Некоторые вопросы приближения целыми функциями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Мамадов, Рашид

• Мамадов, Рашид
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мамадов, Рашид

Введение.

Глава I. О связи наилучших полиномиальных приближений целых трансцендентных функций и их основные характеристики

§1.1. Основные сведения о целых функциях и характеристические величины целой функции конечной степени.

1.1.1. Определение характеристических величин целой функции

1.1.2. Связь между ростом целых функций и скоростью убывания коэффициентов их степенного разложения.

§1.2. О шкалах характеристики целых функций в пространстве #2,7) определяемых через наилучшее полиномиальное приближение

§1.3. О характеристиках целых функций в весовом пространстве

1 < д < оо.

§1.4. Об обобщенном порядке роста целых функций и их связь с полиномиальной аппроксимацией целых функций в весовом пространстве Бергмана.

Глава II. Классы целых функций конечной степени и их наилучшее приближение в весовом пространстве

Бергмана ВЪ1,1 < (? < оо.:.

§2.1. Определение классов Бернштейна Ва и Винера-Пэли ]Уа и наилучшее приближение в этих пространствах.

§2.2. Основные теоремы о наилучшем приближении целых функций

§2.3. О наилучших среднеквадратических приближениях целыми функциями экспоненциального типа в Ьо{В).

§2.4. Точные значения средних поперечников некоторых классов функций.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые вопросы приближения целыми функциями»

Теория приближения целыми функциями является одним из наиболее активно развивающихся направлений в современной математике, имеющая важные приложения в различных ее областях.

Бурное развитие этой теории в действительной области благодаря работам С.Н.Бернштейна [5] Н.Винера и Н.Пэли [16], Н.И.Ахиезера [2], С.М.Никольского [33] в пятидесятых годах прошлого столетия, побудило интерес к ее проблемам в комплексной области. Позже, работами М.В.Келдыша [25], Дж.Кореваара [26], Р.П.Боаса [7], И.И.Ибрагимова [19;20], И.И.Ибрагимова и Н.П.Шихалиева [23;24], Ф.Г.Насибова [32], С.Б.Вакарчука [8-15], полностью сформулировалась теория наилучшего приближения целыми функциями как раздел теории функций в комплексной области.

В последнее время методами функционального анализа во многих вопросах найден общий подход к проблемам теории приближения функций целыми функциями, благодаря чему удалось объединить многочисленные исследования этой теории в различных банаховых функциональных пространствах. Отметим, что теория приближения на всей оси R = (—оо, +оо) целыми функциями по характеру и качеству результатов не уступает соответствующей теории полиномиального приближения на конечном промежутке [а, Ъ]. Первые результаты, связанные с полиномиальной аппроксимацией целых трансцендентных функций, были получены С.Н.Бернштейном в случае равномерного приближения алгебраическими многочленами действительной на отрезке [—1,1] функции f(x), которая являлась сужением на [—1,1] целой трансцендентной функции f(z) (см., например, [5], стр.176). Это в дальнейшем дало своеобразный толчок к исследованию связей между характеристиками роста максимума модуля целой трансцендентной функции и скоростью стремления к нулю последовательности ее наилучших полиномиальных приближений в С[—1,1] (см.,например, [36]). Распространение указанных исследований на случай произвольной замкнутой области в комплексной плоскости С было начато А.В.Батыревым [4] и продолжено в работах других математиков. М.Н.Шеремета [48;49] обобщил классические характеристики роста целых функций. С.Б.Вакарчук и С.И.Жир [13;14], используя введенные М.Н.Шереметом [48] обобщенные характеристики роста, получили ряд содержательных результатов в этом направлении.

Диссертационная работа посвящена дальнейшему развитию исследований, начатых в указанных работах. Перейдем теперь к краткому изложению содержания диссертации. Работа состоит из введения, двух глав и списка литературы. Используется тройная нумерация теорем, лемм, следствий и формул, в которой первый номер совпадает с номером главы, второй указывает на номер параграфа, а третий — на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формулы в данном параграфе. Положим

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мамадов, Рашид, 2009 год

1. Айнуллоев Н. Наилучшее приближение некоторых классов дифференцируемых функций в Ь2. В сб.: Применение функционального анализа в теории приближений, 1986, 143 с.

2. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. — М.: Наука, 1965.

3. Балашов С.К. О связи роста целой функции обобщенного порядка с коэффициентами ее степенного разложения и распределением корней // Изв.вузов.Математика, 1972, №8, с. 10-18.

4. Батырев A.B. К вопросу о наилучшем приближении аналитических функций полиномами // ДАН АН СССР, 1951, т.76, №2, с.173-175.

5. Бернштейн С.Н. Собрание сочинений. — М., 1952, т. I II, с. 11-104.

6. Бицадзе A.B. Основы теории аналитических функций. — М.: Наука, 1985.

7. Боас Р.П. (Boas R.P.) Inequalities for function of exponential type, Math. Scand., 1956, V.4, p. 29-32.

8. Вакарчук С.Б. О наилучшем полиномиальном приближении в единичном круге функций // Укр.матем.журн., 1990, т.42, №6, с.838-843.

9. Вакарчук С.Б. Точные значения средних N — поперчников классов аналитических в верхней полуплоскости функций в пространстве Харди // Укр.матем.журн., 1994, т.46, №7, с.814-824.

10. Вакарчук С.Б. О наилучшем полиномиальном приближении целых трансцендентных функций в некоторых банаховых пространствах I // Укр.мат.журн., 1994, т.47, №9, с.1123-1133.

11. Вакарчук С.Б. О сильной асимптотике средних N — поперечников классов функций, аналитических на вещественной прямой // Изв.вузов, Математика, 1996, №1, с.1-4.

12. Vakarch.uk S.B. Exact constant in an inequality of Jackson type for L2 -approximation on the line and exact values of mean widths of functional classes // East Journal on Approximation, 2004, V.10, №1-2, p.27-39.

13. Вакарчук С.В., Жир С.И. О полиномиальной аппроксимации целых трансцендентных функций // Мат.физика, анализ, геометрия, 2002, т.9, №4, с.595-603.

14. Вакарчук С.В., Жир С.И. Некоторые вопросы полиномиальной аппроксимации целых трансцендентных функций // Укр.мат.журн., 2002, т.54, №9, с.1155-1162.

15. Вакарчук С.В., Жир С.И. О полиномиальной аппроксимации целых трансцендентных функций в комплексной плоскости. Зб1рник праць 1нститута математики НАН Украши, Кшв: 1н-т математики НАН Украши, 2005, 336 с.

16. Винер Н., Пэли Н. Преобразование Фурье в комплексной области. — М., 1964, 267 с.

17. Гварадзе М.И. Об одном классе пространств аналитических функций // Мат.заметки, 1977, т.21, №2, с. 141-150.

18. Giroux A. Approximation of entire functions over bounded domains //J. Approximation Theory, 1980, V.28, №1, p.45-53.

19. Ибрагимов И.И. Экстремальные задачи в классе целых функций экспоненциального типа // Успехи мат.наук, 1957, т.12, №3, с.323-328.

20. Ибрагимов И.И. Экстремальные задачи в классе целых функций конечной степени // Изв. АН СССР, 1959, т.23, №2, с.243-256.

21. Ибрагимов И.И.Теория приближения целыми функциями. — Баку, 1979.

22. Ибрагимов И.И., Насибов Ф.Г. Об оценке наилучшего приближения суммируемой функции на вещественной оси посредством целых функций конечной степени // ДАН СССР, 1970, т. 194, №5, с.1013-1016.

23. Ибрагимов И.И., Шихалиев Н.П. О наилучшем полиномиальном приближении в одном пространстве аналитических функций // ДАН СССР, 1976, т.227, №2, с.280-283.

24. Ибрагимов И.И., Шихалиев Н.П. О наилучшем приближении в среднем аналитических функций в пространстве < 1) // Специальные вопросы теории функций, 1977, вып. 1, с. 84-96.

25. Келдыш М.В. О приближении голоморфных функций целыми функциями // ДАН СССР, 1945, т.47, с.243-245.

26. Korevaar J. An inequality for entire functions of exponen type // New archive voot Wiskunde, 1949, V.23, №2, p.55-62

27. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. — М., 1956, 632 с.

28. Магарил-Ильяев Г.Г. Средняя размерность, поперечники и оптимальные восстановление соболевских классов функций на прямой / / Матем.сборник, 1991, т. 182, №11, с.1635-1656.

29. Магарил-Ильяев Г.Г. Средняя размерность и поперечники классов функций на прямой // ДАН СССР, 1991, т.318, №1, с.35-38.

30. Мамадов Р. О наилучшем среднеквадратических приближениях целыми функциями экспоненциального типа в L2{R) // Вестник ХоГУ, 2000, серия 1, №2, с.70-75.

31. Мамадов Р. О полиномиальной аппроксимации целых функций в весовых пространствах Бергмана // ДАН РТ, 2009, т52. , №3, с.

32. Насибов Ф.Г. К теории приближения целыми функциями // Приближение функций линейными операторами и сходимость рядов Фурье. Баку: Азерб. ин-т нефти и химии, 1987, с.26-45.

33. Никольский С.М. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференцируемых функций многих переменных. Тр. Матем.института им. В.А.Стеклова АН СССР, 1951, т.38, с.358-380.

34. Попов В.Ю. О наилучших среднеквадратических приближениях целыми функциями экспоненциального типа // Изв.вузов, Математика, 1972, №, с.65-73.

35. Pinkus A. n-width in Approximation Theory Berlin: Springer - Verlag, 1985, 292 p.

36. Reddy A.R. Approximation of an Entire Functions //J. Approximation Theory, 1970, V.3, №2, p.128-137.

37. Reddy A.R. Best polynomial approximation to certain entire functions //J. Approximation Theory, 1972, V.5, №11, p.97-112.

38. Reddy A.R. A contribution too best Approximation in the Lo Norm // J. Approximation Theory, 1974, V.ll, №1, p.110-117.

39. Тихомиров B.M. Некоторые вопросы теории приближений. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1976, 304 с.

40. Черных Н.И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в £2(0, 27т) // Мат.заметки, 1967, т.2, №5, с.513-522.

41. Шабозов М.Ш., Мамадов Р. Наилучшее приближение целыми функциями экспоненциального типа в L2(R) // Вестник ХоГУ, 2001, серия 1, №4, с.76-81.

42. Шабозов М.Ш., Мамадов Р. О наилучшем полиномиальном приближении целых функций в весовых пространствах Бергмана Дуг, 1 < q < 00 // ДАН РТ, 2007, т.50, №5, с.401-408.

43. Шабозов М.Ш., Вакарчук С.В., Мамадов Р. Точные значение средних поперечников некоторых классов функций // ДАН РТ, 2009, т.52 , е.

44. Шабозов М.Ш., Саидусайнов М.С. Неравенство типа Колмогорова в весовом.пространстве Бергмана // ДАН РТ, 2007, т.50, №1, с. 14-19.

45. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. Наилучшее приближение и значение поперечников некоторых классов функций в пространстве Бергмана Вр, 1 < р < оо // ДАН России, 2006, т.410, №4, с.461-464.

46. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. О наилучшем приближении некоторых классов функций в весовых пространствах Бергмана Вчл // ДАН России, 2007, т.412, №4, с.466-469.

47. Шведенко C.B. Классы Харди и связанные с ними пространства аналитических функций в единичном круге, поликруге и шаре, Итоги науки и техники, Математический анализ, М., т.23, 1985. // Изв.вузов. Математика, 1967, №2, с. 100-108.

48. Шеремета М.Н. О связи между ростом максимума модуля целой функции и модулями коэффициентов ее степенного разложения // Изв.вузов.Математика, 1967, №2, с. 100-108.

49. Шеремета М.Н. О связи между ростом целых или аналитических в круге функций нулевого порядка и коэффициентами их степенных разложений // Изв.вузов.Математика, 1968, №6, с.115-121.