Некоторые задачи теории пограничного слоя тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Кречетников, Руслан Витальевич

• Кречетников, Руслан Витальевич
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кречетников, Руслан Витальевич

1 ВВЕДЕНИЕ

2 СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

2.1 Автомодельность и анализ уравнений математической физики

2.2 Нелинейная устойчивость периодического пограничного слоя .И

2.3 Распространение возмущений в сверхзвуковых пограничных слоях.

3 КОНКРЕТНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

3.1 Скрытые инварианты в задачах о двумерных и трехмерных пристенных струях.

3.1.1 Двумерная струя, описываемая в рамках уравнений пограничного слоя Прандтля.

3.1.2 Трехмерная струя, описываемая в рамках трехмерных уравнений пограничного слоя Прандтля.

3.1.3 Трехмерная струя, описываемая в рамках трехмерных уравнений параболизованного Навье-Стокса

3.1.4 Пристенные струи в реологических жидкостях.

3.2 Периодический пограничный слой при большой амплитуде внешних возмущений типа бегущей волны

3.2.1 Формулировка задачи.

3.2.2 Численный метод решения

3.2.3 Исследование предотрывных характеристик

3.2.4 Результаты численного расчета.

3.3 Распространение возмущений в трехмерных вязких гиперзвуковых течениях.

3.3.1 Трехмерный пограничный слой.

3.3.2 Трехмерные течения, описываемые параболизованными уравнениями Навье-Стокса.

3.3.3 Численный анализ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые задачи теории пограничного слоя»

Концепция и теория пограничного слоя была развита Людвигом Прандтлем и представлена в исторической работе [46] в 1904 году. К тому времени теория невязких течений уже достигла достаточного развития, чтобы позволить расчет распределения давления на аеродинамическом профиле. Однако эта теория имела несколько существенных недостатков: отсутствие сопротивления и предсказание подъемной силы только при постулировании циркуляции, то есть не говоря ничего о ее происхождении. Эти проблемы были устранены теорией пограничного слоя Прандтля, согласно которой решение для невязкого внешнего течения и решение для пограничного слоя определяются независимо и сращиваются. Первое решение приводит к распределению давления и подъемной силе, в то время как решение в пограничном слое дает распределение трения.

Теория пограничного слоя Прандтля имела и имеет значительный эффект на развитие аерогидродинамики, а также привела к созданию математического аппарата - метода снгулярных возмущений и метода сращиваемых асимптотических разложений, связанных в частности с именами Каплун [27], Лагерстром [27], Ван Дайк [55].

Фундаментальным свойством теории пограничного слоя Прандтля является образование сингулярности в точке обнуления трения, что не позволяет продолжить решение за эту точку [16]. Однако независимое развитие идеи взаимодействия пограничного слоя и внешнего течения Стюартсоном [51], Нейландом [40] и Месситером [38] привело к созданию multi-deck теории, позволяющей продолжить решение за сингулярность Гольдштейна.

Несмотря на вышеупомянутый успех асимптотического подхода в теории пограничного слоя, математическое обоснование далеко от своего завершения. Например,

• Насколько оправдано рассмотрение пограничного слоя как ламинарной структуры, если приближение пограничного слоя справедливо при Re — оо?

• Что раньше возникает в пограничном слое: неустойчивость или сингулярность?

Ввиду того, что сегодня являются широко доступными компьютерные коды для расчета полных уравнений Навье-Стокса, естественным является вопрос о целесообразности дальнейшего развития теории пограничного слоя:

• Структура пограничного слоя есть не просто математическая концепция, но эффективное описание физической сути явления.

• Определяющая система уравнений, будучи значительно проще уравнений Навье-Стокса, не зависит от числа Рейнольдса, поэтому достаточен только один расчет.

Несмотря на успех данной теории, уравнения пограничного слоя оставляют много нерешенных фундаментальных задач, как

• точные решения различных краевых задач;

• существование и устойчивость решений при большом уровне внешних возмущений;

• корректная формулировка краевых нестационарных задач, что например связано с определением зон зависимости и влияния.

Можно существенно расширить круг проблем, но мы ограничили наше внимание только вышеперечисленными.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Кречетников, Руслан Витальевич

4 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

4.1 Автомодельность и анализ уравнений математической физики

Понятие законов сохранения, здесь используемое, ассоциируется с уравнениями, описывающими физическое явление, но не с самим явлением как таковым. По этой причине может случиться, что различные уравнения, описывающие ту же самую физическую ситуацию, имеют различные группы законов сохранения. Например, подходы Эйлера и Лагранжа к той же самой непрерывной среде могут приводить к различным множествам законов сохранения, поскольку переход от координат Эйлера к координатам Лагранжа является нелокальным преобразованием. Также еще раз необходимо отметить, что результаты §3.1 были получены в рамках теории локальных законов сохранения. Однако, рассмотрение различных типов нелокальностей может, в принципе, породить новые сохраняющиеся токи согласно гипотезе [58, 59| о существовании полного набора нелокальных законов сохранения в достаточно малой окресности любой регулярной точки уравнений в частных производных. Мы можем дать следующее неформальное обоснование этого предложения. Рассмотрим эволюционную систему уравнений в частных производных Ш = L(x,U)U, xeCl

Если область 17 конечна и нелинейных оператор L(x, U) не содержит сингулярностей, то можно применить метод Галеркина, сходимость которого была исследована Келдышем [31] и позднее другими авторами, ос и = ^2u„(t)ip„(x),

71=1 что приводит к бесконечно-мерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений du . . чТ = F(u), и = {щ,и2,.) ■

Рассмотрим обрубание этой системы, так что и принадлежит некоторому множеству U в га-мерном Евклидовом пространстве. Показано [6], что существует окресность регулярной точки и, такая что обрубленная система имеет т ~ 1 функционально независимых первых интегралов, которые называются локальными первыми интегралами. Вспоминая, что в случае ортогонального базиса v?n(x),

U, <рп) ип(ч = 7

4>п, <Рп) мы можем заключить о нелокальности соответствующих законов сохранения для исходного вектора решения U. Сходимость метода Галеркина позволяет взять предел га —оо. В этом случае множество законов сохранения счетно. Но в случае (полу)бесконечной области О, можно ожидать "непрерывный" и "дискретный" спектр законов сохранения.

В дополнение, следует упомянуть другой открытый вопрос о соответствии множества решений, полученных путем определения скрытых инвариантов, множеству решений ассоциированной задачи на собственные значения.

4.2 Нелинейная устойчивость периодического пограничного слоя

Предметом исследования являлось периодическое течение в двумерном нестационарном пограничном слое в несжимаемой жидкости на полубесконечной пластине при большой амплитуде возмущения типа бегущей волны во внешнем потенциальном потоке. Решение определялось с помощью численного метода, аналогичного [22]. Исследованы общие свойства данного типа течений и, в частности, получен график устойчивости в плоскости

С точки зрения классической теории гидродинамической устойчивости, найденные решения представляют собой основные состояния системы, инфинитезимальная устойчивость которых должна быть дополнительно исследована в зависимости от числа Рейнольдса - бифуркационного параметра, отсутствующего в постановке пограничного слоя Прандтля. В этом плане необходимым является применение теории Флоке подобно [9, 10].

4.з Распространение возмущений в сверхзвуковых пограничных слоях

Роль эффектов распространения возмущений может быть важной в задачах восприимчивости и устойчивости, в традиционном анализе которых указанные эффекты обычно не принимаются во внимание. Возмущения давления могут приводить к изменению характеристик исходного пограничного слоя. Полученные результаты показывают, что при численном моделировании гиперзвуковых течений вязкого газа важно правильно воспроизводить не только течение в основной части пограничного слоя, но и в дозвуковом подслое, в котором собственно и распространяются возмущения.

Проведенный анализ основан на раздельном анализе характеристик и субхарактеристик уравнений пограничного слоя и параболизованного Навье-Стокса. Анализ же истинных характеристик указанных уравнений крайне затруднен в силу существенной нелинейности последних, хотя в этом направлении делаются определенные попытки. Аналогичный анализ, в плане исследования распространения возмущений, проводится В.М. Тешуковым [53] в рамках приближения мелкой воды и т.д. Общими чертами обоих классов задач являются завихренность, наличие нелинейного конвективного оператора, приближение тонкого слоя и интегродифференциальный характер задач. Аналогом взаимодействия в случае длинных волн в баротропной жидкости является уравнение поперечного импульса ру = —р. Получаемое характеристическое условие имеет аналогичный комплекс в знаменателе под знаком интеграла (и — а)2, что подтверждает физическую аналогию рассматриваемых явлений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кречетников, Руслан Витальевич, 2003 год

1. н. И. акатнов, Распространение плоской ламинарной струи жидкости вдоль твердой стенки, Труды ЛПИ (Энергомашиностроение, техническая гидромеханика), 5.- М.: Машгиз, 1953, с. 24-31.

2. В. А. Алексин, А. М. Кудряков, Нестационарный двумерный пограничный слой, Институт проблем механики АН СССР. Препринт 452, Москва, 1990.

3. S. С. Anco, G. Bluman, Derivation of conservation laws from nonlocal symmetries of differential equations, J. Math. Phys., 1996, v. 37, pp. 23612375.

4. В. К. Андреев, О. В. Капцов, В. В. Пухначев, А. А. Радионов, Применение теоретика-групповых методов в гидродинамике, Новосибирск: Наука, 1994.

5. D. Arnal, j. С. juillen, Etude experimental et theoreique de la transition de la cauche limit, Rech. Aerosp, 1977, v. 2, pp. 75-88.

6. V. I. Arnold, Ordinary Differential Equations, The MIT press, 1980.

7. G. I. barenblatt, Similarity, Self-Similarity, and Intermediate Asymp-totics, Consultant Bureau, New York, 1979.

8. W. blaschke, Topological Differential Geometry, University of Chicago Press, 1932.

9. L. Brevdo, T. J. bridges, Absolute and convective instabilities of spatially periodic flows, Phil. Trans. R. Soc. Lond. A, 1996, v. 354, pp. 1027-1064.

10. L. brevdo, T. J. bridges, Absolute and convective instabilities of temporally oscillating flows, Z. angew. Math. Phys., 1997, v. 48, pp. 290-309.

11. S. Brown, K. Stewartson, A Non- Uniqueness Of the Hypersonic Boundary Layer, Q. J. Mech. Appl. Math., 1975, v. 28, pp. 75-90.

12. S. N. Brown, H. К. Cheng, C. J. Lee, Inviscid-viscous interaction on triple deck scales in a hypersonic flow with strong wall cooling, J. Fluid Mech. 1990, v. 220, pp. 309-337.

13. G. caviglia, Composite variational principles and the determination of the conservation laws, J. Math. Phys., 1988, v. 29, pp. 812-816.

14. M. B. Glauert, The wall jet, J. Fluid Mech., 1956, v. 1, pp. 625-643.

15. N. goldenfeld, 0. Martin, Y. Oono, Intermediate Asymptotics and Renormalization Group Theory, J. Sci. Comput., 1989, v. 4, pp. 355-372.

16. S. Goldstein, On laminar boundary-layer flow near a position of separation., Q. J. Mech. Appl. Mech. Math., 1948, v. 1, pp. 43-69.

17. M. А. Гольдштик, В. H. Штерн, Н. И. Яворский, Вязкие течения с парадоксальными свойствами, Новосибирск : Наука; 1989.

18. P. W. duck, A numerical method for treating time-periodic boundary layers, J.Fluid Mech., 1989, v. 204, pp. 549-561.

19. H. П. Еругин, Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений, Минск: Наука и техника, 1979, с. 743.

20. F. J. Higuera, P. D. Weidman, Natural convection far downstream of a heat sourse on a solid wall, J. Fluid Mech., 1988, v. 361, pp. 25-39.

21. N. H. IBRAGIMOV, Transformation Groups Applied to Mathematical Physics, D. Reidel, Dordrecht, 1985.

22. Э. камке, Справочник no обыкновенным дифференциальным уравнениям, Москва: Наука, 1976.

23. S. kaplun, Low Reynolds number flow past a circular cylinder, J. Math. Mech., 1957, v. 6, pp. 595-603.

24. S. kaplun, P. A. lagerstrom, Asymptotic expansions of Navier-Stokes solutions for small Reynolds numbers, J. Math. Mech., 1957, v. 6, pp. 585593.

25. Ю. С. Качанов, В. В. Козлов, В. Я. Левченко, Возникновение волн Толлмина-Шлихтинга в пограничном слое при воздействии внешних возмущений, Изв. АН СССР, МЖГ, 1978, т. 5, с. 85-94.

26. Ю. С. Качанов, В. В. Козлов, В. Я. Левченко, В. П. Максимов, Преобразование внешних возмущений в волны ПС, В кн.: Численные методы механики сплошной среды. Т.9, Новосибирск, 1978, с. 49-59.

27. М. А. Кравцова, А. И. Рубан, О нестационарном пограничном слое на поперечно обтекаемом цилиндре, совершающем вращательные колебания, Ученые записки ЦАГИ, 1985, т. 16.

28. С. С. Lin, Some physical aspects of the stability of parallel flows, Proc. Nat. Acad. Sci., Wash., 1954, v. 40, pp. 741-747.

29. И. И. ЛИПАТОВ, О распространении возмущений в сверхзвуковых пограничных слоях, Прикладная математика и механика, 1996, т. 60, с. 457 464.

30. I. I. LlPATOV, Disturbances propagation in supersonic boundary layers, IUTAM Symposium on Nonlinear Instability and Transition in Three-Dimensional Boundary Layers: Proc. Kluver Acad. Publ., pp. 369-378.

31. I. I. LlPATOV, Internal Shock Formation in the Laminar Boundary Layer due to Supercritical Subcritical Transition, AIAA paper, 1995, no. 95-2217.

32. A. F. MESSITER, Boundary-layer flow near the trailing edge of a flat plate, 1970, SIAM J. Appl. Math., v. 18, pp. 241-257.

33. F. K. MOORE, On the separation of the unsteady laminar boundary layer// Boundary Layer Reseach, ed. H. Gortler.- Berlin: Springer-Verlag, 1958, pp. 296-311.

34. В. Я. НеЙЛАНД, К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке, Изв. АН СССР МЖГ, 1969, т. 4, с. 53-57.

35. В. Я. НЕЙЛАНД, Некоторые задачи асимптотической теории сверхзвуковых течений вязкого газа, Труды ЦАГИ, 1977, т. 1529, с. 1125.

36. Е. Noether, Invariante Variationsprobleme, Kgl. Ges. Wiss., Nachr., Got-tingen, Math.-Phys. Kl., 1918, pp. 235-257.

37. P. J. OLVER, Application of Lie Groups to Differential Equations, Springer, New York, 1986.

38. Л. В. ОВСЯННИКОВ, Групповой анализ дифференциальных уравнений, Москва: Наука, 1978.

39. Т. J. PEDLEY, Two-dimensional boundary layers in a free stream which oscillates without reversing, J. Fluid Mech., 1972, v. 55, pp. 359-383.

40. L. Prandtl, Uber Fiissigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung, In: A. Kraz-er, Verh. Ill Intern. Math. Kongr., Heidelberg, Teubner, Leipzig, 1905, pp. 484-491.

41. H. L. rogler, E. Reshotko, Disturbances in a boundary layer introduced by a low intensity array of vortices, SIAM J.Appl.Mech, 1975, v.28, pp. 431— 462.

42. N. rott, Unsteady viscous flow in the vicinity of a stagnation point, Quart. Appl.Math., 1956, v. 13, pp. 444-451.

43. H. Schlichting, Laminare Strahlausbreitung, Z. Angew. Math. Phys., 1933, v. 13, p. 260.

44. K. Stewartson, Further solution of the Falkner-Skan equation, Proc. Cambridge Phil. Soc., 1954, v. 50, pp. 454-465.

45. K. Stewartson, On the flow near the trailing edge of a flat plate, Mathe-matika, 1969, v. 16, pp. 106-121.

46. С. K. W. Там, Excitation of instability waves in a two-dimensional schear layer by sound, Manuscript, 1981.

47. В. M. тешуков, Длинные волны в завихренной баротроппой жидкости, ПМТФ, 1994, т. 35, с. 17-26.

48. A. M. Vinogradov, Integrability and symmetries, Nauka, Moscow, 1987, pp. 279-290.

49. В. С. Владимиров, И. В. Волович, Законы сохранения для нелинейных уравнений, ДАН СССР, 1984, т. 279, pp. 843-847.

50. К. С. Wang, On the Determination of the Zones of Influence and Dependence for Three-Dimensional Boudary-Layer Equations, J. Fluid Mech, 1971, v. 48, pp. 397-404.

51. К. c. wang, Aspects of Multitime Initial-Value Problem Originating From Boundary Layer Equations, Phys. Fluids, 1975, v. 18, pp. 951-955.

52. К. c. wang, On the Current Controversy about Unsteady Separation. Numerical and physical aspects of aerodynamic flows, v. 1, 1982.

53. У. Д. ХеЙЗ, P. Ф. ПРОБСТИН, Теория гиперзвуковых течений газа, Москва: ИЛ., 1962.