О применении интегрального метода Фурье к исследованию турбулентной тепло-солевой конвекции со сплошным пространственным спектром тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Попов, Владимир Николаевич

• Попов, Владимир Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Попов, Владимир Николаевич

Введение

1. Постановка задачи и аналитические исследования.

§ 1. Постановка задачи

§2. Аналитическое исследование системы

§3. Интегральное преобразование уравнений тепло-солевой конвекции

2. Исследование свойств рассчитываемых течений.

§4. Распространение локального возмущения

§5. Качественное исследование различных режимов течения в ограниченном канале

§6.3ависимость характеристик течения от длины канала

3. Пространственный и временной спектральный анализ решения.

§7. Методика проведения статистического анализа по пространственным переменным

§8. Изменение параметров течения при увеличении надкритично-сти

§9. Методика временного спектрального анализа

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О применении интегрального метода Фурье к исследованию турбулентной тепло-солевой конвекции со сплошным пространственным спектром»

Задача анализа турбулентных течений - одна из фундаментальных проблем механики [20, 33, 37, 39, 51, 55, 57, 61]. Понимание законов турбулентного движения, равно как и постижение механизмов перехода из ламинарных режимов в турбулентные, позволит не только расширить наши представления о природе вещей, но и кардинально увеличить возможности науки в решении большого ряда прикладных проблем (сопротивление среды движущимся неподвижным телам, расчет климата, и т.д.). Поэтому исследованиями в этой области занимались и занимаются многие известные механики, физики и математики, для решения задач строятся аэродинамические трубы и суперкомпьютеры, выпускаются тысячи статей и монографий. На данный момент можно считать общепризнанным, что значительную (и наиболее интересную) часть проблем, связанных с турбулентными движениями, невозможно решить на базе линейной теории устойчивости [1, 2, 21, 39, 58], и приходится рассматривать нелинейную теорию на базе полных уравнений Навье-Стокса [46]. В связи с этим, необходимо отметить значительное число подходов, начиная с классического подхода Ландау [33], основанного на малости амплитуды волнового возмущения, и последующего разложения в ряд по этой амплитуде, а также другие направления нелинейной теории, основные из которых приведены в работах [3, 22, 25, 40, 44, 48, 56, 59].

Если выделить из общего списка задач задачу конвективной неустойчивости [16, 20, 36], то нельзя обойти вниманием теоретические исследования, посвященные стохастическому характеру течения [10, 20, 23, 63, 64], численное моделирование [8, 16, 17, 27] и экспериментальные данные [49, 65] на эту тему, что представляет значительный вклад в общий вопрос о природе турбулентности [12-15, 18, 33, 35, 36,

38, 42, 46, 57, 60]. Новые взгляды на процессы возникновения стохас-тичности имеют фундаментальное значение и затрагивают практически все области естествознания; в знаменитой планетарной модели атома, которая была рассмотрена в классической постановке, были обнаружены стохастические движения и сплошной пространственный спектр [19]; обнаружены стохастические явления в химии и биологии.

В отличие от классической задачи тепловой конвекции, рассмотренная в работе задача тепло-солевой конвекции оказалась более удобной для численного расчета, т.к. наличие дополнительного параметра (соли) обеспечило с одной стороны большее разнообразие и сложность возникающих структур, а с другой обеспечило возникновение развитых турбулентных режимов при сравнительно небольших значениях безразмерных числах Рэлея. Это значительно упростило проведение расчетов и последующий анализ результатов.

Явления, вызванные такого рода конвективными процессами, наблюдаются в различных растворах, океане, атмосфере, при образовании кристаллов [7, 20, 49] и часто сопровождаются так называемыми ступенчатыми ("слоистыми") распределениями температуры, плотности, концентрации. Хорошо исследованы линейные механизмы неустойчивости, созданы полуэмпирические подходы и даны качественные объяснения ряду фактов, но вместе с тем, количественная теория, описывающая подобные явления, на данный момент не развита [7, 20,41,49].

Использованное в работе приближение Буссинеска было подробно исследовано, в частности в [16, 17, 36], в том числе дополнительно анализировались примененные в работе граничные условия. В работе [62] рассматривалась зависимость характеристик тепло-солевой конвекции от параметров течения, но задача рассматривалась в ограниченной области, из-за чего оказалось неучтенным взаимодействие между конвективными ячейками. Однако, как показано в главе 3, количественные значения искомых характеристик для этой задачи значительно отличаются от конвекции в бесконечном канале.

В работе [24] было выполнено примененное в диссертации интегральное представление искомых функций и исследован вопрос "выживания" разночастотных пространственных возмущений, однако при численной реализации интегральное представление было изменено на известное разложение в ряды Фурье, а вопрос о полном пространственном спектре конвективного течения изначально не входил в проблематику этих работ.

В 80-х годах развитие вычислительной техники позволило провести исследования временных спектров течения для рассматриваемого класса задач, см., например, работы [13, 14]; была доказана непрерывность временного спектра турбулентных течений. Тем не менее, применительно к пространственным координатам этот вопрос почти не рассматривался. Данная работа посвящена рассмотрению задачи тепло-солевой конвекции в турбулентном режиме. Для решения этой задачи разработан численный метод, основанный на представлении искомых функций в виде интеграла Фурье, в отличие от распространенного разложения в ряды. Показано, что применение интеграла Фурье оправдано (т.е. дает эффект больший, чем потери, вызванные усложнением его реализации) лишь для течений в турбулентных режимах, а для ламинарных течений естественным служит представление в виде рядов Фурье, что, по всей видимости, связано с физической природой процесса.

На основании проведенных расчетов были получены пространственные характеристики течения, в том числе его пространственная спектральная плотность, что позволило сделать выводы о характерном размере конвективных ячеек, их взаимном влиянии друг на друга и взаимодействии разномасштабных пространственных структур. Кроме того, были исследованы временные характеристики течения, получены характерные времена жизни конвективных структур и ряд других параметров.

Отдельно изучены изменения параметров течения при увеличении его турбулентности. Выявлено, в частности, как именно меняется при этом пространственная структура конвекции.

Диссертация состоит из 3 глав (9 параграфов).

В §1 рассматривается полная система уравнений двумерной тепло-солевой конвекции в приближении Буссинеска, выписываются граничные условия, и проводится обезразмеривание уравнений.

В §2 рассматривается задача устойчивости течения в линейном приближении, рассматриваются два различных типа конвективной неустойчивости, в том числе один, существующий только в тепло-солевой конвекции, также получено точное решение рассматриваемых нелинейных уравнений, к сожалению, не удовлетворяющему заданным граничным условиям.

§3 посвящен описанию метода интегрального преобразования Фурье и иным аспектам численного расчета системы уравнений задачи.

В §4 рассматривается задача распространения начального локального возмущения в бесконечном канале.

§5 содержит качественный анализ конвекции в ламинарных и стохастических режимах, рассматривается вопрос применимости предложенного метода к расчету тепло-солевой конвекции в этих режимах.

В §6 исследуется зависимость типа и статистических характеристик течения от длины канала, приводятся примеры рассчитываемых течений.

В §7 изложены формальное определение и формулы вычисления мгновенной пространственной спектральной плотности течения, а также алгоритм осреднения этих данных по времени. Результаты использования этой методики содержатся в §8.

В §8 изучена зависимость пространственных и временных параметров течения от его надкритичности, в частности, получены сведения об изменении пространственной структуры конвекции, изучена зависимость пространственных и временных параметров течения от его турбулентности, в частности, получены сведения об изменении пространственной структуры конвекции.

§9 посвящен исследованию временных параметров течения, проведено сопоставление с качественными оценками §5.

Заключение содержит выводы о результатах, полученных в работе.

Постановка задачи и аналитические исследования

§1. Постановка задачи

Рассматривается в приближении Буссинеска [20] задача тепло-солевой конвекции в горизонтальном слое с заданным на границе перепадом температуры и солености. При этом предполагается (см. также [62]), что соленость имеет малую концентрацию и ее пространственно-временные характеристики описываются диффузионными соотношениями, а не полной системой уравнений для двухфазной смеси.

Некоторые оценки, связанные с использованием приближения Буссинеска при решении близких проблем и, в частности, анализ некоторых получаемых при этом решений, содержатся, например, в работах [16, 20].

Рассматриваемая задача решается в декартовой системе координат Охг , ось г которой направлена вертикально вверх. Исходная система уравнений включает в себя: а. уравнение неразрывности: ди дм?

--ь— = 0 дх дг

1.1.а)

Ъ. двумерное уравнение Навъе-Стокса в приближении Буссинеска:

Ди) =

J{w) =

1 дР

Ро дх дР

Ро дх

- у А и g{JЗS-aT) + v^w

1.1 -Ъ)

1.1.С) с. уравнение теплопроводности:

3(Т) =ктЛТ с1. уравнение диффузии соли: е. уравнение состояния: р (Р, ТЯ)=ро [ 1 - а(Т- То) о) ] В этих соотношениях д д д = — + и--\-м>—

7/ дх дг л з2 а2 А = —г+ ■ ох дг2 '

Тп .Б

О >^0 т0+т рис.1.1 и им' - горизонтальные и вертикальные компоненты скорости течения; Р - давление; Т - температура;

- соленость; g - ускорение свободного падения; V- коэффициент кинематической вязкости; кг - коэффициент температуропроводности; к$ - коэффициент солевой диффузии; ро - плотность среды при температуре То и солености Бо; а и ¡3 - коэффициенты уравнения состояния.

Граничные условия по вертикальной координате г соответствуют жестким свободным от касательных напряжений границам, на которых поддерживается постоянная температура и соленость (см. рис 1.1), т.е. принимается, что:

Выбор граничных условий по г основывался на следующих соображениях:

1. Граничные условия такого типа позволяли производить расчеты течения при значительно меньшем использовании ресурсов ЭВМ. Поэтому их достаточно часто применяли в аналогичных задачах, в частности [10,11,24].

2. Конкретный вид граничных условий оказывает влияние лишь на слой жидкости вблизи самих границ, в то время как основное течение жидкости определяется действующими объемными процессами: изменение плотности элементарных объемов жидкости вследствие тепло - и солеобмена и, как следствие, их всплытие/погружение под действием силы тяжести. В частности, в работе [11] было показано, что условие твердых границ (и=м=0 при г=0, сГ) оказывает лишь незначительное стабилизирующее влияние на течение, несколько увеличивая критические числа Ш, Яб.

По горизонтальной координате х рассматривались два типа граничных условий: бесконечный канал, в этом случае рассматривалась задача «расползания» начального локализованного возмущения; при г = Т=То, 5=8о, ди/дх = 0, м? = 0 при г = 0: Т=Т0+ Т, 5 , ди/дх = 0, м> = 0

1.2.а) (1.2.Ь) канал заданной длины (различной в различных расчетах) с условием периодичности на границах.

Исходная задача (1.1) решается в безразмерных переменных х', г', Г, 5", и', ж', Р', ? , которые вводятся при помощи следующих соотношений [46,47]: х ос/(И^ г'= 2/с1,

Т' = (Т-Т0 - Т (1-~/с1)) / Т , 5" = (Б^о - 5 (1-гМ)) /8 , и' = ис!/кт, м/ = с1/кт, tkт/d2,

Р' = Р ¿/(ро укт).

1.3)

В дальнейшем штрихи в обозначениях этих безразмерных переменных опускаются, а дифференцирование, где это возможно, обозначается нижним индексом (например, ди/дх =их).

Тогда в новых переменных (1.3) система (1.1) записывается в виде (где штрихи в обозначениях (1.3) опущены): их + = О 1

Рг 1

Рг

3(Т) = ЛТ+ ы Ш) = САБ + м>

Л^и) = -Рх + Аи

J{w) = -Рг + Д/ • Г - Л* • 5 + Аи;

1.4.а) (1.4.Ь)

1.4.с)

1.4.с1) (1.4.е) т д д д

7 ---1-и--1- м>—

Ы дх дг д д2 д2

Из этих соотношений видно, что решение рассматриваемой задачи и характер течения зависят от четырех безразмерных параметров (чисел) системы {Рг, С, Ш, Кя}, которые определяются следующим образом:

Рг = у/ кт - число Прандтля; Ш = gaf с?/(укт) - тепловое число Рэлея; Яя = gjЗS (£/(укт) - солевое число Рэлея;

7 = к$/кт, а также (в случае ограниченного канала) геометрического параметра /) - отношения длины канала к его ширине.

Уравнение (1.4.а ) позволяет обычным образом ввести функцию тока у/, связанную следующими соотношениями с компонентами скорости: и = у/- , м? = - у/х

Применяя далее к уравнениям (1.4.Ь) , (1.4.с) операцию взятия ротора можно исключить из них переменную Р . В результате получим:

1/Рг 3(Л у/) = А2 у/ - Ш Тх + Ду

1.5.а)

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Попов, Владимир Николаевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная диссертация посвящена исследованию пространственной структуры двумерной тепло-солевой конвекции при различных степенях надкритичности с использованием интегральных методов. Получены следующие результаты:

1. Впервые проведено систематическое исследование пространственной структуры стохастических течений. И показано, что в этих режимах (в отличие от ламинарных) отсутствует выделенный масштаб по пространственным переменным, пространственная структура течения значительно меняется по времени.

2. Установлено большое влияние длины конвективной области на тип и численные характеристики течения. В частности, обнаружена такая область параметров течения, в которой при увеличении длины ячейки происходит сначала переход от турбулентного режима конвекции к стационарному, сопровождающийся двукратным ростом тепло- и солепередачи через конвективную область, а при дальнейшем увеличении длины канала - обратный переход к турбулентному режиму, с соответствующим понижением тепло- и солепередачи.

3. Исследована эффективность применения интегрального метода к расчету тепло-солевой конвекции в различных режимах. Показано, что для расчета установившихся ламинарных режимов его использование менее эффективно, чем использование метода, основанного на разложении искомых величин в ряды Фурье. При расчете турбулентных конвективных течений, наоборот, более эффективным оказывается применение интегрального представления, что, по-видимому, связано с физической и математической природой течения.

4. Впервые исследовано изменение пространственной структуры и пространственного спектра турбулентной конвекции при увеличении надкритичности течения, в частности, показано возрастание при этом роли длинноволновых движений. Исследованы временные характеристики течения, получены данные о потоках тепла и соли через границы, их временные спектры и ковариации, в частности, найдены характерные временные частоты течения (3-5 в безразмерных переменных).

5. Создан эффективный комплекс программ, позволяющий исследовать с помощью интегрального метода Фурье турбулентные конвективные течения в широкой области параметров, проводить визуализацию таких течений, анализировать пространственные и временные характеристики (в том числе и спектральные плотности) и др.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Попов, Владимир Николаевич, 1999 год

1. Арнольд В.И. Об условиях нелинейной устойчивости плоских стационарных криволинейных течений идеальной жидкости. Докл. АН СССР, 1965, т. 162, № 5, 975-978.

2. Баранов В.Б., Гидроаэромеханика и газовая динамика. Издательство МГУ, 1987.

3. Белоцерковский С.М., Ништ М.И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. М., "Наука", 1978, 351с.

4. Бочков С.О., Субботин Д.М. Язык программирования СИ для персонального компьютера. М., "Радио и связь", 1990., 384с.

5. Борн Гюнтер. Форматы данных. К, BHV, 1995, 472с.

6. Браун Р., Кайл Дж. Справочник по прерываниям для IBM PC, т. 1, М., "Мир", 1994, 558с.

7. II Всесоюзный семинар по гидромеханике и тепломассообмену в невесомости. Тезисы докладов. Пермь, 1981.

8. Власюк М.И., Полежаев В.И. О ячейковой конвекции в бесконечном длинном горизонтальном слое газа подогреваемом снизу., Докл. АН СССР, 1970, т. 195, № 5.

9. Герценштейн С.Я., Шмидт В.М. О нелинейном развитии и взаимодействии конвективных волн в горизонтальном слое. Докл. АН СССР, 1975, т. 225, № 1.

10. Герценштейн С.Я., Родичев Е.Б., Шмидт В.М. Конечноамплитуд-ные конвективные движения в слое раствора с твердыми границами. Докл. АН СССР, 1982, т. 266, № 6.

11. Герценштейн С.Я., Сухоруков А.Н. О трехмерной неустойчивости в невязких течениях. ДАН, 1994, т. 338, № 1, с. 46-48.

12. Герценштейн С.Я., Сухоруков А.Н. О нелинейной эволюции двумерных и трехмерных волн в слоях смешения. Изв. АН СССР, МЖГ, 1985, № 1.

13. Герценштейн С.Я., Рудницкий А.Я., Сухоруков А.Н., Олару М.И. О развитии конечно-амплитудных двумерных и трехмерных возмущений в струйных течениях. Изв. АН СССР, МЖГ, 1985, № 5.

14. Герценштейн С.Я., Рудницкий А.Я., Сухоруков А.Н. Устойчивость неплоскопараллельных пространственных струйных течений. Изв. АН СССР, МЖГ, 1987, № 3.

15. Герценштейн С.Я., Родичев Е.Б., Семин В.Н., Шмидт В.М. О нелинейных конвективных движениях в средах с "двойной диффузией". Докл. АН СССР, 1981, т. 267, № 3.

16. Герценштейн С.Я., Родичев Е.Б., Шмидт В.М. Конечноамплитуд-ные конвективные движения в слое раствора с твердыми границами. Докл. АН СССР, 1982, т. 266, № 6.

17. Герценштейн С.Я. О сценариях перехода к турбулентности. Сб. Ин-та механики МГУ посвященный 90 Л.И. Седова., 1999.

18. Герценштейн С.Я., Попов В.Н. Механика трех разнозаряженных тел. Доклады Академии Наук, 1997, том 353, № 2, с. 190-192.

19. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М., "Наука", 1972.

20. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. О параметрическом возбуждении конвективной неустойчивости. ПММ, 1963, т. 27, вып. 5, 779.

21. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Тарунин E.JI. Численное исследование конвекции жидкости, подогреваемой снизу. Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа, 1966, № 6, 93.

22. Гетлинг A.B. Структуры тепловой конвекции. УФН, 1991, т. 161, №9.

23. Гетлинг А.В.Нелинейная эволюция непрерывного спектра двумерных возмущений в задаче Бенера-Рэлея. Докл. АН СССР, 1977, т. 233, №2, стр.308-311.

24. Гольдштик М.А., Штерн В.Н. Определение закона турбулентного трения в ядре потока на основе принципа максимальной устойчивости. Докл. АН СССР, 1969, т. 188, № 4, 772-775.

25. Григорьев B.JL Микропроцессор i 486. Архитектура и программирование. т.1, М., "Гранал", 1993, 346с.

26. Грязнов B.JL, Полежаев В.И. Численное решение нестационарных уравнений Навье-Стокса для турбулентного режима естественной конвекции. Препринт № 81. Ин-т Прикладной механики АН СССР, 1977.

27. Гук М. Аппаратные средства IBM PC. СПб., "Питер", 1996, 224с.

28. Дженкинс Г., Ватте Д., Спектральный анализ и его приложения. Вып. 1,2, "Мир", 1971.

29. Колмогоров А.Н., Фомин C.B., Элементы теории функций и функционального анализа. "Наука", 1968.

30. Климов A.C. Форматы графических файлов. К., "НИПФ ДиаСофт Лтд", 1995, 480с.

31. Куликовский А.Г. Об устойчивости однородных состояний. ПММ, 1966, т. 30, вып. 1 ,с. 148-153.

32. Ландау Л., Лифшиц Е. Механика сплошных сред., ОГИЗ, Гостех-издат, 1944.

33. Монин A.C. О природе турбулентности. УФН, 125, № 1, 1978, с. 97-122.

34. Монин A.C., Яглом A.M. Статистическая гидродинамика, т. 1-2, М., "Наука", 1967.

35. Никитин Н.В. Стохастические характеристики пристенной турбулентности. МЖГ, № 3, 1996, с. 32-43.

36. Петров Г.И. Применение метода Галеркина к задачам устойчивости в вязкой жидкости. ПММ, 1940, т. 4, вып. 3.

37. Полежаев В.И. Численное решение системы двумерных нестационарных уравнений Навье-Стокса для сжимаемого газа в замкнутой области. Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа, 1967, № 2.

38. Плавление, кристаллизация и фазообразование в невесомости. Под ред. Рыкалина H.H. М., "Наука", 1979.

39. Рабинович М.И., Фабрикант А.Л., Цифринг Л.Ш. Конечномерный пространственный беспорядок. УФН, 1992, т. 162, № 8,с. 1.

40. Сван Т., Форматы файлов Windous. М., "Бином", 1994,288с.

41. Седов А.Н. Механика сплошной среды, т. 1,2, изд. 5, М. "Наука", 1995.

42. Седов А.Н. Методы подобия и размерности в механике. М., "Наука", 1987.

43. Струминский В.В. К нелинейной теории развития аэродинамических возмущений. Докл. АН СССР, 1963, т. 153, № 3.

44. Тернер Дж. Эффекты плавучести. М., "Мир", 1976.

45. Тондл А., Нелинейные колебания механических систем. "Мир", 1973.

46. Турбулентность. Принципы и применения. Под ред. У. Фроста, Т. Моудена. Изд. "Мир", 1980.

47. Фролов A.B., Фролов Г.В. Аппаратное обеспечение персонального компьютера. М., "Диалог-МИФИ", 1997, 304с.

48. Фролов A.B., Фролов Г.В. Программирование для WINDOWS NT. М., "Диалог-МИФИ", 1996, 272с.

49. Фролов A.B., Фролов Г.В. Программирование видеоадаптеров. М., "Диалог-МИФИ", 1995,272с.

50. Шкадов В .Я. Некоторые методы и задачи теории гидродинамической устойчивости. Научн. тр. Института механики МГУ, № 25, изд. Моск. Унив., 1973.

51. Шкадов В.Я. О нелинейном развитии возмущений в плоскопараллельном течении Пуазейля. МЖГ, 1973, № 2.

52. Шлихтинг Г. Возникновение турбулентности. М., ИЛ, 1962.

53. Юдович В.И. Об устойчивости стационарных течений вязкой несжимаемой жидкости. Докл. АН СССР, 1965, т.161, № 5, 10371040.

54. Юдович В.И. О возникновении конвекции. ПММ, 1966,т. 30, № 6, 1000.

55. Юдович В.И. Модели слабой турбулентности в гидродинамике. V Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Алма-Ата, "Наука", 1981.

56. Cyandrasekhar A. Hydrodynamic and hydromagnetic stability. London and New York, Oxford Univ. Press, 1961.

57. Huppert H.E., Moor D.R., J. Fluid Mech, v.78, h.4, pp. 821-854, (1976).

58. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow. J. Atmosph. Sei., 1963, v. 20, № 2.

59. McLaughlin J.B., Martin P.C. Transition turbulence of a statically stressed fluid. Phys. Rev. A, 1975, v. 12,№ 1.

60. Microsoft Quick Assembler/ Programmer's guide. Microsoft Corporation., 1989, 422p.

61. Programmer's Guide to Microsoft Windows 95. Microsoft Press. 1995.

62. Rossby H.T. A study of Benard convection with and without rotation. J. Fluid mech., 1969, v. 36, № 2.

63. R. Wilton. Video systems. Microsoft Press. 1992.