О некоторых кубатурных формулах для областей с гладкими границами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Санеева, Людмила Ивановна

• Санеева, Людмила Ивановна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Санеева, Людмила Ивановна

ВВЕДЕНИЕ.

I. Оптимизация узлов кубатурных формул.

1.1. Основные понятия.

1.2. Оптимизация узлов кубатурных формул.

II. О некоторых кубатурных формулах для областей с гладкими границами в пространстве W™{En).

2.1. Кубатурные формулы для областей с гладкими границами.

2.2 Вычисление определенного интеграла с помощью эрмитовых кубатурных формул с коэффициентами, зависящими от уравнения границы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О некоторых кубатурных формулах для областей с гладкими границами»

Теория квадратур рассматривает методы, позволяющие находить ъ приближенные значения интегралов ^(p[x)dx для широких классов функций а р{х), сводящих вычисление интеграла к вычислению линейной комбинации значений подынтегральной функции.

В некоторых методах в эту линейную комбинацию включаются еще и значения производных подынтегральной функции во всех или некоторых из рассматриваемых точек.

Очень важные результаты были получены С.Л.Соболевым в вопросе о построение кубатурных формул, оптимальных на тех или иных классах функций. В работе С.Л.Соболев [69] исследование кубатурных формул ведется на основе современных функционально-аналитических методов. Основным результатом С.Л. Соболева по теории кубатурных формул является доказательство асимптотической оптимальности кубатурных формул с регулярным пограничным слоем на решетке в пространстве .

Исследования С.Л. Соболева по асимптотически оптимальным формулам были продолжены его учениками в пространствах Lmp, W™, и В.И.

Половинкиным, Ц.Б. Шойнжуровым, М.Д. Рамазановым и другими.

Применение теоретико-числовых методов началось с работы Н.М. Коробова [26]. Он ввел в рассмотрение классы функций Е"(С) и Н"(С).

Экстремальная задача в Щ(С) решается с помощью варьирования узлов и показывается, что параллелепипедальные сетки обеспечивают наилучший порядок сходимости. Свое дальнейшее развитие это направление получило в работах Н.С. Бахвалова [1], Н.Н. Ченцова [79], Н.М. Коробова [26] и других.

С современным состоянием этого направления можно ознакомиться в книге Н.М. Коробова [26].

В работах И.П. Мысовских [36], В.И. Лебедева [32], Г.Н. Салихова [65], М.В. Носкова [41], Н.Н. Осипова [45] и других изучаются формулы высокой степени точности на алгебраических и тригонометрических многочленах с малым числом узлов.

В указанных работах варьируются одновременно узлы и коэффициенты кубатурных формул.

Большое число результатов получено в вопросе построения кубатурных формул интерполяционного типа, имеющих тот или иной алгебраический порядок точности. Результаты этого типа изложены в работе И.П. Мысовских

При построении кубатурных формул интерполяционного типа одним из основных вопросов является вопрос о выборе узлов и того пространства алгебраических многочленов, на котором формула должна быть точна. Вопрос о выборе пространства тесно связана с дифференциальными свойствами класса, для которого строится формула.

Отметим, что кубатурные формулы отличаются от одномерных двумя особенностями:

• бесконечным многообразием многомерных областей интегрирования;

• быстрым ростом числа узлов формулы с увеличением размерности пространства.

При больших численных расчетах появляется необходимость оптимизировать процесс приближенного вычисления интеграла. В силу этого большое значение имеет построение асимптотически оптимальных кубатурных формул в различных функциональных пространствах.

Рассмотрим следующий кратный интеграл

36].

1) п

Е. где sa (х) - характеристическая функция области П, <р(х) е W " (Ея), рт > п.

Кратный интеграл (1) приближенно выражается суммой

Zc;d>(xJ, (2)

Ci |ar|<|S| где D°(p(xk)=(p{xk), хк -узлы, Ск - коэффициенты и N- число узлов.

Распределение узлов хк внутри П может быть произвольным. Тем не менее, результаты работы относятся к формулам с параллелепипедальной решеткой узлов. В этом случае узлы хр нумеруются с помощью мультииндекса

Р = (Д, /?2, . рп) с целочисленными координатами. Любой из них можно найти по формуле xp=hH/3, где Я- матрица размера ггхп, det# = l, а положительный параметр h называется шагом решетки.

Формулу (2) будем называть кубатурной формулой общего вида. Погрешность кубатурной формулы общего вида (2) определяется разностью ln,cp)=\(p{x)dx-± X CakDacp(xk).

Пусть В - банахово пространство, В* - его сопряженное, и пространство В вложено в пространство С непрерывных функций:

5c=C'(Q). (3)

Интегрируемые функции считаем элементами этого банахова пространства В. Функционалом погрешности кубатурной формулы общего вида (2) в пространстве В называется обобщенная функция 1п(х)е В' вида: ln(x) = sn(x)-± X C°k(-\)aD°8{x-xk).

Ы |*|<|S|

Функционал погрешности /п(х) вида lQ(x)= \(p(x)dx-fjYJ^Da(p{xk) = n к=\ |a|<|S|

L *=i km p(x) является линейным непрерывным функционалом в В и его норма определяется формулой

К'п^Я н =SUf

L и.l^(p)\ = d{xk,Cak,N).

I/nL-=supJ ip* о

Пусть X = =^x[k\xlk\ ., х^j, к = 1, 2,., ivj - узлы кубатурной формулы, Р = \Ск, Л: = 1, 2,.N, \а\ < |£|} - коэффициенты кубатурной формулы и (X, - совокупность узлов и коэффициентов кубатурной формулы общего вида.

Кубатурная формула общего вида (2) с функционалом погрешности /п(х) в виде (4) называется наилучшей в пространстве В, если inf sup

• (х'р) <р* о inf d{xk,Cak,N) = d\xk,Cak,N

5) о о

Ее узлы и коэффициенты обозначаются через Хк,Сак соответственно, и называются оптимальными.

Отыскание минимума (5) по Хк,Сак называют экстремальной задачей теории кубатурных формул.

Функция (р0[х)еВ, если она существует, реализующая минимум о выражения (5), называется экстремальной функцией функционала /п(х).

Функционал погрешности х,Х, Р, N зависящий от X, Р, N называется асимптотически наилучшим, если 1а х,Х, Р, N е В* и для любого функционала X, Р, N) е В* выполняется условие lim

IЦх,Х, P,

7 £L £. "

L X, X, P, N

1.

6)

Узлы xk и коэффициенты С ak называются асимптотически наилучшими. Пусть узлы кубатурной формулы общего вида (2) расположены на решетке Г(М/|о), d&tH = 1, xk=hHpk, к = 1,2,., N.

Функционал погрешности 1п х,Р, N с узлами на решетке, зависящии от вектора Р и N называется асимптотически оптимальным, если для любого /п (х, Р, N) е В* выполняется условие: lim

N-><*>

7) la\x, Р, N

При а = О формула (2) принимает вид: г N

8) n Ы где Q - ограниченная область с гладкой границей, хк - узлы, Ск -коэффициенты, к = 1, 2,., N и N - число узлов.

В формуле (8) коэффициенты Ск являются произвольными, а остальные параметры фиксированы.

Пусть h е Н = \h!h -> +0, -j- - целые числаН - матрица размера пхп, det# = |#| = l, хр=кнр - узлы формулы (8), В - банахово пространство, вложенное в пространство непрерывных функций, В*- его сопряженное и область Q с С,

Р(Х)) = ШХ)- I hnCfiS(x-hHp),<p(x)\ V<p(x)eB, 1аеВ\ (9) hHp еП sn (x) - характеристическая функция области П.

Функционал (9) называется оптимальным при заданных xp=hH/3 по коэффициентам Ср, если существует У*= с„ еа(х)~ S hnCp8(x-hHP) hH/ЗеО. d в' fh,cX (Ю) v

Асимптотически оптимальным функционалом погрешности ([58], стр.12) называется функционал погрешности {^a(x)}hlI> удовлетворяющий условию fcMl (11)

А->0 h,Cp

Коэффициенты Ср называются асимптотически оптимальными.

В своих исследованиях различные постановки экстремальной задачи для функций одной переменной рассматривали С.М. Никольский [38], В.И. Крылов [31], Н.П. Корнейчук [23] и другие, в том числе для вероятностных методов Н.С. Бахвалов[1], Г.Ф. Михайлов [34], И.М. Соболь [75], А.В. Войтишек [16].

В диссертационной работе основной целью является построение и исследование кубатурных формул с переменным шагом интегрирования и эрмитовых кубатурных формул, содержащих значения функции и ее производных с коэффициентами, зависящими от уравнения границы. Для достижения цели ставятся задачи:

- оптимальное распределение узлов в зависимости от поведения подынтегральной функции и ее производных;

- построение формул с переменным шагом интегрирования для произвольной области интегрирования с гладкой границей, причем функционалы погрешностей, полученных формул, должны быть асимптотически оптимальными;

- построение кубатурных формул с пограничным слоем на решетке и коэффициентами в пограничном слое, зависящими от уравнения гладкой границы области;

- построение эрмитовых кубатурных формул с коэффициентами, зависящими от уравнения границы области, причем функционалы погрешностей, построенных формул, должны быть асимптотически оптимальными.

Объектом исследования в данной работе служат кубатурные формулы с переменным шагом интегрирования и кубатурные формулы с пограничным слоем на решетке и коэффициентами, зависящими от уравнения границы в пограничном слое, содержащие значения функции и ее производных в направлении одной из ее координатных осей. Область интегрирования Q ограничена гладкой поверхностью конечной площади в n-мерном евклидовом пространстве Еп.

Данная диссертация состоит из введения, двух глав, содержащих 4 параграфа, заключения, списка литературы из 96 наименований и трех приложений. Объем работы - 138 машинописных страниц. В первой главе рассматриваются кубатурные формулы с переменным шагом интегрирования. Во второй главе исследуются кубатурные формулы с пограничным слоем с коэффициентами, зависящими от уравнения границы.

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Санеева, Людмила Ивановна

Основные результаты диссертационной работы являются новыми.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору Ц.Б. Шойнжурову за постоянное внимание и помощь в работе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная работа посвящена построению эрмитовых кубатурных формул для гладких областей, содержащих значения функции и ее производных с коэффициентами, зависящими от уравнения границы. Для решения данной проблемы был использован функционально-аналитический поход.

В работе получены следующие результаты: построены кубатурные формулы с переменным шагом интегрирования для произвольной области интегрирования с гладкой границей. Определено оптимальное распределение узлов в зависимости от поведения подынтегральной функции и ее производных. Построены кубатурные формулы с пограничным слоем на решетке с коэффициентами, зависящими от уравнения гладкой границы области в пограничном слое. В данной работе упрощены вычисления коэффициентов. Исследованы эрмитовы кубатурные формулы, содержащие значения функции и ее производных в направлении одной из координатных осей для области ар j = 1, 2, ., к в n-мерном пространстве с коэффициентами, зависящими от уравнения границы. Функционалы погрешностей построенных формул, учитывающих значения первой производной, асимптотически оптимальны. Результаты работы могут быть использованы для приближенного вычисления многомерных интегралов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Санеева, Людмила Ивановна, 2007 год

1. Бахвалов Н.С. Численные методы. - М.: Наука, 1973. - 631 с.

2. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Гос. изд. физмат. лит-ры, Т.1,1959. - 464 с.

3. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления -функций и теоремы вложения. -М.: Наука, 1975.—480с.

4. Блинов Н.И., Войтишек Л.В. Кубатурные формулы с регулярным пограничным слоем для куба // Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент, 1970. - Вып. 38. - С. 8-15.

5. Блинов Н.И., Войтишек Л.В. О построении кубатурных формул с регулярным пограничным слоем для рациональных многогранников // Тр. Семинара акад. С.Л. Соболева. 1979. - №1. - С. 5-15.

6. Вампилова Н.А., Цыбенова З.И. Интерполяционные операторы с узлами на решетке. //Сборник научных трудов: Физико-математические науки.- Улан-Удэ,- 2000.-С.49-54.

7. Вампилова Н.А. Формулы численного дифференцирования. //Сборник научных трудов: Физико-математические науки- Улан-Удэ,-2001 -С.49-54.

8. Вампилова Н.А. Оценка нормы функционала погрешности интерполяционных формул // Кубатурные формулы и их приложения: Докл. VII семинара-совещ. /Отв. ред. М.В. Носков. Красноярск, 2003 -С.184-187.

9. Васильева Е.Г. Квадратурные формулы с симметричным пограничным слоем // Сборник научных трудов: Физико-математические науки. -Улан-Удэ, 2000.- Вып.5. С. 49-54.

10. Ю.Васильева Е.Г. Асимптотически оптимальные квадратурные формулы с пограничным слоем // Abstracts of the International Conference of Mathematics. Ulaanbaatar, 2001. - C. 14.

11. П.Васильева Е.Г. Экстремальная задача теории квадратур: Методы решения и приложения к инженерным задачам: Дис. канд. физ-мат. наук (05.13.18)/Вост.-Сиб. технолог, ун-т Улан-Удэ, 2002. - 101 с.

12. Васильева Е.Г., Инхеева Л.И., Вампилова Н.А. Квадратурные формулыс пограничным слоем при четном т в пространстве Llnp (£,) II

13. Математика, ее приложения и математическое образование: Материалы международной конференции. 4.1. (24-28 июня 2002г., г. Улан-Удэ), Улан-Удэ: 2002. - С. 132-138.

14. Васкевич B.JI. Кубатурные формулы в гармонических пространствах Бергмана // Кубатурные формулы и их приложения. Уфа: ИМ ВЦ УНЦ УФО РАН, 1995. - С. 241 -250.

15. М.Васкевич B.JI. Сходимость квадратурных формул на некоторых классах функций: Дис. канд. физ-мат. наук (01.01.01) // Новосиб. гос. ун-т. -Новосибирск, 1982. 108 с.

16. Васкевич B.JI. Критерий гарантированной точности вычислений многомерных интегралов. Вычислительная технология - 2003. - Т.9. -С.44-49.

17. Войтишек А.В. Использование аппроксимационных функциональных базисов в методах Монте-Карло // Кубатурные формулы и их приложения: Докл. VII семинара-совещ. /Отв. Ред. М.В. Носков. -Красноярск, 1982.- 108с.

18. Войтишек JI.B. Об одном частном случае построения кубатурных формул с пограничным слоем // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1969. - Т.9, №2. - С. 417-419.

19. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. -М.: Наука, 1976.-280 с.

20. Владимиров B.C. Уравнения математической физики //- 5-е изд., доп. -М.: Наука, 1988.-512 с.

21. Инхеева Л.И., Булгатова Е.Н., Кубатурные формулы для гладких областей // Материалы VIII международного семинара-совещания -«Кубатурные формулы и их приложения», изд-во ВСГТУ, 2005.- С.82-91.

22. Иосида К. Функциональный анализ. -М: Мир, 1967. -5-624с.

23. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. М.: Наука, 1981.-431 с.

24. Корнейчук Н.П. О новых результатах по экстремальной задаче теории квадратур // С.М. Никольский. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1988.-С. 127-253.

25. Коробов Н.М. Приближенные вычисления кратных интегралов с помощью методов теории чисел // ДАН СССР. 1957.-№6.-С.1062.

26. Коробов Н.М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. -М.: Наука, 1963.-224с.

27. Корытов И.В. Построение формул с регулярным пограничным слоем // Сборник научных трудов: Физико-математические науки. Улан-Удэ, 1994. - Вып.1. - С. 150-152.

28. Корытов И.В. Эффективный способ вычисления коэффициентов квадратурных формул с регулярным пограничным слоем // Сборник научных трудов: Физико-математические науки. Улан-Удэ, 1994. -Вып.1.-С. 147-150.

29. Корытов И.В. Оценка сверху нормы функционала погрешности с•регулярным пограничным слоем в W'p'{En) И Комплексный анализ,дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. V. Численные методы. Уфа, 1996. - С. 71-78.

30. Корытов И.В. Оценка снизу нормы функционала погрешности в

31. Wp(En) // Кубатурные формулы и их приложения: Докл. III семинарасовещ. / Отв. ред. М.Д. Рамазанов. Уфа, 1996. - С 37-40.

32. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. 2-е изд., доп. -М.: Наука, 1967.-500 с.

33. Лебедев В.И. О квадратурах наивысшей алгебраической степени точности ВКН // Теория кубатурных формул и приложения -функционального анализа к задачам математической физики. -Новосибирск, 1973.

34. Масленникова В.Н. Дифференциальные уравнения в частных •производных. -Москва. Российский ун-т Дружбы народов, 1997. -445с.

35. Михайлов Г.А. Оптимизация весовых методов Монте-Карло. -М.:Наука, 1987. -236с.

36. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М: Госуд. Изд-во ф.-м. Литературы, 1962 г.

37. Мысовских И.П. Интерполяционные кубатурные формулы. // -М.:Наука, 1981.-231с.

38. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и •теоремы вложения. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1977. - 456 с.

39. Никольский С.М. Квадратурные формулы. 4-е изд., доп. с добавлением Н.П. Корнейчука. - М.: Наука, 1988. - 256 с. •

40. Никольский С.М. Курс математического анализа. В 2-х т. 4-е изд., перераб. и доп. -М.: Наука, 1991. -Т.2. - 544 с.

41. Носков М.В. О декартовых произведениях кубатурных формул. // Сб. Теория кубатурных формул и вычислительная математика. -Новосибирск, ИМ СО АН СССР, 1982. № 1. С.32-41.

42. Носков М.В. О построении кубатурных формул повышенной тригонометрической точности // Методы вычислений / Под ред. И.П. Мысовских. JL, 1991.-Вып. 16.-С. 16-23.

43. Осипов Н.Н. О минимальных кубатурных формулах- данной тригонометрической точности в 2-мерном случае //Кубатурные формулы и их приложения. Докл. III семинара-совещания.- Уфа: ИМВЦ УНЦ РАН, 1996.-С. 451-467.

44. Осипов Н.Н. Наилучшие по числу узлов серии решетчатых кубатурных формул, точных на тригонометрических многочленах трех переменных //Журн. вычисл. матем. и матем. физ.-2005.- Т.45.-№2.-С. 212-223.

45. Осипов Н.Н. Примеры экстремальных решеток для гипероктаэдра в R5 и R6 //Вестник Красноярского государственного университета. Физико-математические науки.- 2005.-№1.- С. 93-96.

46. Половинкин В.И. Некоторые вопросы теории весовых кубатурных формул // Сиб. мат. журн. 1971. - Т. 12, № 1. - С. 177-196.

47. Половинкин В.И. О кубатурных формулах с регулярным пограничным слоем // Сиб. мат. журн. 1972. - Т. 13, №4. - С. 951-954.

48. Половинкин В.И. Последовательность функционалов с пограничным слоем // Сиб. мат. журн. 1974. - Т. 15, №2. - С. 413-429.

49. Половинкин В.И. Асимптотическая оптимальность последовательностей формул с регулярным пограничным слоем при нечетном т // Сиб. мат. журн. 1975. - Т. 16, №2. - С. 328-335.

50. Половинкин В.И. Последовательности кубатурных формул и функционалов с пограничным слоем: Автореф. Дис.докт. Физ.-мат. наук(01.01.01)/ЛГУ.-Л., 1979- 18 с.

51. Половинкин В.И. О реализации функционалов ошибок кубатурных формул в пространствах типа Lm II Краевые задачи для уравнений счастными производными. Новосибирск, 1988. - С. 125-136.

52. Половинкин В.И. Реализация линейных функционалов из Lm (Q) //

53. Сиб. мат. журн. 1995. - Т.36, №1. - С. 156-158.

54. Половинкин В.И., Дидур Л.И. Асимптотически оптимальные последовательности эрмитовых кубатурных формул. -Сиб.мат.журн. -1978.-Т.19, №3.-С. 663-669.

55. Половинкин В.И., Дидур Л.И. О порядке сходимости кубатурных формул // Вопросы вычислительной и прикладной математики. -Ташкент: Изд. Ин-та кибернетики и ВЦ АН УзССР, 1975ю вып. 34. -С. 3-141. ТУХ

56. Половинкин В.И. О реализации финитных функционалов в II

57. Теоремы вложения и их приложения к задачам математической физики. -Новосибирск, 1989.-С. 137-139.

58. Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования. -Уфа: Изд-во Башкир, ун-та, 1973. 174 с.

59. Рамазанов М.Д. Асимптотическая оптимальность решетчатых кубатурных формул на гильбертовых пространствах // Докл. АН СССР. 1974. - Т. 126, №1.-С. 44-45.

60. Рамазанов М.Д. Универсальная оптимальность решетчатых кубатурных формул // Докл. РАН 1992. - Т.324, №5. - С. 933-937.

61. Рамазанов М.Д. Теория решетчатых кубатурных формул с ограниченным пограничным слоем // Кубатурные формулы и их "приложения: Докл. III семинара-совещ. / Отв. ред. М.Д. Рамазанов. -Уфа, 1996.-С. 77-89.

62. Рамазанов М.Д. К L теории соболевских формул // Вопросыматематического анализа: Сб. науч. ст. / Отв. ред. В.И. Половинкин. -Красноярск, 1996. С. 39-52.

63. Самарский А.А. Введение в численные методы. -М.: Наука, 1987-287с.

64. Салихов Г.Н. К теории групп правильных многогранников. // Докл. АН СССР, -1965 .-№3 .-Т. 163 .-С. 115-121.

65. Санеева Л.И., Формулы с переменным шагом интегрирования// Материалы II Всероссийской конференции с международным участием "Инфокоммуникационные и вычислительные технологии и сисгемы".Ч.2 , изд-во БГУ, 2006г. С. 114-117.

66. Санеева Л.И., Булгатова Е.Н., Кубатурные формулы для гладких и кусочно-гладких криволинейных областей// Вестник ВСГТУ.- 2005.-№4 С.4-5.

67. Санеева Л.И., Булгатова Е.Н., Экстремальная функция и норма оптимального периодического функционала// Вычислительная 'технология, Т. L1, №4, 2006.-С. 113-117.

68. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974.-808 с.

69. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1950. - 255 с.

70. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / Под ред. О.А Олейник. 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1988. - 336 с.

71. Соболев С.Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных функций. М.: Наука, 1989. - 254 с.

72. Соболев С.Л. Уравнения математической физики / Под ред. A.M. Ильина. 5-е перераб. и доп. - М.: Наука, 1992. - 432 с.

73. Соболев С.Л., Васкевич В.Л. Кубатурные формулы. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996. - 484 с.

74. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. -М.:Наука, 1973.-311с.

75. Францев Г.Л. Оценка сверху функционала погрешности с регулярным пограничным слоем в пространстве С.Л. Соболева с весом // Abstracts of the International Conferense of Mathematics. Ulaanbaatar, 2001. - C. 14.

76. Францев Г.Л. Оценка погрешности кубатурных формул с пограничным слоем и узлами на решетке в весовом пространстве Соболева: Дис. канд. физ-мат. наук (01.01.07) / Вост.-Сиб. технолог, ун-т Улан-Удэ, 2001.-99 с.

77. Функциональный анализ / М.Ш. Бирман, Н.Я. Виленкин и др.; под ред. С.Г. Крейна. М.: Наука, 1964. - 424 с.

78. Ченцов Н.Н. О квадратурных формулах для функций бесконечно большого числа переменных // Журн. Вычислительной математики и математической физики, 1961.-Т.1.-№3.-С.418-424.

79. БО.Шатохина JI.B. Минимизация однопараметрического семействаквадратурных формул типа Грегори для пространства I^a,b.

80. Материалы VIII международного семинара-совещания «Кубатурные формулы и их приложения», изд-во ВСГТУ, 2005.- С. 168-171.

81. Шойнжуров Ц.Б. О приближенном интегрировании функций в fV^m\Q)

82. И Применение функциональных методов к краевым задачам "математической физики: Материалы III Советско-Чехословацкого совещ. Новосибирск, 1972. - С. 255-256.

83. Шойнжуров Ц.Б. Теория кубатурных формул в функциональных пространствах с нормой, зависящей от функции и ее производных: Дис. докт. физ-мат. наук (01.01.01, 01.01.07) / Вост.-Сиб. технолог, инт-Улан-Удэ, 1977.-235 с.

84. Шойнжуров Ц.Б. Асимптотически оптимальные квадратурные и кубатурные формулы. Новосибирск, 1979. - С. 28. - (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-е. ин-т математики; №55)

85. Шойнжуров Ц.Б. Некоторые вопросы теории кубатурных формул впространстве W™(En). Сб. Теория кубатурных формул и приложенияфункционального анализа к задачам математической физики, Новосибирск, Наука, 1980.-С.302-306.

86. Шойнжуров Ц.Б. Оценка нормы функционала погрешности интерполяционных формул в пространстве Соболева. //. Труды -математического института Стеклова, 1987.- С.152-158.

87. Шойнжуров Ц.Б. Норма функционала погрешности в пространстве

88. Кубатурные формулы и их приложения: Докл. IIIсеминара-совещ. / Отв. ред. М.Д. Рамазанов. Уфа, 1996. - С. 123-127.

89. Шойнжуров Ц.Б. Кубатурные формулы в пространстве С.Л.Соболева

90. W т. Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2002. - 222с.Р

91. Шойнжуров Ц.Б. Оценка нормы функционала погрешности кубатурных формул в различных функциональных пространствах. Улан-Удэ: Изд-во БНЦ СО РАН, 2005.-247с.

92. Шойнжуров Ц.Б., Инхеева Л.И. Норма периодического функционала погрешности квадратурной формулы в одномерном случае // Сб. научных трудов: "Физико-математические науки. — Улан-Удэ: ВСГТУ, 2004.-С. 39^44.

93. Шойнжуров Ц.Б., Инхеева Л.И., Булгатова Е.Н. Построение квадратурных формул с помощью разложения единицы // Сб. научных трудов: Физико-математические науки. — Улан-Удэ: ВСГТУ, 2005. -С.14-21.

94. Шойнжуров Ц.Б., Санеева Л.И. Оптимизация узлов кубатурных формул для областей с кусочно-гладкой границей. // Материалы Уфимской ■международной математической конференции, посвященной памяти А.Ф. Леонтьева, Т.З. Уфа: ИМВЦ, 2007. С.37-39.

95. Шойнжуров Ц.Б., Вампилова Н.А. Функционалы погрешности интерполяционных формул. // Сборник научных трудов: Физико-математические науки. Улан-Удэ, 2000. - Вып.5 - 2000.-С. 125-134.

96. Шойнжуров Ц.Б., Вампилова Н.А. Интерполяционный многочлен Соболева. // Математика в восточных регионах Сибири: Материалы международной конференции (28-30 июня 2000г., г. Улан-Удэ), Улан-Удэ: БГУ, 2000.-С. 103-105.

97. Шойнжуров Ц.Б., Вампилова Н.А. Весовые кубатурные формулы. // Abstracts of the International Conference of Mathematics. Ulaanbaatar, 2001.-C.9.