Настройка параметров регуляторов для нелинейных непрерывных систем на основе алгоритмов оптимизации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Хоанг Дык Лонг

• Хоанг Дык Лонг
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Хоанг Дык Лонг

Реферат

Synopsis

Introduction

Chapter 1. Overview of turning controller parameters

1.1. Classification of Optimization Algorithms

1.2. Overview of Tuning Controller Parameters using Optimization Algorithms for Nonlinear Continuous Systems

1.3. Problem statement

Chapter 2. Tuning sliding mode controller parameters for uncertain nonlinear systems using optimization

algorithm(s)

2.1. Design of Robust Sliding Mode Control

2.2. Tuning Parameters of Robust Sliding Mode Control

2.2.1. Define the ranges of sliding mode controller parameters

based on desired performances

2.2.2. Tuning Parameters of Sliding Mode Control based on Jaya algorithm

2.3. Examples

2.3.1. Inverted Pendulum on Cart

2.3.2. Two-rotor Vibration Unit

2.4. Summary

Chapter 3. Tuning adaptive sliding mode controller parameters for uncertain nonlinear systems using optimization algorithm(s)

3.1. Design of Adaptive Sliding Mode Control

3.2. Tuning Parameters of Robust Adaptive Sliding Mode Control

3.3. Examples

3.4. Summary

Chapter 4. Tuning adaptive super-twisting sliding mode controller parameters for uncertain nonlinear systems using optimization algorithm(s)

4.1. Design of Robust Adaptive Super-twisting Sliding Mode Control

4.2. Tuning Parameters of Robust Adaptive Super-twisting Sliding

Mode Control

4.2.1. Define the ranges of sliding mode controller parameters

based on desired performances

4.2.2. Tuning Parameters of Adaptive Super-twisting Sliding Mode Control based on Jaya algorithm

4.3. Examples

4.3.1. State-Space Model of Inverted Pendulum on Cart

4.3.2. Design of Adaptive Super-twisting Sliding Mode Control for Inverted Pendulum on Cart

4.3.3. Tuning Controller Parameters of Adaptive Super-twisting Sliding Mode Control for Inverted Pendulum on Cart

4.4. Summary

Conclusion

List of abbreviations

References

Appendix 1: Neural Network - Two-rotors Vibration Unit

Appendix 2: Jaya algorithm

Publications

Реферат

Общая характеристика диссертации

Актуальность темы исследования. Многочисленные реальные системы, функционирующие в различных инженерных отраслях (робототехника, аэрокосмическая отрасль, химические процессы, энергетические системы и т.д.) демонстрируют нелинейное поведение. Точное управление такими системами имеет решающее значение для обеспечения эффективности их работы, безопасности и желаемой производительности. Однако, нелинейная динамика реальных технических комплексов и систем представляет собой ряд трудностей. Управление нелинейными системами является существенной проблемой в ввиду присущей им сложности модельного описания и непредсказуемого поведения. Прецизионное управление требует знания точных моделей. Между тем, реальные системы характеризуются наличием разного рода неопределенностей, связанных с вариациями параметров моделей систем, внешними возмущениями и немоделируемой динамикой. В виду присущей нелинейным системам неопределенности традиционные методы проектирования систем управления, часто опирающиеся на точное знание системы, оказываются не пригодными в реальных условиях. Следовательно, разработка адаптивных методов управления, позволяющих обеспечить эффективное функционирование системы в условиях неопределенности, является критически важной задачей для достижения желаемой производительности и устойчивости реальных технических систем.

Метаэвристические алгоритмы оптимизации, такие как алгоритм Джая (Лауа), оптимизация на основе обучения (ТЬБО), генетический алгоритм (СЛ) и алгоритм оптимизации методом роя частиц (РБО) предлагают эффективные альтернативы для настройки параметров регуляторов нелинейных систем управления. Эти алгоритмы эффективно решают сложные задачи поиска оптимальных решений даже в условиях неопределенностей параметров моделей нелинейных систем. В рамках диссертации особое внимание уделено исследованию относительно нового алгоритма оптимизации Джая (2015г.) в виду простоты его реализации, быстрой сходимости алгоритмов и избегания попадания в локальные оптимумы. Сравнительный анализ использования алгоритма Джая с известными алгоритмами оптимизации (ТЬБО, СЛ, РБО) в

контексте управления нелинейными системами позволяет продемонстрировать его существенные преимущества. В диссертации применение алгоритма Джая осуществляется для настройки параметров регуляторов при управлении нелинейными системами в скользящем режиме (УСР), при проектировании адаптивных регуляторов при управлении в скользящем режиме, а также для настройки параметров регуляторов при адаптивном управлении в скользящем режиме с суперскручиванием.

Управление в скользящем режиме широко используется в различных практических приложениях, благодаря своей способности эффективно справляться с неопределенностями системы и внешними помехами. Например, в автомобильных системах управление в скользящем режиме используется для контроля устойчивости автомобиля и антиблокировочной системы тормозов, обеспечивая оптимальную работу в различных дорожных условиях; в робототехнике скользящий режим используется для точного управления движением, позволяя роботизированным манипуляторам сохранять точность даже при неожиданных изменениях нагрузки; в силовой электронике, в частности, в преобразователях постоянного тока и электроприводах скользящий режим обеспечивает надежное управление при изменении параметров; в аэрокосмических системах для управления ориентацией спутников и беспилотных летательных аппаратов, а также в области управления технологическими процессами при управлении химическими реакторами и регулирования температуры в промышленных процессах. Применение эффективной методологии настройки параметров регулятора при управлении нелинейными системами в скользящем режиме позволяет уменьшить амплитуду колебаний процессов в области чаттеринг-эффекта, характерного для управления в скользящем режиме, и, как следствие, обеспечивает в системе более высокие показатели качества, снижение затрат на управление и повышение уровня надежности нелинейных систем. Учитывая широкий спектр инженерных приложений, разработка методов настройки параметров регуляторов, позволяющих обеспечить более высокое качество процессов, представляется актуальной задачей.

Степень разработанности темы. Исследования в области настройки параметров регуляторов для неопределенных нелинейных систем с использованием различных алгоритмов оптимизации являются стремительно развивающейся областью. Внедрение передовых алгоритмов оптимизации

позволяет повысить производительность и надежность систем управления, а новые результаты и направления в этой области появляются благодаря интеграции методов адаптивного обучения и гибридных подходов к оптимизации. На сегодняшний день методы применения систем управления с переменной структурой, изложенные в работах С.В. Емельянова, В.И. Уткина, Jean-Jacques E. Slotine, Weiping Li, получили достаточно широкое развитие и их объединение с другими подходами теории управления (адаптивные подходы, методы оптимизации, идентификационные методы и др.) позволило получить новые результаты в различных инженерных отраслях (Б.Р. Андриевский, А.В. Назин, Ю.В. Орлов, А.С. Позняк, С.Е. Рывкин, А.Л. Фрадков, K.Y. Chen, J. Rath, L. Fridman, Y. Shtessel и др.).

Цель исследования. Целью диссертационной работы является разработка алгоритмов настройки параметров регуляторов нелинейных систем на базе алгоритмов оптимизации, позволяющих улучшить показатели качества процессов в нелинейных системах, функционирующих в условиях параметрической неопределенности и неизвестных возмущений при ограниченном управлении.

Задачи. Для достижения поставленной цели в рамках диссертации были поставлены и решены следующие задачи:

1. Обзор и анализ существующих методов оптимизации.

2. Разработка алгоритма настройки параметров регулятора при управлении нелинейными системами в условиях неизвестных возмущений на основе алгоритмов оптимизации, обеспечивающего нулевую ошибку слежения за эталонным сигналом при ограниченном управлении.

3. Разработка алгоритма настройки параметров адаптивного регулятора при управлении нелинейными системами с параметрической неопределенностью на основе алгоритмов оптимизации, обеспечивающего нулевую ошибку слежения за эталонным сигналом при ограниченном управлении.

4. Разработка алгоритма настройки параметров адаптивного регулятора при управлении нелинейными системами с параметрической неопределенностью и неизвестными возмущениями на основе алгоритмов

оптимизации, обеспечивающего нулевую ошибку слежения за эталонным сигналом при ограниченном управлении.

5. Решение прикладных проблем по настройке параметров

математических моделей регуляторов в задаче стабилизации перевернутого маятника на тележке и в задаче синхронизации скорости двух роторов на примере математической модели двухроторной вибрационной установки.

Методы исследования. При получении основных результатов диссертации использовались аналитические методы классической теории управления, методы управления в скользящем режиме, методы решений и анализа обыкновенных дифференциальных уравнений, метод функций Ляпунова, современные алгоритмы оптимизации (алгоритм Джая, оптимизация на основе обучения, генетический алгоритм оптимизации, оптимизация методом роя частиц). Иллюстративные примеры численного моделирования, подтверждающие основные положения и выводы, сформулированные в диссертации, выполненны в среде Matlab/Simulink.

Положения, выносимые на защиту.

1. Алгоритм настройки параметров регуляторов на основе алгоритма оптимизации Джая при управлении нелинейными системами в скользящем режиме, функционирующими при наличии неизвестных возмущающих воздействий и ограниченном управлении.

2. Алгоритм настройки параметров адаптивных регуляторов на основе алгоритма оптимизации Джая при управлении нелинейными параметрически неопределенными системами в скользящем режиме, функционирующими при ограниченном управлении.

3. Алгоритм настройки параметров адаптивных регуляторов на основе алгоритма оптимизации Джая при управлении нелинейными параметрически неопределенными системами в скользящем режиме с суперскручиванием, функционирующими при наличии неизвестных возмущающих воздействий при ограниченном управлении.

Научная новизна. В диссертационной работе предложены алгоритмы настройки параметров адаптивных регуляторов для класса нелинейных систем при управлении в скользящем режиме, функционирующих при

наличии параметрических неопределенностей и неизвестных возмущающих воздействий, обладающие новизной. Оригинальные алгоритмы настройки параметров регуляторов включают в себя методологию выбора допустимого диапазона параметров с последующим использованием алгоритма оптимизации Джая, позволяющего обеспечить уменьшение амплитуды колебаний процессов в области чаттеринг-эффекта, и, как следствие, достичь более высоких показателей качества процессов, снижения затрат на управление и повышения уровня надежности нелинейных систем по сравнению с другими алгоритмами оптимизации. Рассмотрение возможностей настройки параметров регуляторов для трех вариантов управления в скользящем режиме (стандартного, адаптивного и с суперскручиванием) расширяет область применения предложенных алгоритмов настройки параметров регуляторов для класса нелинейных систем и демонстрирует универсальность и адаптируемость предложенного подхода к различным стратегиям управления нелинейными системами в скользящем режиме.

Теоретическая значимость результатов диссертационной работы заключается в развитии подходов к настройке параметров регуляторов для класса нелинейных систем, функционирующих в условиях параметрической неопределенности и неизвестных возмущений при ограниченном управлении и включает в себя методологию выбора допустимого дапазона параметров регулятора с последующим применением алгоритма оптимизации Джая при управлении в скользящем режиме (стандартном, адаптивном, с суперскручиванием).

Практическая значимость результатов диссертационной работы заключается в том, что предложенные алгоритмы настройки параметров регуляторов при управлении в скользящем режиме (стандартном, адаптивном, с суперскручиванием) обладают наименьшей вычислительной сложностью по сравнению с существующими алгоритмами настройки и могут быть эффективно использованы при проектировании систем управления нелинейными системами широкого класса, в частности, в задачах синхронизации роторов вибрационных установок и электродвигателей, в задачах стабилизации перевернутого маятника на тележке.

Достоверность результатов, полученных в диссертации, подтверждается строгими математическими выкладками, иллюстративными примерами численного моделирования в программной среде MATLAB/Simulink, опубликованными работами в рецензируемых научных изданиях, а также докладами на научных конференциях как всероссийского, так и международного уровня. Результаты, полученные в ходе выполнения исследования, не противоречат ранее полученным данным, опубликованным в открытых источниках.

Соответствие диссертации паспорту научной специальности.

Диссертационная работа соответствует пунктам 1, 2 и 4 паспорта научной специальности 2.3.1. - Системный анализ, управление и обработка информации, статистика (технические науки). Проведенные исследования соответствуют формуле специальности.

Личный вклад автора заключается в непосредственном участии во всех этапах выполнения диссертационной работы, включая формулировку и доказательство представленных в диссертации утверждений, аналитические расчеты, проведение компьютерного моделирования, подготовку публикаций по выполненной работе, а также представление результатов на научных конференциях.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 8 статьях, из них 2 публикации в изданиях рецензируемых Web of Science или Scopus, 1 публикация в журналах из перечня ВАК.

Объём и структура работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и 4 приложений. Полный объём диссертации составляет 223 страницы, включая 90 рисунков и 4 таблицы. Список литературы содержит 157 наименований.

Основное содержание работы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Настройка параметров регуляторов для нелинейных непрерывных систем на основе алгоритмов оптимизации»

Введение.

Управление нелинейными системами представляет собой сложную инженерную задачу, решение которой требует знания специальных методов и подходов для обеспечения желаемых показателей качества процессов в условиях неопределенностей и неизвестных возмущений. Для решения задач управления нелинейными системами, функционирующими в условиях параметрических неопределенностей и неизвестных возмущений, управление в скользящем режиме (УСР) зарекомендовало себя как надежный и эффективный метод управления, характеризующийся нечувствительностью к вариациям системных параметров и внешним возмущениям. Тем не менее, эффективность УСР и его вариаций, таких как адаптивное УСР и адаптивное УСР с суперскручиванием, в значительной степени зависит от корректного выбора параметров регулятора. Традиционно эти параметры часто определяются методами проб и ошибок или на основе эмпирических правил, что может быть затратным по времени, неоптимальным и не гарантирует удовлетворительных показателей качества процессов, особенно в случае сложных и неопределенных нелинейных систем.

Данная диссертация посвящена решению задачи разработки эффективных методов настройки параметров регулятора для класса неопределенных нелинейных систем (с параметрической неопределенностью и неизвестными возмущениями) путем системного подхода при управлении в скользящем режиме, адаптивном скользящем режиме и адаптивном скользящем режиме с суперскручиванием на основе эффективного, относительно нового метаэвристического алгоритма оптимизации Джая. Метаэвристические алгоритмы предлагают убедительную альтернативу традиционным методам настройки параметров, эффективно анализируя пространство возможных решений и находя близкие к оптимальным параметры регулятора. Алгоритм Джая, известный своей простотой и эффективностью, продемонстрировал высокие результаты в различных задачах оптимизации и, как показали результаты сравнительного анализа с другими алгоритмами оптимизации подобного класса (оптимизация на основе обучения, генетический алгоритм, метод роя частиц), представленными в диссертационной работе, является наиболее предпочтительным для настройки параметров регуляторов при

Рисунок 1—Проблемы настройки параметров регуляторов.

проектировании систем управления. В рамках диссертационных исследований представлен анализ основных преимуществ и недостатков алгоритма оптимизации Джая для настройки параметров регуляторов нелинейных систем при управлении в скользящем режиме (в том числе адаптивном и с суперскручиванием) в сравнении с другими вышеупомянутыми, хорошо зарекомендовавшими себя алгоритмами оптимизации.

В Главе 1 описывается класс объектов управления, для которых решается задача разработки алгоритмов настройки параметров регулятора, а также приводится обзор методов настройки параметров регуляторов, в котором алгоритмы оптимизации разделены, исходя из их характеристик, на 4 группы. На основе анализа преимуществ и недостатков представленных методов настройки параметров регуляторов для класса нелинейных систем с использованием алгоритмов оптимизации ставится задача оптимизации параметров регуляторов, которая учитывает ограничения управляющих сигналов, физические свойства нелинейных систем, параметрические неопределенности модели и неизвестные возмущения, а также обеспечивает минимизацию отклонений в задаче слежения за эталонным сигналом (рисунок 1 и рисунок 2).

В качестве целевой функции, обеспечивающей минимизацию амплитуды колебаний в области чаттеринг-эффекта, на основе анализа интегральных показателей качества выбрана интегральная абсолютная ошибка, которая

Рисунок 2—Настройка параметров робастных регуляторов с использованием алгоритмов оптимизации для неопределенных нелинейных систем с

неизвестными возмущениями.

задается следующим образом [1; 2]:

т

^1АЕ = У |е ^

(1)

где Т - время моделирования; е (Ь) = х^ (Ь) — х (Ь) - ошибка между желаемой и фактической траекториями движения системы.

Регулятор включает в себя сигнал управления и переключатели, срабатывание которых происходит в зависимости от значения функции скользящей поверхности. В свою очередь, функция скользящей поверхности зависит от вектора состояний системы

и =

[

и+ (¿) ,5 (х,г) > о и- (¿) ,5 (х,г) < о

(2)

где в(х,Ь) - скользящая поверхность.

Принцип управления в скользящем режиме представлен на рисунке 3[3]. Явление чаттеринг-эффекта на скользящей поверхности проиллюстрировано на рисунке 4[4].

Если в(х, Ь) сходится к минимуму за счет настройки параметров регулятора, то это приводит к более плавному управляющему сигналу и, как следствие, значительному снижению амплитуды колебаний в области чаттеринг-эффекта [1; 2].

Рисунок 3—Принцип управления в скользящем режиме.

Рисунок 4—Явление чаттеринг-эффекта на скользящей поверхности.

В Главе 2 в качестве объекта исследования рассматривается общий класс нелинейных систем при наличии неизвестных ограниченных возмущений [5]:

х (Ь) — / (х, ^ + д (х, и (Ь) + (I (х, (3)

где х(Ъ) € - вектор переменных состояния; и(Ъ) € К - сигнал управления; /(х^) € и д(х^) € - известные гладкие функции; с1(х^) € К -неизвестное ограниченное возмущение.

Ставится задача синтезировать регулятор, обеспечивающий в системе нулевую ошибку слежения при ограниченном управлении в скользящем режиме с использованием алгоритма оптимизации Джая для настройки параметров регулятора. Для реализации управления в скользящем режиме вводится скользящая функция вида:

п—1

5 (г) =Ье({—1) &) + е(п—1) (г) (4)

1

где — — (г — 0,п — 1) - сигнал ошибки; к{ (г — 1,п — 1) -

положительные константы.

Закон управления в скользящем режиме синтезируется в виде:

и ф = 1 ( (з (I)) + к8 (I) + Е кге« (I) \

где с1С определяется в соответствие со следующим соотношением:

— — ^вдп (в (Ъ)) (6)

где < (} (х, ^ < с1тах; и й,таа - постоянные значения; ^ — ^тах—^т1п и

Л - ^тах+^тт

"2 = 2 '

Для реализации закона управления требуется настройка параметров регулятора, который должен обеспечивать желаемые показатели качества в системе. В рамках диссертационных исследований допустимый диапазон параметров регулятора при управлении в скользящем режиме предлагается определять, исходя из требований к желаемым показателям качества процессов. В целях формирования допустимого диапазона параметров регулятора, исходя из требований к устойчивости системы и желаемому времени переходного процесса, сформулируем следующее утверждение.

Утверждение 1: Пусть задана нелинейная система вида [5]:

Х1 = Х2

{

х2 = / (Х1,Х2) + 9 (Х1,Х2)и (г) (7)

Т * Т

где Х1 = [х1,... ,хп] Е и Х2 = Х1 = [х]_,...,&п] Е переменные вектора состояния, ¡(Х1,Х2) = [¡1,..., ¡п]т Е М», д(Х1 ,Х2) = (Над (ди..., дп) Е Мпхп и гап к (д(ХъХ2)) = п, и (г) = [иъ...,и„]т Е

Система (7) с управлением в скользящем режиме вида

и (I) = д-1 (Х1,Х2) (—/ (Х1,Х2) + К¿1 + г]здп (з (I)) + Х^ (8)

где г] = <Над (щ,... , т]п) Е Кпхп - матрица положительных коэффициентов, которая обеспечивает в системе переход в скользящий режим, может быть сведена к системе второго порядка в форме

© е (г) + 2( ив е (г) + и2ве (г) = о (9)

где ( = сИад ((2,... , (п) Е Кпхп - матрица коэффициентов затухания, и = ¿гад (и1 ,и2,..., ип) Е Кпхп - матрица собственных частот, на основе следующих соотношений

{

К + т] = 2( и Кг] = и

2 (Ю)

где и Е Кпхп - диагональная матрица, составленная на спектре желаемых собственных частот, ( Е Кпхп - диагональная матрица, составленная на спектре желаемых коэффициентов затухания.

Доказательство утверждения базируется на замене функции вдп(.) на функцию насыщения ва1 (.) и приводится в тексте диссертации.

Следующее утверждение позволяет получить соотношения, необходимые для выбора диапазона параметров регулятора, позволяющего обеспечить в системе желаемое время переходных процессов.

Утверждение 2: Пусть система (7) характеризуется постоянными времени тасЛиаШ. = (Над (-тасЛиаШ._1,..., тасЛиаШ._п) Е Кпхп, соответствующими максимальному значению перерегулирования. Тогда регулятор вида

и (I) = д-1 (Х1,Х2) (—/ (Х1,Х2) + К¿1 + г]заЪ (з (I)) + Х^ (11)

Рисунок 5—Настройка параметров регулятора при управлении нелинейными системами с неизвестными возмущениями в скользящем режиме с

использованием алгоритма Джая.

обеспечивает в системе свойство устойчивости и желаемое время переходного процесса (2 %) = ¿гад {тЛе31ГеЛ_ 1,..., тЛе31ГеЛ_п) е Мпхп), если

параметры регулятора удовлетворяют следующим условиям [5]:

(

Тdesired 8 ' Тdesired

< кг < 1

1

Тactuator

и ко <

8

Тdesired

Тactuator

< Цг < 7кг и цг > 0

, с i = 1, п

(12)

Поиск оптимальных значений регулятора в рамках найденного диапазона параметров, может быть выполнен с помощью алгоритмов оптимизации. В рамках диссертационных исследований предлагается использовать алгоритм оптимизации Джая, как один из наиболее эффективных алгоритмов оптимизации.

Алгоритм настройки параметров регулятора представлен на рисунке 5.

Пример перевернутого маятника на тележке.

Для иллюстрации эффективности предложенного метода настройки регулятора на основе алгоритма Джая при управлении в скользящем режиме рассматривается пример синтеза регулятора для стабилизации перевернутого маятника на тележке в вертикальном положении.

1

Уравнения движения перевернутого маятника на тележке имеет вид [5-9]

X1 = х2

х2 = ¡2 (х, г) + д2 (х, г) и + (2(х, г) (13)

Х3 = х4

Х4 = /4 (х, ^ + д4 (х, ^ и + (4(х, ^

1 г ( \ (х\—д собжз)т втхз

где 32 (х, 0 = м+,„^х3 , Ь (х, о = ^ 'м+тшП-'хз-■ 94 (х, 0 = ) и

д (х, = (м±^хттПх1хг ""Щ' (2{х, *) е к и (4(х, *) 6 ® - неизвестные

ограниченные возмущения.

Параметры системы заданы следующим образом: М = 1(кг); т = 0.1 (кг); I = 1(м); д = 9.81 (м/с2). При управлении в скользящем режиме настройке подлежат три параметра - г/, к1 и к.

Предполагается, что постоянная времени, соответствующая максимальному значению перерегулирования в системе равна т^и^ог = 0.1 (с). Желаемое время переходного процесса составляет тйе8к-ей = 1.6(с). В соответствие с утверждением 2 диапазон параметров регулятора, в рамках которого в системе обеспечивается желаемое время переходного процесса удовлетворяет следующим соотношениям [5]:

0.625 = ^ <кг < =10 и кг < ^ = 5 i кг 6 [0.67, 5] - < гц < 35 и щ > 0 [ щ 6 [0,35]

Желаемое значение угла отклонения = в г п(р). На сигнал управления и параметры системы накладываются следующие ограничения: итп = -20 < и (^ < итах = 20, 0.67 <кг < 5 и 0 < щ < 35.

Целевая функция представлена на рисунке 6.

Результаты моделирования (угол отклонения и закон управления с оптимальными параметрами) представлены на рисунках 7 и 8 соответственно.

Скользящая поверхность с оптимальными параметрами регулятора при управлении в скользящем режиме показана на рисунке 9.

Очевидно, предлагаемая методика выбора допустимого диапазона параметров регулятора наряду с использованием алгоритма оптимизации Джая для определения оптимального набора параметров при управлении в скользящем режиме позволяет обеспечить более быструю сходимость процессов. Кроме того, явление чаттеринг-эффекта, обусловленное функцией

Итерация

Рисунок 6—Целевая функция.

4 6

Время (с)

Рисунок 7—Угол отклонения маятника.

4 6

Время (с)

Рисунок 8—Закон управления с оптимальными параметрами.

О 2 4 6 8 10

Время (с)

Рисунок 9—Скользящая поверхность с оптимальными параметрами регулятора.

Итерация

Рисунок 10—Целевые функции алгоритмов оптимизации.

1 1.5

Время (с)

Рисунок 11—Углы маятника алгоритмов оптимизации.

вдп^.) не позволяет обеспечить желаемую ограниченность сигнала управления при управлении в стандартном скользящем режиме, в то время как применение предложенного метода настройки параметров регулятора дает возможность обеспечить снижение амплитуды колебаний в области чаттеринг-эффекта и желаемую ограниченность сигнала управления.

Сравненительный анализ результатов настройки параметров регулятора на основе алгоритма Джая с другими алгоритмами оптимизации (на основе обучения, генетический алгоритм, метод роя частиц) представлен на рисунке 10 и рисунке 11.

Результаты сравнительного анализа различных методов оптимизации демонстрируют существенные преимущества использования алгоритма оптимизации Джая для настройки параметров по сравнению с другими подходами. При одинаковом числе итераций настройка параметров регулятора с использованием таких алгоритмов оптимизации, как оптимизация на основе обучения, генетический алгоритм, метод роя частиц обеспечивают более низкие показатели качества процессов, чем при использовании алгоритма оптимизации Джая.

Пример двухроторного вибрационного устройства.

На примере двухроторной установки показано также решение задачи синхронизации скорости двух роторов и желаемого сдвига фаз при изменении веса нагрузки и воздействии на систему внешних возмущений с использованием предлагаемого подхода. Синтезирован регулятор при управлении в скользящем режиме для управления сдвигом фаз, в то время как ПИ-регуляторы используются для синхронизации скоростей двух роторов [10; 11]

e^i = ш* — ш1, ешг = ш* — шг (15)

i = е ш i ,иШ1 = hatful + кр^е^ (16)

^' ШГ ^ ШГ J ишг kjur^ur + кршГ^ШГ (17)

Аш = Ш1 — иг (18)

и = satomax (Uui —иф) ,иг = satgmax (ишГ — иф) (19)

где kiui и kPui коэффициенты ПИ-регулятора левого ротора; kiur и кРшг коэффициенты ПИ-регулятора правого ротора; ш* обозначает желаемую частоту вращения роторов; итах является ограничением напряжений якоря двигателей; иф - это закон управления фазовым сдвигом, который создается скользящим режимом управления.

Управление в скользящем режиме для сдвига фаз двух роторов имеет вид

[10]

■ф = ^r — 1р1 (20) е-ф = ф* — ф (21)

У = + Ш Аш (22)

Ь = 7\sign (у) (23)

иф = sdt\ (V + 7sgn (24)

где тм постоянная времени модели задающего воздействия; Щ - ограничение на управление сдвигом фаз; 'ф* задает желаемый фазовый сдвиг; 71 и 7 -коэффициенты регулятора.

Параметры системы заданы следующим образом: М = 9 (кг); mi = mr = 1.5 (кг); pi = pr = 0.04 (м); д = 9.81 (кг.м/с2); с0 = 5300 (кг.м/с2); кс = 0.01 (кг.м2/с); b = 5 (кг.м2/с); Jt = Jr = 0.014 (кг.м2); Ке = 1 (У.с/рад); Ке = 1 (У.с/рад); Kt = 1 (Н.м/А); Ra = 1.2 (ом). Постоянная времени модели задающего сигнала составляет тм = 1 (с). Внешние помехи, влияющие на напряжение якоря двигателей, представляют собой белый шум в диапазоне [0, 1]. Вес нагрузки (неопределенности) mg(t) представляет собой функцию времени t.

( 0.2 if 0 < t < 0.4tmax

mg (t) = <j 0.2 + 0.25i if 0.4tmax < t < 0.8W (25)

^ 0.2 + 0.l^max if 0.8^max < ^max

Желаемая скорость роторов - ш* = 40 (рад/с), желаемый фазовый сдвиг роторов ф* = ж (рад). На основе предложенной в работе методики получаем следующие параметры регуляторов ki^i = 18.1177, kp^i = 200, ki^r = 1.3266, кршг = 13.1164, 71 = 0.8658 и 7 = 100 с учетом ограничений итах = Щ = 700(У).

Найденные параметры обеспечивают минимум целевой функции (рисунок

12).

Уменьшение чаттеринг-эффекта на скользящей поверхности проиллюстрирова на рисунках 13, 14, 15, 16 и 17 на примере сравнения результатов настройки параметров регулятора при управлении в классическом скользящем режиме и при управлении с использованием алгоритма оптимизации Джая на основе предлагаемой в работе методики настройки параметров регулятора.

В Главе 3 рассматривается общий класс нелинейных систем с параметрической неопределенностью [12]:

x(t) = f (х, t) + af (х, t) + (g (х, t) + ag (х, t)) и (t) (26)

где x(t) Е Rn - вектор переменных состояния; u(t) Е R - сигнал управления; f (x,t) Е Rn и g(x,t) Е Rn - известные гладкие функции; А/(x,t) Е Rn и ag(x,t) Е Rn - параметрические неопределенности.

Ставится задача синтезировать регулятор, обеспечивающий в системе нулевую ошибку слежения при ограниченном управлении в адаптивном

Итерация

Рисунок 12—Целевая функция.

4 6

Время (с)

Рисунок 13—Сдвиг фаз при управлении в скользящем режиме с алгоритмом

оптимизации Джая и без него.

0.5 1 1.5

Время(с)

Рисунок 14—Скользящая поверхность при управлении в скользящем режиме с

алгоритмом оптимизации Джая и без него.

4 6

Время (с)

Рисунок 15—Скорость левого ротора при управлении в скользящем режиме с

алгоритмом оптимизации Джая и без него.

4 6

Время (с)

Рисунок 16—Скорость правого ротора при управлении в скользящем режиме с

алгоритмом оптимизации Джая и без него.

4 6

Время (с)

Рисунок 17—Сигналы управления двумя роторами.

скользящем режиме с использованием алгоритма оптимизации Джая для настройки параметров регулятора.

Синтез закона управления осуществляется в виде адаптивного скользящего режима, для которого в рассмотрение вводится скользящая функция вида:

п—1

= (г—1) + е(п—1) (27)

1

где е^(1) = — X(г = 0,п — 1) - сигнал ошибки; к (г = 1,п — 1) -

положительные константы.

Закон управления адаптивным скользящим режимом имеет вид:

и (г) = —X— (к (г) здп (З (1)) + ^ кге() (г) + х™ (г) — и (х, ^ )

дп(х, ъ ) \ 1 ]

где й дп(.) - функция й г дп.

Адаптивный коэффициент усиления К(Ь) определяется как

(28)

К (¿), К й = °1 к ^^ ^ к ^^ (29) ( к(г) = С2 г} (х,г)\ <е ()

где с1, с2 и е - положительные константы.

Алгоритм настройки параметров регулятора на основе алгоритма оптимизации Джая при управлении нелинейными системами с параметрической неопределенностью в адаптивном скользящем режиме представлен на рисунке 18:

Пример перевернутого маятника на тележке. Для иллюстрации эффективности предложенного метода настройки регулятора рассматривается пример синтеза регулятора для системы перевернутого маятника на тележке в условиях наличия параметрических неопределенностей в модели нелинейной системы. Результаты моделирования переходных процессов представлены на рисунке 19 и рисунке 20.

Очевидно, при использовании алгоритма Джая для настройки параметров регулятора при адаптивном управлении скользящим режимом время переходного процеса уменьшается. Кроме того, в следствие наличия параметрическогй неопределенности, приводящей к явлению чаттеринг-эффекта (хотя и значительно сниженного по сравнению с УСР), сигнал

Рисунок 18—Настройка параметров регулятора при управлении нелинейными системами с параметрической неопредленостью в адаптивном скользящем режиме на основе алгоритма оптимизации Джая.

0 2 4 6 8 10

Время(с)

Рисунок 19—Углы маятника АУСР и АУСР на основе алгоритма Джая.

О 2 4 6 8 10

Время (с)

Рисунок 20—Законы управления ЛУСР и ЛУСР на основе алгоритма Джая.

управления выходит за пределы допустимого уровня в случае использования стандартной схемы адаптивного управления скользящим режимом. Благодаря использованию алгоритма Джая значительно уменьшается амплитуда колебаний в области чаттеринг-эффекта, сигнал ошибки минимален, а сигнал управления находится в заданных пределах.

Сравненительный анализ результатов настройки параметров адаптивного регулятора на основе алгоритма Джая с другими алгоритмами оптимизации (на основе обучения, генетический алгоритм, метод роя частиц) представлен на рисунке 21 и рисунке 22.

Результаты сравнительного анализа различных методов оптимизации демонстрируют существенные преимущества использования алгоритма оптимизации Джая для настройки параметров по сравнению с другими подходами. Результаты сравнительного анализа различных методов оптимизации демонстрируют существенные преимущества использования алгоритма оптимизации Джая для настройки параметров по сравнению с другими подходами. При одинаковом числе итераций настройка параметров регулятора с использованием таких алгоритмов оптимизации, как оптимизация на основе обучения, генетический алгоритм, метод роя частиц обеспечивают более низкие показатели качества процессов, чем при использовании алгоритма оптимизации Джая.

0.55

0.1

0 20 40 60 80 100

Итерация

Рисунок 21—Целевые функции алгоритмов оптимизации.

0 0.5 1 1.5

Время (с)

Рисунок 22—Углы маятника алгоритмов оптимизации.

В Главе 4 рассматривается общий класс нелинейных систем с параметрической неопределенностью, функционирующих в условиях неизвестных возмущающих воздействий. Ставится задача синтезировать регулятор, обеспечивающий в системе нулевую ошибку слежения при ограниченном управлении в адаптивном скользящем режиме с суперскручиванием с ипользованием алгоритма оптимизации Джая для настройки параметров регулятора.

Модель нелинейных систем при наличии параметрической неопределенности и неизвестных возмущений описывается в виде [6; 8; 9]

х (г) = / (х, г) + а/ (х, г) + (д (х, г) + ад (х, г)) и + й (х, г) (30)

где х(Ъ) Е Кп - вектор переменных состояния системы; и(Ъ) Е К - сигнал управления; /(х, ^ Е Кп и д(х, ^ Е Кп - известные гладкие функции; А /(х, ^ Е Кп и ад(х, {) Е Кп - параметрические неопределенности; й(х, {) Е К - вектор неизвестных возмущений.

Синтез закона управления осуществляется в виде адаптивного скользящего режима с суперскручиванием. Алгоритм с суперскручиванием улучшает традиционный УСР за счет использования нелинейного режима скольжения второго порядка. Он сочетает в себе непрерывный закон управления, который обеспечивает сходимость к скользящей поверхности за конечное время и плавное управление, которое уменьшает колебания.

Для реализации закона управления в виде адаптивного скользящего режима с суперскручиванием в рассмотрение вводится скользящая функция вида:

п 1

з(1) = ^кге{г-1) (1)+е/п-1) (I) (31)

1

где е^^) = х^^) — х^^) (г = 0,п — 1) - ошибки; к (г = 1,п — 1) положительные константы.

Адаптивное управление скользящим режимом с суперскручиванием имеет

вид

1

9п (х, О

и (0 = , ^ (иеч (г) + иааг (I)) (32)

где эквивалентный закон управления ueq (t) задается в форме

n—1

Ueq (t) = J2 кieit) (Х, f) + Xd] — U (x, t) (33)

„*.„(») (гт Л + ^ 1

и адаптивный закон управления с суперскручиванием имеет представление

иаег (^ = 41 (г) + щ (г) (34)

где и1(Ь) и и2^) определены следующим образом и1 (г) = -а (г) (¿)|дп (в (г))

. ил I -иавг (0 г/\иавг Ш > ит (35)

42 (Ъ) = Л

[ -р (г) вдп (в (г)) %/ \иаМ (0\ < ит

с ит является верхней границей иа^(Ъ). Адаптивные коэффициенты усиления а(Ь) и р({) определяются следующим образом

{

• (+) = ) иь^Дядп (|з (г)\--и]2) гЦа (г)\>ат а ( ^ 0 гЦа 0)\<ат (36)

р (^ = 2еа (г)

где ^1, 7, £, п)2 и ат - положительные константы, которые подлежат настройке.

Для определения диапазона параметров регулятора при управлении в адаптивном скользящем режиме с суперскручиванием, обеспечивающих в системе желаемое время переходного поцесса, сформулировано следующее утверждение.

Утверждение 3. Пусть модельное описание нелинейной системы задается в следующей форме [8; 9]

{

Xi — Хо , .

.1 2 (37)

Хо — f(Xi,X2)+g(Xi,X2)U (t)

Т * т

где Х1 — [x1,...,xn] Е Rn и Х2 — Х1 — [X1,...,xn] Е Rn - переменные

состояния, f(XhX2) — [,h,..., fn]T Е Rn, g(X1 ,Хо) — diag (gh..., g„) Е Rnxn и

ran к (д(Х1,Хо)) — n, U (t) — [u1,..,Un]T Е Rn.

Тогда время сходимости переходных процессов при управлении в

адаптивном скользящем режиме с суперскручиванием меньше, чем время

сходимости переходных процессов при управлении в стандартном скользящем

Рисунок 23—Схема настройки параметров регулятора при адаптивном управлении в скользящем режиме с суперскручиванием с использованием алгоритма оптимизации Джая для настройки параметров регулятора.

режиме при одинаковых начальных условиях и параметрах регулятора. Доказательство утверждения представлено в тексте диссертации.

Как следствие, для определения диапазона параметров регулятора при управлении в адаптивном скользящем режиме с суперскручиванием, можно воспользоваться положениями утверждений 1 и 2.

Схема настройки параметров регулятора при адаптивном управлении в скользящем режиме с суперскручиванием с использованием алгоритма оптимизации Джая показана на рисунке 23.

Пример перевернутого маятника на тележке. Для иллюстрации эффективности предложенного метода настройки регулятора рассматривается пример синтеза регулятора для системы перевернутого маятника на тележке в условиях наличия параметрических неопределенностей в модели нелинейной системы и неизвестных возмущений. Результаты моделирования переходных процессов представлены на рисунке 24 и рисунке 25.

При использовании алгоритма оптимизации Джая для настройки параметров регулятора при адаптивном управлении скользящим режимом с суперскручиванием время переходных процессов в системе существенно снижается, уменьшается явление чаттеринг-эффекта и главным образом обеспечивается требуемая ограниченность сигналов управления, что не выполняется в случае использования стандартной схемы адаптивного управления скользящим режимом с суперскручиванием.

Время(с)

Рисунок 24—Углы маятника АССУСР и АССУСР на основе алгоритма Джая.

25

О 2 4 6 8 10

Время (с)

Рисунок 25—Законы управления АССУСР и АССУСР на основе алгоритма

Джая.

0.46

0.34-1-1-1-1-1

0 20 40 60 80 100

Итерация

Рисунок 26—Целевые функции алгоритмов оптимизации.

1.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Время (с)

Рисунок 27—Углы маятника алгоритмов оптимизации.

Сравнительный анализ результатов настройки параметров адаптивного регулятора на основе алгоритма Джая с другими алгоритмами оптимизации (на основе обучения, генетический алгоритм, метод роя частиц) представлен на рисунке 26 и рисунке 27.

Результаты сравнительного анализа различных методов оптимизации демонстрируют существенные преимущества использования алгоритма оптимизации Джая для настройки параметров по сравнению с другими подходами. При одинаковом числе итераций настройка параметров регулятора с использованием таких алгоритмов оптимизации, как оптимизация на основе

обучения, генетический алгоритм, метод роя частиц обеспечивают более низкие показатели качества процессов, чем при использовании алгоритма оптимизации Джая.

Публикации автора по теме диссертации

Основное содержание диссертации опубликовано в 8 статьях, из них 2 публикации в изданиях рецензируемых Web of Science или Scopus, 1 публикация в журналах из перечня ВАК:

1. Long H. D., Dudarenko N. A. Sliding Mode Control Based on Jaya Algorithm of Phase Shift for Two-Rotor Vibration Unit // Mekhatronika, Avtom-atizatsiya, Upravlenie. — 2024. — Vol. 25, no. 4. — P. 189-194. — DOI: 10.17587/mau.25.189-194.

2. Хоанг Д.Л., Дударенко Н.А. Настройка параметров адаптивного регулятора на скользящем режиме с суперскручиванием для класса нелинейных систем с неопределенностями на основе алгоритм Джайя // Изв. вузов. Приборостроение. — Т.68. — N6. — С. 482-493. — DOI: 10.17586/00213454-2 025-68-3-482-493.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Хоанг Дык Лонг, 2025 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Rath J. J., Kommuri S. K., Veluvolu K. C., DefoortM., Tatinati S. An adaptive modified super-twisting sliding mode controller: Applied to the active suspension system // 15 th Intern. Conf. on Control, Automation and Systems (ICCAS). 2015. P. 544-549. https://doi.org/10.1109/ICCAS.2015.7364978.

2. Bouyahia S., Semcheddine S., Talbi B., Boutalbi O., Terchi Y. An adaptive super-twisting sliding mode algorithm for robust control of a biotechnological process // Intern. J. of Dynamics and Control. 2020. Vol. 8. P. 581-591. https:// doi.org/10.1007/s40435-019-00551-8.

3. Rizal Y., Wahyu M., Noor I., Riadi J., FeriyadiF., Mantala R. Design of an Adaptive Super-Twisting Control for the Cart-Pole Inverted Pendulum System // Jurnal Ilmiah Teknik Elektro Komputer Dan Informatika. 2021. Vol. 7, N 1. P. 161-174. https://doi.org/10.26555/jiteki.v7i1.20420.

4. El-Sousy F. F. M., Alattas K. A., Mofid O., Mobayen S., Fekih A. Robust Adaptive Super-Twisting Sliding Mode Stability Control of Underactuated Rotational Inverted Pendulum With Experimental Validation // IEEE Access. 2022. Vol. 10. P. 100857-100866. https://doi.org/10.1109/ACCESS.2022.3208412.

5. Abera N. B., Abdissa C. M., Lemma L. N. An improved nonsingular adaptive super twisting sliding mode controller for quadcopter // PLOS ONE. 2024. Vol. 19, N 10. https://doi.org/10.1371/journal.pone.0309098.

6. Rao R. V., Savsani V. J., Vakharia D. P. Teaching-learning-based optimization: A novel method for constrained mechanical design optimization problems // Computer-Aided Design. 2011. Vol. 43, is. 3. P. 303-315. https://doi. org/10.1016/j.cad.2010.12.015.

7. Rao R. V., Savsani V. J., Vakharia D. P. Teaching-learning-based optimization: A novel optimization method for continuous non-linear large scale problems // Information Sciences. 2012. Vol. 183, is. 1. P. 1-15. https://doi. org/10.1016/j.ins.2011.08.006.

8. Rao R. V. Jaya: A simple and new optimization algorithm for solving constrained and unconstrained optimization problems // Intern. J. of Industrial Engineering Computations. 2016. N 7. P. 19-34. https://doi.org/10.5267/). ijiec.2015.8.004.

9. Pandey H. M. Jaya a novel optimization algorithm: What, how and why? // 6th Intern.l Conf. Cloud System and Big Data Engineering (Confluence). 2016. P. 728-730. https://doi.org/10.1109/C0NFLUENCE.2016.7508215.

10. ZitarR. A. et al. An Intensive and Comprehensive Overview of JAYA Algorithm, its Versions and Applications // Arch Computat Methods Eng. 2021. Vol. 29. P. 763-792. https://doi.org/10.1007/s11831-021-09585-8.

11. Sekaj I. Genetic Algorithm based Controller Design // IFAC Control Systems Design. 2003. P. 125-128. https://doi. org/10.1016/S1474-6670(17)34656-6.

12. Sato T. et al. Optimal Robust PID Control for First- and Second-Order Plus Dead-Time Processes // Applied Sciences. 2019. Vol. 9, N 9. Р. 1934. http://dx.doi.org/10.3390/app9091934.

13. Jaiswal S. et al. Design of Fractional Order PID Controller Using Genetic Algorithm Optimization Technique for Nonlinear System // The Journal Chemical Product and Process Modeling. 2020. P. 1-11. https://doi.org/10.1515/ cppm-2019-0072.

14. Maghfroh H. et al. Performance Evaluation of Different Objective Function in PID Tuned by PSO in DC-Motor Speed Control // IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering. 2021. Vol. 1096. Р. 012061. http://dx.doi. org/10.1088/1757-899X/1096/1/012061.

15. Kim S., Kwon S. J. Dynamic Modeling of a Two-wheeled Inverted Pendulum Balancing Mobile Robot // Intern. J. of Control Automation and Systems. 2015. Vol. 13, is. 4. P. 926-933. http://dx.doi.org/10.1007/s12555-014-0564-8.

16. Boubaker O., Iriarte R. The inverted pendulum in control theory and robotics: From theory to new innovations. Institution of Engineering and Technology (IET), 2017. https://doi.org/10.1049/PBCE111E.

17. Khan A. R. et al. Two Wheel Self-balancing Human Carrier // 2018 IEEE 21st Intern. Multi-Topic Conf. (INMIC). 2018. P. 1-4. https://doi.org/10.1109/INMIC.2018.8595555.

18. Sumenkov O. Y., Belyaev A. S. Comparison of control methods for inverted 2-degree of freedom pendulum mounted on the cart // IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering. 2020. http://dx.doi.org/10.1088/1757-899X/1118/1/012017.

19. Cogkun S. Non-linear Control of Inverted Pendulum // Qukurova University Journal of the Faculty of Engineering and Architecture. 2020. Vol. 35, N. 1. P. 27-38.

20. LongH. D. Tuning Parameters of Backstepping Control Using TLBO Algorithm for Inverted Pendulum // 2024 Conf. of Young Researchers in Electrical and Electronic Engineering (ElCon). 2024. P. 363-366. https://doi.org/10.1109/ ElCon61730.2024.10468274.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ

Дык Лонг Хоанг — аспирант; Университет ИТМО, факультет систем управления и робо-

тотехники; E-mail: [e-mail]

Наталия Александровна Дударенко — канд. техн. наук, доцент; Университет ИТМО, факультет систем

управления и робототехники; E-mail: [e-mail]

Поступила в редакцию 13.01.25; одобрена после рецензирования 04.02.25; принята к публикации 25.04.25.

REFERENCES

1. Rath J., Kommuri S. K., Veluvolu K. C., Defoort M., Tatinati S. 2015 15th International Conference on Control, Automation and Systems (ICCAS), 2015, pp. 544-549. https://doi.org/10.1109/ICCAS.2015.7364978

2. Bouyahia S., Semcheddine S., Talbi B., Boutalbi O., Terchi Y. International Journal of Dynamics and Control, 2020, vol. 8, pp. 581-591, https://doi.org/10.1007/s40435-019-00551-8.

3. Rizal Y., Wahyu M., Noor I., Riadi J., Feriyadi F., Mantala R. Jurnal Ilmiah Teknik Elektro Komputer Dan Informatika, 2021, no. 1(7), pp. 161-174, https://doi.org/10.26555/jiteki.v7i1.20420.

4. El-Sousy F.F.M., Alattas K.A., Mofid O., Mobayen S., Fekih A. IEEE Access, 2022, vol. 10, pp. 100857-100866, https://doi.org/10.1109/ACCESS.2022.3208412.

5. Abera N.B., Abdissa C.M., Lemma L.N. PLOS ONE, 2024, no. 10(19), https://doi.org/10.1371/journal.pone.0309098.

6. Rao R.V., Savsani V.J., Vakharia D.P. Computer-Aided Design, 2011, no. 3(43), pp. 303-315, https://doi.org/10.1016/j. cad.2010.12.015.

7. Rao R.V., Savsani V.J., Vakharia D.P. Information Sciences, 2012, no. 1(183), pp. 1-15, https://doi.org/10.1016/j. ins.2011.08.006.

8. Rao R.V. International Journal of Industrial Engineering Computations, 2016, vol. 7, pp. 19-34, https://doi. org/10.5267/j.ijiec.2015.8.004.

9. Pandey H.M. 2016 6th International Conference — Cloud System and Big Data Engineering (Confluence), 2016, pp. 728-730, https://doi.org/10.1109/C0NFLUENCE.2016.7508215.

10. Zitar R.A. et al. Arch Computat Methods Eng., 2021, vol. 29, pp. 763-792, https://doi.org/10.1007/s11831-021-09585-8.

11. Sekaj I. IFAC Control Systems Design, 2003, pp. 125-128, https://doi.org/10.1016/S1474-6670(17)34656-6.

12. Sato T. et al. Applied Sciences, 2019, no. 9(9), pp. 1934, http://dx.doi.org/10.3390/app9091934.

13. Jaiswal S. et al. The Journal Chemical Product and Process Modeling, 2020, pp. 1-11, https://doi.org/10.1515/cppm-2019-0072.

14. Maghfiroh H. et al. IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering, 2021, vol. 1096, pp. 012061, http://dx.doi. org/10.1088/1757-899X/1096/1/012061.

15. Kim S., Kwon S.J. International Journal of Control Automation and Systems, 2015, no. 4(13), pp. 926-933, http:// dx.doi.org/10.1007/s12555-014-0564-8.

16. Boubaker O., Iriarte R. The inverted pendulum in control theory and robotics: From theory to new innovations, Institution of Engineering and Technology (IET), 2017, https://doi.org/10.1049/PBCE111E.

17. Khan A.R. et al. 2018 IEEE 21st International Multi-Topic Conference (INMIC), 2018, pp. 1-4, https://doi.org/10.1109/ INMIC.2018.8595555.

18. Sumenkov O.Y., Belyaev A.S. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, 2020, http://dx.doi. org/10.1088/1757-899X/1118/1/012017.

19. Co§kun S. Qukurova University Journal of the Faculty of Engineering and Architecture, 2020, no. 1(35), pp. 27-38.

20. Long H.D. 2024 Conference of Young Researchers in Electrical and Electronic Engineering (ElCon), 2024, pp. 363-366, https://doi.org/10.1109/ElCon61730.2024.10468274.

DATA ON AUTHORS

Duc L. Hoang — Post-Graduate Student; ITMO University, Faculty of Control Systems and Robotics; E-mail: [e-mail]; E-mail: [e-mail]

Natalia A. Dudarenko — PhD, Associate Professor; ITMO University, Faculty of Control Systems and Robotics; E-mail: [e-mail]

Received 13.01.25; approved after reviewing 04.02.25; accepted for publication 25.04.25.

SYNCHRONIZATION OF TWO-ROTOR VIBRATION UNITS USING NEURAL NETWORK-BASED PID CONTROLLER

Hoang Duc Long

Control Systems and Robotics ITMO University Russia [e-mail]

Natalia Dudarenko

Control Systems and Robotics ITMO University Russia [e-mail]

Article history:

Received 14.12.2021, Accepted 25.09.2022 Abstract

In the paper, the problem of controlled synchronization of Two-rotor Vibration Units is considered. A new bidirectional control law combined with Neural Network based PID controller is proposed for multi-synchronization of rotors. Besides, an algorithm for constructing Neural Network based PID Controller of Two-rotor Vibration Units is developed. The robustness of the proposed controller under the effect of unknown exogenous disturbances is illustrated.

Key words

Synchronization, Two-rotor Vibration Units, Neural Network, PID Controller, Phase shift, Vibration machine, robustness.

1 Introduction

Vibration systems using two rotors are widely used in technical systems, such as aircraft, vehicles, and industrial machines [Jornetal., 2013,Richardetal., 2020,Xin et al., 2016, Liu et al., 2020,Zhang et al., 2017]. They are used to increase productivity or solve the problem of ensuring the stable velocity of motors. The feasibility of the applications of the Two-rotor Vibration Units for the control vibration systems was investigated [Richard et al., 2014, Nan Zhang and Shiling Wu, 2020, Li et al., 2020]. In these papers, the authors built the mathematical model of Two-rotor systems and studied possibilities for synchronous velocity between two vibration actuators.

The definition of self-synchronization and controlled synchronization of systems was presented in the paper [Fradkov et al., 1997], and the techniques of Multi-motor Synchronization were proposed in the paper [Perez-Pinal et al., 2004]. Based on two papers, there were many studies about the bidirectional controlled phase

shift and speed of unbalanced rotors [Fradkov et al., 2002, Fradkov et al., 2005, Kudryavtseva and Tomchina, 2009,Belov et al., 2017,Fradkov et al., 2021, Andrievsky and Boikov, 2021]. In the studies [Fradkov et al., 2002, Fradkov et al., 2005, Kudryavtseva and Tomchina, 2009,Belov et al., 2017], the authors built the dynamical model of the controlled plant and designed the control algorithms based on the speed-gradient method. However, the authors did not mention the behavior of the system under the effect of disturbances. In the studies [Fradkov et al., 2021, Andrievsky and Boikov, 2021], the authors used the three PI-controllers for Two-vibration Units in which one PI-controller for phase difference and two PI-controllers for two rotors. However, the PI-controllers do not keep the stability of the system under the effect of disturbances and it is difficult to define the coefficients of the PI-controllers.

There are many methods to find the coefficients of PID controller such as Fuzzy Logic Control [Mallesham and Rajani, 2006], Genetic Algorithm [Zhao and Xi, 2020], and Neural Network [Jacob and Murugan, 2016, Saad, 2013, Kumarl et al., 2016, Slama et al., 2019]. An artificial neural network can be used for tuning the PID controller and is robust with disturbances [Jacob and Murugan, 2016, Saad, 2013, Kumarl et al., 2016, Slama et al., 2019]. However, the use of Neural Network based PID controller for Two-rotor Vibration Units to control the phase shift and speed is not found in the resources before here. In this paper, the authors used the Neural Network based PID controller for Two-rotor Vibration Units to control the phase shift and velocity of two motors. The simulation results of the proposed controller for frequency stabilization of the rotation angular velocities at the desired level along with reaching the prescribed phase shift between the rotor angles are demonstrated. Finally, a comparison between the new controller and PID Controller has been performed.

The paper is organized as follows. The problem formulation of phase shift control and the related problem of control of vibrational fields for is given in Section 2. In Section 3, the Nonlinear Autoregressive-Moving Average (NARMA-L2) Model which is used to tune the coefficients of PID controller is described. The Neural Network based PID Controller is proposed to solve the problems of the phase Shift and Speed-Synchronization. In Section 4, the proposed method is applied to control Two-rotor Vibration Units with the desired phase shift and desired Speed of two motors. The simulation results confirming the performance of the proposed controller are also demonstrated. Concluding remarks and discussion of future work are presented in Section 5.

2 Problem formulation

The Two-rotor Vibration Units consist of two unbalanced rotors driven by two DC motors and mounted on a supporting body that is connected to a solid base by means of an elastic element with stiffness c0, and a linear damper with damping coefficient ^. Assume that the shafts of rotors are orthogonal to the motion of the supporting body and consider the only vertical motion of the system (Figure 1). The mathematical model of the sys-

Figure 1. Two-Rotor Vibration Units

tem can be described by the model below [Kudryavtseva and Tomchina, 2009].

mo y + mipi sin <i-<i + m2P2 sin <.<2 +mipi cos + m2P2 cos <22 +co y + ci (y - yi) + mo g + ßy = 0

Ji<i + (y + g) mipi sin <i + kc<i = Mi

J2<2 + (y + g) m2P2 sin <2 + kc<2 = M2

mg (t) (yi + g) + ci (yi - y) +m5 (t) yi = 0

where , 02 are rotation angles of the rotors measured from the lowest vertical position; y is the vertical displacement of the supporting body from the equilibrium position; yi is the vertical displacement of the load from the equilibrium position; m1; m2, M are the masses of the rotors and the supporting body, respectively; mg (t) is the weight of load; J1, J2 are the inertia moments of the rotors; p1;p2 are the eccentricities of rotors; kc is the friction coefficient in the bearings; ^ is the viscous friction coefficient of the damper; c0, c1 are the spring stiffness; kM is a motor parameter; m0 = M + 2m; g is the gravitational acceleration; M1 and M2 are the magnetic torques of motors.

The schematic diagram of an armature controlled DC motor is showed in Figure 2.

Figure 2. Schematic diagram of an armature controlled DC motor

According to the voltage balance relation between the circuit loops, the motor equation is obtained as below

Va (t) = Raia (t) + L,

dia (t) ' dt

+ eb (t) (2)

where Va (t) is the applied armature voltage; ia (t) is the armature current; eb (t) is the back emf; Ra is armature winding resistance; La is armature winding inductance. The back emf is proportional to speed

eb (t) = (t)

(3)

where Ke is the back emf constant. The torque developed by the motor is proportional to the armature current

M (t) = Ktia (t)

(4)

where Kt is the motor torque constant. The total inductance value La is very small (La so La can be neglected in the calculations. From equations (1), (2) and (3), the magnetic torque of motor is written in the form

K

M (t) = ^ {Va (t) - Ke((t)} (5)

Ra

From equations (1) and (5), the mathematical model of Two-rotor Vibration Units has the form

' moy + mipi sin ii-ii + m2P2 sin i2-i2 +mipi cos ii-i1 + m2P2 cos i2-i2 +coy + ci (y - yi) + mog + ^y = 0

(6)

Jiii + (y + g) -mipi sin <£i + kcii = £ {Vi (t) - Keii}

J2<^2 + (y + g) -m2P2 sin ^2 + kci2

= K {V2 (t) - Keii2}

m9 (t) (yi + g) + ci (yi - y)

+mg (t) yi = 0

where Vi (t) and V2 (t) are the armature voltages of motors (control variables).

In a number of important cases, the synchronous rotational mode with the desired steady-state value of the phases is stable due to the self-synchronization phenomenon. However, it is necessary to provide either an alternative stable phase shift of the rotors or to increase the robustness of the existing phase shift. In both cases, the problem of controlled synchronization is worth to be posed.

3 Control design method

3.1 The Nonlinear Auto-regressive Moving Average (NARMA-L2) Model

The NARMA-L2 model is one of the most widely used models for time series forecasting [Haider et al., 2019, Jibril et al., 2020, Humod et al., 2016]. In this paper, the authors use the NARMA-L2 model to find the coefficients of PID controller. The first step in using feedback linearization (or NARMA-L2 control) is to identify the system to be controlled. The first step is to choose a model structure. One standard model that has been used to represent general discrete-time nonlinear systems is the Nonlinear Autoregressive-Moving Average (NARMA-L2) model:

y (k + d) = N

(y (k), y (k - 1), y (k - n + 1), u (k) ,u (k - 1), \u (k - n +1)

, \

/

(7)

where u(k) is the system input, and y(k) is the system output. For the identification phase, the nonlinear function N could be approximated by a trained neural network. This is the identification procedure used for the NN Predictive Controller. To the system output following some reference trajectory y(k + d) = yr(k + d), the next step is to develop a nonlinear controller of the form:

/y (k) ,y (k - 1) ,---, u (k) = G ( y (k - n + 1), yr (k + d),

To use this controller, the dynamic backpropagation (the outputs of system, the former inputs and reference trajectory are the inputs of the neural network) is used to train a neural network to create the function G that will minimize mean square error. This can be quite slow. One solution is to use approximate models to represent the system. The controller used in this section is based on the NARMA-L2 approximate model:

(y (k) ,y (k - 1) y (k + d) = f ( y (k - n + 1) ,u (k - 1), y ..., u (k - m + 1) /y (k) ,y (k - 1) \

+g ( y (k - n +1), u (k - 1), I u (k) \ ... , u (k - m + 1) I

(9)

This model is in companion form, where the next controller input u(k) is not contained inside the nonlinear-ity. This form can be used to solve for the control input that causes the system output to follow the reference y(k + d) = yr (k + d). The resulting controller would have the form

yr (k + d) - f

u (k) =

(10)

(y (k), \ y (k - 1),---

y (k - n + 1) u (k - 1) \u (k - n + 1) /

(y (k)" \ y (k - 1),---

y (k - n + 1) u (k - 1) \u (k - n + 1) y

Using this equation directly can cause realization problems, because the control input u(k) must be determined that based on the output at the same time, y(k). So, instead, use the model

y (k + d) = f

, u (k) ,

+g

y (k), u (k),

(y (k) ,y (k - 1) y (k - n + 1) u (k - 1) y u (k - n + 1) , y (k - n + 1) , u (k - n + 1)

(11)

u (k + 1)

where d > 2. Figure 3 shows the structure of a neural network representation. In this Figure, The tapped delay line (TDL) makes full use of the linear network. There the input signal enters from the left and passes through N-1 delays. The output of the tapped delay line is an N-dimensional vector, made up of the input signal at the current time, the previous input signal, etc.

; (k - 1),

(k - m + 1)

g

Neural Network Approximation Figure 5. The implementation of the NARMA-L2 controller

Neural Network Approximation of/( ) Figure 3. The block diagram of NARMA-L2 Model Identification

Using the NARMA-L2 model, the controller can be obtained

yr (k + d) - f

u (k + 1) =

(y(k)\

y (k — n + 1) ,u(k) \u (k — n + 1)7

(12)

(y(k)\

y (k — n + 1) , u(k)

u (k — n + 1) y

which is realizable for d ^ 2. The block diagram of the NARMA-L2 Controller as Figure 4.

Figure 4. The block diagram of the NARMA-L2 controller

This controller can be implemented with the previously identified NARMA-L2 plant model, as shown in the following Figure 5.

3.2 Neural Network based PID Controller

Proportional Integral Derivative (PID) controllers are the most used controllers in industrial control systems. There is the well-known Ziegler-Nichols method [Malle-sham and Rajani, 2006, Saad, 2013] to tune the coefficients of the PID controller. This tuning method is simple and gives fixed values for the coefficients which make the PID controller have weak adaptabilities for the model parameters variation and changing in operating conditions. However, in the case of white noise affected on the system, the Ziegler-Nichols method is difficult to find exactly the coefficients of PID controller. In order to achieve an adaptive controller, the Neural Network (NN) control combines the PID controller to guarantee the desired qualities of the system. There are some studies using the Neural Network to find coefficients of PID Controller [Jacob and Murugan, 2016]. The typical model of Neural Network combines PID Controller is illustrated in Figure 6. Figure 6 shows that the NARMA-L2 Controller was used to find the coefficient of PID Controller. The NARMA-L2 Controller has two input (Reference and Plant Output) and one output (Control Signal).

Figure 6. troller

The general model of Neural Network based PID Con-

g

The block diagram of Two-rotor Vibration Units using

the NARMA-L2 Controller to find the coefficients of the PID Controller is illustrated in Figure 7. Besides, Figure 7 also illustrates the control algorithm in section (3.3). The disturbances are put on the shafts of motors. The NARMA-L2 Controller is used to evaluate the effects of the disturbances on the shafts of two rotors that affect the phase shift and calculate the coefficients of PID Controllers.

Figure 7. The general model of Neural Network based PID Controller

a PID Controller to compensate the energy for two PID Controller in the step (2)

PID^ controller : <

^ (t) = ( (t) - (r (t)

A^ (t) = ^* - ^ (t) u^ (t) = kp^ A^ (t) / A^ (t) dt

(15)

where ^* is the desired phase shift; kP^, k^, are

the proportional and integral controller gains.

For the considered case of two rotors, this leads to adding

synchronization signal u^ (t) to the frequency controls

with the opposite signs to the left and the right drives as

follows:

Ul (t) = u^ (t) - u^ (t) Ur (t) = UWr (t) + U^ (t)

(16)

Step 4. Use the NARMA-L2 as equation (7) to update exactly the coefficients of PID Controllers when the system is affected by disturbances.

3.3 Control algorithm of Two-rotor Vibration Units using Neural Network based PID Controller

The authors designed the control algorithms ensuring the prescribed phase shift ^ = ^ — between the unbalanced rotor rotation angles ^ and simultaneously with the given rotation speed ui = ur = u*. Algorithm for constructing Neural Network based PID Controller of Two-rotor Vibration Units consists of 4 steps:

Step 1. Build the mathematic model (1) of Two-rotor Vibration Units using Euler-Lagrange equation

d /dL\ dL

(13)

where L is the sum of kinetic energy and potential energy of system; qi is the state variable. Step 2. Use two PID Controllers to control the desired velocity of two motors

' ei,r (t) = w* (t) - ui,r (t)

PID^ controller :

u

•Ul,r (t) = kP^

+kjw / ei,r (t) dt

dei,r (t)

(t)

(14)

dt

where u*r (t) are the reference angular velocities for left l and right r rotors, respectively; uir (t) are the corresponding current values of the angular rotation velocities (rad/s); uWl r (t) are the dimensionless control signals for the corresponding motor; kPw, kJw are the proportional and integral controller gains. Step 3. Calculate the phase shift of two motors and use

4 The Results of Computer Simulation

The study of Neural Network based PID Controller was carried out using computer simulation in the MAT-LAB environment for Two-rotor Vibration Unit, shown in Figure 8. In the example, the authors use a Neural Network based PID Controller for the phase shift of two motors to prove the quality of proposed controller. During the simulation, the parameters of the system were set: M = 9(kg); m1 = m2 = 1.5(kg); p1 = p2 = 0.04(m); g = 9.81(kg.m/s2); c0 = 5300(kg.m2/s); kc = 0.01(kg.m2/s); b = 5(kg.m2/c); J1 = J2 = 0.014(kg.m2); Ke = 0.06(V.s/rad); Kt = 0.06(N.m/A); Ra = 1.2(ohms).

Figure 8. The diagram of Two-rotor Vibration Unit using Neural Network based PID Controller

NARMA-L2 Controller is set on Simulink of MATLAB as Figure 9. The authors used the "cstr" Simulink model to generate training data, which consists one input (the phase shift ^ (t) = ipi (t) — (t)) and one output (KP-coefficient of PID controller). The criterion for the quality of training of the neural network inside the NARMA-L2 controller is the minimum of mean squared error between the reference and plant output. Size of Hidden Layer (the number of neurons in the first layer of the plant model network) and Training Epochs (Number of iterations of plant training to be performed) are chosen based on the property of NARMA-L2 controller and the property of Two-rotor Vibration Units system. In the simulation, the authors chose the Size of Hidden Layer is 100, the Training Samples is 800 and the Training Epochs is 200.

Figure 9. The setting of NARMA-L2 Controller

Controller are unstable (see Figure 11(a)). The vertical displacement of the supporting body are higher with PID controllers (see Figure 11(b)). The velocities of rotors have high resonance values in the case of PID Controller (see Figure 11(d)). The controlling voltages V1 and V2 to approach the desired value are shown in Figure 11(e,f). When the load is changed as the Ramp function (slope=1 and initial ouput=0.2), the behavior of the system is performed in Figure 12. Figure 12(a) shows the phase difference is unstable at desired value with the PID controller while still good adapt with the proposed controller. In Figure 12(b), as the load increases with the ramp function, the displacement of the supporting body in the case of the PID controller is larger and more oscillated than in the case of the proposed controller. Figure 12(c,d) shows the effects of changed load on the rotors' speed. In addition, the rotors' speed deviated strongly from the desired value in the case of the PID controller while the rotors' speed did not change in the case of the Neural Network based PID controller. The controlling voltages Vi and V2 to approach the desired value are shown in Figure 12(e,f).

5 Conclusion

In the paper, the problems of Phase Shift and Speed-synchronization are solved by using Neural Network based PID Controller. The comparison of the output of the proposed controller with PID Controller proves the effectiveness of the Neural Network based PID Controller.

In the future, the authors focus on the movement of vibrating platforms due to multiple synchronization with a controlled phase shift and use the NARMA-L2 Controller for finding coefficients of PID Controllers of two motors to enhance the quality of the system under any exogenous disturbances.

The authors conducted the comparation in the proposed controller and PID Controller. Figure 10 showed the two controller in the case system without disturbances. The setting time of Neural Network-based PID Controller is smaller than the setting time of PID Controller (see Figure 10(a)) and there is no error of rotors' speed in the case of Neural Network-based PID Controller while the velocities of rotors have resonance values in the case of PID Controller (see Figure 10(c,d)). The vertical displacement of the supporting body are the same with two controllers (see Figure 10(b)). The controlling voltages V1 and V2 to approach the desired value are shown in Figure 10(e,f).

Figure 11 showed the two controllers in the case system with disturbances on the shafts of two rotors: The white noise (noise power=50 and sample time=1s) affected on the shaft of motor 1 and the harmonic disturbance (amp-titude=50 and period=1s) affected on the shaft of motor 2. The phase shift and motors' speed of the case PID

References

Boris Andrievsky, Vladimir I. Boikov (2021). Bidirectional controlled multiple synchronization of unbalanced rotors and its exper-imental evaluation. Cybernetics and Physics, Volume 10, No.2, pp. 63-74.

Ph. A. Belov, D. V. Gorlatov, O. P. Tomchina (2017). Complex of models of multi-rotor vibration units: From the model to the experiment (Russian). Informatics and control systems, No.2(52), 2017, pp.25-36.

H. Nijmeijer, I.L. Blekhman, A.L. Fradkov, A.Yu. Pogromsky (1997). Self-synchronization and controlled synchronization. 1st International Conference, Control ofOscillations and Chaos Proceedings, St. Petersburg, Russia, pp.36-41.

I.I. Blekhman, A.L. Fradkov, O.P. Tomchina and D.E. Bogdanov (2002). Self-synchronization and controlled synchronization: general definition and example design. Mathematics and Computers in Simulation (MATCOM), Volume 58, Issue 4, pp.367-384.

Figure 10. The response of system with Neural Network based PID Controller and PID Controller without disturbances.

Fradkov, A., Andrievsky, B., Boykov, K. (2005). Control of the coupled double pendulums system. Mechatronics, Volume 15, Issue 10, pp.1289-1303, https://doi.org/10.1016/j.mechatronics.2005.03.008.

Alexander L. Fradkov, Olga P. Tomchina, Boris Andrievsky, Vladimir I. Boikov (2021). Control of Phase Shift in Two-Rotor Vibration Units. IEEE Transactions on Control Systems Technology, Volume 29, Issue 3, May 2021, pp.1316-1323, D0I:10.1109/TCST.2020.2983353.

A. Haider, S.A. Al-Mawsawi, Q. Alfaris (2019). Nonlinear Auto-Regressive Moving Average (NARMA-L2) Controller Design for UPFC. WSEAS Transactions on Electronics, Volume 10, pp.101-108.

Abdulrahim T. Humod, Ali H. Almukhtar, Huda B. Ahmed (2016). Direct Torque Control for Permanent Magnet Synchronous Motor Based on NAR-MA-L2 controller. Engineering and Technology Journal, Volume 34, Part (A), No.3, 2016, pp.464-482.

Rosmin Jacob, Senthil Murugan (2016). Implementation of neural network based PID controller. International Conference on Electrical, Electronics, and Optimization Techniques, pp.2769-2771.

Mustefa Jibril, Eliyas Alemayehu Tadese, Abu Fayo (2020). Nonlinear Auto-Regressive Moving Average-L2 Model Based Adaptive Control of Nonlinear ARM Nerve Simulator System. International Research Journal of Modernization in Engineering Technology and

Science, Volume 02, Issue:03, March 2020, pp.159171.

Jorn SCHELLER, Uwe STAROSSEK (2013). Twin Rotor Damper for Control of Wind-Induced Bridge Deck Vibrations. 15th Asia Pacific Vibration Conference, 26 June 2013, pp.347-352.

I.M. Kudryavtseva, O. P. Tomchina (2009). Algorithm of multiple synchronization for a two-rotor vibration stand with a non-stationary load (Russian). Cybernetic Physics 2009, No.3(21), pp.34-44.

Rajesh Kumarl, Smriti Srivastava, J.R.P. Gupta (2016). Artificial Neural Network based PID Controller for Online Control of Dynamical Systems. 1st IEEE International Conference on Power Electronics. Intelligent Control and Energy Systems (ICPEICES-2016).

Yujia Li, Tao Ren, Xiaoping Meng, Minghong Zhang, Peng Zhao (2020). Experimental and theoretical investigation on synchronization of a vibration system flexibly driven by two motors. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science, Volume 234, Issue 13, https://doi.org/10.1177/0954406220907930.

Yunshan Liu, Xueliang Zhang, Dawei Gu, Lei Jia, Bangchun Wen (2020). Synchronization of a DualMass Vibrating System with Two Exciters. Shock and Vibration, Volume 2020, Article ID 9345652, 12 pages, https://doi.org/10.1155/2020/9345652.

Gaddam Mallesham, Akula Rajani (2006). Automatic

Time (seconds) Time (seconds) Time (seconds)

Figure 11. The response of system with Neural Network based PID Controller and PID Controller with disturbances on the shafts of two rotors.

tuning of PID Controller using Fuzzy Logic. 8th International Conference on Development and Application Systems, Suceava, Romania, pp.120-127.

Perez-Pinal, C. Nunez, R. Alvarez, I. Cervantes (2004). Comparison of Multi-motor Synchronization Techniques. 30th Annual Conference of IEEE Industrial Electronics Society, Busan, Korea, pp.1670-1675.

Richard Bäumer, Uwe Starossek, Jörn Scheller (2014). Continuous state feedback control for twin rotor damper. Proceedings of the 9th International Conference on Structural Dynamics, EURODYN 2014, Porto, Portugal, 30 June - 2 July 2014, pp.1647-1654.

Richard Terrill, Richard Baumer, Katrien Van Nimmen, Peter Van den Broeck, Uwe Starossek (2020). Twin Rotor Damper for Human-Induced Vibrations of Footbridges. Journal of Structural Engineering, Volume 146, Issue 7.

Saad Zaghlul Saeed Al-Khayyt (2013). Tuning PID Controller by Neural Network for Robot Manipulator Trajectory Tracking. Al-Khwarizmi Engineering Journal, Volume 8, No.1, pp.19-28.

Sabrine Slama, Ayachi Errachdi, Mohamed Benrejeb (2019). Neural Adaptive PID and Neural Indirect Adaptive Control Switch Controller for Nonlinear

MIMO Systems. Mathematical Problems in Engineering, Volume 2019, Article ID 7340392, 11 pages, https://doi.org/10.1155/2019/7340392.

Xin Lai, Wanjun Xie (2016). Theoretical and Experimental Study on Electromechanical Coupling Properties of Multihammer Synchronous Vibration System. Publishing Corporation Shock and Vibration, Volume 2016, Article ID 6707264, 11 pages, http://dx.doi.org/10.1155/2016/6707264.

Nan Zhang, Shiling Wu (2020). Analysis of harmonic vibration synchronization for a nonlinear vibrating system with hysteresis force. Journal of Low Frequency Noise, Vibration and Active Control, Volume 39, Issue 4, 2020.

Yu Zhang, Luyu Li, Xiaohua Zhang (2017). Switch Control of Twin Rotor Damper for Bridge Vibration Mitigation under Differ-ent Excitations. 10th International Conference on Structural Dynamics, EURO-DYN 2017, pp.1707-1712.

Jimin Zhao, Miao Xi (2020). Self-Tuning of PID Parameters Based on Adaptive Genetic Algorithm. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering,, Volume 782 (2020) 042028, D0I:10.1088/1757-899X/782/4/042028.

Figure 12. The response of system with change of the load.

УДК 681.51

D.L. HOANG (1ТМО University, Saint Petersburg)

SYNTHESIS AND COMPARE THE CONTROL LAWS FOR TWO-WHEELED SELF-

BALANCING VEHICLE

In this paper, the quasi-time optimal control law of Two-wheeled Self-balancing Vehicle is synthesis and the results are compared with known methods. The simulation results illustrate the theory and show the effectiveness of the proposed methodology.

Introduction. Two-wheeled Self-balancing Vehicle is a vehicle with two coaxial wheels. The idea of building such a vehicle is based on two pillars, one being the way human-being keeping balance on two feet and the other being the movement of two-wheeled vehicle. In this paper, the author synthesis the control law of Two-wheeled self-balancing vehicle by using the quasi-time optimal control and compare it with known methods such as proportional-integral-derivative (PID) control, Linear-quadratic regulator (LQR) control and Sliding mode control (SMC).

Main part. The author considers Two-wheeled Self-balancing Vehicle, which is schematically depicted in Fig. 1.

Fig. 1. Dynamic model of Two-wheeled Self-balancing Vehicle. The mathematical model of Two-wheeled Self-balancing Vehicle is described in equations (1) [1,2,3]:

"0 1 0 0" " 0

x 0 2kmke (Mplr - Ip - Mpgl2) Mpgl2 0 x 2km (-Mplr + Ip + Mpl2)

x Rr 2a a x + Rra

Ф 0 0 0 1 Ф 0

9. 0 2kmke (rß- Mpl) Rr2 a Mpglß a 0 ФФ. 2km (-rß + Mpl) _ Rra

Ua

(1)

Academic advisor Associate Professor Dudarenko N.A.

where x - displacement (m); x - velocity of vehicle (m / s); X - acceleration of vehicle (m / s2); p -angular displacement (rad); (p - angular velocity (rad / s ); (p - angular acceleration (rad / s2); Ua -armature voltage (V); km - Motor's Torque constant (Nm / A ); ke - back EMF constant (Vs / rad); R - Motor resistance (Q); l - Distance from wheel axle to center of chassis (m ); g - Gravitational constant (m / s2); MP - mass of the chassis (kg); r - radius of wheels (m ); IP - Moment of inertia of the chassis (Nm); Iw - Moment of inertia of the wheels (Nm);Mw - mass of the wheels (kg ). In additionally, 0- 2Mw + 2Iw /r2 + MP ; a- IP0 + MP12 (Mw + Iw /r2) .

The quasi-time optimal control is proposed in some author's publications [4, 5]. This control law has several advantages, such as minimum setting-time, asymptotic stability and robustness.

The state-space variables: X| - X; X2 - XX; X3 - X4 - (( . To simplify model (1), the author

introduces the following variables a — 2kmke (MPlr - IP -MPgl2)/Rr2 a ; b — MPgl2/ a ; c - 2km(-MPlr + IP + MPl2)/Rra ; a1 - 2kmke(r0-MPl)/Rr2a ; b1 -MPgl0/ a ; C - 2km(-r0+ MPl) /Rra ; u -Ua .

Substituting these values into equation (1)

( X

f (x, u) =

ax2 + bx3 + cu

У ах x2 + bx x3 + CjU

(2)

Changing state variables as follows:

c c c . c y = x--p = Xj--x3; y2 = x--p = x2--x4 ; y3 = p = x3 ; y4 = x = x2 (3)

ci cj cj cj

Equations with state-space variables Y = (yl y2 y3 y4 )T : c c c

yi = ^ y2 = y4(a — ai)+y3(b—=—(y -yù; y4 = ay + biy + ciu (4)

Cj c1 c

The quasi-time optimal control law following u voltage is found when resolving (9) with z1 = y1. The formulas of u are not given here due to too long.

• _ Z1 . . • _ Z2 , . • _ Z3 , . • _ Z4

" " + Z2; Z2 = h Z3; Z3 = h Z4; Z4 = (5)

F F F v~v

fa-y*)

+ s2

Simulation results

By the described method above, the control law is synthesized to provide stable control for Two-wheeled Self-balancing Vehicle. The values set for simulation are: Mp -1.24; Mw - 0.13;

IP - 0.05626; r - 0.05; I - 0.0002829; l - 0.213; k - 0.509; k - 0.2774; R - 7.101; g - 9.81 .

P 7 7 w 7 7 e ? m 7 'o

The results of system simulation with initial system values are as follows: ysp - 0 , x(0) - 0 , X(0) - 0, p(0) - -0.05 , p(0) - 0. The parameters of quasi-time optimal control: v - 1; ex -e2 -s3 -s4 - 0.01.

2

x

4

Figure 2 shows the angle response of chassis under the quasi-time optimal control method for faster and more stable response than the traditional PID method, LQR method and Sliding Mode Control method.

Fig. 2. The angle of the chassis.

Fig. 3. The position of the vehicle.

Conclusion. The quasi-time optimal control ensures that the system optimizes the time corresponding to the desired output value while also ensuring a stable system with variable parameters and noise interference.

Future studies will add adaptive control laws when there are variable parameters or a nonlinear system which is not the form of Jordan.

REFERENCES

1.» K. Kankhunthod, V. Kongratana, A. Numsomran and V. Tipsuwanporn. Self-balancing Robot Control Using Fractional-Order PID Controller. Proceedings of the International MultiConference of Engineers and Computer Scientists 2019 IMECS 2019, March 13-15, 2019, Hong Kong.

2.» Osama Jamil, Mohsin Jamil, Yasar Ayaz, Khubab Ahmad. Modeling, Control of a Two-Wheeled Self-Balancing Robot. 2014 International Conference on Robotics and Emerging Allied Technologies in Engineering (iCREATE) Islamabad, Pakistan, April 22-24, 2014. Page 191-199.

3.» Nguyen X.C, Phan N.H, Truong D.K, Hoang D.L, Tran C.P, Do N.S. Advance in the efficiency of type-2 fuzzy controller in embedded systems and application for control Two-wheel Self-balancing Robot. In Electronic scientific journal "Engineering Journal of Don" of Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russia, March 2018, No.11.

4.» Long Hoang, Nguyen Chiem, Hai-PHan Nguyen, Truong Dang Khoa, Kien, Pham Thuy. Building quasi-time-optimal control laws for ball and beam system. 2019 International Conference on Recent Advances in Signal Processing, Telecommunications & Computing (SigTelCom) at Le Quy Don Technical University, Hanoi, Vietnam, March 2019.

5.» C. X. Nguyen, H. N. Phan, L. D. Hoang, H. T. Nguyen, KH. D. Truong, and N. H. V. Nguyen. Modeling and synthesizing quasi-time control laws for two degrees of freedom robotic arm, 15th International Scientific-Technical Conference "Dynamic of Technical Systems" (DTS-2019), Rostov-on-Don, Russia, December 2019.

D.L. Hoang (ITMO University, Saint Petersburg). Synthesis and compare the control laws for two-wheeled self-balancing vehicle

Abstract. In this paper, the quasi-time optimal control law of Two-wheeled Self-balancing Vehicle is synthesis and the results are compared with known methods. The simulation results illustrate the theory and show the effectiveness of the proposed methodology.

Tuning Parameters of Adaptive Sliding Mode Controller Based on Optimal Algorithm for Uncertain Nonlinear Systems

Hoang Duc Long

Faculty of Control Systems and Robotics ITMO University Saint Petersburg, Russia [e-mail]

Le Van Tung

Falculty of Electrical and Electronics Thanh Dong University Hai Duong, Viet Nam [e-mail]

Natalia Dudarenko

Faculty of Control Systems and Robotics ITMO University Saint Petersburg, Russia [e-mail]

Abstract—This paper presents a method that uses an optimal algorithm for uncertain nonlinear systems to optimize parameters of an adaptive sliding mode controller (ASMC). Researchers are faced with the difficult task of designing controllers for nonlinear systems with uncertainties using classical techniques. ASMC is a useful technique to design controllers for nonlinear systems with unknown disturbances and uncertain parameters. It is challenging to adjust ASMC's parameters in order to ensure the bounded control law. An ideal algorithm, like the Jaya algorithm, can be applied to tackle this issue by determining the parameters that ensure the control law's limitation as well as the system's stability at desired positions. To demonstrate the efficacy of this strategy, an inverted pendulum mounted on a cart (IPC) is used.

Keywords—Adaptive Sliding Mode Control, Inverted Pendulum mounted on Cart, Jaya Algorithm, Tuning Parameter.

I. PROBLEM FORMULATION

The uncertain nonlinear system is described as below [13]

where x (t) is the state vector; u (t) is the bounded law (j«(/)| ^ «max s R+ j ; is the disturbance,

with - Ad 6 K+ - /(*(')) 6 K" andg(x(/)) e R"

are uncertain functions.

The sliding function s(j) el is

s (x ) = Ce (t) (2)

where C is a constant matrix; xd (t) is desired states; e(t) = x(t)-xd (t) is tracking errors.

From (2), the derivative of the sliding function s (x) is given

s(x) = Ce(t) (3)

Replace (1) into (3), the derivation of s (x) is rewritten

s[x) =a(x)+/3(x)u(t)+ip(x) (4)

where a(x) = C(f(x)-xd (/)) and \cc\ < amax ,

positive scalars; = Crf(x) e ffi. and |^>(x)|<Ap is a

known constant.

In order to compute the equivalent control law, ¿(.r) = 0.

Assume that the uncertainty was zero, the equivalent control may be found by

■(< ) = -

a( x )

J(x)

(5)

The following is an adaptive sliding mode control law -a (x) - K (t) sign (s (x))

t(f ) =

ß( x)

(6)

where the sign ( s ) function is defined by sign ( s ) = <

-1, if s < 0 0, if s = 0 +1, if s > 0

(7)

and the adaptive gain K (t ) is given by

\K (t) = kx Is (,r)| if Is (,r)| > s

K (t )

where

k1 > 0

0 < k2 < k and k

K (t ) = k2 if \s ( x )|<£ , K(0) = k0 > 0 and 0<£<ö

'= K (t0 ) -

(8)

Stable Analysis: Consider the following Lyapunov function

v=2 s2 (x)+-2 (k (t)-k )2

where K (t) < k V t > 0 . From (9),

V = ss + (K-k)K = s (a + fin +(p) + {K-k)K Substituting the control law (6) into (10):

(9)

(10)

ß(x ) = Cg (x ) and |ß|<ßmax, with amax and ßmax are If |s| >e, from (11)

= (Kk1 -K -kkj + ^sign (s))|s| < (kk1 - k0 - kkj + ^sign (s ))| s| = (-k0 + ^sign (s))|s| It can see that V < 0 if < A0 . If |s| <s, from (J J)

V = -k-, |s| + q>s From (13): |p(x)| <k2^V<0.

(J2)

(J3)

The sat (.) function is used in (6) to reduce the chattering phenomenon. Therefore, the control law is (14)

<t y-

-a( x)-K (t) sat (s (x))

~WT

(j4)

where the sat (.) function is given by

sat (s,/) --

if is < /

(15)

sign (s) if |s| >/

where / > 0 is the boundary of the output.

From (13), by choosing coefficients ct (i = J - n) of the

matrix C, kj, k2 , and using the adaptive parameter (8), ASMC (14) guarantees the uncertain nonlinear system (1) is stable at xd (t). However, it is difficult to define exactly these coefficients that guarantee the control law is bounded (umin < u (t)< umax) and the error e(t) is minimum.

Authors suggested a technique based on the Jaya algorithm to address this issue, which simultaneously ensures the control law's limitation and the system's stability at specified points.

II. TUNING PARAMETERS OF ADAPTIVE SLIDING MODE CONTROL

To tune parameters of ASMC, authors use the Jaya

algorithm [4-6]. It is predicated on the optimal solution

should be pursued while avoiding the worst one. There are no

specific control algorithm of parameters needed for this

method; only the standard control of parameters are needed. In order to solve limited problems, it is a straightforward and effective optimization procedure. Each member of the population has their cost function calculated, with the objective function f (x) that needs to be minimized. There are p number of potential solutions and n number of design variables [4]. Out of all the candidate solutions, the best candidate f (x) , and the worst candidate

f (x) [5, 6].

J \ /worst L J

The jth variable value for the k th candidate in the ith iteration is adjusted as below [4]

X j.k.i = Xj.k.i + r1,j,i [Xj,best,i |Xj,k,i

- r2,j,i [Xj,

— X

worst,i j,k,i

A flow chart outlining each step in this method may be found in Fig. 1 [4].

The cost function of the integral absolute error [7-9, 13]:

Jiae =J|e (t )| dt

(17)

where T is the simulation time.

Fig. 1. The Jaya algorithm.

III. SIMULATION RESULTS

In this section, the proposed controller will be designed for IPC. IPC is a nonlinear system and has uncertain parameters such as the length of pendulum, the masses of cart and pendulum. Besides, it can be affected by unknown disturbances and unknown frictions. Therefore, it can not apply classical control algorithms to design the controllers for it [10-12]. Fig. 2 depicts the model of IPC.

The mathematical equations of IPC are demonstrated as below [13]

plOcosO + (A/C +mp )x-mpld2 sini? = u 16 + .r cos 6 - g sin 6 = 0

(18)

where x is cart's position; d is pendulum's angle; mP is pendulum's mass; MC is cart's mass; l is pendulum's length; u is the control law; g is the gravitational acceleration.

Fig. 2. Inverted Pendulum on Cart.

IPC's state-space representation is shown k (0 = (0

*2(0 = /2(X) + £2(xM0

¿3 (?) = X4 (?)

i4(f) = f4(x) + g4(x)tl(f)

where state varibles Xj = x, x, = x, x3 = 6, x4 = ( nonlinear functions:

(19)

f2 ( X ) =

f4 ( x ) =

f2 (x)=-

m