О когомологических носителях наклонных модулей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Острик, Виктор Валентинович

• Острик, Виктор Валентинович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Острик, Виктор Валентинович

Оглавление

0.1. Введение

0.1.1. Нилыготеные орбиты

0.1.2. Аффинная группа Вейля и клетки Каждана-Люстига

0.1.3. Наклонные модули

0.1.4. Когомологические носители

0.1.5. Описание результатов работы

0.1.6. Организация работы

0.1.7. Благодарности

1. Предварительные сведения об алгебраических и квантовых группах

1.1. Корневые данные

1.2. Алгебраические группы

1.3. Квантовые группы

1.4. Ядра Фробениуса

1.5. Классификация нильпотентных элементов

2. Когомологические носители

2.1. Определения

2.2. Пара спектральных последовательностей Андерсена-Янтцена

2.3. Когомологии ядер Фробениуса при р > к

2.4. Оценка сверху для когомологического носителя

2.5. Теорема Янтцена

2.6. Теорема Фридландера-Паршалла

2.7. Теорема о размерности

2.8. Доказательство гипотезы Янтцена

3. Комбинаторика Каждана-Люстига

3.1. Алгебра Гекке

3.2. Базис Каждана-Люстига

3.3. Определение клеток

3.4. а—функция Люстига

3.5. Случай аффинной группы Вейля

3.6. Параболический случай

4. Наклонные модули

4.1. Хорошие фильтрации

4.2. Наклонные модули: определение и свойства

4.3. Формула Зёргеля для характеров наклонных модулей

4.4. Примеры в ранге 1,2

4.5. Тензорные идеалы: определение и примеры

4.6. Тензорные идеалы: квантовый случай

4.7. Наклонные модули в модулярном случае

4.8. Тензорные идеалы: ситуация в модулярном случае

4.9. Приложение теории наклонных модулей

5. Когомологические носители наклонных модулей

5.1. Гипотезы о когомологических носителях наклонных модулей

5.2. Замена базы

5.3. Квантовая SLn

5.4. Классические группы и G2

5.5. а—функция

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О когомологических носителях наклонных модулей»

0.1. Введение.

Пусть Я — некоторая ситема корней, см. [10]. Пусть д — соответствующая полупростая алгебра Ли (над С), И7" — аффинная группа Вейля. Эта работа посвящена попыткам понять взаимосвязь между нильпотентными орбитами в д и двусторонними клетками в IV. Такая взаимосвязь была установлена Дж. Люстигом, который доказал, что имеется каноническая биекция между этими объектами, см. [39]. Доказательство Дж. Люстига очень сложно, достаточно сказать, что оно использует всю мощь теории характер-пучков. Оба рассматриваемых множества имеют естественную структуру упорядоченных множеств. Дж. Люстиг предположил, что установленная им биекция сохраняет порядок. Эта гипотеза до сих пор не доказана, хотя и проверена во многих случаях Дж. И. Ши, см. [57]. Дж. Хамфрис в [25] предложил новый подход к биекции Люстига, основанный на теории наклонных модулей и когомологических носителей. А именно, он предположил, что вычисление когомологических носителей наклонных модулей дает явную реализацию биекции Люстига. Эта работа инспирирована попытками продвинуться в доказательстве гипотезы Хамфриса. Прежде чем двигаться дальше, скажем несколько слов о героях этой работы.

0.1.1. Нильпотеные орбиты.

Пусть N — множество элементов х £ д, таких что оператор ай{х) нильпотентен. Очевидно, М является алгебраическим подмногообразием в 0. Геометрия нильпотентного конуса N полупростой алгебры Ли — классический объект изучения для теории инвариантов и геометрической теории предста-

лений. Пусть С — алгебраическая группа, соответствующая алгебре Ли д (для определенности будем считать, что С — группа присоединенного типа). Группа С действует на алгебре Ли д посредством присоединенного представления, сохраняя нильпотентный конус N. Следовательно, N состоит из С—орбит, которые называются нильпотентными орбитами алгебры Ли д. Первая классификация таких орбит была получена Е.Б.Дынкиным, см. [19]. В частности им было доказано, что число нильпотентных орбит конечно.

0.1.2. Аффинная группа Вейля и клетки Каждана-Люстига.

Пример корневых систем типа Вп и Сп показывает, что группа Вейля (рассматриваемая как группа Коксетера) не определяет однозначно соответсвующую систему корней. В частности, комбинаторики группы Вейля недостаточно для определения множества нильпотентных орбит, так как классификации нильпотентных орбит в типах Вп и Сп при п > 2 различны. Аффинная группа Вейля (см. [10], но заметим, что наше определение аффинной группы Вейля двойственно определению Бурбаки) напротив полностью определяет соответствующую систему корней, как легко видеть после беглого просмотра таблиц в [10]. Следовательно, можно надеяться, что комбинаторика нильпотентного конуса может быть полностью описана в терминах комбинаторики аффинной группы Вейля. Адекватной комбинаторикой оказывается комбинаторика многочленов Каждана-Люстига и двусторонних клеток Каждана-Люстига, см. [32]. Именно, в групповой алгебре аффинной группы Вейля (более общо, любой группы Коксетера) имеется выделенный базис Каждана-

Люстига. Клетки (левые, правые и двусторонние) соответствуют идеалам (левым, правым и двусторонним) в групповой алгебре аффинной группы Вейля, согласованным с этим базисом. Классификация клеток в аффинных группах Вейля является весьма сложной задачей. Полный ответ известен только в типе Ап и в случае ранга < 4, см. [58]. Тем не менее, Дж. Люстиг получил полную классификацию двусторонних клеток в аффинной группе Вейля и показал, что имеется каноническая биекция между множеством двусторонних клеток и множеством нильпотентных орбит в алгебре Ли д. Он также предположил, что эта биекция сохраняет порядок. Эта гипотеза до сих пор не доказана.

0.1.3. Наклонные модули.

Многие неполупростые категории модулей, изучающиеся теорией представлений, имеют структуру категорий старшего веса. Грубо говоря это означает, что каждый простой объект является факторобъектом некоторого однозначно определенного стандартного объекта и для стандартных объектов выполнены некоторые аксиомы. Типичной чертой таких категорий является взаимность Брауэра-Бернштейна-Гельфанда-Гельфанда. В качестве примера можно привести категорию О Бернштейна-Гельфанда-Гельфанда (стандартные объекты — модули Верма), категорию рациональных представлений редуктивной алгебраической группы над алгебраически замкнутым полем характеристики р > 0, категорию представлений квантовой группы с разделенными степенями в корне из единицы (в последних двух примерах стандартные объекты — модули Вейля). Аксиоматизацией этого понятия является понятие квазинаследственной алге-

бры. Пусть Х+ обозначает множество, нумерующее классы изоморфизма простых объектов в такой категории (категории модулей над квазинаследственной алгеброй). Кажо-му Л G Х+ можно сопоставить следующие объекты: простой объект L(А), стандартный объект V(A), двойственный стандартный объект V*(A), инъективный объект /(А), проективный объект Р(А). В этой ситуации К.Рингель открыл новое семейство неразложимых объектов, нумеруемое множеством Х+, семейство наклонных модулей. С.Донкин в [17] начал изучение наклонных модулей над редуктивными алгебраическими группами (над полем характеристикир > 0). В настоящее время теория наклонных модулей имеет несколько интересных приложений: к свободному от характеристики подходу к теории инвариантов, см. [17, 1]; к вычислению размерностей некоторых модулярных представлений симметрической группы, см. [47]; к вычислению характеров некоторых неприводимых представлений простых алгебраических групп, см. [48]; к теории инвариантов трехмерных многообразий, см. [2, 4]. Можно предположить, что число приложений будет расти. Основной задачей в теории наклонных модулей является вычисление их характеров. Большим успехом в этом направлении является вычисление характеров наклонных модулей над квантовыми группами, произведенное В.Зёргелем в [59, 60], используя результаты [8].

0.1.4. Когомологические носители.

Когомологические носители (support varieties) были первоначально изобретены при изучении модулярных представлений конечных групп, см. [9]. Затем теория когомологических носителей была перенесена на случай ограниченных алгебр

Ли (также над полем характеристики р > 0), см. [21, 22, 28, 29, 30]. Теория когомологических носителей была существенно использована А.Преметом в доказательстве гипотезы Каца-Вейсфейлера. Основные определения теории легко дать в случае произвольной алгебры Хопфа при условии, что 1) когомологии этой алгебры образуют (супер)коммутативнук алгебру; 2) когомологии этой алгебры конечно порождены; 3) когомологии любого конечномерного модуля конечно порождены над когомологиями алгебры. Условие 1) выполнено для любой алгебры Хопфа. При каких ограничениях на алгебру выполнены условия 2) и 3) неясно. Недавнее большое достижение — доказательство того, что условия 2) и 3) выполнены для конечных групповых схем, см. [23]. Далее, условия 2) и 3) выполнены для ограниченных квантованных универсальных обертывающих алгебр, см. [24], что дает возможность говорить о когомологических носителях для квантовых групп.

0.1.5. Описание результатов работы.

Как уже было сказано выше основной мотивацией этой работы являются попытки продвинуться в доказательстве гипотезы Хамфриса. К сожалению эта цель не достигнута. Тем не менее полученные результаты во всех случаях согласуются с этой гипотезой. Опишем оригинальные результаты этой работы:

Описание тензорных идеалов в категории квантованных наклонных модулей.

Пусть ич обозначает квантовую группу с разделенными степенями в корне из единицы д степени I. Мы предположим,

что I — нечетное число (взаимно простое с 3 в случае системы корней £2) и I > /г, где к — число Коксетера системы корней Я. Рассмотрим категорию Т наклонных модулей над 11 Эта категория стабильна относительно тензорного произведения и взятия прямых слагаемых (то есть тензорное произведение наклонных модулей является наклонным модулем и прямое слагаемое наклонного модуля является наклонным модулем; заметим, что Т не является абелевой категорией).

Определение. Подкатегория Т' С Т называется тензорным идеалом, если для любых М 6 Т', N £ Т выполнено

1) М®1V е Г;

2) любое прямое слагаемое М лежит в Т'.

Главным результатом [50] является полное описание тензорных идеалов в категории наклонных модулей над квантовой группой, см. ниже 4.6.1. Оказывается, что структура тензорных идеалов полностью описывается в терминах так называемых канонических правых клеток в аффинной группе Вейля, см. [45]. Структура множества канонических правых клеток в свою очередь совпадает со структурой множества двусторонних клеток. Этот факт вместе с известным поведением когомологических носителей относительно операции тензорного произведения является весьма сильным аргументом в пользу гипотезы Хамфриса.

К сожалению почти ничего не известно о тензорных идеалах для наклонных модулей над алгебраической группой в характеристике р > 0. Единственный случай, который полностью разобран — случай 51/2.

Связь когомологичских носителей с размерностью модуля.

В [51] была установлен следующий факт.

Теорема. Пусть р > к — простое число. Пусть V обозначает либо квантовую группу в р—ом корне из единицы, либо гипералгебру алгебраической группы над полем характеристики р. Пусть М — некоторый V—модуль. Пусть 2а — коразмерность когомологического носителя М в когомологическом носителе тривиального модуля. Тогда йгтМ делится на ра.

Эта теорема может быть эффективно использована для оценки снизу когомологического носителя данного модуля.

Вычисление когомологических носителей модулей Вейля.

В [30] Й.К.Янтцен вычислил когомологические носители модулей Вейля над модулярной алгебраической группой типа Ап. Более того, он предложил гипотетический ответ в случае произвольной группы при условии, что характеристика поля является хорошей (например условие р > 5 достаточно во всех случаях). В [51] был доказан квантовый аналог этой гипотезы при условии, что I > Н (где I — порядок корня из единицы). Более того доказательство в [51] легко переносится на модулярный случай (при ограничении р > К). В 5.3.2 мы полностью докажем гипотезу Янтцена. К сожалению наш метод не позволяет вычислить ответ в случае плохих характеристик.

Гипотеза Хамфриса в типе Ап.

В работе [51] было доказано, что квантовая версия гипотезы Хамфриса выполнена в типе Ап.

Другие результаты.

Эта работа содержит также некоторые другие результаты в направлении гипотезы Хамфриса. Например, мы показываем, что для модулярных групп классических типов замыкание любой нильпотентной орбиты является когомологическим носителем некоторого наклонного модуля. Отсюда и из стандартной гипотезы (так называемой р2—гипотезы) о характерах модулярных наклонных модулей следует, что упорядоченные множества двусторонних клеток в аффинной группе Вейля и нильпотентных орбит изоморфны. К сожалению, неясно как доказать, что этот (гипотетический) изоморфизм совпадает с биекцией Люстига. Тем не менее мы показываем, что такая биекция должна сохранять так называемую а—функцию Люстига. В некоторых случаях этого достаточно для того, чтобы проверить, что эта биекция совпадает с биекцией Люстига.

0.1.6. Организация работы.

Эта работа состоит из 5 глав. Глава 1 содержит сведения из теории квантовых и модулярных групп, необходимые для дальнейшего. Глава 2 посвящена теории когомологических носителей для ограниченных алгебр Ли и квантовых групп. Мы описываем основные теоремы этой теории; подробными доказательствами снабжены лишь результаты автора. Единственное исключение составляет новое доказательство теоремы Янтцена, описывающей когомологический носитель тривиального модуля над ограниченной алгеброй Ли. В главе 3 мы кратко напоминаем теорию Каждана-Люстига, а также теорию клеток в аффинной группе Вейля, принад-

лежащую Люстигу. Эта глава почти не содержит доказательств. Глава 4 посвящена теории наклонных модулей. В частности мы приводим формулы Зёргеля для характеров квантованных наклонных модулей (без доказательства) и даем описание тензорных идеалов для квантованных наклонных модулей. Кроме того мы описываем различные примеры. Наконец в главе 5 собраны разрозненные результаты в направлении гипотезы Хамфриса.

0.1.7. Благодарности.

Эта работа была написана под воздействием многих математиков. В первую очередь я хочу поблагодарить Алексея Ивановича Кострикина за мудрое научное руководство. Я глубоко признателен Михаилу Финкельбергу, который научил меня квантовым группам, наклонным модулям, гипотезе Хамфриса и многому другому. Мне приятно выразить свою благодарность Джиму Хамфрису за постоянный интерес и многочисленные комментарии к моим работам. Джан И Ши научил меня замечательной комбинаторике клеток в аффинной группе Вейля типа Ап. Я благодарен Йенсу Кар-стену Янтцену за внимательное прочтение предварительных версий моих работ и указания на многочисленные ошибки. Я счастлив выразить свою благодарность Хенингу Хаару Андерсену за многие полезные замечания. Я обязан Григорию Рыбникову и Роману Безрукавникову, которые объяснили мне свои результаты, являющиеся ключевыми для этой работы. Я признателен Николаю Андрееву за неоценимую помощь в проведении компьютерных вычислений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Острик, Виктор Валентинович, 1998 год

Литература

[4

A.M.Adamovich, G.L.Rybnikov, Tilting modules for classical groups and Howe duality in positive characteristic, Transformation Groups, vol.1, No.l& 2, (1996), 1-33.

H.H.Andersen, Tensor products of quantized tilting modules, Comm. Math. Phys., 149 (1992), 149-159.

H.H.Andersen, Tilting modules for algebraic groups, preprint of Aarhus University, 1997.

H.H.Andersen, Quantum groups, invariants of 3-manifolds and semisimple tensor categories, Israel Math. Conference Proc., vol.7 (1993).

H.H.Andersen, J.C.Jantzen, Cohomology of induced representations for algebraic groups, Math. Ann. 269 (1984), 487-525.

H.H.Andersen, P.Polo, K.Wen, Representations of quantum algebras, Invent. Math. 104 (1991), 1-59.

H.H.Andersen, J.C.Jantzen, W.Soergel, Representations of quantum groups at p—th root of unity and of semisimple groups in characteristic p: Indépendance of p, Astérisque 220 (1994).

[9

10 И

12

13

14

15

16

17

18

S.Arhipov, Semiinfmite cohomology of associative algebras and bar duality, q-alg/9602013.

Avrunin, Scott, Quillen stratification for modules, Inv. Math. 66 (1982), 277-286.

Н.Бурбаки, Группы и алгебры Ли, главы 4-6, Мир, 1972.

P.Bala, R.W.Carter, Classes of unipotent elements in simple algebraic groups. I, Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 79 № (1976), 401-425, II, Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 80 №1 (1976), 1-17.

C.Bendel, E.Friedlander, A.Suslin, Infinitesimal 1-parameter subgroups and cohomology, J. AMS 10 (1997), 693-728.

C.Bendel, E.Friedlander, A.Suslin, Support varieties for infinitesimal group schemes, J. AMS 10 (1997), 729-759.

R.W.Carter, Finite groups of Lie type: conjugacy classes and complex characters, London: John Wiley, 1985.

N.Chriss, V.Ginzburg, Representation theory and complex geometry, Birkhauser, 1997.

S.Donkin, Rational representations of algebraic groups, Lecture Notes in Mathematics, 1140.

S.Donkin, On tilting modules for algebraic groups, Math. Z. 212 (1993), 39-60.

S.Donkin, talk at the workshop 'Tilting modules for algebraic and quantum groups'.

Е.Б.Дынкин, Полупростые подалгебры полупростых алгебр Ли, Мат. сб. 30, (1952), 349-402.

M.Finkelberg, An equivalence of fusion categories, Geom. and Funct. Analysis, vol. 6, №2 (1996), 249-267.

E.Friedlander, B.Parshall, Geometry of p—unipotent Lie algebras, J.Algebra 109 (1987), 25-45.

E.Friedlander, B.Parshall, Support varieties for restricted Lie algebras, Invent. Math. 86 (1986), 553-562.

E.Friedlander, A.Suslin, Cohomology of finite group schemes over a field, Inv. Math. 127 (1997), 209-270.

V.Ginzburg, S.Kumar, Cohomology of quantum groups at roots of unity, Duke Math. Journal, 69, No. 1 (1993), 179198.

J.Humphreys, Comparing modular representations of semisimple groups and their Lie algebras, Modular Interfaces (Riverside, С A, 1995), 69-80, AMS/IP Stud. Adv. Math., 4, Amer. Math. Soc., Providence, RI 1997.

W.Hesselink, Singularities in the nilpotent scheme of a classical group, Trans, of the AMS, 222 (1976), 1-32.

J.C.Jantzen, Representations of Algebraic Groups, Academic Press (1987).

J.C.Jantzen, Kohomologie von p-Lie-Algebren und nilpotent Elemente, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 56 (1986), 191-219.

J.C.Jantzen, Restricted Lie algebras cohomology, in Algebraic Groups (Utrecht, 1986), Lect. Notes in Math. 1271 (1986), 91-108.

J.C.Jantzen, Support varieties of Weyl modules, Bull. London Math. Soc. 19 (1987), 238-244.

J.G.Jensen, Tilting modules for SL3: The Conjecture, preprint.

D.Kazhdan, G.Lusztig, Representations of Coxeter groups and Hecke algebras, Inv. math. 53 (1979), 165-184.

D.Kazhdan, G.Lusztig, Tensor structures arising from affine Lie algebras I-IV, J.Amer.Math.Soc. 6 (1993), 905-1011, 7 (1994), 335-453.

M.Kashivara, T.Tanisaki, Kazhdan-Lusztig conjecture for symmetrizable Kac-Moody Lie algebras II, Progress in Math. 92, Birkhàuser, 1990, 159-195.

D.Kazhdan, M.Verbitsky, Cohomology of restricted quantized universal enveloping algebras, Israel mathematical conference proceedings, v. 7, 1993.

G.Lusztig, Introduction to quantum groups, Birkhàuser, Boston (1993).

G.Lusztig, Finite dimensional Hopf algebras arising from quantized enveloping algebras, J. AMS 3 (1990), 257-296.

G.Lusztig, Characters of reductive groups over finite fields, Annals of mathematics studies 107, Princeton University Press, 1984.

G.Lusztig, Cells in affine Weyl groups, Advanced Studies in Pure Mathematics, 6, 1985, Algebraic Groups and Related Topics, 255-287.

G.Lusztig, Cells in affine Weyl groups II, J. Alg. 109 (1987), 536-548.

G.Lusztig, Cells in affine Weyl groups III, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, 34 (1987), 223-243.

G.Lusztig, Cells in affine Weyl groups IV, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo 36 (1989), 297-328.

G.Lusztig, A class of irreducible representations of a Weyl group, Proc. Nederl. Akad., series A 82 (1979), 323-335.

G.Lusztig, Hecke algebras and Jantzen's generic decomposition patterns, Adv. Math. 37 (1980), 121-164.

G.Lusztig, N.Xi, Canonical left cells in affine Weyl groups, Advances in Mathematics 72 (1988), 284-288.

/

O.Mathieu, Filtrations of G—modules, Ann. Sci. Ec. Norm. Sup. (4) 23 (1990), 625-644.

O.Mathieu, On the dimensions of some modular irreducible representations of the symmetric group, Lett. Math. Phys. 38 (1996), 23-32.

O.Mathieu, G.Papadopoulo, A character formula for a family of simple modular representations of GLn, preprint (1997).

O.Mathieu, G.Popadopoulo, A combinatorial character formula for some highest weight modules, preprint (1997).

V.Ostrik, Tensor ideals in the category of tilting modules, Transformation Groups, 2, No. 3 (1997), 279-287.

B.Острик, Когомологические носители для квантовых групп, Функциональный Анализ и его Приложения, т. 32 (1998), вып. 4, с. 22-34.

J.Paradowski, Filtrations of modules over the quantum algebra, Proc. Symp. Pure Math. 56 (1994), Part 2, 93-108.

R.W.Richardson, Conjugacy classes in parabolic subgroups of semisimple algebraic groups, Bull. London Math. Soc. 6 (1974), 21-24.

C.Ringel, The category of modules with good filtrations over a quasihereditary algebra has almost split sequences, Math. Z. 208 (1991), 209-223.

R.Rouquier, talk at the workshop 'Tilting modules for algebraic and quantum groups'.

J.Y.Shi, Kazhdan-Lusztig cells in certain affine Weyl groups, Lect. Notes in Math. 1179, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1986.

J.Y.Shi, The partial order on two-sided cells of certain affine Weyl groups, J. of Algebra 176 (1996), 607-621.

J.Y.Shi, Left cells in affine Weyl group of type C4, J. Alg. 202 (1998), 745-776.

W.Soergel, Kazhdan-Lusztig-Polynome und eine Kombinatorik fur Kipp-Moduln, Electronic Representation Theory 1 (1997), 37-68.

[60] W.Soergel, Charakterformeln für Kipp-Moduln über Kac-Moody-Algebren, Electronic Representation Theory 1 (1997), 115-136.

[61] N.Spaltenstein, Classes Unipotentes et Sous-groupes de Borel, Lect. Notes in Math. 946, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1982.

[62] J.Wang, Sheaf cohomology and tensor products of Weyl modules, J.Alg. 77 (1982), 162-185.