Нелинейные уравнения скалярного и спинорного полей в теории гравитации: точные плоско-симметричные решения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Ющенко, Леонид Павлович

• Ющенко, Леонид Павлович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ющенко, Леонид Павлович

Введение

1 Точные самосогласованные плоскосимметричные решения уравнения нелинейного скалярного поля

1.1 Решение исходной системы уравнений.

1.2 Уравнение эт-Гордона.

1.3 Уравнение Клейна-Гордона

2 Точные плоско-симметричные решения нелинейных уравнений спинорного и скалярного полей с минимальной связью

2.1 Решение исходной системы уравнений.

2.2 Самосогласованные решения линейных уравнений спинорного и скалярного полей.

2.3 Самосогласованные решения системы уравнений нелинейного спинорного и линейного безмассового скалярного полей

2.4 Самосогласованные решения уравнения скалярного поля типа Борна-Инфельда.

2.5 Самосогласованные решения системыуравнений нелинейного спинорного и нелинейного скалярного полей.

3 Точные статические решения уравнений нелинейного спинорного поля во Вселенной Гёделя

3.1 Уравнение спннорного поля с нелинейным членом, являющимся произвольной функцией инварианта $ = ф'ф

3.2 Уравнение спинорного поля с нелинейностью, являющейся произвольной функцией инварианта /р = Р2 = (¿"фу5!^)

3.3 Уравнение спинорного поля с нелинейным членом, являющимся произвольной функцией инвариантов 1Ь = б'2 + Р2, т = 52 - Р

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейные уравнения скалярного и спинорного полей в теории гравитации: точные плоско-симметричные решения»

Нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных, не содержащие малого параметра, долгое время были для аналитиков «вещью в себе», к которой не имелось никаких подходов. Самое большее, на что можно было рассчитывать — это на нахождение отдельных классов точных решений, обычно связанных с группами симметрий, допускаемыми уравнениями. В тех случаях, когда этого было недостаточно, оставалось полагаться на вычисления на ЭВМ.

Тем не менее уравнения нелинейной математической физики, поддающиеся глубокому математическому анализу с помощью аналитических методов, в настоящее время исчисляются многими десятками. Эти уравнения часто называют интегрируемыми, хотя интегрируемость в другом смысле слова доказывается лишь для немногих из них. Число интегрируемых уравнений продолжает возрастать.

Характерной чертой интегрируемых уравнений является существование у них специальных точных решений — солитонов. Солитоны наиболее интересны с точки зрения физических приложений теории. Они представляют собой локализованные в пространстве и во времени объекты, отличающиеся значительной устойчивостью и сохраняющиеся при столкновениях.

Исторически, понятие уединенной волны было введено Скоттом-Расселом более ста лет назад в только что зарождавшуюся науку — гидродинамику, когда он описал это явление [1], наблюдаемое им в одном из водных каналов.

В 1895 г. Кортевег и де Вриз [2] вывели уравнение волн на мелкой воде с учетом нелинейных и дисперсионных эффектов, но в пренебрежении диссипацией энергии, заложив тем самым основы аналитического исследования уединенных волн.

В течение долгого времени к уединенной волне относились как к сравнительно маловажной экзотике, встречающейся в математической структуре нелинейной теории волн. Ввиду того, что уединенная волна представляет собой частное решение дифференциального уравнения в частных производных, многие исследователя решили, что для ее возникновения требуются несколько особые начальные условия, и что, следовательно, по отношению к задаче Коши ее роль в лучшем случае будет второстепенной. К тому же было принято считать, что если послать навстречу друг другу две уединенные волны, то в результате нелинейного взаимодействия при столкновении пропадут их целостность и характерные признаки. С появлением современных вычислительных машин появилась возможность проверить все эти предположения путем прямых вычислений.

Впервые результаты таких расчетов были получены в 1962 г. Перрин-гом и Скирмом [3], которых заинтересовали решения уравнения sin-Гордона в качестве простейшей модели элементарных частиц вещества. Перринг и Скирм провели численные эксперименты, с тем чтобы выяснить, как в такой модели происходит рассеяние элементарных частиц при столкновениях. Из найденного на ЭВМ решения следовало, что уединенные волны не рассвиваются, а выходят из столкновения с той же формой и скоростью, что и перед столкновением. Оттолкнувшись от этой «машинной подсказки», Пе-ринг и Скирм сумели найти аналитические выражения для описания актов столкновения. Любопытно, что десятилетием раньше эти уравнения уже были выведены Зегером, Донтом и Кохендерфером [4].

Вскоре Забуски и Крускал опубликовали результаты совершенно самостоятельного исследования, выполненного на ЭВМ с целью изучения возможности применения уравнения КдВ к волнам в плазме [5]. И снова машинное моделирование показало, что уединенные волны выходят из столкновения с той же формой и скоростью, что и до столкновения. Желая подчеркнуть столь примечательную особенность уединенных волн, Забуски и Крускал ввели особый термин солитон, положив начало глубоким многосторонним исследованиям условий существования солитонов. Новейшее развитие теоретической физики показало, что солитоны играют важную роль во многих физических ситуациях - в гидродинамике, в физике плазмы, в физике конденсированных сред, в теории элементарных частиц и в космологии.

В настоящее время теории солитонов посвящена обширная литература [6]. Одной из областей применения солитона является физика элементарных частиц, где солитонные решения нелинейных полевых уравнений используются в качестве простейших моделей протяженных элементарных частиц [3,6]. Как известно, теория поля, рассматривающая элементарные частицы как математические точки, обладает рядом существенных недостатков. В такой теории невозможно получить конечные значения для масс частиц, объяснить существующий спектр масс, вывести конечные значения для заряда, спина частицы и т.д. Представление о точечных частицах не позволяет ставить вопрос об их внутренней структуре, которая вытекает из современных экспериментов. Одним из возможных подходов к преодолению указанных трудностей является нелинейное обобщение основных уравнений поля. Следовательно, нахождение и исследование свойств точных регулярных локализованных решений нелинейных классических полевых уравнений (солитоно или частицеподобных решений) связано с надеждой создать свободную от расходимости теорию элементарных частиц, которая могла бы описывать сложную пространственную структуру частиц, наблюдаемую экспериментально. Внутренняя структура частиц определяет их глобальные характеристики, в том числе и те квантовые числа, которые служат для описания индивидуальных свойств, барионов, мезонов или лептонов [7]. Взаимные превращения частиц указывают на то, что существует некоторая внутренняя основа типа «праматерии» [8]. При этом надо иметь ввиду, что нелинейное обобщение теории поля необходимо независимо от вопроса о расходимостях, так как учет взаимодействия полей неизбежно приводит к появлению в уравнениях поля нелинейных членов. Это означает, что нелинейность надо рассматривать не только как один из способов устранения трудностей теория, но и как отражение объективных свойств поля. Полное описание элементарных частиц со всеми их физическими характеристиками может дать лишь теория взаимодействующих полей [9]. Локализованным решением классических уравнений поля соответствуют частицы в квантовой теории поля. Поскольку элементарная частица является квантовым объектом, то попытки построения классических моделей частиц являются предварительным, но необходимым этапом исследования при переходе к квантовой теории.

В то же время после создания общей теории относительности и квантовой теории поля возник интерес к исследованию роли гравитационных взаимодействий в физике элементарных частиц. С продвижением в область высоких энергий и по мере построения теории остальных взаимодействий включение гравитации в общую теоретическую схему взаимодействий элементарных частиц стало одной из наиболее актуальных задач физики высоких энергий [10]. В продвижении к этой цели важную роль играет получение и исследование точных решений самосогласованных систем материальных и гравитационных полей.

Учет собственного гравитационного поля системы взаимодействующих полей представляет физический интерес в силу его универсальности и неэкранируемости, а также в силу того, что уравнения гравитационного поля по своей структуре нелинейны. И таким образом из нелинейности гравитационного поля следует невозможность введения точечного объекта [11,12].

Как известно, отыскание точных решений нелинейных уравнений даже в плоском пространстве-времени является сложной задачей; учет же собственного гравитационного поля в виде системы уравнений Эйнштейна значительно усложняет задачу. Поэтому целесообразно рассматривать модельные системы полей, допускающих точное математическое исследование [13,14].

Одним из основных требований, которому должны удовлетворять ча-стицеподобные решения, является требование конечности полной энергии системы полей. Это требование легко формулируется в плоском пространстве времени для всех типов симметрии - сферической, цилиндрической и плоской. С учетом гравитационного поля требование конечности полной энергии полей, включая энергию гравитационного поля, можно сформулировать только для сферически-симметричных частицеподобных решений, так как конфигурации полей с такой симметрией образуют островную (изолированную) систему, которая может иметь асимптотически плоское пространство-время [15,16]. В плоском пространстве-времени можно рассматривать соли-тоноподобные объекты, имеющие одно, два или три пространственных измерения. В общей теории относительности уравнения Эйнштейна описывают геометрию четырехмерного пространства-времени, поэтому цилиндрически-симметричные или плоско-симметричные решения также описывают конфигурации полей в четырехмерном пространстве-времени. Поскольку системы полей с такой симметрией не ограничены по одной или двум координатам, то они не могут образовывать изолированную систему и для них понятие полной энергии, включая энергию гравитационного поля, не определено. Поэтому в теории гравитации интерпретация цилиндрически- симметричных иплоско-симметричных решений как солитоноподобных встречает определенные трудности.

Влияние гравитационного поля на свойства регулярных локализованных решений — солитоноподобных или частицеподобных решений — существенно зависит от симметрии системы. В данной работе рассматриваются статические плоско-симметричные решения нелинейных уравнений, описывающих самосогласованные системы взаимодействующих скалярного, спинорного и гравитационного полей (главы 1, 2).

Плоско-симметричные полевые конфигурации, при всей их модельно-сти, описываются более простыми системами уравнений, что позволяет проанализировать влияние собственного гравитационного поля на свойства изученных систем полей [17-19]. В настоящее время есть некоторые указания на то, что собственное гравитационное поле может играть стабилизирующую роль [20,21].

Универсальность и неэкранируемость гравитационного поля вызывает принципиальный с исследовательской точки зрения вопрос о влиянии внешнего космологического гравитационного поля на эффекты микромира. Как будет показано ниже на примере уравнения нелинейного спинорного поля (глава 3), внешнее гравитационное поле может играть определяющую роль в формировании регулярных локализованных решений с конечной энергией. В данной работе нелинейное спинорное поле рассматривается во внешнем гравитационном поле Вселенной Гёделя [22]. Чем обусловлен такой выбор?

Вселенная Гёделя является моделью Вселенной, обладающей рядом необычных свойств, которые ассоциируются с ее вращением. Вопрос о существовании вращения Вселенной как целого был поднят более 50 лет назад в работе Гамова [23] и до сих пор не имеет удовлетворительного ответа. Почти одновременно Геделем [24] была предложена замечательная во многих отношениях модель вращающейся Вселенной. Метрика Гёделя описывает однородную в пространстве и времени Вселенную, заполненную идеальной газовой средой как во Фридмановской космологии. Однако присутствие вращения имеет две особенности: 1) пространственно-временная метрика описывает анизотропное пространство, т.к. есть ось вращения, 2) существуют замкнутые времениподобные кривые. Поскольку в работе рассматривается случай самодействия спинорного поля, а характерные космологические времена очень велики по сравнению с характерными временами микромира, то этими особенностями можно пренебречь. Но если реальная Вселенная несомненно может иметь угловую скорость вращения, то замкнутые времениподобные кривые вряд ли имеют место.

Структура диссертации:

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Ющенко, Леонид Павлович

Заключение

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации:

1. В плоско-симметричной метрике изучена самосогласованная система уравнений гравитационного и скалярного полей с нелинейным членом с^((р)/с1(р в уравнении скалярного поля, где У(ср) — произвольная функция скалярного поля ср. Предложен подход к нахождению точных решений вышеуказанной системы уравнений.

В рамках принятого подхода получены точные самосогласованные решения уравнений, которые в пределе плоского пространства-времени являются уравнениями ят-Гордона и Клейна-Гордона. В случае уравнения вт-Гордона показано, что основное отличие полученных решений от решений уравнения эт-Гордона в плоском пространстве-времени заключается в том, что если в плоском пространстве-времени с изменением параметра нелинейности Л функциональная зависимость (р(х) не изменяется (ср(ж) = 4т/Лаг^ехр(гаж)), то учет собственного гравитационного поля приводит к тому, что каждому значению Л соответствует своя функциональная зависимость фл(ж). Кроме того учет собственного гравитационного поля приводит к тому, что энергия полевой конфигурации типа кинка меньше, чем энергия кинка в плоском пространстве-времени (глава 1, § 2).

В случае уравнения Клейна-Гордона поведение полученного решения при х —=роо совпадает с поведением решения соответствующего уравнения в плоском пространстве-времени, где ф(ж) = фое±тж а при х —±оо полевая функция в случае учета собственного гравитационного поля возрастает по закону ф(ж) ~ 2т\х\, ос — Зх/8, что гораздо медленнее, чем в плоском пространстве-времени (глава 1, § 3).

2. Рассмотрена система уравнений нелинейного спипорного и нелинейного скалярного полей с минимальной связью в теории гравитации в плоско-симметричной метрике. Получены точные плоско-симметричные статические решения вышеуказанной системы уравнений (глава 2,

51)

Исследована роль гравитационного поля в формировании конфигураций полей, обладающих ограниченной полной энергией, ограниченными спином и зарядом. а) Получено самосогласованное решение уравнения линейного спинор-ного поля — уравнения Дирака и уравнения линейного безмассового скалярного поля. Установлено, что хотя в случае линейных спинор-ного и скалярного полей с минимальной связью заряд и спин спи-норного поля ограничен, но полная энергия системы полей неограниченная величина. Изучено влияние изменения знака плотности энергии скалярного и спинорного полей на свойства формируемой конфигурации полей. Установлено, что при изменении знака плотности энергии скалярного поля система физически реализуема только в том случае, если величина скалярного заряда не превосходит некоторой критической величины. Более того, существует частный случай, когда существование в ОТО скалярного поля с отрицательной плотностью энергии невозможно (даже при отсутствии линейного спинорного поля) (глава 2, § 2). b) Исследована система, состоящая из уравнений нелинейного спинор-пого и линейного безмассового скалярного поля с минимальной связью. При этом нелинейный член в лангранжиане спинорного поля выбран в виде = А^?", где А — параметр нелинейности, п ^ 2. При п = 2 получено уравнение спинорного поля типа Гейзенберга-Иваненко, для которого выписаны точные решения. Показано, что в этом случае плотность энергии системы полей нелокализованная функция, а полная энергия системы неограниченная величина. Однако показано, что возможно существование системы с ограниченным спином и зарядом.

При п > 2 найдены условия, при которых полная энергия системы полей ограничена. Показано, что в рассматриваемом случае свойства конфигурации полей опроделяются свойствами нелинейного спинорного поля. Получено решение, при котором рассматриваемая система полей обладает конечной полной энергией, конечным зарядом и спином спинорного поля (глава 2, § 3). c) Рассмотрена система уравнений гравитационного и нелинейного скалярного полей. В качестве нелинейного уравнения скалярного поля выбрано уравнение типа Борна-Инфельда. Найдено решение, при котором инвариант скалярного поля 1{х) имеет форму кинка, а полная энергия скалярного поля — ограниченная величина (глава 2, § 4).

1) Исследована самосогласованная система уравнений нелинейного спинорного и нелинейного скалярного полей. В лагранжиане спи-норного поля лагранжиан самодействия выбран в виде степенной функции ^"(5) -- ХБ". - а в качестве лагранжиана скалярного поля выбран лагранжиан типа Борна-Инфельда. Найдено решение с ограниченной полной энергией системы полей, однако спин и заряд системы неограничены. В общем случае показано, что в системе нелинейных полей с минимальной связью нелинейный член в уравнении спинорного поля можно выбрать так, что устраняется вклад скалярного поля в метрику пространства-времени, но остается вклад в полную энергию системы, из чего следует вывод, что свойства системы нелинейного спинорного и скалярного полей с минимальной связью формируются той частью гравитационного поля, источником которой является нелинейное спинорное поле (глава 2, §5).

3. Получены точные статические решения уравнений спинорного поля с нелинейными членами, являющимися произвольными функциями инвариантов: 1) 5 = "фг[> и 2) Р = гфу5"ф, во внешнем гравитационном поле Вселенной Геделя. В обоих случаях рассмотрены конкретные типы нелинейных лагранжианов, приводящих к регулярным и локализованным распределениям плотности энергии спинорного поля.

88

Во внешнем гравитационном поле Вселенной Геделя рассмотрено спи-норное поле с нелинейными членами в лагранжиане, представляющими собой произвольные функции спинорных инвариантов 3) /у = 52 + Р2 и 4) 1т = Б2 — Р2. На основе системы спинорных уравнений найден явный вид /у и 1т как функций пространственного аргумента х. Предложен конкретный вид нелинейных членов в уравнениях спинорного поля, описывающих статические конфигурации с локализованной плотностью энергии и конечной энергией спинорного поля Ef = ^ Тц^—^д с1ж (при интегрировании в единичных пределах по осям у, г). Показано, что в плоском пространстве-времени исходная система нелинейных уравнений спинорного поля не имеет решений с локализованной плотностью энергии. Это означает, что в формировании статических спинорных конфигураций с локализованной плотностью энергии внешнее гравитационное поле Вселенной Геделя играет регулирующую роль (глава 3, § 3).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ющенко, Леонид Павлович, 2000 год

1. Scott-Russell J. Report on waves // Proc. Roy. Soc. - 1844. pp. 319-320.

2. Korteweg D. J., Vries G. de On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal, and on a new type of long stationary waves // Phil. Mag. V. 39 1895. pp. 422-443.

3. Perring J. K., Skyrme Т. H. R. // A model unified field equation. — V. 31 1962. pp. 550-555.

4. Seeger A., Donth H., Kochendorfer A. Theorie der Versetzungen in eindimensionalen Atomreihen III. Versetzungen, Eigenbewegungen und ihre Wedchselwukung // Phvs. V. 134 1953. pp. 173-193.

5. Zabusky N.J., Kruskal M. D. Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states // Phys. Rev. Lett. — V. 15 1965. pp. 240-243.

6. Scott A. C., Chu F. Y. F., McLaughlin D. W. The Soliton: A new Concept in Applied Science // Proc. IEEE. V. 61 1973. pp. 1443-1483.

7. Блохинцев Д. И. Проблемы структуры элементарных частиц В кн.:

8. Философские проблемы физики элементарных частиц. — М.: Наука. — 1964. 47-59 с.

9. Иваненко Д. Д. Попытка построения единой нелинейной спинорной теории материи. В кн.: Нелинейная квантовая теория поля. — М.: ИЛ. — 1959. 5-40 с.

10. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. М.: Мир. — 1985. - 414 с.

11. Мицкевич Н. В. Физические поля в общей теории относительности. — М.: Наука. 1969. - 326 с.

12. Марков М. А., Фролов В. П. О минимальных размерах частиц в общей теории относительности. Теор. и матфиз. — Т. 13. — 1972. — 41-61 с.

13. Редже Т. Гравитационные поля и квантовая механика. В кн.: Альберт Эйнштейн и теория гравитации. — М.: Мир. — 1979. — 460-466 с. — Перев. с англ.

14. Седов Л. И. Об общем смысле и об особенностях построения моделей в физике. В кн.: Труды VII Международного совещания по проблемам квантовой теории поля. — Дубна. — 1984. — 368-381 с.

15. Шикин Г. Н. Основы теории солитонов в общей теории относительности. М.: УРСС. - 1995. - 87 с.

16. Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения. — М.: Гос. изд-во физ-мат литературы. — 1961. — 563 с.

17. Мизнер Ч., Торн К., Уиллер Дж. Гравитация. — Т. 2. — М.: Мир. — 1977. — 525 с. — Перевод с английского.

18. Kulyabov D. S., Rybakov Yu. P., Shikm G. N., Yuschenko L. P. Kink-like configurations of Interacting Scalar, Electromagnetic and Gravitational Fields // Вестник РУДН, «Физика». No. 5., Вып. 1 1997. pp. 56-60.

19. Кулябов Д. С., Рыбаков Ю. П., Шикин Г. Н., Ющенко JL П. Исследование устойчивости скалярных солитонов в нелинейной электродинамике // Тезисы докладов. XXXIII Научная конференция факультета физ.-мат. и естественных наук. — М.: РУДН. — 1997. с 24.

20. Bronikov K. A., Lapchinsky V. G., Shikin G. N. Induced nonlinearities of sine-Gordon and polynomial tupes: self-gravitating solitons. — M. — 1983. 22 p. - Preprint In-te for Nucl. Research: P - 0293.

21. Рыбаков Ю. П. //О гравитационном дефекте массы солитонов. Вкн.: Тезисы докладов VI всесоюзной конференции «Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории относительности и гравитации». — 1984. С. 118-119.

22. Хокинг С., Эллис Дж. Крупномасштабная структура пространства-времени. — М.: Мир. — 1977. — 431 с.

23. Gamov G. Rotating Universe? // Nature. V. 185, No. 4016. 1946. p 549.

24. Godel K. An example of a new type of cosmological solutions of Enstein's field eguations of gravitation // Rev. Mod. Phys. — V. 21 1949.

25. Шикин Г. H. Точные плоскосимметричные решения уравнения sin-Гордона с учетом собственного гравитационного поля // Известия ВУЗов, физика. № 10. 1996. С. 87-93.

26. Shikin G. N., Yuschenko L. P. Static Plane-Symmetric Solutions for Self-Gravitating Nonlinear Scalar Fields // Gravitation and Cosmology. — V. 5, No. 3(19). 1999. pp. 199-202.

27. Шикин Г. Н., Ющенко Л. П. Нелинейное скалярное поле в теории гравитации: точные плоско-симметричные решения // Тезисы докладов X Российской гравитационной конференции. — Владимир. — 1999. с 23.

28. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука. - 1965. - 703 с.

29. Раджарман Р. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля. — М.: Мир. 1985. - 414 с.

30. Шикин Г. Н., Ющенко Л. П. Нелинейные спинорное и скалярное поля с минимальной связью в теории гравитации: точные плоскосимметричные решения // Вестник РУДН, физика. — № 7., Вып. 1 1999. С. 3-12.

31. Бриль Д., Уилер Дж. Взаимодействие нейтрино с гравитационным полем // В кн.: Новейшие проблемы гравитации. — М.: ИЛ. — 1961. С. 381— 427.

32. Адому А., Шикин Г. Н. Точные самосогласованные плоско-симметричные решения уравнений взаимодействующих спинорного и скалярного полей // Известия ВУЗов, физика. № 7. 1998. С. 69-75.

33. Гейзенберг В. Введение в единую полевую теорию элементарных частиц. М.: Мир. - 1968. - 240 с.

34. Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля. — М.: ИЛ. 1963. - 842 с.

35. Adomou A., Shikin G. N. Nonlinear spinor field equations in gravitational theory: plane-symmetric soliton-like solutions // Gravitation and Cosmology. V. 4, No. 2(14). 1998. pp. 107-113.

36. Шикин Г. H., Ющенко J1.П. Точные статические решения нелинейных уравнений спинорного поля во Вселенной Гёделя // Известия ВУЗов, «Физика». № 7. 1996. С. 111-116.

37. Шикин Г. Н., Эррера А., Ющенко Л. П. Exact solutions to the nonlinear spinor field equations in the Gddel Universe // Сообщения ОИЯИ. — E2-96-368. Дубна. 1996. с 12.

38. Шикин Г. Н., Эррера А., Ющенко Л. П. Точные солитоноподобные решения нелинейных уравнений спинорного поля во Вселенной Гёделя // Тезисы докладов XXXIII Научной конференции факультета физ.-мат. и естественных наук. — М.: РУДН. — 1997. с 52.

39. Шикин Г. Н. Нелинейные спинорные поля во внешнем космологическом поле и проблема устранения сингулярности начального состояния. — М. 1991. - 21 с. - Препринт ИПБРАЭ АН СССР.95

40. Берестецкий В. В., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Квантовая электродинамика. — М.: Наука. — 1980. — 704 с.

41. Рамит Азад, Шикин Г. Н., Ющенко Л. П. Нелинейное спинорное поле во Вселенной Гёделя: статические конфигурации с локализованной плотностью энергии // Вестник РУДН, «Физика». — № 6., Вып. 1 1998. С. 15-19.

42. Шикин Г. Н., Ющенко Л. П. Нелинейное спинорное поле во Вселенной Гёделя: точные решения с локализованной энергией // Тезисы до."Т.укладов. Всероссийская научная конференция. Фридмановские чтения. — Пермь. 1998. с 13.

43. Рыбаков Ю. П. Структура частиц в нелинейной теории поля. — М.: РУДН. 1985. - 80 с.