Некоторые особенности динамики быстрых заряженных частиц в ориентированных кристаллах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Дроник Виталий Игоревич

• Дроник Виталий Игоревич
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Дроник Виталий Игоревич

Введение

Глава 1 Описание движения быстрых заряженных частиц в кристалле

1.1 Эффект каналирования. Непрерывный потенциал атомной цепочки

1.2 Явление динамического хаоса

1.3 Квантоввю эффекты в каналировании

1.4 Классификация стационарных состояний каналированного позитрона

и выбор начальной волновой функции

1.5 Численное интегрирование нестационарного уравнения Шрёдингера

Выводы

Глава 2 Проявления квантового хаоса в каналировании позитронов

2.1 Проблема квантового хаоса

2.2 Распределение Берри-Робника-Богомольного

2.3 Области регулярной динамики и их вклад в среднюю плотность уровней

2.4 Вклад областей регулярной динамики в плотность уровней для

позитронов с энергиями 20 и 40 ГэВ

Выводы

Глава 3 Туннелирование, сопровождаемое хаосом, и

его влияние на статистику уровней

3.1 Взаимодействие уровней энергии

3.2 Амплитуды переходов для каналированных позитронов

3.3 Туннелирование, сопровождаемое хаосом

3.4 Распределение Подольского-Нариманова

3.5 Анализ статистики межуровневых расстояний для канал ированных

позитронов

Выводы

Глава 4 Аномальная диффузия электронов высокой

энергии в кристалле кремния

4.1 Явление аномальной диффузии

4.2 Параметры моделирования

4.3 Обсуждение результатов

Выводы

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые особенности динамики быстрых заряженных частиц в ориентированных кристаллах»

Введение

Актуальность темы исследования. Характер движения быстрой заряженной частицы в ориентированном монокристалле может существенно, качественно отличаться от характера движения в аморфном веществе, причиной чему являются корреляции между последовательными столкновениями частицы с атомами кристалла. Одним из ярких проявлений таких корреляций оказывается явление каналирования, при котором заряженная частица, движущаяся под достаточно малым углом к одной из плотно упакованных атомами кристаллографических осей или плоскостей, локализуется в канале, образованном такими атомными цепочками или плоскостями.

Каналирование и родственные ему явления, в которых проявляется зависимость эффекта от ориентации кристалла относительно пучка заряженных частиц, находят разнообразные практические применения: управление параметрами пучков частиц [1, 2, 3], генерация электромагнитного излучения [4, 5], анализ структуры вещества [6, 7, 8, 9], технология ионной имплантации [10] и некоторые другие. Этим и обусловлено интенсивное теоретическое и экспериментальное исследование данного круга явлений во многих институтах и лабораториях по всему миру.

Важную роль в описании каналирования играет приближение непрерывного потенциала, то есть потенциала атомов, усредненного вдоль оси цепочки. В таком потенциале сохраняется продольная (параллельная оси цепочки) компонента импульса частицы, и задача о движении частицы в кристалле сводится к двумерной.

Двумерный характер движения в системе непрерывных потенциалов цепочек делает такое движение удобным для исследования нелинейной динамики физических систем — обширной области исследований, также интенсивно развивающейся в последние десятилетия [11, 12, 13, 14, 15, 16].

Применительно к эффекту каналирования, знание характера движения частицы (регулярное либо хаотическое) важно при вычислении характеристик электромагнитного излучения, генерируемого каналированной частицей [17].

Отдельного упоминания заслуживает проблематика квантового хаоса, под которой понимается исследование особенностей поведения квантовых систем, демонстрирующих хаотическую динамику в классическом пределе [12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 21].

Наконец, сравнительная простота двумерного случая делает движение в режиме каналирования удобным модельным объектом для отработки численных методов интегрирования уравнения Шредингера, что имеет большую методическую ценность [22, 23].

К описанному кругу актуальных проблем обращается и настоящая диссертационная работа, посвященная исследованию различных аспектов классической и квантовой динамики быстрых заряженных частиц в ориентированных кристаллах.

Степень разработанности темы. Впервые явление каналирования было обнаружено в работе М. Т. Робинсона и О. С. Оуэна [24] 1963 года, в которой было выполнено численное моделирование движения положительно заряженного иона сквозь монокристалл меди. При движении иона под достаточно малым углом к одной из плотно упакованных атомами кристаллографических осей или плоскостей наблюдалось аномально глубокое проникновение иона в кристалл. Теория каналирования была построена в 1965 году Й. Линдхардом [25, 26], показавшим, что наличие корреляций между последовательными столкновениями частицы с атомами кристалла, имеющих место при достаточно малом угле падения частицы на атомную цепочку, приводит к когерентному взаимодействию частицы с атомами цепочки. Следствием этого является справедливость приближения непрерывного потенциала цепочки.

Интенсивные теоретические и экспериментальные исследования

каналирования и родственных явлений продолжаются во многих институтах и лабораториях мира, что нашло отражение в многочисленных обзорах и монографиях, например [2, 27, 28, 29, 30, 31, 32].

Явление динамического хаоса в каналировании впервые рассматривалось в работах [33, 34, 35].

Относительно проблематики квантового хаоса, следует отметить, что чаще всего в квантовой механике при исследовании хаотического поведения рассматриваются системы с абсолютно жесткими стенками различной формы и равной нулю потенциальной энергией частицы внутри (так называемые бильярды). Потенциальные ямы с плавным рельефом рассматриваются сравнительно редко, например, в работах [36, 37] исследуются квадрупольные осцилляции поверхности атомного ядра, описываемые эффективным двумерным потенциалом. Таким образом, выполненные в настоящей диссертации исследования квантового хаоса при каналировании расширяют класс систем с плавным потенциальным рельефом, для которых исследуются проявления квантового хаоса.

Цель работы. Целью настоящей работы является исследование проявлений квантового хаоса в аксиальном каналировании, а также исследование аномальной диффузии в быстрых заряженных частиц в кристалле.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1) численное интегрирование уравнения движения каналированных позитронов в поперечной плоскости и построение сечений Пуанкаре;

2) развитие подхода к оценке вкладов областей регулярной и хаотической динамики в фазовом пространстве каналированной частицы в среднюю квазиклассическую плотность состояний;

3) численное интегрирование двумерного уравнения Шредингера и нахождение с его помощью собственных функций и собственных значений гамильтониана поперечного движения каналированных позитронов высоких

энергий, классификация найденных стационарных состояний дискретного спектра по типам симметрии;

4) анализ с использованием полученных данных статистических свойств спектра уровней энергии поперечного движения каналированных позитронов и сравнение с предсказаниями теории квантового хаоса;

5) моделирование надбарьерного движения частиц в кристалле и исследование с его помощью характеристик диффузии таких частиц в поперечной плоскости

Научная новизна работы. Впервые разработан метод оценки вкладов областей регулярной и хаотической динамики в фазовом пространстве в среднюю квазиклассическую плотность состояний и выполнена оценка этих вкладов для случая каналированных позитронов. Впервые характер спектра уровней энергии поперечного движения каналированной частицы интерпретирован как проявление туннелирования, сопровождаемого хаосом. Впервые предсказание теории Подольского-Нариманова проверено применительно к явлению каналирования. Впервые исследована зависимость показателя аномальной диффузии надбарьерных частиц в кристалле от величины энергии поперечного движения.

Теоретическая значимость работы. Результаты диссертации расширяют круг физических систем, для которых проверялась справедливость предсказаний теории квантового хаоса. Изучено влияние явления туннелирования, сопровождаемого хаосом, на статистику межуровневых расстояний в рассмотренной физической системе. Подтверждено предположение о возможности аномальной диффузии надбарьерных частиц в кристалле. Выявлена неоднозначность, связанная с определением количественной характеристики аномальной диффузии в предшествующих работах.

Практическая значимость работы. Рассматриваемая двумерная система является удобным объектом для отработки численных методов

интегрирования уравнения Шрёдингера. Результаты диссертации могут быть использованы при планировании новых экспериментов, исследующих динамику прохождения заряженных частиц высоких энергий через ориентированные кристаллы. Полученные в работе результаты были внедрены в образовательный процесс кафедры теоретической и экспериментальной физики федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Белгородский государственный национальный исследовательский университет», соответствующий акт внедрения получен 23.01.2025 г.

Методология и методы исследования. В основе проведенных исследований лежат методы компьютерного моделирования физических явлений, в частности, алгоритм Верле в скоростной форме интегрирования классического уравнения движения, спектральный метод в сочетании с методом расщепления для поиска уровней энергии и волновых функций стационарных состояний квантовой системы, а также методы статистического анализа результатов, включающие критерий х2.

Положения, выносимые на защиту:

1. В верхней области потенциальной ямы, образованной отталкивающими непрерывными потенциалами четырех соседних атомных цепочек [100] кристалла кремния, существует интервал энергий поперечного движения позитронов, в пределах которого относительный вклад областей регулярной динамики в квазиклассическую среднюю плотность уровней энергии приблизительно постоянен.

2. Величина взаимодействия близких уровней энергии поперечного движения каналированных позитронов зависит от глубины их нахождения в потенциальной яме. Характер этой зависимости согласуется с гипотезой о механизме взаимодействия, известном как туннелирование, сопровождаемое хаосом, действующим в верхней части потенциальной ямы.

3. Опирающееся на представление о туннелировании, сопровождаемом

хаосом, распределение Подольского-Нариманова описывает статистику межуровневых расстояний в рассматриваемой системе лучше, нежели распределение Берри-Робника-Богомольного, не учитывающее данный эффект.

4. Качественно подтверждается аномальный характер диффузии в поперечной плоскости надбарьерных частиц в кристалле. Показано, что количественная характеристика аномальной диффузии, извлекаемая из результатов моделирования, нуждается в уточнении перед использованием в дальнейших приложениях

Степень достоверности полученных результатов обеспечивается использованием хорошо апробированных методов классической и квантовой механики, построенных на известных, проверяемых фактах, включая методы численного интегрирования нестационарного уравнения Шредингера. Полученные результаты качественно согласуются с известными результатами в тех предельных случаях, исследование которых проводилось ранее другими авторами. При выполнении работы были использованы современные методы и программное обеспечение для обработки информации.

Апробация результатов работы и публикации.

Материалы диссертации докладывались на следующих российских и международных научных конференциях:

1. 50-я Международная Тулиновская конференция по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами: «Расщепление уровней энергии поперечного движения позитронов при каналировании в направлении [100] кристалла кремния» (Москва, 25 — 27 мая 2021 г.);

2. 51-я Международная Тулиновская конференция по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами: «Влияние квантового туннелирования на спектр энергии поперечного движения каналированных позитронов в кристалле кремния» (Москва, 24 — 26 мая 2022 г.);

3. Partial Differential Equations and Related Topics PDERT-22: «Channeling

in crystals and quantum chaos» (Белгород, Россия, 15 — 22 июля 2022 г.);

4. 52-я Международная Тулиновская конференция по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами: «Об аномальной диффузии быстрых электронов в кристалле кремния» (Москва, 30 мая — 1 июня 2023 г.)

5. 53-я Международная Тулиновская конференция по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами «Распределение быстрых надбарьерных электронов в кристалле кремния в условиях аномальной диффузии» (Москва, 28 — 30 мая 2024 г.); и на Международных симпозиумах:

6. Излучение релятивистских электронов в периодических структурах (Radiation from Relativistic Electrons in Periodic Structures) RREPS-19: «Regular and Chaotic Motion Domains in the Channeling Electron's Phase Space and Mean Level Density for Its Transverse Motion Energy» (Белгород, Россия, 16 — 20 сентября 2019 г.);

7. Излучение релятивистских электронов в периодических структурах (Radiation from Relativistic Electrons in Periodic Structures) RREPS-23: «Dynamical chaos and level splitting under the channeling of the high energy positrons in [100] direction of the silicon crystal»: (Цахкадзор, Армения, 18 — 22 сентября 2023 г.).

Результаты, полученные в диссертации опубликованы в 7 печатных работах [38, 39, 40, 41, 42, 43, 44], в их числе три статьи в отечественном рецензируемом журнале из перечня ВАК РФ, чья переводная версия индексируется базами данных Web of Science и Scopus, и две статьи в зарубежном издании, индексируемом базами данных Web of Science и Scopus.

Личный вклад соискателя. Соискателем (1) разработан пакет программ, вычисляющих собственные значения и собственные функции гамильтониана поперечного движения каналированной частицы, пакет программ, вычисляющих относительный вклад областей регулярной динамики в квазиклассическую среднюю плотность уровней энергии поперечного

движения каналированной частицы, а также пакет программ, моделирующих надбарьерное движение частиц в кристалле для исследования аномальной диффузии, (2) найдены наборы уровней энергии поперечного движения каналированных в направлении [100] кристалла кремния позитронов и соответствующие им волновые функции стационарных состояний и (3) выполнен статистический анализ массивов межуровневых расстояний.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации (включая рисунки и список литературы) составляет 110 страниц. Диссертация содержит 42 рисунка, 6 таблиц и список литературы — 95 наименований.

Автор считает своим приятным долгом выразить искреннюю благодарность научному руководителю В. В. Сыщенко за всестороннюю помощь и поддержку.

Глава 1 Описание движения быстрых заряженных частиц в

кристалле

1.1 Эффект каналирования. Непрерывный потенциал атомной цепочки

Эффект каналирования впервые был обнаружен М. Т. Робинсоном и О. С. Оуэном в 1963 году. Для объяснения экспоненциальных «хвостов» в экспериментально наблюдаемых распределениях пробегов ионов в кристалле, выходящих за рамки стандартных теорий проникновения ионов, ими было проведено компьютерное моделирование процесса прохождения тяжёлых ионов через монокристалл [24]. Было показано, что при попадании в кристалл под малыми углами к осям атомных цепочек положительно заряженные ионы могут аномально глубоко проникать в кристалл, двигаясь при этом в каналах, образованных атомными цепочками (Рисунок 1.1). Данное явление, названное каналированием, затем было экспериментально подтверждено измерениями глубины проникновения ионов в монокристаллический вольфрам [45].

Рисунок 1.1 - Схематическое изображение столкновения ионов с атомами в кристалле [27]. Ионы, падающие под малым углом к атомной плоскости (или атомной цепочке), локализуются внутри канала

Теория каналирования была развита в работах Й. Линдхарда. В 1965 году он показал [25, 26], что наличие корреляций между последовательными

столкновениями частицы с атомами решетки приводит к тому, что движение в совокупном потенциале атомов, составляющих цепочку, можно приближенно описать как движение в так называемом непрерывном потенциале цепочки, то есть в потенциале атомов, усредненном вдоль оси цепочки. В таком потенциале сохраняется проекция импульса частицы на ось цепочки рц :

pi = const, (1.1)

Таким образом, задача о движении частицы в непрерывном потенциале цепочки сводится к двумерной задаче движения в поперечной плоскости; финитное движение в этом случае носит название аксиального каналирования. Аналогичным образом вводятся понятия непрерывного потенциала атомной плоскости и плоскостного каналирования в кристалле.

Выбор потенциала отдельного атома кристалла в виде экранированного потенциала Кулона, так что потенциальная энергия взаимодействия электрона с атомом будет равна

U0(r) = Z^e e-|r|/R , (1.2)

I r |

где Z | e | — заряд ядра, R — радиус атома в модели Томаса-Ферми [46], приводит к следующему выражению для непрерывного потенциала атомной цепочки с периодом az (здесь и далее r = (x,y) всюду будет обозначать радиус-вектор частицы в поперечной плоскости, то есть в плоскости, перпендикулярной оси цепочки):

U.(r) = ^Ко (R) , (1.3)

где K0(y) — функция Макдональда (модифицированная функции Бесселя второго рода [47]), экспоненциально убывающая при больших значениях аргумента (на больших расстояниях от цепочки) и имеющая логарифмическую асимптотику на малых расстояниях (Рисунок 1.2). Линдхардом [25] для упрощения вычислений была предложена аппроксимация непрерывного потенциала отдельной атомной цепочки более простой

функцией вида

1 / 3Р2 иь(г) = - и01п 1 + 3Я

2 \ г

2

и =

2Ze|e|

а

(1.4)

г/К

Рисунок 1.2 — Непрерывный потенциал атомной цепочки (1.3) (сплошная линия), его асимптотики (тонкие штриховые линии) и подгонка, учитывающая конечность потенциала в нуле вследствие теплового разброса

положений атомов (жирный пунктир)

Величина потенциала, определяемого выражением (1.3) или (1.4), стремится к бесконечности по мере приближения к оси цепочки. Однако, вследствие тепловых колебаний положения атомов всегда имеют некоторое отклонение от оси цепочки, поэтому даже при г = 0 непрерывный потенциал имеет конечную величину (Рисунок 1.2, пунктирная линия). Учесть этот эффект можно простой модификацией [29] потенциала Линдхарда (1.4):

вЯ2 \

и(1)(г) = ±и 1п ^1 +

(1.5)

г2 + аЯ2) '

где и , а и в - константы, которые определяются из условия наилучшей аппроксимации реального потенциала цепочки функцией вида (1.5). Значения этих констант для различных кристаллов приведены в таблице 1.1. Верхний индекс

и(1)

указывает на то, что формула (1.5) описывает потенциальную энергию частицы в поле уединенной атомной цепочки, без учета влияния

Таблица 1.1 - Параметры подгоночного потенциала атомной цепочки (1.5) при

Т = 293 К [29]

Элемент Я, А Ось их, эВ в а

& 0.194 (111) 58,8 2,0 0,37

& 0.194 (110) 60,0 3,5 0,37

& 0.194 (100) 66,6 1,5 0,48

С 0.258 (110) 34,0 2,5 0,048

С 0.258 (100) 33,6 0,95 0,072

Се 0.148 (111) 337 1,0 1,32

W 0.112 (111) 419 3,6 0,42

параллельных ей соседних цепочек, а знаки «плюс» и «минус» соответствуют отталкивающему и притягивающему характеру взаимодействия, соответственно, позитрона и электрона с непрерывным потенциалом цепочки. В дальнейшем мы будем использовать именно эту оценку непрерывного потенциала.

Уравнение движения релятивистской частицы может быть записано в виде [29, 48, 49]

¿V с2 / 1 , ,

Ж = Е - С2 ^ * Р>) ' (16)

где энергия релятивистской частицы Е = тс2/ \/1 — V2/с2. В непрерывном потенциале действующая на частицу сила направлена в поперечной плоскости, поэтому, если частица влетает в кристалл под малым углом ф ^ 1 к оси цепочки, так что

V,,« с, (1.7)

то в уравнении (1.6) для поперечных компонент можно пренебречь вторым слагаемым, и тогда

с2 с2 ди

—— Р =---. (1.8)

¿г Е Е д г 1 ;

Для двумерного уравнения движения (1.8) существует интеграл движения —

энергия поперечного движения [2, 29]

Е v2

Е± = E ^ + U(x,y). (1.9)

c2 2

Нетрудно видеть, что уравнения (1.8)-(1.9) совпадают с аналогичными уравнениями для двумерного движения нерелятивистской частицы [50] с точностью до замены

E

m ^ , (1.10)

c2

причем E « Ец = yjm2c4 + p^2 = const.

Энергию поперечного движения (1.9) бывает удобно выразить через величины, характеризующие движение частицы в момент влета в кристалл. Угол влета п отношению к оси цепочки составит с учетом (1.7) ф = (0)|/c, где скорость поперечного движения относится к моменту влета, и тогда

Е± = Еф2 + U(xo,yo), (1.11)

где x0 и y0 — координаты точки влета.

Аксиальному каналированию электрона будет соответствовать финитное движение в потенциальной яме, образованной непрерывным потенциалом атомной цепочки (Рисунок 1.3), то есть условием каналирования будет

Е± < 0.

Из (1.11) видно, что условие каналирования будет выполняться для углов падения на цепочку ф, меньших некоторого угла:

I I 2итах /л л п\

Ф<Фе = ^ , (1.12)

где итах — глубина потенциальной ямы, в случае уединенной цепочки равная итах = |и(1)(0)|. Величина носит название критического угла аксиального каналирования.

В данной работе рассматривается динамика частиц, входящих в кристалл кремния под углами, близкими к направлению [100].

Рисунок 1.3 - Слева: Траектория электрона в непрерывном потенциале уединенной атомной цепочки (то есть без учета влияния соседних атомных цепочек кристалла), типичная для движения частицы в центральном поле (Рисунок 9 в [50]). Тонкая окружность соответствует условию Е± = и(1) (г),

жирные линии — условию Е± = Ueff (г), учитывающему наличие центробежного барьера. Справа: соответствующее этой траектории сечение

Пуанкаре плоскостью у = 0

Кристаллическая решётка кремния кубическая гранецентрированная, атомные цепочки образуют в плоскости (100) квадратную решетку с периодом а = аг/2\[2 ~ 1.92 А, где аг = 5.431 А — период кристаллической решётки кристалла кремния. Наличие соседних атомных цепочек качественно изменяет характер движения электрона в канале. С учётом вклада восьми соседних атомных цепочек, потенциальная энергия каналированного электрона приобретает следующий вид:

11

и(х, у) = ^ ^ и(1)(х - га, у - За). (1.13)

¿=-1 з=-1

Такой потенциал уже не симметричен относительно оси цепочки (Рисунок 1.4).

X [Ангстрем] у [Ангстрем] х [Ангстрем]

Рисунок 1.4 - Потенциальная энергия электрона в поле непрерывной атомной цепочки [100] кристалла кремния с учетом влияния ее восьми ближайших

соседей (1.13)

Эффект каналирования существует как для отрицательно, так и для положительно заряженных частиц. Для позитронов непрерывный потенциал цепочки будет отталкивающим, и между четырьмя соседними цепочками [100] образуется небольшая потенциальная ямка (Рисунок 1.5). Потенциальная энергия позитрона в поле четырех ближайших атомных цепочек будет равна

и(х, у)=и(1) (х - 2, у - а)+и(1) (х - а,у+а) + (1.14) +и(1) (х+а, у - а)+и(1) (х+а, у+а) - 7,9539 эв,

где константа добавлена, чтобы полученить нулевое значение потенциала в центре ямы. Как и (1.13), такой потенциал не обладает осевой симметрией (Рисунок 1.5), но обладает симметрией квадрата, описываемой группой С4у [46].

и(х,у) [эВ]

у [Ангстрем] х [Днгстрем] х [Ангстрем]

Рисунок 1.5 - Потенциальная энергия позитрона в поле четырех соседних непрерывных атомных цепочек [100] кристалла кремния (1.14)

1.2 Явление динамического хаоса

Задача о движении быстрой частицы в кристалле представляет собой хороший пример, демонстрирующий явление динамического хаоса. Может показаться, что поскольку создаваемое кристаллом поле является регулярным (периодическим), то и движение в нем должно иметь регулярный (периодический или квазипериодический) характер. На самом деле, однако, это не так, и регулярность либо хаотичность движения связана с интегрируемостью либо неинтегрируемостью уравнения движения, соответственно [2, 11, 12, 14, 15, 29]. В свою очередь, интегрируемость уравнения движения тесно связана с количеством интегралов движения: оно должно быть равно числу степеней свободы системы. Особенно наглядным и простым для исследования является двумерный случай, к которому относится и рассматриваемая в настоящей работе задача о поперечном движении частицы в системе непрерывных потенциалов параллельных атомных цепочек

кристалла.

Напомним, что при движении в центральном поле [50], происходящем в плоскости, частица обладает двумя интегралами движения: энергией

Е = т(х 2 + у 2) + и (х, у) = т(г2 + Гф 2) + и (г), (1.15)

2 2

и моментом импульса:

С\

М = тг ф ,

где г и ф — полярные координаты частицы. Наличие двух интегралов движения позволяет разделить переменные и проинтегрировать уравнение движения в квадратурах. В общем же случае, когда потенциал и(х,у) не обладает центральной симметрией, оказывается, что существование, наряду с энергией, еще одного интеграла движения — достаточно редкая ситуация. Выяснить наличие либо отсутствие такого интеграла движения позволяет метод сечений Пуанкаре. Допустим, наряду с энергией Е = Е(х,рх,у,ру) существует еще один интеграл движения 3 = J(х,рх,у,ру). Тогда точки пересечения фазовой траектории с некоторой плоскостью (для определенности — с плоскостью у = 0) будут удовлетворять уравнению

х = х(рх; Е, 3),

представляющему собой уравнение некоторой кривой в плоскости (х,рх). Иными словами, если система интегрируема, точки пересечения фазовой траектории с секущей плоскостью будут лежать на некоторой плавной кривой, в противном случае — будут хаотично разбросаны по плоскости.

Движение в аксиально-симметричном поле уединенной атомной цепочки полностью аналогично движению в центральном поле (с точностью до замены (1.10)): сохранение проекции момента импульса на ось цепочки приводит к интегрируемости уравнения движения и, как следствие, к регулярному характеру динамики каналированного электрона (сечение Пуанкаре для соответствующей траектории представлено на рисунке 1.3 справа).

Влияние соседних атомных цепочек на потенциал центральной в (1.13) приводит к нарушению аксиальной симметрии потенциальной энергии каналированного электрона, наиболее значительному в верхней части потенциальной ямы (Рисунок 1.4). Как следствие, в фазовом пространстве каналированного электрона наряду с областями регулярной динамики появляется область хаотической динамики, что легко прослеживается на сечении Пуанкаре (Рисунок 1.6).

Е = 10 ГэВ, Е- -12.0883 эВ

„ *И)-' I Т-

х, = 0.1, у, = 0с I, = 0.7555, V = Ос х. = 0.084, V , = Ос 2--1-1-'-1-1-1-1-1-

I XI 1 XI 1 XI

Рисунок 1.6 - Регулярные и хаотические траектории электрона в поле (1.13) и

соответствующие им сечения Пуанкаре плоскостью у = 0. Потенциал центральной цепочки в (1.13) обладает аксиальной симметрией. Возмущение, вносимое со стороны соседних цепочек достаточно слабое, поэтому вблизи центральной цепочки приблизительно сохраняется орбитальный момент импульса электрона. Это приводит к наличию значительных областей

регулярного движения

Движение каналированного позитрона в потенциале (1.14), также не обладающем аксиальной симметрией, тоже может быть как регулярным, так и хаотическим. Структура областей регулярной динамики в этом случае будет подробно обсуждаться в следующей главе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Дроник Виталий Игоревич, 2025 год

Список литературы

1. Бирюков В.М. Управление пучками заряженных частиц высоких энергий при помощи изогнутых монокристаллов [Текст] /В.М. Бирюков, В.И. Котов, Ю.А. Чесноков // УФН. — 1994. — Т. 164, № 10. — C. 1017-1140.

2. Ахиезер А.И. Динамика заряженных частиц высоких энергий в прямых и изогнутых кристаллах [Текст] / А.И. Ахиезер, Н.Ф. Шульга, В.И. Трутень, А.А. Гриненко, В.В. Сыщенко // УФН. — 1995. — Т. 165, № 10. — C. 1165-1192.

3. Taratin A.M. Deflection of high-energy charged particles in quasi-channeling states in bent crystals [Текст] / A.M. Taratin, S.A. Vorobiev // Nucl. Instrum. Methods in Phys. Res. B. — 1987. — V. 26. — P. 512-521.

4. Кумахов М.А. Излучение каналированных частиц в кристаллах [Текст] / М.А. Кумахов — М.: Энергоатомиздат, 1986. — 160 c.

5. Sushko G.B. Intensive gamma-ray light sources based on oriented single crystals [Текст] / G.B. Sushko, A.V. Korol, A.V. Solov'yov // arXiv preprint arXiv:2401.10596 — 2024.

6. Borovik A.S. Proton-channeling investigation of La2CuO4 [Текст] / A.S. Borovik, A.A. Epiphanov, V.S. Malyshevsky, V.I. Makarov // Physics Letters A. — 1992. — V. 161, Iss. 6. — P. 523-525.

7. Borovik A.S. Ion channeling investigations of the oxygen displacements in La2-xSrxCuO4_£ and Nd2CuO4-(j [Текст] / A.S. Borovik, E.A. Kovaleva, V.S. Malyshevsky, V.I. Makarov // Physics Letters A. — 1992. — V. 171, Iss. 5-6. — P. 397-402.

8. Borovik A.S. Lattice location of Li in Nd2CuO4 single crystal by the channeling technique [Текст] / A.S. Borovik, A.A. Epiphanov, V.S. Malyshevsky, V.I. Makarov // Nucl. Instrum. Methods Phys. Res. B. — 1993. — V. 73, Iss. 4. — P. 512-516.

9. Боровик А.С. Исследование структурных особенностей кислородной подрешетки в кристалле YBa2Cu307_x методом каналирования [Текст] / А.С. Боровик, В.С. Малышевский, С.В. Рахимов // Физика твердого тела. — 2005. — Т. 47, № 9. — С. 1552-1558.

10. Вавилов В.С. Ионная имплантация примесей в монокристаллы кремния: эффективность метода и радиационные нарушения [Текст] / В.С. Вавилов, А.Р. Челядинский // УФН. — 1995. — Т. 165, № 3. — С. 347-358.

11. Лихтенберг А. Регулярная и стохастическая динамика [Текст] / А. Лихтенберг, М. Либерман — М.: Мир, 1984. — 528 с.

12. Шустер Г. Детерминированный хаос: Введение [Текст] / Г. Шустер — М.: Мир, 1988. — 240 с.

13. Schuster H.G. Deterministic Chaos. An Introduction. Fourth, Revised and Enlarged Edition [Текст] / H.G. Schuster, W. Just — Weinheim: WILEY-VCH, 2005. — 312 p.

14. Gutzwiller M.C. Chaos in Classical and Quantum Mechanics [Текст] / M.C. Gutzwiller — New York: Springer New York, 1990. — 432 p.

15. Райхл Л.Е. Переход к хаосу в консервативных классических и квантовых системах [Текст] / Л.Е. Райхл — М.-Ижевск: РХД, 2008. — 756 c.

16. Bolotin Y. Chaos: Concepts, Control and Constructive Use [Текст] / Y. Bolotin, A. Tur, V. Yanovsky : Springer, 2017. — 281 p.

17. Borovik A.S. The peculiarities of the regular and quasiregular motion of channeled electrons [Текст] / A.S. Borovik, E.A. Kovaleva, V.S. Malyshevski // Radiation Effects and Defects in Solids. — 1993. — V. 125, No. 1-3. — P. 119-128.

18. Bohigas O. Chaotic Motion and Random Matrix Theories [Текст] / O. Bohigas, M.-J. Giannoni // Lecture Notes in Physics. — 1984. — V. 209. — P. 1-99.

19. Berry M.V. Quantum chaology (The Bakerian Lecture) [Текст] / M.V. Berry // Proceedings of the Royal Society of London. Series A. — 1987. — V.

413. — P. 183-198.

20. Штокман Х.Ю. Квантовый хаос: введение [Текст] / Х.Ю. Штокман — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 376 с.

21. Болотин Ю.Л. Энергетические спектры: от героического прошлого к хаотическому настоящему [Текст] / Ю.Л. Болотин, В.А. Черкасский // Проблемы современной физики: Сб. науч. тр. — Харьков: ННЦ ХФТИ, 2009. — С. 133-173.

22. Калашников Н.П. Явление каналирования как 1D- и 2D- модели атома в сопутствующей системе координат [Текст] / Н.П. Калашников, А.С. Ольчак // Поверхность. Рентген., синхротр. и нейтрон. исслед. — 2022. — № 8. — С. 108-112.

23. Калашников Н.П. Классическое и квантовое описание эффекта каналирования как взаимно дополняющие приближения [Текст] / Н.П. Калашников, А.С. Ольчак // Поверхность. Рентген., синхротр. и нейтрон. исслед. — 2022. — № 10. — С. 107-112.

24. Robinson M.T. Computer studies of slowing down of energetic atoms in crystals [Текст] / M.T. Robinson, O.S. Oen // Phys. Rev. — 1963. — V. 132, No. 6. — P. 2385-2398.

25. Lindhard J. Influence of crystal lattice on motion of energetic charged particles [Текст] / J. Lindhard // Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk. — 1965. — V. 34, No. 14. — P. 1-64.

26. Линдхард Й. Влияние кристаллической решетки на движение быстрых заряженных частиц [Текст] / Й. Линдхард // УФН. — 1969. — Т. 99, вып. 2. — C. 249-296.

27. Оцуки Ё.-Х. Взаимодействие заряженных частиц с твердыми телами [Текст] / Ё.-Х. Оцуки — М.: Мир, 1985. — 277 c.

28. Базылев В.А. Излучение быстрых частиц в веществе и внешних полях [Текст] / В.А. Базылев, Н.К. Жеваго — М.: Наука, 1987. — 268 c.

29. Ахиезер А.И. Электродинамика высоких энергий в веществе [Текст] / А.И. Ахиезер, Н.Ф. Шульга — М.: Наука, 1993. — 344 c.

30. Рябов В.А. Эффект каналирования [Текст] / В.А. Рябов — М.: Энергоатомиздат, 1994. — 241 c.

31. Uggerh0j U.I. The interaction of relativistic particles with strong crystalline fields [Текст] / U.I. Uggerh0j // Rev. Mod. Phys. — 2005. — V. 77. — P. 1131-1171.

32. Сыщенко В.В. Регулярная и хаотическая динамика быстрых заряженных частиц в кристаллах [Текст] / В.В Сыщенко — М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований; НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2025. — 194 с.

33. Shulga N.F. Dynamical chaos in the motion of fast charged particles in crystals [Текст] / N.F. Shulga, Y.L. Bolotin, V.Y. Gonchar, V.I. Truten // Phys. Lett. A. — 1987. — V. 123. — P. 357-360.

34. Kimball J.C. Channeling and chaos [Текст] / J.C. Kimball, G. Petschel, N. Cue // Nucl. Instum. Methods in Phys. Res. B. — 1988. — V. 33. — P. 53-57.

35. Chen L. Chaotic behavior of channeling particles [Текст] / L. Chen, A.E. Kaloyeros, G. Wang // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. — 1994. — V. 4. — P. 85-88.

36. Berezovoj V.P. Quantum Manifestations of Classical Stochasticity in the Mixed State [Текст] / V.P. Berezovoj, Y.L. Bolotin, V.A. Cherkaskiy // Prog. Theor. Phys. Supplement. — 2003. — V. 150. — P. 326-329.

37. Berezovoj V.P. Signatures of quantum chaos in wave functions structure for multi-well 2D potentials [Текст] / V.P. Berezovoj, Yu.L. Bolotin, V.A. Cherkaskiy // Phys. Lett. A. — 2004. — V. 323. — P. 218-223.

38. Shul'ga N.F. Regular and chaotic motion domains in the channeling electron's phase space and mean level density for its transverse motion energy [Текст] / N.F. Shul'ga, V.V. Syshchenko, A.I. Tarnovsky, V.I. Dronik, A.Yu. Isupov // Journal of Instrumentation. — 2019. — V. 14, No. 12. — P. C12022.

39. Сыщенко В.В. Расщепление уровней энергии поперечного движения позитронов при каналировании в направлении [100] кристалла кремния [Текст] / В.В. Сыщенко, А.И. Тарновский, В.И. Дроник, А.Ю. Исупов // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. — 2022. — № 3. — С. 79-88. Перевод: Syshchenko V.V. Splitting of the Transverse-Motion Energy Levels of Positrons during Channeling in the [100] Direction of a Silicon Crystal / V.V. Syshchenko, A.I. Tarnovsky, V.I. Dronik, A.Yu. Isupov // Journal of Surface Investigation: X-ray, Synchrotron and Neutron Techniques. — 2021. — V. 15, Suppl. 1. — P. S73-S80.

40. Syshchenko V.V. Channeling in crystals and quantum chaos [Текст] / V.V. Syshchenko, A.I. Tarnovsky, V.I. Dronik // Partial Differential Equations and Related Topics (PDERT'22): collection of materials of the International Conference. — Belgorod: Publishing house "BelSU", 2022. — P. 188-190.

41. Сыщенко В.В. Влияние туннелирования на спектр энергии поперечного движения каналированных позитронов в кристалле кремния [Текст] / В.В. Сыщенко, А.И. Тарновский , В.И. Дроник, А.Ю. Исупов // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. — 2023. — № 6. — С. 88-93. Перевод: Syshchenko V.V. On the Effect of Quantum Tunneling on the Energy Spectrum of the Transverse Motion of Channeled Positrons in a Silicon Crystal / V.V. Syshchenko, A.I. Tarnovsky, V.I. Dronik, A.Yu. Isupov // Journal of Surface Investigation: X-ray, Synchrotron and Neutron Techniques. — 2023. — V. 17. — P. 707-711.

42. Syshchenko V.V. Dynamical Chaos and Level Splitting under the Channeling of the High Energy Positrons in [100] Direction of the Silicon Crystal [Текст] / V.V. Syshchenko, A.I. Tarnovsky, V.I. Dronik, A.Yu. Isupov // Journal of Instrumentation. — 2024. — V. 19. — P. C05006.

43. Сыщенко В.В. Об аномальной диффузии быстрых электронов в кристалле кремния [Текст] / В.В. Сыщенко, А.И. Тарновский, В.И. Дроник

// Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. — 2024. — № 9. — С. 95-101. Перевод: Syshchenko V.V. On the Anomalous Diffusion of Fast Electrons through Silicon Crystal / V.V. Syshchenko, A.I. Tarnovsky, V.I. Dronik // Journal of Surface Investigation: X-ray, Synchrotron and Neutron Techniques — 2024. — V. 18. — P. 1094-1099.

44. Сыщенко В.В. Распределение быстрых надбарьерных электронов в кристалле кремния в условиях аномальной диффузии [Текст] / В.В. Сыщенко, А.И. Тарновский, В.И. Дроник // Тезисы докладов 53-ей Международной Тулиновской конференции по Физике Взаимодействия Заряженных Частиц с Кристаллами (Москва, МГУ им М.В. Ломоносова, 28-30 мая 2024). — М.: Изд-во МГУ, 2024. — С. 87.

45. Kornelsen E.V. Penetration of heavy ions of keV energies into monocrystalline tungsten [Текст] / E.V. Kornelsen, F. Brown, J.A. Davies, B. Domeij, G.R. Piercy // Phys. Rev. — 1964. — V. 136, No. 3A. — P. A849-A858.

46. Ландау Л.Д. Теоретическая физика. Том 3. Квантовая механика. Нерелятивистская теория [Текст] / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц — М.: Наука, 1989. — 768 с.

47. Градштейн И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений [Текст] / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик — М.: Наука, 1971. — 1100 с.

48. Ландау Л.Д. Теоретическая физика. Том 2. Теория поля [Текст] / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц — М.: Наука, 1988. — 512 с.

49. Сыщенко В.В. Электродинамика для начинающих [Текст] / В.В Сыщенко — М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований; НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2020. — 356 с.

50. Ландау Л.Д. Теоретическая физика. Том 1. Механика [Текст] / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц — М.: Наука, 1988. — 216 с.

51. Гулд Х. Компьютерное моделирование в физике. Том 1 [Текст] / Х. Гулд, Я. Тобочник — М.: Мир, 1990. — 349 с.

52. Kalashnikov N.P. Radiation Produced When a Free Electron Is Captured in a Channeled State [Текст] / N.P. Kalashnikov, A.S. Olchak // Phys. Atom. Nuclei. — 2023. — B. 86, No. 10. — P. 2212-2216.

53. Feit M.D. Solution of the Schrödinger equation by a spectral method [Текст] / M.D. Feit, J.A. Fleck Jr., F. Steiger // J. Comput. Phys. — 1982. — V. 47, No. 3. — P. 412-433.

54. Dabagov S. Passage of MeV-energy electrons through monocrystals [Текст] / S. Dabagov, L.I. Ognev // Nucl. Instrum. Methods in Phys. Res. — 1988. — B. 30. — P. 185-190.

55. Kozlov A.V. Spectral method in quantum theory of channeling phenomena of fast charged particles in crystals [Текст] / A.V. Kozlov, N.F. Shul'ga, V.A. Cherkaskiy // Phys. Lett. A. — 2010. — V. 374. — P. 4690-4694.

56. Шульга Н.Ф. Спектральный метод в теории аксиального каналирования [Текст] / Н.Ф. Шульга, В.В. Сыщенко, В.С. Нерябова // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. — 2013. — № 3. — С. 91-96.

57. Shul'ga N.F. On spectral method in the axial channeling theory [Текст] / N.F. Shul'ga, V.V. Syshchenko, V.S. Neryabova // Nucl. Instrum. Methods in Phys. Res. B. — 2013. — 309. — P. 153-156.

58. Шульга Н.Ф. Проявления квантового хаоса в аксиальном каналиовании электронов [Текст] / Н.Ф. Шульга, В.В. Сыщенко, А.И. Тарновский, А.Ю. Исупов // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. — 2015. — № 7. — С. 72-76.

59. Shul'ga N.F. Wave functions of channeling electrons in regular and chaotic cases [Текст] / N.F. Shul'ga, V.V. Syshchenko, A.I. Tarnovsky, A.Yu. Isupov // Journal of Physics: Conference Series. — 2016. — V. 732. — P. 012028.

60. Shul'ga N.F. Structure of the channeling electrons wave functions under dynamical chaos conditions [Текст] / N.F. Shul'ga, V.V. Syshchenko, A.I.

Tarnovsky, A.Yu. Isupov // Nucl. Instrum. Methods in Phys. Res. B. — 2016. — V. 370. — P. 1-9.

61. Серов В.В. Численные методы решения нестационарных квантовомеханических задач [Текст] / В.В. Серов — Саратов: Новый ветер, 2011. — 56 с.

62. Марчук Г.И. Методы расщепления для решения нестационарных задач [Текст] / Г.И. Марчук // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1995. — Т. 35, № 6. — C. 843-849.

63. Волкова Е.А. Квантовая механика на персональном компьютере [Текст] / Е.А. Волкова, А.М. Попов, А.Т. Рахимов — М.: УРСС, 1995. — 216 с.

64. Scholz D. A note on the Zassenhaus product formula [Текст] / D. Scholz, M. Weyrauch // J. Math. Phys. — 2006. — V. 47. — P. 033505.

65. Butz T. Fourier Transformation for Pedestrians [Текст] / T. Butz — Berlin: Springer, 2006. — 201 р.

66. Сыщенко В.В. Структура областей регулярного движения в фазовом пространстве каналированных электронов [Текст] / В.В. Сыщенко, А.И. Тарновский, А.Ю. Исупов, И.И. Соловьев // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. — 2020. — № 3. — С. 103-108.

67. Bohigas O. Characterization of chaotic quantum spectra and universality of level fluctuation laws [Текст] / O. Bohigas, M. -J. Giannoni, C. Schmit // Phys. Rev. Lett. — 1984. — V. 52. — P. 1-4.

68. Porter C.E. Statistical Theory of Spectra: Fluctuations [Текст] / C.E. Porter — New York: Academic Press, 1965. — 576 р.

69. Mehta M.L. Random Matrices and the Statistical Theory of Energy Levels [Текст] / M.L. Mehta — New York: Academic Press, 1967. — 270 р.

70. Бор А. Структура атомного ядра. Том 1 [Текст] / А. Бор, Б. Моттельсон — М.: Мир, 1971. — 456 с.

71. Berry M.V. Level clustering in the regular spectrum [Текст] / M.V. Berry,

M. Tabor // Proceedings of the Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences. — 1977. — V. 356, No. 1686. — P. 375-394.

72. Сыщенко В.В. Статистические свойства уровней энергии поперечного движения при каналировании электронов в кристалле кремния в условиях динамического хаоса [Текст] / В.В. Сыщенко, А.И. Тарновский // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. — 2021. — № 7. — С. 84-88.

73. Berry M.V. Semiclassical level spacings when regular and chaotic orbits coexist [Текст] / M.V. Berry, M. Robnik // J. Phys. A: Math. Gen. — 1984. — V. 17. — P. 2413-2421.

74. Богомольный Е.В. Распределение уровней энергии квантовых систем [Текст] / Е.В. Богомольный // Письма ЖЭТФ. — 1985. — Т. 41, вып. 2. — С. 55-58.

75. Соболь И.М. Метод Монте-Карло [Текст] / И.М. Соболь — М.: Наука, 1985. — 46 с.

76. Худсон Д. Статистика для физиков [Текст] / Д. Худсон — М.: Мир, 1967. — 244 с.

77. Малви Дж. Статистические методы обработки экспериментальных данных [Текст] / Дж. Малви // Худсон Д. Статистика для физиков / Д. Худсон — М.: Мир, 1967. — С. 182-238.

78. Мэтьюз Дж. Математические методы физики [Текст] / Дж. Мэтьюз, Р. Уокер — М.: Мир, 1972. — 397 с.

79. Кунце Х.И. Методы физических измерений [Текст] / Х.И. Кунце — М., Мир, 1989. — 216 с.

80. Podolskiy V. A. Level spacing distribution in systems with partially chaotic classical dynamics // V.A. Podolskiy, E.E. Narimanov [Текст] // Physics Letters A. — 2007. — V. 362, No. 5-6. — P. 412-416.

81. Griffiths D.J. Introduction to Quantum Mechanics [Текст] / D.J. Griffiths,

D.F. Schroeter — Cambridge: Cambridge University Press, 2018. — 409 р.

82. Фейнман Р. Фейнмановские лекции по физике. Том 8 [Текст] / Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс — М.: Мир, 1966. — 272 с.

83. Tureci H. Gaussian-optical approach to stable periodic orbit resonances of partially chaotic dielectric micro-cavities [Текст] / H. Tureci, H.G.L. Schwefel, A.D. Stone, E.E. Narimanov // Optics Express. — 2002. — B. 10, No. 16. — P. 752-776.

84. Bohigas O. Manifestations of classical phase space structures in quantum mechanics [Текст] / O. Bohigas, S. Tomsovic, D. Ullmo // Physics Reports. — 1993. — B. 223, No. 2. — P. 43-133.

85. Podolskiy V.A. Semiclassical description of chaos-assisted tunneling [Текст] / V.A. Podolskiy, E.E. Narimanov // Physical Review Letters. — 2003. — V. 91, No. 26. — P. 263601.

86. Bouchaud J.-P., Anomalous diffusion in disordered media: statistical mechanisms, models and physical applications [Текст] / J.P. Bouchaud, A. Georges // Physics Reports. — 1990. — V. 195, No. 4-5. — P. 127-293.

87. Shlesinger M.F. Strange kinetics [Текст] / M.F. Shlesinger, G.M. Zaslavsky, J. Klafter // Nature. — 1993. — V. 363, No. 6424. — С. 31-37.

88. Metzler R. The random walk's guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach [Текст] / R. Metzler, J. Klafter // Physics Reports. — 2000. — V. 339, No. 1. — P. 1-77.

89. Zaslavsky G.M. Chaos, fractional kinetics, and anomalous transport [Текст] / G.M. Zaslavsky // Phys. Reports. — 2002. — V. 371, No. 6. — P. 461-580.

90. Chechkin A.V. Bifurcation, bimodality, and finite variance in confined Levy flights [Текст] / A.V. Chechkin, J. Klafter, V.Yu. Gonchar, R. Metzler, L.V. Tanatarov // Physical Review E. — 2003. — V. 67. — No. 1. — P. 010102.

91. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики [Текст] / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский — М.: Наука, 1977. — 736 с.

92. Сыщенко В.В. Методы математической физики для начинающих

[Текст] / В.В. Сыщенко, А.И. Тарновский, Я.А. Науменко — М.-Ижевск: РХД, 2019 — 178 с.

93. Greenenko A.A. Anomalous diffusion and Levy flights in channeling [Текст] / A.A. Greenenko, A.V. Chechkin, N.F. Shul'ga // Physics Letters A. — 2004. — V. 324, No. 1. — P. 82-85.

94. Shul'ga N.F. Dynamic chaos in the motion and scattering of fast charged particles in crystals [Текст] / N.F. Shul'ga, A.A. Greenenko, V.I. Truten' // Ukr. J. Phys. — 2006. — V. 51, No. 2. — P. 147-155.

95. Brockmann D. Levy flights in inhomogeneous media [Текст] / D. Brockmann, T. Geisel // Physical Review Letters. — 2003. — V. 90, No. 17. — P. 170601.