Нормирования Гельдера матриц тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Хоссейни Мохаммад Хоссейн

• Хоссейни Мохаммад Хоссейн
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Хоссейни Мохаммад Хоссейн

Список обозначений

Введение

1 Теорема жесткости по Гельдеру для совокупности всех квадратных матриц.

1.1 Жесткость Гельдера для совокупности всех квадратных матриц над телом.

1.1.1 Нормирование и примеры.

1.1.2 (Ci, С2)-нормирования по Гельдеру.

1.1.3 Жесткость по Гельдеру для совокупности всех квадратных матриц.

1.2 Существование (Ci, С2)—нормирования на объединении колец матриц R = о М2г (D).

1.2.1 (Ci, С2)—нормирования.

1.2.2 (Ci, С^-нормирование на кольце R = -^2*(D)■ ■ •

1.3 Жесткость Гельдера для колец Оре.

1.3.1 Кольца Оре.

1.3.2 Теорема о жесткости по Гельдеру для колец Оре.

2 Теорема о жесткости по Гельдеру для пространственных матриц

2.1 Жесткость Гельдера для кубических матриц.

2.1.1 Кубические матрицы.

2.1.2 Детерминант кубической матрицы.

2.1.3 Операции над кубическими матрицами.

2.1.4 Нормирования на кубических матрицах.

2.2 Жесткость Гельдера для пространственных матриц.

2.2.1 Пространственные матрицы.

2.2.2 Детерминант пространственной матрицы.

2.2.3 Операции над пространственными матрицами.

2.2.4 Нормирования на пространственных матрицах.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нормирования Гельдера матриц»

Нормирования играют важную роль в теории полей, тел и колец. В этой области известны результаты О. Ф. Г. Шиллинга, П. М. Кона, М. Махдави Хезавеии, Ю.Л. Ершова, Н.Е. Дубровина, Е. Гарсиа и многих других. Понятие нормирования тела были впервые рассмотрены в 1945 году О. Ф. Г. Шиллингом ([20]). В [9] и [11]) это понятие расширено П. М. Коном для колец квадратных матриц над телом D. Для определения нормирования над телами частных нам полезно относительно матричное нормирование. Идея матричного нормирования была развита М. Махдави Хезавеии в [14, 15,16].

Пусть R — кольцо. В [17] Гарсиа определил (Ci, С^-нормирование Гель-дера на кольце R и доказал, что (Ci, С^-нормирование Гельдера на коммутативном кольце R (Cf, ^-эквивалентно по Гельдеру некоторому классическому нормированию, где С\: С2 > 1 и а = (log(2Ci))1.

Определение. Пусть R — поле действительных чисел, С\,С2 > 1. Под (Ci, С2)-нормированием по Гельдеру па совокупности всех квадратных матриц M(D) над телом D понимается отображение | \:M(D) —»■ R U {00}, удовлетворяющее следующим условиям:

1. если А £ Mn(D) и г (А) < п, то | А |= оо;

2. если А, В б Mn(D), 1 < j < п, Bj = -Aj, и Bt = Ai для i ф j, 1 < г < n, то | A |=| В | ;

3. если А, В £ Mn(D) и детерминантная сумма А\/ В определена, то

А\/В \> С2 min{ | А |,| В |};

4. для любых А 6 Mn(D),B е Mm{D): А | + | В |) <| Л 0 В |< Ci(| Л | + | В |);

5. | I 0, где I — единичная матрица.

Замечание. (1,1)-нормирование по Гельдеру является классическим нормированием.

Теорема (Жесткость по Гельдеру для совокупности всех квадратных матриц).

Пусть | |i: M{D) —У RU{oo} — (Ci, С2)-нормирование по Гельдеру на совокупности всех квадратных матриц M(D), где С\ > 1,Сг > 1. Тогда существует нормирование | А |2 на M(D), которое (2, а)-эквивалентно по Гельдеру нормированию | |i, где а = (log2(2Ci))~1.

В диссертация расмотрены свойства нормирований по Гельдеру над кольцами и телами, для колец квадратных матриц порядка п над телом D, для множества кубических матриц порядка п, а также пространственных матриц порядка п над полем Р.

Доказаны структурные теоремы жесткости Гельдера для этих алгебраических систем.

Цель работы. Изучение свойств матричных нормирований и жесткости по Гельдеру для нормирований Гельдера:

1. для совокупности всех квадратных матриц над телом;

2. для совокупности всех кубических матриц над полем;

3. для пространственных матриц над полем;

4. для колец Оре.

Методы исследований. В диссертации используются методы теории матриц, линейной алгебры, теории колец и теории нормирований колец.

Научная новизна. Результаты работы являются новыми. Основными результатами являются следующие:

1. исследованы матричные нормирования и (С\, С2)-нормирования по Гельдеру для совокупности матриц (квадратных, кубических и пространственных) ;

2. доказана жесткость по Гельдеру для совокупности всех квадратных матриц;

3. исследованы (Ci, С^-нормирования на классах простых регулярных колец;

4. доказана жесткость по Гельдеру для кольца Оре;

5. доказана жесткость по Гельдеру для совокупности всех кубических матриц над полем.

6. доказана жесткость по Гельдеру для пространственных матриц порядка п над полем.

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в дальнейших исследованиях по структурной теории нормирований колец. Результаты диссертации могут быть полезны специалистам и аспирантам, занимающимся теорией нормирований колец.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на международной алгебраической конференции в МГУ, а также на семинаре "Кольца и модули" кафедры высшей алгебры МГУ.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [22] -[25].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из двух глав, содержащих пять параграфов. Все основные результаты (леммы, теоремы, следствия и т.п.) имеют тройной индекс: первое число указывает на номер главы, второе — на номер раздела, а третье — на номер соответствующего результата. Объем диссертации 84 страницы, список литературы содержит 25 наименований.

Содержание диссертации

Во введении изложены краткие сведения о нормированиях на кольце R, на кольце матриц Mn(D) над телом D, структурная теорема жесткости Гельдера для совокупности всех квадратных матриц M(D) над телом D, а также приведены основные определения, утверждения и примеры.

Первая глава посвящена доказательству жесткости по Гельдеру для совокупности всех квадратных матриц M(D) над телом D, существования (Ci, Сг)—нормирования на кольце R = Uдоказательству жесткости Гельдера для кольца Оре.

В параграфе 1.1 рассмотрены необходимые свойства нормирований на кольцах R, на кольцах матриц Mn(D) над телом D, а также приведено доказательство жесткости по Гельдеру для совокупности всех квадратных матриц.

В пункте 1.1.1 даются обозначения, определения и примеры.

В пункте 1.1.2 приведены примеры матричного нормирования и (Ci, С2)—нормирования по Гельдеру на совокупности всех квадратных матриц M(D) над телом D.

В пункте 1.1.3 доказывается основная теорема первой главы диссертации:

Теорема. Пусть | |i: M(D) —^ Ш U {оо} — (Сь С2)-нормирование по Гельдеру на совокупности всех квадратных матриц M(D), где С\ > > 1- Тогда существует нормирование | А [2 на M(D), которое (2, а)-эквивалентно по Гельдеру нормированию | |i, где а = (log2(2Ci))~1.

Для доказательства утверждений этой главы используются следующее основные леммы и предложения.

Лемма. Отображение \ |з: M(D) —у Ми{оо} с | А |з=| А является (2, С2)-нормированием по Гельдеру на M(D).

Предложение. Пусть | А Ншп—>00 (| ®п1А . Тогда :

2-1 | А |3<| А |2< 2 | А |3 .

Предложение. Отобраэюение | |: M(D) —> EU {00} с | А |г= Ишп—^ооО ©1^ |3)1/п является классическим нормированием на M(D) .

В параграфе 1.2 приведено доказательство существования (С^Сг)-нормирования на кольце R = U^0M2«(D) при наличии (СьСг)-нормирования на теле D.

В параграфе 1.3 приведено доказательство жесткости по Гельдеру для колец Оре.

Теорема. Пусть R — левая область Оре и || || — (С^С^)-нормирование на R. Тогда существует классическое нормирование | | на R , которое (Cfa, а)-эквивалентно по Гельдеру (С\, С2)-нормированию || ||, где а = (/og^^CfC^))-1. Таким образом, для х Е R имеем :

СГ4а || ж ||а<| ж |< Cfa || ж ||а .

Вторая глава посвящена доказательству жесткости по Гельдеру для совокупности всех кубических матриц и пространственных матриц порядка п над полем Р.

Параграф 2.1 посвящен изучению элементарных свойств для множества кубических матриц порядка п над полем Р, а также доказательству жесткости по Гельдеру матриц этого вида.

В пункте 2.1.1 изучаются свойства кубических матриц порядка п над полем Р.

В пункте 2.1.2 приведено определение детерминанта кубических матриц порядка п над полем Р.

В пункте 2.1.3 определены основные операции на множестве кубических матриц порядка п над полем Р, даны примеры.

В пункте 2.1.4 определяется (Ci, С2) — нормирование по Гельдеру для кубических матриц порядка п над полем Р и доказывается основная теорема второй главы диссертации:

Теорема (жесткость по Гельдеру для множестве кубических матриц). Пусть | | х г М®{Р) —У R U {00} — (Ci, С2)-нормирование по Гельдеру на множестве кубических матриц М^{Р), где С\ > 1, С2 > 1. Тогда существует классическое нормирование | А \2 на множестве кубических матриц М^\Р), которое (2, а)-эквивалентно по Гельдеру нормированию | |ь где а = (log2(2C1))~\

Параграф 2.2 этой главы посвящен изучению свойств пространственных матриц порядка п над полем р, а также доказательству жесткости по Гельдеру для таких матриц.

В пункте 2.2.1 изучаются свойства пространственных матриц порядка п над полем р.

В пункте 2.2.2 указаны разные определения детерминанта пространственных матриц порядка п над полем Р.

В пункте 2.2.3 определены некоторые операции на пространственных матрицах порядка п над полем Р.

В пункте 2.2.4 определено (Ci, С2)—нормирование по Гельдеру для пространственных матриц порядка п над полем Р, доказывается теорема жесткости по Гельдеру для таких матриц:

Теорема (жесткость по Гельдеру для пространственных матриц). Пусть | |i: М^(Р) - KU {00} — (Ci, С2)-нормирование Гельдера на coвокупности пространственных матрицах М(р\Р), где СЪС2> 1. Тогда существует классическое нормирование | А \2 на совокупности пространственных матриц которое (2, а)-эквивалентно по Гельдеру нормированию | |i, где а = (log2(2Ci))-1.

Благодарность. Автор рад представившейся возможности выразить благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н. профессору А.В. Михалеву за постановку задач, постоянное внимание к работе, полезные советы, многочисленные обсуждения и комментарии, а также за теплое отношение, сделавшее совместную работу очень приятной. Автор благодарен А.Э. Гутерману и Е.И. Буниной за внимание к работе и за ценные советы по её улучшению.

Заключение диссертации по теме «Математическая логика, алгебра и теория чисел», Хоссейни Мохаммад Хоссейн

Заключение

Основным результатом диссертации является теорема о жесткости по Гельдеру для совокупности всех матриц над полем К (квадратных, кубических, и пространственных).

Пусть D — тело, M(D) — совокупности всех квадратных матриц и пусть | |i: M(D) —> RU {00} — (Ci, С^-нормирование по Гельдеру на совокупности всех квадратных матриц матриц M(D), где С\ > 1,С2 > 1, т. е. выполняются следующие свойства:

1) если А в Mn(D) и г(А) < п , то | А |i= 00;

2) если А, В в Mn(D), 1 < j < п, Bj - -Aj, и Вг = Аг для i ф j, 1 < г < п, то | A |i=| В |i ;

3) если А, В G Mn(D) и детерминантная сумма А у В определена, то

А у5 |2> С2 min{ | А |ь | В IJ;

4) для любых А е Mn(D), В G Mm(D):

С{\| A \i + \ В \i) <\ А® В |х< С\(\ A\i + \B |i);

5) I I |i= 0, где I — единичная матрица.

В первой главе доказано, что существует нормирование | А |2 на M(D), которое (2, ^-эквивалентно по Гельдеру нормированию | |i, где а = (log2(2Ci))1. Т. е. для всех A G M(D) имеет место:

I A If^ll A |i< 2 | А (2 .

Кроме того в первой главе Доказано, что если | |: D —> R является (Ci, С2)—нормированием на теле D, то на кольце R = {D) существует такое (Ci, С2)—нормирование, совпадающиеся (Ci, С2)—нормированием | |2» над M2t(Z)), для всех г 6 N.

- - во второй главе получены аналогичные результаты для совокупности всех кубических матриц и пространственных матриц над полем Р.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Хоссейни Мохаммад Хоссейн, 2005 год

1. Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра. Т. 1.. Издательство иностранной литературы, Москва, 1963.

2. Мальцев А.И., О включении групповых алгебр в алгебры с делением, Доклады Академик Наук СССР 1948 Т. 60 (1948), 1944-1501.

3. Соколов Н.П., Пространственные матрицы и их приложения. Физмат-лит, Москва, 1960.

4. Adjamagbo К., Les fondements de la theorie des determinants sur un domaine de Ore, These de Doctorant dEtat, Universite Paris VI, 1991.

5. Adjamagbo K., On the determinants theory and the i^i-Theory of non commutative rings, Universite Paris VII, 1996.

6. Artin E., Geometric algebra. Interscience publishers, INC., New York, Interscience publishers, LTD., Lonndon, 1957.(Русский перевод: Геометрическая алгебра. Физматлит, Москва, 1969.)

7. Bourbaki N., Commutative algebra, chapter VI, section 6.1, Addison-Wesley, 1972.NR. 50:12997.(Русский превод: H. Бурбаки, Коммутативная алгебра.)

8. Cayley A., Memoire sur les hyperdeterminants, Journ. reine und angew. Math. 30 (1846), 1-37.

9. Cohn P.M., The construction of valuations on skew fields. J. of the Indian Math. Soc. ,1989, v. 54, p. 1-45.

10. Cohn P.M., Free rings and their relation, Second Edition, LMS Monographs No. 19, Academic Press, London, Orlando 1985. (Русский перевод: Свободные кольца и их связи. М., "Мир", 1985.)

11. Cohn P.M., Skew fields constructions. Cambridge university press, 1977.

12. Cohn P.M., Skew fields, theory of general division rings, Cambridge University Press, Cambridge, 1995.

13. Lecat M., Coup d'oeil sur la theorie des determinants superieurs dans son etat actuel. Ann. Soc. scient. Bruxelles 45 (1926), II, fasc. 1/2, 1-98; fasc. 3/4, 141-168; 46 (1926), 15-54; 47 (1927), serie A, II, fasc. 1, 1-37.

14. Mahdavi-Hezavehi M., Order, Valution, Matrix valuations, Ph. D. Thesis, London University 1978.

15. Mahdavi-Hezavehi M., Matrix valuations on rings, Rings Theory, Proc.1978 Conference Antwerp (ed. F. Van Oystaeyen), M. Dekker, New York 1979, 691-703.

16. Mahdavi-Hezavehi M., Matrix valuations and their associated skew fields, R esultate d. Math, 5(1982), 149-156.

17. Munoz Garcia E., Hoelder absolute values are equivalent to classical ones. Proceedings of the American Math. Soc. , 1999, v. 127, N 7, p. 1967-1971.

18. Neumann B.H., On ordered division rings, Trans. Amer. Math. Soc. 66 (1949), 202-252.

19. Rice L.H., Introduction to higher determinants, Journ. Math. Phyz. 9 (1930), 47-71.

20. Schilling O.F.G., Noncommutative valuation, Bull. Amer. Math. Soc. 51 (1945), 297-304.

21. Vaidyanathaswamy А.Т., On mixed determinants, proc. Roy. Soc. Edinburgh 44 (1923/4), 168-184.

22. Хоссейни M.X., Жесткость Гельдера для колец и пространств матриц. // Фундаментальная математика. 2004. Т. 10. N 4. С 150-163.

23. Hosseini М.Н., Mikhalev A.V., (Ci,C2)-Holder obsolute value on a ring R and some of the matrix rings on skew fields. // 12th Iranian Researchers Conference in Europe (3th 4th Juli 2004, Manchester, UK), page 88.

24. Hosseini M.H., Valuation of cubic matrices on afield. Scientific Journal of the Islamic Association of Iranian Students in Moscow. No 8. Spring 2004. pages 3-8.

25. Михалев А.В., Хоссейни M.X., Жесткость Гельдера для колец матриц над телом. // Чебышовский сборник, 2004, Т. 5, вып. 4, 115-117.

26. Работы автора по теме диссертации