О некоторых задачах эргодической теории чисел тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Шкредов, Илья Дмитриевич

• Шкредов, Илья Дмитриевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шкредов, Илья Дмитриевич

Введение

0.1 Актуальность темы.

0.2 Содержание работы.

Глава 1. Количественная возвращаемость

1.1 Понятие возвращаемости в эргодической теории.

1.2 Доказательство теоремы 1.3.

1.3 Некоторые следствия из теоремы 1.3.

1.4 N - возвращаемость.

1.5 Повторяемость неполных частных у цепных дробей. Формулировка основного результата.

1.6 Вспомогательные утверждения.

1.7 О пространстве последовательностей.

1.8 Доказательство теоремы 1.8.

Глава 2. Критерии нормальности траектории точки в динамической системе

2.1 Критерии нормальности Постникова и Пятецкого-Шапиро.

2.2 Общая постановка задачи.

2.3 Случай конечного начального разбиения.

2.4 Теорема Пятецкого для марковских цепей.

2.5 Теорема Пятецкого для динамических системах с ф-перемешиванием. /-растяжения.

2.6 Примеры со счетным разбиением. Цепные дроби.

2.7 Примеры со счетным разбиением. Обобщенный сдвиг Бернулли.

Глава 3. Аддитивные задачи с показательной функцией

3.1 Постановка задач и формулировка результатов.

3.2 Доказательство теорем.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О некоторых задачах эргодической теории чисел»

0.1 Актуальность темы.

Диссертация подготовлена на кафедре теории чисел Московского государственного университета и затрагивает ряд вопросов, относящихся к эргоди-ческой теории чисел.

Актуальность темы. Настоящая диссертация посвящена изучению феномена возвращаемости и нормальности почти всех точек произвольной динамической системы. Кроме того, в диссертации рассматривается задача о представлении почти всех чисел в виде суммы двух элементов некоторых множеств.

Постановки задач, связанных с этими объектами, восходят к А. Пуанкаре, Г. Вейлю,Э. Борелю и другим математикам. Ими занимались такие выдающиеся математики, как А. Я. Хинчин, П. Эрдеш, И. И. Пятецкий-Шапиро, А. Г. Постников, С. В. Конягин, А. Шаркози, X. Фестенберг, М. Кац, В. Шмидт, Г. А. Фрейман, А. Реньи.

Исследованию феноменов возвращаемости и нормальности посвящено множество работ, как в России, так и за рубежом. Классическим и новым результатам, связанным с этими вопросами, а также их приложениям уделено внимание в монографиях А.Г.Постникова [30], X.Фестенберга [16], JI. Кейперса и Г. Ниддерейтера [20], М.Дрмоты и Р. Тихого [21], А. Я.Хинчина [35], С. В. Конягина и И. Шпарлинского [44] и других.

Понятие возвращаемости точки в динамической системе впервые появилось в работе А.Пуанкаре [9]. Там же был доказан ставший классическим результат о возвращаемости почти всех точек произвольной динамической системы. Впоследствии эта теорема была несколько уточнена М. Кацем [34]. X. Фестенберг [16] обобщил результат Пуанкаре на случай действия в фазовом пространстве группы коммутирующих операторов.

Тем не менее, в перечисленных работах не рассматривался вопрос о количественных аспектах возвращаемости. Только в 1993 году М. Д. Бошерницан [10] и независимо от него Н. Г. Мощевитин [11] в 1997 году получили количественные результаты о скорости возвращения. В настоящей диссертации теоремы М. Д. Бошерницана и Н. Г. Мощевитина уточняются и обобщаются.

Также в диссертации исследуется одно из классических понятий теории чисел : нормальность орбиты точки или, другими словами, ее равномерная распределенность. Теория равномерной распределенности последовательностей действительных чисел берет начало в работе Г. Вейля [22]. Вопрос о критерии равномерной распределенности орбиты конкретной точки в динамической системе, связанной с разложением чисел по фиксированному основанию, был впервые поставлен и решен И. И. Пятецким-Шапиро в [29]. Для произвольной динамической системы подобный критерий был найден А.Г.Постниковым [30]. В нашей работе мы доказываем теорему, обобщающую указанные критерии. Кроме того, мы получаем точные результаты о нормальности орбиты точки в динамических системах, связанных с конечными цепями Маркова, /-расширениями, цепными дробями и обобщенным сдвигом Бернулли.

Вопрос о представлении произвольного числа в виде суммы элементов из некоторого множества является, возможно, одним из самых старых и популярных в теории чисел. Например, знаменитая теорема И. М. Виноградова [17] о представлении всех достаточно больших нечетных чисел в виде суммы трех простых как раз относится к этой проблематике. Мы доказываем ряд теорем о представлении почти всех чисел мультипликативной группы вычетов Г в виде суммы двух элементов некоторого подмножества Г.

Научная новизна. Доказанные результаты являются новыми, полученными автором самостоятельно. Основными результатами данной работы можно считать следующие:

Найдена неулучшаемая верхняя оценка среднего значения функции возвращаемости, а также функции TV-возвращаемости точки в динамической системе. Найдено точное значение константы возвращаемости для топологического случая. Доказана теорема о повторяемости неполных частных у цепных дробей и найдена точная по порядку оценка длины повторяющегося отрезка неполных частных.

Получены неулучшаемые аналоги критерия нормальности Пятецкого-Шапиро для конечных цепей Маркова, /-растяжений, цепных дробей, обобщенного сдвига Бернулли. Доказана теорема обобщающая классические критерии нормальности Постникова и Пятецкого-Шапиро.

Решена задача о представимости почти всех чисел мультипликативной групы вычетов Г в виде суммы элементов произвольной подгруппы, задача о представлении почти всех элементов Г в виде суммы и разности степеней первообразного корня, а также задача о представимости почти всех чисел Г в виде произведения двух элементов множества с пропущенными цифрами.

Методы исследования. В работе используются методы теории динамических систем, теории вероятностей, теории равномерно распределенных последовательностей, теории цепных дробей, теории размерности Хаусдорфа, а также результаты о тригонометрических суммах.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в эргодической теории, метрической теории чисел, теории равномерно распределенных последовательностей, теории цепных дробей, аддитивной теории чисел.

Апробация работы. Результаты настоящей диссертации неоднократно докладывались автором на следующих семинарах механико-математического факультета МГУ:

1. Научно-исследовательский семинар по теории чисел под руководством Ю. В. Нестеренко, Н. Г. Мощевитина, А. Б. Шидловского,

2. "Арифметика и геометрия" под руководством Н. Г. Мощевитина,

A. М. Райгородского,

3. "Гамильтоновы системы и статистическая механика" под руководством

B. В. Козлова, Д. В. Трещева,

4. "Динамические системы и эргодическая теория" под руководством Д. В. Аносова, А. М. Степина, Р. И. Григорчука

5. "Тригонометрические суммы и их приложения" под руководством Н. Г. Мощевитина, А. В. Устинова,

6. "Теория функций и ее приложения" под руководством С. В. Конягина, а также на международных конференциях

Modern Theory of Dynamical Systems and Applications to Theoretical Celestial Mechanics" (Москва, 23-28. XI. 2002),

Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Тула, 19-24. X. 2003),

XXIII-rd Journee Arithmetiques" (Graz, Austria, 6-12. VII. 2003), "Diophantine analysis, uniform distribution and their applications" (Минск, 24-30. VIII. 2003).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1]—[8].

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 68 страницах и состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 58 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шкредов, Илья Дмитриевич, 2004 год

1. OxtobyJ. Ergodic sets // Bulletin of the American Mathematical Society 58 (1952), 116 136.

2. Кас М. On the notion of recurrence in discrete stochastic processes // Bull. AMS, v. 53, 1947, 1002-1010.

3. Furstenberg H. Recurrence in ergodic theory and combinatotial number theory / Princeton (N.J.), 1981.

4. Виноградов И. M. Представление нечетного числа суммой трех простых чисел // ДАН СССР, 16, 1937, с. 131-132.

5. Галеев Э. М., Тихомиров В. М. Краткий курс теории экстремальных задач / М.: Издательство МГУ, 1989.

6. Falconer К. Fractal Geometry. Mathematical Foundations and Applications / New York: Wiley 1990.

7. KuipersL., Niederreiter H. Uniform Distribution of Sequences / New York: Wiley 1974.

8. DrmotaM., TichyR. Sequences, Discrepancies and Applications / Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 1997.

9. WeylH. Uber die Gleichverteilung von Zahlen mon Eins // Math. Annalen, 77, 1916, p. 313-352.

10. AfraimovichV., Chazottes J. R., SaussolB. Pointwise dimensions for Poincare recurrence associated with maps and special flows // Disc. Cont. Dyn. Syst., A 9, 2003, p. 263-280.

11. BarreiraL., PesinY., Schmeling J. Dimension and product structure of hyperbolic measures // Ann. of Math., 2, 149, 1999, p. 755-783.

12. BarreiraL., SaussolB. Hausdorff dimension of measures via Poincare recurrence // Commun. Math. Phys., 219, 2001, 443-463.

13. BarreiraL., SaussolB. Product structure of Poincare recurrence // Ergod. Th. and Dynam. Sys, 22, 2002, 33-61.

14. SaussolB., Troubetzkoy S., Vaienti S. Recurrence, dimensions and Lya-punov exponents //J. Stat. Phys., 106, 2002, p. 623-634.

15. Пятецкий-Шапиро И. И. О законах распределения дробных долей показательной функции // Известия АН СССР, сер. матем.,Т. 15, 1951., с. 47 52.

16. Пятецкий-Шапиро И. И. О распределении дробных долей показательной функции // Ученые записки Московского Государственного Педагогического института им. В.И. Ленина, т. 58, в. 2, 1957, С. 312 322.

17. Постников А. Г. Арифметическое моделирование случайных процессов // Труды Математического института АН СССР, Т. 57, I960.

18. Постников А. Г. Эргодические вопросы теории сравнений и теории диофантовых приближений // Труды Математического института АН СССР, Т. 82, 1966.

19. Schmidt W. М. Badly approximable numbers and certain games // Trans. Amer. Math. Soc. V. 123, 1966, p. 178 199.

20. Neumann J. Physical applications of the ergodic hypothesis // Proc. N.A.S., v. 18, 1932, p. 263-266.

21. КачуровскийА. Г. Скорости сходимости в эргодических теоремах // УМН, т. 51, вып. 4, 1996, с. 73-124.

22. ХинчинА. Я. Цепные дроби / М.: Наука, 1978.

23. Khintchine A. Zur metrischen Kettenbruchtheorie // Compos. Math., v. 3, 1936, p. 276-286.

24. Philipp W. Some metrical theorems in number theory II // Duke Math. J., v. 37, 1970, p. 447-458.

25. SzilszP. Uber einen Kusminschen satz // Acta Math. Acad. Sci. Hung., v. 12, 1961, p. 447-453.

26. Каток А. Б., ХасселблатБ. Введение в современную теорию динамических систем / М.: изд-во "Факториал", 1999.

27. Ширяев А. Н. Вероятность / М.: Наука, 1989.

28. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер / М.: Наука, 1977.

29. Романовский В. И. Дискретные цепи Маркова / М.: Гостехиздат, 1949.

30. СаулисЛ., СтатулявичусВ. Предельные теоремы о больших уклонениях / Вильнюс: Мокслас, 1989.