Некоторые прямые и обратные теоремы теории приближения в весовых и вариационных метриках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Али Мустафа Баггаш Гаафар

• Али Мустафа Баггаш Гаафар
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Али Мустафа Баггаш Гаафар

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава 1. Оценки производных полиномов в метриках

со знакочувствительным весом

1.1. Знакочувствителъный вес. Основные определения и обозначения

1.2. Один аналог неравенства С.Н. Бернштейна об оценке производной полинома для супремум-нормы со знакочувствительным весом

1.3. Оценки производных тригонометрических полиномов в интегральной метрике со знакочувствительным весом

1.4. Об одной обратной теореме теории приближения с ограниченным знакочувствительным весом

Глава 2. Оценки полиномиальных приближений в метриках вариаций через различные структурные характеристики функций

2.1. Основные понятия и обозначения

2.2. Оценки через модули Ф-абсолютной непрерывности

2.3. Оценки через модули Ф-гладкости

2.4. Оценки через смешанные модули непрерывности

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые прямые и обратные теоремы теории приближения в весовых и вариационных метриках»

Введение

Актуальность темы. В диссертации рассматриваются оценки производных тригонометрических полиномов в равномерных и интегральных метриках со знакочувствительным весом, имеющие приложения в обратных теоремах теории приближения, и оценки скорости полиномиальных аппроксимаций функций в метриках Ф-вариаций Орлича через различные структурные характеристики.

К возникновению и развитию нового направления теории приближения функций в метриках со знакочувствительным весом привели, в частности, нестандартные задачи о приближении данной функции другими функциями с различной степенью точности и различным знаком уклонения на разных участках области приближения. В качестве примера приведем актуальную проблему аппроксимации диаграммы направленности антенны с высокими требованиями к погрешности приближения снизу на участке главного лепестка, умеренными требованиями к погрешности приближения сверху на участках ближних боковых лепестков и незначительными требованиями к абсолютной погрешности на дальних лепестках. Аналогичные задачи возникают также в теории фильтрации, квадратурных формулах. Аппроксимациями со знакочув-свительным весом как частные случаи охвачены аппроксимации с обычным весом, одностронние и кусочно-односторонние аппроксимации, аппроксимации с интерполяцией в наперед заданных точках.

Систематическому изучению аппроксимаций со знакочувствительным весом начало положили работы Е.П. Долженко и Е.А. Севастьянова ([13]-[17], [31|).

В частности, для этих аппроксимаций ими введены основные понятия и изучены вопросы существования, единственности и устойчивости элемента наилучшего приближения.

Знакочувствительным весом на множестве Е С (—оо, +оо) называется упорядоченная пара р(х) = (р^(х),р+(х)) однозначных неотрица-

тельных на этом множестве функций р+(х) и р~(х).

Знакочувствительный вес р(х) называется непрерывным, ограниченным, суммируемым или периодическим, если таковыми соответственно являются обе функции р+(х) и р~(х).

Если функция /(х) и знакочувствительный вес р{х) определены на данном множестве Е С (—оо, +оо), а функции

/+(£) = тах{/(х),0} и Г(х) = (-/(*))+

означают соответственно плюс-срезку и минус-срезку функции /(х). то полагают

и,р)(х) = /+(х)р+(х) - Г(х)р_(х)

и величина

\1\Р=и\Р,Е = вирШр)(х)\:хеЕ} называется р-нормой функции /(х) по множеству Е относительно зна-кочувствительного веса р{х).

Для суммируемого на данном отрезке [а,Ь] С (—оо,+оо) знакочув-ствителыюго веса р(х) интегральную р-норму измеримой на отрезке [а, 6] функции ${х) определим равенством

11/1? = \\fUM = [ [/+(х)р+(х) +Г(х)р-{х)]вл\

^ а

величина ||/|р конечна, если функции-срезки /+(ж) и ¡~{х) суммируемы на отрезке [а, Ъ] относительно весовых функций р+(х) и р-(х) соответственно.

В случае ограниченного на множестве Е знакочувствительного веса р{х) легко показать, что £>-норма | • ^ является сублинейным (т.е. неотрицательным, выпуклым и однородным) функционалом на множестве всех ограниченных на Е функций /(х).

При р~(х) = р+(х) = 1, очевидно, равномерная р-ко\ш& \/\РгЕ любой ограниченной на множестве Е функции f(x) совпадает с ее обычной супремум-нормой

№\Е = *ир{\Пх)\:хеЕ},

а интегральная р-норма \\/\Р;[а,ь} любой суммируемой на отрезке [а, Ь] функции /(х) совпадает с ее обычной интегральной нормой

Сублинейные функционалы -D(/), для которых D(f) = 0 лишь при / = 0, в качестве масштабных функций выпуклых тел ввел Г. Мин-ковский ([37]). Такие функционалы в качестве несимметричных норм рассматривали М.Г. Крейн и A.A. Нудельман ([22]). Эти нормы соответствуют случаю р-нормы относительно непрерывных и строго положительных на данном отрезке Е = [а, Ь] функций р~(х) и р+(х).

В работах В.Ф. Бабенко ([1]) и И.Э. Симоновой, Б.В. Симонова ([32]) изучен вопрос существования полинома наилучшего приближения для несимметричных интегральных метрик относительно знакочувствитель-ного веса со строго положительными компонентами.

В работах А.-Р.К. Рамазанова ([23] [30]) получены некоторые прямые и обратные теоремы теории приближения со знакочувствительным весом посредством полиномов и рациональных дробей, дана характери-зация полинома наилучшего приближения непрерывной функции относительно произвольного знакочувствительного веса.

В работах А.И. Козко ([18]—[21]) изучены некоторые вопросы теории приближения относительно несимметричных норм, обобщающих р нормы.

Оставались актуальными вопросы об оценках производных полиномов в интегральных р-метриках относительно произвольных суммируемых знакочувствительных весов, а также об обратных теоремах теории приближения в метриках знакочувствительных весов.

Общеизвестна роль класса функций ограниченной вариации и класса абсолютно непрерывных функций в современном анализе. JI. Юнг ([40]), И. Музелак и В. Орлич ([38]) ввели более общие классы функций, сохраняющих многие из важнейших свойств функций ограниченной вариации или абсолютно непрерывных функций.

Такие классы функций определяются относительно т.н. допустимых функций Ф(и), которые считаются непрерывными, неубывающими и выпуклыми вниз на промежутке [0, -Ьоо), причем Ф(0) = 0.

Обобщенной вариацией или Ф-вариацией по Орличу относительно допустимой функции Ф(п) функции f(x), определенной на данном отрезке [а, 6], называется следующая величина:

771

Уф(Л = [а, Ъ]) = sup V Ф (I ДО - Яач-i)|),

где супремум берется по всем разбиениям

Т := а = Xq < Х\ < ■ • ■ < xm = b

отрезка [а, Ь] и т = 1, 2,...

Если [а, Ь]) < оо, то говорят, что функция f(x) имеет конечную

Ф-вариацию на отрезке [a, b] и пишут / G Уф [а, Ь] или f Е Уф (когда из контекста ясно, о каком отрезке [а,Ь] идет речь).

Если Уф i^y, [a, b]j < оо при некотором У > 0, то пишут / G Ъ] или / G V^.

Функция f(x) называется абсолютно непрерывной относительно допустимой функции Ф(и) или Ф-абсолютно непрерывной на отрезке [а, Ь\ и пишут / G АСф[а, Ь], если для любого £ > 0 найдется такое <5 > 0, что

tri i=i

для всякой конечной системы неперекрывающихся интервалов

т

(.аг, ß%) с [а, 6] с X) Ф(А - < ¿=1

В случае Ф(и) = ир (р > 1) Ф-абсолютно непрерывные функции ранее рассматривал Лав ([36]), а в случае Ф(п) = и получаем обычные абсолютно непрерывные на данном отрезке [а, Ь] функции f(x).

В пространстве V^ = Уф[а.Ь] норму можно ввести следующим образом: для f Е Уф полагаем

WfUv = 11/IUv.M = inf > 0 : Уф (I, [а,Ь]) < 1 j

и при этом два элемента /1, /2 Е V^ равны между собой, если fi(x) — /2(2) = const (х Е [а,Ь]).

В силу выпуклости Ф(и) на [0, +оо) пространство V£ с нормой || • \\фу полное, но, вообще говоря, несепарабельное ([38]).

Метрика в порожденная нормой || • \\фу, называется метрикой Ф-вариаций Орлича.

При 6 > 0 положим

т

v*(6, /) = V*(6, /, [а, 6]) = sup V Ф (1/(10 - f{xi-i)\),

iwfcf

где супремум берется по всем конечным разбиениям Т : а = хо < Х\ < • • • < xm = b (га = 1, 2,...), для которых

|Т| = maxjx,; — £¿-1 : i = 1, 2,..., т} ^ 5.

Считаем, что

УФ(0,/)= lim (SJ).

ö—>+О

Б.И. Голубов ([10]) ввел величину

w*(6, f) = /, [а, 6]) = Inf |V > 0 : (б, [а, 1 j (5 ^ 0)

и для классов Ф-абсолютно непрерывных функций относительно метрики Ф-вариаций Орлича получил аналоги критериев компактности М. Рисса и А.Н. Колмогорова. При допустимой функции Ф(и) — ир (р > 1) эту величину ввела J1. Юнг ([39]), а в полиномиальных аппроксимациях периодических функций систематически использовали А.П. Тере-хин ([33], [34]), С.С. Волосивец ([3], [4]). Некоторые из свойств модуля Ф-абсолютной непрерывности в случае допустимых функций

Ф(и) общего вида изучены А.-Р.К. Рамазановым ([25]).

Можно показать, что любая непрерывная на данном отрезке [а, Ь] функция f(x) принадлежит одному из классов Уф [а. Ь] С V£[a,b]. Естественно, возникает вопрос об оценке скорости приближения непрерывных функций полиномами по норме пространства V£[a,b] в случае до-

пустимых функций Ф(и) общего вида. Такая оценка через модуль Ф-абсолютной непрерывности №'ф(5,/) (первого порядка) была получена А.-Р.К. Рамазановым ([26]).

Оставалась открытой задача определения модулей Ф-абсолютной непрерывности высших порядков и оценки через них скорости полиномиальной аппроксимации непрерывных функций в Ф-метрике. Эта задача изучается во второй главе работы.

Цель работы. Для равномерных и интегральных полунорм относительно знакочувствительных весов получить аналоги неравенства С.Н. Бернштейна об оценке нормы производной полинома. Для полунорм относительно ограниченного знакочувствительного веса получить аналог обратной теоремы С.Б. Стечкина об оценке модуля непрерывности периодических функций.

Для метрики Ф-вариаций Орлича оценить скорость приближения функции через ее модули Ф-абсолютной непрерывности высших порядков.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем.

1. Для равномерных полунорм относительно знакочувствительного веса с заданным колебанием получен аналог неравенства С.Н. Бернштейна об оценке нормы производной тригонометрического полинома. Доказана точность полученной оценки на классе тригонометрических полиномов каждого наперед заданного порядка и при каждом наперед заданном значении колебания веса.

2. Получена оценка (аналог неравенства А. Зигмунда) для интегральной полунормы производной тригонометрического полинома относительно знакочувствительного веса с заданным интегральным модулем непрерывности веса.

3. Получена оценка (аналог обратной теоремы С.Б. Стечкина) модуля непрерывности ограниченной 27Г-периодической функции относительно знакочувствительного веса через скорость полиномиального

приближения этой функции в метрике знакочувствительного веса.

4. Даны оценки наименьших полиномиальных уклонений в метрике Ф-вариаций Орлича через различные структурные характеристики приближаемой функции: модули Ф-абсолютной непрерывности, модули Ф-гладкости и смешанные модули непрерывности (в каждом случае — любого наперед заданного порядка).

Методы исследования. В работе применяются методы теории функций вещественной переменной и функционального анализа. В частности, для получения основных результатов применены интерполяционная формула М. Рисса, метод разделения полунепрерывных функций посредством непрерывных, а также известные числовые и функциональные неравенства. При этом особенности полунорм относительно знакочувствительных весов играют существенную роль в нестандартности получаемых результатов и подходов доказательства этих результатов.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы носят теоретический характер. Они могут быть использованы в теории приближения функций для получения новых прямых и обратных теорем, в теории антенн, теории фильтрации, квадратурных формулах, теоремах вложения, при оценках ^-энтропии и поперечников компактных классов функций.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международных и всероссийских конференциях: Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения (Махачкала, сентябрь 2011 г.), Научная инициатива иностранных студентов и аспирантов российских вузов (Томск, апрель 2013 г.), Современная наука и молодежь (Махачкала, май 2013 г.); на ежегодных научных конференциях Дагестанского государственного университета (апрель 2012 г., апрель 2013 г.), на научном семинаре Отдела математики и информатики Дагестанского научного центра РАН под руководством проф. И.И. Шарапудинова.

Результаты диссертации также неоднократно докладывались на научном семинаре кафедры математического анализа Дагестанского государственного университета.

Публикации. Содержание диссертации опубликовано в работах [41]-[48], из которых 5 работ являются публикациями в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ. В совместных работах [41]-[44] научному руководителю А.-Р.К. Рамазанову принадлежит постановка задач и общее руководство работой, в работе [44] В.Г. Магомедовой принадлежит выбор методики исследований. Автору диссертации принадлежит реализация методик с доказательством соответствующих результатов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на восемь параграфов, и списка литературы.

Объем работы составляет 95 страниц,, библиография — 48 наименований.

Содержание работы

Во введении дается общая характеристика работы, излагается история вопроса и приводится обзор результатов диссертации по главам и параграфам.

Первая глава посвящена оценкам равномерных и интегральных полунорм производных тригонометрических полиномов относительно зна-кочувствительного веса, а также обобщению на метрики зиакочувстви-тельного веса одного результата С.Б. Стечкина по обратным теоремам теории приближения периодических функций.

В параграфе 1.1 приводятся основные определения и обозначения, касающиеся равномерных и интегральных метрик относительно знако-чувствитсльных весов.

В параграфе 1.2 получен один аналог неравенства С.Н. Бернштейна об оценке производной полинома для супремум-нормы со знакочувстви-тельным весом.

В этих оценках в общем случае ограниченного 27г-периодического

знакочувствительиого веса р(х) = (р-(х),р+(х)) важную роль играет следующая характеристика, введенная Е.П. Долженко и Е.А. Севастьяновым ([13]).

Свободой системы "Знакочувствительный вес р(х) — Множество тригонометрических полиномов тп порядка п" называется величина

где тп — множество всех тригонометрических полиномов порядка не выше п (п = 0,1,...).

Оценка р-нормы производной тригонометрического полинома в случае ограниченного 27г-периодического веса р(х) = (р-(х),р+(х)) получена с использованием полного колебания веса, которое определяется равенством

О (р) = та х{П(р_),П(р+)},

где, как обычно,

П(р-) = 8ир{|р_(ж) -р-(у)| :х,уе (-оо,+оо)} ,

П(р+) = зир{|р+(х) -р+(у)I :х,уе (-оо,+оо)} .

с

Ниже условимся считать также, что 0 • оо = 0. - = оо при с > 0.

Имеет место следующая

Теорема 1.1. Для ограниченного 2-тг-периодического знакочувствительиого веса р(х) = (р-(х),р+(х)) и любого тригонометрического полинома Тп(х) порядка п (п = 0,1,...) с действительными коэффициентами при любых возможных значениях полного колебания веса 0 ^ = ^(р) < оо и любых возможных значениях свободы системы "Знакочувствительный вес р{х) — Множество тригонометрических полиномов тп порядка п" 0 < = \¥(р,тп) ^ оо выполняется неравенство

\Т'П\р < п( 1 + тах {\ТП\Р, | - Тп\р} . (0.1)

Точность полученной оценки (0.1) вытекает из следующего утверждения.

Теорема 1.2. Пусть даны числа 0<П<оои0<1У< оо. Тогда при любом заданном п (п = 1,2,...) существует ограниченный 27Г-периодический знакочувствитсльный вес р(х) = (р_(х),р+(х)) и тригонометрический полином Tn G тп та кие, что

ОД = П, W(p,rn) = W

и выполняется равенство

к\р = n(l + nw) max {|Tn|p, | - Tn\p} .

Отметим, что отдельно показана точность оценки (0.1) в случае ограниченных знакочувствительных весов р(х), для которых W = W(p, тп) =

00 (n = 1, 2,... ) или для которых Q = Q(p) = 0; для ограниченных знакочувствительных весов р(х) всегда W(p,Tn) > 0 и П(р) < оо.

В параграфе 1.3 получены оценки производных тригонометрических полиномов в интегральной метрике со знакочувствительным весом.

Как известно, для данной 27г-периодической функции д{х) равномерный и интегральный модули непрерывности определяются при <5^0 соответственно равенствами

u(6,g) = u(8,g)L™ = = sup {sup vrai {|g{x + h) — g{x) | : 0 ^ x ^ 27г} : 0 ^ h ^ 6} ; cu(S,g)Lr = sup | (^J \g(x + h) - g(x)\rdx^j

1 < r < oo.

Равномерный и интегральный модули непрерывности данного 27г-периодического знакочувствительного веса,р(х) = (р_(х),р+(х)) определяются при S ^ 0 соответственно следующими равенствами:

uj(S,p) = u(ô,p)l°° = max{u;(£,p_),u;(£,p+)} ,

uj(S,p)Lг = m&x{cj(ô,p-)Lr,u(6,p+)Lr} .

Как и выше, в случае 27г-периодической функции f(x) и знакочув-ствительного веса р{х) = (р-(х),р+(х)) для обычной супремум-нормы и равномерной р-нормы будем придерживаться соответственно обозначений

\\f\\=sup{\f(x)\:xe(-oo,+oo)},

\f\p = sup {f+(x)p+(x) + f-(x)p-(x) : x e (-00, +00)} ,

а для обычной интегральной нормы, vrai sup-нормы и интегральной р-нормы — обозначений

(г2тг \ ?

j \f(x)\rdxj , 1^г<оо; II/IU- = vrai sup {\f(x)\ : х в (-оо,+оо)} ;

г2тт

\\f\p= / (/+0Ф+(я) + Г(Ф-(я))<*с.

J о

Тогда имеет место

Теорема 1.3. Для 2тт-перисдического знакочувствительного веса р(х) = (р-(х),р+(х)) с \\р±\\ьг < оо (1 < г ^ оо) и любого тригонометрического полинома

п

Тп{х) — ао + ^^ ak cos kx + bk sin kx

k=1

порядка n [n — 3,4,...) с действительными коэффициентами ao, а/с, bk (k = 1. 2..... п) выполняется неравенство

Юр < nmax{||Tn|p, || - Tn|p} + Мы (||T+||L, + ||T"|U>) ,

> A ¿ /

11 2 , 1

где - + - = 1. Ad — —т 77, In n -Ь Лпп, - < Xn < 3.

r s ' 7t¿ 3

Следствие. В условиях т,еорем,ы 1.3 при любо.м к = 1,2,... выполняется неравенство

шах {||Т«|Р, || - Т«|р} < nfc max {||Tn|p, || - Tn\p} +

Vn / Lr

(значения параметров М, г, s те otee, что и в теореме 1.3).

В параграфе 1.4 получена одна обратная теорема теории приближения периодических функций с ограниченным знакочувствительным весом.

В случае ограниченного веса в прямых и обратных теоремах полиномиального приближения, в отличие от обычного подхода, вместо класса функций с заданным модулем непрерывности берутся классы функций с заданным семейством модулей непрерывности, определяемым указанным малым параметром е > 0.

Для определенной на отрезке А функции д(х) и числа с положим

&(д^с) = {хе А : д(х) > с};

аналогично определяются множества А(д > с), Д(д < с), А(д ^ с).

Для весар(х) = (р_(ж),р+(:г)), заданного на отрезке А, и числа е > 0 определим множества

А+ = А+(е) = А(р+ ^ е), А_ = Д_(е) = А(р_ ^ е),

а через Д£ обозначим пересечение их замыканий Д_ П Д+.

Если функция f(x), х £ Д, при заданном £ > 0 ограничена сверху на множестве Д_ и снизу на Д+, то положим

М(а, ß) = sup {/(ж) : х в [а, ß] П А_} ,

т(а, ß) = inf {f(x) : х в [а, ß] П Д+} и определим функции

М-(х.е) = lim Mix - 5. х + 6). х е ДГ,

т+(х, е) = lim mix — S, х + 5). х Е Д+.

<5—>+0

Легко увидеть, что функция М_(х, е) полунепрерывна сверху на Д_. а функция т+(х,£) полунепрерывна снизу на Д+.

Для ограниченных на отрезке А веса р(х) — (р_(х),р+(х)) и функции /(х) определим относительно чисел е семейство модулей непрерывности, полагая

где супремум берется при \х — у\ ^ 6 (6 > 0) по всем х Е А_ и у £ Д+. Считаем величину сu£(f.p,S) доопределенной нулем при <5 Е [0,<i), если (list (А-, Д+) = d > 0, причем равной пулю тождественно, если хотя бы одно из множеств Д_ и Д+ пусто.

Очевидно, при р~(х) = р+(х) = 1 величина uj£(f,p,6) совпадает с обычным равномерным модулем непрерывности

Пусть = (о;£(£)} — семейство таких функций, что при каждом е > 0 функция ш£{8) является модулем непрерывности, а при каждом 5 > 0 она не возрастает по е > 0, причем для заданного отрезка Д при всех достаточно малых £ > 0 величина и£(Ъ — а) ^ 1.

Ниже обратная теорема получена в случае 27г-периодического веса р(х) = (р-(х),р+(х)) через свободу системы "Знакочувствительный вес р — Множество тригонометрических полиномов тп порядка п"— характеристику, введенную Е.П. Долженко и Е.А. Севастьяновым ([13]):

где супремум берется по множеству тп всех тригонометрических полиномов порядка не выше п (п = 0,1,2,...), точнее, по всем Т Е тп. Т{х) ф 0; Д = [0, 27г] — отрезок длины периода.

Теорема 1.4. Если для 2ж-периодической ограниченной функции f(x) при каждом п — 0,1,.. . найдется е(п) > 0 такое, что для каждого £ Е (0,с(п)) существует тригонометрический полином Тп(х) порядка не выше п и функция cj£(S), для которых при А — [0, 27г] и некоторой константы С = const > 0 выполняются неравенства

v£(f,p,6) = suv(M-(x,e) -гп+(у,е))

+

u(f,5) = sup{\f(x)- f(y)\ :\x-y\ ^6,x,y£A}.

W = W(p,Tn) = sup{||T||a/|T|P;a}

/(х) > Тп(х) - Си,

Дх) ^ Тп(х) + Сш,

£

£

то для каждого 6 > 0 найдется б(5) > О такое, что для вссх е Е (О, е(6)) выполняется неравенство

где С\ = тах{ 16С, 64С1У тах{ 1, ||р||д}}.

Во второй главе даны оценки наименьших полиномиальных уклонений в метрике Ф-вариаций Орлича, т.е. в случае непрерывных на отрезке [а, Ъ] функций /(.х) величины

(инфимум берется по множеству всех алгебраических полиномов Р(х) степени не выше п (п = 0,1,...) с действительными коэффициентами) и в случае 27г-периодических непрерывных функций f(x) величины

(инфимум берется по множеству всех тригонометрических полиномов С}{х) порядка не выше п (п = 0,1,.. .) с действительными коэффициентами) через различные структурные характеристики приближаемой функции: модули Ф-абсолютной непрерывности, модули Ф-гладкости и смешанные модули непрерывности (в каждом случае — для любого наперед заданного порядка).

Если одни из этих характеристик нужны в различных вопросах анализа, в частности, теоремах вложения как сравнительно простые для нахождения или оценки структурные характеристики непрерывных функций, то другие играют важную роль, например, при разбиении непрерывных функций на компактные классы в пространстве функций обобщенной вариации по Орличу, а также для оценки ^-энтропии или поперечников таких классов.

УфЕпЦ, [а,Ь]) = МУ-Р\\ФУЫ

В параграфе 2.1 приводятся основные определения и обозначения, касающиеся метрики Ф-вариаций Орлича.

В параграфе 2.2 получены оценки наименьших полиномиальных уклонений непрерывных функций в метрике Ф-вариаций Орлича через модули Ф-абсолютной непрерывности высших порядков.

Как известно, для функции f(x), определенной на некотором отрезке [а, Ь], и заданного натурального числа г конечная разность Arh(f,x) порядка г с шагом h в точке х определяется равенством

г

к=О

Пусть Ф(п) — данная допустимая функция, функция / G V£[a, b] и г — данное натуральное число.

Определим модуль Ф-абсолютной непрерывности порядка г функции f(x) при 5 > 0 следующим равенством:

[а,Ь]) =

= sup inf |И/ > 0 : sup|> |ДШ,хг) - 1)|) ^ 1 j ;

здесь внутри фигурных скобок супремум берется по всем разбиениям а = хо < х\ < • • • < хт = b (т — 1,2,...) таким, чтобы при каждом шаге h с \h\ ^ 5 разности A rh(f,Xi) (г = 0,1,2, ...,ш) имели смысл; внешний супремум берется по всем таким значениям шага h, что \h\ ^ S.

Когда понятно, о каком отрезке [а, Ь] идет речь, будем пользоваться более кратким обозначением f) (опуская отрезок [а, Ь\).

Для 27г-периодической функции / € V^ = Уф[—7г,7г] ее модуль Ф-абсолютной непрерывности W^\5,f) = f, [—7г, 7г]) порядка

г — 1,2,... определяется вполне аналогично.

Имеет место следующая

Теорема 2.1. Если для данной допустимой функции Ф(и) 2тт-периодическая функция f £ то при всех натуральных n > г выпол-

няется неравенство

УфEn(f)<Mrwir)

здесь коэффициент Мг > 0 не зависит от п и f, но может зависеть от

Y

г, причем Mi < 14 (!) (при г = 1). а при г ^ 2

Следующее утверждение дает оценку наименьших уклонений непрерывной на отрезке [—1,1] функции f(x) от алгебраических полиномов степени не выше п (п > 2) через модуль Ф-абсолютной непрерывности второго порядка индуцированной функции (p(t) = /(cosí) (ip = ^snd/); результат легко распространяется на произвольный конечный отрезок [а, 6].

Теорема 2.2. Если для допустимой функции Ф(г^) функция / G Уф [— 1,1], то при всех натуральных n ^ 2 выполняется неравенство

УфЕМ, [-1,1]) ^ HWf .

В параграфе 2.3 для непрерывных функций получена оценка модуля Ф-абсолютной непрерывности данного произвольного натурального порядка г через модуль Ф-гладкости порядка г. При определенных ограничениях получена также оценка модуля Ф-гладкости порядка г через обычный равномерный модуль гладкости порядка г. Эти оценки посредством теорем 2.1 и 2.2 позволяют получить оценки наименьших полиномиальных уклонений УфЕп(f, [a,b]) и УфЕп(/) через модули Ф-гладкости и модули гладкости (порядков г).

Как отмечалось выше, Б.И. Голубов ([10]) для непрерывных ría данном отрезке функций f(x) ввел величину \Уф(5, /), которая следуя Е.П. Долженко, называется модулем Ф-абсолютной непрерывности функции f(x) на этом отрезке. В случае непрерывных 27г-периодических функций эта величина вводится вполне аналогично.

Используя эту характеристику /), мы определим модули

Ф-гладкости высших порядков.

Пусть Ф(и) — данная допустимая функция, f(x) непрерывна на некотором отрезке [a, b] или является 27г-периодической непрерывной (и тогда роль отрезка [а, 6] играет некоторый отрезок длины периода, например, [—тг, тг]).

Модулем Ф-гладкости порядка г (г = 1,2,...) функции f(x) назовем величину

W$iT(5, f) = sup И^ф(|/гj, А1 /) (¿>0).

I

Заметим, что в силу возрастания функции W$(i),/) относительно 8 ^ 0 выполняется равенство /) = \¥ф(8, /) (8 > 0).

Доказаны два следующих утверждения.

Теорема 2.3. Пусть для данной допустимой функции Ф(и) непрерывная функция f Е Уф на данном отрезке [a, b] или на отрезке [—тг, 7г] в случае 2тг-периодической функции f{x). Тогда при каждом г = 1,2,... и всех 8 ^ 0 выполняется неравенство

w£)(8J)^2W<s>,r(8J).

Теорема 2.4. Пусть функция д(х) непрерывна на отрезке [0, b] (b > 0), дифференцируема г раз (г — 1,2,...) на (0, Ь), не воз-

растает. g(r\x) сохраняет знак и является суммируемой на [7, Ь] при

\g(r~l\t + х) - g(r~l\x) I любом 0 < 7 < Ь, отношение-—-т-гт-не убывает отно-

(!)

сительно t Е (0, b — х) при каждом фиксированном х Е (0, Ь).

Тогда

где М - max{ 1, Ь], 0 < 8 ^ -.

г

В параграфе 2.4 для 27г-периодических непрерывных функций введена более простая по структуре характеристика, чем модули Ф-абсолютной непрерывности и модули Ф-гладкости, а именно смешанные модули

непрерывности. Получена также оценка модулей Ф-гладкости данной 2-7г-периодической непрерывной функции через ее смешанные модули непрерывности. Это посредством теорем 2.1 и 2.2 позволяет получить оценки наименьших полиномиальных уклонений УфЕп(/) через смешанные модули непрерывности.

Пусть функция /(ж) является непрерывной 2-7г-периодической и пусть г — данное натуральное число, а к и т — любые действительные числа.

Рассмотрим смешанную конечную разность вида

Д^ДХС/, х) = ди/, Х + Т)- Д£ (/, X).

Тогда смешанным модулем непрерывности порядка (1, г) функции /(х) назовем величину

определенную при 6 ^ 0.

Очевидно, что и>\,г(/, 5) относительно 5 ^ 0 является неубывающей функцией. Можно доказать, что она непрерывна в точке 5 = 0 и при любых натуральных гип выполняется неравенство

Ш1 ;Г(/, пб) ^ 1)Г(/, (<5 ^ 0).

Также доказано, что в определении смешанного модуля непрерывности в конечных разностях шаги т и /г произвольного знака можно заменить шагами, принимающими лишь неотрицательные значения. Это позволяет упростить доказательства некоторых свойств смешанного модуля непрерывности.

Доказана следующая

Теорема 2.5. Пусть для данной допустимой функции Ф(и) непрерывная 2тт -периодическая функция / € Уф и пусть г — данное натуральное число. Если отношение ^ представляет собой неубывающую функцию при 8 > 0, то имеет место неравенство

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Али Мустафа Баггаш Гаафар, 2013 год

Список литературы

[1] Бабенко В.Ф. Несимметричные приближения в пространстве суммируемых функций// Укр. МЖ.-1982. Т.34.- № 4.- С. 409 - 419.

[2] Бабенко В. Ф., Корнейчук Н.П., Кофанов В.А., Пичугов С.А. Неравенства для производных и их приложения. Киев: Наукова думка, 2003.

[3] Волосивец С.С. Об ^-энтропии некоторых множеств функций ограниченной р-вариации/7 Изв. вузов.Математика.- 1992.- № 2.- С. 83 - 85.

[4] Волосивец С.С. Об ^-энтропии поперечниках одного компакта гладких функций в пространстве функций ограниченной р-вариации// Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1992. № 5,- С. 81-84.

[5] Волосивец С.С. Уточненные теоремы теории приближения в пространстве р-абсолютно непрерывных функций // Мат. заметки. 2006. Т. 80. № 5. С. 701-711.

[6] Волосивец С.С. Приближение функций ограниченной р-вариации полиномами по системе Фабера-Шаудера // Мат. заметки. 1997. Т. 62. № 3. С. 363-371.

[7] Волосивец С.С. Полиномы наилучшего приближения и соотношения между модулями непрерывности в пространствах функций ограниченной р-вариации // Изв. вузов. Матем. 1996. № 9. С. 2126.

[8] Волосивец С.С. Асимптотические характеристики одного компакта гладких функций в пространстве функций ограниченной р-вариации // Мат. заметки. 1995. Т. 57. № 2. С. 214-227.

[9] Волосивец С.С. Приближение функций ограниченной р-вариации полиномами по системам Хаара и Уолша // Мат. заметки. 1993. Т. 53. № 6. С. 11-21.

[10] Голубов Б.И. Критерии компактности множеств в пространствах функций ограниченной обобщенной вариации// Изв. АН Арм. ССР.- 1968,- № 3. - С. 409 - 416.

|11] Гончаров В. Л. Теория интерполирования и приближения функций. М.: ГТТЛ, 1954. 328 с.

[12] ДзядыкВ.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977. 411 с.

[13] Долженко Е. П., Севастьянов Е. А. Знакочувствительные аппроксимации (пространство знакочувствительных весов, жесткость и свобода системы) /7 Докл. РАН. 1993. Т. 332. С. 686-689.

[14] Долженко Е. П., Севастьянов Е. А. Аппроксимации со знакочув-ствительным весом (теоремы существования и единственности) // Изв. РАН. Сер. матем. 1998. Т. 62. №6. С. 59-102.

[15] ДолженкоЕ. П., Севастьянов Е. А. Аппроксимации со зпакочув-ствительным весом (устойчивость, приложения к теории ужей и хаусдорфовым аппроксимациям) // Изв. РАН. Сер. матем. 1999. Т. 63. №3. С. 77-118.

[16] Долженко Е. П., Севастьянов Е. А. Знакочувствительные аппроксимации (вопросы единственности и устойчивости) // Докл. РАН. 1993. Т. 333. №1. С. 5 7.

[17] Долженко Е. П., Севастьянов Е. А. Об определении чебышевских ужей // Вестник МГУ. Матем. Мех. 1994. №3. С. 49-59.

[18] КозкоА. И. О порядке наилучшего приближения в пространствах с несимметричной нормой и знакочувствительным весом на классах дифференцируемых функций /7 Изв. РАН. Сер. матем. 2002. Т. 66. № 1. С. 103-132.

[19] КозкоА. И. Полнота ортогональных систем в несимметричных пространствах со знакочувствительным весом // Современная математика и ее приложения. 2005. Т. 24. С. 135-147.

[20] Козко А. И. Многомерные неравенства разных метрик в пространствах с несимметричной нормой // Матем. сб. 1998. Т. 189. №9. С. 85-106.

[21] Козко А. И. Аналоги неравенств Джексона-Никольского для тригонометрических полиномов в пространствах с несимметричной нормой // Матем. заметки. 1997. Т. 61. №5. С. 687-699.

[22] КрейнМ.Г., Нудельман А. А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. М.: Наука, 1973. 552 с.

[23] Рамазанов А.-Р. К. О прямых и обратных теоремах теории аппроксимации в метрике знакочувствительного веса// Analysis Mathematica. 1995. V. 21. P. 191-212.

¡24] Рамазанов А.-Р. К. Метод малого параметра для знакочувстви-тельных аппроксимаций // Analysis Mathematica. 2002. V. 28. P. 205-230.

[25] Рамазанов А.-P.K. Равномерные рациональные приближения функций с производными конечной Ф-вариации/'/Вестник МГУ. Серия матем,- 1981,- №5. - С. 15 - 19.

[26] Рамазанов А.-Р.К. On approximation of functions in terms of Ф-variation/'/Analysis Mathematica.- 1994,- №.20.- №2 - C.263 -281.

[27] Рамазанов А. К., Рамазанов А.-Р. К. Смешанные модули непрерывности и их применение в полиномиальных аппроксимациях с интерполяцией// Analysis Mathematica. 2009. V. 35. P. 213-232.

[28] Рамазанов А.-Р.К. Рациональная аппроксимация со знакочувстви-тельным весом // Мат. заметки,- 1996.- Т.60,- №5 - С. 715 - 725.

[29] Рамазанов А.-Р.К. Знакочувствительные аппроксимации ограниченных функций полиномами // Изв. вузов. Математика. 1998. -№5. - С. 53-58.

[30] Рамазанов А.-Р.К. Характеризация полинома наилучшего приближения со знакочувствительиым весом // Матем. сборник.-Т. 196. № 3.-2005.-С. 89-118.

[31] Севастьянов Е.А. О проблеме Хаара для знакочувствительных аппроксимаций// Мат.сб.- 1997,- Т. 188,- № 2.-С.95 - 128.

[32] Симонова И.Э., Симонов Б.В. О полиноме наилучшего несимметричного приближения в пространстве Орлича// Изв. вузов. Математика,- 1993,- № 11. - С. 50 - 56.

133] Терехин А.П. Приближение функций ограниченной р-вариации// Изв. вузов. Математика - 1965.- № 2.-С. 171 - 187.

[34] Терехин А.П. Функции ограниченной р-вариации с данным порядком модуля ^-непрерывности// Мат. заметки.- 1972.-Т.12.- № 5.-С. 523 - 530.

[35] Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, I960 - 624с.

[36] Love E.R. A generalization of absolute continuity /7 L. London Math. Soc. 1951. V. 26. P. 1-13.

[37] MinkowskyH. Theorie der konvexen Körper, insbesondere Begründung ihres Oberflächenbegriffs /'/ Ges. Abh. 1911. V.2. P.131- 229.

[38] Muzielak J. and Orlitz W. On generalized variations // Studia Math. 1959. V. 18. P. 11-41.

[39] Young L.C. An inequality of Holder type, connected with Stieltjes integration // Acta Math. 1936.V. 67. P. 251-282.

[40] Young L.C. Sur une generalisation de la notion de la variation... /7 Compt. Rend. 1937.V. 204. P. 470-473.

[41] Рамазанов А.-Р.К., Али Мустафа Б.Г. Оценка производной тригонометрических полиномов в интегральной метрике со знакочув-ствительным весом // Вестник Дагестанского государственного университета. Естественные науки. 2011. Вып. 1. С. 51-54.

[42] Рамазанов А.-Р.К.. Али Мустафа Б.Г. Оценка производной полиномов в интегральной метрике с весом /7 Материалы V Междуна-

родной конф. "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения". Махачкала, 2011. С. 201-203.

[43] Рамазанов А.-Р.К., Али Мустафа Б.Г. Об одной обратной теореме теории приближения со знакочувствительным весом // Вестник Дагестанского государственного университета. Естественные науки. 2012. Вып. 6. С. 81-85.

[44] Рамазанов А.-Р.К., Магомедова В.Г., Али Мустафа Б.Г. Оценка скорости полиномиальных аппроксимаций функций в вариационных метриках через различные структурные характеристики // Вестник Дагестанского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 1. С. 68-79.

[45] Али Мустафа Б.Г. Оценки интегральных полунорм производных тригонометрических полиномов относительно знакочувствитель-ного веса // Журнал В мире научных открытий. Серия Математика. Механика. Информатика. Красноярск, №6 (42), 2013. С. 8399.

[46] Али Мустафа Б.Г. Оценки полиномиальных приближений в метриках вариаций через модули гладкости // Журнал Мониторинг. Наука и технологии. Махачкала, 2013. №2 (15). С. 94-98.

[47] Али Мустафа Б.Г. К обратной теореме теории приближения: аналог теоремы С.Б. Стечкина /'/ Матер. VI Всероссийской научно-практической конф. "Науная инициатива иностранных студентов и аспирантов российских вузов". Томск, 2013. С. 46-48.

[48] Али Мустафа Б.Г. Оценки полиномиальных уклонений через модули Ф-абсолютной непрерывности высших порядков // Матер. Междунар. молодежной научной конф. "Современная наука и молодежь". Махачкала, 2013. С. 284-285.