Некоторые вопросы геометрической оптимизации винтовых пар в винтовых насосах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Ковалёва, Марина Игоревна

• Ковалёва, Марина Игоревна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ковалёва, Марина Игоревна

Введение

1 Кинематика винтовых пар. Сопряженные винтовые поверхности

1.1 Плоские сечения винтовых пар и профильные функции

1.2 Метод Гаусса.

1.3 Метод огибающей кривой.

1.4 Винтовые пары. Прокрутка контуров.

1.5 Метод особых точек гладких отображений

1.6 Локальные кольца и типы особенностей отображений

1.7 Эквивариантные особенности гладких функций и симметричные профили.

1.8 Кольцо симметричных многочленов.

1.8.1 Кольцо (классических) многочленов. 1.8.2 Симметричые многочлены.

1.8.3 Многочлены от двух переменных с поворотной симметрией.

2 Алгеброидные контуры. Регрессивные точки на контурах, сопряженных к алгеброидным

2.1 Локальная модель рождения точки негладкости на сопряженном контуре

2.2 Дискриминантные кривые и регрессивные точки

2.3 Алгеброидные контуры.

2.4 Примеры компьютерных изображений алгеброидных контуров

2.5 Боардмановские расширения идеалов в алгебрах ростков гладких функций на координатной плоскости и типы особенностей отображений.

2.6 Идентификация особенностей гладких отображений плоскости. Условие трансверсальности к особенности.

2.7 Основная формула для сопряженного контура и примеры её применения

2.8 Нелокальное рассмотрение уравнения регрессивных точек

2.9 Идентификация особенности ^Г)1'1'1,0 и проверка условия трансверсальности к этой особенности.

2.10 Алгоритм идентификации особенности ^Г1'1'1,0.

2.11 Симметричные тригонометрические контуры.

2.12 Построение первично регрессивной точки и точки негладкости в случае симметричного зубца.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые вопросы геометрической оптимизации винтовых пар в винтовых насосах»

Актуальность темы. Тема диссертации связана с задачей оптимизации шестеренчатого зацепления пары винтовых поверхностей. Эта задача является составной частью общей проблемы проектирования и оптимизации многофазных винтовых насосов (ВН) [2], [16], [12]. Отличительными признаками такого насоса являются малые радиальные и линейные зазоры, внешняя герметичность, а также симметричная схема силовых нагрузок на главный рабочий орган — винтовую пару. Минимальные зазоры позволяют такому насосу устойчиво работать и в режиме газового компрессора. Многофазные насосные станции активно создаются и используются в мировой практике в течение последних лет, они успешно эксплуатируются нефтегазодобывающими компаниями. Важнейший элемент конструирования ВН и его оптимизации в целом — оптимизация шестеренчатого зацепления пары винтовых поверхностей. Безусловно, исследование и оптимизацию ВН можно осуществлять, используя современные методы нелинейной динамики, информатики и теории катастроф [5] - [7], [18]- [20], [25]- [30]. Некоторые из возможных подходов к построению математических моделей ВН и решению задач оптимизации шестеренчатого зацепления винтовых поверхностей отражены в монографии [12]. В ней изложены методы построения и анализа оптимально зацепленных (сопряженных) пар винтовых поверхностей, опирающиеся на математические представления, взятые из дифференциальной геометрии плоских кривых и теории особенностей гладких отображений [1], [4]. Представленные в диссертации результаты исследований, проведенных в русле монографии [12], дают уточнение и дальнейшее развитие некоторым теоретическим положениям этой монографии.

Изучение ВН можно осуществлять исходя из того, что кинематические характеристики ВН определяются геометрическими свойствами и особенностями поперечных сечений винтов, которые задаются в виде замкнутых контуров (гладких или кусочно гладких) посредством профильных функций. Их удобно представлять как функции скалярного аргумента со значениями в поле комплексных чисел. Таким образом, кинематические свойства ВН можно исследовать, опираясь на анализ однопараметрических периодических семейств гладких плоских кон

Рис. 1: Пример использования пятизаходных винтов.

Рис. 2: Виды винтовых насосов. туров и, следовательно, на теорию гладких отображений [1],[4] двумерных торов в координатную плоскость. Такой подход позволяет не только изучать геометрические свойства пар винтовых поверхностей, но и создавать алгоритмы их оптимизации.

Цель работы и основные задачи. Основные цели работы:

• объяснение феномена образования линий негладкости на поверхности, геометрически сопряженной с гладкой винтовой поверхностью;

• рассмотрение однопараметрической деформации винтовой поверхности (параметр — высота зубца в поперечном сечении) и описание бифуркации регрессивных точек на сопряженной поверхности;

• построение и апробация алгоритма идентификации особенностей в первичных регрессивных точках и проверки условия трансверсальности к особенностям в этих точках;

• компьютерное исследование сечений оптимизированных винтовых пар, точек негладкости и линий регрессивных точек.

Методы исследования. В математических конструкциях диссертации использованы методы дифференциальной геометрии кривых, анализа гладких отображений (теории Уитни-Тома-Боардмана) и теории инвариантов.

При построении контура, сопряженного к заданному контуру, используются следующие три подхода: 1) прямой подход (основанный на построении аналитической огибающей для параметрического семейства циклоид), 2) подход, связанный с использованием отображения Гаусса (отображения точка контура —> точка пересечения нормали с центроидой (базовой окружностью)), 3) подход, основанный на рассмотрении вспомогательного отображения двумерного тора в координатную плоскость и на построении границы его образа.

Основным в диссертации является третий подход. Схема построения сопряженного контура в рамках третьего подхода приобретает наиболее простой вид, весьма наглядную интерпретацию и позволяет организовывать эффективное компьютерное сопровождение.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

1. Дано математическое объяснение феномену образования линий негладкости па поверхности, геометрически сопряженной с гладкой винтовой поверхностью. Показано, что однопараметрическая деформация алгеброидной поверхности (параметр — высота зубца в поперечном сечении)в практически важных случаях дает бифуркацию регрессивных точек по типу "ласточкин хвост".

2. Предложен и полностью обоснован алгоритм, позволяющий производить компьютерную идентификацию особенностей в (первичных) регрессивных точках, проверять условия трансверсальности к особенностям первичных регрессивных точек, а также строить линии регрессивных точек, линии негладкости и вычислять углы в точках негладкого стыка. При обосновании алгоритма использована боардмановская классификация особенностей гладких отображений.

3. Получены (на основе предложенного алгоритма в случае алгебро-идных и тригонометрических контуров) компьютерные изображения плоских сечений оптимальных винтовых пар, линий негладкости и линий регрессивных точек.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают обоснование применимости методов теории особенностей гладких отображений при построении и анализе геометрически оптимальных винтовых пар. Результаты исследований, представленные в диссертации,относятся к случаю винтовых пар одинаковой заходности, но они могут найти применение при исследовании и проектировании разнообразных моделей винтовых насосов (включая случай п-винтовых систем, п>2, различной заходности в примыкающих парах).

Апробация работы. Материал диссертации докладывался на Воронежской зимней математической школе (2008 г.), на конференции "Из режима развития — в режим функционирования" (Воронеж, 2007 г.), на конференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения" (С-Петербург 2008, 2009 гг.), на международной конференции, посвященной памяти И.Г. Петровского (XXII совместное заседание ММО и семинара им. И.Г. Петровского, М., МГУ, 2007),па V международной научно- технической конференции "СИНТ-09"(Воронеж, 2009), на семинаре по нелинейному анализу в НИИ математики ВГУ (рук. — проф. Ю.И. Сапронов) и на семинаре ВГУ по математическому моделированию (рук. — проф. В.А. Костин).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 10 работах. В статьях, написанных в соавторстве, соавторам принадлежат постановки задач и разбор отдельных примеров. Статья [42] опубликована в соответствии с "перечнем ВАК".

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на параграфы, и списка цитируемой литературы из

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ковалёва, Марина Игоревна, 2009 год

1. Арнольд В.И. Особенности дифференцируемых отображений. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов./ В.И. Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде // М.: Наука. 1982. 304 с.

2. Балденко Д.Ф. Винтовые насосы./ Д.Ф. Балденко , М.Г. Бидман, B.J1. Калишевский и др.// М.: Машиностроение, 1982. 228 с.

3. Брекер Т. Дифференцируемые ростки и катастрофы./ Т. Брекер, JI. Ландер// М.: Мир, 1977. 208 с.

4. Брус Дж. Кривые и особенности: Геометрическое введение в теорию особенностей./ Дж. Брус , П. Джиблин // Пер. с англ. М.: Мир, 1988. - 262 с.

5. Булыгин Ю.А. Информатика. Курс лекций/ Ю.А. Булыгин, В.В. Бородкин// Воронеж: ВГТУ, 2004. 88 с.

6. Валюхов С.Г., Скуфинский А.И., Булыгин Ю.А. Многофазный винтовой насос. Патент РФ № 227 14 74(13) С1. МПК Р04С 2/6 (2006.01). Заявка: 2004121023/06. Дата подачи заявки: 2004.07.08.

7. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра./ Б.Л.Ван дер Варден // М.: Наука, 1979. 624 с.

8. Валюхов С.Г. К кинематике винтовых насосов/ С.Г.Валюхов, В.А. Костин, Ю.И Сапронов // Труды математического факультета (новая серия). Воронеж: изд-во ВГУ, 1998. N.3. С. 14-19.

9. Валюхов С.Г. К оптимизации зацеплений вращающихся плостник контуров./ С.Г. Валюхов, В.А. Костин, Ю.И.Сапронов // Вестник ВГУ. Сер. физ., мат. Вып. 1. 2000. С. 98-104.

10. Валюхов С.Г. Зацепления винтовых поверхностей./ С.Г. Валюхов, В.А. Костин, Ю.И. Сапронов, С.М Семенов // Воронеж: изд-во ВГУ, 1999/131 с.

11. Валюхов С.Г. Оптимизация шестеренчатых зацеплений винтовых поверхностей./ С.Г. Валюхов, В.А. Костин, Ю.И. Сапронов, С.М Семенов // Воронеж: ВорГУ. 2005. 177с.

12. Винберг Э.Б.Симметрия многочленов./ Э.Б. Винберг // М.: МЦ-НМО, 2001. 24с.

13. Булгаков Э.Б. Теория эвольвентных зубчатых передач. /Э.Б. Булгаков // М.: Машиностроение, 1995. 320 с.

14. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф/ Р. Гилмор // М.: Мир. 1984. Т 1, 350 с. Т 2, 285 с.

15. Женовак Н.Г. Судовые винтовые негерметичные насосы./ Н.Г. Женовак // JL: Судостроение, 1972. 144 с.

16. Зачепа В.Р. Локальный анализ фредгольмовых уравнений/ В.Р. Зачепа, Ю. И. Сапронов // Воронеж, ВГУ. 2002. 185 с.

17. Крутов A.B. Некоторые прикладные задачи: геометрико-кинематические модели/ A.B. Крутов// М.: Изд-во РУДН. 2001. -252 с.

18. Кривошапко С.Н. Ребра возврата, линии раздела и самопёресече-ния некоторых технологических поверхностей откоса/ С.Н. Кривошапко, A.B. Крутов// Вестник РУДН. Серия "Инженерные исследования, № 1". М.: Изд-во РУДН. 2001. С. 98-104.

19. Крутов A.B. Геометрическая модель движения твердого тела с неподвижной точкой на основе классификации кривых/ A.B. Крутов// Изв. РАН. МТТ. 2002. № 6. С. 37-42.

20. Обен Ж.-П. Прикладной нелинейный анализ/ Ж.-П. Обен, И. Эк-ланд// М.: Мир. 1988. 510 с.

21. Певзнер Б.М. Насосы судовых установок и систем./ Б.М. Певзнер // Ленинград: Судостроение, 1971. 217 с.

22. Постон Т. Теория катастроф и её приложения/ Т. Постон, И. Стюарт// М.: Мир, 1980. 608 с.

23. Пыж O.A. Судовые винтовые насосы./ O.A. Пыж, Е.С. Харитонов, П.Б. Егорова// Л.: Судостроение, 1969. 196 с.

24. Самарский A.A. Математическое моделирование. / A.A. Самарский, А.П. Михайлов// Идеи. Методы. Примеры. 2-е изд., испр,-М.:ФИЗМАТЛИТ,2002.- 320 с.

25. Харламов М.П. О некоторых применениях дифференциальной геометрии в теории механических систем./М.П. Харламов // Механика твердого тела. 1979, № 11, с. 37-49.

26. Харламов М.П. Топологический анализ интегрируемых задач динамики твердого тела./М.П. Харламов // Л.: Изд-во ЛГУ, 1988, 200 с.

27. Харламов М.П. Автоматическое управление программной ориентацией твердого тела./М.П. Харламов // Механика твердого тела, 2001, № 31, с. 126-133.

28. Харламов М.П. Явное интегрирование одной задачи о движении обобщенного волчка Ковалевской./ М.П. Харламов, А.Ю. Савушкин // Доклады РАН, 2005, т. 401, № 3, с. 321-323.

29. Харламов М.П. Обобщение 4-го класса Аппельрота: область существования движений и разделение переменных./ М.П. Харламов // Нелинейная динамика, 2006, т. 2, № 4, с. 453-472.

30. Poénaru V. Singularités С00 en Présence de Symétrie/ V. Poénaru // Lecture Notes in Mathematics. V.510, chapter II. N.-Y.: SpringerVerlag, 1976. - P. 61-89.

31. Wall C.T.C. A Note on Symmetry of Singularities/ C.T.C. Wall // Bull. London Math. Soc. 1980. V. 12. P.169-175.

32. Weinstein A. Singularities of families of functions/ A. Weinstein // Differential geometrie in Grossen. V.4. Oberwolfach. 1971. P.323-330.

33. Ковалева М.И. О зарождении особых точек на сопряженной винтовой поверхности. / М.И. Ковалева // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна 2008.Тезисы докладов. Воронеж: ВорГУ, 2008. С. 69 - 70.

34. Ковалева М.И. К вычислению углов в точках негладкости сопряженных контуров /М.И. Ковалева // Вестник Воронежского гос. ун-та. Серия: Физика. Математика. 2009, №1. С 119 125.

35. Сапронов Ю.И. Бифуркации регрессивных точек на сопряженных винтовых поверхностях/ Ю.И. Сапронов , М.И. Ковалева //Вестник Воронежского государственного технического университета. Том 5 №4, 2009. С. 99 103.