О р-нормальных делителях группы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, Эдельман С.Л.

• Эдельман С.Л.
• 1950

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О р-нормальных делителях группы»

В современной алгебре одно лз первых мест занимает теория групя,ставтя к настоящему времекж шрокой и

4 ■ богатой содержанием наукой.; Понятие групны есть'одно ев тех аягебро-теорёти-ко-*ш собственных построений,которые во воех решительно отделах математики *» в анализегеометрии,в сапой алгеб^-ре - играют роль творческого фактора исключительной оилн я интенсивности* Беа этого понятия современная матвьснтл-ка не могла бы существовать"»* пявот АЛЕКСАНДРОВ в статье • О НОВЫХ ЛЕЧЕНИЯХ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МЫСЛИ » /Сборник статей по фияооофяи математики 1W86 года/v . дейотвитеяшо,уяе в самой алгебре теория групп дала возможность яояуитьфундаментаяьные результаты в решений ее основных проблем. . Таория Галуареяеняе «но * гих проблем теории кошлутатидаых полей в теории уровнейий сводит к проблемам теории вшечвнх груош. В теории колец /а всякое кольце ивоморфио множеству эндоморфизмовабеле-эоа групп«/ большое применение находят сейчас группы с операторами, в линейной алгебре,в теория алгебраических чисел зудественную роль играют абэлевн группы оконечным числом образующих. Последние находят ванное применение в топологии /группы Бетти/*,

- 2 ~

Через топологическую алгебру теория групп /гопояогическях групп /получила возможность примененжя в самых различных отделах геонетрия я анализе /геометрая одн ородных пространств ^тензорное исчисление итеоряя ян вариантов ,функцноаалькяй анализ и Теория групп находит приложение я аа пределами математики,например, в теоретической фиалке/ квантовая механика/.

В теория групп значительное место занимают все-еде дшзання,посвященные изучению свойств групп,связанных о определенным мндаеством П простых чиоел,так называв -мых "П •►свойств» и,в частности, » р-*овойств »,/т§в4 когда доовдотво П сводится только к одному простому чиолуД.

Целью этих не следований является установление подгрупп у данной грушш,порядке .которых тем или иным образом внрвааются через простые числа^входящие во адовест-во П зьн,классическая теорема Салова устанавливает существование у группы порядка pt'p**-- ■ pt"0 подгрупп порядков ,так называемых подгрупп Сялова, я их сопряженности» Т&орема Голла и Чуняхяиа рева»? вопрос о существовавяи у разрешимой,нли в более общем случае, у П - отделимой группа порядка ^ , подгрупп порядка nv у при условии,что вое простые делителя >п входит в Л, в что

С ju. Чуняхкнда в работах [У,*,9,и,11] ; в ре -зультате отказа от симметрия по ояовеяив ко воем простым чяолйм,введены ошшя о р-абелевах группах,о р-кошу« такте,о р-раврешамой групяе,о р~разлоашыой группе,о р«спе~ цгальной группе,являшиаок обобщением ооотватотвующих обычных понятий абелввой группа,равреаимой группа, специальной хруяпн^ Ш изучены р-рааяошшне группы я р«специальные грушш^н уота-н овлвн о одояо я ежаоыорфшх веепециалъных и р-веpas лозимых подгрупп у данной группа,получены; обобщения теорек Ввндта я Валеадташ

Вполне естественно в свнах с этим воанякла задача продолжения этого р$да обобщений яа другяе ооношне пснятия теории групп,каяжми,напрш4ер,являются понятие аортального делителя и: понятия о ним связанные* Иоходенм шшентои данной хоботы является понятие о р-еорыальыом двлятвле как о подгруппе группа Oj ,перестановочной со всеми ее ялеыент&ыи^порядкиии которых являются степени простого числа р- /такяе элементы называютояр-олемеытамл/^

В теорка групп важное значение вневт теорема Шрвй#е-ра я Жордана • Гельдера оконечных нормальных я,соответственно, кощюагциоаннх рядах.

В данной работе введете японртяо о р-вормальных рядах и донавнваетоя теорема об этих об раз овання х,ана логжч -ная теореме Щрейера,утверждающая существование таких уплотнений р-н ордольннх рядов,что жх р-фаятор-группн, элементами ко-торах являются некоторые е м е ж н а е о ж о т е и н разложения группы по ее рчворшльному делителю, образую*» виз труппу,могуг быть приведена в нэаыорзное ©оответатвже.

Эта теорема является основным результатом,полученныа в j 'не

В § 2 устанавливается овязь наяду р-вортльаыми делителям*. группы (j- и невоторойподгруппой группы ее внутренних автоморфизмов, относительно которых р-нориальные дели-тела шв&ркакшн*

С^А. Чуняхавшя,в работе l,lJ вводится пшетяе а р» . специальной группе,как о такой конечной группе,у которой р-охловская подгруппа инвариантна и,в овязи о этим,в § з данной рай отш памятке о риз оры& льнам ряде иепользуетоя для установления условий ^определяющих р-специальную группу, х доказывается: теореш ^аналогичная теореме Вендта,что еолн явдех-cs р-главного рада групп» 0J простые числа,то коммутант подгруппк Oj^ будет р-опвциалькой группой ( 0jp - подгруппа,пор садэяная р-олементами группе OJ J

Дал ее, в § 4 вводится понятие о классе р~оопряяеняых элементов груши Cj как о таком клаоов^всв элементы которого получвютоя друг Ж8 друга- в результате трансформирования их р-элементами группа Gjj- и,ватем,следуж методу Щнж~ хина , рассматривается вопрос о возможности существования у группа 0J ,обладающей простой подгруппой ,классов р«сшряяевш£х элементов,порядки которых взаимно прости»

В овязи с задачей решения уравнений в радикалах в теории групп вошло понятие о разрешимой группer* ЧЕРНИКОВЫМ О*.»1*] было начато жзученне некоторых классов бесконечных групп,обобщающих конечные разрешимые группы,и в дальнейшей юга были получены глубокие резуль* та ты об этих группах. Академик <ш* ШИДТ опреде « ляет еще более широкий клаос бесконечных групп,который вое еще ношо считать обобщением конечных разрешимых групп и в которой содержатся группы, обладающая нормальными сиотемамя о аб еле вымя факторами* доказана теорема,что если всякая подхруш» группы 0J о конечным числом образующих разрешала в указанном смысле,то я сама группа будет разрешимой^

В § б вводится понятие о р-раэрешлмой группе для периодических груш,которое, иа определения академика С«ю« ШМИДТД., полу чается заменой в нормальной оистеме нор» майыянх делителей р-вормалыт^и делатедяжк,ивмеото тре~ б овация абелевости,выставляется требование р-абелевости р-факторов., Далее докаанвается » локальная теорема* ооо-тоядоя в том,что если группа Ц обладает яокалъншк/поро» денными коне чини числом обрааудсях/р-чразревимшт подгруп вами,то группа будет р-раарешшой* й^наконец, в § б рассматриваются мультигруппы, образованные классами р-сопряженных элементов в относительно таких мультигрупп доказываются предположения,аналоги чныа результатам Д.Пь ДйЩАНА. м элементы гоуппн CJ ,порядками которых являются степени некоторого простого числа р,буден навивать р-элеыентами группн Oj ^Единицу группы (J так -se будем относить к р-элементам,тан вал ее порядком мокво считать нулевую степень числа р,

РЯ?Е1ЕДШИВ 2L .Подгруппу (|р группн ,порожденную воеми ее р«*влементами, будем называть р-ворокденной вод /

Группа Uj будет характеристической подгруппа группн Щ ,так как всякий элемент группн равно тианый о р-элементам». будет также р-элементом?;

Если в (Я не содержится р-эяементов^ отличных от единичного элемента,то подгруппа О] будет оовпадать с единичной подгруппой 5з *

Подгруппу ^ группа перестановочную со веема р-элементами группн 6| ,будем называть р-нормальным делителем или р-инварианты ой подгруппой группы t^j . Очевидно,что р-нормальный делитель группн перестановочен со веема элементами Oj^ и обрата о, всякая подгруппа группн ^ ,перестановочная со всеми элементами

1 будет рнноршяьннй делите яем j.

- 7

Если ,то веякая подгруппа группы 0j бидет в ней рчанвариантаой подгруппойй ; рПРЕЛЕДЕНИВ Группу 6J назовем р-абелевой,если каждый ее р-элемент перестановочен оо всяким -па п-йвенен-тону рарА^хд въяилно просто го с р L?7

Так как единичный элемент группы 0j> можно рассмат ривать о одной стороны хан имеющий порядок равный нулевой степени р,а с другой стороныукак имеющий порядок не делящийся на р,то всякая группа > содержащая только р-елементн /р-группа/1,а танке группа не содержащая р-элементов,буд^т р-абеяевши. ЗЫсяе группы называются три виально р-абелевымиг.

8 р-абелевой группе каждая подгруппа,содержащая только элементы порядна взаимно простых с р,будет ее р • н ормальным делите лем?. жи.

Если Ж и Жх р-нормальные делители ?,то и их пересечения и подгруппа,ими порожденная,танне будет являться р-нормальным делителем группы Oj

Доказательство Проводится та*не,кан и для обыкновенных нормальных делителей*

ОПРЕЛЕЛЩЩ Группу 6| ,не имеющую собственных р-нормальных делителей,отличных от единичной подгруппы,бу-дем называть р-цроетой группой. ,

Если CJ является р-простой группой,то ежа являет^-оя вместе с тем и группой простой.

В самом деле,если бы группа бнла яе простой,то она имела бы ообетвенннй нормальный делите ль, отличный от единичной подгруппы. Но тан как вояний нормальный дели • тель есть в р-вормалышй делите ль,то группа Oj не могла бы быть р-пррстой г.

Но не всякая простая группа будет являться р-прас-той груШ10Ё^1Ьк группа (J( , у которой будучи простой группой,монет иметь некоторую собственную подгруппу ,отличнуэ от i , и последняя в этом олучве будет ее рн-нормалнша депителем:.

1&к,надрнмер, у невесткой простой группы иестиде-сятого порядка Oj Ъ , потоку ^имеющаяся у не® подгруппв пятого порядка будет ее р-нормвяышм делителем (р= г).

Если ке простая группа (JJj оодервит р-олементк отличные от единиц»,то она будет и р-иростой*

Действительно,если бы группа 6| бшш не ргоростой, то ша бы имела собственный, отличный от единичной подгруппы , р-нормальный делитель KL И Если ршвроаденная подгруппа 0jP отлична от (Jj ,то Qj будет нормальным делителем 0J ь Если же Ojf } то К будет обычной инвариантной подгруппой,тан нак^ перестановочна с любым элементов у и в обоих случаях Oj окавнваевся группой не простой,что противоречит условию»

Не циклическая р-абеяевая группа,содержавая отличные от единичного элемента элементы порядков взаишо простых с р,ке может быть р~простой,ибо циклические под* группщ,пор.авденнне такими элештвмЕ, буддт ее р-нормальны-ми делителями^

Если р-поронденвая подгруппа группн Oj у а 2(1-какой-нибудь р-нормальный делитель С^ ,то; р силу определения Ъ: ■ CjJP3l является некоторой подгруппой группн Oj ,нормальным делителем которой будет ol g фактор -группу Gjp}Z jlfl мн будем называть р-фактор-груп-пой группы во подгруппе Ж w Если представить элементы группн в виде где Ji 6 CJ ,то ДМ-Ъ.и ид р-элемен

0 Й = лжзж.л% .

Но являются р-элеыентами^

Отсюда, следует, что группа совпадает со своей с- ;

Р-порожденной подгруппой и что веяний ее р-нормальный де«*. литель будет! ее нормальным делителем-.

ТЕОРЕМА 2. | Если некоторая р-фактор-группа группы; (J. :имеет нормальный делитель ^ ^состоящий, иь систем: , . ( гдеД . являются элементами ,то объединение этих сменных классов* будет р-нормальным делителем ,заключающим * и нао

•м Ю — б op от .всякому ^«нормальному делителю ^ . группы Oj. , заключающему Ж ^соответствует-нормальный деля ~ те ль ^/Ж группы Of Ж-/К.

Доказательств о. - Докажем,что ^ является р^йормаль -ным де лителем Oj Ш- Как известно,. ^ является яоршльг-ным делителем ,заключающим Ж , а поэтому перес^ановочна со воеми элементами * Следовательно, ^ есть р-нормальный делитель Oj- ?. если обратно,. является р-ирршльныа делителей ,содержащим Tbj-то ^ инвариантна в. ^jf^^- >а ^ ^Р^теристичес-!. кая подгруппа ^ ^следовательно, ^ швариантна в но так как Gj*' ,то, ^ инвариантна в ,у

Кроме того, ^^ перестановочна со всеми элементамиЖ* Поэтому ^ будет нормальным делителем в по-» тому сзактор-группа уж/ж будет,как извести окорма ль -ним делителем фактор «группы

ШРВД1!ЯВаИ5 -В.» . Собственный р-нормальный делатель Ж группы 0J называется максимальным р-нормальным делителем O^j ,еели кроме X группа^ ^ не имеет собственного р-нортльного делителя, заключайте го Ж .

Из теоремы 2 следует,что еслн является мак« саиаашым, р-нормальным делителем Oj ,то р-фактор-группа tfR /Ж будет обычной простой группой»

Однако если где ^ тоете р-норшльник делитель Ojj ,дяя хоторого имеет место одаой из условий: 1 i у или р t

С.Ж то из условие 1 следует,что of Ж/ж = fdt/ж, а из условия ,2 следует,что г = Г . f'

Таким образом ве всегда ив простоты будет вытекатьшксишльность Kl ^нан р-норыального делителя •

ОПРЕДЕДШЙЕ 7. Конечную систему влаяенных друг в друга подгрупп группы -1 ' /1/ будем навивать р-нормальнда ркдом группы ^ ,если всякая подгруппа^ | является истинным р-норшльнш делите Обозначим через jc циклическую грушу 25®порнд*-ка,через~ подгруппу 6-пордеа,через не даличее кую группу, б^порядка и через 5b ~ ее подгруппу 2-го порядка^

Мошо образовать из пряшх произведений- этих . групп такие р-нори&лъыые ряды,которые отличны .от нормальных рядов: I у > Cj о ^х ^ /2/

I или у+С^^'хЯ ' /3/

- 12 - .

Если для р-нормального ряда /1/ образовать р. фактор-группы В1 то будем их. называть факторами р-нормального ряда /1/, их порядки индексами р-нормального ряда** далее,обыч« ньш образом,определяются понятия упиотненин и изоморфизма р-нормальных р(ядов.^

Если группа UJ такова,что для всяких ее подгрупп Ж7* X выполняется условие • группе Сл., будем говорить,что она удовлетворяет то о

С- у слов ию,

• I.

Oqeвидно,что р-грушш,а такие групп» не содержа-щие р-элемёнтов удовлетворяют <?- условию:„-. Но кроме этих тривиальных примеров ipyim,удовлетворяющих сГ-.условию,-и так называемые р«разлоюшые группы,как будет доказано ниже, танке (удовлетворяют ^-условию, рПРЕДЕЛЕНИЕ 9. . Группа Oj ,порядка делящегося на р,на*>. зывается разложимой,если она разлагается в:прямое проиь ведение двух шошителей так^что один ив этих мнокителей будет р-силоЕскоЙ подгруппой 6J №1

Докажем теперь,что «*.' р-разложимая группа удовлетворяет условию.

В силу определения,для р-разяожимой. групп» будем иметь ]' Ух<7 ; где^/? является р-оияовской подгруппой Oj.

Как доказано в И ,всякая подгруппа р-разложнмой группы сама будет р-раэложиыой,а потому для подгрупп э ^ группы Oj, ,б§дем иметь где V, и у?2 ризиловские подгруппы групп

Ж и ^ соответственно,причем

У зД.

Ясно ,что т.е. группа Oj, удовлетворяет сГ-условию.

На р-н ормальные ряды группы,удовлетворяющей с-услошв^можно распространить теорему шрайера,но толь -но относительно их р^фавтор-группу

TEOPEIMA 3 :. Всякие два р«нормалъных ряда группы , удовлетворяющей с - условию,обладают изоморфными уплотне ниями.

Доказательством Пусть заданы {^нормальные ряды группы

Для рядов /4/ ж /5/ образуем соответствующие им ряды из р--по рожденных подгрупп групп,входящих в ряды /4/ и б/ cfx-жуn^-^n^t . /6/

Ряды / б/ и /2/ ■ являются обычными нормальными рядыш,

Назовем их р-порождениями соответственно рядов /4/ и /5/.

Докажем,что р-фактор-группы ряда /4/ И8омор$нн соответствующим фактор-группам ряда /с/г» Действительно, в силу те арены об изоморфизме имеем* в/

ТЬк как группа удовлетворяет ^-условию,то и поэтому иа /8/ следует ж■ тким не образе» р-фантор-группы ряда /б/ изоморфны соответствующим фавтор-группам ряда / 7/г.

Если вставить между двумя" любыми членами и 1ft ^ ряда /б/ какой-нибудь нормальный делитель $ группы 31 то и ыевду членами Жч-, и ряде /4/ ыоавно будет вставить р-нормальный делитель ГРУППЫ Ж,-, ^Ж^ЖЖ^Ж^ - ^Г /10/

Покажем,что при этом ряд / о/ будет рчторск-дениен ряда! /10/.

Дейстзитолыю,так иан ^ удовлетворяет 6 -условию,™

Если ваять какой нибудь элемент

L Ъ 9 где -jfelfc f jn£e TlL ,и если jfj)T- е Tftf^ ^то "Daкий: образом

V .

А так как Hl^Kl* ,то и поэтому .р ^ ^ Y) % 3d £. ^ ж.

Но вместе с этим

Ж-jnn^Ti, следрвательио;иэ /ц/ получим,что w тОР= и. р-порондение ряда / 10/. будет рядом / О/ .

Построенные нами уплотнение / 9/ и /ю/ рядов /б/ я /А/ будем называть р-уплотнени ями-£ Нормальные ряг-дн / б / и / 7 /,в силу теоремы щрай ера, обладает изоморф^ ншш уплотнениями*.

7Р-Я/. /12/ ■ /is/

Построим соответствующие им pr-уплотненяя рядов /4/ ж /б/

14/

15/

При этоы,как мы видели раньше,р~фактор~группы рядов /14/ и /15 / изоморфен соответствующим фантор-гррпшш рядов /12 / и / 13 / соответственно,и поэтому р-й оршльные ряды / и /1$/ будут изоморфны.

Теорема доказана.

П Р и-М Е Pi: Для^норыаяьнвх рядов / г/ и /з/ группы ^ можно образовать такие упяотаення>: у?* Of ->у'*5Ь Г /1б/ у* Of ш

Нетрудно видеть,что р-«ормаяыше ряда / 16/ и /17/ изоморфные

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. р-3 0РШЛЫШЙ ряд.н6 имеющий отличных от него самого уплотнений/без повторений/будем называть г-г. р-композиционным рядом,его факторы р-комлоэицианннми факторами группы Щ ,а их порядка - индексами р-композкциан-ного ряда группн г. Всякая подгруппа р-компо зиционного ряда будет каксидолвннм рнвор^альным делите -лен для всех i ,а. р-коып о зи ционные факторы будут простыми групнами/следствие ив теореш а.

Теорема 3 влечет за с об ой, также как и для обычннх композиционных рядов,теорему аналогичную теореме Жордана-Гельдера о р-к оппозиционных рядах.

ТЕОРЕМА 4- - Если группа, удовлетворявшая £ .-услови®, обладает р-к оппозиционными рядами,то всякие два р-к оппозиционные ряда этой группы изоморфны.

ЛЕТ ще it

ШЖ ;Еоя* £ ООТЬ податоппа тгапГб^^ * дексв р-композкционного ряда группн ^ является делителями ждексов р—композеционе ого ряда 0J.

Пусть 6jf имеет р-«омпоэицискннй ряд овра8уем <,]( - ^ л Я, я составим ряд /18/ р-©явментн перестановочны с ^ ,кан элементы подгруппы,и шв кб перестановочны с ^ ,нак р-элеыен-ты HlL-i . для которой 31; является р-аоршльнвм делителем,» потому они перестановочны с их пересечением, т.е., с,следовательно, является р-нормальным делителем : . Рассыотрилраэлояенне

Тогда будем иметь и разложение $ ти-,==М %—

Б самом деле,если бы j ю > a так как ^ с ^ ,то & а значит чего быть не может*

Значит 1

Порядок фактора ,являющегося подгруппой

- 10 фактора %/Ж-. ,делит порядок последнего:, значит и~ порядок фактора делит порядок фактора .

Tl^ /ЖL . Если ряд /±в/ еще не будет являться р-н оппозиционным рядом подгруппы ^у ,то вставив промежуточные р*«ормалыше делители,мы полечим р-компо-зиционннй ряд,одним иа отрезков которого будет

II и-*

10/ ка фактора л него , k i-i \ индексы этого отрезка будут делителями поряди

V.р

Ь':' Hi

В самом деле,порядок последа кdLгде hi-/ рядок ct р р есть порядок . ,а порядок И будет tl а clM где kH.

L~' С I р есть порядок О у а ^п

О,,г напр^. Xi есть по«^

-Щ есть порядок . ^[ч >

TfeK нак k делится на

Н > а так как $?; ,то diделится на

Следовательно ,

Jv К

•• есть число целое ,£. значит индексы ряда / ю/ будут делителями порядка фактора

Теорема доказан

Как известно ^группа внутренних автоморфизмов dp,, группы Ojj явпяетоя гомоморфным образом рруппн Oj, TSaK как при голоморфном отображении порядок образа яв~ v ляется делителем порядка прообраза,то внутренние авто -морфжзмы,порожденные р-оле ментами группы Oj f будут я в-* лятьоя р~эяементами группы ф и

Если мы всякому элементу поставит» в соответствие порожденный этим элементом внутренний авто-морфа8м,аумновество таких внутренних автоморфизмов будет представлять собой подгруппу группы Ср ^©рожденную isе некоторыми р-злементами ,то получим гомоморфное отображение; группа- OjP на группу tip? & Автоморфизмы Ср/. будем называть р-шутренниш автокар- • физшши!» В единицу группы отобразятся при этом эле менты I ,принадлеващие центру £ группы Oj Если . обозначить Oj oZ через ,то

Ф'^ч'У.

ИЬк как Oj является нормальным делителем в О^ ,то фр . будет нормальным делителем в Ср . Б оилу опрелеяения, рнзормальный делитель Ж группы Oj является инвариантной подгруппой отнооитенно всех р-юутренних автоморфизмов группы Oj г; Если ф есть простая группа,то либо р=ф и тогда всяхжй р-норыальныа делитель группн Oj, будет ее нормальным делителем,яибо(|Э^ единичная подгруппа Ср) ,Ti«ef. значит Oj^i f и тоща всякая подгруппа ОН будет являться ее в^ормалвют делителемг*

ОПРЕДЕЛЕНИЕ .И „ Если р-нормалшый делитель Ж группы ^ будет р-нормальнда делителей во всякой груше Oj1; ;,оодеркащейО| в качестве р-нормального де-лителя,то Ж будем называть р-харак теристической под -группой группы Vj*

ТЕОШЗА 7-.' р-характеристическая подгруппа ^ р-харанц тернетической подгруппы Ж группы Ojсама р-характеристическая подгруппа группы Oj *

Доказательство'* Пусть ' есть группа-, в которой группа

Cfj будет р~нормальным делителем?* Тогда и Ж будет р-нормальным делителем в Oj' 4 Но ^ есть р-ворнальннй делятель во всякой группе,в которой Ж будет рниормаяь* ным делителем,значит и в

ТЕОРЕМА 8. Пересечение р~характеристичесних подгрупп и подгруппа; пор онденкан р-характеристичесними подгруппами , сами ! являются р-характеристинескими подгруппами^

Доказательство Доводится так же ,нан и для обнкновн» ных характеристических группу у р-инвариантада элементом группы Щ будем называть ее элемент,перестановочный со всяким ее р-злвыентом;. р-швариантный элемент будет перестановок чей и со. всеми элементами иб ы Множество всех -тр. ■ f-инвариантных элементов группы С| образует группу,в которой будет содертаться центр группы GJ % Будем группу воех р«инвариантных элементов группы Oj называть ее р-центром-. шааьщ Р^НТР? щрш.: (j тическая подгруппа.

Доказательствам р-центр ? группы Gjf ,очевидно,являете в ее нир-нормальным делителем* Пусть Cjj' какая-нибудь группа, для которой 6| является р- нормальным де«* лителеы. Если AtOj1^* С* £ ,то элемент Ct- А 'СД должен щ8вадлеяать Oj е, вне с те о тем,он будет входить в ? л В самом деле,ее ли -&€.Ojp ,а А&Я'1 тан»ь буде» элементом Oj? -хаРак'геРис-? тиче]ввая. подгруппа (fj} ,то будем иметь

С, 35 = А-'СЛЪ = Л-'С%1Я = Л~%СА=Я>А-'еА=%С,

ТЬшш образом, Cf перестановочен о любым элементом CjP' и; следовательно , С, *

ОПРЕДЕЛЕНИЕ '13. Коммутатор всякой пары элементов f один и;з которых является р-элементом * ,а другой имеет порядок взаимнолростой с р,называется р-номмутатором -Подгруппа,порожденная всеми р~каммутаторами группы (J на -знвается рнвоимутантаа С| Ы • р^коммутант группы 6j( есть ее р^харак-теристическая подгруппа* . с

Доказательство. Еся» есть р-нормальаый делитель группу то, очевидно,достаточно доказать ,что веяний р-ком мутаторК группабудет трансформироваться элементами OJ опять-таки в р-коэшутатор Oi, if

Пусть 11= rt'M ,где Ух есть р-элемент,а порядок f/З вэаимопрост о р ^ Если С £ Oj1 ,то но С 'А С ~At есть также р-элемент >

Г = будет порядка взаишопростого о р и поэтому будет р-коммутатором ^ % pjQPEalA д-ifr ; Факторгруппа ^y^Zтогда я только тогда р-абедева,когда р-нкоммутант содержится в ^

Для конечных групп эта теорема доказана ЧУШШЗНШ № * С небольшими изменениями это доказательство может быть перенесено на периодические груп. пы вообще. «4

Возьмем два каких нибудь элемента Ж А, и ЗЩ группы (j/yt порядков р*'. иИ соответственно,то* U, >о ri >i , (PlnJ --{ t являются такими элементами О^ ,что At е-ЭД

И € ! и поэтому порядок А ^должен делится на * р,а порядок D&, .- H0L

Пусть порядками А, и являются . л р?'-п,п . соотвевотвенно,причем оС , }

Тогда существуют такие целые числа J , ^ У, у, что будут иметь место;: i j.m=i и ЛР^

Поэтому монно записать,что

SS.-^V^', следовательно, и in у ^ гдеД и являются элементами порядков р за {=У1,У1 ' о о ответственн о*

Яаким обрвзомгаоли . и ffjft. элементу ШтхШВЖ^/йС. .Порядков, и Uсоответственно при.»

3S2L Ч > о /U > 1 , (р, -то.У? и Смежно (ЯО) i / всегда считать элементами порядков р и £ соответствен-* напрячем . £•>! , (р, О- ^

- 25 ~

Относительно Of/Ж йогу? иметь место следующие случаи:

1/ ^jf/K содержит только р-элементы ■Z/O^jti не содэрнит ни одного р-^элемента З/OJpl содержит как р-элементы,так и элементы порядка взаимно простого с р.

Приведем доказательство теоремы для всех трех слу:«? чаев.

Достаточностью Пусть р-коммутант <£ группы Of содержится в Ж * В случаях 1 и 2 группа1QjftlL тривиальна р-абелева^ Пусть далее имеет, место 3-44 случай:.

Возьмем произвольные элементы л из ^/Ж порядков вида,указанного в (ZO) ° . как Л есть р*«лемент,а$ имеет порядок,яе дё~ лящийся на р5то . а потому

KLATCi=

Следовательно/^/^ является р-ебелевой.

Необходимостью Фактор-группа Qj/^- р-абелева и пусть А и - любые элементы,порядков вида,указанного в

В 1-м случае будем иметь,что t Ж ±Тв.к как ^ инвариантна- в Of ,то а потому- л 'Л tyA^lfl . Но 3 1Я '55-/? является произвольным

- ?.б р««коммутатором , и-,следовательно, теорема для этого случая докадана»

Во олучае дояшоЛ^Ж и,далее 53"!ИЪеЖ } а потому произвольный р«номму татор войдет в Ж ,следоштельно,теорема верна и в этом слу -чае;,

В Зим случае ^f/Ж будет иметь элементы Ж Л и поряднов pi' и 71 ёоответственно,причем -тг>1 и

Так как 6j№ по условию р-*вбелева,то

Но это значит,что произвольный р-коммутатор группы ^f входит в $ ,следовательно; теорема до-казана и для эзого случая. р-характеристическая подгруппа группн\^удет инвариантна относительно автоморфизмов некоторой под -группы группы автоморфизмов Действительно если Ж есть р-яарактеристичесная подгруппа группы Oj ,то она дола* на быть р-нортльным делителем в гомоморфме Г группы так вак Oj, является нормальным делителем в голоморфе Г , а значит: и р-нормальным?; Поэтому $долша быть инвариант» на относительно всех автоморфизмов группы ,пороиден-ннх р-внутренними автоморфизмами голоморфа. Будем такие автоморфизмы группы^ называть р-автоморфизмами:, как известно О] группа автоморфизмов группы Oj является

- 27 гомоморфным: образом голоморфа Г ,а так ка$опять-таки, при гомоморфном отображении порядок образа доляек быть делителем порядна прообраза,то р&лементы Г должны отображаться в р-элементы^ ,а потвму мнояеотво р-автоморфизмов группы Oj представляют собой подгруп* пу группы . 3 порожденную некоторыми ее р-элементамя^ Т&кям образомхарактеристические подгруппы группы Oj будут инвариантен относительно р-автоморфивмов группы Oj ц

Нетрудно, видеть,что веяная характеристическая подгруппа Ж группы Oj будет являться ее р-характерис* тической подгруппой. В оамом деле,если Oj[ содержит Oj в качестве рннормального делите ля,то все р-внутренкие автоморфизма группы Oj' преобразу»т\&аму в себя,т. е;, пороадввт некоторые автоморфизмы группы Oj v д так как $-инвариант» а отноелвеяьно всех автоморфизмов Oj ,то Ж будет инвариантна относительно р-выутренних автоморфизмов ^.'^следовательно, $ будет р-«ормальным делителем в Oj's

ОПРЕШалШИЕ 114.;. .Группу,не имеющую собственных р-характерио-тичесзшх подгрупп-,отличных от единичной подгруппн,будем на«а зывать р-элементарной?.

Всякая р-элементарная группа будет и просто элементарной ,н о обратного может и не быть.

Действителшо,если является р-элементарной,то она но монет содержать характеристические подгруппы:,ибо,как указано выше;,всякая характеристическая подгруппа есть вместе о тем и ^-характеристическая^

Ее ли, на оборотугруппа является элементарной,.™ она все ае монет иметь такие нормальные делители,которые не будучи нормальными, делителями в группе Ojl ,в которой группа является нормальным делителем,могут оказаться в группе Oj1 р-нормальными делителями^

•-Инвариантным рядом группнюуден называть р-нормальннй ряд>

04 а Ж^Ж, ^ ' ' = £ , /21/

Кандый членУкоторого есть ^заключенный в предыдущем р-«ормаяьный; деливель 0|, р-инвариантный ряд /21/ будет называться р-глав~ ным рядом группы ,еслиIfy будет наибольшим,заключенным е> р-нормалъннм делителем OJ-

Ряд / 2$/ не был бы главным,еша бы существовал р^вормальннй' делитель группы Oj ,заключенный в Ж и заключающий Ж; , Поэтому,фактор-группа которая является нормальным делителем не должна иметь в силу-тедремы а, характеристических подгрупп,т^е?* долша быть элементарной*

Но из того,что р-фактор-группы некшорого п-инва-рианта; ого ряда группы Ojэлементарны еще не следует ,что такой р-январиантнмй ряд будет р^гяавным ря дом, ибо например ,мошет быть,что р-фвтор-группа JljTiL будет элементарной,но не смотря на это йудет существовать р-норыальный! делитель Ж, группы Щ ,такой,что и^ж-ж;.

Это может иметь место в случаях,увзанннх в замечаниях н on Ре ft г ленш*6^т,в ,! когда лтою = ;

1Ьх же ,как а в теореме 8 мовдо докае&ть,что если труппа ^ удовлетворяет уоловню,то два р«инвариантных ряда ее обладает нездоровыми уплотнениями^ Из последнего же будет витенать^гто всякие два р-тлавннх ряда этой группы -изоморфны-.

- SI

Если р-сжловокая подгруппа группы; СЛ яивархымна в ней,то Oj называется р-опециальной ,ялв специальной относительно числа р, LV] ЯВОИМА/1 . ;К<шечн «я группа Qj содержащая р-элементы, отличнее от едннацы,тогда,и только тогда,будет р-^опециаль-ной а иметь р-раеложимув подгруппу порядка,кратного по -рядку Cf f,когда для нее маяно будет построить кисой ; р-январаантаый ряд то:,. ■ !

1/. Всякий р«*лемен* р-фавторнгругош будет перестановочен о каждым элементом р-фактор

1/. У А/, плпстгя» »л#»лт-»г»7-'А D* тгатгатпш tie г^ группы: 6} % pi ,порядок которого не делится на р*

2/д Всякий р:-«немент рвфактор«-П)уш1н: OfW-i/W-i будет переста я сведен ,о каждым элементом р-фавтор-группы , порядок которого не делится ,на р.

Необходимость.

Бслг^онецналша я будет нметь р-равло • /'у Г жнмую подгруппу ^церядка кратного порядку 01 ■ ,яу ,напря« мер,сама будет р-разлоакмай,то р-иореокдекная подгруппа.

РУ будет совпадать с ее ояловекой подгруппой )^ ооотввтотвуюаей делителю р порядка группы а потому ряд Gj 2 у ? £ удовлетворяет требованиям теоремы,

Достаточность;, Пусть группа .(/j порядаа pSi f i , • обладает рядом р-н ормалышх делителей оуХ-ж? т^. - : /22/ удовлетворяющим условиям теоремы,дополненными условием

Зла, Xf т вместо факт op-групп» 3V/и V; будем брать и . ;

Рассмотрим реактор-группу (f ne4 /Же.,. Для нее мо®но построить следующий ряд ее норшльных: делителей /а значит и р-иормальныхД ЦШ,^, ./ез/; с

Как известно. •имеет мет-фзоморфизм

Для дальнейшего доказательства., обратим внимание на одно положение,вытекающее из теоремы об изомор физмв Гз] 2&к ,есди есть нормальный делитель то

IX/Xr^ Gt/Ctn& . /25/

- 33

Но дяя ^Неформального делителя ОС заключенного в будем иметь ОС/Я /осп^/ъ и псэт"эму—-----;—— Cl/Я ^ Oi/Cl п £ . /26/

Из / 26/ и /26/ следует,что • ! ■ Otj'Jl ^ ОС&/& . /27/

Если в нашем случае и Я ,то 01 Ъ< -- жс } и соотношение /27/ примет вид:

X ~ • /28/

Из /24/ и /27/ следует,что

ЧХЖК/Ж^/ж^, - К V*' ■

Таким же образом получимте

Так как при гомоморфизме порядок образаявляет!» сй делителем порядка прообраза- ,то ряд /23/ так же удов летворяет условиям доказываемой теоремы», Теорема тривиальна ддя групп простого порядка,поэтиму мы можем счя ~ тать ее справедливой для всех групп.,порядка меньшего чем порядок ^,. Следовательно,для Of^Me-, теорема справедливая

Пусть Tl.f-t. имеет- порядок n^n^i , (р, h,) = i / a Ofp - порядок nzn'zi , (p,ny = i:

Тогда порядок фактор-группы ^^^^удет равен где | = Р

К/ а'р^'й порядок T^e-i

Донааем далее:,'что* -.

1, Группа Uj будет р-специальной* • фактор-группа О^Ж^Ж^, ,по предположению, р-специальная, а потому, она лыеат в качестве нормального делителя си ловскую подгруппу^? порядка ,а Of будет иметь р-н ормальыый де лит.ель Ж порядка ,содернащий группу Ж

В силу условия 1 иЗ веорегш ,всякий р-тэлемеыт группы Жеч перес1гановочен с каждым элементом группы Of , порядок которого не делится на р.,а потому группа. есть р-абеяева,азначит и р-разлонимая [71.

Следовательно^группа имеет нормальный делитель 'Ж порядка ,который в силу условий 2 и 3 .теоремы будет принадлежать к р-центру группы Of.

- 35

Если мы возьмем смловсьую. подгруппу/^ группе) & порядка р* и образуем произведение ^ ,то угш ^щуг^ж.

Следовательно^ есть нормшшшйделитеяь ^ я ,в CHf ну теоремы фробениуса ; характеристическая под — группа вй,и поэтому (теорема ?J будет р-нормальндо де* лит ел ем в 6| • и потому^ будет нормальным делителем в Ojp 4

Следовательно,она единственна в Oj ,а потому и единств венна в Oj заким образом^-Oj имеет . нормальным де-яителец^аначит она р-спещгадьыа:.

П« Группа,6| будет иметь р-раалетимую подгруппу^ порядка краевого порядку ^ ^

Фактор -группа Oj^fL^j^, по предположению имеет р/раеловимую подгруппу ,порядка краткого порядку ее р-порш:деннсйг подгруппы. А так как ша совпадает со своей р-порсжденной подгрупп ой,то ова сака р-разлонима и поэте ку имеет нормальныйделитель ^ порядка ^ и в группе Oj ему будет соответствовать р-нормальннй делитель ^ порядоа •. . где и

Пусть \Р произвольный р-эяемент И8 ^ £ Элемент !Рдолнен войти-в некоторую, снловскую подгруппу^?', порядка 'р0!* группы ^ ^ Так как Ж/./ является р^нор-мальинм делителем ^ ,то Же-/ будет подгруппой .

Вак как порядки ^и равны соответственно p^n'm и р^'П] ,причем (р, -У1!7п)= I и (р, то отсюда следует,что^ входит в%.<& Оиедовательно;

Используя это,а таюве свойство ряда /23/, примененное^ кЖ^/Ги видим,что. Р перестановочен, с любым элементом ,порядка взаимвопростого с р>« Но тогда ^ перестановочен к с любым элементом ^ ,тлеющий поря-* док,не деля вий с я на р^ Б таком случае ^ будет р -«б елевой, а значит и рнравловимоё Х.^'

Следовательно^ будет иметь характеристическую подгруппу id порядка ^(теорема «робениуса). Но так как всякая характеристическая подгруппа,есть вместе с тем и р- характеристическая ,то # будет рчюрмальнвм делштелеа вOj ъ Если мн теперь возьмем силовскую подгруппу)? группы Oj ,ноторая Судет являться,как было доказано, нормальным] делителем образуем группу }то ^ и £ будут нормальным делителем в ^ ,а 9L. будет их цряшж произведением^

Следовательно,^ будет р-равлояимой,порядка вражого п? • порядку

Теорема полностью доказана.

Имеет место теорема относительно копнутаит* р-по;?скденного подгруппе! ^конечной группы Oj ,аналоги чная теореме ВШДТй.*.

УЕОРЩА „ЗА* Если индексы р~главн ого ряд» группа 01,

1 ' о'-• ■ -JiPoxTbre. — ^ удовяетворяющей с «услодих^ числа или равны единице , кроме последнего,то кошутант Jk подгруппы^будет тм* ^специальной группой.

Пусть ряд

- ' /29/ будет р-глаявым рядом грушш Щ 4

Докажем, вначале >что все элементы котшутанта <jC будут перестан овочны с элементами люб ой .р^фактор-^руп-пн этого ряда*

В силу условия теоремы,всякая фактор - группа KW' ряда / есть цикличе саая ,а потону разложение группн по Ж- будет иметь вид: ЯУгЛ * ЛЖ, - ■ ■: , Л<& .

Пусть я будут два любых элемента из OJP

То тт ihK как есть инвариантная подгруппы Of Г и Поэтому ив ! • ■ Откуда h ■ . ,,

А \ 1 Я. ft.-ill;Ж'ЖХ, и далее

ТЬним образом,все коммутаторы элементов группн 0jf последовательно, и вее элементы коммутанта <?С грун-пы Qf? фррстаяовочны с элементами любой р-чХактор-груп-пн ряда А 20 /ц

Теперь мн сможем теорему доказать оледувшим оби. разом?. !

Кошу»ант;<^ группы Qjr является для бинормальным делите лен',а потоку для группы Of. ш будет рчзормаль «• нш! делителем. Сяедоватеньно,подгруппа сС будет вхо^> ди*"ь в срсвав некоторого р-гланного ряда группу Of С^ ■ ^ X ' • = Г /30/

Все» элементы cfc ,по Доказанному Перестановочны со ®ее-ыи элементами всех фактормг-групп^iC,тем 0олее,все элементы j<£-L перестановочны со всеми элементами

Кроме того:,порядок фактора сС£ч ряд» /Ш/\ есть простое число,следовательно, t дожяна совпадать с «тС^./Г ибо в противном случае заключала,бы р~«оршльный де* яктель ^С-Г ^ .есть р-жрактеристическе^^упп^^^/) группы^,что противоречит тому,что рйд /30/ есть р^гяав-вый»; Значит, элементы фактора £/1 пере стеновочнк со все- . ии элементами фактора к потому (теорнма Ш) долина быть р-опецдаяьноЁ и содервать р^разлоетшую подгруппу ^порядка краевого его рг-порокденной подгруппе!;

ЕсяжЖ есть некоторое подмножество группы Oj ^перестановочное с некоторыми р-элементами группы Oj ?то оно будет перестановочно и со всеми элементами подгруппыК) Р порожденной этими р-элемента-ми„ Подгруппу Ц будем называть р-«орна ли затором в частности,из этого определения,в случае,еслибудет являться подгруппой группы Oj или будет состоять из оде: ого элемента,вытекает определение ориалваатора подгруппы: или отдельного элемента*

Нетрудно видеть,что р-йормалиаатор^/?^ элемента А /подгруппы ^ / будет являться р-порожденной подгруппой всего нормализатора У) элемента Л /подгруппы ^/fi Очевидно далее, что р^норма ли затор подгруппы ^ тогда ,и только тогда, совпадает с Oj?'9когда будет являться р-нормальным делителем Oj?4

- 41

ШРЕДрШйЕ. 18« Если элемент Ъ группы^ сопряиен с элементеи Я ^TiiBi.

С'Л С =3 и элемент т©$ будем называть р-сопряяенным о А. нетрудно видеть,что отношение р-сопрпясенности обладает свойствами рефлексивности,симметричности и транзитивности* Поэтому ,вее элементы группы йот о будет распределить по не пересекающимся классам р-сопрякен ннх элементов* Число элементов в каждом таком классеубудем Еазывать его порядком| из определения р-н ормаль-ноге делителя следует,что сш распадается на несколько полннх классов р-сопряженных элементов группы/^'?;

ЖШША-Mi , Число элементов /подгруппе/ р/сонряженннх о элементом^ /подгруппой*^ /в группе Щ равно индексу ^если он конечен)р-нормалиэатораХ)Элемента А /подгруппы ^ / в группе

Доказатев^тво^- Раэлсшщ GJPno подгруппе ^f ■ ■ , А <■ <]"■

Если в результате трен сформирования элементом элемента А полуветок элемент С.

Д'. ъ>-с, то для любого элемента будем иглеть

Ъ-ХА (X) %) -С.

Если с другой оторокн • ОЬ Я Ъ- С и Ojу то

IP Госудврстзоимгш t s с-рдзип Лечияа f

I юмрста* гв&р j

• ИМ. В. И, ЛЕНИНА | а потому элементы^ и лежат в одном и тоы ко правостороннем смешок классе по У)Р % таким образок различны* элементов в классе р«оопрЕйённнх с -А элементов столько же,сколько [имеется различных смеяных классов разложения

VP ' л л Р по подгруппе и) v

Для подгруппн ^ доказательство аналоге«я©*

ТЕОр^д is а, 1 Пересекие яввх подгруппа-, р-чсовряненннх с подгруппой %i группы ,есть р-нормальиый делитель 6-J".'! / J- ' '' ' ■ доказательство:. Если ряд всех подгрупп

1 1 р/сопряженнх с ^ имеет пересечение Я) ,то при трансформировании его элементами Ojpбудет меняться только его располовеяяе,а потомупри этом долге о преобрааовы -ватьел в самоьсебя* Слвдош®елшо,^ будет рнкормальвым делителем ,CJ & >"

Еоддаожество^группы ?^состоящее из нескСНких полных классов р-сопряженных элементов, будем навивать р~«ш вариантным комплексом^

Если 1 есть р-январиантннй коадшенсуго,очевидно,что ' /множество,состоящее из элементов обратных элементам ^ / также будет р^шв&риавтнш ноип~ лексем, i ffiOMA -16k ПодгруЕпа,поро«денная некоторым рнгава-риантным комплексом группы Oj уивляетоя р-нормаяьным делителем?,

Докгазательство ^ Если Л€ {У} ) a . .

ТО

Во так,как теорема доя&8ана&

Нетруда о видеть- ,что произведение GLt(Xz дву х классов р-сопряженннх элементов группы ^ будет являться р-иншрявнтныи номнлекоом. Действительно,-если Д £ >вричем , Ш-'г >то какой бн ни был п> р- эле мент >мн будем иметь и г'А^ш^>: а потому ffifflffiiA ) Если порядки (г, я: 1пг двух классов 01, ж Oi р-сопряженных элементов конечной группы взаимно просты, то р-анвариангвый комплекс ^^представляет собой один класс р-сопряженных, элементов. Доказательством, Пусть Л,е Ott , А^ С1г J

У)}г р-н орма ли затор порядка К, элемента Л и Yf- рнгормалиаатор порядка элеыениа Аг ц'

Число различных, элементов комплекса^ ^будет равно fr , • где* ct ' порядок if)t А У]г-р

Если порядок Oj обозначить черев fj г,то в силу теоремы 14 ;

31/

Пусть далее^ мы имеем разложение рЛ

П2 П Vz ■ ■ •

-- р,у' f/2 . в*" ■М?- рА .р^

Так как (Л.,; к2)~0}то при долгао быть V- i и;наоборот,при долга о быть=о

В силу /81/ имеем:

Если . д-р о • И ^ .

Бслж же ,то Д = и- ^ jv

6 произведение К, Кг «нокитель р- входит в степей с показателем в множитель pt- входит в степей и, показатель которой не превышает меньшего иа слагае мых суммн U-+fy т как большее ив слагаемых рашо то р; входит в ^Jii в степени,показатель которой не меньше $V ,а потому • ' ж сявдрвателько, - ^ и и так же 0 Р

Поэтому ,кавдый элемент В^Уможет^ыть представлен в виде?: : ./з--г:гД:', w г;«i;'^'

Докажем далее,что два, люб не элемента :А,АХ и А, А из комплекса 01, 01 г будут р«еоцряженннмяг.

I i

Я. и Я. принадлежат к. одному и тому же кяас

J I . ; су j , - классу ОС2 ,а потому имеются такие г:т-2 и • из Y-,™ s^А '^г К и

ИЛИ а К)а;. . /зг/ и wyf л firx)=тс- А'.' ' /зз/

Пользуясь С00ТК0Ш6НИЯШ1 / 32/ В /33/ ПОЛУЧКИ?: orr'-vj'а,л' {t'vJ-K't AX v;"v-=

Таким образом все элементы комплекса C/LtOLt будут р-сопряженными и теорема доказана ^

ЗШ&ШАЛ&а. Порядок к, кдасса $воех элементов п* р-сопрякенннх е элементом^ в конечной группе является делителей порядна К, класса 01 всех элементов сопря» венннх с

Доказательством Если об означить через cj * поркдва группп и "V)P соответственно^гдв

19 -нормализатор ,а р-нориализатор А ,то буч дем иметь 1 п.

Так какOjty является подгруппой группн 0J (Pjp~ нормальный делитель ,то ее порядок,ращнй 2--, иSo Ojpп У) } должен быть делителем .

- 47 ~ порядка ^ группы Щ

9 2 \L

Следовательно; * ' - -т- — есть число целое и

5И ^ теорема доказана»

Следуя методу ^УНЙХЙНА Р°] , рассмотрим вопрос о возмошости существования оконечной группы Oj , обладающей простой подгруппой ■ CJ^ классов р-сопряженных элементовуторядки которых вваяшо просты*

LA*. Пусть системе ^,где ^ и ^ -некоторые подгрушш 9jf ,даетвсе элементы Oj а. .Тогда Oj будет не-, простой группой,ecnH пересечение групп ^14 ^t отлично о? единицу н содержит нормадьяй двтель какой либо одной из групп ^ ИЛЙ • раш -2« Если конечная группа OJ о одержит два класса, j и 01г р-содраяенных элемент об,порядки которых взаимно простыми если порядок элементов, ода ого из этих классов ^например 01 f , делится на р,а порядок СЛл ва р нз делится,т.о группа Oj^ содержат нормальный делитель,порядок которого делятся нар*

Л9кадавельРтво. Пусть элемент А*(Л( имеет порядок к.5 делящийся на р и элемент Oi^

Если обозначать через К)^ и р- норяализаторы элементов Я, и Я2 соответсотвнноуто,

- 48 как было доказано -(те,орема 17)сист£ив^1|дает всю груа-пу (Jjp * щклическая подгруппа { Ар } дояяна войти в некоторую прдгруппу порядка р^ группы^а так как ji не делит порядка класса (JLX :9tqJ? долшна войта в р-нориализатор некоторого элементаЛьящ класс JL

Т&к как Др воть р-элемент,то «в входит в пр.нормализатор^ элемента А, } а подгруппа [Л, р } будет являться нормальным делателем в ж,шеста с тем, pJ войдет в пересечение У), и

Ж s

IB,ким образом подгруппы и груз-* пн 6jp таковы,что система У)? У)^ дает все элементы C/jp и,кроме того, пересечение их отлично от единица и содержит нормальный делитель одной из них,а потому /лекма t/будет не простой группой.

ТЕОРЕМА 19. Если конечная группа содержит три кяаое*. р-сопряаенннх элементов Olf у (Jtz и ОС}'$порядки которых взаимно простыми порядок элементов одного из них,например Olf ,делится на р^то Oj не афзет быть простой;.

Доказательство^ Рассмотрим классы Группа GjfuamT быть прост ой,согласи о лемма г^еоли порядок (Хгделится на р,яо тогда порядок не мояет де -литяя на р,а потому,применяя ту же лемму к классам и (1Ь ,мы смажем утверадать,что группа мояет быть простой,и теорема доказана^

Тб.

ЗДИВДШ gQt р-разреакмым мнсяюотвои периодической группы Oj | назовем вояую упорядотавную,в омнрле включена я, с жотемуе® р-еорыаяъяых делителей

7f2l = [tfj , зи ооде^оащув) Щ к ее единичную подгруппу ,оодвряащую тайге все гересечания и вое объединения своих эяементзв/оиотема, удовлетворяющая послед ему уолввию называется войной/ ж удовлетворяющую условию,состоящему в том,что для воякжх ее элементов З^а и ^л ^с^]мезду которыми нет других бе элементов / о таких элементах говорят,что они образуют скачок! [wJ / | ректор-группа будет , р-абелевой^! / ' дазоРЕЗДА 20.; Еояг группа имеет хотя бы одре р-рааре-аеняое шожеотво,то все ее подгруппы обладают тем же свойством^ :

Доказательством Пусть ^ проаввольная подгруппа Oj. Образуем пересечения подгруппм ^ оо всеми р-«оршлъны-ми деянтеяямиуВХодявдшЕ в рнравреяимое шовество группа Oj,:

Боли н е н вторые из получающихся ее пере сеч еяий окажутся равными,то яз всех таких пересечений возьмем только одно. Образованные пересечения ж ооотавят р-разреяимое с шод(»ство 7Щ подгруппа^.В самом деле,если в Ш группа ^и ^ас-ч будут образовывать скачок,то в , ввиду его педагога, окажется поресечание Ж всех его элементов умеющих с ^ пересечение объединение Ж всех его эле мент ов^имеющих с ^ пересечение ^ £ Подгру ппы Ж , Ж9 очевидв о,образует вЖ скачок,а поэтому р-4актор'^1руша р^ебелева-v Ее -подгрупп па ^ S/X изоморфна о ^ <J & = ибо пересечение Ж о ^ равно ^

Следовательно^ ~ р-аб;ел9ва^

Кроме того,из способа сбрааования системы вытекает ее полнота^

ЛЕШ[А Если группа Ж обладает р-раэреяимнм мноввст р и воми ^ есть локальная группа /группа ,пораядаамая ко* нечыым числом элементов/,то отлична от своего р-комму** В силу иеоремн 20, ^ имеет также -раэреоимов! мноавотвои, Пусть - об "единение тех р-нор-малшнх делите лей, входящих в р-разрешимое мнокество Ж группы у которые не содерват eei-ro образующего элемев-та;входит в Tffi. Определим такие групп» & для всех

О3 Р t ; по числу образующих элементов Щ щ &ж. аойечноэ число»; следовательно#среди этих^ имеется наибольшая группа так гакЖ упорядочено. очевидна,что подгруппы ^ , ^ образуют в,сладок,и поэтому р*4актор-1руппа р- ибепева и Следователье о, на основании теоремы ц^ р-ком* мутант ^Рс:адерагатоя поэтому ш отличен от А

- 51

JEMIMA: 4. i. ■ Если все локальные подгруппн / подкупил, поражаемые конечным числом элементов/ группы Oj об ла.цаюг. р-разрешимыми множествами,тов группе ^ - (Л А, • пораз&денноя конечным чноломрэлементов,которые все р-сопр1Швны меоду собой в бЦ ,ниодин из элементов Д- не входит в р-жошутант групп» ^ ц i назатв^ьотво. как ,то ; ввиду леммы 3, группа [отлична от своего р«зсоммутант& od ВС9 могут входить в сС %т ак как в противном слу -чав ^ = ^ й Пусть= элемент А, нахо~ днтся вне \di,- ,и докажем,что все остальные Ai , ^ = к) не входят в с?С Допустим противное,что один из элемент тов л(" например, й По условию в (Л есть такие элементы ,что 'Ai (-v--,^.

Образуем группу*; в которой все M't уже р-сопряяенм % Группа -6 также локальная ,поэтому для нее существует р-*раарбштое множество

Шъ в Ш существует такая группа ,которая является пересечением всех групп мнодеотва ^содержащих Л{ В том же существует группа ^ - об "единение всех групп Ж не содержащих Д, i. Группы^^образуют скачок,поэтому р~<£актор-группа fCj^&^/S^ -р-абелева^ след0вательн0;р4£0ммутант содержится в

- 52 ~

Все элементы: A't ?как р-оопряаенные с Д в входят в £w<f,H0 №2 не могут входить в $Cci f. Но по предположению , где етС- рнкоымутант ^ is Группа ^ входат в уибо содержит все производящие эле-мента группы ^ -,-,а потому ^ содержится в ,сле-довагенно, !и Лх окажется в Получали противоречие^ которое доказывает недопустимость предположения*,

ТЕОРЕМА 21й . Бвли в группе CJ ,локальные подгрупп» которой обладают разрешимыми мн оже о твами,образовэггь подгруппу!:: • - [J,, Ах ,- - • }} порождаемую всем* элементами какого-либо класса jv-*-р-оопряженннхр-элементов в (,то ^ отлична от p*4tou** мутаята> и ни один из элементов этого класса не вх» дит в^ ^;

Ддказатедьотвоа допустим противное,тг.е^ что какой -то элемент А из класса порсщдаюнэго ^ входят в \ и поэтому ^ будет равен произведению конечного числа р«коммутаторов каких-то элементов из ^ ,которые в свою очередь являются произведением конечного числа некоторых А^ Пусть для образования Л оказались ис«* пользованными в подгруппе a, будут содержаться те элементы из ^ >произведенив гйг р-коммутаторов которых равной и- Фи же войдут в Ц а

- 53 потому Л додано входить вр-4Еошутант Of ,что противоре* чит лемме /4/ь

Спежтзшк Вели в группе 6J вое локальные подгруппы i а обладает р->^«арещишши множествами,то группа -не прос* тая.

Действительно,-если Я,, • образуют класс р-сопря-• женных радлементов в группе }то группа ^ = /-Л, - • в силу теоремы 21 ^ ,отлична от своего р^кошутанта ё?

В то ;же время ^ и <£ являются нормальными делв«* телямл ;Есля допустить,что 6JP= ^ ,то остается нор»? мальный делитель. Если к тому же = tf ,то группа р-абеле ва,а потому не р«простая,в данном случав просто не простая* Исключение монет только составлять р-» р-группам :

Следуя ШйДТУ L^l.j определим навятие р*разре-вшмой группн так^чтобк из самого определения вытекала бн р/-разрешимость всех ее р-факгор-групп» #

ОЦРЕИЕШЕЫИЕ 21; Периодическая группа Oj называется ,ру р-разрвв1имой,е|ояи она и вое р-фантор-группн Ж>/Ж: у /где -любая ее подгруппа,включая и саму C/J у& ТС гчяюбой р«-«ормальыый делитель ^ / обладают р-раврещм-* мнми шобкествамщ,

Существование же р-разрезимого множества у ^ вытеки©т из теоремы 20 &

QflfffflpiUIEaHE- 122Q. Группа называется локальной р-раз?-ре вин ой, есливсе ее локальнне подгруппы р-фазрешшы.

Бели группа (jj локально р-разреиима и Ж.-ее р*«орыальный дели те ль, то С^Ж/Ж также локально р-рааре-ияма.

Доказательством . Возьмем в OfUl/tL любое конечное дао~ жество элементов где Af (Я . /34/

Порождаемую:всеми элементами этих систем группу назовем U ц ТЬк как совпадает со своей р-порокденной подгруппой /теорема 21/ ,то элементы /34 / могут быть преде та в лены,как произведение конечного числа ее р-элэ . ментов^ узддя,., д.)? ; /зб/

- 55 - ; где 9\ ,$>2, . % являются р*«явментами ^ потому группу % мерное- считать подгруппой группы порож денной всеми элементами систем /ой/;. докажем ,что % Ж/% будет р-разрешимой-. j

По условию локальной раарещимости Of> ^подгруппа f - i«Л рграареаима Пусть пересечение ^ /1 31-Тогда по определению р«разрешшоети р-фактор-группы я

Л - ^/«. ,и«о v ^ И а, • такие р-разрешима р порождается .и некоторыми элемента ыи ,а потому так как рнаэр ыальный делитель Oj и ^ Ж/Ж ~ ■ до ^ж/ж

Следовательно, изоморфная р^эавревшмоЁ группе сама будет р-разревимой ^ ■

Теперь установим связь ме»ду р^разреоимостью и локальной р-разрешимостью г. х/ ректор «-группа ,как подгруппа р^разрешимой группы .тоже -будет р-разрешимой 5*

- 56 yEQPLMA .22» Если группа^, локально р-разрешима:,?о она буде? группой р~разреюшой,

Доказательство». Если группа Oj отлична от (Sj? ^то Ctjp будет нормальным делителем . v Если же следствию из теоремы / 2d/f группа не простая % В том. и дру<~ гом случае группа . имеет собственный р-ыорыалъный делитель Ж ^причем рН&антор-группа группы по Ж совпадает с фактор-группой которая, в силу леммы 5,также локально р-разрешима Если, она не р^абзлева,то возьмем в ней нормальный делитель ,который ,опять такжи-по следствию-из теоремы 21 f .должен существовать,нб о группа совпадает со своей р.*порондвнвой подгруппой,и ему будет соответствовать нормальный делитель Ж, группа Ojp который будет р-нормальным делителем в GJ (щ

Рассмотрим множество

СП , Ж, , Ж с"

Если О^/Ж) *вцв не р-абелева,то,повтори я вышеприведенные рассуждения ,мы получим р-нормальный делитель

Ж^Ж,.

Если Ж/Ж - не р~абеиева,то возьмем в ней любой класс ip-сопряженных в 0^/% р-олементов.и;по теореме 21 ^получим нормальный делитель

Ж/Ж В uffa ; ,которому соответствует нормальный делитель Ж группы ^являющийся р-вормальным делителем в (/j-.

Если же Ж не р-^йбелевауго, таким же об разом, возьмем в неё |любой класс р-сопряяенных в^р-элементов,и по теореме 2i ,получим нормальный делитель в. группе а значит р*яормальннй делитель

Этот процесс уплотнения шояества вяоивнных друг в яруга р-яормальннх делителей будет продолжаться до тех пор ,пока для шекнкх элементов р-^фактор«группы не бу -дут р-абелевыми?. В предельных случаях вставляем об"вдине«* ния и пересечения уяе ранее построенных групщ,

В пределе получим упорядоченное мнокество р^ р-нормальных делите лей ,в котором для любого элемента этого мновеетва, либо имеется непосредственно предшествую:» щий элемент ,и- тогда - р-абелева,либо есть п«ресечши« всех предав cib^jmuoc 9мшижта&, Тахт же образом, либо для . существует непосредственно следующий элемент dZ^, ) . и тогда -Тбн "" р-абелева ,либо ^ еоть объединение всех последующих; Получилось-р^азрешшое мноакество-для группн

Так как любая подгруппа ^ группы 6J ,а по лемме б > и любая фактор-группа ,также локально р-разрешима,то дяя ^^tyk ,совпадающей со своей р-по« • , роаденн^цад^уппой,справедливо тоае рассуждение,при по-пощи которого бнло построено р-разрешимое мнонество для «группы ,т.е. определение. р~ра8решшости удов- . летваряетсв для -полностью*

ДРЖМЕЧАНИЕе- , Для р-групп следствие из теоремы 21 места , не мпело,но теорема 22 для них справедлива, ибо они сами,. и все их Диктор-группы тривиально р-абелевы* 68 J б

Как известно [16]^ множество элементов Z называется • мультигруппой ,если; в Z определена операция умнаве ния,удовлетворяющая следующим условиям;:

Произведение двух любых элементов из представляет подмножество элементов ^ и

П, Ассоциативный закон?; Для любых трех элементов и,-,4ис и ((it) С - Си(& с)=а 4 с.

Ш-. Для любых элементов (Л/ и 6 из Z, в существуют такие э лементы и ^,что (Х-Л э % , у ct э 4 .

1У 4 В % имеется элемент ■& ^называемый единицей,так ой у что для любого элемента(X из % сс э а \

Подмножество элементов 2 Е8 Л , заключающее единицу 2 и удовлетворяющее указанным выше требованиям 1-ш относительно операции умножения ,определена ой в ^) называют подаультигруппой и ■

Множество всех классов рсопряженных элементов группы QjСбудет вделотавладь раво* муяътигрдпау % содержащую единицу,если в качестве операции умножения рассматривать умножение классов р-сопржасенннх элемент тов,как комплексов элементов групп»

Дийствительно,вщрлнямость для этого множества ус-лови? 1 доказана на стр«48,вшолшшость же остальных условий вытекает на групповых аксиом, имеющих место в •

ЛЕША б. Если ? есть мультигруппа,образованная классами р-сопряренных элементов ненорой группы Of ,то между р-нормальными делителями групш$и подмультигруппами 2; мок-яо уотановнть взаимно-однозначное соответствие ,пркнотором р-на op as льаому делителя» Of будет соответствовать подмульти-группа i , образованная классами р-оопряявнных элементов, о оставляющими рассматриваемый р«нормельныЙ делатель^

Доказательство* Оогласн о определению подмультигруппы,ин о~ яеоаво элементов 0J .^ходящих в нласоы р-оолряженвнх элемен-тов,обра8уюаих нодмуяьтюрупау 5. ,будет являться р««ор<~ мальнын делителей Of, * Обрати о,аоякай р-нормальный делитель группы Of состоит из неоколькихпшших классов распряженных элементов группы Of ^совокупность которых будет представлять сэбой додаультигрушху мультигруппы^ .

Так например , множество классов р«сопряяенных элементов, в ходящих в Of? ,будет являться поднуль тигр упп ой всех классов р-сошряаенных элементов группа Of ,хбо б© —

Oj(Р является, нормальным,а значит и р-^ормальннм делителем:. ■

ТЕОРЩД Если в произведении двух классов И, и р-сопряжённых элементов группы Oj один из множите лей.,на* -пример tltOj^ то 'Ч^г

Доказательством Пусть ь Тогда А = ^ибо А будет элементом Oj^ г.- Следовательно^ для каждого элемента & класса. !!, мы будем иметь,что И2 А= Л )iz , а потешу и

Если ^ ость мультигруппа,образованная классами р-сопряженных элементов группы Oj ,а какая-нибудь ее под-мультигруппа,то можно образовать разложение'? по 2 . :; к, 2 +

Множество М смежных систем/!;* этого разложения^ у которых ,будет образовывать ,в свою очередьумультигрулпу ^которую будвм называть р^фактор-мультигруппой и будем ее обозначать, через

В самом деле ,если мы рассмотрим произведение двух таких систем то,на оеввнании теоремы /2Д/ будем иметь»:а, так как произведение К^ будет давать классы: р«сопряженных элементов,входящих в ,ш5о,как замечено выше^клас— сы р-сопряженных элементов,входящих в Oj образуют под 6 It мультигруппу,то ii-ii^ распадется на несколько снежных с яс тем, входящих во шшество М-,

Все остальные условия,определяющие муяьтгруп*» ' путак не будут выполнятся.

ТЕОРЕМА 28* Если-? есть ыультгруппа,образуемая класса» ми р-сопряженннх элементов группы Oj ,то р-фактор*-мультИ' гррпла^ул* изофорфна мультигруппе,образуемой классами р-согзряаенных элементов р-фактор-группы 0|Р3£/3?,где Ж~ р-нормальный делитель бч'усоответствующий подмулвтигруппе

J.

Классы р-сопряженных элементов рт-факторгруппы будут являться1 просто клаасами сопряженных, элементов этой гтругаш,так как ее р-сороаденная подгруппа совпадаете ней?.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Установим соответствие-о менду элементами р-:фак тер-мультигруппы и смешными классами р-фа:ктор- группм^&так^ чтобы соответствовал бы класс сопряженных элементов р-^ктор-группн^П^^состоящий из ее элементов,являвшихся смешнми системами,входящими в Кг

То,что смеаные системы,входящие вК^обрапуют класс сопряженных элементовуследует из того,что вели Я Ж*11л ъж какой нибудь элемент . 01 'Ж/tL , .

-' пт , .г т , Гч? а так как Q$ А у ибо Oj -;то

- ба

Далее,из. того,что* —'Ц-Ж очевидно будет следовать,что iLl ~ Kj'J —■ n:tн:АДЖ и теорема донааан&>„

TECPEUA , Пусть ? является культигруппoft,обравован ной классами р-сопряяенных элементов группы ^ *

Есяи для можно указать конечную последовательность подау ль тигру пп. такую,что р-фактор-мультигруппн^Д.будут являться группами^то для мошо будет указать такую, к онеч ну К' п о с ле дв вательн ос ть р-нормальных делителей

Vr , ■ /38/ что р-фактор-1рушш Hl^/Mi . будут абелевншйя

ДШАВАТЕДЬСТВОЛ: Если для каждой подкульти1руппы послеярвателыюсти(ЗТ) укажем /лемма 6/ ооотвтств^ющив el р-вормальный делитель Жл- группы ^ ,то, эти р-вор-мальные делителиобразуют последовательность /3-Е/

До теореме муль*игруппа ,образованная классами сопряяенных даювУрй? рН&актор-группы Ж^Ж^/Ш^ изоморфш группе для £= . *L,a потому ,по теореме i М р-фактор-группы - являются абе левыми?* •

Л И ТЕ Р А Т>? РА

1?. О.Ю. ШМИДТ г. Абстрактная теория групп. 2-е издание,Москва,1СЗЗ года*.

2. О.Б). ШЭДП»Т1 „ Бесконечные разрещимые группы?. Математичес.

Сборник 17 /69//1945 / 145^160.

3fi, Г. КУРОШ . теория групп?. Москва, 1044 г*. ^

4. А-.Г. КУЮШ'о1м faeU*til \i*>-lf

5;; A;«FiV КУРОШ v. Композиционные системы в бесконечных группах. Нате.сб.,16/58/,/1945/,69-72^ б-. A-.IV КУРОШ is С:Л<* ЧЕШИКОВи Разрешимые и нильпотентные группы/. Успехи штеш.наук,2;:3/19/,^1947/, ' 18-5 9fe

7u С .АЛУНЮШН . О р-ввойствах групп ДАН 65 В? 6-1947

8,. С.АЛУКИХШ.- О подгруппах относительно разрешимых групп

ДАН .58,№ 7,1947 П.

9. й .К:, ЧУБ ЙХЖАЯ С4Аг. ЧУНЛХЩ О р-разлошмых группах. .

Математик, об?.- 15 /57/ /1944/325-838?*

ХО.СзкЯШЖХШ* О существовании подгрупп s «(щечной, группы. Труды семинара по теории групп?. ГДоск-ва 1938 г. :

1Г, С>°« А*;ЧУШ1ХЙЩ. О -гОТДвЯИМЫХ группах. ДАН 59 f? 3 -1948Г.;

12.С.А. ЧУ1Ш2Ш.оГьсвойствах конечных группу Ыатезаатач>

Сборник 25/67//1949/S21-345V

13iGiiH .ЧЕШйНОВ.Бесконечные локально разрешимые «группы?.

МатемГ,Сб* ,7/49/,/1940/,35н54:.

14.С:.Нг.ЧЕРВйНОВ^К теории локально разрешимых группу

Ыатешт;.сб&: 13/55//1943/ ,317-333^

15^А.Лг.Дицмян. О мультигруппах классов сопряженных элементов группы .ДАЙ 49 № 5 - 1945Г.

16. J/. £>&L*cAlu, <X+U*L о. Oul Jbi. JtosUb,

17. С.Л.эдавШ* О р-«оршлмых делителях группы.ученые

• записки вовосибтреного педшститута в*8,2