Об асимптотике обобщённого следа операторов свёртки на расширяющихся многогранниках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Максименко, Егор Анатольевич

• Максименко, Егор Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Максименко, Егор Анатольевич

Содержание.

Введение.

Глава 1. Главный член асимптотики обобщённого следа многомерных континуальных свёрток.

1.1. Основные обозначения и некоторые общие сведения.

1.2. Числовой образ и спектр оператора свёртки.

1.3. Ядерность оператора усечённой свёртки.

1.4. Предел усреднённого обобщённого следа.

Глава 2. О следе произведения операторов свёртки, усечённых расширяющимися многогранниками.

2.1. Выпуклые многогранные множества.

2.2. Алгебра Kr™*m(Rn).

2.3. Функция v и её свойства.

2.4. Равностепенно плавные семейства операторов

2.5. Об асимптотике следа произведения усечённых свёрток

Глава 3. Операторы свёртки на расширяющихся многогранниках: пределы норм обратных операторов и псевдоспектров.

3.1. Банаховы алгебры с локальной структурой

3.2. Определение алгебр s^x, Wх и сё.'х.

3.3. Изоморфность алгебр Wk, (Щс)о и в случае конуса

3.4. Локальный изоморфизм.

3.5. Иерархия многогранных конусов.

3.6. Вложение WX в ILevert(X) &сопо(Х-х) .Ю

3.7. Пределы псевдоспектров

Глава 4. Об асимптотике обобщённого следа операторов свёртки на расширяющихся сегментах и многоугольниках.

4.1. Определение и свойства операторов Ва,к.

4.2. Построение асимптотически обратного оператора.

4.3. Одномерный случай (n = 1).

4.4. Плоский скалярный случай (п = 2, т = 1).

Предметный указатель.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Об асимптотике обобщённого следа операторов свёртки на расширяющихся многогранниках»

В работе рассматриваются операторы свёртки на множествах вида тХ, где X — выпуклый многогранник, г > 0. Исследуется асимптотическое поведение обобщённого следа этих операторов при г —> +оо. При некоторых дополнительных предположениях доказано, что главная часть асимптотики представляет собой многочлен от т степени не выше п, а скорость стремления к нулю остаточного члена зависит от гладкости символа свёртки.

Пусть n, m G N и р ^ 1.

Обозначим через Wmxm(Rn) алгебру винеровских матриц-функций на Rn, состоящую из матриц-функций вида a(t) = c+ f e^k^dx (feR"), (0.0.1)

R" где с G Cmxm и к £ L™xm(Rn), т. е. с — квадратная матрица порядка ш с комплексными элементами, к — интегрируемая матрица-функция (Cm х т-значное отображение).

Для любой матрицы-функции a G Wmxm(Rn) обозначим через Са оператор, действующий в L^(Rn) по правилу

Caf)(y) = cf(y) + J Цу- x)f(x) dx (у g Rn, / g

R"

0.0.2)

Говорят, что Ca — оператор свёртки с символом а. Если X — измеримое подмножество R", то определим оператор Са,х в пространстве L™{X) следующей формулой:

Ca>xf)(y) = cf(y) + Jk(y-x)f(x)dx (У ex, / g l?(x)). X

0.0.3)

Говорят, что Ca,x ~ оператор свёртки с символом а на множестве X. Если ц(Х) < +оо, то Са,х также называют оператором усечённой свёртки. При т = 1 оператор называют скалярным; в общем случае — матричным.

Через Sx(o) будем обозначать множество тех A G С, для которых limsup ||(Л/Гх - С0)Гх)~*|| < +оо, г-*+оо где 1Тх — единичный оператор в Ь™{тХ).

За исключением главы 3, в работе рассматривается случай р = 2.

Если А — ограниченный линейный оператор в банаховом пространстве, то через а (А) будем обозначать его спектр, а через сг^(А) — множество изолированных точек спектра, являющихся собственными числами конечной алгебраической кратности.

Приведём определение обобщённого следа. Пусть А — ограниченный линейный оператор в банаховом пространстве, D С С, <р: D —» С — некоторая функция. Говорят, что определён у>-след оператора А, если абсолютно сходится ряд

Ае<7й(А)ГШ где >г(А) — алгебраическая кратность А. Сумму этого ряда будем обозначать через tr<р(А) и называть (р-следом оператора А или обобщённым следом оператора А относительно пробной функции (р. Заметим, что если оператор А ядерный и функция (р голоморфна в окрестности сг(А), причём у?(0) = 0, то оператор f{A) также ядерный и Ц„(Л) = tr(y?(A)), где tr — след. Если А — матрица, то tr^A) понимается как <р-след оператора умножения на матрицу А.

Предмет работы — асимптотическое поведение Ьт<р(Са,тх) при т —> +оо, когда а — интегрируемая и достаточно гладкая функция на Мп, X — выпуклый многогранник в R", <р — многочлен или голоморфная функция комплексного переменного, определённая в окрестности Sx(a) и такая, что v?(0) = 0.

Хотя в настоящей работе рассматриваются лишь операторы свёртки на континуальной (недискретной) группе М", следует упомянуть также об операторах свёртки на дискретной группе Z". Символы блочных дискретных свёрток — это Стхт-значные функции на п- мерном торе Т", где Т = {z Е С | \z\ = 1}. Наиболее изучен дискретный одномерный скалярный случай (n = 1, т = 1). В этом случае в качестве X берётся отрезок натурального ряда {1, — , iV}, где iV G N. Соответствующий оператор усечённой свёртки с символом a £ Ьоо(Т) отождествляется с тёплицевой матрицей Тдг (а) порядка N:

Если т > 1 (a G L™xm(T)), то получается блочная тёплицева матрица, состоящая из N х N блоков порядка га. Таким образом, в дискретном случае рассматриваемые операторы конечномерны, поэтому обобщённый след ЦДТдг(а)) определяется с участием всех собственных чисел (в том числе и нулевых), а условие уэ(0) = 0 не ставится. Кроме обобщённых следов тёплицевых матриц, часто рассматривают их определители det(7V(a)). Отметим, что если a(t) > 0 для всех t € Т, то

Изучение асимптотики определителей и обобщённых следов тёплицевых матриц (с положительными символами) начал Г. Сегё. В работе [64] он вычислил главный член асимптотики обобщённого следа и логарифма определителя ("первая" предельная теорема Сегё), а в [65] (см. также книгу У. Гренандера и Г. Сегё [10]) — два члена асимптотики логарифма определителей ("сильная" предельная теорема Сегё).

Результаты Г. Сегё обобщались и уточнялись в различных направлениях. В частности, асимптотику определителей в одномерном случае исследовали М. Кац [59], Н. Ахиезер [1], Г. Бэкстер [48], А. Девинатц [55], о log(det(7V(a))) = tTlog(TN(a)).

И. И. Гиршман [58], М. Г. Крейн [21], Б. И. Голинский и И. А. Ибрагимов [6], а также А. Бородин, А. Окунков, Дж. Байк, П. Дейфт, Е. М. Рэйнс (см. обзор А. Бётчера [50]); первые два члена асимптотики определителей в многомерном случае нашли Г. Видом [70], И. Ю. Линник [24], Р. Я. Докторский [13]; изучением главного члена асимптотики обобщённого следа и распределения сингулярных чисел при слабых предположениях относительно а и ip занимались Л. Е. Лерер [23], С. В. Партер [62], Ф. Аврам [47], Е. Е. Тыртышников и Н. Л. Замарашкин [15, 68], П. Тилли [67]; асимптотику определителей в случае кусочно-непрерывных символов исследовали М. Е. Фишер и Р. Е. Гартвиг [57], Э. Бэйзор, А. Бётчер, Б. Зильберманн, Т. Эрхардт и др. (см. обзор Т. Эрхардта [56]); здесь названы не все авторы и направления. Большинство результатов об определителях и обобщённых следах тёплицевых матриц можно найти в книге А. Бётчера и Б. Зильберманна [53, Chapter 5].

Теперь перечислим отдельно публикации, наиболее близкие к настоящей работе, т. е. посвящённые изучению полной асимптотики обобщённого следа тёплицевых матриц и операторов усечённой свёртки.

М. Г. Крейн [21] доказал, что множество всех функций а из Loo(T), у которых коэффициенты Фурье Cj удовлетворяют условию причём пространство максимальных идеалов этой алгебры (которую обычно называют алгеброй Крейна) отождествляется с Т.

Г. Видом [69] доказал, что в одномерном дискретном случае, когда

ЫЫ2<+оо,

З&ъ является банаховой алгеброй относительно нормы символ а принадлежит алгебре Крейна, tr(<p{TN(a)) = CjiV + cQ + о(1) при N -> +оо.

В. А. Васильев и И. Б. Симоненко [4] обнаружили, что если символ а бесконечно гладкий, то т. е. главная часть асимптотики обрывается после постоянного члена, а остаточный член убывает быстрее любой степени l/iV.

Многомерная ситуация менее изучена. Б. Торсен [66] показал, что асимптотика (р-следа п-мерных дискретных свёрток, усечённых расширяющимися прямоугольными параллелепипедами, имеет вид если <р аналитична в окрестности круга с центром 0 радиуса ||a||wj где ||'\\w — винеровская норма. Д. Катеб и А. Сеги [60] доказали аналогичное утверждение для случая, когда <p(z) = 1/z. В работах [66] и [60] требовалось, чтобы символ принадлежал n-мерному аналогу алгебры Крейна и удовлетворял некоторым дополнительным условиям, обеспечивающим возможность факторизации. Например, в [60] рассмотрены только положительные символы.

В настоящей работе решалась следующая задача: выяснить общий вид асимптотики обобщённого следа континуальных многомерных свёрток на расширяющихся многогранниках и найти достаточные условия убывания остаточного члена со степенной скоростью.

В главе 1 при слабых требованиях относительно символа и областей усечения найден главный член асимптотики, т. е. доказан многомерный вариант "первой" предельной теоремы Сегё (теорема 1.4.1): tr(y>(7}v(a)) = CjJV + с0 + o(N~°°) при N + оо, cnNn + . + cQ + o( 1),

Здесь {XT}rex — какое-нибудь расширяющееся семейство множеств (см. определение 1.4.1); например, % = (0,+оо) и Хт = тХ, где X имеет конечную меру и границу меры 0. Предполагается, что a £ L™xm(R") П imXTO(Rn), д^оо) о? функция (р непрерывна на а) и голоморфна внутри а), причём существует предел —^ при z —> 0. Множество определяется в §1.2 и в скалярном случае (m = 1) совпадает с выпуклой оболочкой множества существенных значений функции а.

В главе 2 рассмотрено асимптотическое поведение tT(ip(Ca,Tx)) для случая, когда X — выпуклый многогранник в R", (р — многочлен, причём 9?(0) = 0. Доказано, что при т —> +оо tr(^(Co,Tjr)) = Сптп + . + Схт + С0 + о(тп~^, (0.0.4) где Сп,. ,ci,Cq — некоторые комплексные коэффициенты. Предполагается, что а £ Kr™xm(Rn)) и а(оо) = 0. Здесь Kr™xm(Rn) - некоторая банахова алгебра, вложенная в WmXTn(Rn), которую можно считать многомерным континуальным аналогом алгебры Крейна. Эта алгебра, рассмотренная в §2.2, состоит из функций вида (0.0.1), для которых ж|7 ||ф)||2</ж<+оо.

Отметим, что во второй главе введено и изучено много вспомогательных понятий, используемых также в главах 3 и 4.

В главе 3 рассмотрена связь между операторами свёртки на расширяющихся многогранниках и операторами свёртки на многогранных конусах при вершинах многогранников. Доказано, что если а £ Wmxm(Mn) и X — выпуклый многогранник в Rn, то

Л?» = JSSfa -*>11. linr as(Ca,rx)= U xevert(X) где vert(X) — множество вершин X, сопо(Х — х) — конус с вершиной О, порождённый множеством Х — х. Предел множеств понимается в смысле метрики Хаусдорфа. Через сге(А), где А — непрерывный линейный оператор, е > 0, обозначается е-псевдоспектр оператора А, определяемый формулой

Для любого необратимого оператора В полагаем ||В-1|| = +оо.)

Эти результаты о нормах обратных операторов и псевдоспектрах получены как следствия теоремы 3.6.1 о вложении некоторой банаховой алгебры, порождённой операторами свёртки на расширяющемся многограннике, в произведение банаховых алгебр, порождённых операторами свёртки на многогранных конусах при вершинах многогранника.

Кроме того, в главе 3 определено отношение частичного порядка ^ на множестве многогранных конусов с вершиной 0. Для пар конусов (К\,К2), таких, что К\ ^ Кч, найдена связь между алгебрами, порождёнными операторами свёртки на К\ и на Кч.

В главе 4 для операторов свёртки на расширяющихся выпуклых многогранниках предложен новый способ построения асимптотически обратных операторов в виде сумм слагаемых, соответствующих крайним подмножествам многогранников. Этим способом формула (0.0.4) доказана для голоморфных функций ip в одномерном матричном случае (теорема 4.3.1), когда п = 1, га G N и X = [0,1], а также в двумерном скалярном случае (теорема 4.4.1), когда п = 2, т = 1 и X — выпуклый многоугольник.

Из результата главы 1 следует, что в формуле (0.0.4)

Вопрос о вычислении коэффициентов cnv. ,cQ в настоящей работе не рассматривается, за исключением одномерного скалярного случая е{А) = {Л € С | ||(А/— ^ 1/е}. п = т — 1), когда методом В. А. Васильева вычислен также второй коэффициент cQ. (В. А. Васильев нашёл второй коэффициент для одномерного дискретного скалярного случая в своей магистерской диссертации "Формулы второго порядка в теоремах типа Сегё", 2002 г.)

Несколько замечаний об оформлении работы. Каждая из четырёх глав разделена на несколько параграфов и начинается с краткого обзора её содержимого. В некоторых параграфах выделены подпараграфы (без нумерации). Определения, утверждения и формулы пронумерованы с указанием главы и параграфа. Начала и концы доказательств отмечены значками о и <. Если утверждение приведено без доказательства, то в конце его формулировки поставлен значок > <.

Основные результаты диссертации докладывались на заседании Ростовского математического общества, на международной научной конференции "Горячие точки науки", на семинаре "Тёплицевы матрицы" профессора А. Бётчера (г. Хемниц, Германия), и были отражены в работах [3], [14] и [25]—[33]. В совместных статьях [3] и [14] автору принадлежит исследование континуального случая. В работе [31], выполненной совместно с научным руководителем, научному руководителю принадлежат постановка задачи и большинство утверждений геометрического характера (в том числе техника работы с выпуклыми множествами), а автору — нахождение достаточных условий убывания остаточного члена со степенной скоростью (в том числе рассмотрение классов L\ П L2)7, см. § 2.2, лемму 2.2.2).

Работа над 3-й главой диссертации была финансирована в рамках комплексного проекта Б0024/2148 по программе по п. 1.4 ФЦП «Интеграция науки и высшего образования России».

Автор выражает глубокую благодарность своему руководителю, профессору Игорю Борисовичу Симоненко, за постановку задач, помощь и постоянное внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Максименко, Егор Анатольевич, 2004 год

1. Ахиезер Н. И. Континуальный аналог некоторых теорем о тёпли-цевых матрицах. // Укр. матем. ж. 1964. Т. 16. С. 445-462.

2. Бурбаки Н. Спектральная теория. Перевод с французского В. П. Гурария. Под редакцией Е. А. Горина. — М.: Мир, 1972. — 183 с.

3. Васильев В. А., Максименко Е. А., Симоненко И. Б. Об одной предельной теореме Сегё-Видома. // Доклады АН РФ. 2003. Т. 393. № 3. С. 307-308.

4. Васильев В. А., Симоненко И. Б. Об одной работе Г. Видо-ма. Ростов-на-Дону, 2001. 21 с. - Деп. ВИНИТИ 09.04.01, № 906-В2001.

5. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. — М: ФМ, 1963. — 640 с.

6. Голинский Б. JL, Ибрагимов И. А. О предельной теореме Г. Се-гё. // Изв. АН СССР, сер. мат. 1971. Т. 35. С. 408-427.

7. Гольденштейн JI. С., Гохберг И. Ц. О многомерном уравнении на полупространстве с ядром, зависящем от разности аргументов, и его дискретном аналоге. // Доклады АН СССР. 1960. Т. 131. № 1. С. 9-12.

8. Гохберг И. Ц., Фельдман И. А. Уравнения в свёртках и проекционные методы их решения. — М.: Наука, 1971. — 352 с.

9. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве. — М.: Наука, 1965. 448 с.

10. Гренандер У., Сегё Г. Тёплицевы формы и их приложения. Пер. с англ. Н. С. Ландкофа. М.: ИЛ, 1961. - 308 с.

11. Грудский С. М., Козак А. В. О скорости сходимости норм операторов, обратных к усеченным операторам Теплица. // Интегро-дифференциальные уравнения и их приложения. Изд-во Ростовского гос. ун-та. 1995. С. 45-55.

12. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Часть 1: Общая теория. Пер. с англ. JI. И. Головиной и Б. С. Митягина, под ред. А. Г. Костюченко. — М.: ИЛ, 1962. 895 с.

13. Докторский Р. Я. Обобщение предельной теоремы Г. Сеге на многомерный случай. // Сибирский мат. ж. 1984. Т. 25. Ж0- 5. С. 20-29.

14. Заброда О. Н., Максименко Е. А., Симоненко И. Б. Предельные теоремы типа Сегё для тёплицевых матриц и обобщенных сверток. // Известия ВУЗов, Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2002. Юбил. вып. С. 100-103.

15. Замарашкин Н. Л., Тыртышников Е. Е. Распределение собственных и сингулярных чисел тёплицевых матриц при ослабленных требованиях к производящей функции. // Мат. сборник, 1997. Т. 188. №8. С. 83-92.

16. Келли Дж. Л. Общая топология. Пер. с англ. А. В. Архангельского. — М.: Наука, 1968. 384 с.

17. Козак А. В. Локальный принцип в теории проекционных методов. // Доклады АН СССР. 1973. Т. 212. № 6. С. 1287-1289.

18. Козак А. В. О методе редукции для дискретных многомерных свёрток. // Мат. исследования. Кишинёв. 1973. Т. 8. Вып. 3. С. 157-160.

19. Козак А. В., Симоненко И. Б. Проекционные методы решения многомерных дискретных уравнений в свёртках. // Сибирский мат. ж. 1980. Т. 21. № 2. С. 119-127.

20. Крейн М. Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргументов. // УМН. 1958. Т. 13. Вып. 5. С. 3-120.

21. Крейн М. Г. О некоторых новых банаховых алгебрах и теоремах типа теорем Винера-Леви для рядов и интегралов Фурье. // Мат. исследования. Кишинёв. 1966. Т. 1. С. 82-109.

22. Крупник Н. Я. Точная константа в теореме И. Б. Симоненко об огибающей семейства операторов локального типа. // Функ. анализ и его приложения. 1986. Т. 20. Вып. 2. С. 70-71.

23. Лерер Л. Е. Об асимптотическом распределении спектра. 1. Общие теоремы и распределение спектра усечённых операторов Винера-Хопфа. // Мат. исследования. Кишинёв. 1972. Т. 7. Вып. 4 (26). С. 141-164.

24. Линник И. Ю. Пространственное обобщение одной теоремы о тёп-лицевом операторе. // Мат. заметки. 1973. Т. 14. № 6. С. 895-900.

25. Максименко Е. А. Об одной предельной теореме типа Сегё для многомерных континуальных свёрток. Ростов-на-Дону, 2000. — 28 с. Деп. в ВИНИТИ 20.11.2000, № 2941-В2000.

26. Максименко Е. А. Теорема типа Г. Сегё для одномерных континуальных свёрток с гладким символом. Ростов-на-Дону, 2001. — 26 с. Деп. в ВИНИТИ 30.07.2001, № 1792-В2001.

27. Максименко Е. А. Теорема типа Г. Сегё для одномерных континуальных свёрток с гладким символом. // Модели и дискретные структуры. Сборник научных трудов. Элиста. 2002. С. 60-67.

28. Максименко Е. А. Асимптотика обобщённого следа матричных операторов свёртки, усечённых расширяющимися сегментами.Ростов-на-Дону, 2002. 24 с. - Деп. в ВИНИТИ 20.12.2002, № 2228-В2002.

29. Максименко Е. А. Операторы свёртки на расширяющихся многогранниках: пределы норм обратных операторов и псевдоспектров. Ростов-на-Дону, 2003. 29 с. - Деп. в ВИНИТИ 11.04.2003, JV® 686-В2003.

30. Максименко Е. А. Асимптотика обобщённого следа операторов свёртки на расширяющихся многоугольниках. Ростов-на-Дону, 2003. 43 с. - Деп. в ВИНИТИ 23.07.2003, № 1439-В2003.

31. Максименко Е. А., Симоненко И. Б. Асимптотика кратных континуальных свёрток, усечённых расширяющимися многогранниками. Ростов-на-Дону, 2002. 34 с. - Деп. в ВИНИТИ 14.05.2002, № 846-В2002.

32. Максименко Е. А. Операторы свёртки на расширяющихся многогранниках: пределы норм обратных операторов и псевдоспектров. // Сибирский мат. ж. 2003. Т. 44. Л* 6. С. 1310-1323.

33. Максименко Е. А. Асимптотика обобщённого следа операторов свёртки на расширяющихся многоугольниках. // Труды аспирантов и соискателей Ростовского гос. ун-та. — 2003. Т. 9. С. 35-36.

34. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. — М.: ФМ, 1962.- 599 с.

35. Петровский И. Г. Лекции по теории интегральных уравнений. — М.: Издательство Москов. ун-та, 1984. —136 с.

36. Симоненко И. Б. Краевая задача Римана с измеримыми коэффициентами. // Доклады АН СССР. 1960. Т. 135. № 3. С. 538-541.

37. Симоненко И. Б. Новый общий метод исследования линейных операторных уравнений типа сингулярных интегральных уравнений. // Доклады АН СССР, 1964. Т. 158. Л* 4. С. 790-793.

38. Симоненко И. Б. Новый общий метод исследования линейных операторных уравнений типа сингулярных интегральных уравнений. 1. // Изв. АН СССР, серия матем. 1965. Т. 29. Вып. 3. С. 567-586.

39. Симоненко И. Б. Операторы типа свертки в конусах. // Мат. сборник. 1967. Т. 74 (116). № 2. С. 298-313.

40. Симоненко И. Б., Чинь Нгок Минь. Локальный метод в теории одномерных сингулярных интегральных уравнений с кусочно-непрерывными коэффициентами. Нётеровость. — Ростов-на-Дону: Изд-во Ростов, гос. ун-та, 1986. — 57 с.

41. Симоненко И. Б. Теория операторов локального типа и её приложения. Ростов-на-Дону, 1996. 74 с. - Деп. в ВИНИТИ, 23.01.96 г., ДО 275-В96.

42. Симоненко И. Б. Предельные теоремы типа Сегё для многомерных дискретных операторов свертки с непрерывным символом. // Функ. анализ и его приложения. 2001. Т. 35. № 1. С. 91-93.

43. Симоненко И. Б. Элементы теории выпуклых множеств и асимптотическое поведение целочисленных объёмов. Ростов-на-Дону, 2002. 78 с. - Деп. в ВИНИТИ 13.11.02, № 1964-В2002.

44. Мергелян С. Н. Равномерное приближение функций комплексного переменного. // УМН. 1952. Т. 7. № 2. С. 3-122.

45. Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. Перевод с англ. И. Д. Новикова и Т. В. Соколовой, под редакцией Р. А. Минлоса. — М.: Мир, 1970. 352 с.

46. Шефер X. Топологические векторные пространства. — Перевод с английского И. А. Березанского, под редакцией Е. А. Горина. — М.: Мир, 1971.-359 с.Иностранная литература

47. Avram F. On bilinear forms in Gaussian random variables and Toeplitz matrices. // Probab. Theory Related Fields. 1988. V. 79. P. 37-45.

48. Baxter G. A norm inequality for a "finite-section" Wiener-Hopf equation. // Illinois J. Math. 1963. V. 7. P. 97-103.

49. Bottcher A. Pseudospectra and singular values of large convolution operators. // J. Intergral Equation Appl. 1994. Vol. 6. P. 267-301.

50. Bottcher A. On the determinant formulas by Borodin, Okounkov, Baik, Deift and Rains. // Operator Theory: Adv. and Appl. 2002. Vol. 135. P. 91-99.

51. Bottcher A., Grudsky S. M., Silbermann В. Norms of inverses, spectra, and pseudospectra of large truncated Wiener-Hopf operators and Toeplitz matrices. // New York J. Math. 1997. Vol. 3. P. 1-31.

52. Bottcher A., Wolf H. Spectral approximation for Segal-Bargmann space Toeplitz operators. // Linear Operators, Banach Center Publ. (Polish Acad. Sci., Warsaw). 1997. Vol. 38. P. 25-48.

53. Bottcher A., Silbermann B. Introduction to large truncated Toeplitz matrices. — New York: Springer, 1999. — 266 p.

54. Brown A., Halmos P. Algebraic properties of Toeplitz operators. // J. reine angew. Math. 1963. B. 231. S. 89-102.

55. Devinatz A. The strong Szego limit theorem. // Illinois J. Math. 1967. V. 11. P. 160-175.

56. Ehrhardt Т. A status report on the asymptotic behavior of Toeplitz determinants with Fisher-Hartwig singularities. // Operator Theory: Adv. and Appl. 2001. V. 124. P. 217-241.

57. Fisher M. E., Hartwig R. E. Asymptotic behavior of Toeplitz matrices and determinants. // Arch. Rat. Mech. Anal. 1969. Vol. 32. P. 190-225.

58. Hirschman 1.1., Jr. On a formula of Kac and Achiezer, J. Rat. Math. Anal. 1966. Vol. 16. P. 167-196.

59. Kac M. Toeplitz matrices, translation kernels and a related problem in probabilyty theory. // Duke Math. J., 1954. Vol. 21. P. 501-509.

60. Kateb D., Seghie A. Expansion of the inverse of positive-definite Toeplitz operators over polytopes. // Asymptotic Analysis. 2000. Vol. 22. P. 205-234.

61. Landau H. The notion of approximate eigenvalues applied to an integral equation of laser theory. // Quaterly Appl. Math. 1997, April. P. 165-171.

62. Parter S. V. On the distribution of the singular values of Toeplitz matrices. // Linear Algebra Appl. 1986. Vol. 80. P. 115-130.

63. Reichel L., Trefethen L. N. Eigenvalues and pseudo-eigenvalues of Toeplitz matrices. // Linear Algebra Appl. 1992. Vol. 162. P. 153-185.

64. Szego G. Beitrage zur Theorie der Toeplitzschen Formen, I, II. // Math. Ztschr. 1920. B. 6. S. 167-202; 1921. B. 9. S. 167-190.

65. Szego G. On certain hermitian forms associated with Fourier series of a positive function. // Festschrift Marcel Riesz. Lund. 1952. S. 228-238.

66. Thorsen B. An iV-dimensional analogue of Szego-s limit theorem. // J. Math. Anal. Appl. 1996. Vol. 198. P. 137-165.

67. Tilli P. Some results on complex Toeplitz eigenvalues. // J. Math. Anal. Appl. 1999. Vol. 239. P. 390-401.

68. Tyrtyshnikov E. E., Zamarashkin N. L. Thin structure of eigenvalue clusters for non-Hermitian Toeplitz matrices. // Linear Algebra Appl. 1999. Vol. 292. P. 297-310.

69. Widom H. Asymptotic behavior of block Toeplitz matrices and determinants. II. // Adv. in Math. 1976. Vol. 21. P. 1-29.

70. Widom H. Szego-s limit theorem — the higher-dimensional matrix case. // J. Funct. Analysis. 1980. Vol. 39. P. 182-198.