Порождающие групп лиева типа и связанные с ними функции тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Левчук, Денис Владимирович

• Левчук, Денис Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Левчук, Денис Владимирович

Введение

Глава 1. Порождающие тройки инволюций группы PSLn{Z гZ)

§ 1.1. Основная теорема и вспомогательные результаты.

§ 1.2. Порождающие тройки инволюций.

§ 1.3. Доказательство основной теоремы для случая п > 7.

§ 1.4. Случай п =

Глава 2. Функции Ф. Холла на группах лиева типа ранга

§ 2.1. Постановка задачи и основная теорема.

§ 2.2. Подгруппы групп лиева типа ранга 1 и представление групп Ри

§ 2.3. Основное рекуррентное соотношение для групп Ри.

§ 2.4. Вычисление чисел

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Порождающие групп лиева типа и связанные с ними функции»

Многие задачи теории групп и смежных разделов математики редуцируются к нахождению порождающих элементов, удовлетворяющих некоторым свойствам. Хорошо известно, что классические группы порождаются своими простейшими элементами: так, например, симметрические группы порождаются транспозициями, а простые классические линейные группы или более обобщенно — простые группы лиева типа — порождаются корневыми элементами; в обоих случаях мощность порождающего множества растет вместе с ростом мощности самой группы.

Группы, порожденные тремя инволюциями, две из которых перестановочны (не исключается, что какие-то из инволюций совпадают), будем называть (2х2,2)-порожденными. Ясно, что если группа допускает нетривиальный гомоморфный образ, который не является (2х2,2)-порожденной группой, то она также не будет (2x2,2)-порождена. В 1980 г. В.Д.Мазуров поставил следующий вопрос:

Какие конечные простые группы являются (2x2,2)-порожденными?

Ответ на этот вопрос известен и для основного массива конечных простых групп положителен. Однако, существуют бесконечные серии линейных групп небольших размерностей над конечными полями которые не являются (2х2,2)-порожденными. Для знакопеременных групп и групп лиева типа над конечными полями ответ на вопрос Мазурова дал Я.Н.Нужин (позднее вопрос был решен и для оставшихся 26 спорадических групп). Он же записал в "Коуровской тетради" следующий вопрос [2, вопрос 15.67]:

Какие присоединенные группы Шевалле (нормального типа) над кольцом целых чисел Ъ являются (2х2,2)-порожденными?

К настоящему времени вопрос полностью решен только для групп Шевалле типа А\, а именно, справедлив следующий результат [5, 6]: Группа P5'Lтг(Z) (п > 2) над кольцом целых чисел Ъ тогда и только тогда является (2x2,2)-порожденной, когда п > 5. М.К.Тамбурипи и П.Цукка [16] установили (2х2,2)-порождаемость также группы ЗЬп{Ъ) при п > 14.

Как и кольцо целых чисел, кольцо целых Гауссовых чисел Ъ + г2 = —1, является 1-порожденным, то есть порождается одним элементом, в данном случае элементом i, относительно операций сложения и умножения. Поэтому естественно рассматривать вопрос

А) Какие группы Р8Ьп(2Г + г Z) над кольцом целых Гауссовых чисел являются (2 х 2,2)-порожденными ?

В этом случае, также как и для кольца целых чисел ответ не является единообразным. Из [6] следует, что группы Р5Х2(9) и Р5Хз(9) не являются (2х2,2)-порожденными, поэтому в силу гомоморфизма РБЬп^ + на Р5ХП(9) группа. + г^) не является

2х2,2)-порожденной при п = 2,3.

Основным результатом главы 1 является

Теорема 1.1. При п > 7 проективная специальная линейная группа РБЬп+ iZ) над кольцом целых Гауссовых чисел Z + гZ является (2х 2,2)-порожденной.

Особый интерес вызывают порождающие множества с условиями экстремальности относительно некоторых свойств, [11], [18], [19], [4] и др. В главе 2 исследуется следующий вопрос, записанный С.А. Сыскиным в Коуровской тетради:

В) Для каждой известной простой конечной группы <2 найти такое максимальное число ¿, что прямое произведение с? экземпляров группы (7 порождается двумя элементами [2, вопрос 12.86].

Вопрос восходит к работе [13] Ф. Холла 1936 года. Соответствующий инвариант Ф. Холла наиболее естественно определяется для конечной простой неабелевой группы С; это наибольшее число с/ = с?п(С), для которого прямое произведение й групп, изоморфных С, есть п-порожденная группа. Таким образом, вопрос С. А. Сыс-кина заключается в нахождении инварианта <¿2((?).

Сейчас уже известно, что всякая конечная простая неабелева группа порождается двумя элементами. Ф. Холл [13] назвал п-той функцией Эйлера на произвольной группе число всех п-баз в (7, то есть упорядоченных порождающих наборов из п элементов группы (7. В [13] введены и применяются также обобщенные функции Мебиуса на группах. Если С - циклическая группа порядка т, то = <р{т), где <£>(га) есть обычная арифметическая функция г

Эйлера.

Ф. Холл установил связь инвариантов ¿2(G) и </?2(С) (см. лемму 2.1 в § 2.1) и вычислил их явно для групп подстановок небольших степеней и групп РвЬ2 над полем простого порядка. В работе Н. М. Сучкова и Д. М. Приходько [9] вопрос С.А. Сыскина, решен для групп Сузуки и с четным д.

Вопрос С.А. Сыскина изучается в главе 2 в классе простых групп лиева типа ранга 1.

Множество всех пар элементов группы С, лежащих в какой-либо подгруппе с неединичным разрешимым радикалом, далее обозначаем через }¥(С) или, кратко, ИЛ По определению, разрешимый радикал произвольной группы есть ее наибольшая разрешимая нормальная подгруппа.

В исследовавшихся в [13] и [9] простых группах каждая неразрешимая подгруппа имеет единичный разрешимый радикал. В диссертации инварианты и (^(С) исследуются, в первую очередь, для простых групп Ри; они обладают неразрешимой подгруппой М с неединичным разрешимым радикалом. К основным результатам главы 2 относится следующее рекуррентное соотношение.

Теорема 2.2. Если 0(д) - простая группа Ри Яе(д), то

МСШ = \С(д)\2 - \СШ ]Г ЫС(т))/\С(т)\

GF(r7г)cGF(9)

-т-МЗЬ2(8))-(\С(д)\/\Ст.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [20]— [26], включая публикацию из перечня ВАК.

Результаты диссертации были представлены на международных алгебраических конференциях в Санкт-Петербурге (2007), Красноярске (2007), Москве (2008), на V конгрессе женщин-математиков (г. Красноярск, 2008), на Красноярском алгебраическом семинаре.

Автор благодарен своему научному руководителю Я.Н. Нужину за помощь при постановке задач и в подготовке работ. Признателен сотрудникам кафедры алгебры и математической логики и института математики Сибирского федерального университета за хорошие условия для работы над диссертацией.

Работа над диссертацией была поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, код гранта 06-01-00824а.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Левчук, Денис Владимирович, 2009 год

1. Бусаркин В.М. Горчаков Ю.М., Конечные расщепляемые группы. //' М.: Наука, 1968.

2. Коуровская тетрадь (Нерешенные вопросы теории групп). 15-е изд. Новосибирск: ИМ СО РАН, 2002.

3. Левчук В. М., Нужин Я. Н., О строении групп Ри // Алгебра и логика, 1985, Т. 24, №1, С. 26-41.

4. Левчук В.М., Приходько Д.М., Независимые множества конечных групп. Алгебра, логика и кибернетика: Материалы Международной конф. - Иркутск: ГОУ ВПО ИГПУ, 2004, 65-66.

5. Нужин Я.Н., Порождающие тройки инволюций групп лиева типа над конечным нолем нечетной характеристики II // Алгебра и логика, 36, 1997, № 4, С. 422-440.

6. Нужин Я.Н., О порождаемости группы Р5ХП(,£) тремя инволюциями, две из которых перестановочны // Владикавказский матем. журнал, 2008, № 1, С. 42-49

7. Приходько Д.М., О числе пар порождающих элементов некоторых групп £2(9) // Материалы XXXIV научной студенческой конференции, Красноярск: КрасГУ, 2001, С. 91-102.

8. Стейнберг Р., Лекции о группах Шевалле // М.: Мир, 1975.

9. Сучков Н.М., Приходько Д.М., О числе па.р порождающих групп Щ2т) и Sz{22k+1) И Сиб. мат. журн., 2001, Т.42, N 5, с. 1162-1167.

10. Холл М., Теория групп // М., ИЛ, 1962.

11. Cameron, Р., Сага, P. Independent generating sets and geometries for symmetric groups. J. Algebra, 258, No.2, 641-650 (2002).

12. Carter R., Simple groups of Lie type // New York: Wiley and Sons, 1972.

13. Hall Ph., The Eulerian functions of a group // Qurt. J. Math., 1936, V.7, P. 134-151.

14. Levchuk V.M., Functions on classical groups and some unsolved questions // Abstr. Int. Alg. Conf. Hungary, Debrecen, 2005, P. 28.

15. Ree R., A family of simple groups associated with the simple Lie algebra of type (G2) // Amer. J. Math. 1961. V. 83, №3. P. 432-462.

16. Tamburini M.C., Zucca P., Generation of Certain Matrix Groups by Three Involutions, Two of Which Commute // J. of Algebra, 195, 1997, P. 650-661.

17. Ward N.N., On Ree's series of simple groups // Trans. Amer. Math. Soc., 121, N1, 1966, P. 62-89.

18. Whiston, J., Maximal independent generating sets of the symmetric group. // J. Algebra, 232, No.l, 255-268 (2000).

19. Whiston, J., Saxl, J., On the maximal size of independent generating sets of PSL2(g). // J- Algebra, 258, No.2, 651-657 (2002).Список публикаций по теме диссертации

20. Levchuk D.V., Nuzhin Ya.N., On the (2x2,2) generation of the group PSLn(Z + iZ) // Intern. Algebr. Conf., dedicated to the 100th anniversary of D.K.Faddeev, St-Peterburg: MI RAN, 2007, p. 134.

21. Levchuk D. V., Nuzhin Ya.N., On generation of the groop PSLn(Z + iZ) by three involutions, two of which commute // Journal of Siberian Federal University, Math and Physics, 2008, 1(2), p.133-139.

22. Левчук Д.В., Функции Ф.Холла на группах лиева типа ранга 1 // Владикавказский математический журнал, 2008,- том 10, выпуск 1, с.37-39.

23. Левчук Д.В., Порождаемость группы PSLj(Z + iZ) тремя инволюциями, две из которых перестановочны // V Всесибирский конгресс женщин-математиков, СФУ, 2008г., с.258.

24. Левчук Д.В., О двупорожденных декартовых степенях простых групп Ри // Межд.алгеб.конф посвященная 100-летию со дня рождения А.Г.Куроша, тезисы докладов, Москва: МГУ, 2008, с.155-156.

25. Левчук Д.В., О порождаемости группы РБЬ^^ + тремя инволюциями, две из которых перестановочны // Препринт №4, Красноярск, ИВМ СО РАН, 2008, 9 с.