О носителях и числовых характеристиках почти нильпотентных многообразий линейных алгебр тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Панов Николай Петрович

• Панов Николай Петрович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Панов Николай Петрович

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

1.1 Об алгебрах, удовлетворяющих тождественным соотношениям

1.2 Используемые обозначения

Глава 2. О МНОГООБРАЗИЯХ КОММУТАТИВНЫХ МЕТАБЕЛЕВЫХ

АЛГЕБР

2.1 Числовые характеристики многообразия всех коммутативных ме-табелевых алгебр

2.2 Почти нильпотентные многообразия подэкспоненциального роста

2.3 Об идеалах тождеств двух иординовых алгебр

2.4 О почти нильпотентном многообразии, верхняя и нижняя экспоненты которого не являются целыми числами

Глава 3. О МНОГООБРАЗИЯХ АНТИКОММУТАТИВНЫХ МЕТАБЕЛЕВЫХ АЛГЕБР

3.1 Числовые характеристики многообразия всех антикоммутативных метабелевых алгебр

3.2 Почти нильпотентные многообразия подэкспоненциального роста . 51 Глава 4. ПОЧТИ НИЛЬПОТЕНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР С

ТОЖДЕСТВОМ х(ух) =

4.1 Носители и тождества многообразий

4.2 Числовые характеристики полилинейных частей специального вида

4.3 О структуре многообразий

4.4 Числовые характеристики многообразий

Глава 5. СЛОВА ШТУРМА И ПОЧТИ НИЛЬПОТЕНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ

5.1 Слова Штурма

5.2 Несчетное множество почти нильпотентных многообразий метабелевых алгебр

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О носителях и числовых характеристиках почти нильпотентных многообразий линейных алгебр»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Ряд работ, опубликованных во второй половине XIX и в первой половине XX века в связи с исследованиями в области анализа, квантовой механики, геометрии, касается алгебраических структур, в которых выполняются полиномиальные тождественные соотношения. К таким отнесем работы М.С. Ли1, П. Йордана и др. [58], М. Дена [43], В. Вагнера [78]. Так, в работе В. Вагнера определено полиномиальное тождество степени не больше (п2 — п + 6)(п2 — п + 2)/4, которое выполняется в алгебре матриц порядка п над полем действительных или комплексных чисел. Для матриц (над коммутативным кольцом) второго порядка Вагнером приведено тождество

г(ху — ух)2 — (ху — ух)2 г = 0.

Основной теоремой данной работы установлено, что любая линейно упорядоченная ассоциативная алгебра над полем действительных чисел, удовлетворяющая нетривиальному полиномиальному тождеству, является коммутативной2.

С приведенным тождеством Вагнера связана теорема М. Холла, представленная в работе [55]. М. Холл установил, что кольцо с делением О с центром Г, удовлетворяющее данному тождеству, является либо полем, О = Г, либо алгеброй кватернионов над Г. Через пять лет после статьи М. Холла опубликована работа И. Капланского [59], где доказано, что примитивная алгебра является конечномерной над своим центром, если в ней выполняется полиномиальное тождественное соотношение. По-видимому, именно опубликованная в 1948 году работа И. Капланского вызвала широкий интерес к изучению колец и алгебр с точки зрения выполнения в них полиномиальных тождественных соотношений. В 1950 году Ш. Амицур и Я. Левицкий, используя комбинаторные свойства матричных единиц, доказали в [36], что тождество

(—!)аХа(1)Ха(2) . . . Ха(2п) = 0 является тождеством минимальной степени алгебры матриц порядка п, Б2п

1 Информацию о жизни и работах М.С. Ли можно найти в [56].

2 Упрощенный вариант доказательства теоремы Вагнера, основанный на результатах Ш. Амицура [37] и

И. Капланского [59], представил А. Альберт в работе [33].

симметрическая группа. Теорема Амицура-Левицкого имеет широкую известность и ряд доказательств, отличных от оригинального. Отметим работу Ю.П. Размыслова [29], в которой было введено важное определение тождества со следом, ставшее основой нового доказательства теоремы Амицура-Левицкого в случае основного поля нулевой характеристики.

В работе [76], опубликованной в 1972 году, А. Регев установил, что тензорное произведение ассоциативных Р1-алгебр является Р1-алгеброй (алгеброй, удовлетворяющей нетривиальному полиномиальному тождеству). Для доказательства данного утверждения он ввел числовую характеристику выполняющихся в алгебре тождеств. Обозначим через сп(А) коразмерность подпространства Рп П 1й(А) пространства Рп (необязательно ассоциативных) полилинейных многочленов степени п, 1й(А) — идеал тождеств некоторой алгебры А.

А

ряет, нетривиальному тождеству стечений, то сп(А) < (3.4^-3)п7 п > 1.

В.Н. Латышев значительно уточнил оценку в данной теореме, доказав в

[12], что если алгебра А удовлетворяет тождеству степени й, 2 < й < п, то

сп(А) < (й - 1)2п.

А.И. Мальцев доказал, что если характеристика основного поля равна нулю, то любое нетривиальное тождество эквивалентно некоторой системе полилинейных тождеств, поэтому "весь вопрос сводится к изучению последних"

[13]. Благодаря такой особенности изначально вспомогательный метод Регева, заключающийся в исследовании полилинейных частей (относительно) свободных алгебр и определении числовых характеристик тождеств алгебр, стал одним из основных методов изучения Р1-алгебр в случае основного поля нулевой характеристики. В настоящее время числовые характеристики тождеств алгебр, соответственно многообразий алгебр, являются самостоятельным предметом исследований.

Говорят, что асимптотическое поведение последовательности коразмерностей {сп(У)}п>1 определяет рост соответствующего многообразия алгебрУ. Согласно теореме А. Регева в случае нулевой характеристики любое многообразие ассоциативных алгебр имеет экспоненциально ограниченный рост. Дальнейшие

У

ассоциативных алгебр является либо полиномиальным, сп(У) = дпк+0(пк-1), д

З3а дополнительной информацией можно обратиться к главам 6, 7 книги [50].

— рациональное число, k — целое число, либо экспоненциальным, cn(V) > 2n-1, причем PI-экспонента exp(V) = limn^TO Пcn(V) существует и является неот-

V

тогда и только тогда, когда алгебра Грассмана G и алгебра UT2 верхнетре-

V

Обозначим через ln(V) = ^Ahn m\(V) кодлину многообразия V — число

V

Xn(V) = ^ mx(V)xx,

Ah n

д _ разбиение числа n. Известно, что последовательноеть кодлин {ln(A)}n>1 любой ассоциативной PI-алгебры A над полем пулевой характеристики имеет полиномиальный рост (полиномиально ограничена), и кратности mA(A) равномерно полиномиально ограничены [38]. При этом для любой ассоциативной PI-алгебры A с единицей найдется такое натуральное k и действительное C, что ln(A) = Cnk + O(nk-1), [39, 40].

Схожие свойства роста имеют (необязательно ассоциативные) конечномерные PI-алгебры. Известно, что последовательность коразмерностей любой конечномерной алгебры A над полем нулевой характеристики, dim A = d, экспоненциально ограничена, cn(A) < dn. При этом в работе [51] установлено, что кодлины ln(A) полиномиально ограничены, ln(A) < d(n + 1)d2+d5 и доказано, что если рост последовательности {cn(A)}n>1 выше полиномиального, то

/ л \ 1 п

cn(A) > nj2начиная с некоторого п.

В отличие от случая ассоциативных алгебр, рост многообразий которых экспоненциально ограничен, в классе алгебр Ли существуют многообразия сверхэкспоненциального роста. Пример такого многообразия, которое будем обозначать через AN2, привел П.Б. Воличенко [3]. В случае алгебр Ли В.М. Петроградский предложил шкалу сверхэкспоненциального роста [25, 26, 27] и, в частности, для многообразия AN2 в работе [26] представил оценку cn(AN2) = л/Ш(1 + o(1))n. В [26] В.М. Петроградский также установил, что если в многообразии V алгебр Ли выполняется тождество, степень которого k > 3, то имеет место неравенство

n!

c„(V) < 3) (1 + o(1))n, (ln(k 3) n)n

где п = 1п(1п( ' п). Данное утверждение для многообразий алгебр Ли является аналогом упомянутой теоремы А. Регева для многообразий ассоциативных алгебр.

Известно, что над полем нулевой характеристики в классе алгебр Ли, как и в классе ассоциативных алгебр, не существует многообразий промежуточного роста (между полиномиальным и экспоненциальным) [15, 16, 18]. Так, в работе

У

ства сп(У) < 2п/2, начиная с некоторого п, то рост У не выше полиномиального.

В классе алгебр Ли выделяют так называемые многообразия ассоциативного типа (АР1-многообразия), рост которых не выше экспоненциального [17]. Так же как в случае многообразий ассоциативных алгебр, кодлины и соответственно кратности АР1-многообразий ограничены полиномиально [79]. При этом известны примеры многообразий алгебр Ли, на которые не распространяются данные ограничения. Так, в работах [7, 67] в случае нулевой характеристики представлены многообразия алгебр Ли, кодлины которых имеют экспоненциальный или сверхэкспоненциальный рост. Таким является также многообразие А3 всех разрешимых ступени не выше трех алгебр Ли, для которого с помощью неравенства4 1п(У) > сп(У)/л/п! из асимптотического соотношения5 сп(А3) ~ п!/(1пп)п, установленного в [25], получена сверхэкспоненциальная оценка 1п(А3) > л/Ш/(1пп)п. Существует многообразие алгебр Ли с промежуточным ростом последовательности кодлин. Например, 1п(1п(АМ2)) ~ п

у/2п/3.

При этом все кратности ш\(ЛМ2) полиномиально ограничены [49]. В дополнение отметим, что все собственные подмногообразия многообразия ЛМ2 являются АР1-многообразиями (см. напр. [17]). Результаты, касающиеся роста многообразий алгебр Ли можно найти в обзоре [17].

В общем случае известно множество примеров Р1-алгебр и многообразий алгебр с совершенно разными типами роста числовых характеристик. Так, в работе [52] для любого действительного числа а > 1 определена такая неассоциативная алгебра Аа над полем нулевой характеристики, что ехр(Аа) = а. Отметим, что данный результат получен с помощью конструкции бесконечных непериодических слов Штурма. Также существует несчетное множество неассоциативных Р1-алгебр с промежуточным ростом соответствующих после-

4Данное неравенство выполняется для любого многообразия V алгебр над полем нулевой характеристики.

^ TT тт ст гКтгтл^-тттттт Tin гп I п О TT TT Г" т . 'П Л ~ п( п ^ ^TJiniTTTrr lim IS_L

5Для функций f (n), g(n) запись f (n) ~ g(n) значит lim g}_( = 1.

_—>-00 9\n)

довательностей коразмерностей. В работе [51] для любого действительного ß, 0 < ß < 1, построена алгебра Д такая что lim logn logn cn(A) = ß.

n—TO

Отдельного внимания заслуживают PI-алгебры с низким ростом последовательностей коразмерностей. В работе [54] для любого действительного а £ (0; 1) определена коммутативная метабелева6 алгебра Aa, рост коразмерностей которой полиномиально ограничен, причем lim logn cn(Aa) = 3 + а. Многооб-

n—>-TO

разням с низким полиномиальным ростом посвящены работы [69, 9]. Отметим работу [19], в которой определены все многообразия алгебр над полем нулевой характеристики, кодлины которых тождественно равны единице. Таких многообразий ровно три, и рост каждого из них не выше линейного. Обзор результатов, касающихся многообразий полиномиального роста, представлен в статье [68].

Наименьший из возможных типов роста имеют нильпотентные многообразия V, такие что cn(V) = 0, начиная с некоторого п. Ненильпотентное многообразие, все собственные подмногообразия которого являются нильпотент-ными, называют почти нильпотентным. Самостоятельной и представляющей отдельный интерес проблемой является проблема описания почти нильпотент-ных многообразий в различных классах алгебр.

Пусть далее характеристика основного поля равна нулю.

Установлено, что существует ровно одно почти нильпотентное многообразие ассоциативных алгебр — многообразие ассоциативно-коммутативных алгебр [70, Remark 1]. Все коразмерности данного многообразия равны единице. Известно, что в многообразии алгебр Ли единственным почти нильпотентным является его подмногообразие A 2 метабелевых алгебр. Числовые характеристики многообразия A2 также хорошо известны. В частности, известно равенство cn(A2) = п — 1 для любо го п > 2 (см. напр. [1]).

Известны все почти нильпотентные многообразия алгебр Лейбница. Их ровно два: A2 и многообразие (обозначим его 2NL) алгебр Лейбница, удовлетворяющих тождеству x(yz) = 0, [30]. Второе многообразие 2NL подробно описано в работе [46], из которой известно, что cn(2NL) = n, п > 2.

В работе [71] доказано, что в многообразии всех алгебр, удовлетворяющих тождеству x(yz) = 0, существует ровно два почти нильпотентных подмногообразия подэкспоненциального (полиномиального или промежуточного)

6 Здесь и далее метабелевыми называются алгебры разрешимые индекса два, то есть удовлетворяющие тождеству (xy)(zt) = 0.

роста. Первое, очевидно, — это многообразие 2№Ъ, второе — подмногообразие всех алгебр, удовлетворяющих тождеству (жу)г = — (жг)у. Для любого п > 2

пп многообразия

Незначительный рост кажется естественным свойством почти нпльпотент-ных многообразий, но в работе [70] дан первый пример почти нильпотентного многообразия, рост которого выше подэкспоненциального. Это многообразие экспоненциального роста с экспонентой, равной двум. Оно порождается беско-

А2

тождеству ж (у г) = 0. В связи с особенностями строения алгебры А2 многообразие ^аг(А2) изучалось посредством описания по модулю 1й(А2) пространств полилинейных многочленов, порожденных мономами ж0ж^ ... ж^п с левонорми-рованной расстановкой скобок, 1 < г1,...,гп < п. Данные пространства рассматривались как модули над соответствующими групповыми кольцами симметрических групп. Для каждого из них определены точные значения всех кратностей в разложении характеров, за исключением кратностей с диаграммами Юнга из двух строк равной длины. Искомые значения кратностей представлены в работе [31].

Результаты, представленные в [70], стали идейной основой работы [20], в которой установлено существование бесконечного множества почти нильпотент-ных многообразий экспоненциального роста. Авторами по аналогии с многообразием тг(А2) для каждого т = 3,4,... определено многообразие экспонента которого, как и экспонента любого подмногообразия, равна т, и доказано, что в каждом многообразии

■иаг(Ато) найдется почти нильпотентное подмногообразие. Последнее утверждение основано на следующей теореме.

Теорема ([70]). В любом ненильпотентном многообразии линейных алгебр найдется почти нильпотентное подмногообразие.

Позже было установлено существование бесконечного множества почти нильпотентных многообразий с разными целыми экспонентами в классе коммутативных метабелевых алгебр [21].

Развивая идеи работы [70], С.П. Мищенко доказал, что в классе алгебр, удовлетворяющих тождеству ж(уг) = 0, существует почти нильпотентное многообразие экспоненциального роста, верхняя и нижняя экспоненты которого принадлежат интервалу (1; 2) [23].

Отметим результаты работ [72], [24], посвященных собственным подмногообразиям многообразия, носителем которого является однопорожденная мета-белева алгебра 1А из работы [22]. В алгебре 1А все скобочные структуры в ненулевых мономах степени не меньше трех могут быть представлены с помощью композиций операторов левого и правого умножения на образующую алгебры. Любая такая композиция операторов может быть естественным образом закодирована словом в алфавите из двух символов. Авторы работы [72] используют эту идею для определения множеств метабелевых алгебр с помощью двоичных бесконечных периодических слов и слов Штурма. Заданные алгебры порождают в случае бесконечных периодических слов счетное множество многообразий линейного роста, в случае слов Штурма — несчетное множество многообразий квадратичного роста. Основными результатами работы [72] являются доказательства следующих утверждений:

_ существует счетное множество почти нильпотентных многообразий, рост которых не выше линейного,

_ существует несчетное множество почти нильпотентных многообразий, рост которых не выше квадратичного.

Результаты исследования многообразий, заданных бесконечными периодическими словами, представлены С.П. Мищенко в [24]. В данной работе определены числовые характеристики многообразий и доказано, что они являются почти нильпотентными. В обзоре [32] можно найти результаты, касающиеся почти нильпотентных многообразий в случае поля характеристики нуль.

Перечисленные результаты составляют небольшую долю всех известных результатов, касающихся Р1-алгебр, исследование которых активно ведется бол ь-ше пятидесяти лет математиками разных стран. Дополнительную информацию о Р1-теории можно найти в множестве монографий, освещающих различные направления исследований [57, 6, 77, 1, 61, 45, 50].

Степень разработанности темы исследования. Направление исследований, связанное с изучением почти нильпотентных многообразий алгебр, является новым, и свойство почти нильпотентности многообразий мало изучено. Большинство результатов, полученных в данном направлении, представлено в течение последних десяти лет.

Так, в классе алгебр с тождеством х(уг) = 0 определены все почти пиль-потентные многообразия подэкспоненциального роста. Но оставалась открытой аналогичная проблема определения многообразий в классах коммутативных ме-табелевых и антикоммутативных метабелевых алгебр.

В классе алгебр, удовлетворяющих тождеству х(уг) = 0, многообразия с целыми экспонентами, значения которых больше двух, мало изучены, в отличие от многообразия экспоненты два. Также оставался открытым вопрос о нильпотентности всех собственных подмногообразий данных многообразий.

В классе метабелевых алгебр известны характеристики почти нильпо-тентных многообразий, заданных бесконечными периодическими словами. При этом оставались неизвестными характеристики многообразий, заданных словами Штурма, в частности, был открытым вопрос о почти нильпотентности.

Объект исследования. Объектом исследования являются почти ниль-потентные многообразия алгебр над полем нулевой характеристики. Предмет исследования — носители и числовые характеристики почти нильпотентных многообразий.

Цели и задачи исследования. Основной целью исследования является изучение в случае основного поля нулевой характеристики почти нильпотентных многообразий различных типов роста. Задачи исследования: выполнить описание всех почти нильпотентных многообразий подэкспоненциального роста в классе коммутативных (антикоммутативных) метабелевых алгебр; в классе алгебр с тождеством х(ух) = 0 выполнить описание почти нильпотентных подмногообразий многообразий с разными целыми Р1-экспонентами, большими двух; в классе метабелевых алгебр исследовать многообразия квадратичного роста, определенные на основе конструкции бесконечных слов Штурма; описать почти нильпотентные подмногообразия данных многообразий.

Научная новизна. Основные результаты исследования, представленные положениями, выносимыми на защиту, являются новыми, получены в соавторстве или самостоятельно автором.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа имеет теоретический характер. Представленные результаты могут быть полезны для специалистов в теории Р1-алгебр и включены в спецкурсы для студентов и аспирантов, изучающих алгебры с полиномиальными тождествами.

Методология и методы исследования. К используемым методам ис-

и

следования относятся комбинаторные методы, методы теории представлений симметрических групп, методы теории PI-алгебр в случае поля нулевой характеристики.

Положения, выносимые на защиту.

1. Доказано существование в классе коммутативных (антикоммутативных) метабелевых алгебр ровно двух почти нильпотентных многообразий под-экспоненциального роста.

2. В классе алгебр, удовлетворяющих тождеству x(yz) = 0, найдены и изучены носители, числовые характеристики и определяющие тождества почти нильпотентных многообразий со всевозможными целыми, большими двух, экспонентами.

3. Предъявлено несчетное множество различных почти нильпотентных многообразий квадратичного роста, носители которых определены с помощью слов Штурма.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность обеспечивается корректностью применения методов исследования в доказательствах результатов. Результаты диссертации представлены на следующих конференциях: 13-ой Международной конференции "Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения", посвященной восьмидесятипятилетию со дня рождения профессора С. С. Рышкова, Тула, 2015; International Russian-Chinese Conference "On Actual Problems of Applied Mathematics and Physics" and School for Young Scientists "Nonlocal Boundary Problems and Modern Problems of Algebra, Analysis and Informatics", Elbrus, Kabardino-Balkarian Republic, 2015; 14-ой Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения", посвященной 70-летию со дня рождения Г. И. Архипова и С. М. Воронина, Саратов, 2016; Международной конференции "Мальцевские чтения", Новосибирск, 2017; Всероссийской конференции, посвященной 100-летию факультета математики и компьютерных наук Ивановского государственного университета, Иваново, 2018; Международной алгебраической конференции, посвященной 110-летию со дня рождения профессора А. Г. Куроша, Москва, 2018; Международной конференции "Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения",

посвященной столетию со дня рождения доктора физико-математических наук, профессора Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова Коробова Николая Михайловича, Тула, 2018.

Публикации. Результаты исследования представлены в 12 работах, из которых 5 опубликованы в журналах из перечня ВАК. Список работ приведен в конце диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав основной части, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы. Нумерация параграфов, формул, теорем и других утверждений выполняется в рамках главы, нумерация таблиц сквозная. Основная часть диссертации изложена на 90 страницах. Список литературы имеет 91 наименование.

Содержание работы.

Глава 1 имеет вспомогательный характер и содержит предварительные сведения о Р1-алгебрах, основные определения и обозначения, используемые на протяжении основной части работы.

В § 1.1 даны необходимые сведения о тождествах в алгебрах, многообразиях алгебр и соответствующих числовых характеристиках, а также сведения из теории представлений симметрических групп, используемые при изучении Р1-алгебр над полем нулевой характеристики.

В § 1.2 перечислены дополнительные обозначения и соглашения, введенные с целью упрощения записи элементов алгебр.

Глава 2 полностью посвящена многообразиям алгебр, в которых одновременно выполняются тождества коммутативности жу — уж = 0 и метабелевости (жу)(2^) = 0.

В § 2.1 определены числовые характеристики многообразия МС всех коммутативных метабелевых алгебр, а именно, вычислены все значения коразмерностей сп(МС) (теорема 2.1) и приведен метод вычисления кратностей тд(МС) (теорема 2.2). Значения коразмерностей получены с помощью определения множества коммутативных метабелевых алгебр, которые также используются в § 2.2. Данный подход к определению коразмерностей сп(МС) отли-

МС

функция сложности

с (МС^=!§-—|.

Все результаты параграфа получены в соавторстве с научным руководителем.

В § 2.2 рассматриваются два многообразия уат(Б) подэкспоненци-

ального роста. В предложениях 2.2, 2.7 перечислены числовые характеристики данных многообразий. Также доказано, что данные многообразия являются почти нильпотентными (предложения 2.4, 2.9). Основной результат не только параграфа, но и всей главы представлен теоремой 2.5. Утверждается, что в классе коммутативных метабелевых алгебр только многообразия уат(Б)

являются почти нильпотентными подэкспоненциального роста. Данное утверждение следует из теоремы 2.4 и определений многообразий уат(Б). Все результаты параграфа получены в соавторстве.

В § 2.3 с помощью многообразия уат(Б) в случае основного поля нулевой характеристики установлена связь между идеалами тождеств двух и орда новых алгебр, определенных в монографии [6]. Автором доказано, что идеалы тождеств данных алгебр совпадают (теорема 2.7).

В § 2.4 доказано существование почти нильпотентного многообразия коммутативных метабелевых алгебр, верхняя и нижняя экспоненты которого не являются целыми числами (теорема 2.9). Все результаты параграфа получены автором.

Глава 3 полностью посвящена многообразиям метабелевых алгебр, в которых выполнено тождество антикоммутативности ху + ух = 0.

В § 3.1 вычислены значения коразмерностей сп(МА) многообразия всех антикоммутативных метабелевых алгебр (теорема 3.1) и дан метод вычисления кратностей шд(МА) (теорема 3.2). Значения коразмерностей определены посредством построения бесконечного множества антикоммутативных метабелевых алгебр, в отличие от подхода из работы [75], где установлено, что С(МА, г) = С(МС, г). Все результаты параграфа получены автором.

В § 3.2 рассматриваются два многообразия А2, подэкспоненциаль-

ного роста. Отметим, что числовые характеристики почти нильпотентного мно-А2

теристики многообразия перечислены в предложении 3.3. В предложении 3.5 установлено, что многообразие является почти нильпотентным. Центральным результатом параграфа и всей главы является теорема 3.5, в которой утверждается, что в классе антикоммутативных метабелевых алгебр только многообразия А2, являются почти нильпотентными подэкспоненциального роста. Все результаты параграфа получены в соавторстве.

Глава 4 полностью посвящена бесконечному множеству многообразий с разными целыми Р1-экспопептами, определенному в работе [20] в классе алгебр, удовлетворяющих тождеству ж(уг) = 0.

В § 4.1 содержатся необходимые сведения о носителях и тождествах исследуемых многообразий. Здесь же даны основные обозначения, используемые на протяжении всей главы 4.

В § 4.2, следуя подходу, выбранному в работе [70], определены значения кратностей и кодлин для модулей полилинейных элементов специального вида. Значения кратностей содержатся в теоремах 4.1, 4.2, 4.3, значения кодлин определены в теореме 4.5. Все известные результаты о данных кратностях суммированы в теореме 4.4.

В § 4.3 на основе результатов из предыдущих параграфов определены совокупности тождеств, порождающие идеалы тождеств рассматриваемых многообразий, (теорема 4.6) и доказано, что все рассматриваемые многообразия являются почти нильпотентными (теорема 4.7).

В § 4.4 с помощью значений кратностей, определенных в § 4.2, для рассматриваемых многообразий приведен метод вычисления кратностей (теорема 4.8) и вычислены значения кодлин (теорема 4.9).

Все результаты главы получены автором.

Глава 5 посвящена заданным словами Штурма многообразиям метабе-левых алгебр из работы [72].

В § 5.1 даны определение и основные используемые в дальнейшем свойства слов Штурма. Также в ознакомительных целях приведены сведения из истории слов Штурма.

В § 5.2 изложены все основные результаты главы. В предложении 5.5 определены все кратности в разложении характеров, соответствующих пространствам полилинейных элементов с фиксированной расстановкой скобок. Определены последовательности коразмерностей исследуемых многообразий (теорема 5.1), и доказано, что все многообразия являются почти нильпотентными (теорема 5.2). В конце параграфа определено несчетное множество почти ниль-потентных многообразий квадратичного роста (теорема 5.3).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Панов Николай Петрович, 2018 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Бахтурин, Ю. А. Тождества в алгебрах Ли / Ю. А. Бахтурин. — М. : Наука, 1985. - 448 с.

[2] Венков, Б. А. Элементарная теория чисел / Б. А. Венков. — Ленинград ; М. : Объединенное научно-техническое издательство НКТП СССР, 1937. _ 220 с.

[3] Воличенко, И. Б. Многообразие алгебр Ли с тождеством [[Ж1,Ж2,Ж3], , Ж5,Жб]] = 0 над полем характеристики нуль / И. Б. Воличенко // Сибирский математический журнал. — 1984. — Т. 25, №3. - С. 40-54.

[4] Грэхем, Р. Конкретная математика. Основание информатики / Р. Грэхем, Д. Кнут, О. 11игашник. — М. : Мир, 1998. — 703 с.

[5] Жевлаков, К. А. Йордановы алгебры : учеб. пособие для студентов-математиков НГУ / К. А. Жевлаков, А. М. Слинько, И. П. Шестаков, А. И. Ширшов. — Новосибирск, 1976. — 100 с.

[6] Жевлаков, К. А. Кольца близкие к ассоциативным / К. А. Жевлаков, А. М. Слинько, И. П. Шестаков, А. И. Ширшов. — М. : Наука, 1978. — 432 с.

[7] Зайцев, М. В. Асимптотика функций роста кодлины многообразий алгебр Ли / М. В. Зайцев, С. П. Мищенко // Успехи математических наук. — 1999. - Т. 54, №3(327). - С. 161-162.

[8] Зайцев, М. В. О кодлине многообразий линейных алгебр / М. В. Зайцев, С. П. Мищенко // Математические заметки. — 2006. — Т. 79, №4. — С. 553-559.

[9] Зайцев, М. В. Пример многообразия линейных алгебр с дробным полиномиальным ростом / М. В. Зайцев, С. П. Мищенко // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика и механика. — 2008. — №1. — С. 25-31.

[10] Курош, А. Г. Лекции по общей алгебре / А. Г. Курош. — М. : Наука, 1973. _ 400 с.

[11] Кэртис, Ч. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр / Ч. Кэртис, И. Райнер. — М. : Наука, 1969. — 668 с.

[12] Латышев, В. Н. К теореме Регева о тождествах тензорного произведения Р1-алгебр / В. Н. Латышев // Успехи математических наук. — 1972. — Т. 27, №4(166). - С. 213-214.

[13] Мальцев, А. И. Об алгебрах с тождественными определяющими соотношениями / А. И. Мальцев // Математический сборник. — 1950. — Т. 26(68), Л'Ч. - С. 19-33.

[14] Мальцев, А. И. Алгебраические системы / А. И. Мальцев. — М. : Наука, 1970. - 392 с.

[15] Мищенко, С. П. О многообразиях полиномиального роста алгебр Ли над полем характеристики нуль / С. П. Мищенко // Математические заметки. _ 1986. _ т. 40, т. - С. 713-721.

[16] Мищенко, С. П. О многообразиях алгебр Ли промежуточного роста / С. П. Мищенко // Весщ АН БССР. - 1987. - №2. - С. 42-45.

[17] Мищенко, С. П. Рост многообразий алгебр Ли / С. П. Мищенко // Успехи математических наук. — 1990. — Т. 45, №6(276). — С. 25-45.

[18] Мищенко, С. П. Нижние оценки размерностей неприводимых представлений симметрических групп и показателей экспоненты многообразий алгебр Ли / С. П. Мищенко // Математический сборник. — 1996. - Т. 187, Л'Ч. - С. 83-94.

[19] Мищенко, С. П. Многообразия линейных алгебр кодлины один / С. П. Мищенко // Вестник Московского государственного университета. Серия 1. Математика. Механика. — 2010. — №1. — С. 25-30.

[20] Мищенко, С. П. Почти нильпотентные многообразия любой целой экспоненты / С. П. Мищенко, О. В. Шулежко // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. — 2015. — № 2. — С. 53-57.

[21] Мищенко, С. П. О почти нильпотентных многообразиях в классе коммутативных метабелевых алгебр / С. П. Мищенко, О. В. Шулежко // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. — 2015. №3(125). - С. 21-28.

[22] Мищенко, С. П. О многообразиях с тождествами однопорожденной свободной метабелевой алгебры / С. П. Мищенко, А. Б. Верёвкин // Чебы-шевский сборник. — 2016. — Т. 17, №2(58). — С. 21-55.

[23] Мищенко, С. П. Почти нильпотентные многообразия дробной экспоненты существуют / С. П. Мищенко // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. — 2016. — № 3. — С. 42-46.

[24] Мищенко, С. П. Бесконечные периодические слова и почти нильпотентные многообразия / С. П. Мищенко // Вестник Московского государственного университета. Серия 1. Математика. Механика. — 2017. — №4. — С. 62-66.

[25] Петроградский, В. М. О типах сверхэкспоненциального роста тождеств в PI-алгебрах Ли / В. М. Петроградский // Фундаментальная и прикладная математика. - 1995. — Т. 1, №4. - С. 989-1007.

[26] Петроградский, В. М. Рост полинильпотентных многообразий алгебр Ли и быстро растущие целые функции / В. М. Петроградский // Математический сборник. — 1997. — Т. 188, №6. — С. 119-138.

[27] Петроградский, В. М. О численных характеристиках подмногообразий трех многообразий алгебр Ли / В. М. Петроградский // Математический сборник. - 1999. - Т. 190, №6. - С. 111-126.

[28] Попов, А. В. Некоторые экстремальные многообразия линейных алгебр : дис. . . . канд. физ.-мат. наук : 01.01.06. / А. В. Попов. — Ульяновск, 2011. _ go с.

[29] Размыслов, Ю. П. Тождества со следом полных матричных алгебр над полем характеристики нуль / Ю. П. Размыслов // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1974. - Т. 38, №4. - С. 723-756.

[30] Фролова, Ю. Ю. Почти нильпотеитные многообразия алгебр Лейбница / Ю. Ю. Фролова, О. В. Шулежко // Прикладная дискретная математика. _ 2015. - №2(28). - С. 30-36.

[31] Шулежко, О. В. Новые свойства почти нильпотентного многообразия экспоненты два / О. В. Шулежко // Известия Саратовского университета. Новая серия. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 2014. — Т. 14, №3. - С. 316-320.

[32] Шулежко, О. В. О почти нильпотентных многообразиях в различных классах линейных алгебр / О. В. Шулежко // Чебышевский сборник. — 2015. - Т. 16, №1. - С. 67-88.

[33] Albert, A. A. A property of ordered rings / A. A. Albert // Proceedings of the American mathematical society. — 1957. — Vol. 8, №1. — P. 128-129.

[34] Allouche, J. P. Automatic sequences: theory, applications, generalizations / J. P. Allouche, J. Shalit. — Cambridge University Press, 2003. — 588 p.

[35] Altman, E. Balanced sequences and optimal routing / E. Altman, B. Gaujal, A. Hordijk // Journal of the ACM. - 2000. - Vol. 47, №4. - P. 752-775.

[36] Amitsur, S. A. Minimal identities for algebras / S. A. Amitsur, J. Levitzki // Proceedings of the American mathematical society. — 1950. — Vol. 1, №4. P. 449-463.

[37] Amitsur, S. A. On rings with identities / S. A. Amitsur // Journal of the London mathematical society. — 1955. — Vol. 30, №4. — P. 464-470.

[38] Berele, A. Applications of hook Young diagrams to P.I. algebras / A. Berele, A. Regev // Journal of algebra. - 1983. - Vol. 82, №2. - P. 559-567.

[39] Berele, A. Applications of Belov's theorem to the cocharacter sequence of p.i. algebras / A. Berele // Journal of algebra. — 2006. — Vol. 298, №1. — P. 208-214.

[40] Berele, A. Properties of hook Schur functions with applications to p.i. algebras / A. Berele // Advances in applied mathematics. — 2008. — Vol. 41, №1. — P. 52-75.

[41] Bernoulli, J. Recueil pour les astronomes. Tome I / J. Bernoulli. — Berlin, 1771. 284 p.

[42] Berstel, J. On the index of Sturmian words / J. Berstel // Jewels are forever: contributions on theoretical computer science in honor of Arto Salomaa. — 1999. - P. 287-294.

[43] Dehn, M. Uber die Grundlagen der projektiven Geometrie und allgemeine Zahlsysteme / M. Dehn // Mathematische annalen. — 1922. — Vol. 85, №1.

- P. 184-194.

[44] Drensky, V. Relations for the cocharacter sequences of T-ideals / V. Drensky // Contemporary mathematics. - 1992. - Vol. 131.2. - P. 285-300.

[45] Drensky, V. Free algebras and Pi-algebras: graduate course in algebra / V. Drensky. — Singapore : Springer-Verlag, 2000. — 271 p.

[46] Drensky, V. Varieties of metabelian Leibniz algebras / V. Drensky, G. M. P. Cattaneo // Journal of algebra and its applications. — 2002. — Vol. 1, №1. — P. 31-50.

[47] Giambruno, A. On codimension growth of finitely generated associative algebras / A. Giambruno, M. Zaicev // Advances in mathematics. — 1998.

- Vol. 140, №2. - P. 145-155.

[48] Giambruno, A. Exponential codimension growth of PI algebras: an exact estimate / A. Giambruno, M. Zaicev // Advances in mathematics. — 1999. — Vol. 142, №2. - P. 221-243.

[49] Giambruno, A. On the colength of a variety of Lie algebras / A. Giambruno, S. Mishchenko, M. Zaicev // International journal of algebra and computation. _ 1999. _ Vol. o. ^5. _ p. 483-491.

[50] Giambruno, A. Polynomial identities and asymptotic methods / A. Giambruno, M. Zaicev. — Providence, Rhod Island : American mathematical society, 2005. - 352 p.

[51] Giambruno, A. Algebras with intermediate growth of the codimensions / A. Giambruno, S. Mishchenko, M. Zaicev // Advances in applied mathematics. _ 2006. - Vol. 37, №3. - P. 360-377.

[52] Giambruno, A. Codimensions of algebras and growth functions / A. Giambruno, S. Mishchenko, M. Zaicev // Advances of mathematics. — 2008. - Vol. 217, №3. - P. 1027-1052.

[53] Giambruno, A. Degrees of irreducible characters of the symmetric group and exponential growth / A. Giambruno, S. Mishchenko // Proceedings of the American mathematical society. — 2016. — Vol. 144, №3. — P. 943-953.

[54] Giambruno, A. Polynomial codimension growth and the Specht problem / A. Giambruno, S. Mishchenko, A. Valenti, M. Zaicev // Journal of algebra. — 2017. - Vol. 469, №. - P. 421-436.

[55] Hall, M. Projective planes / M. Hall // Transactions of the American mathematical society. - 1943. - Vol. 54, №2. - P. 229-277.

[56] Helgason, S. Sophus Lie, the mathematician / S. Helgason // Proceedings of the Sophus Lie memorial conference. — Oslo, 1992. — P. 3-21.

[57] Jacobson, N. Pi-algebras: an introduction / N. Jacobson. — Berlin, Heidelberg : Springer-Verlag, 1975. — 120 p.

[58] Jordan, P. On an algebraic generalization of the quantum mechanical formalism / P. Jordan, J. v. Neumann, E. Wigner // Annals of mathematics. Second series. - 1934. - Vol. 35, M. - P. 29-64.

[59] Kaplansky, I. Rings with a polynomial identity / I. Kaplansky // Bulletin of the American mathematical society. — 1948. — Vol. 54, №6. — P. 575-580.

[60] Kemer, A. R. T-ideals with power growth of the codimensions are Specht / A. R. Kemer // Siberian mathematical journal. — 1978. — Vol. 19, №1. — P. 37-48.

[61] Kemer, A. R. Ideals of identities of associative algebras / A. R. Kemer. — Providence, Rhode Island : American mathematical society, 1991. — 81 p.

[62] Kieffer, J. C. Sturmian minimal systems associated with the iterates of certain functions on an interval / J. C. Kieffer // Dynamical systems. Lecture notes in mathematics. - 1988. - Vol. 1342. - P. 354-360.

[63] Krakowski, D. The polynomial identities of the Grassmann algebra / D. Krakowski, A. Regev // Transactions of the American mathematical society. _ 1973. _ v0i. isi. _ p. 429-438.

[64] Latyshev, V. N. Complexity of nonmatrix varieties of associative algebras. I / V. N. Latyshev // Algebra and logic. - 1977. - Vol. 16, №2. - P. 98-122.

[65] Lothaire, M. Algebraic combinatorics on words / M. Lothaire. — Cambridge University Press, 2002. 520 p.

[66] Markoff, A. Sur une question de Jean Bernoulli / A. Markoff // Mathematische annalen. - 1881. - Vol. 19, M. - P. 27-36.

[67] Mishchenko, S. Asymptotic behaviour of colength of varieties of Lie algebras / S. Mishchenko, M. Zaicev // Serdica mathematical journal. — 2000. — Vol. 26, №2. P. 145-154.

[68] Mishchenko, S. On the growth of varieties of algebras / S. Mishchenko, A. Valenti // Contemporary mathematics. - 2009. - Vol. 499. - P. 229-243.

[69] Mishchenko, S. Varieties with at most quadratic growth / S. Mishchenko, A. Valenti // Israel journal of mathematics. - 2010. - Vol. 178, №1. - P. 209228.

[70] Mishchenko, S. An almost nilpotent variety of exponent 2 / S. Mishchenko, A. Valenti // Israel journal of mathematics. — 2014. — Vol. 199, №1. — P. 241-257.

[71] Mishchenko, S. On almost nilpotent varieties of subexponential growth / S. Mishchenko, A. Valenti // Journal of algebra. - 2015. - Vol. 423, №1. - P. 902-915.

[72] Mishchenko, S. P. An uncountable family of almost nilpotent varieties of polynomial growth / S. P. Mishchenko, A. Valenti // Journal of pure and applied algebra. - 2018. - Vol. 222, №7. - P. 1758-1764.

[73] Morse, M. Symbolic dynamics / M. Morse, G. A. Hedlund // American journal of mathematics. - 1938. - Vol. 60, №4. - P. 815-866.

[74] Morse, M. Symbolic dynamics II. Sturmian trajectories / M. Morse, G. A. Hedlund // American journal of mathematics. — 1940. — Vol. 62, №1. — P. 1 42.

[75] Petrogradsky, V. M. Enumeration of algebras close to absolutely free algebras and binary trees / V. M. Petrogradsky // Journal of algebra. — 2005. — Vol. 290, №2. - P. 337-371.

[76] Regev, A. Existence of identities in A 0 В / A. Regev // Israel journal of mathematics. - 1972. - Vol. 11, №2. - P. 131-152.

[77] Rowen, L. H. Polynomial identities in ring theory / L. H. Rowen. — New York : Academic Press, 1980. — 365 p.

[78] Wagner, W. Uber die Grundlagen der projektiven Geometrie und allgemeine Zahlensysteme / W. Wagner // Mathematische annalen. — 1937. — Vol. 113, ЛЧ. - P. 528-567.

[79] Zaitsev, M. V. The polynomial growth of colength of varieties of Lie algebras / M. V. Zaitsev, S. P. Mishchenko // Algebra and logic. - 1999. - Vol. 38, Л'°2. - P. 84-92.

Работы автора по теме диссертации

[80] Мищенко, С. П. О многообразии всех коммутативных алгебр с тождеством метабелевости / С. П. Мищенко, Н. П. Панов // Материалы XIII Международной конференции "Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения", посвященной восьмидесятипятилетию со дня рождения профессора Сергея Сергеевича Рышкова. — Тула, 2015. - С. 166-168.

[81] Мищенко, С. П. О многообразиях коммутативных метабелевых алгебр / С. П. Мищенко, Н. П. Панов, Ю. Ю. Фролова, Ч. Т. К. Нгуен // Фундаментальная и прикладная математика. — 2016. — Т. 21, №1. — С. 165-180.

[82] Мищенко, С. П. Слова Штурма и несчетное множество почти нильпотент-ных многообразий квадратичного роста / С. П. Мищенко, Н. П. Панов // Вестник Московского университета. Сер. 1, Математика. Механика. — 2017. - т. - С. 55-59.

[83] Мищенко, С. П. Слова Штурма и почти нильпотентные многообразия линейных алгебр / С. П. Мищенко, Н. П. Панов // Тезисы докладов Международной конференции "Мальцевские чтения". — Новосибирск, 2017. — С. 124.

[84] Панов, Н. П. О многообразии всех антикоммутативных метабелевых алгебр / Н. П. Панов // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам : межвуз. сб. науч. тр. — Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2016. — Вып. 8 : Материалы XIV Между пир. конф. "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения", посвящ. 70-летию со дня рождения Г. И. Архипова и С. М. Воронина (Саратов, 12-15 сентября 2016 г.) — С. 74-76.

[85] Панов, Н. П. О почти нильпотентных многообразиях с целой экспонентой / Н. П. Панов // Известия Саратовского университета. Новая серия. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 2017. — Т. 17, №3. — С. 331-343.

[86] Панов, Н. П. Новые свойства почти нильпотентных многообразий с целыми экспонентами / Н. П. Панов // Чебышевский сборник. — 2017. — Т. 18, №4. - С. 305-324.

[87] Панов, Н. П. О почти нильпотентных многообразиях линейных алгебр с целыми экспонентами [Электронный ресурс] / Н. П. Панов // Алгебра и теория алгоритмов : Всероссийская конференция, посвященная 100-летию факультета математики и компьютерных наук Ивановского государственного университета : сборник материалов. — Электрон, дан. — Иваново : Иван. гос. ун-т, 2018. — 1 электрон, опт. диск (DVD-ROM) ; 12 см. — Систем. требования: программа чтения файлов в формате PDF 1.4. — С. 101-102.

[88] Панов, Н. П. О почти нильпотентных многообразиях линейных алгебр с целочисленными PI-экспонентами / Н. П. Панов // Международная алгебраическая конференция, посвященная 110-летию со дня рождения профессора А. Г. Куроша. Тезисы докладов. — М. : Издательство МГУ, 2018. - С. 155-158.

[89] Панов, Н. П. О существовании почти нильпотентных многообразий ком-

мутативных метабелевых алгебр с нецелыми экспонентами / Н. П. Панов // Материалы XV Международной конференции "Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения", посвященной столетию со дня рождения доктора физико-математических наук, профессора Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова Коробова Николая Михайловича. — Тула : Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2018. — С. 153-154.

[90] Шулежко, О. В. О почти нильпотентных многообразиях антикоммутативных метабелевых алгебр / О. В. Шулежко, Н. П. Панов // Прикладная дискретная математика. — 2017. — №38. — С. 35-48.

[91] Panov, N. On the variety of all commutative algebras with metabelian identity / N. Panov // Proceedings of International Russian-Chinese conference "On actual problems of applied mathematics and physics" and school for young scientists "Nonlocal boundary problems and modern problems of algebra, analysis and informatics". — Elbrus, Kabardino-Balkarian republic, 2015. — P. 156-159.