Непертурбативные методы в квантовой теории поля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, Илчев, А.С.

• Илчев, А.С.
• 1985

Оглавление диссертации Илчев, А.С.

ЕВДЁНИИ

ГЛАВА I. СУММыРСBAHyiE АСйШТОТИ%СКиХ РИДОВ

1. Описание метода суммирования

2. Ангармонический осциллятор

3. Критиццексы и р -функции.

ГЛАВА II. БАЗОВЫЕ ШРЕХОДЫ В АЫЕВЫХ ХйГГС-Ш1Ш?0

ВОЧНыХ ТЕОРИЯХ НА РЕШЕТКЕ.

1. постановка задачи

2. Шазовые переходы в Zn хштс-калиоров очных моделей .•.••.••••.•.•

3. шазовая структура UOO хиггс-калибровочной модели

ГЛАВА III. ФАЗОВАЯ СТРУКТУРА SU(2) -ШМЕТРИЧНОЙ

ХИГГС-КАЛИЕРОВОЧНОН ТЕОРИЕЙ НА РЕШЕТКЕ.

1. Выбор модели и постановка задачи .•••.«••••

2. шазовая структура модели

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Непертурбативные методы в квантовой теории поля»

В настоящее время считается общепринятым, что теоретическим базисом для объяснения любых наблюдаемых закономерностей физики элементарных частиц является аппарат квантовой теории поля (КТП).

Развитие последовательной схемы канонического квантования и строгой процедуры вычитания расходимостей ( R - операции Боголюбова)^'^ в сочетании с методом ренормгруппы^3^ придало квантово-полевому подходу определенную формальную законченность и позволило строить реалистические лагранжевы модели взаимодействия элементарных частиц.

Основанием для веры в мощь методов КТП служат, например, впечатляющие успехи квантовой электродинамики, теории электрослабых взаимодействий, а также квантовой хромодинамики (КХД), претендующей на роль теории сильных взаимодействий.

Большинство из упомянутых успехов квантово-полевого подхода связано с применением метода теории возмущений (ТВ).

До самого недавнего времени ТВ являлась, да и сейчас еще продолжает быть одним из наиболее мощных вычислительных инструментов квантовой теории поля.

Когда говорят, что данная величина ^(х) вычисляется по ТВ, под этим, как правило, подразумевается, что она представлена в виде ряда по степеням параметра X • и что существует рецепт, позволяющий, в принципе, вычислить все коэффициенты разложения . В этом случае, когда параметр разложения '/■ мал, можно определить величину {-(х.) с достаточной степенью точности, ограничившись вычислением лишь нескольких первых коэффициентов разложения -fh . Классическим примером эффективности ТВ является, например, вычисление аномального магнитного момента электрона' . Вопрос о сходимости ряда ТВ остается при этом за пределами собственно теории возмущений. Заметим в этой связи, что когда параметр разложения действительно мал, как это имеет место, например, в квантовой электродинамике, сходимость ряда ТВ не является необходимым условием для получения хорошего приближения с помощью первых нескольких членов разложения - для этого достаточно, чтобы ряд был асимптотическим. Напомним, что по определению Пуанкаре^/ ряд (B.I) представляет асимптотическое разложение функции -fro при х-?- О, если для любого целого N > 0 имеет место

Г м 1 in L £х> - ТХх*7 J = О (в>2)

Асимптотические ряды могут как сходиться, так и расходиться. В дальнейшем под асимптотическими рядами будут пониматься, в основном, расходящиеся ряды.

Соображения о том, что ряды ТВ в квантовой электродинамике могут быть расходящимися, были высказаны впервые мйооно!/5/ задолго до появления первых работ по исследованию высших порядков ТВ. Дайсон обратил внимание на то, что при отрицательных значениях квадрата заряда электрона ( 6 < 0) электромагнитный вакуум

2. оказывается неустойчивым. Так как при € ,> 0 электромагнитный вакуум устоичив, то это означает, что точка е =0 является точкой неаналитичности.

В работах/®""^/, на основе вычисления числа фейнмановских диаграмм и оценки их вкладов, сделано заключение о факториальном росте коэффициентов рядов ТВ для ряда квантово-полевых теорий. Прямое вычисление большого числа коэффициентов разложения в ряд ТВ для основного уровня энергии ангармонического осциллятора ^^ /11,12/ ПОдТВердИЛО наличие факториального роста. Эффективное использование метода функционального перевала^3"3-5/, позволившего вычислять асимптотические значения коэффициентов разложения при h-? , привело к окончательному заключению о том, что практически во всех нетривиальных квантово-полевых теориях ряды ТВ являются расходищимися (см. по этому поводу, например, обзоры^"^8/).

С другой стороны, для целого ряда задач параметр разложения по ТВ нельзя считать малым. В результате надо либо вообще отказаться от применения ТВ, либо найти процедуру, позволяющую извлекать информацию об искомой величине из ее расходящегося асимптотического разложения. Такие процедуры принято называть методами суммирования асимптотических рядов.

Среди многочисленных методов суммирования (см. обзорь/^""^) особое место занимают те, что основаны на преобразовании Боре-ля^Л Именно, пусть дан расходящийся ряд (В.1). Рассмотрим другой ряд, получаемый из него делением всех коэффициентов -f на nl, . Если полученный таким образом ряд имеет конечный радиус сходимости, то его сумма есть борелевский образ ряда (B.I):

2 ; ГгК* (в.з)

Радиус сходимости % ряда (В.З) зависит от асимптотического поведения коэффициентов 4- npnV) оо . Так, например, если Ь

Г ^ c.a%k^l [<+ (в.4)

ТО .

Метод Бореля дает нам возможность однозначно восстановить функцию ^ по ее асимптотическому ряду, если -(-ск) удовлетворяет условиям теоремы Ватсона-Неванлинна g этом случае

J^bCrt-tUt (в.5) о

Поскольку в большинстве реалистических случаев мы не располагаем достаточной информацией об искомой сумме ряда, то применение метода суммирования по Борелю к асимптотическим рядам КТП всегда есть дополнительных анзатц.

Таким образом, на повестку дня становится задача восстановления функции » исходя из нескольких первых членов ее разложения по степеням X , а также из асимптотического вида коэффициентов степенного разложения -f ПРИ больших и .

Безусловно, в такой постановке задача не определена. Принципиальное отличие асимптотических разложений от обычных степенных рядов состоит в том, что они не полностью определяют функцию: существуют, например, функции вида , неаналитические с в нуле, все коэффициенты разложения которых в ряд Тейлора по * при У = 0 равны нулю. Другими словами, один и тот же асимптотический ряд может служить разложением различных функций с различными аналитическими свойствами. Поэтому для однозначного решения задачи требуется дополнительная информация об аналитических свойствах искомой функции и (или) ее поведение при у-» оо .

Тем не менее, даже не располагая никакой дополнительной информацией о функции -(-Сх) , кроме знания первых нескольких членов разложения в ряд ТВ и асимптотики коэффициентов разложения -С при л^оо , можно получать разумные результаты, используя I различные модификации преобразования (В.3)-(В.5).

От того, насколько удачно задан метод суммирования, или метод восстановления искомой функции по имеющейся исходной информации, зависит то, насколько далеко удается продвинуться в область больших к . Таких методов существует несколько, и с их помощью удалось продвинуться существенно за пределы области слабой связи для ряда интересных физических задач (таких, например, как вычисление критиндексов, вычисление уровней энергии ангармонического осциллятора, вычисление £> -функции Гелл-Манна-Лоу и др.)/20"29/.

Однако, несмотря на успешное развитие методов восстановления функции по ее асимптотическому ряду, позволившему существенно расширить область применимости ТВ, для дальнейшего продвижения в реалистических квантово-полевых моделях необходим выход за рамки ТВ.

Даже в такой теории, как КХД, обладающей свойством асимптот-свободы (что означает, что взаимодействия становятся очень слабыми на малых расстояниях) область применимости ТВ сравнительно невелика. Несмотря на интенсивные теоретические и эксперименталь

4 — ные исследования процессов глубоко неупругого рассеяния, е-е -аннигиляции, рождения лептонных пар, струй и т.п. не существует еще в настоящее время однозначного ответа на вопрос: является ли КХД теорией сильных взаимодействий. В данный момент трудно разделить пертурбативные и непертурбативные вклады в эти процессы.

Является общепринятым, что такие явления, как невылетание цветных объектов, температурные фазовые переходы и т.п. имеют сугубо непертурбативную природу.

Таким образом, для того, чтобы получить последовательное описание физических явлений в реалистических квантово-полевых моделях, в первую очередь в калибровочных моделях, необходимо уметь придавать смысл вычисляемым в теории величинам вне рамок ТВ.

Одним из возможных способов выйти за пределы ТВ заключается в том, чтобы ввести в физическом (нецрерывном) пространстве-времени дискретную решетку с конечным шагом & .

Калибровочные теории на решетке в их современном виде были предложены Вильсоном^/ (см. в этой связи также^^).

Решеточная формулировка калибровочных теорий приводит к не-пертурбативной регуляризации ультрафиолетовых расходимостей и позволяет непертурбативным образом проквантовать калибровочные теории.

Рассмотрим решетку в четырехмерном (евклидовом) пространстве-времени. Координаты узлов решетки обозначим через

X = а Л = (/ч Лз-.^з,^) где ,iif - целые числа, а ребра - через L-=6<; И) , л где X - это узел, из которого выходит ребро L , а [< - это единичный вектор в том направлении, в котором это ребро ориентировано. Обратный шаг решетки 1/си (точнее,^/а,) играет роль параметра обрезания по импульсам, что обеспечивает регуляризацию ультрафиолетовых расходимостей. В узлах решетки X "живут" поля материи (фермионы, хиггсовские поля), а на ребрах L

- калибровочные поля . В случае теории с калибровочной группой симметрии G Uu С G • этом

Uc^rf =

При калибровочных цреобразованиях поля преобразуются как где а поля материи ^ преобразуются как

X

Действие решеточной системы определяется как калибровочно инвариантная величина s sSimwi

В случае непрерывных групп симметрии действие должно переходить в классическом непрерывном пределе (т.е. в пределе а-? О, все константы и массы - фиксированы) в соответствующее континуальное действие.

Выбор решеточного действия неоднозначен (см. по этому поводу, например, книгу/32/ и обзоры^33""35/.

Наиболее популярным решеточным действием для чиото калибровочных полей является в настоящее время Вильсоновское действие /30/.

Г О ^ N • (в.6) где и сумма распространяется по всем граням решетки (плакетам).

Квантование решеточной системы производится с помощью функциональных интегралов, в которых интегрирование проводится по всем полевых переменным, определенным на ребрах и в узлах. При этом в качестве меры интегрирования по калибровочным полям UL выступает мера Хаара J-0L .

Отметим при этом весьма существенный и нетривиальный момент: в отличие от функционального интеграла в континууме (который, впрочем, в этом случае имеет чисто формальный смысл и корректно определен только в смысле ряда теории возмущений) мера интегрирования по калибровочным полям в решеточной теории является компактной. Компактность меры позволяет цроизводить вычисления, не фиксируя калибровку и избавляет нас от проблем, связанных с неоднозначностями Грибова^Л С другой стороны, очевидно, следствием компактности является периодичность по вектору-потенциалу калибровочного шля A-j* /30,33/^ ^аким образом, решеточная формулировка калибровочной теории представляет собой не просто регуляризацию, но и нетривиальное непертурбативное доопределение ряда ТВ.

Особый интерес при исследовании свойств решеточных теорий представляет изучение их фазовой структуры. В самом деле, ключевым вопросом любой решеточной, или, что то же самое, статистической теории (поскольку любая ТП на решетке с помощью формализма трансфер-матрицы может рассматриваться в рамках статмеха-ники) является вопрос о континуальном пределе, т.е. о пределе теории при &-9 0.

Поскольку общепринятым является вера в то, что физическое пространство-время является непрерывным (по поводу противоположной точке зрения на этот счет см., напримерУ3^), то это означает, что речь идет о необходимости установления соответствия между статмеханикой и континуальной КТП. Подчеркнем в этой связи тот факт, что решеточное действие, как правило, не зависит явно от шага решетки & , но зависит от "голых" констант взаимодействия ( \0 . ч. ) и "голых" масс ( Wl^ (а)), зависимости которых от шага решетки мы в большинстве случаев не знаем. В теорию поля шаг решетки си приходится вводить как некоторый нетривиальный параметр. Вместе с тем достаточно общие соображения показывают, что безразмерная корреляционная длина J в решеточной системе и шаг решетки <х связаны простым соотношением^38/

-г--г——г (В.7) где ^ - некоторая физическая масса.

Равенство (В.7) можно использовать для определения шага решетки а (в этом есть смысл, так как в статмеханической системе безразмерная корреляционная длина $ определяется независимо от шага cl через корреляционные функции). В континуальном пределе 0 физические массы ^ должны, очевидно, оставаться постоянными: фиксированы

Отсюда следует, что мы можем ожидать переход к континуальному пределу в критической точке, т.е. цри о

В критической точке исследуемой решеточной системы безразмерная корреляционная длина стремится к бесконечности и, соответственно, шаг решетки стремится к нулю. Более точно, непрерывный предел (калибровочно-инвариантных) вакуумных средних существует, если критическое поведение определяется неподвижной точкой ренормгруп-пы. В этой точке решеточной (статистической) системе может быть сопоставлена некоторая полевая теория с бесконечным обрезанием, которую мы и назовем континуальным пределом решеточной теории. Вполне допустимо существование нескольких или даже бесконечного числа фиксированных точек. Существование нескольких фиксированных точек может9 в принципе означать существование нескольких теорий в континууме.

Таким образом, исследование фазовой структуры (фазовых диаграмм) решеточных теорий и поиск критических точек может явиться важным условием исследования континуального предела решеточных теорий.

В настоящее время достаточно хорошо изученными являются рия должна включать в себя также динамические поля материи (кварки, хиггсовские бозоны, .). Введение динамических полей материи может радикальным образом повлиять на поведение исследуемых величин калибровочной теории. Один из примеров тому - появление массы у калибровочного бозона благодаря хиггсовскому механизму, в результате чего силы становятся короткодействующими.

С другой стороны, введение полей материи и связанных с ними новых, вообще говоря, параметров теории (в случае хиггсовских полей - это константа скалярного самодействия и "масса" хиггсовско-го бозона) приводит к нетривиальной фазовой структуре теории. чисто калибровочные теории (с группами симметрии

SUCN), SO СМ) Вместе с тем, любая реалистическая тео

По существующим в настоящее время представлениям о фазовой структуре теорий, включающих взаимодействие калибровочных полей со скалярными полями материи, существует по крайней мере три "основные" фазы: фаза конфайнмента, хиггсовская фаза и "кулоновская" фаза (см. по этому поводу, например/39'40/). На фазовой диаграмме области, соответствующие различным фазам, разделены, вообще говоря, линиями фазовых переходов.

Исследованию фазовых диаграмм в хиггс-калибровочных моделях было посвящено за последнее время значительное число рабо1/^1"^^ В большинстве из них использовалось сильное упрощающее предположение: радиальная мода хиггсовского поля считалась замороженной

Основанием для этого предположения служили соображения, основанные на ренормгрупповом подходе/3^/ и гласящие, что континуальный предел может существовать в окрестности критической точки (точнее, в неподвижной точке ренормгруппы с бесконечной корреляционной длиной) . Поэтому с точки зрения континуального предела действительный размер скалщшого поля не является существенным в регуляризо-ванном решеточном действии, и фиксация радиальной моды не является чересчур ограничительным условием. Однако, это рассуждение имеет шанс быть правильным только в том случае, когда в теории есть только одна фиксированная точка. Если же в теории может быть несколько фиксированных точек, что представляется более реалистическим, то фиксация радиальной моды (что соответствует выбору затравочного действия на канонической поверхности) может привести нас не к той фиксированной точке, к какой нам нужно.

Поэтому представляется важным учесть флуктуации радиальной моды хиггсовского поля. Впервые это было сделано в работах /41-42/ для -симметричной модели. Размороженная радиальная мода использовалась также в работах /^-54/ МОделец с группами симметрии ^ ;Uft) ; ; SUI*)'.

Диссертация состоит из трех глав и двух приложений.

Первая глава посвящена проблеме суммирования расходящихся рядов в некоторых задачах квантовой механики и теории поля. Предлагается новый метод суммирования расходищихся асимптотических рядов. Этот метод применяется для суммирования асимптотических рядов для основного уровня ангармонического осциллятора со степенью

2-N ангармоничности , N=2,3,4,5, а также для вычисления критйндексов и р -функции в теории ф^ .

Вторая и третья главы посвящены изучению фазовой структуры хиггс-калибровочных теорий на решетке.

Во второй главе рассматривается случай абелевых групп симметрии: как с дискретными группами , N = 2,3,4,5,6,10,20, 100,200,300, так и с непрерывной группой (J(i) . Приводятся результаты анализа фазовых переходов в таких моделях. Параметры порядка вычисляются как методом Монте-Карло, так и из замкнутых аналитических выражений для приближенного эффективного потенциала типа Коулмена-Вайнберга. В частности, методом эффективного потенциала решается вопрос о характере фазового перехода при изменении голой массы скалярного поля, а также и о поведении параметра порядка в окрестности концевой точки.

В третьей главе излагаются результаты исследований решеточной хиггс-калибровочной модели с неабелевой группой симметрии £0Ц) . Выясняются все характерные особенности фазовой структуры такой модели. Ставится и выясняется принципиальный вопрос о роли способа размораживания радиальной степени свободы скалярного поля.

Приложение 1 посвящено изложению некоторых методических вопросов использования численного метода Монте-Карло.

В приложении 2 формулируется метод эффективного потенциала.

Заключение диссертации по теме «Другие cпециальности», Илчев, А.С.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации рассмотрены некоторые методы теории квантовых полей, выходящие за рамки теории возмущений по константе взаимодействия. Основные результаты таковы:

1. Предложен новый метод суммирования знакопеременных асимптотических рядов, основанный на модифицированном преобразовании Бореля, в котором борелевский образ fife) есть целая функция £ .

2. При помощи предложенного метода просуммированы расходящиеся ряды теории возмущений для основного уровня энергии ангармонического осциллятора, для критических индексов и для функции Гелл-Манна-JIoy в модели теории поля .

3. Исследованы калибровочно-скалярные модели теории поля на решетке с группы симметрии 2W . Скалярные (хиггсовские) поля принадлежат фундаментальному представлению калибровочной группы и являются динамическими в том смысле, что их радиальные флуктуации учитываются в статсумме. Методом Монте-Карло изучены фазовые переходы в таких моделях для двух граничных значений голой калибровочной константы (ноль и бесконечность). Обнаружены фазовые переходы первого порядка и получена зависимость точки фазового перехода 14о от N (т.е. от группы симметрии).

4. Получено выражение для приближенного эффективного потенциала и с его помощью проверены и подтверждены результаты монте-карловских вычислений.

5. Для [)(() -симметричной хиггс-калибровочной теории получено приближенное выражение для эффективного потенциала типа Коулмена-Вайнберга и с его помощью полностью изучена фазовая структура теории для больших значений затравочной калибровочной константы. Вне области применимости приближенного эффективного потенциала фазовые переходы модели изучались методом Монте-Карло и получены фазовые диаграммы для разных значений константы скалярного самодействия.

6. Как методом Монте-Карло, так и при помощи эффективного потенциала показано, что линии фазовых переходов I порядка могут обрываться и что точка, в которой это происходит, аналогична критической точке на фазовой диаграмме типа "газ-жидкость-лед". Тем самым доказано, что для рассмотренной модели имеет место т.н. "принцип дополнительности фаз". Строго доказано, что в упомянутой концевой точке имеет место фазовый переход П порядка.

7. Выявлена фазовая структура хиггс-калибровочной модели теории поля на решетке с неабелевой группой симметрии SUM . Получен приближенный эффективный потенциал и с его помощью показано, что и в этой модели есть фазовые переходы первого порядка, и что линии этих переходов в плоскости обрываются в критических точках. В отличие от абелевого случая, здесь не наблюдаются линии фазовых переходов П порядка при фиксированной константе скалярного самодействия, но эффект включения взаимодействия с скалярным полем приводит к смещению точки "кроссовера", характерной для чистой ^Ut2-^ калибровочной теории.

8. Выяснен принципиальный вопрос о роли способа размораживания радиальной моды скалярного поля и показано на конкретном примере, что фазовая структура теории зависит самым существенным образом от выбора радиальной меры интегрирования в статсумме.

В заключение я считаю своим приятным долгом выразить глубокую благодарность дирекции ОИЯИ и ЛТФ за предоставленную возможность работать в Лаборатории теоретической физики в течение ряда лет.

Мне приятно выразить свою благодарность моим научным руководителям В.А.Матвееву и В.К.Митрюшкину за постоянное внимание и сотрудничество в течение всего времени работы над диссертацией.

Я хотел бы выразить свою глубокую благодарность руководству физического факультета Софийского Университета и кафедры теоретической физики, в особенности А.Дацеву, И.Златеву, М.Матееву за всестороннюю поддержку и понимание.

Мне приятно поблагодарить В.П.Гердта, А.М.Задорожного, И.К.Соболева, сотрудничество с которыми было весьма плодотворным.

Я благодарен всем сотрудникам ЛТФ за созданную ими неповторимую научную атмосферу, жить и работать в которой - большое счастье.

Список литературы диссертационного исследования Илчев, А.С., 1985 год

1. Н.Н.Боголюбов, Д.В.Ширков "Введение в теорию квантованных полей", Наука, М., 1976.

2. А.А.Славнов, Л.Д.Фаддеев "Введение в квантовую теорию калибровочных полей", Наука, М., 1978.

3. Н.Н.Боголюбов, Д.В.Ширков, ДАН, 1955, 100, с. 203.

4. Г.Харди "Расходящиеся ряды", ИЛ, М., 1951.

5. P.J.Dyson, Phys.Rev., 1952, 85, p. 631.6. с.A.Hurt, Proс.Cambridge Phys. Soc., 1952, 48, p. 635.

6. W.Thirring, Helv.Phys.Acta, 1953, 26, p. 33.

7. A.Petermann, Helv.Phys. Acta, 1953, 26, p. 291.

8. A.Jaffe, Commun. Math.Phys., 1965, 1, p. 127.

9. W.M.Frank,J.Math.Phys., 1967, 8, p. 1121.

10. C.M.Bender, T.T.Wu, Phys.Rev., 1969, 184, p. 1231.

11. C.M.Bender, T.T.Wu, Phys.Rev., 1973, D7, p. 1620.

12. J.S.Lagner, Ann.Phys., 1967, 41, p. 108.

13. C.S.Lam, Nuovo Cim., 1968, 60A, p. 258.

14. Л.Н.Липатов, ЖЭТФ, 1977, 72, с. 411.

15. J.Zinn-Justin, Phys.Rep., 1981, 70, p. 109.

16. E.Bogomol'nyi, V.A.Pateev, L.N.Lipatov, Rev. of Sov.Science, 1980, 3.

17. Д.И.Казаков, Д.В.Ширков,"Суммирование асимптотических рядов в квантовой теории поля", Лекции для молодых ученых, Дубна, Р2-80-462, 1980.

18. A.D.Sokal, J. Math. Phys., 1980, 21, p.261.

19. В.И.Огиевецкий, ДАН , 1956, 109, с.919.

20. J.J.boeffel, A.Martin, В.Simon,A.S.Wightman, Phys.Lett., 1969, ЗОВ,p.656."

21. Д.И.Казаков, О.В.Тарасов, А.А.Владимиров, КЭТФ, 1979, 77,с.103

22. G.Parisi, Phys. Lett., 1977, 69B, p.329.

23. B.JI.Елецкий, В.С.Попов, Ш, 1978, 28, с.1109.

24. Д.И.Казаков, О.В.Тарасов, Д.В.Ширков, ТВ®, 1979, 38, с.15.

25. O.V.Sarasov, bett. Math. Phys., 1979, 3, p.143.

26. A.S.Ilchev, V.K.Mitrjushkin, J.Phys. G, 1981, 7, L221.

27. А.С.Илчев, В.К.Ьштрюшкин, 1982, 38, с.115.

28. A.sTllchev, V.K.Mitrjushkin, JINR, E2-83-281, Dubna 1983.

29. K.G.Wilson, Phys. Rev. , 1974, D10,p.2445.■

30. F.J.Wegner, J. Math. Phys., 1971, 10, p.2259.

31. M.Creutz, "Quarks, Gluons and Lattices", Cambridge Univ. Press Cambridge, 1983.

32. J.Kogut, Rev. Mod. Phys., 1983, 55, p.775.

33. P.Hasenfratz, Ref. IH 3737 CERH 1983."

34. Ю.М.Макеенко, УШ, 1984, 143, c.161.

35. V.N.Gribov, Nucl. Phys., 1978, 139B, p.l.

36. T.D.Lee, Phys. Lett., 1983, 122B, p.217,

37. К.Вильсон, Д&.Когут, "Ренормализационная группа и -разложение", Мир, М., 1975.

38. G.t'Hooft, ITucl. Phys., 1979, В153, p.141.

39. D.J.E.Callaway, ANL-HEP-PR-82-57, 1982.

40. E.Pradkin, S.H.Sheriker, Phys. Rev., 1979, D19, p.3682.

41. T.Munehisa, Y.Munehisa, Phys. Lett., 1982,116В,p.353?

42. T.Munehisa, Y.Munehisa, Nucl.Phys.,1983, B215 m. , p.508.

43. В.П.Гердт, А.С.Илчев, В.КЛштрюшкин, Щ, 1984, 40, c.1097.

44. V.P.Gerdt. A.S.Ilchev, V.K.Mitrjushkin, JINR E2-85-59 ,DuЪш

45. Y.Munehisa, Phys. Rev., 1984, D30, p.l310.<

46. G.Koutsoramhas, Phys. bett., 1984, 140B, p.379.48; Y.Munehisa, YAMANASHY- 84-02, 1984'.49*1 H.' Kuhnelt,C.B.bang, G.Vones, Nucl.Phys., 1984, B230 FS10 p. 16.

47. V.P.Gerdt, A.S.Ilchev, V.K.Mitr;jushkin, I.K.Sobolev, A.M. Za-dorozhny, JINR E2-84-313, Dubna.

48. S.Gupta, U.M.Heller, Phys. bett., 1984, 138B, 171.

49. К.Kanaya, Y.Sugiyama, llagoya Univ., DPNU-84-08, 1984.

50. V.P.Gerdt, A.S.Ilchev, V.K.Mitrjushkin, A.M.Zadorozhny, JINR, E2-85-I03 , Dubna.

51. V.P.Gerdt, A.S.Ilchev, V.E.MitrPushkin, A.M.Zadorozhny, JINR, E2-85-IW • , Dubna:

52. P.M.Stevenson, Phys. Rev., 1981, D23, p.2916.

53. P.M.Stevenson, Nucl. Phys., 1982, B203, p.472;

54. B.Simon, Ann. of Phys., 1970, 58, p.76.

55. E.Brezin, J.C.Le Guillou, J.Zinn-Justin, Phys.Rev.,1977,D15, p.1320.

56. E.Brezin, G.Parisi, J.Zinn-Justin, Phys.Rev. ,1977, Dl6,p.408.<

57. K.G.Chetyrkin, A.b.Kataev, E7v.Tkachev, Phys.bett. ,1981,99B, p.147.

58. В.С.Попов, В.JI.Елецкий, А.В.Турбинер, ЖЭТф, 1978, 74,с.445.

59. D.Y.Shirkov, bett. Nuovo Cim., 1977, 18, p.452.

60. M.Creutz, L.Jacobs, C.Rebbi, Phys.Rev., 1979, D20, p.1915.

61. B.Lautrup, M.Nauenberg.,Phys.Lett., 1980, 95B, p.'63.

62. D.J.E.Callaway, L.J.Carson, Phys.Rev, 1982, D25, p.531.

63. D.J.E.Callaway, L.J.Maloof, Phys.Rev, 1983, D27, p.406.67." Y.Pujimoto, O'Raifeartaigh, G.Parravicini, Nucl.Phys., 1983, B212, p.268.

64. S.Coleman, E.Weinberg, Phys.Rev., 1973, D7, p.1888.

65. E.Earhi, L.Susskind, Phys. Rep., 1981, 74, p.277.'

66. G.Bhanot, M.Creutz, Phys,Rev1981, D24, p.3212.

67. M.Creutz, Phys. Rev., 1980, D21, p. 1006."

68. C.B.Lang, C.Rebbi, M.Virasoro, Phys. Lett., 1981, 104B,p,294.

69. K.C.Bowler, G.S.Pawley, B,J,Pendelton, D.J.Thomas,G.W.Wallace, Phys. Lett.', 1981, Ю4В, p.481.

70. G.Mack, H.Meyer, Hucl.Phys., 1982, 200B, p.249.

71. J.Ranft, J.Kripfganz, G.Ranft, КШ-НЕР-82-05, Leipzig 1982."

72. K.G.Wilson, Phys. Rev., 1971, D3, p. 1818.77." C.E. Ермаков, Г.А.Михайлов "Статистическое моделирование"М. ,198,

73. К.Биндер,"Методы Монте-Карло в статистической физике" Мир, 1982 79• Н.Metropolis, A.W.Rosenbluth, M.H.Rosenbluth, A.H.Teller,

74. E.Teller, J.Chem. Phys., 1953, 21, p.1008.