Некоторые экстремальные многообразия линейных алгебр тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Попов, Александр Викторович

• Попов, Александр Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Попов, Александр Викторович

Оглавление

Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Многообразия неассоциативных алгебр

1.2 Йордановы алгебры

1.3 Элементы теории представлений симметрической группы

1.4 Собственные тождества и их применение в исследовании многообразий

2 Многообразия йордановых алгебр полиномиального роста

2.1 Критерий полиномиальности роста многообразия йордановых алгебр

2.2 Многообразие коммутативных алгебр лиевского типа

3 Многообразия йордановых алгебр почти полиномиального роста

3.1 Многообразия йордановых алгебр с тождеством разрешимости (х\х-1) (у\уг) = 0

3.2 Многообразие порожденное йордановой алгеброй верхнетреугольных матриц иТ

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые экстремальные многообразия линейных алгебр»

Введение

Изучение многообразий линейных алгебр над некоторым полем, т.е. классов алгебр, в которых выполняется фиксированный набор тождественных соотношений, является традиционной задачей современной алгебры. Наиболее изученными являются многообразия ассоциативных и лиевых алгебр. Но даже в этих классах алгебр, несмотря на достаточно обширную информацию о структуре многообразий, многие вопросы до сих пор остаются открытыми. Если говорить о других классических примерах многообразий алгебр, то те оказываются еще менее исследованными. Одним из таких примеров является многообразие йордановых алгебр.

Йордановы алгебры определяются тождествами коммутативности и "йордановости":

ху = ух, (ух2) X = (ух) X2.

Они возникли в работе немецкого физика П. Йордана, посвященной аксиоматизации основ квантовой механики (см. [49]).

Среди вопросов, возникающих при изучении многообразий линейных алгебр можно выделить два основных.

Первый, — имеет ли данное многообразие конечный базис тождеств и как он устроен. Для многообразий линейных алгебр в случае ассоциативных Р1-алгебр над полем нулевой характеристики данный вопрос впервые был поставлен Шпехтом в 1950 г. (см. [54]). Для ассоциативных алгебр над полем нулевой характеристики конечная базируемость была доказана А.Р.Кемером в 1986 г. (см. [11],[13]). В лиевском случае

(над полем нулевой характеристики) конечная базируемость доказана при выполнении различных дополнительных тождественных соотношений. В случае поля положительной характеристики существуют примеры бесконечно базируемых многообразий как в лиевском, так и в ассоциативном случае (см. [34],[55]). В целом же (для неассоциативных алгебр) вопрос является очень сложным.

Второй вопрос, — как устроено многообразие, задаваемое данной системой тождественных соотношений.

Как для первого, так и для второго вопроса, обширную информацию о многообразиях дает исследование их числовых характеристик. Важнейшей числовой характеристикой многообразия является последовательность коразмерностей идеала тождественных соотношений многообразия в свободной алгебре. Для краткости, говорят просто о последовательности коразмерностей многообразия.

В зависимости от асимптотического поведения коразмерностей многообразий, выделяют многообразия экспоненциального, полиномиального, сверхэкспоненциального, промежуточного между полиномиальным и экспоненциальным роста.

В случае ассоциативных алгебр в 1971 г. Регевым было доказано, что при выполнении нетривиальных тождественных соотношений рост многообразия экспоненциально ограничен (см. [53]). Позже было доказано, что не существует многообразий промежуточного роста, и вообще, последовательность коразмерностей многообразия ведет себя асимптотически, либо как экспонента с целым показателем, либо как полином с целой степенью (см. [40],[44]).

В случае алгебр Ли хорошо известен пример Воличенко (см. [3]), — многообразие алгебр Ли, порожденное тождеством (х 1X2X3) (У1У2У3) = 0, имеющее сверэкспоненциальный рост. Но также, как и для ассоциативных алгебр, было доказано С.П. Мищенко, что не существует многообразий промежуточного роста. Также им было доказано, что не существует

многообразий с экспонентой роста, расположенных в интервалах (1; 2) и (2; 3), и построен пример многообразия с дробной экспонентой, расположенной в интервале (3; 4) (см. [18],[56]).

Случай йордановых алгебр исследован значительно меньше. Существуют примеры многообразий полиномиального, экспоненциального и сверхэкспоненциального роста (см. [37],[38],[39],[41]).

Особый интерес представляют многообразия с экстремальным поведением их числовых характеристик. Например, когда само многообразие имеет рост выше полиномиального, а всякое его собственное подмногообразие имеет уже полиномиально ограниченный рост. Такие многообразия называют многообразиями почти полиномиального роста. Аналогично, можно определить многообразия почти экспоненциального роста.

В классе ассоциативных алгебр существует только два многообразия почти полиномиального роста (см. [12]). Это многообразие, порожденное алгеброй Грассмана С от бесконечного числа порождающих и многообразие, порожденное алгеброй иТо, верхнетреугольных матриц порядка

В лиевском случае известны всего пять многообразий почти полиномиального роста. Первое, — это многообразие уаг (в^), порожденное алгеброй матриц порядка 2 со следом равным нулю (см. [6],[27],[28]). Второе, — это многообразие лиевых алгебр, порожденное тождеством (Х1Х2) (Ж3Ж4) (х^хо) = 0 (см. [19]). Третье многообразие можно определить как наименьшее лиевское многообразие, в котором не выполнено ни одно стандартное тождество (см. [4],[5]). Оно порождается алгеброй

О — нулевая алгебра.

Два других примера лиевских многообразий почти полиномиального роста построены С.П. Мищенко (см. [21],[22]).

В случае йордановых алгебр, первый пример многообразия почти

2.

Ли

, где С — бесконечнопорожденная алгебра Грассмана, а

полиномиального роста, — многообразие разрешимых порядка 2 йорда-новых алгебр (или по аналогии с алгебрами Ли, многообразие метабеле-вых йордановых алгебр), — был построен В. Дренски и Т. Рашковой в 1989 г. (см. [41]). Нами был повторно построен данный пример (см. [23]), и в дополнение к старым результатам найдена алгебра, порождающая многообразие. Также это многообразие исследовалось в работе [29].

Второй пример, — многообразие йордановых алгебр, порожденное алгеброй ит!^ верхнетреугольных матриц порядка 2, был построен нами и анонсирован в [52]. Заметим, что из результатов В. Дренски (см. [37]) также следует, что указанное многообразие имеет почти полиномиальный рост, но только в категории унитарных алгебр.

Предметом настоящей работы являются многообразия линейных алгебр с экстремальным поведением числовых характеристик, а также многообразия, представляющие интерес в связи с другими их свойствами. Объектом нашего исследования являются многообразия йордановых алгебр над полем характеристики 0, представляющие собой один из классических примеров многообразий неассоциативных алгебр.

Цель настоящего исследования состоит в поиске новых примеров многообразий с экстремальным поведением числовых характеристик, а также, имеющих интерес с точки зрения других свойств многообразий. С этой целью нами решаются следующие задачи:

— доказательство критерия полиномиальности роста многообразия в случае йордановых алгебр;

— исследование многообразия йордановых алгебр с дополнительным тождеством степени 3. Доказательство полиномиальности роста в случае, если дополнительное тождество имеет вид ж3 = 0 (в иных случаях многообразие нильпотентно или ассоциативно).

— исследование многообразия йордановых алгебр, порожденного тождеством разрешимости порядка 2

(Х1Х2) (ж3ж4) = 0.

— доказательство почти полиномиальности роста многообразия йор-дановых алгебр, порожденного алгеброй иТ^ верхнетреугольных матриц порядка 2.

Исследования, проводимые в диссертации, основываются на следующих результатах и методах:

1. Для построения и доказательства критерия полиномиальности роста многообразия йордановых алгебр был использован критерий полиномиальности роста неассоциативного многообразия, доказанный Джам-бруно и С.П.Мищенко (см. [43]), теория представлений симметрических групп и комбинаторные методы (см. [1],[6],[16],[42]).

2. В исследовании многообразия йордановых алгебр с тождеством ж3 = О были использованы теория представлений симметрических групп, комбинаторные методы и некоторые результаты Е. Зельманова о тождествах в йордановых алгебрах (см. [2],[8],[9],[10]).

3. Описание структуры полилинейной части многообразия йордановых разрешимых порядка 2 алгебр получено с применением теории представления симметрической группы.

4. Для исследования йорданова многообразия верхнетреугольных матриц были использованы результаты об ассоциативном многообразии верхнетреугольных матриц (см. [17]), некоторые результаты по теории многообразий йордановых алгебр (см. [7]) и теория собственных тождеств алгебр (см. [33],[36]).

Работа носит теоретический характер. Представленные в диссертации результаты являются новыми, не полученными ранее:

1. Получен критерий полиномиальности роста многообразий йордановых алгебр.

2. Доказана полиномиальность роста многообразия йордановых алгебр с ниль-тождеством ж3 = 0.

3. Построена алгебра, порождающая многообразие метабелевых йордановых алгебр.

4. Доказано свойство почти полиномиальности роста йорданова многообразия, порожденного алгеброй 1/Т^ верхнетреугольных матриц порядка 2, и найдены два независимых тождества из тождеств его порождающих.

Структура работы

1. В первой главе даны основные определения и предварительные сведения. В первом параграфе изложены основные определения из теории многообразий и тождеств в линейных алгебрах. Второй параграф посвящен йордановым алгебрам и содержит основные определения и результаты необходимые для исследования многообразий йордановых алгебр. В третьем параграфе даны основные сведения из теории представлений симметрических групп и ее применении к исследованию Т-идеалов. В четвертом параграфе изложены некоторые сведения и результаты по теории собственных тождеств в линейных алгебрах.

2. Вторая глава посвящена многообразиям йордановых алгебр полиномиального роста. В первом параграфе формулируется и доказывается критерий полиномиальности роста многообразий йордановых алгебр. Второй параграф посвящен коммутативным алгебрам лиевского типа и содержит в себе результаты по исследованию многообразия йордановых алгебр с тождеством х2 = 0.

3. Третья глава посвящена многообразиям почти полиномиального роста йордановых алгебр. В первом параграфе исследуется многообразие метабевых йордановых алгебр. Во втором параграфе представлен новый пример многообразия почти полиномиального роста, — многообразие, порожденное алгеброй иТ^ верхнетреугольных матриц порядка 2.

Результаты, представленные в диссертации, прошли апробацию в докладах на конференциях и семинарах:

1) Молодежный научный форум "Университетское образование: проблемы и перспективы "(Ульяновск, 2009г.).

2) Летняя школа-конференция "Алгебры Ли, алгебраические груп-

пы и теория инвариантов" (Самара, 2009г.).

3) Ith International Algebraic Conference in Ukraine (Kharkov, 2010).

4) 8th International Algebraic Conference in Ukraine (Lugansk, 2011).

5) Восьмая международная конференция, посвященная 190-летию П.Л. Чебышева и 120-летию И.М. Виноградова "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения". Саратов. 12-17 сентября 2011 г.

6) Семинары кафедры алгебро-геометрических вычислений Ульяновского Государственного Университета.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [23], [24], [25], [26], [51] и [52].

Автор выражает благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Мищенко Сергею Петровичу за постановку задач, полезные советы, постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку.

Заключение диссертации по теме «Математическая логика, алгебра и теория чисел», Попов, Александр Викторович

Заключение

В заключении представленной диссертационной работы можно отметить, что поставленная задача исследований решена в полном объеме. Основные результаты работы:

1. Описана структура полилинейной части многообразия йордановых разрешимых порядка 2 алгебр и найдена алгебра порождающая многообразие.

2. Доказано свойство почти полиномиальности роста йорданова многообразия верхнетреугольных матриц порядка 2 и найдена два тождества из тождеств, его порождающих.

3. Получен критерий полиномиальности роста многообразий йордановых алгебр.

4. Доказана полиномиальность роста многообразий йордановых алгебр с ниль-тождеством индекса 3.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Попов, Александр Викторович, 2011 год

Литература

[1] Бахтурин Ю.А. Тождества в алгебрах Ли,- М.: Наука. 1985.

[2] Ю. А. Бахтурин, А. М. Слинько, И. П. Шестаков, Неассоциативные кольца, Итоги науки и техн. Сер. Алгебра. Топол. Геом., 18, ВИНИТИ, М., 1981, 3-72.

[3] Воличенко И.Б. Многообразие алгебр Ли с тождеством [[xi,жг,жз], [Ж4,Жб]] — 0 над полем характеристики нуль// Сиб. матем. журнал. 1984. Т.25. №3. С. 40-54.

[4] Воличенко И.Б. Об одном многообразии алгебр Ли, связанном со стандартными тождествами. Ч. I// Весщ АН БССР. 1980. — №1.

- С. 23-30.

[5] Воличенко И.Б. Об одном многообразии алгебр Ли, связанном со стандартными тождествами. Ч. II// Весщ АН БССР. — 1980. — №2.

- С. 22-29.

[6] Дренски B.C. Представления симметрической группы и многообразия линейных алгебр // Мат. сб. - 1981. — Т.115. №1. - С. 98-115.

[7] Жевлаков К.А., Слинько A.M., Шестаков И.П., Ширшов А.И. Кольца, близкие к ассоциативным.- М.: Наука, 1978.

[8] Зельманов Е.И. Йордановы ниль-алгебры ограниченного индекса // ДАН СССР, 1979 Т. 249 №1 С. 30-33.

[9] Зельманов Е.И., Скосырский В.Г. Специальные йордановы ниль-алгебры ограниченного индекса // Алгебра и логика, 1983 Т. 22 №6 С. 626-635.

[10] Зельманов Е.И. О йордановых ниль-алгебрах ограниченного индекса // ВЦ СО АН СССР, Новосибирск, 1986, №647.

[11] Кемер А.Р. Конечная базируемость тождеств ассоциативных алгебр // Алгебра и логика 26, 1987, 597-641.

[12] Кемер А.Р. Т-идеалы со степенным ростом коразмерностей // Сиб. матем. журнал. 1978. С. 37-48.

[13] Кемер А.Р. Решение проблемы конечной базируемости тождеств ассоциативных алгебр // ДАН СССР. - 1988. - Т.298, №2. - С. 273277.

[14] Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. — М.: Наука, 1973.

[15] Мальцев А.И. Об алгебрах с тождественными определяющими соотношениями// Матем.сб. 1950. 26. №1. С. 19-33.

[16] Мальцев А.И. Алгебраические системы. — М.: Наука, 1970.

[17] Мальцев Ю.Н. Базис тождеств алгебры верхнетреугольных матриц// Алгебра и логика. 1971. Т. 10. С. 393-400.

[18] Мищенко С.П. О многообразиях полиномиального роста алгебр Ли над полем характеристики нуль// Математические заметки. 1986. Т.40. №6. С. 713-721

[19] Мищенко С.П. Многообразия алгебр Ли с двуступенно нильпотент-ным коммутантом// Весщ АН БССР. - 1987. - №6. С. 39-43.

[20] Мищенко С.П. Одно достаточное условие нильпотентности коммутанта алгебры Ли// Известия ВУЗов. 1998. №8 (435). С. 43-47.

[21] Мищенко С.П. Рост многообразий алгебр Ли. Успехи Мат .Наук 45 (1990), №. 6(276), 25-45

[22] Мищенко С.П. О многообразиях разрешимых алгебр Ли// ДАН СССР. - 1990. - Т.313, №6.

[23] Мищенко С.П., Попов A.B. Многообразие йордановых алгебр, определяемое тождеством (ху) (zt) = 0, имеет почти полиномиальный рост // Матем. заметки, 2010, т. 87, вып. 6, стр. 877-884.

[24] Мищенко С.П., Попов A.B. О многообразиях коммутативных алгебр лиевского типа, Летняя школа-конференция "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов Самара 2009. С. 36-37.

[25] Попов A.B. Нильпотентность некоторых подмногообразий многообразия йордановых алгебр, Материалы международного научного молодежного форума, Ульяновск 2010, С.282-284.

[26] Попов A.B. Некоторые примеры многообразий йордановых алгебр, Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения. Тезисы докладов viii Международной конференции, посвещенной 190-летию П.Л. Чебышева и 120-летию И.М. Виноградова, Саратов 2011. С.58-59.

[27] Размыслов Ю.П. О конечной базируемости тождеств матричной алгебры второго порядка над полем характеристики нуль// Алгебра и логика. - 1973. - Т.12, №1 - С.83-113.

[28] Размыслов Ю.П. Конечная базируемость тождеств некоторых многообразий алгебр// Алгебра и логика. — 1974. — Т.13, №6 — С.685-693.

[29] Сверчков С.Р. О разрешимых индекса 2 йордановых алгебрах// Матем. сб. 1983. 121:1 С. 40-47.

[30] Сверчков С.Р. Йордановы s -тождества от трех переменных// Алгебра и логика, 50:1 (2011), 89-121

[31] Слинько A.M. О специальных многообразиях йордановых алгебр. Мат. заметки, 1979, 26, №3, 337-344.

[32] Ширшов С.Р. О специальных J-кольцах// Матем. сб. 1956. т.38(80), №2 , С. 149-166.

[33] Bahturin Y., Mishchenko S., Regev A., On the lee and associative codimensions growth, Communications in Algebra, 27:10 (1999), 49014908.

[34] Belov A. Counterexample to the Speht problem // Sb. Math. 191 (3-4) 2000, 329-340.

[35] Drensky V. Computational techniques for PI-algebras. Banach Center Publ. 26, Topics in Algebra, Part 1: Rings and Representations of Agebras, Polish Sci. Publ., Warshaw, 17-44 (1990).

[36] Drensky V. Free algebras and Pi-algebras. Graduate course in algebra. Springer-Verlag Singapore, Singapore, 2000.

[37] Drensky V. On the identities of the three-dimensional simple Jordan algebra, Annuaire de l'Univ. de Sofia, Fac. de Math, et Mecan., Livre 1, Math. 78 (1984), 53-67.

[38] Drensky V. T-ideals containing all matrix polynomial identities, Communications in Algebra, 13:9 (1985), 2037-2072.

[39] Drensky V. Polynomial identities for the Jordan algebra of a Symmetric Billinear Form, Journal of algebra 108 (1987), 66-87.

[40] Drensky V. Relations for the cocharacter sequences of Т-ideals// Contemporary Mathematics. 1992. V.131 (Part 2). P. 285-300.

[41] Drensky V. Rashkova T. Varieties of metabelian Jordan algebras// Serdica. 1989. 15:4 . P. 293-301.

[42] Fulton W. Young tableaux with aplications to representation theory and geometry. Cambridge university press. 1997.

[43] Giambruno A., Mischenko S. Polynomial growth of the codinensions: a characterization// Proceedings of Amer. Math. Society, 2010. V.138. N.3 P. 853-859.

[44] Giambruno A., Zaicev M.V. Exponential codimension growth of PI algebras: an exact estimate// Adv. in Math. 1999. V.142. P. 221-243.

[45] Giambruno A., Zaicev M.V. Polynomial Identities and Asymptotic Methods.- Mathematical Surveys and Monographs 122. American Mathematical Society. Providence. RI. 2005.

[46] Glennie C.M., Some identities valid in special Jordan algebras but not valid in all Jordan Algebras, Pacific J. Math. 16, (1966), 47-59.

[47] Glennie C.M., Identities in Jordan algebras, Computational Problems in Abstract Algebra (Proc. Conf., Oxford, Pergamon, 1970, 307-313.

[48] Jacobson N. Structure and representations of Jordan algebras, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., v. 39, Providence, R.I., 1968.

[49] Jordan P. Nachr. Acad. Wiss. Gottingen. Math.-Phys. Kl. 2A, 1933, S. 209-17.

[50] Koshlukov P., Martino F., Polynomial identities for the Jordan algebra of upper triagular matrices of order two, J. Pure Appl. Algebra.- 2012 (to appear)

[51] Mishchenko S.P., Popov A.V. An example of the Jordan algebras variety with the almost polynomial growth, 7th International Algebraic Conference in Ukraine Kharkov 2009, abstracts, p.97-98.

[52] Popov A.V. The variety of Jordan algebras generated algebra of upper triangular matrix UT2 (Fhas almost polynomial growth, 8th International Algebraic Conference in Ukraine Kharkov 2011, abstracts, p.218.

[53] Regev A. Existence of polynomial identities in A® B J J Bull. Amer. Math. Soc. 1971 V. 77, №.6. P. 1067-1069.

[54] Specht W. Gesetze in Ringen I// Math. Z. - 1950, — Vol. 52 — p. 557-589.

[55] Vaughan-Lee M.R., Abelian-by-nilpotent varieties of Lie algebras, J. London Math. Soc. (2) 11, 263-266 (1975).

[56] Zaitcev M.V., Mishchenko S.P. Example of variety of Lie algebras with fractional exponent// Journal Of Mathematical Sciences. 1999. V.93. №6. P. 977-982.