Порождающие множества инволюций линейных групп над кольцом целых гауссовых чисел тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Шаипова Татьяна Борисовна

• Шаипова Татьяна Борисовна
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Шаипова Татьяна Борисовна

Введение

Глава 1. Обозначения и предварительные результаты

1.1. Порождающие множества линейных групп над евклидовыми кольцами

1.2. Гомоморфизм Минковского и его применение для получения отрицательных результатов

Глава 2. Специальные и проективные специальные линейные

группы

2.1. Размерности п = 2,3,

2.2. Размерность п =

2.3. Размерность п =

2.4. Размерность п =10

Глава 3. Общие проективные линейные группы

3.1. Предварительные результаты

3.2. Доказательство основной теоремы главы

Глава 4. Группы матриц с определителем ±1

4.1. Размерности п = 2,3,

4.2. Размерности п ^

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Порождающие множества инволюций линейных групп над кольцом целых гауссовых чисел»

Введение

Актуальность темы. Важность нахождения порождающих множеств с теми или иными свойствами данной группы подтверждалась неоднократно в связи с приложениями. В настоящей диссертации рассматривается задача нахождения порождающих троек инволюций линейных групп над кольцом целых гауссовых чисел.

Вопрос о порождении конечных простых групп тремя инволюциями, две из которых перестановочны, был поставлен В. Д. Мазуровым в 1980 году [4, вопрос 7.30]. Согласно классификационной теореме конечные простые группы исчерпываются циклическими группами простого порядка, знакопеременными группами, группами лиева типа над конечными полями и 26 спорадическими группами. Ответ на вопрос 7.30 известен, и он положителен для большинства конечных простых групп; см. работы [6-10], [12,13], [17]. Однако, существует целый список линейных групп малых размерностей над конечными полями, которые не порождаются тремя инволюциями, две из которых перестановочны.

В 2002 году Я. Н. Нужин записал в Коуровской тетради [4] следующий вопрос.

Какие присоединенные группы Шевалле (нормального типа) над кольцом целых чисел порождаются тремя инволюцичми, две из которых перестановочны? [4, вопрос 15.67].

Этот вопрос актуален не только для присоединенных групп Шевалле, и не только для колец целых чисел, но и для других однопорожденных колец. К настоящему времени ответ на данный вопрос получен для групп Шевалле типа Ап (случай РБЬп+\ ) в работе [11] и для типов С2, Е6, Е7, Е8 в работе [18].

В диссертации рассматривается задача о порождении тремя инволюциями, две из которых перестановочны, для линейных групп над кольцом целых гауссовых чисел Ъ+гЪ, где г2 = -1, а именно для специальной линейной группы БЬп, общей линейной группы ОЬп, для группы матриц ОЬ±1 с определителем ±1, и их фактор-групп по центру.

Группы, порожденные тремя инволюциями, две из которых перестановочны, далее будем называть (2 х 2, 2)-порожденными. Класс таких групп замкнут относительно гомоморфных образов, если по определению единичную группу считаем таковой и не исключаем совпадения двух или всех трех инволюций.

М. С. ТашЬипт, Р. Zucca [21] доказали (2х2, 2)-порожденность некоторых классических матричных групп достаточно большой размерности п, зависящей от параметра ё, над определенными ¿-порожденными областями целостности. В частности, они доказали (2х2, 2)-порожденность специальной линейной группы БЬп(Ъ + гЪ) над кольцом целых гауссовых чисел Ъ + гЪ при п ^ 14.

Д. В. Левчук и Я. Н. Нужин [5,20] установили (2 х 2, 2)-порожденность проективной специальной линейной группы РБЬп(Ъ + гЪ) при п ^ 7. Доказательство в [20] и [5] состояло в том, что порождающие тройки указывались в явном виде, более того, при п = 4к + 2 они выбирались из группы БЬп(Ъ + гЪ). Следовательно, для таких размерностей справедлив более сильный результат: при п ^ 7 и п = 4к + 2 группа БЬп(Ъ + гЪ) является (2 х 2, 2)-порожденной.

В работе [14] Я. Н. Нужин доказал, что для любой области целостности О характеристики, отличной от 2, группы БЬ3(О) и БЬ6(О) не являются (2 х 2, 2)-порожденными, в частности, БЬ3(Ъ + гЪ) и БЬ6(Ъ + гЪ) не являются таковыми.

Поэтому, в силу работ [5,14,20,21], ответ на вопрос о (2х2, 2)-порожденнос-ти групп БЬп(Ъ + гЪ) и РБЬп(Ъ + гЪ) не был известен только при п = 4, 5,10 для БЬп и только при п = 2,3,4, 5,6 для РБЬп.

Сложность нахождения порождающих инволюций с задаными свойствами для матричных групп над кольцами, например, над кольцом целых чисел Ъ или кольцом целых гауссовых чисел Ъ + гЪ, связана с тем, что существу-

ют гомоморфизмы этих колец на поля характеристики p > 0. В силу теории Жордана, инволюции в линейных группах над полем характеристики p = 2 задаются унитреугольными матрицами, а над полем характеристики p > 2 — диагональными. Таким образом, решая задачу о (2 х 2, 2)-порождении некоторой матричной группы, например, над кольцом Z + iZ, мы одновременно решаем аналогичную задачу для этой же группы над полями характеристики p = 2 и p > 2, в силу замкнутости (2 х 2, 2)-порожденных групп относительно гоморфных образов. Это означает, что мы находим универсальные порождающие для матричной группы над кольцом Z + iZ и над полями характеристики p = 2 и p > 2.

Целью диссертационной работы является решение вопроса о порождении линейных групп над кольцом целых гауссовых чисел тремя инволюциями, две из которых перестановочны.

Методы исследования. В работе используются методы линейной алгебры, методы теории групп, в том числе методы работ М. А. Всемирнова и Я. Н. Нужина нахождения порождающих множеств линейных групп. При доказательстве в малых размерностях для получения отрицательных результатов использовались тензорные представления и неравенство Скотта. Также применялись компьютерные вычисления (например, в системе GAP для нахождения порождающих множеств малых размерностей) .

Теоретическая и практическая ценность. Выводы, полученные в рамках данной диссертации, носят теоретический характер. Их ценность состоит в том, что они могут быть использованы в различных разделах математики, например, в теории графов и в геометрии.

Основные результаты работы.

1. Найдены порождающие тройки инволюций, две из которых перестановочны, или доказано их отсутствие для специальной 5Хп и проективной специальной Р5Хп групп малых размерностей 2, 3, 4, 5, 6, 10 над кольцом целых гауссовых чисел и, тем самым, для этих групп завершена задача о порождении тремя инволюциями, две из которых перестановочны.

2. Доказано, что проективная общая линейная группа РСЬп над кольцом целых гауссовых чисел тогда и только тогда порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны, когда п ^ 5 и 4 не делит п.

3. Доказано, что группа матриц с определителем ±1 над кольцом целых гауссовых чисел и ее фактор-группа по центру размерности п тогда и только тогда порождаются тремя инволюциями, две из которых перестановочны, когда п ^ 5.

Структура и объем работы.

Диссертация изложена на 71 странице. Она состоит из введения, четырех глав основного содержания, заключения и списка цитируемой литературы из 21 наименования. Основные результаты сформулированы в виде трех теорем и их следствий. Нумерация теорем сквозная, а номера лемм и других утверждений включают последовательно номер главы, параграфа и порядковый номер в параграфе.

Глава 1 содержит основные определения и предварительные результаты, необходимые для дальнейшей работы.

В § 1.1 диссертации вводится система базовых понятий, утверждений и обозначений. Также формулируются и доказываются леммы о порождающих множествах специальных линейных групп 5Хп над евклидовыми кольцами.

В § 1.2 формулируется ряд утверждений, необходимых для получения отрицательных результатов о порождении матричных групп определенными мно-

жествами. В доказательствах используется гомоморфизм Минковского матричных групп над кольцами, который определяется идеалом кольца коэффициентов.

Глава 2 диссертации посвящена рассмотрению вопроса о порождении специальных и проективных специальных линейных групп тремя инволюциями, две из которых перестановочны.

В § 2.1 для групп БЬ4(Ъ+гЪ) и РБЬп(Ъ+гЪ) при п = 2,3,4 указаны явно порождающие тройки инволюций без учета перестановочности двух из них, и для этих групп установлена их непорождаемость тремя инволюциями, две из которых перестановочны.

В § 2.2, § 2.3 и § 2.4 доказана (2 х 2, 2)-порождаемость групп БЬ5(Ъ + гЪ), РБЬ6(Ъ + гЪ) и БЬ\0(Ъ + гЪ) соответственно.

Основным результатом второй главы является

Теорема 1. а) Группа БЬ2(Ъ + гЪ) не порождается никаким множеством инволюций.

б) Группы РБЬ2(Ъ + гЪ), БЬ3(Ъ + гЪ)(= РБЬ3(Ъ + гЪ)), БЬ4(Ъ + гЪ), РБЬ4(Ъ + гЪ) порождаются тремя инволюциями, но не порождаются тремя инволюциями, две из которых перестановочны.

в) Группы БЬ5(Ъ+гЪ), РБЬ6(Ъ+гЪ) и БЬ\0(Ъ+гЪ) порождаются тремя инволюциями, две из которых перестановочны.

Для нахождения необходимых порождающих троек инволюций, в доказательстве пункта в) теоремы 1 существенно используются компьютерные вычисления.

Объединяя теорему 1 с отмеченными выше результатами статей [5,14,2022], получаем два следствия.

Следствие 2.2.1. Группа БЬп(Ъ+гЪ) над кольцом Ъ+гЪ тогда и только тогда порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны, когда п ^ 5 и п = 6.

Следствие 2.2.2. Группа Р5Хп(Ъ + гЪ) над кольцом Ъ + гЪ тогда и только тогда порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны, когда п ^ 5.

Доказательство теоремы 1 при п = 2, 3 получено лично автором и опубликовано в работе [22]. Для остальных размерностей 4, 5, 6 и 10 доказательство теоремы получено совместно с научным руководителем, В. А. Всемирновым и Р. И. Гвоздевым и опубликовано в работах [22], [23]; соавторами проводились независимые параллельные вычисления.

В главе 3 диссертации рассматривается вопрос о порождении проективной общей линейной группы РСЬп(Ъ+гЪ) двумя инволюциями, две из которых перестановочны. Очевидно, общая линейная группа СЬп(Ъ+гЪ) не порождается никаким множеством инволюций, поскольку в ней есть матрицы с определителем, отличным от ±1, а определитель любой её инволюции равен ±1.

В § 3.1 приводятся предварительные сведения и леммы, необходимые для доказательства теоремы, представленной в § 3.2.

Основным результатом третьей главы является

Теорема 2. Группа РСЬп(Ъ + гЪ) тогда и только тогда является (2 х 2, 2)-порожденной, когда п ^ 5 и 4 не делит п.

Теорема 2 завершает решение задачи о порождении тремя инволюциями, две из которых перестановочны, для групп 5Хп, Р5Хп, СЬп, РСЬп над кольцом целых гауссовых чисел Ъ + гЪ.

Результаты этой главы опубликованы в совместной работе с научным руководителем [24]. Доказательство теоремы 2 принадлежит автору.

В главе 4 задача о (2 х 2, 2)-порожденности рассматривается для группы матриц СЬ±1(Ъ + гЪ) с определителем ±1 над кольцом целых гауссовых чисел и её фактор-группы по центру РСЬ±1(Ъ + гЪ). Доказана

Теорема 3. Группы ОЬ:±1(Ъ+гЪ) и РСЬ±1(Ъ+гЪ) тогда и только тогда являются (2 х 2, 2)-порожденными, когда п ^ 5.

Результаты главы 4 получены автором лично и опубликованы в работах [25,26].

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и снабжены подробными доказательствами. В ходе исследования получены ответы на известные вопросы теории групп.

Апробация результатов. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на красноярском алгебраическом семинаре и на следующих конференциях.

1. XIII Международная школа-конференция по теории групп (Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН, г. Екатеринбург, 2020).

2. Международная конференция «Мальцевские чтения» (Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, г. Новосибирск, 2021).

3. XIV Международная школа-конференция по теории групп (ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского», г. Брянск, 2022).

4. XXII Международная конференция «Алгебра, теория чисел, дискретная геометрия и многомасштабное моделирование: современные проблемы, приложения и проблемы истории». (ФГБОУ ВО «Тульский государственный педагогический университет имени Л. Н. Толстого», г. Тула, 2023).

5. Открытая конференция молодых учёных по математическому моделированию, информационным технологиям и фундаментальной математике (Институт вычислительного моделирования СО РАН, г. Красноярск, 2024).

6. XV Международная школа-конференция по теории групп (Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН, г. Екатеринбург, 2024).

7. Международная конференция «Алгебра и динамические системы». (Кабар-дино - Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова, Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН, Уральский математический центр, г. Нальчик, 2025).

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в работах [22] - [32]. Статьи [22] - [26] опубликованы в изданиях, включеных в перечень ВАК рецензируемых научных изданий, индексируются в Web of Science и/ или в Scopus. В работах [27] - [32] представлены тезисы конференций.

Благодарность. Автор искренне благодарит своего научного руководителя д.ф.-м.н., профессора Якова Нифантьевича Нужина за предложенную тему исследования и постановку задач, за неоценимую помощь, внимание и поддержку на всех этапах работы. Признателен сотрудникам кафедры алгебры и математической логики Института математики и фундаментальной информатики СФУ, особенно д.ф.-м.н. Ольге Вадимовне Кравцовой за полезные замечания и обсуждения результатов диссертации. Автор выражает благодарность к.ф.-м.н Владимиру Марковичу Леонтьеву за его всестороннюю помощь и техническую поддержку.

Результаты диссертации поддержаны Красноярским математическим центром, финансируемым Минобрнауки РФ (Соглашение № 075-02-2021-1388, Соглашение №075-02-2024-1429, Соглашение №075-02-2025-1790).

Глава 1. Обозначения и предварительные

результаты

В § 1.1 вводятся основные понятия и фиксируются обозначения, приводятся вспомогательные утверждения и известные результаты, необходимые в дальнейшем для доказательства теорем. Формулируются и доказываются леммы о порождающих множествах специальных линейных групп БЬп над евклидовыми кольцами.

В § 1.2 формулируется ряд утверждений, необходимых для получения отрицательных результатов о порождении матричных групп определенными множествами.

1.1 Порождающие множества линейных групп над

евклидовыми кольцами

Через (М) будем обозначать подгруппу, порожденную любым непустым множеством М из некоторой группы С. Для сопряженного элемента и коммутатора любых элементов а, Ь из группы С будем использовать сокращения:

а6 = ЬаЬ-1, [а, Ь] = аЬа-1Ь-1.

Далее всюду К — произвольное коммутативное кольцо с единицей 1. Множество СЬп(К) всех обратимых матриц степени п над кольцом К, является группой относительно умножения матриц. Она называется общей линейной группой степени п над кольцом К. Подгруппа 5Хп(К) ее матриц с определителем 1 называется специальной линейной группой. Проективная общая линейная группа РСЬп(К) и проективная специальная линейная группа Р5Хп(К) определяются как фактор-группы соответственно групп СЬп(К) и 5Хп(К) по их центрам — подгруппам скалярных матриц.

Для элементов из проективной группы Р5Хп(К) будем использовать матричную запись, считая при этом два элемента равными, если они различаются лишь умножением на скалярную матрицу из 5Хп(К). Аналогичная запись используется также для элементов группы РСЬп(К).

Пусть К — произвольное целостное кольцо, в котором каждому ненулевому элементу а ставится в соответствие целое неотрицательное число 6(а), со следующими свойствами.

1. Для а = 0 и Ь = 0 справедливо 6(аЬ) ^ 6(а).

2. Для любых двух элементов а и Ь, где а = 0, существует представление Ь = да + г, в котором г = 0 или 6(г) < 6(а).

Кольцо К, обладающее такими свойствами, называтся евклидовым [1, с. 72].

Евклидовыми кольцами являются кольцо целых чисел Ъ и кольцо целых гауссовых чисел Ъ + гЪ, где г2 = —1 (см., например, [3, с. 439]). Элементарные трансвекции

¿гв(к) = Еп + кбГ5, г, й = 1, 2,...,п, г = й, к е К,

будем называть просто трансвекциями, где Еп — единичная матрица размерности п, а вгз — (п х п)—матрица с 1 на позиции (г, й) и нулями в остальных местах. Положим также

£гДК) = {£г,(к) | к е К} , г, 5 = 1, 2,..., п, г = 5.

Множество £Гв(К) является подгруппой специальной линейной группы 5Гп(К) над кольцом К, причем выполняется равенство

£Г5(м)£Г5(г>) = £Г5(м + V), м,^ е К, г = й.

Следовательно, группа £Г5(К) изоморфна аддитивной группе К + кольца К.

Справедливо коммутаторное тождество для попарно различных индексов г, й

которое часто будет использоваться далее.

Следующая лемма хорошо известна (см., например, [15, с. 107]).

Лемма 1.1.1. Группа 5Хп(К) над евлидовым кольцом К порождается подгруппами £Г5(К), г, й = 1,..., п, г = й.

Так как Ьга(Ъ) = (£ГД1)) и £ГДЪ + гЪ) = (£ГД1),£Г5(г)), то следствием леммы 1.1.1 является

Лемма 1.1.2. а) Группа 5Хп(Ъ) порождается трансвекциями £Г5(1), г, й = 1,... , п, г = й.

б) Группа БЬп(Ъ + гЪ) порождается трансвекциями £Г5(1), £Г5(г), г, й = 1,... , п, г = й.

В доказательствах о порождении групп 5Хп(Ъ + гЪ) и Р5Хп(Ъ + гЪ) определенным набором инволюций будут использоваться матрицы:

М =

/

00 10 01

0 (-1)п+1

\

0 0

V

т =

V

00 00 00

01 10

00

0 0 1^ 010 1 0 0

0 0 0 000

т=

V

0 0

0

00 00

01 10 00

/

010 100

000 000 0 0 1

/

Группа, порожденная матрицей м, действует сопряжениями транзитивно на множестве трансвекций

Т = {¿1п((-1)п+1), ¿г+1,г(1) | г = 1, 2,..., п - 1}

и на транспонированном множестве

Т' = {¿п1((-1)п+1), *г,г+1(1) | г = 1,2,...,п - 1}.

Коммутируя между собой элементы из множества Т или из Т', мы получим все трансвекции £Г5(1), г, й = 1,... ,п. Вследствие чего, и в силу леммы 1.1.2а), каждое из множеств Т и Т' порождает группу 5Хп(Ъ). Более того, справедлива

Лемма 1.1.3. а) Группа 5Хп(Ъ) порождается матрицей м и одной транс-векцией из множества Т или из множества Т'.

б) Группа 5Хп(Ъ + гЪ) порождается матрицей м в совокупности с одной трансвекцией из множества Т или из Т' и любой трансвекцией (г).

1

в) Группа ££п (Ъ + гЪ) порождается каждым из множеств Т и Т' в совокупности с любой трансвекцией £Г5(г).

Матрица называется мономиальной, если в каждой строке и в каждом столбце имеется по одному ненулевому элементу. Подгруппа группы СЬп(К) называется мономиальной, если она состоит из мономиальных матриц.

Нам потребуется следующая хорошо известная лемма, которая следует из 2-транзитивности группы подстановок $п.

Лемма 1.1.4. Мономиальная подгруппа N = N (К) группы СЬп(К) действует сопряжениями транзитивно на множестве подгрупп

£Г5(К), г, й = 1, 2,...,п, г = й. Аналогичным свойством транзитивности обладает пересечение N П 5Хп(К).

1.2 Гомоморфизм Минковского и его применение для получения отрицательных результатов

Группу, порожденную тремя инволюциями, две их которых перестановочны, будем называть (2 х 2, 2)-порожденной. Класс таких групп замкнут относительно гомоморфных образов, если по определению единичную группу считаем таковой и не исключаем совпадения двух или всех трех инволюций. Зафиксируем это утверждение в виде леммы.

Лемма 1.2.1. Из (2 х 2, 2)-порождаемости группы следует (2 х 2, 2)-порождаемость любого её гомоморфного образа.

Пусть 1 — идеал кольца К. Тогда естественный кольцевой гомоморфизм р/ : К ^ К/1 определяет сюръективный гомоморфизм

^ : Мп(К) ^ Мп(К/1)

кольца (п х п)-матриц Мп(К) с обычными операциями сложения и умножения, где для любой матрицы (а^) € Мп(К) по определению

: (ау-) ^ (р/(ау-)).

С другой стороны, гомоморфизм р/ индуцирует гомоморфизм групп

ф/ : СЬп(К) ^ СЬп(КД),

ф/ : 5Гп(К) ^ 5Хп(К/1),

где также определению

ф/ : (ау-) ^ (р/(ау-)).

Д. А. Супруненко называет ф/ гомоморфизмом Минковского [16, стр. 95]. Одна-коо гомоморфизм ф/ уже не обязан быть сюръективным как гомоморфизм .

Пример 1.2.1. Пусть Я = Ъ+гЪ, а I — идеал, порожденный элементом 3. Мультипликативная группа кольца Ъ + гЪ имеет порядок 4 и порождается элементом г. Следовательно,

СЬп(Ъ + Ъг) = (ф))5Хп(Ъ + Ъг),

где

¿(г) = ¿гад(г, 1,..., 1).

Поскольку 5Хп над евклидовым кольцом и над полем порождается транс-векциями, то редукция по модулю 3 дает гомоморфизм ф/ группы (Ъ + Ъг) на собственную подгруппу (¿(г))5Хп(9) индекса 2 группы СЬп(9) (см. доказательство леммы 1.2.3 ниже).

Далее, как и в примере, линейную группу типа Хп над конечным полем из д элементов будем обозначать через Хп(д), заменяя X

Лемма 1.2.2. Группа Р5Хп(2) является гомоморфным образом групп 5Гп (Ъ + гЪ) и Р5Хп(Ъ + й

Доказательство. Поскольку фактор-кольцо (Ъ + гЪ)/1 по идеалу I, порожденному элементом 1 + г, изоморфно полю из двух элементов и группы 5Гп(Ъ + гЪ) и 5Хп(2) = Р5Хп(2) порождаются трансвекциями в силу леммы 1.1.1, то гомоморфизм ф/ : 5Хп(Ъ + гЪ) ^ 5Хп(2) сюръективен. Все диагональные и, в частности, скалярные матрицы лежат в ядре гомоморфизма ф/. Значит существует и гомоморфизм группы Р5Хп(Ъ + гЪ) на группу Р5Гп(2). □

Лемма 1.2.3. Группа Р5Хп(9) является гомоморфным образом групп БЬп (Ъ + гЪ) и Р5Ьп(Ъ + г^

Доказательство. В евклидовом кольце свойство элемента р быть простым эквивалентно условию максимальности порожденного им идеала, а простое число р е Ъ остается простым элементом в кольце Ъ + гЪ тогда и только

тогда, когда р = 4к — 1 (см., например, [3, стр. 440, 441]). Ввиду этого фактор-кольцо (Ъ + гЪ)/1 по идеалу 1, порожденному элементом 3, изоморфно полю из девяти элементов. Группы 5Хп(Ъ + гЪ) и 5Хп(9) порождаются трансвекциями в силу леммы 1.1.1, следовательно, гомоморфизм ф/ : 5Хп(Ъ + гЪ) ^ 5Гп(9) сюръективен. С другой стороны, имеется гомоморфизм п группы 5Хп(9) на группу Р5Хп(9). Поэтому композиция п о ф задает гомоморфизм 5Гп (Ъ + гЪ) на Р5Гп(9), а поскольку все скалярные матрицы лежат в ядре гомоморфизма п о ф, то существует гомоморфизм Р5Хп(Ъ + гЪ) на Р5Гп(9). □

Лемма 1.2.4. Пусть й — произвольная диагональная матрица группы СЬп(Ъ + гЪ), м — матрица-перестановка, соответствующая циклу (12 ... п). Тогда для любого ] = 1, 2,... , п — 1 подгруппа М, порожденная двумя трансвекциями £7(1), (г) и мономиальной матрицей ¿м, содержит (Ъ + гЪ).

Доказательство. Очевидно, (£7+17(1),£^+17(г)) = £7+17(Ъ + гЪ), а подгруппа (¿м) действует сопряжениями транзитивно на множестве подгрупп

Т = {£21 (Ъ + гЪ),... ,£п,п-1(Ъ + гЪ),£1п(Ъ + гЪ)}.

Как результат все подгруппы из Т лежат в М. Коммутируя между собой подгруппы из Т, получим все подгруппы £^т(Ъ + гЪ). Следовательно, М содержит ££п (Ъ + гЪ) по лемме 1.1.1. □

Глава 2. Специальные и проективные специальные

линейные группы

В этой главе завершается решение задачи о существовании порождающих троек инволюций для групп 5Хп(Ъ + гЪ) и Р5Хп(Ъ + гЪ).

Основным результатом второй главы является

Теорема 1. а) Группа 5Х2(Ъ + гЪ) не порождается никаким множеством инволюций.

б) Группы Рб^Ъ + гЪ), 5Гз(Ъ + гЪ)(= Р5Гз(Ъ + гЪ)), 6X4(Ъ + гЪ), Р5Х4(Ъ + гЪ) порождаются тремя инволюциями, но не порождаются тремя инволюциями, две из которых перестановочны.

в) Группы 5Г5(Ъ+гЪ), Р5Хб(Ъ+гЪ) и 5Гю(Ъ+гЪ) порождаются тремя инволюциями, две из которых перестановочны.

Объединяя теорему 1 с отмеченными выше результатами статей [5,14,2022], получаем два следствия.

Следствие 2.2.1. Группа 5Хп(Ъ + гЪ) тогда и только тогда порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны, когда п ^ 5 и п = 6.

Следствие 2.2.2. Группа Р5Гп(Ъ + гЪ) тогда и только тогда порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны, когда п ^ 5.

В §2.1 приводится доказательство пунктов а) и б) теоремы 1. Доказательство пункта в) приводится в §2.2, §2.3 и §2.4 для групп (Ъ + гЪ), Р5Гб(Ъ + гЪ) и 5Гю(Ъ + гЪ) соответственно.

2.1 Размерности п = 2, 3,4

Докажем первые два пункта теоремы 1. Для наглядности сформулируем их еще раз.

а) Группа 5Х2(Ъ + гЪ) не порождается никаким множеством инволюций.

б) Группы Рб^Ъ + гЪ), 5Гз(Ъ + гЪ)(= Р5Хз(Ъ + гЪ)), ^(Ъ + гЪ), Р5Х4(Ъ + гЪ) порождаются тремя инволюциями, но не порождаются тремя инволюциями, две из которых перестановочны.

Доказательство. а) Поскольку в ) над любым полем ^ характе-

ристики, отличной от 2, существует единственная инволюция ¿гад(-1, -1), а кольцо Ъ + гЪ вкладывается в поле дробей Q + гQ, где Q — поле рациональных чисел, то в 5Х2(Ъ + гЪ) имеется только одна инволюция и поэтому пункт а) теоремы выполняется.

б) Группа Р5Г2(9) не является (2 х 2,2)-порожденной [9]. Поэтому в силу лемм 1.2.1 и 1.2.3 группа Р5Г2(Ъ + гЪ) также не является (2 х 2, 2)-порожденной, но она порождается тремя инволюциями

г 0 -г 0 0 г

а = ( ) , в = ( ) ,7 = (

^ 1 -г у \-1+ г V V г 0

никакие две из которых не перестановочны. Действительно, пусть М = (а, в, 7)• По лемме 1.1.2а) две матрицы

1 0 \ ( 11 \

= ав и = 7ав7

1 1 0 1

порождают группу Р5Г2(Ъ) и, в частности, матрица

01

= П

лежит в подгруппе М. Следовательно, в М лежит и матрица

1 0 1 + г 1

= птД.

Четыре последних матрицы порождают всю группу Р5Г2(Ъ + Ъг) в силу леммы 1.1.2б).

Группы Р5Х3(2) и Р5Х4(2) не являются (2 х 2,2)-порожденными [7], поэтому в силу лемм 1.2.1 и 1.2.2 группы 5Х3(Ъ+гЪ), 5Х4(Ъ+гЪ) и Р5Х4(Ъ+гЪ) также не являюится (2 х 2, 2)-порожденными.

Укажем явно порождающие тройки инволюций, без учета перестановочности двух из них для группы 5Х3(Ъ + гЪ). В качестве порождающей тройки можно взять инволюции

а =

( 1 0 0 ^ 1 -1 0

\° 0 -1/

, в =

-1 0 0 0 -1 0

\ 0 г ч

7 =

Действительно, вычисления показывают, что

(ав )2 = ¿31 (г),

( 0 0 1^

V

0 -1 0 1 0 0

/

7 (ав )27 = ¿13(г),

(а(7 (ав )27 )) 2 = Ы-г),

7^23 (-г)7 = ¿21 (г), [¿23 (—г), ¿31 (г)] = ¿21(1), 7*21(1)7 = ¿23 ( 1), ¿21(—1)а = ¿гад(1, —1, —1), 7(^гад (1, —1, —1)) 7 = ¿гад(—1, —1,1). ¿гад(—1, —1,1) в = ¿32(г),

7^32 Й7 = ¿^М),

Мг),Ыг)] = ¿1з( 1), 7^1з(-1)7 = ¿з1(-1), Мг),Ыг)] = ^12 ( 1),

[¿21(1), ¿13(1)] = ¿2з(1),

Мг),*12Н)] = ¿з2 (1).

Итак, мы получили все трансвекции £ГД1), £гДг), где г, в = 1, 2, 3,г = в, которые порождают группу + ¿Ж) в силу леммы 1.1.2б).

Группа + ¿Ж) порождается тремя инволюциями, никакие две из

которых не перестановочны. Следовательно, и группа Р5Г4(Ж + ¿Ж) обладает такими порождающими. В качестве порождающих можно взять инволюции

а =

( 1 0 0 0 ^

1 -1 0 0

0 0 -1 0

у 0 0 0 1 у

в =

0100 1000 0 0 0 1 у 0 0 1 0 у

7 =

/

\

1 0 0 0

0 0 1 0 0 1 0 0 у г 0 0 -1 у

Действительно, вычисления показывают, что

а7 = £з1(1)^га#(1, -1, -1,1),

аа7 = Ы-1)Ы1),

(аа7 )в = £42 ( 1)^12 (1),

а7 (аа7 )в а7 = ¿42(1)£х2(-1)£з2(-1),

(а7 (аа7 )в )2 = £з2(-1).

Далее, сопрягая полученную трансвекцию £з2(-1) мономиальными матрицами в и 7 и коммутируя результаты сопряжения, получим все трансвекции £Г5(1), г, в = 1, 2, 3,4, г = в. Действительно,

Ы-1)7 = ¿2з( 1) ,

¿32 ( 1)в = ¿41 ( —1),

¿23(1)в = ¿14(1),

¿32(1)(аа7)—1¿32(—1) = ¿21 ( 1),

(аа7 Ы—1) = ¿31(—1),

[¿31(1), ¿14(1)] = ¿34(1),

(¿21(1))в = ¿12(1),

[¿41(1), ¿12(1)] = ¿42(1),

[¿21(1), ¿14(1)] = ¿24(1),

(¿34(1))в = ¿43(1),

[¿14(1), ¿43(1)] = ¿13(1).

Сейчас в силу леммы 1.1.2а) группа 5Х4(Ъ) лежит в подгруппе М := (а, в, 7). Так как матрица 7 есть произведение трансвекции ¿41(г) на мономиальную матрицу из 5Х4(Ъ), то ¿41(г) е М. Сопрягая ¿41 (г) мономиальными матрицами из 5X4(Ъ), получим, что все трансвекции ¿Г5(г), г, в = 1, 2,3, 4, г = в, лежат в М. Применяя сначала лемму 1.1.4, а затем лемму 1.1.2б), получим М = 5X4 (Ъ + гЪ). □

2.2 Размерность п = 5

Нам потребуется следующая техническая лемма.

Лемма 2.2.1. а) При фиксированном в, 1 ^ в ^ п, группа 5Хп(Ъ) порождается трансвекциями ¿Г5(1), ¿5Г(1), г = 1,..., п, г = в.

б) При фиксированном в, 1 ^ в ^ п, группа 5Хп(Ъ + гЪ) порождается трансвекциями ¿Г5(1), ¿5Г(1), г = 1,..., п, г = в, вместе с любой трансвекцией ¿^ш(г). В частности, группа 5Хп(Ъ + гЪ) порождается подгруппой 5Хп(Ъ) вместе с любой трансвекцией ¿^то(г).

Доказательство. а) Коммутируя между собой трансвекции из множества £Г5(1), Ьаг(1), г = в, г = 1,..., п, получим все трансвекции £ря(1), р, д = 1,..., п, р = д. Остается применить лемму 1.1.2а).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Шаипова Татьяна Борисовна, 2025 год

Список ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. Определения, теоремы, формулы. 3-е изд., стер. — СПб.: Издательство «Лань», 2004. — 624 с.

[2] Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. — М.: Наука, 1982. — 288 с.

[3] Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977. — 496 с.

[4] Коуровская тетрадь (Нерешенные вопросы теории групп). — 16-е изд., дополненное. Новосибирск: ИМ СО РАН, 2006.

[5] Левчук Д. В. О порождаемости группы + тремя инволюциями, две из которых перестановочны // Вестник НГУ. Сер. матем., мех., информ.

— 2009. — Т. 9. — №1. — С. 35-38.

[6] Мазуров В. Д. О порождении спорадических простых групп тремя инволюциями, две из которых перестановочны // Сиб. матем. журн., — 2003. — Т. 44. — № 1. — С. 193-198.

[7] Нужин Я. Н. Порождающие тройки инволюций групп Шевалле над конечным полем характеристики 2 // Алгебра и логика. — 1990. — Т. 29. — № 2.

— С. 192-206.

[8] Нужин Я. Н. Порождающие тройки инволюций знакопеременных групп // Математические заметки. — 1992. — Т. 51. — № 4. — С. 91-95.

[9] Нужин Я. Н. Порождающие элементы групп лиева типа над конечным полем нечетной характеристики. I // Алгебра и логика. — 1997. — Т. 36.

— № 1. — С. 77-96.

[10] Нужин Я. Н. Порождающие элементы групп лиева типа над конечным полем нечетной характеристики. II // Алгебра и логика. — 1997. — T. 36.

— № 4. — С. 422-440.

[11] Нужин Я. Н. О порождаемости группы PSLn(Z) тремя инволюциями, две из которых перестановочны // Владикавказский матем. журнал. — 2008.

— Т. 10. — № 1. — С. 68-74.

[12] Нужин Я. Н. О порождающих тройках инволюций групп лиева типа ранга 2 над конечными полями // Алгебра и логика. — 2019. — Т. 58. — № 1.

— С. 84-107.

[13] Нужин Я. Н. О порождающих множествах инволюций простых конечных групп // Алгебра и логика. — 2019. — Т. 58. — № 3. — С. 426-434.

[14] Нужин Я. Н. Тензорные представления и порождающие множества инволюций некоторых матричных групп // Труды ИММ УрО РАН. — 2020.

— Т. 26. — № 3. — С. 133-141.

[15] Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле. — М.: Мир, 1975. — 263 с.

[16] Супруненко Д. А. Группы матриц. — М.: Наука, 1972. — 351 с.

[17] Тимофеенко А. В. О порождающих тройках инволюций больших спорадических групп // Дискрет. матем. — 2003. — Т. 15. — № 2. — С. 103-112.

[18] Тимофеенко И. А. Порождающие мультиплеты линейных групп над кольцом целых чисел: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.06. — Красноярск. — 2017. — 108 с.

[19] Gvozdev Rodion. I. Generation of the group SL6(Z+iZ) by three involutions // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. — 2024. Vol. 2.

— № 3. — P. 258-270.

[20] Levchuk D. V., Nuzhin Ya. N. On generation of the group PSLn(Z + iZ) by three involutions, two of which commute //J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys. — 2008. — vol. 1. — no 2. — P. 133-139.

[21] Tamburini M. C., Zucca P. Generation of certain matrix groups by three involutions, two of which commute // J. of Algebra, — 1997. — vol. 195.— no. 2. — P. 650-661.

Основные публикации по теме диссертации

[22] Гвоздев Р. И., Нужин Я. Н., Шаипова Т. Б. О порождении групп SLn(Z + iZ) и PSLn(Z + iZ) тремя инволюциями, две из которых перестановочны // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. — 2022. — T. 40. — С. 49-62.

[23] Всемирнов M. А., Гвоздев Р. И., Нужин Я. Н., Шаипова Т. Б. О порождении групп SLn(Z + iZ) и PSLn(Z + iZ) тремя инволюциями, две из которых перестановочны. II // Матем. заметки. — 2024. — T. 115. — № 3. — С. 317329.

[24] Нужин Я. Н., Шаипова Т. Б. О порождении группы PGLn(Z + iZ) тремя инволюциями, две из которых перестановочны // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. — 2024. — T. 50.

— С. 143-151.

[25] Шаипова Т. Б. О порождении тремя инволюциями, две из которых перестановочны, некоторых матричных групп // Владикавк. мат. журн. — 2025.

— T. 27 — № 3. — C. 127-135.

[26] Shaipova T. B. Generation of the group GL±:(Z + iZ) by three involutions, two of which commute // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. - 2025. - Vol. 18. — № 5. — P. 714-716.

Тезисы и конференции

[27] Шаипова Т. Б. Порождающие тройки инволюций групп 5Хп(Ж + гЖ) для малых п // Тезисы докладов XIII Международной школы-конференции по теории групп, посвященной 85-летию В.А. Белоногова.

— Екатеринбург. — 2020. — С. 110.

[28] Гвоздев Р. И., Нужин Я. Н., Шаипова Т. Б. О порождении групп 5Хп(Ж + гЖ) и Р5Гп(Ж + гЖ) тремя инволюциями, две их которых перестановочны // Мальцевские чтения: тезисы докладов международной конференции. — Новосибирск: Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН. — 2021. — С. 88.

[29] Всемирнов М. А., Гвоздев Р. И., Нужин Я. Н., Шаипова Т. Б. О порождении групп 5Хп(Ж+гЖ) и Р5Хп(Ж + гЖ) тремя инволюциями, две их которых перестановочны. // Тезисы докладов XIV школы-конференции по теории групп, посвященной памяти В.А. Белоногова, В.А. Ведерникова и Л.А. Ше-меткова. — Брянск. — 2022. С. 65.

[30] Гвоздев Р. И., Нужин Я. Н., Шаипова Т. Б. О порождении групп 5Хп(Ж + гЖ) и Р5Хп(Ж + гЖ) тремя инволюциями, две из которых перестановочны. // Тезисы докладов XXII Международной конференции «Алгебра, теория чисел, дискретная геометрия и многомасштабное моделирование: современные проблемы, приложения и проблемы истории». — Тула. — 2023.

— С. 58-59.

[31] Нужин Я. Н., Шаипова Т. Б. О порождении группы РСЬп(Ж+гЖ) тремя инволюциями, две из которых перестановочны // Тезисы докладов XV Международной школы-конференции по теории групп, посвященной 95-летию со дня рождения М.И. Каргаполова. — Екатеринбург. — 2024. — С. 73.

[32] Шаипова Т. Б. О порождении линейных групп над кольцом целых гауссовых чисел // Алгебра и динамические системы: тезисы докладов международной конференции. — Нальчик: КБГУ, ИММ УрО РАН, УМЦ. — 2025. — С. 177-178.