Physical Journal B. - 2009. - Окт. - Т. 71, № 3. - С. 299-313.

28. Yan Y., Priya S. Multiferroic Magnetoelectric Composites/Hybrids // Hybrid and Hierarchical Composite Materials. — Springer International Publishing, 2015. - C. 95-160.

29. Thickness-edge modes in a semi-infinite magneto-electro-elastic plate / J. X. Liu [и др.] // Philosophical Magazine Letters. — 2009. — Март. — Т. 89, Л'" 3. - С. 155-161.

30. Strong dynamic magnetoelectric coupling in metamaterial / A. Shuvaev [и др.] // European Physical Journal B. — 2011. — T. 79. — C. 163—167.

31. Horsley S. A. R. Consistency of certain constitutive relations with quantum electromagnetism // Phys. Rev. A. — 2011. — Дек. — Т. 84, вып. 6. — С. 063822.

32. Lindell I. Methods for Electromagnetic Field Analysis. — IEEE, 1995. — (IEEE/OUP series on electromagnetic wave theory).

33. Electromagnetic Waves in Chiral and Bi-Isotropic Media / I. V. Lindell [и др.]. — United Kingdom : Artech House, 1994.

34. Quasinormal-Mode Expansion of the Scattering Matrix / F. Alpeggiani [и др.] // Physical Review X. - 2017. - Июнь. - Т. 7, № 2. - С. 021035.

35. Light Interaction with Photonic and Plasmonic Resonances / P. Lalanne [и др.] // Laser & Photonics Reviews. — 2018. — Anp. — T. 12, № 5. — C. 1700113.

36. Seidov T. Z., Gorlach M. A. Unbounded Tellegen response in media with multiple resonances // Phys. Rev. A. — 2025. — Март. — Т. Ill, вып. 3. — С. 033521.

37. Seidov Т. Z., Gorlach M. A. Hybridization of electric and magnetic responses in the effective axion background // Physical Review A. — 2023. — Нояб. — Т. 108, № 5. - С. 053515.

38. Seidov Т., Gorlach M. A. Multipole generalization of the Witten effect in Mie-resonant photonics // Opt. Lett. - 2025. - Май. - Т. 50, № 9. -С. 3054 3057.

39. Zwart H. Iconoclasm and Imagination: Gaston Bachelard's Philosophy of Technoscience // Human Studies. — 2019. — Нояб. — Т. 43, № 1. — С. 61 87.

40. Hacking I. Representing and Intervening: Introductory Topics in the Philosophy of Natural Science. — Cambridge University Press, 10.1983.

41. Simon H. A. The Sciences of the Artificial. — The MIT Press, 2019.

42. Landau L. D., Lifshitz E. M. Electrodynamics of Continuous Media. — New York : Pergamon, 1984.

43. Biot J.-В. Mémoire sur les rotations que certaines substances impriment aux axes de polarisation des rayons lumineux. — Editeur inconnu, 1818.

44. Pasteur L. Recherches sur les relations qui peuvent exister entre la forme cristalline, la composition chimique, et le sens de la polarisation rotatoire // CR Séances Acad. Sei. - 1849. - T. 28. - C. 477-478.

45. Kelvin L. W. T. Baltimore lectures on molecular dynamics and the wave theory of light. — CUP Archive, 1904.

46. Bose J. C. On the rotation of plane of polarisation of electric wave by a twisted structure // Proceedings of the Royal Society of London. — 1898. — Дек. - T. 63, № 389-400. - С. 146-152.

47. Lindman К. F. Uber eine durch ein isotropes System von spiralförmigen Resonatoren erzeugte Rotationspolarisation der elektromagnetischen Wellen // Annalen der Physik. - 1920. - Янв. - T. 368, № 23. - С. 621644.

48. Ziolkowski R. W. Metamaterials: The early years in the USA // EPJ Applied Metamaterials. - 2014. — T. 1. — C. 5.

49. Drude P. Lehrbuch der optik. — S. Hirzel, 1900.

50. Федоров Ф. И. Теория оптической активности кристаллов // Успехи Физических Наук. - 1972. - Т. 108, № 12. - С. 762.

51. Федоров Ф. Теория гиротропии. — Наука и техника, 1976.

52. Bohren С. F. Light scattering by an optically active sphere // Chemical Physics Letters. - 1974. - Дек. - T. 29, № 3. - С. 458-462.

53. Veselago V. G. The electrodynamics of substances with simultaneously negative values of e and Ц- // Soviet Physics Uspekhi. — 1968. — T. 10, Л'° 4. - С. 509-514.

54. Shelby R. A., Smith. D. R., Schultz S. Experimental Verification of a Negative Index of Refraction // Science. 2001. Аир. T. 292, № 5514. C. 77 79.

55. Artificial Tellegen Particle / S. A. Tretyakov [и др.] // Electromagnetics. 2003. Янв. Т. 23, №8. С. 665 680. eprint: https ://doi . org/10. 1080/02726340390244789.

56. Tretyakov S., Sihvola A., Jylha L. Backward-wave regime and negative refraction in chiral composites // Photonics and Nanostructures -Fundamentals and Applications. 2005. Дек. Т. 3, № 2/3. С. 107 115.

57. Zhang С., Cui Т. J. Spatial dispersion and energy in a strong chiral medium // Opt. Express. 2007. Аир. T. 15, № 8. C. 5114 5119.

58. Metamaterial with negative index due to chirality / E. Plum [и др.] // Physical Review B. 2009. Янв. Т. 79, № 3. С. 035407.

59. Chiral metamaterials: simulations and experiments / B. Wang [и др.] // Journal of Optics A: Pure and Applied Optics. 2009. Сент. Т. 11, № 11. С. 114003.

60. Negative Refractive Index in Chiral Metamaterials / S. Zhang [и др.] // Physical Review Letters. 2009. Янв. Т. 102, № 2. С. 023901.

61. Ландау Л., Лифшиц Е. Электродинамика сплошных сред. Гостехиздат, 1957.

62. Dzyalosh.inskii I. Е. On the Magneto-Electrical Effect in Antiferromagnets // Sov. Phys. JETP. 1960. T. 10. C. 628.

63. Astrov D. The Magnetoelectric Effect in Antiferromagnetics // Sov. Phys. JETP. 1960. Сент. Т. И, № 3. С. 708 709.

64. O'Dell Т. Н. The electrodynamics of magneto-electric media // Philosophical Magazine. 1962. Окт. Т. 7, № 82. С. 1653 1669.

65. Cheng D., Kong J.-A. Covariant descriptions of bianisotropic media // Proceedings of the IEEE. - 1968. - T. 56, № 3. - C. 248-251.

66. Tai C. A study of electrodynamics of moving media // Proceedings of the IEEE. - 1964. - T. 52, № 6. - C. 685-689.

67. Chen #., Cheng D. Constitutive relations for a moving anisotropic medium // Proceedings of the IEEE. - 1966. - T. 54, № 1. - C. 62-63.

68. Lee S. W., Lo Y. T. Radiation in a Moving Anisotropic Medium // Radio Science. - 1966. - Март. - Т. 1, № 3. - С. 313-324.

69. Lee S. W., Lo Y. T. Reflection and Transmission of Electromagnetic Waves by a Moving Uniaxially Anisotropic Medium // Journal of Applied Physics. — 1967. - Февр. - Т. 38, № 2. - С. 870-875.

70. Pyati V. P. Reflection and Refraction of Electromagnetic Waves by a Moving Dielectric Medium // Journal of Applied Physics. — 1967. — Февр. — Т. 38, № 2. - С. 652-655.

71. Post E. J., Seeger R. J. Formal Structure of Electromagnetics // American Journal of Physics. - 1965. - Июль. - Т. 33, № 7. - С. 597-597.

72. Lindell /., Vitanen A. Duality transformations for general bi-isotropic (nonreciprocal chiral) media // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 1992. - T. 40, № 1. - C. 91-95.

73. Jackson J. D. Classical Electrodynamics. — John Wiley, Sons, Ltd, 2003.

74. Sihvola A. Are nonreciprocal bi-isotropic media forbidden indeed? // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. — 1995. — T. 43, № 9. — C. 2160-2162.

75. Lakhtakia A., Weiglhofer W., Sihvola A. Comment on "Are nonreciprocal bi-isotropic media forbidden indeed?" // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. - 1995. - Дек. - Т. 43, № 12. - С. 2722-2724.

76. Anatoly N. Serdyukov Ari H. Sihvola S. А. Т., Semchenko I. V. Duality in Electromagnetics: Application to Tellegen Media // Electromagnetics. — 1996. - T. 16, № 1. - C. 51-61.

77. Duality Once More Applied to Tellegen Media / A. H. Sihvola [и др.] // Electromagnetics. - 1997. - Март. - Т. 17, № 2. - С. 205-211.

78. Lakhtakia A., Weiglhofer W. S. On the Application of Duality to Tellegen Media // Electromagnetics. - 1997. - Март. - Т. 17, № 2. - С. 199-204.

79. Ohukhov Y. N., Hehl F. W. On the boundary-value problems and the validity of the Post constraint in modern electromagnetism // Optik. — 2009. — Ми П. - Т. 120, № 9. - С. 418-421.

80. Magnetoelectric Cr203 and relativity theory / F. W. Hehl [и др.] // The European Physical Journal В. - 2009. - Июнь. - Т. 71, № 3. - С. 321329.

81. PrudTGncio F. R., Ma,tos S. A., Paiva С. R. A Geometrical Approach to Duality Transformations for Tellegen Media // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. — 2014. — Июль. — Т. 62, № 7. — С. 1417-1428.

82. Jackiw R., Rebbi C. Vacuum Periodicity in a Yang-Mills Quantum Theory // Physical Review Letters. - 1976. - Июль. - Т. 37, № 3. - С. 172-175.

83. Peccei R. D., Quinn H. R. CP Conservation in the Presence of Pseudoparticles // Phys. Rev. Lett. — 1977. — Июнь. — Т. 38, вып. 25. — С. 1440-1443.

84. Wilczek F. Problem of Strong P and T Invariance in the Presence of Instantons // Physical Review Letters. — 1978. — Янв. — Т. 40, вып. 5, Л" 5. - С. 279-282.

85. Weinberg S. A New Light Boson? // Physical Review Letters. — 1978. — Янв. - Т. 40, вып. 4, № 4. - С. 223-226.

86. Ringwald A. Review on Axions. — 2024.

87. Witten E. Dyons of charge e0/2rc // Physics Letters B. — 1979. — Окт. — Т. 86, № 3. - С. 283 287.

88. Sikivie P. Experimental Tests of the "Invisible"Axion // Physical Review Letters. - 1983. - Окт. - Т. 51, № 16. - С. 1415 1417.

89. Sikivie P. On the interaction of magnetic monopoles with axionic domain walls // Physics Letters B. - 1984. - Лир. - Т. 137, № 5/6. - С. 353 356.

90. Gasperini M. Axion production by electromagnetic fields // Physical Review Letters. - 1987. - Июль. - Т. 59, № 4. - С. 396 398.

91. Jacobs L. Axion-packed superconductors // Physica B: Condensed Matter. — 1988. - Лиг. - Т. 152, № 1/2. - С. 288-294.

92. Visinelli L. Axion-Electromagnetic Waves // Modern Physics Letters A. — 2013. - T. 28, № 35. - C. 1350162.

93. Grains J., McCall M. W., Kinsler P. Electromagnetism, axions, and topology: A first-order operator approach to constitutive responses provides greater freedom // Phys. Rev. A. — 2020. — Лир. — Т. 101, вып. 4. — С. 043804.

94. Bruce S. A. Gauge-invariant formulation of axion-electrodynamics // International Journal of Modern Physics D. - 2022. - T. 31, № 02. -C. 2250009.

95. Barredo-Alamilla E., Bobylev D. A., Gorlach M. A. Axion electrodynamics without Witten effect in metamaterials // Physical Review B. — 2024. — Maii. - T. 109, № 19. - C. 195136.

96. Boyanovsky D. Synthetic and cosmological axion hybridization: Entangled photons, Hanbury Brown-Twiss, and quantum beats // Phys. Rev. Res. — 2025. - Лиг. - Т. 7, вып. 3. - С. 033164.

97. Klitzing К. v.7 Dorda G.7 Pepper M. New Method for High-Accuracy Determination of the Fine-Structure Constant Based on Quantized Hall Resistance // Phys. Rev. Lett. — 1980. — Авг. — Т. 45, вып. 6. — С. 494— 497.

98. Halperin В. I. Quantized Hall conductance, current-carrying edge states, and the existence of extended states in a two-dimensional disordered potential // Physical Review B. - 1982. - Февр. - Т. 25, № 4. - С. 2185-2190.

99. Laughlin R. B. Quantized Hall conductivity in two dimensions // Physical Review B. - 1981. - Май. - Т. 23, № 10. - С. 5632-5633.

100. Quantized Hall Conductance in a Two-Dimensional Periodic Potential / D. J. Thouless [и др.] // Physical Review Letters. — 1982. — Авг. — Т. 49, № 6. — С. 405-408.

101. Simon В. Holonomy, the Quantum Adiabatic Theorem, and Berry's Phase // Physical Review Letters. - 1983. - Дек. - Т. 51, № 24. - С. 2167-2170.

102. Chern S.-S., Simons J. Characteristic Forms and Geometric Invariants // The Annals of Mathematics. - 1974. - Янв. - Т. 99, № 1. — С. 48.

103. Berry M. V. Quantal phase factors accompanying adiabatic changes // Proceedings of the Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences. - 1984. - Март. - Т. 392, № 1802. - С. 45-57.

104. Kane С. L., Mele E. J. Quantum Spin Hall Effect in Graphene // Physical Review Letters. - 2005. - Нояб. - Т. 95, № 22. - С. 226801.

105. Quantum Spin Hall Insulator State in HgTe Quantum Wells / M. Koenig [и др.] // Science. - 2007. - Нояб. - Т. 318, № 5851. - С. 766-770.

106. Ando Y. Topological Insulator Materials // Journal of the Physical Society of Japan. - 2013. - Окт. - Т. 82, № 10. - С. 102001.

107. Moore J. E., Balents L. Topological invariants of time-reversal-invariant band structures // Physical Review B. 2007. Март. Т. 75, № 12. С. 121306.

108. Haldane F. D. M. Nobel Lecture: Topological quantum matter // Reviews of Modern Physics. 2017. Окт. Т. 89, № 4. С. 040502.

109. Essin A. M., Moore J. E., Vanderbilt D. Magnetoelectric Polarizability and Axion Electrodynamics in Crystalline Insulators // Physical Review Letters. 2009. Аир. T. 102, № 14. C. 146805.

110. Dynamical axion field in topological magnetic insulators / R. Li [и др.] // Nature Physics. 2010. Март. Т. 6, № 4. С. 284 288.

111. Pace S. D.7 Castelnovo C., Laumann C. R. Dynamical Axions in U(1) Quantum Spin Liquids // Physical Review Letters. 2023. Февр. Т. 130, № 7. С. 076701.

112. Kamenetskii E. О. On the technology of making chiral and bianisotropic waveguides for microwave propagation // Microwave and Optical Technology Letters. 1996. T. 11, № 2. C. 103 107. eprint: https : / / onlinelibrary .wiley . com/doi/pdf/10 . 1002/7„28SICI0/„291098-2760% 28199602057„29117„3A27„3C1037„3A7„3AAID-M0P177„3E3.0. C0e/,3B2-F.

113. Magnetoelectric Interactions in Bi-Anisotropic Media / S. Tretyakov [и др.] // Journal of Electromagnetic Waves and Applications. 1998. Яшз. Т. 12, № 4. С. 481 497.

114. Polarizabilities of Nonreciprocal Bianisotropic Particles / M. S. Mirmoosa [и др.] // Physical Review Applied. 2014. Аир. Т. 1, № 3. C. 034005.

115. Asadchy V. S., Diaz-Rubio A., Tretyakov S. A. Bianisotropic metasurfaces: physics and applications // Nanophotonics. 2018. Июнь. Т. 7, № 6. С. 1069 1094.

116. Giannotti M. Status and Perspectives on Axion Searches. 2024.

117. Zayats A. V., Smolyaninov I. /., Maradudin A. A. Nano-optics of surface plasmon polaritons // Physics Reports. — 2005. — T. 408, № 3. — C. 131— 314.

118. Electromagnetic energy density in a single-resonance chiral metamaterial / P.-G. Luan [и др.] // Optics Letters. - 2011. - Февр. - Т. 36, № 5. -С. 675.

119. Barron L. D. Molecular Light Scattering and Optical Activity. — 2-е изд. — Cambridge University Press, 2004.

120. Tailoring Directional Scattering through Magnetic and Electric Resonances in Subwavelength Silicon Nanodisks / I. Staude [и др.] // ACS Nano. — 2013. — Авг. - Т. 7, № 9. - С. 7824-7832.

121. Bobylev D. A., Smirnova D. A., Gorlach M. A. Photonic Topological States Mediated by Staggered Bianisotropy // Laser & Photonics Reviews. — 2020. - Дек. - Т. 15, № 2. - С. 1900392.

122. Hill С. Т. Axion induced oscillating electric dipole moments // Physical Review D. - 2015. - Июнь. - Т. 91, № И. - С. 111702.

123. Rosenberg G., Franz M. Witten effect in a crystalline topological insulator // Physical Review B. — 2010. — Июль. — Т. 82, вып. 3. — С. 035105.

124. Heidenreich В., McNamara J., Reece M. Non-standard axion electrodynamics and the dual Witten effect // Journal of High Energy Physics. — 2024. — Янв. - Т. 2024, № 1.

125. Hill С. Т. Axion induced oscillating electric dipole moment of the electron // Phys. Rev. D. - 2016. - Янв. - Т. 93, вып. 2. - С. 025007.

126. Tutorial on Electromagnetic Nonreciprocity and its Origins / V. S. Asadchy [и др.] // Proceedings of the IEEE. - 2020. - T. 108, № 10. - C. 1684-1727.

127. Hehl F. W., Obukhov Y. N. Foundations of Classical Electrodynamics: Charge, Flux, and Metric. — Birkhauser Boston, 2003.

128. Mackay Т. G.7 Lakhtakia A. Electromagnetic fields in linear bianisotropic mediums // Progress in Optics Volume 51. — Elsevier, 2008. — Гл. 3. С. 121— 209.

129. Shnir Y. Magnetic Monopoles. — Springer-Verlag, Berlin, 2005.

130. Zwanziger D. Local-Lagrangian Quantum Field Theory of Electric and Magnetic Charges // Phys. Rev. D. — 1971. — Февр. — Т. 3, вып. 4. — С. 880-891.

Список иллюстративного материала

1 Нарушение ограничения на теддегеновский отклик основного состояния в трёхуровневой системе. Иллюстрация из работы [36]. Резонансы системы подобраны в соответствие с работой [15], на длинах волн Л1 = 5 мкм и Л2 = 5.36 мкм. Матричные элементы дииольных моментов выбраны

|110| = 1.24, |12о| = 2.36, |т10| = 0.86, |т20| = 0.58 в произвольных единицах. Ширина затухания Г = 0.2 с-1, (а) Поляризуемости системы в зависимости от частоты. (Ь) Величина нарушения А'' в зависимости от частоты в произвольных единицах, случай с потерями 19

2 Индуцированные дииольные моменты, наблюдаемые снаружи теддегеновской сферы, нормированные на затравочный диподьный момент, в зависимости от размерного параметра дЯ при трёх различных значениях Х- Иллюстрация взята из работы [ ] .....

3 (а,Ь) Индуцированный электрический (а) и магнитный (Ь) мудьтиподи поля вне теддегеновской сферы, нормированные на соответствующий затравочный электрический мудьтиподьный момент источника, в зависимости от размерного параметра дЯ. Разные цвета соответствуют разным порядкам мудьтиподей. (с,с1) Электрический а1е и магнитный а1т мультииоли вне сферы, нормированные на мудьтиподьный момент источника, в сравнении со стандартными коэффициентами Ми щи для I = 6 (с) и I = 1 (с!). Во всех расчетах е = 5,^ = 1,Х = 0.4. Иллюстрация из работы [ ]

4 (а) Индуцированные электрический а1е и магнитный а1т мультииоли поля вне теллегеновской сферы, нормированные на соответствующий магнитный мультиполь с I = 6 источника в центре сферы. Спектральные особенности сравниваются с коэффициентами Ми а/. Параметры £ = 5 = 1 X = 0.4. (Ь) Индуцированные электрические мультииоли поля вне теллегеновской сферы, нормированные на соответствующий электрический мультипольный момент источника, в зависимости от частоты в дисперсионной среде вдали от резонанса. Я = 0.2 м,

ш0 = 15 рад-ГГц, а = 37.5 рад-ГГц, Ь = 73.5 рад-ГГц, с = 5.25 рад-ГГц, Г = 0.3 рад-ГГц. Параметры среды имеют следующие диапазоны: Яе(£) е [2.5,3.03^ш(£) е [0,0.03^е(^) е [4.91,5.94],

е [0,0.06^ X е [0.35,0.42]. Иллюстрация из работы [ ].....

5 Схема двух структур с нарушенными ?иТ симметриями, но инвариантных по ТТ. (а) Метаматериал с эффективным аксионным откликом х из работы [ ]. Электрическая гиротропия д(г) обычно связана с орбитальным движением. (Ь) Метаматериал с дуальным аксионным откликом X- Магнитная гиротропия /(г) обычно связана со спиновым вкладом. Иллюстрация из работы [22] . 31

6 Численное моделирование задачи об излучающем электрическом диполе внутри шара из гиротропного электрического (красные линии) или магнитного (синие линии) слоистого метаматериала. Толщина каждого слоя t = 2 мм, параметры мате риала £ = 5,

ge = 4, ( = 1 9т = -0,8 обеспечивают отображение ( )-( ) в первом порядке по Х- а Точечный диполь помещённый в полость внутри шара из метаматериала, радиус полости — 3t. d Линейная антенна длины L = 4£, помещённая в шар из метаматериала. Центральный слой обладает нулевой намагниченностью во избежание сингулярностей. Ь, с, е, f Индуцированные дипольные моменты снаружи сферы в зависимости от частоты, нормированные на затравочный дипольный момент внутри сферы. Иллюстрация из работы [22]....................... 35

7 Violation of the bound on the Tellegen response of the ground state in a three-level system. Illustration from [36]. The resonances are chosen according to [ ], at wavelengths Ai = 5 (m and A2 = 5.36 (xm. The dipole matrix elements are

|d10| = 1.24, |^2o| = 2.36, |m10| = 0.86, |m20| = 0.58 in arbitrary units. The damping rate is Г = 0.2 s-1. (a) System polarizabilities as a function of frequency, (b) Magnitude of the violation A'' as a function of frequency in arbitrary units, the lossy case............... 51

8 Induced dipole moments observed outside a Tellegen sphere, normalized to the seed dipole moment, as a function of the dimensionless parameter qR for three different values of Х- Illustration taken from [ ]

9 (a,b) Induced electric (a) and magnetic (b) multipole fields outside a Tellegen sphere, normalized to the corresponding seed electric multipole moment of the source, versus the dimensionless parameter qR. Different colours correspond to different orders of multipoles. (c,d) Electric de and magnetic alm multipoles outside the sphere, normalized to the multipole moment of the source, in comparison with the standard Mie coefficients ai and for I = 6 (c) and I = 1 (d). In all calculations

£ = 5,^ = 1,X = 0.4. Illustration from [ ] ................

10 (a) Induced electric ale and magnetic alm multipole fields outside the Tellegen sphere, normalized to the corresponding magnetic multipole with I = 6 of the source at the center of the sphere. Spectral features are compared with the Mi coefficients ai. Parameters £ = 5, ^ = 1

X = 0.4. (b) Induced electric multipoles of the field outside the Tellengen sphere, normalized to the corresponding electric multipole moment of the source, as a function of frequency in a dispersive medium far from resonance. R = 0.2 m, cu0 = 15 rad-GHz, a = 37.5 rad-GHz, b = 73.5 rad-GHz, c = 5.25 rad-GHz, r = 0.3 rad-GHz. The parameters of the medium have the following ranges: Re(£) £ [2.5,3.03], Im(£) £ [0,0.03], Re(^) £ [4.91,5.94], Im(^) £ [0,0.06], X £ [0.35,0.42]. Illustration from [38]............................ 58

11 Schematics of two structures with broken V and T symmetries but invariant under "PT. (a) A metamaterial with an effective axion response x from []. The electric gyrotropy g(z) is usually associated with orbital motion, (b) A metamaterial with a dual axion response X-The magnetic gyrotropy f (z) is usually associated with a spin contribution. Illustration from [22]..................... 62

12 Numerical modelling of the problem of a radiating electric dipole inside a sphere made of a gyrotropic electric (red lines) or magnetic (blue lines) layered metamaterial. The thickness of each layer is t = 2 mm; the material parameters £ = 5, 9e = 4 ( =1 9m = -0.8 ensure the mapping ( )-( ) in the first order in Х- a A point dipole placed in a cavity inside the metamaterial sphere; the radius of the cavity is 3t. d A linear antenna of length L = 4t placed in the metamaterial sphere. The central layer has zero magnetization to avoid singularities, b, c, e, f Induced dipole moments outside the sphere as a function of frequency, normalized to the seed dipole moment inside the sphere. Illustration from [22]................................... 66

1.1 Поляризуемости для цилиндрического теллегеновского мета-атома на основе вейлевского полуметалла в зависимости от длины волны, взятые из статьи [15]. Мета-атом расположен осью цилиндра вдоль z. ае, ато и аХ обозначают электрическую, магнитную и магнитоэлектрическую поляризуемости соответственно в плоскости Оху. azez, а^ и а^ ~ т0 же самое для компонент поляризуемостей вдоль оси г.................................

1.2 Нарушение ограничения на теллегеновский отклик основного состояния в трёхуровневой системе. Иллюстрация из работы [36]. Резонансы системы подобраны в соответствие с работой [15], на

A1 = 5 A2 = 5. 36

дипольных моментов выбраны

|d10| = 1.24, |d20| = 2.36, |m10| = 0.86, |m20| = 0.58 в произвольных единицах, (а) Поляризуемости системы в зависимости от частоты.

A

произвольных единицах, случай без потерь, (с) Модифицированная величина нарушения A' в зависимости от частоты в произвольных единицах, случай без потерь.......................109

1.3 Нарушение ограничения на теллегеновский отклик основного состояния в трёхуровневой системе. Иллюстрация из работы [36]. Резонансы системы подобраны в соответствие с работой [15], на

A1 = 5 A2 = 5. 36

дипольных моментов выбраны

|d10| = 1.24, |d20| = 2.36, |m10| = 0.86, |m20| = 0.58 в произвольных единицах. Ширина затухания Г = 0.2 с-1, (а) Поляризуемости системы в зависимости от частоты. (Ь) Величина нарушения A'' в зависимости от частоты в произвольных единицах, случай с потерями 111

2.1 Геометрия задачи о мультиполе в теллегеновской сфере радиуса R

Х

иллюстрации в центр помещён диполь, направленный вдоль оси г. Иллюстрация взята из работы [37]....................117

2.2 Индуцированные дипольные моменты, наблюдаемые снаружи теллегеновской сферы, нормированные на затравочный дипольный момент, в зависимости от размерного параметра qR при трёх

Х

2.3 Численное моделирование электрического поля на поверхности электрической сферы вблизи частоты анаполя. Размерный параметр дЯ = 4.49, электродипольная амплитуда А = 1, теллегеновский параметр х =1 .....................

2.4 Индуцированные дипольные моменты, наблюдаемые снаружи теллегеновской сферы, нормированные на затравочный дипольный момент, в зависимости от размерного параметра дЯ при трёх различных значениях £ и при фиксированном х- Иллюстрация

взята из работы [37]............................131

2.5 (а,Ь) Индуцированный электрический (а) и магнитный (Ь) мультиполи поля вне теллегеновской сферы, нормированные на соответствующий затравочный электрический мультипольный момент источника, в зависимости от размерного параметра дЯ. Разные цвета соответствуют разным порядкам мультиполей. (с,с1) Электрический а1е и магпитный а1т мультиполи вне сферы, нормированные на мультипольный момент источника, в сравнении со стандартными коэффициентами Ми а/ ( ) и Ь/ ( ) для I = 6 (с) и I = 1 (с1). Во всех рас четах £ = 5,^ = 1,х = 0.4. Иллюстрация

из работы [38] ...............................135

аа/е аа/т поля вне теллегеновской сферы, нормированные на соответствующий магнитный мультиполь с I = 6 источника в центре сферы. Спектральные особенности сравниваются с коэффициентами Ми а/ ( ) и Ь/ ( ). Параметры £ = 5 =1 X = 0.4. (Ь) Индуцированные электрические мультиполи поля вне теллегеновской сферы, нормированные на соответствующий электрический мультипольный момент источника, в зависимости от частоты в дисперсионной среде вдали от резонанса. Параметры среды вычисляются через ( ), где Я = 0.2 м, ш0 = 15 рад-ГГц,

а = 37.5 - = 73.5 - = 5.25 - Г = 0.3 -

Яе(£) е [2.5,3.03], 1т(£) е [0,0.03], 11е(ц,) е [4.91,5.94],

1т(ц,) е [0,0.06], X е [0.35,0.42]. Иллюстрация из работы [ ].....

3.1 Схема двух структур с нарушенными ?иТ симметриями, но инвариантных по ТТ. (а) Метаматериал с эффективным аксионным откликом X из работы [ ]. Электрическая гиротропия (3.10) обычно связана с орбитальным движением. (Ь) Метаматериал с дуальным аксионным откликом X- Магнитная гиротропия ( ) обычно связана со спиновым вкладом. Иллюстрация из работы [22] . 145

3.2 Геометрия задачи о диполях, помещённых в сферу из аксионной и дуальной аксионной среды........................155

3.3 Отношения индуцированного дииольного момента к затравочному дипольному моменту источника вычислены для сфер х и Х- Для случая дуальной аксионной среды выбраны следующие параметры: Я = 1, е = 5 ^ =1 Х = 0,03дД. Для аксионного случая соответствующие параметры £ед, , Хей вычисляются через е,ц,,Х с помощью уравнений отображения (3.35), (3.36), (3.37). Иллюстрация из работы [22].......................161

3.4 Численное моделирование задачи об излучающем электрическом диполе внутри шара из гиротрошюго электрического (красные линии) или магнитного (синие линии) слоистого метаматериала. Толщина каждого слоя £ = 2 мм, параметры мате риала е = 5,

де = 4, =1 9т = -0,8 обеспечивают отображение ( )-( ) в первом порядке по Х- а Точечный диполь помещённый в полость внутри шара из метаматериала, радиус полости — 3£. с1 Линейная антенна длины Ь = 4£, помещённая в шар из метаматериала. Центральный слой обладает нулевой намагниченностью во избежание сингулярностей. Ь, с, е, f Индуцированные дипольные моменты снаружи сферы в зависимости от частоты, нормированные на затравочный дипольный момент внутри сферы. Иллюстрация из работы [22].......................162

Приложение А Лагранжиан дуальной аксионной электродинамики

В этом приложении мы показываем, как можно описать дуальный ак-сионный отклик на языке эффективного лагранжиана. Запишем совместно совокупность модифицированных уравнений Максвелла для среды и с акси-онным и с дуальным аксионным откликом:

15 4п

rot(H - X= (D + X B) + — j , (A.l)

div (D + x B) = 4пр , (A.2) 1 д

rot (E + X H) = --- (B - X D) , (A.3)

div (B - X D) = 0 . (A.4)

В ковариантном виде данная система имеет вид:

4п

дц(Я^ + xFП = ~3У , (А.5)

^ - XЯИ = 0 . (А.6)

Данная система уравнений позволяет решать любую электромагнитную задачу как для чистой, так и для смешанной аксионной среды в рамках классической теории поля. Однако описание в терминах эффективного лагранжиана может быть полезным как для сравнения нашей метаматериальной среды с системами, возникающими в других контекстах, например, в физике конденсированного состояния, так и для глубокого теоретического исследования данного типа отклика, скажем, с точки зрения калибровочных симметрий. Ниже мы предполагаем, что внешние источники отсутствуют, и рассматриваем систему отсчёта, связанную со средой.

Сначала мы пересмотрим лагранжеву формулировку аксионной электродинамики в среде, затем рассмотрим случай с чистым X-oткликoм и, наконец,

покажем, как можно построить лагранжево описание метаматериала, обладающего комбинацией откликов х и Х- Ниже мы пользуемся обозначениями из главы 3, но для материальных параметров вместо используемого ранее полного материального тензора хавм^ мы ввели упрощение для изотропной среды в фиксированной системе отсчёта:

= ^ ^р ^ав , (А.7)

1 /ец 0 \

^ = Тё (0 . (А'8)

Здесь I = — трёхмерная единичная матрица.

Лагранжиан аксионной электродинамики [13] в среде имеет вид:

Ас = -7^ Н- :, (А.9)

16пс 16пс

См са

где первый член См описывает обычную электродинамику в среде, тогда как второй член Са — аксионный вклад. Потенциал вводится обычным образом

^ = дцАу - ЪАц . (А. 10)

Такое определение тензора поля немедленно приводит ко второй паре уравнений Максвелла. Действительно,

дцР^ = — (дцдаАв - дцдвАа) = 0,

поскольку символ Леви-Чивиты антисимметричен как относительно перестановки индексов ц и а, так и ц и в- Следовательно,

дЦР^ = 0 , (А.11)

что известно как тождество Бьянки.

Первая пара уравнений Максвелла, как обычно, получается как уравнения Эйлера—Лагранжа для потенциала Ау. Для этого вычислим производные

дрх^ = 6. 62 - 6. 6^

д (дцА-у) 6а6р 6р6а'

дН аР

д (д.А-у)

Таким образом, вариация действия приводит к следующим уравнениям:

д.(Н^ + хРИ = 0 , (А.12)

что является ковариантной формой уравнений аксионной электродинамики.

Проблема лагранжевой формулировки дуальной аксионной электродинамики состоит в том, что модифицируется вторая пара уравнений Максвелла (тождества Бьянки), и, следовательно, нельзя ввести локальный потенциал обычным образом. Эту проблему можно обойти, если потребовать, чтобы первая пара уравнений Максвелла играла роль тождеств Бьянки. В частности, вводим дуальный потенциал А., определяемый как

Н^ = дцА-у -д^А. , (А. 13)

откуда сразу следует

д.Н^ = 0 . (А. 14) Лагранжиан х-электродинамики можно ввести следующим образом:

С = - ¿Н- ^ . (А.15)

у у У

См Сд

Учитывая определение Н.-у, данное формулой ( ), остальные тензоры вычисляются как

Н^ = -2 £Ц™РНав ,

= (¿-v от1),,Н ав,

Уар

Р^ = 2 Рав . 2

Варьируя лагранжиан (А.15) по дуальному потенциалу, мы получим

дц (F- хЯ=0:, (А. 16)

что в точности совпадает с уравнениями Максвелла в присутствии дуального аксионного поля.

Для описания смешанного случая (х,Х) мы используем двухпотенциаль-ное описание электродинамики [130]. Это можно аргументировать тем, что смешанный случай (х,Х) эффективно содержит как электрические, так и магнитные источники. Мы записываем лагранжиан в точности в той же форме, что и в обычной среде:

£ = - iLf-h ", (А-17>

но используем модифицированные определения для полевых тензоров:

F^v = F# - XF$ , (А. 18)

= xF(V + F|(V) , (A. 19)

где F ¿у и F^y выражаются через дуальные потенциалы как

F(v>2) = а^ - .

В этой формулировке мы рассматриваем и как независимые поля и не накладываем на них связи в виде материальных соотношений. Поэтому мы можем независимо варьировать лагранжиан по двум потенциалам, что приводит к следующим уравнениям Эйлера Лагранжа:

+ xF=0 , (А.20)

д»(Р- ХЯ=0 . (А.21)

Эти уравнения в точности совпадают с (А.5), (А.6) в отсутствие источников. Отсюда видно, что соотношения (А. 18) и (А. 19) по сути играют роль материальных соотношений, для введения которых в случае смешанной среды необходимо вводить вспомогательные поля.

Приложение Б Основные публикации автора по теме диссертации

PHYSICAL REVIEW A 111, 033521 (2025)

Unbounded Tellegen response in media with multiple resonances

Timur Z. Seidov©* and Maxim A. Gorlach©

School of Physics and Engineering, ITMO University, 197101 Saint Petersburg, Russia

O (Received 27 November 2024; accepted 7 March 2025; published 21 March 2025)

The Tellegen response is a special type of nonreciprocal magnetoelectric coupling which has long remained elusive in photonics and is extremely weak in condensed matter. It is widely accepted that the Tellegen coefficient is restricted by x2 < f-j, where s and jj are the permittivity and permeability of the material. Here, we demonstrate that this restriction is lifted in the medium with several close resonances, which provides a theoretical foundation for a giant Tellegen response and enhanced nonreciprocal phenomena.

DOI: 10.1103/PhysRevA.111.033521

I. INTRODUCTION

Artificially structured media enable exotic optical phenomena by tailoring light-matter interactions at subwavelength scales [1-3]. An example of this is bianisotropy, also known as magnetoelectric coupling [4]. In the simplest isotropic case it is captured by the constitutive relations

D = eE + (x + iK )H, B = (x - iK)E + ixH,

(1) (2)

where s and / are the permittivity and permeability of the medium, while k and x capture the effect of bianisotropy and are referred to as chirality and the Tellegen response. In the absence of losses, both parameters are real.

Chirality requires the breaking of inversion symmetry and is ubiquitous in nature arising in many organic molecules with a spiral structure. In contrast, the Tellegen response is more exotic and occurs only if both inversion and time-reversal symmetry of the medium are broken. Here, we focus on the latter response which was initially postulated by Tellegen in 1948 [5] and has since been a subject of active investigation.

Initially, the very existence of the Tellegen response was disputed [6-8]. However, this debate is now resolved, as there are multiple examples of Tellegen media in condensed matter including magnetoelectrics (e.g., Cr2O3 [9]), multifer-roics, and topological insulators [10,11]. Electromagnetics of those materials mirrors the equations of axion electrodynamics [10,12]. However, the typical values of x are quite small, ranging from 10-6 to 10-3 [13].

It is a commonly accepted notion [4,14-24] that the Tellegen response of the isotropic medium is constrained by

|XI < sßß.

(3)

Due to the small values of x in condensed matter, this constraint has never been approached. However, the situation has changed with the recent theoretical [25-27] and experimental [28] studies in photonics which suggested an extremely strong

Tellegen response of the order of 0.1-1 [26-28]. Although the experimentally reported system [28] is not yet a bulk metamaterial, this creates tension between the established bound on the Tellegen coefficient and recent experimental findings.

In this paper, we prove that the restriction Eq. (3) on the Tellegen coefficient can be lifted if the medium possesses multiple spectrally close resonances, which lays the theoretical foundation for achieving a strong Tellegen response.

The paper is organized in the following manner. In Sec. II, we revisit the logic of the x ^ constraint. In Sec. III, we incorporate the frequency dispersion and obtain the same restriction for a basic two-level system. Section IV focuses on deriving the response of a system with two resonant transitions. We show that there exists a frequency range where X ^ V®^, and we establish the connection between the frequencies of the resonances and the specific interval, where the restriction is violated. Section V analyzes the effect of losses. Finally, in Sec. VI we discuss perspectives and applications of our prediction.

II. TELLEGEN MEDIA AND ENERGY CONSIDERATIONS

First, we reiterate the logic of the constraint Eq. (3) widely accepted in the literature [4,14-24]. In the absence of sources and in the CGS system of units, Maxwell's equations take the form

rot H =

1 d D

c It '

1 dB

rot E =---,

c dt

div D = 0,

div B = 0,

(4)

(5)

(6) (7)

Contact author: [e-mail]

with the constitutive relations Eqs. (1) and (2). In the monochromatic case, the latter two equations are a consequence of the first two and hence can be omitted. Without loss of generality, we denote the direction of propagation as the z axis and introduce the circular basis e± = e* ± iey. The

2469-9926/2025/111(3)/033521(7)

033521-1

©2025 American Physical Society

resulting equations for the amplitudes E±, H± of the circularly polarized modes read

eE± + [x T in]H± = 0, [x ± in]E± + ßH± = 0,

(8) (9)

with n = ck/m being a refractive index. Solving these equations yields the refractive index n = y/eft — x2. Once |x I > „/eft,, the refractive index becomes purely imaginary, suppressing wave propagation. However, this does not mean that IXI > -/eft is impossible. It only means that the medium does not sustain the propagating modes. Such a situation happens, for instance, in plasma below the plasma frequency and does not lead to any inconsistencies.

Therefore, to derive the constraint on x, we compute the field energy in the Tellegen medium neglecting losses and frequency dispersion and presenting the energy density as a quadratic form [4,23,24],

W =-(E H

'\X ß

(10)

As the field energy must be non-negative, the material parameters should satisfy

X ^ eß, e > 0, ß > 0.

(11)

Hence, in the absence of the frequency dispersion, the Telle-gen coefficient is restricted by the bound Eq. (3).

In the same spirit, we may consider a single Tellegen metaatom [27] acquiring both electric d and magnetic m dipole moments in an external field. The dipole moments of such a particle are expressed via polarizabilities taken scalar for simplicity:

d = aeeE + aemH,

m = ameE + ammH.

(12) (13)

In the case of the Tellegen response both magnetoelectric po-larizabilities are real: aem = ame e R. Neglecting frequency dispersion, we present the potential energy in the external field in the form

U = -2(aeeE2 + ammH2) — aemE ■ H.

(14)

As the potential energy should be nonpositive for the arbitrary configuration of the external field, aee " 0, amm " 0, and

\aem\ < Vaeeamm,

(15)

mirroring the constraints Eq. (11).

Thus, in the absence of dispersion, i.e., at frequencies far away from the resonances of the medium, both the bulk Tellegen response and magnetoelectric polarizability of a single Tellegen particle are constrained in agreement with the early works.

III. TELLEGEN RESPONSE OF A TWO-LEVEL SYSTEM

We now advance this description by incorporating the effects of frequency dispersion and introducing a single resonance in polarizabilitity. It is associated with the meta-atom eigenmode characterized by nonvanishing, collinear, and inphase electric and magnetic dipole moments. In such a case,

the analytical description of the meta-atom response should be based on its quasinormal modes [29,30]. However, to avoid the difficulties associated with the leaky nature of the quasinormal modes, we instead adopt a conceptually similar quantum-mechanical methodology for computing the electromagnetic response in the first-order of perturbation theory [31]. For conceptual clarity, we neglect losses.

Technically, we analyze the time-dependent Schrödinger equation

ih d - H )\f )=V\f},

(16)

where Hi is an unperturbed Hamiltonian of the system, while V quantifies the interaction with the incident electromagnetic field. We suppose that the system is electrically small and employ a dipole approximation, assuming that the matrix elements of electric d and magnetic m dipole moments are significant, while the contribution of the higher-order multipoles is negligible, therefore allowing us to recast the interaction Hamiltonian in the following form,

2? = —Z„ E0/) e—mt — dp E^ — m? Bop e—mt — meimt.

(17)

Here, Eo and Bo are complex amplitudes of the incident field, greek indices denote vector components, and the summation is performed over repeated indices. General first-order perturbation theory for the polarizabilities is provided in the Appendix. In the simplest case of an isotropic two-level system the set of polarizabilities reads

2m H

lid,,

3h m-^0 — m2 '

3h m-^0 — m2 '

Im(aem ) =

2m Im(d10, m^) 3h

mm

Re(aem ) =

2m10 Re(d10, m10) 3h m2,n — m2

(18)

(19)

(20)

(21)

Here, (a, b) is a Hermitian product of the complex vectors a and b, i.e., a* • b, ||a||2 = (a, a), mjn is the difference between the jth and nth eigenfrequencies of the unperturbed system, ame = (aem )* and Re, Im symbols stand for real and imaginary parts of the complex number.

Real and imaginary parts of magnetoelectric polarizability are readily identified as the Tellegen response and chirality. From these expressions, we conclude that

\Re(aem )\ =

2m10 |Re(d10, m10)|

«10 37T

2m10

|m10

3h

= -Ja*'

(22)

where the equality holds when d1o and m1o are in phase and parallel.

Thus, in the presence of a single resonance, we recover the same restriction on the magnetoelectric polarizability Eq. (15), even though electric and magnetic polarizabilities can become negative at high frequencies. Essentially, this

2

a

2m10 I|m10||2

mm

a

|m?n — m2\

10

a

2

2

mm

10

UNBOUNDED TELLEGEN RESPONSE IN MEDIA WITH ...

PHYSICAL REVIEW A 111, 033521 (2025)

logic motivated the community to believe that the effective Tellegen response is always restricted by Eq. (3), while the Tellegen polarizability of a single particle is constrained by Eq. (15).

However, this treatment is incomplete as it ignores an essential physical aspect: any material and any resonant particle has more than a single resonance. The paradigmatic example is provided by Mie-resonant dielectric particles with multiple spectrally close eigenmodes. The positions of those resonances can be flexibly tailored [32,33]. As we prove below, the interplay of close resonances allows one to overcome the restriction Eq. (15), paving a way to strong Tellegen nonreciprocity.

IV. TELLEGEN RESPONSE OF A THREE-LEVEL SYSTEM

To illustrate that, we examine a system with two spectrally close modes, each of them containing a superposition of electric and magnetic dipoles. We analyze the response of such a three-level system using the same approach detailed in the Appendix. Assuming full isotropy of the system, we recover the polarizabilities

a'm = P(mio) Re(dio, mw) + i-Im(dio, mw)

®10

+ P(®10) Re(d20, m20) + i-Im(d20, m20) , (23)

\ «20/

a" = P(«10)||d10||2 + P(®20)l|d20l|2, (24)

amm = P^Hm^H2 + P(®20)||m20||2, (25)

where we introduced the following notation for the resonant Lorentz factors,

P(m) =

3h ®2o — m2

(26)

For simplicity, we assume that the chiral response is absent, i.e., Im(di0, mi0) = 0. Hence, di0 and mi0 are in phase and without loss of generality can be assumed real vectors. To check whether |Re(aem)| ^ -Jaeeamm is satisfied, we examine the sign of the difference

A = Re2 (aem) — aeeam

(27)

where A > 0 indicates the violation of restriction Eq. (15). Expanding the expressions for the polarizabilities yields

aeeamm = P2(®H,)||d10||2||m10||2 + P2(®20)||d20||2||m20||2 + P(®10)P(®20)(||d10||2||m20||2 + ||d20||2||m10||2), (28)

Re2(aem) = P2(®10)Hd10H2Hm10H2cos2 01

+ P2(®20)||d20||2||m20||2cos2 e2

+ 2P(«10)P(«20)Hd10HHm10HHd20H

x||m20|| cos 01 cos 02, (29)

where 0i is the angle between di0 and mi0. For clarity, we assume that di0 and mi0 are parallel, i.e., cos 0i = 1. In such

A = Re2 (aem) - a"amm

= -P(«10)P(«20)(||d20|| Hm10H - ||d10H ||m20||)2. (30)

The expression in the parentheses is always positive. Thus, the sign of the overall expression is defined by the sign of the two Lorentz factors

®10®20

Ko — v2) Ko — ®2)

(31)

If ®i0 < «20, the difference A is negative for rn < ®i0 and rn > «20. However, in the region between the resonances «10 < « < «20 the difference A becomes positive, and thus the restriction on the Tellegen polarizability Eq. (15) is lifted.

This conceptual conclusion is illustrated in Fig. 1, which depicts the polarizabilities computed for parameters close to Ref. [27] [Fig. 1(a)]. Figure 1(b) shows that the difference A indeed takes positive values between the two resonances, thus violating the celebrated restriction on the Tellegen response. Equation (31) suggests the following: the closer are the resonances «10 and «20, the higher is the average value of the Tellegen response aem in this interval, peaking close to the resonances. Note that the above restriction is violated not due to the negative values of electric and magnetic polarizability, but rather due to the high aan, which is readily confirmed by plotting the difference A' = Re2(aem) - |aeeamm| in Fig. 1(c).

Adding more dipole resonances to the description does not affect our qualitative conclusions generating other frequency intervals where the Tellegen response exceeds the bound. On the other hand, the presence of nearby higher-order multipole resonances brings in rich physics beyond the Tellegen response, resulting in its nonlocal extensions and distinct phenomena [34].

V. EFFECT OF LOSSES

Assessing the role of the material losses, we first note that in the case of complex material parameters the inequalities (11) are replaced by

Re(s) > 0, Re(x) > 0, x2 > |Re(s)Re(/)|, (32)

which is derived from the positive definiteness of the energy density

(W> = — Re{E* • D + H* • B}. (33)

16^

In our model, the losses are introduced via an additional dissipation term in the resonant Lorentz factors