Линейные группы над конечными полями и над кольцом целых чисел как группы автоморфизмов регулярных политопов ранга 3 тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Марковская Ирина Александровна

• Марковская Ирина Александровна
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Марковская Ирина Александровна

Введение

Глава 1. Обозначения и известные результаты

1.1. Терминология и обозначения

1.2. Тензорные представления и неравенство Скотта

1.3. Регулярные политопы и струнные О-группы

Глава 2. Группы СЬп и РОЬп над кольцом целых чисел

2.1. Известные порождающие множества и гомоморфизм Минковского

2.2. Доказательство основной теоремы главы

Глава 3. Группы ОЬп и РОЬп над конечными полями

3.1. Предварительные результаты

3.2. Случай ОЬп

3.3. Случай РСЬп

Глава 4. Группы матриц с определителем ±1 над конечными

полями

4.1. Предварительные результаты

4.2. Случай СЬ±Х

4.3. Случай РСЬ±Х

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Линейные группы над конечными полями и над кольцом целых чисел как группы автоморфизмов регулярных политопов ранга 3»

Введение

Матричные группы, или в другой терминологии линейные группы, над полями и над кольцами являются классическими объектами теории групп. Их структура и порождающие множества исследуются и применяются в различных разделах математики. Многие группы, заданные порождающими элементами и определяющими соотношениями, равно как и методы отыскания таких соотношений, представлены в монографии Г. С. М. Коксетера и У. О. Дж. Мозера [3]. Особый интерес всегда вызывали порождающие множества малой мощности, в частности, конечные наборы порождающих инволюций с определенными свойствами. Группы с такими порождающими множествами нашли различные применения в геометрии.

Известно, что конечная группа тогда и только тогда является группой автоморфизмов регулярного политопа ранга п, когда она является п-струнной С -группой. Доказательство этого фундаментального результата можно найти в монографии П. МакМуллена и Э. Шульте [20, секция 2Е]. Группа О называется С -группой, если она порождается множеством инволюций {р0,..., рп—1}, п > 1, и для любых подмножеств J и К из I = {0,..., п — 1} справедливо равенство

р I 3 е 3) п {рк | к е К) = {рг | г е J п К>, (1)

где по определению (р^^ | г е 3 П К) = 1, если J П К = 0. Совокупность равенств (1) обычно называется условием пересечения. С -группа называется п-струнной С -группой или просто струнной С-группой, если

(№)2 = 1 при |г — 31 > 2. (2)

3-струнная С-группа — это, в точности, группа, порожденная тремя инволюциями, две из которых перестановочны, и удовлетворяющая условиям пересечения (1). М. Кондер и Д. Оливерос установили, что конечные группы, которые порождаются тремя инволюциями, две из которых перестановочны, и не имеют

нетривиальных циклических нормальных подгрупп (в частности, почти простые неабелевы группы) удовлетворяют условиям (1) [17, следствие 4.2]. Поэтому ответ на вопрос о том, какие конечные простые группы являются группами автоморфизмов регулярных политопов ранга 3, известен, поскольку известен ответ на вопрос В. Д. Мазурова о порождаемости конечных простых групп тремя инволюциями, две из которых перестановочны [18, вопрос 7.30]. Ответ на этот вопрос положителен, исключая знакопеременные группы А6, А7, А8, некоторые группы лиева типа ранга не больше трех, и спорадические группы Ыц, М22, М23, МоЬ. Полный список исключений можно найти, например, в [12, с. 428-429].

Вопрос В. Д. Мазурова естественно распространить на почти простые группы и близкие к ним. Одной из главных задач, рассматриваемых в обзорной статье Д. Лиманса [19], является задача о существовании регулярного политопа ранга п с данной конечной почти простой группой автоморфизмов. К почти простым группам, в частности, относится проективная общая линейная группа РОЬп над конечным полем, которая является проективным образом общей линейной группы ОЬп.

Диссертация посвящена вопросу порождаемости групп ОЬп и РОЬп над кольцом целых чисел и над конечными полями тремя инволюциями, две из которых перестановочны, и установлению связи таких групп с группами автоморфизмов регулярных политопов ранга 3. Аналогичная задача рассматривается для групп матриц с определителем ±1.

Методы исследования. В работе используются методы теории групп и линейной алгебры. При доказательстве отрицательных результатов используется неравенство Л. Скотта в сочетании с тензорными представлениями групп.

Основные результаты работы:

1. Доказано, что группа СЬп(Ъ) (соответственно группа РОЬп(Ъ)) порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны, тогда и только тогда, когда п > 5 (соответственно п = 2 или п > 5).

2. Получен ответ о порождаемости тремя инволюциями, две из которых перестановочны, для групп ОЬп(д) и РОЬп(д) над конечными полями. Аналогичный ответ получен для групп матриц СЬ±1(() с определителем ±1 над конечными полями, а также для их гомоморфных образов РСЬ±1(().

3. Установлено, что группы СЬп((), РСЬп((), СЬ±1(() и РСЬ±1(((), которые порождаются тремя инволюциями, две из которых перестановочны, являются группами автоморфизмов регулярных политопов ранга 3, исключая случай СЬ2(2) = РОЬ2(2).

Структура работы. Работа состоит из введения, четырёх глав основного содержания, заключения и списка литературы. Список цитированной литературы состоит из 23 наименований, а список работ автора из 9 наименований. Диссертация изложена на 80 страницах. Основные результаты сформулированы в виде теорем. Номер теоремы, леммы и следствия включает номер главы, параграфа и порядковый номер.

В главе 1 представлены основные обозначения, термины, способы нахождения порождающих множеств линейных групп и методы доказательства отрицательных результатов о порождении этих групп. Также вводятся базовые определения теории регулярных политопов.

В § 1.1 представлены основные определения и обозначения, используемые в диссертации. Вводится определение (2 х 2, 2)-порожденной группы как группы, порожденной тремя инволюциями, две из которых перестановочны.

§ 1.2 посвящен тензорным представлениям групп. Кроме того, в параграфе приводится неравенство Л. Скотта, которое применяется в дальнейшем для

получения отрицательных результатов о (2 х 2, 2)-порождаемости групп.

В § 1.3 вводятся определения регулярного политопа, струнной С -группы и связанных с ними понятий. Представлен ряд лемм, устанавливающих связь между группами, порожденными тремя инволюциями, две из которых перестановочны, и группами автоморфизмов регулярных политопов ранга 3.

В главе 2 доказана теорема о (2 х 2, 2)-порождаемости групп ОЬп(Ъ) и РОЬп(Ъ) над кольцом целых чисел.

В § 2.1 рассматриваются порождающие множества линейных групп над кольцом целых чисел. Приводятся используемые в главе известные результаты о (2 х 2, 2)-порождаемости групп БЬп(Ъ) и РБЬп(Ъ) из работ [10,23]. Вводится понятие гомоморфизма Минковского.

В § 2.2 доказана основная теорема главы.

Теорема 2.2.1. Группа ОЬп(Ж) (соответственно группа РОЬп(Ъ)) является (2 х 2, 2)-порожденной тогда и только тогда, когда п > 5 (соответственно п = 2 или п > 5).

Доказательство теоремы 2.2.1 получено совместно с научным руководителем. Для наиболее сложных размерностей п = 5 и п = 6 порождающие тройки инволюции были найдены автором диссертации.

В главе 3 рассматривается вопрос о (2 х 2, 2)-порождаемости общей линейной группы ОЬп(д) над конечным полем порядка д и её проективного образа РОЬп(д) и вопрос о существовании регулярных политопов ранга 3 с группами автоморфизмов ОЬп(д) и РОЬп(д).

В § 3.2 и § 3.3 доказаны две следующие теоремы.

Теорема 3.2.1. Группа ОЬп(д) тогда и только тогда является (2 х2, 2)-порожденной, когда либо а) д = 2 и п = 2 или п > 5, либо б) д = 3 и п > 5.

Теорема 3.3.1. Группа РОЬп(д) тогда и только тогда является (2 х 2, 2)-порожденной, когда либо а) п = 2 и д — любое, либо б) п > 4 и (п, д — 1) = 2, либо в) п > 5 и (п, д — 1) = 1.

Также приводится доказательство того, что при п и д, указанных в теоре-

мах 3.2.1 и 3.3.1, группы ОЬп(д) и РОЬп(д) являются группами автоморфизмов регулярных политопов ранга 3, исключая случай ОЬ2(2) = РОЬ2(2) (теорема 3.2.2 и следствие 3.3.1 соответственно).

В доказательстве теорем 3.2.1 и 3.3.1 отрицательные случаи были получены совместно с научным руководителем с применением неравенства Скотта. В остальных случаях порождающие тройки инволюций указаны явно и были найдены автором диссертации.

Основным объектом главы 4 является подгруппа матриц общей линейной группы ОЬп(д) над конечным полем нечетного порядка ( с определителем, равным ±1. Обозначим ее через СЬ±1((). Очевидно, справедливо следующее равенство

СЬ±1(() = БЬп(() X {^ад(-1,1,..., 1)).

Через РСЬ±1(() обозначим фактор-группу группы СЬ±1((() по центру Сп группы 5Хп((). Таким образом, по определению

РСЬ±1(() = РБЬп(() X {¿гад(-1,1,..., 1) • Сп).

Заметим, что при таком определении группа РСЬ±1(() содержит подгруппу РБЬп(() индекса 2 для любого п, четного или нечетного; для нечетного п группа Сп является подгруппой индекса 2 во всем центре группы СЬ±1(().

В главе доказаны следующие результаты.

Теорема 4.2.1. При нечетном ( группа СЬ±1(() тогда и только тогда является (2 х 2, 2)-порожденной, когда п > 5.

Теорема 4.2.2. При нечетном ( группа СЬ±1(() является группой автоморфизмов регулярного политопа ранга 3 тогда и только тогда, когда п > 5. Более того, когда п > 5, группа СЬ±1(() является группой автоморфизмов регулярного политопа ранга 3 типа [4р,п] или [4р, 2п], где ( = рт, р — простое число.

Теорема 4.3.1. При нечетном ( группа РСЬ±1(() тогда и только тогда является (2 х 2, 2)-порожденной, когда либо а) п = 2 и ( = 9, либо б) п > 4.

Следствие 4.3.1. При нечетном д группа РОЬ:±1(д) является группой автоморфизмов регулярного политопа ранга 3 тогда и только тогда, когда либо а) п = 2 и д = 9, либо б) п > 4.

Все результаты данной главы получены лично автором диссертации.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на заседаниях Красноярского алгебраического семинара (2023, 2025) и апробировались на конференциях:

1) Международная конференция «Алгебра и динамические системы» (Нальчик, 2022);

2) Международная конференция по теории групп, посвященная 80-летию В. Д. Мазурова (Новосибирск, 2023);

3) Открытая конференция молодых ученых ИВМ СО РАН по математическому моделированию, информационным технологиям и фундаментальной математике (Красноярск, 2024);

4) Международная конференция «Алгебра и математическая логика: теория и приложения» (Казань, 2024);

5) Международная конференция «Алгебра и динамические системы» (Нальчик, 2025);

6) V конференция математических центров России (Красноярск, 2025);

7) Международная конференция «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2025).

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в статьях [24]- [26], опубликованных в рецензируемых научных изданиях, включенных в перечень ВАК, а также в материалах конференций [27]- [31].

Благодарность. Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю д.ф.-м.н., профессору Якову Нифантьевичу Нужину за постановку задач, неоценимую помощь и поддержку на всех этапах выполнения работы. Автор признателен коллективу кафедры алгебры и математической логики института математики и фундаментальной информатики и сотрудникам департамента подготовки кадров высшей квалификации СФУ за создание благоприятных условий для написания диссертации.

Исследования главы 2 и их апробация поддержаны Красноярским математическим центром, финансируемым Минобрнауки РФ (Соглашение №075-022021-1388, Соглашение №075-02-2023-936, Соглашение №075-02-2024-1429). Основные результаты глав 3 и 4 получены при поддержке Российского научного фонда (грант №25-21-20059).

Глава 1. Обозначения и известные результаты

В этой главе представлены основные обозначения, термины и методы нахождения порождающих множеств линейных групп.

§ 1.2 посвящен тензорным произведениям и применению неравенства Скотта при доказательстве отрицательных случаев.

В § 1.3 вводится система базовых понятий и обозначений теории струнных С-групп и регулярных политопов, являющихся геометрическими приложениями (2 х 2, 2)-порожденных групп.

1.1 Терминология и обозначения

Обозначим основные используемые определения:

Ъ — кольцо целых чисел, Fq — конечное поля порядка д = рп, где р — простое число.

ОЬп(Ъ) — общая линейная группа над кольцом целых чисел. РОЬп(Ъ) — проективная общая линейная группа над кольцом целых чисел.

ОЬп(д) — общая линейная группа над конечным полем порядка д. РОЬп(д) — проективная общая линейная группа над конечным полем порядка д.

ОЬ:±1(д) — группа матриц с определителем равным ±1 над конечным полем порядка д.

РОЬ±1(д) — фактор-группа группы СЬ±±1(д) по центру группы БЬп (д)

над конечным полем порядка д.

Пусть О — группа. Неединичный элемент а € О будем называть инволю-2 1

цией, если а2 = 1.

Далее Я — произвольное коммутативное кольцо с единицей 1, БЬп(Я) — подгруппа матриц с определителем, равным 1, общей линейной группы ОЬп(Я) над кольцом Я.

Группу, порожденную тремя инволюциями, две их которых перестановочны, будем называть (2 х 2, 2)-порожденной. По определению мы считаем таковой единичную группу и не исключаем совпадения двух или всех трех инволюций, поэтому справедлива следующая лемма.

Лемма 1.1.1. Класс (2х 2, 2)-порожденных групп замкнут относительно гомоморфных образов.

Элементарные трансвекции

tij(к) = Еп + кву, %, ] = 1, 2,..., п, % = ], к Е Я,

будем называть просто трансвекциями, где Еп — единичная матрица порядка п, а ву — (п х п)-матрица с 1 на позиции (%,]) и нулями в остальных местах. Положим также

^(Я) = (^(к) | к Е Я), %,] = 1, 2,...,п, % = ].

Через ¿гад(к1,..., кп) будем обозначать диагональную матрицу с элементами ki на главной диагонали.

Ненулевой элемент и поля Fq называется собственным (соответственно примитивным) элементом, если он не содержится ни в каком собственном подполе поля Fq (соответственно, если он порождает мультипликативную группу

Лемма 1.1.2. Если и — примитивный элемент поля Fq характеристики р, то и2 является собственным элементом.

Доказательство. Если р = 2, то возведение в квадрат является автоморо-физмом в поле Fq, поэтому и2 будет примитивным элементом, а следовательно, собственным.

Пусть p нечетно. Тогда |и21 = р-—, где pn - порядок поля Fg. Порядок

И^ЛУ! -и- д.

поля Fg

мультипликативной группы некоторого подполя Fpk поля Fg равен pk — 1. По-

скольку порядок подполя всегда делит порядок поля, то к|и. Элемент п2 будет являться собственным, если его мультипликативный порядок |п21 не делит порядок мультипликативной группы произвольного подполя Fpk. Для выполнения

этого условия достаточно доказать следующее неравенство

рп 1

р-—- >Рк — 1. (3)

Домножив обе части на 2, получаем рп — 1 > 2рк — 2. Следовательно рп > 2рк — 1. Так как к|и, то и = тк, где т - целое число больше 1. Подставив наименьшее возможное т = 2, получаем

р2к > 2рк — 1.

Очевидно,

рк > 2 — 1/рк.

Так как р > 3, а к > 1, то левая часть последнего неравенства больше или равна 3, а правая часть меньше 2. Таким образом, неравенство (3) справедливо. Лемма доказана. □

Используются следующие сокращения.

Для обозначения сопряжения матрицы а матрицей Ь будем использовать запись аь = ЬаЬ—1.

Коммутатор двух матриц а и Ь обозначим [а, Ь] = аЬа—1Ь—1. Для любого непустого подмножества М некоторой группы через (Ы) обозначаем подгруппу, порожденную множеством М.

1.2 Тензорные представления и неравенство Скотта

Следующие определения можно найти, например, в монографии Д. Го-ренстейна [2, с. 45-46].

Представлением группы О над полем ^ называется любой гомоморфизм ф группы О в группу всех невырожденных линейных преобразований некоторого (конечномерного) векторного пространства V над ^.

Представление ф группы О на векторном пространстве V над полем ^ называется приводимым, если хотя бы одно подпространство W из V с 0 < W < V инвариантно относительно ф(О); в противном случае ф называется неприводимым.

Пусть V — векторное пространство над полем ^. Через V 0 V обозначается тензорный квадрат этого пространства. Векторное пространство V 0 V состоит из формальных линейных комбинаций с коэффициентами из ^ упорядоченных пар V 0 V, V Е V. При этом выполняются следующие условия:

+ v2) 0 ад = v1 0 ад + v2 0 ад,

V 0 (ад1 + ад2) = V 0 ад1 + V 0 ад2, А^ 0 ад) = Av 0 ад = V 0 Аад, А Е К

Пусть ф — представление группы О на пространстве V. Тогда получаем представление ф 0 ф группы О, которое определяется так:

(ф 0 ф)(дXV 0 ад) = ф(д)М 0 ф(д)(ад), д Е О, v,w Е V.

Представление ф 0 ф называется тензорным квадратом представления ф.

Обозначим через W подпространство в V 0 V, порожденное векторами

V 0 V, V Е V. Очевидно, оно инвариантно относительно (ф 0 ф)(О). Следовательно, имеется индуцированное фактор-представление группы О на векторном пространстве (V0V)/W. Оно называется внешним квадратом представления ф и обозначается через ф Л ф, причем пространство (V 0 V)/W аналогичным образом обозначается через V Л V.

Пусть и — подпространство пространства V 0 V, порожденное векторами

V 0ад — ад 0 V, где V, ад Е V. Данное подпространство инвариантно относительно

группы (ф 0 ф)(С), поэтому существует индуцированное представление группы С на V 0 У/и, называемое симметрическим квадратом представления ф и обозначаемое через ф2.

Ядро гомоморфизма ф пространства V 0 V на и, задаваемого правилом

ф : V 0 и ^ V 0 и — и 0 V,

в точности совпадает с W. Следовательно, внешний квадрат фЛ ф эквивалентен ограничению представления ф 0 ф на пространство и. Можно показать, что если характеристика поля Р отлична от 2, то ф2 эквивалентно ограничению представления ф 0 ф на подпространство W. Более того, в этом случае

V 0 у = W 0 и

и, следовательно, ф 0 ф разлагается в сумму ф2 и ф Л ф. Зафиксируем стандартный базис

б1,б2, ...,вп

пространства вектором-столбцом V над полем Р, где еГ1 = (0,..., 0,1,0,..., 0)т, а 1 стоит на г-м месте. Тогда

вг 0 ej, г,] = 1, 2, ...,и,

— базис пространства V 0 V. Так как

(ег + ej) 0 (ег + ej) = ег 0 ег + ег 0 ej + ej 0 ег + ej 0 ej и V 0 V Е W для всех V Е V, то

ег 0 ег, ег 0 ej + ej 0 ег, г = ], г,] = 1, 2,...,и,

— базис подпространства W.

В качестве базиса подпространства и можно взять следующий набор из 2 векторов

е., 0 е^ — ej 0 е,, г = ], г,] = 1, 2,...,и.

Базисом фактор-пространства (V 0 V)/и будет набор

вi 0 вi + и, вi 0 ву + и, % < ], %,] = 1, 2,...,п,

а базисом фактор-пространства (V 0 V)/W будет набор

ei 0 ву + W, % < ], %,] = 1, 2,..., п.

Следующее утверждение, доказанное Я. Н. Нужиным, устанавливает неприводимость внешнего и симметрического квадрата, что позволяет, в частности, применять данные тензорные представления при использовании неравенства Л. Скотта.

Лемма 1.2.1. [13, теорема 1] Пусть ф — естественное неприводимое представление размерности п > 2 группы ОЬп(^) над полем частных ^ области целостности Б характеристики отличной от 2. Тогда симметрический квадрат ф2 и внешний квадрат фЛ ф являются неприводимыми представлениями и их сужения на подгруппу 5Хп(Б) также будут неприводимыми, причем Кег(ф2) = {1, —1}, Кег(фЛ ф) = {1, —1} при п > 3, Кег(ф Л ф) = ) при п = 2.

Известный результат Л. Скотта [21, теорема 1] указывает способ получения отрицательного ответа на вопрос такого типа: существуют ли для данной группы О порождающие элементы д1,д2,..., д^ с определенными свойствами, для которых д1д2 ... = 1? Чаще применяется его следующее следствие.

Лемма 1.2.2. Пусть неприводимая подгруппа О группы ОЬп(^), п > 2, над полем ^ порождается элементами д1, д2,... , с условием д1д2 ... = 1. Через ((д,;) обозначим коразмерность подпространства неподвижных элементов Vn(gi) = {V Е Уп | giv = V}, где Уп — векторное пространство размерности п над полем ^. Тогда

((д0 + ••• + (1(ди) > 2п

(4)

При доказательстве отрицательных случаев порождаемости тремя инволюциями а, в, 7, первые две из которых перестановочны, в качестве элементов 91,92,... ,9к из леммы 1.2.2 будем брать пятерку инволюций а, в, ав, 7, 7, поскольку а • в • ав • 7 • 7 = 1.

1.3 Регулярные политопы и струнные С-группы

Абстрактный политоп ранга и (или и-политоп) Р - это частично упорядоченное множество со строго монотонной ранговой функцией, имеющей диапазон значений {—1, 0,1, ...,и}, для которого выполняются 4 аксиомы. Элемент Р Е Р ранга ] называется ]-гранью и обозначается Рj. Любые две ]-грани Рj и Сj несравнимы.

1. В Р существуют наименьший элемент Р—1 и наибольший элемент Рп. Они называются несобственными гранями, а отличные от них — собственными.

2. Каждый флаг (максимальная цепь) из Р содержит ровно и + 2 грани, в том числе Р—1 и Рп.

3. Если Рj—1 < Сj+1, то в Р существуют в точности две такие ]-грани Н, что Рj—1 < Н < Сj+1 (условие однородности или алмазное условие).

4. Для любых двух флагов Ф и Ф из Р существует последовательность флагов Ф = Фо,..., Фк = Ф такая, что Ф,—1 и Ф, - соседние флаги и Ф П Ф С Ф,, 0 < г < к (условие сильной (флаг)-связности).

Два флага называются соседними, если они различаются лишь одной гранью.

Если порядок группы ЛиЬ(Р) равен числу флагов политопа Р, то она действует транзитивно и, следовательно, регулярно на множестве флагов. В этом случае абстрактный и-политоп Р называется регулярным.

В [17] М. Кондер и Д. Оливерос установили, что (2 х 2, 2)-порожденные группы при определенных условиях могут являться группами автоморфизмов регулярных политопов ранга 3, а именно, был доказан следующий результат.

Лемма 1.3.1. [17, теорема 4.1] Пусть конечная группа О порождается тремя инволюциями а, в и 7 такими, что а и 7 перестановочны, а порядки произведений ав и в7 больше 2. Тогда О является группой автоморфизмов регулярного политопа ранга 3 или содержит нетривиальную нормальную подгруппу N, лежащую в (ав) или в (вт).

Группа М называется почти простой, если О < М < Аи£(О), где О - конечная простая неабелева группа. Следствием леммы 1.3.1 является

Лемма 1.3.2. Пусть О — конечная группа, порожденная тремя инволюциями а, в и 7 такими, что а и 7 перестановочны, а порядки произведений ав и в7 больше 2. Пусть при этом О не содержит нетривиальных циклических нормальных подгрупп, в частности, является почти простой (2 х 2, 2)-порожденной группой. Тогда существует регулярный политоп ранга 3 с группой автоморфизмов О.

Список почти простых групп, для которых уже доказано, что они являются группами автоморфизмов регулярных п-политопов для определенных п, можно найти в детальном обзоре Д. Лиманса [19], там же сформулирован ряд проблем и гипотез по этой тематике.

Б. Б. Бактыбеков, М. Кондер, Я. Н. Нужин и А. В. Резанцева [16] получили следующий критерий, который дополняет утверждение теоремы Конде-ра-Оливерос.

Лемма 1.3.3. [16, теорема В] Пусть конечная группа О порождается тремя инволюциями а, в и 7, такими, что а и 7 перестановочны, а порядки произведений ав и в7 больше 2. Тогда порождающее множество а, в, 7 делает О группой автоморфизмов регулярного политопа ранга 3 тогда и только

тогда, когда она не содержит нетривиальных нормальных подгрупп, лежащих в пересечении (aß) П (ßY), и пересечение (a,ß) П (ß,Y) не является элементарной абелевой подгруппой порядка 4.

Группа G называется C-группой, если порождается множеством инволюций I = {р0, ...,pn-1}, которые удовлетворяют условию пересечения:

(pj \j G J) П (рк\k G K) = (рг|^ G J П K), (5)

для всех подмножеств J,K С {0,1,...,n _ 1}. Если J и K одноэлементны, то из (5) следует, что инволюции в I должны быть различны. Такая группа называется струнной C-группой или n-струнной группой, или просто струнной группой, если

(pipj)2 = 1 для \i _ j\ > 2. (6)

Как отмечено в [20], справедлив следующий фундаментальный результат.

Лемма 1.3.4. [20, следствие 2E13] Группа автоморфизмов регулярного n-политопа является, в точности, струнной C-группой.

Группа, порожденная тремя инволюциями a, ß и y такими, что aß = ßa, будет являться 3-струнной тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1) (a,Y) П (ß,y) = (Y);

2) (a,ß) П (y) = 1;

3) (ß,Y) П (a) = 1;

4) (a,Y) П (ß) = 1.

Поскольку условия 2 - 4 выполняются для любых недиэдральных групп, справедлива

Лемма 1.3.5. Пусть G — недиэдральная группа, порожденная тремя различными инволюциями a,ß и y , где a и ß перестановочны, и (a,Y) П (ß,Y) = (y). Тогда G является группой автоморфизмов регулярного политопа ранга 3.

При этом в [16] было доказано следующее утверждение о диэдральных группах.

Лемма 1.3.6. [16, лемма 4] Конечная диэдральная группа не является неприводимой п-струнной группой для любого п > 3.

Пусть ki - порядок произведения инволюций р,1—1 и р,; для 1 < % < п. Тогда упорядоченное множество [к1, к2,..., кп—1] натуральных чисел называется типом п-струнной группы О или, в силу леммы 1.3.4, типом соответствующего регулярного п-политопа Р.

Глава 2. Группы О£п и РО£п над кольцом целых

чисел

В данной главе представлены результаты о (2 х 2, 2)-порождаемости групп ОЬп(Ъ) и РОЬп(Ъ) над кольцом целых чисел.

В §2.1 рассматриваются порождающие множества линейных групп, а также вводится гомоморфизм Минковского, применяемый в доказательстве основных результатов. В §2.2 приводится доказательство основной теоремы главы.

Теорема 2.2.1. Группа ОЬп(Ъ) (соответственно РОЬп(Ъ)) является (2 х 2, 2)-порожденной тогда и только тогда, когда п > 5 (соответственно п = 2 или п > 5).

2.1 Известные порождающие множества и гомоморфизм

Минковского

М. К. Тамбурини и П. Цукка [23] доказали (2 х 2, 2)-порожденность некоторых матричных групп достаточно большой размерности п, зависящей от параметра над определенными ¿-порожденными коммутативными кольцами. В частности, они установили (2 х 2, 2)-порожденность специальной линейной группы 5Хп(Ъ) над кольцом целых чисел Ъ при п > 14. Я. Н. Нужин [10] доказал, что проективная специальная линейная группа Р5Хп(Ъ) над кольцом целых чисел тогда и только тогда порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны, когда п > 5. Используя методы статьи [10], мы получаем подобные критерии для общей линейной группы ОЬп(Ъ) и ее проективного образа РОЬп(Ъ).

Следующая лемма хорошо известна (см., например, [14, с. 107]).

Лемма 2.1.1. Группа 5Гп(Я) над евклидовым кольцом Я, в частности, над любым полем, порождается подгруппами (Я), %,] = 1,... ,п.

Кольцо целых чисел Ъ евклидово и ЬГ8(Ъ) = (£ГД1)), поэтому следствием леммы 2.1.1 является

Лемма 2.1.2. Группа БЬп(Ъ) порождается трансвекциями (1), г = ], I, ] = 1, 2, ..., п.

Поскольку индекс подгруппы БЬп(Ъ) в группе ОЬп(Ъ) равен 2, то из леммы 2.1.2 вытекает

Лемма 2.1.3. Группа ОЬп(Ъ) порождается трансвекциями (1), г = ],

г, 3 = 1, 2,

п, и любой матрицей с определителем — 1.

Положим

^00 ••• 0 0 1 ^

10 ••• 0 0 0

М = 0 1 ••• 0 0 0

у 0 0 ••• 0 1 0 у

Матрица м имеет групповой порядок п и группа (м) действует сопряжениями регулярно на множестве трансвекций

т = {г1п(1),гг+1г(1),г = 1,2,... ,п — 1}

и на транспонированном множестве

т' = {Ьп1(1),Ь«+1(1),г = 1, 2,... ,п — 1} .

Коммутируя между собой трансвекции из множества Т или из Т', можно получить все трансвекции tij(1). Следовательно, каждое из множеств Т и Т' порождает группу БЬп(Ъ). Более того, в силу лемм 2.1.2 и 2.1.3 справедлива

Лемма 2.1.4. Группа БЬп(Ъ) (соответственно ОЬп(Ъ)) порождается одной из трансвекций

¿1п(1),^+н(1),Ьп1 (1),£«+1(1),г = 1, 2,... ,п — 1,

и матрицей ед для любой (1, —1)-диагональной матрицы г с условием, что ед Е 5Хп(Ъ) (соответственно ¿в£(£д) = —1).

Пусть 1 — идеал кольца Я. Тогда естественный кольцевой гомоморфизм р/ : Я ^ Я/1 определяет сюръективный гомоморфизм

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Марковская Ирина Александровна, 2026 год

Список ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Гвоздев Р. И., Нужин Я. Н., Шаипова Т. Б. О порождении групп

+ ¿Ж) и Р5ХП(Ж + ¿Ж) тремя инволюциями, две их которых перестановочны // Известия ИГУ, Серия Математика. — 2022. Т. 40. — С. 49-62.

[2] Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию: пер. с англ. М.: Мир, 1985. — 352 с.

[3] Коксетер Г. С. М., Мозер У. О. Дж. Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп. М.: Наука, 1980.— 240 с.

[4] Левчук В. М. Замечание к теореме Л. Диксона // Алгебра и логика.— 1983. Т. 22.— № 4.— С. 421-434.

[5] Левчук В. М. О порождающих множествах корневых элементов групп Ше-валле над полем // Алгебра и логика. — 1983. Т. 22.— № 5. — С. 504 — 517.

[6] Нужин Я. Н. Порождающие множества элементов групп Шевалле над конечным полем, Алгебра и логика.— 1989. Т. 28.— №6.— С. 670-686.

[7] Нужин Я. Н. Порождающие тройки инволюций групп Шевалле над конечным полем характеристики 2 // Алгебра и логика — 1990. Т. 29.— №2.— С. 192-206.

[8] Нужин Я. Н. Порождающие элементы групп лиева типа над конечным полем нечетной характеристики. I // Алгебра и логика. — 1997. Т. 36.— №1.— С. 77-96.

[9] Нужин Я.Н. Порождающие элементы групп лиева типа над конечным полем нечетной характеристики. II // Алгебра и логика.— 1997. Т. 36.— №4.— С. 422-440.

[10] Нужин Я. Н. О порождаемости группы PSLn(Z) тремя инволюциями, две из которых перестановочны // Владикавказский математический журнал. — 2008. Т. 10.— №1.— С. 68-74.

[11] Нужин Я. Н., Тимофеенко И. А. Порождающие тройки инволюций линейных групп размерности 2 над кольцом целых чисел // Владикавказский математический журнал — 2009. T. 11. —№4.— С. 59-62.

[12] Нужин Я. Н. О порождающих множествах инволюций простых конечных групп // Алгебра и логика.— 2019. Т. 58.— № 3.— С. 426-434.

[13] Нужин Я. Н. Тензорные представления и порождающие множества инволюций некоторых матричных групп // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН.— 2020. Т. 26.— № 3.— C. 133 — 141.

[14] Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле. М.: Мир, 1975.— 263 с.

[15] Супруненко Д. А. Группы матриц. М.: Наука, 1972.— 351 с.

[16] Baktybekov B. B., Conder M. D. E., Nuzhin Ya. N., Rezantseva A. V. On regular polytopes of rank 3 // Journal of Siberian Federal University. Mathematics and Physics.—2025. V. 18.— № 4.— P. 498-505.

[17] Conder M., Oliveros D. The intersection condition for regular polytopes // J. Combin. Theory Ser. A. — 2013. Vol. 120. — № 6. — P. 1291 — 1304.

[18] The Kourovka notebook: Unsolved Problems in Group Theory, Eds. V.D. Mazurov, E.I. Khukhro// Sobolev Institute of Mathematics, Novosibirsk, 2022, № 20.

[19] Leemans D. String C-group representations of almost simple groups: A survey // Contemporary Mathematics. — 2021. Vol. 764.— P. 157-178.

[20] McMullen P., Schulte E. Abstract Regular Polytopes. Cambridge University Press. Cambridge, 2002.— 551 p.

[21] Scott L. L. Matricies and cohomology // Ann. of Math. — 1977. Vol. 5.— P. 195198.

[22] Sjerve D., Cherkassoff M. On groups generated by three involutions, two of which commute, The Hilton Symposium 1993 (Montreal, PQ), CRM Proc. Lecture Notes. // Amer. Math. Soc., Providence, RI.— 1994. Vol. 6.— P. 169 — 185.

[23] Tamburini M. C., Zucca P. Generation of Certain Matrix Groups by Three Involutions, Two of Which Commute. // J. of Algebra. — 1997. Vol. 195.— P. 650-661.

Работы автора по теме диссертации

[24] Markovskaya I. A., Nuzhin Ya. N. On generation of the groups GLn(Z) and PGLn(Z) by three involutions, two of which commute // Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ.— 2023. Vol. 16.— № 4.— P. 413-419.

[25] Марковская И. А., Нужин Я. Н. О порождаемости групп GLn(q) и PGLn(q) тремя инволюциями, две из которых перестановочны // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН.— 2025. Т. 31.-№ 4.— С. 247-259.

[26] Markovskaya I. A. On Generating Sets of Matrix Groups over Finite Field// Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ.— 2025.— Vol. 18.— № 6.— P. 756-769.

[27] Марковская И. А. О порождаемости группы GLn(Z) тремя инволюциями, две из которых перестановочны // Тезисы докладов Международной конференции «Алгебра и динамические системы посвященной 110-летию со дня рождения С. Н. Черникова», г. Нальчик.— 2022.— С. 83-84.

[28] Markovskaya I. A. On generation of the group GLn(q) by three involutions two of which commute // Международная конференция по теории групп, посвященная 80-летию В. Д. Мазурова. Тезисы докладов, г. Новосибирск.— 2023.— С. 55.

[29] Марковская И. А. О порождаемости группы СЬп(д) и РСЬп(д) тремя инволюциями, две из которых перестановочны // Материалы международной конференции «Алгебра и математическая логика: теория и приложения», г. Казань.— 2024.— С. 73.

[30] Марковская И. А. О порождаемости группы СЬ±1(д) тремя инволюциями, две из которых перестановочны // Тезисы докладов Международной конференции «Алгебра и динамические системы», посвященной 90-летию со дня рождения В. А. Белоногова, г. Нальчик.— 2025.— С. 109-110.

[31] Марковская И. А. О порождающих тройках инволюций матричных групп над кольцом целых чисел и над конечными полями // Материалы докладов V Конференции математических центров России, г. Красноярск.— 2025.— С. 35-36.

[32] Марковская И. А. О порождаемости некоторых линейных групп тремя инволюциями, две из которых перестановочны // Тезисы докладов Международной конференции «Мальцевские чтения», г. Новосибирск.— 2025.— С. 149.