Об оценках множеств достижимости нелинейных управляемых объектов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Мусса Абубакар

• Мусса Абубакар
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мусса Абубакар

Введение.

Глава 1. Оценки множеств достижимости нелинейных управляемых объектов изнутри.

§1.1. Теоремы о накрытии нелинейным отображением.

§1.2. Методика применения теоремы 1.2 для оценки множеств достижимости изнутри для нелинейных управляемых объектов.

§1.3. Управляемый математический маятник.

§1.4. Управляемое уравнение Ван-дер-Поля.

§1.5.Управляемое уравнение Дуффинга.

§1.6.Математическая модель управляемого твердого тела с закрепленной точкой.

Глава 2. Оценки множеств достижимости изнутри для нелинейных управляемых объектов с малой нелинейностью.

§2.1. Теоремы о накрытии слабо нелинейным отображением.

§2.2. Методика применения теоремы 2.2 для оценки множеств достижимости изнутри для управляемых объектов с малой нелинейностью.

§2.3.Управляемое уравнение Ван-дер-Поля с малой нелинейностью.

§2.4.Нелинейный интегратор Р. Брокитта с малой нелинейностью.

Дополнение.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Об оценках множеств достижимости нелинейных управляемых объектов»

Физические процессы, имеющие место в технике, как правило, управляемы. В математической теории управления (см.[8],[12],[18]) рассматривается управляемый процесс вида х=/(х,и), х(0) = хп, (0.1) где х<еКп, и е1/ с Яр. Управления и{{) <е1/, ге[0, Г], Т > 0 рассматриваются в классе ограниченных по модулю и измеримых по Лебегу функций, а соответствующие решения х(1) = , и( )) начальной задачи (0.1) ищутся в классе абсолютно непрерывных функций. Множество достижимости ,г) управляемого процесса (0.1) из начального состояния л;(0) = в момент времени / = Т > 0 определяется формулой

0{х,,Т) = {}х(ТМ:)), (0-2) где объединение берется по всевозможным измеримым управлениям и{(), I е[0,Г]. Множество нуль-управляемости С(т) (см. [12]) управляемого объекта (0.1) определим как множество начальных точек х0 е Яп, каждую из которых можно привести в х1 = 0 с помощью ограниченных измеримых управлений м(/)е I/, / > 0.

Одной из фундаментальных задач теории управления динамическими системами является проблема определения или оценивания множеств достижимости фазовых состояний системы в различные моменты времени. Множества достижимости играют важную роль при решении задач управления, наблюдения и прогнозирования. Так, точное или приближенное знание множеств достижимости управляемой системы позволяет оценить предельные возможности системы управления, выбрать оптимальное или субоптимальное управление. Для системы, подверженной возмущениям, множества достижимости дают оценку разброса траекторий под влиянием этих возмущений. Методы дифференциальных игр и гарантированной фильтрации по данным наблюдений также тесно связаны с понятием множества достижимости.

Все указанные задачи сводятся к построению или оцениванию множеств, в которых может лежать фазовый вектор системы, и к операциям с этими множествами. Однако практическое построение множеств достижимости, особенно в нелинейных системах большой размерности, представляет собой весьма сложную задачу даже при использовании современных ЭВМ. Поэтому заслуживают внимания эффективные методы аппроксимации и оценки этих множеств.

Множества достижимости управляемых объектов являются предметом исследований многих работ в математической теории управления. Их изучают с разных точек зрения, например, оценивают сверху, аппроксимируют в смысле метрики Хаусдорфа просто устроенными выпуклыми компактами (см., например [24]) и т.д.

Предметом нашего исследования является получение оценок множества достижимости D(x{), Т) нелинейных управляемых объектов изнутри. Задача получения оценки D(x0,7") изнутри состоит в нашей постановке в нахождении достаточных условий, при которых выполняется включение О eint D(xq,T) при х() = 0. Отметим, что множество D(0,T) совпадает с множеством G(T) для управляемого объекта x = -f(x,u). Проблеме вычисления G(T) посвящено много работ. Отметим, например, теорему о достаточных условиях нуль - управляемости из [12].В силу сказанного наши результаты представляют интерес и для теории нуль - управляемости.

Оценки изнутри множеств достижимости получены в диссертации с помощью теорем о накрытии (накрывании) нелинейным отображением. Интересные теоремы о накрытии содержится, в работах [1], [2], [7], [14].

В диссертации в основном используются результаты работ М. С. Никольского [14], [15]. Среди многочисленных работ по нуль-управляемости и дифференциальным включениям, тесно связанных с тематикой диссертации, мы отметим работы Э. Б. Ли, Л. Маркус [12], А. В. Арутюнов, В. Н. Розова [3], Р. Ьетрю, V. УеНоу [29].

Полученные в диссертации результаты представляют интерес для экономики, для теории управляемости и для теории дифференциальных игр. Цель работы.

Применение теорем о накрытии нелинейным отображением в теории управления для оценивания множеств достижимости изнутри для ряда конкретных нелинейных управляемых объектов, интересных для приложений, а также доказательство ряда теорем о накрытии нелинейным отображением с малой нелинейностью. Научная новизна.

Все основные результаты диссертации являются новыми. Главные из них - оценки множеств достижимости изнутри для ряда нелинейных управляемых объектов, интересных для приложений: для управляемого математического маятника, управляемого уравнения Ван-дер-Поля, управляемого уравнения Дуффинга, управляемого твердого тела с закрепленной точкой; теоремы о накрытии слабо нелинейным отображением. Апробация работы.

Результаты работы неоднократно докладывались на Всероссийских научных конференциях по проблемам физики, химии, математики, информатики и методики преподавания Российского университета дружбы народов и на семинарах кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа (руководители д.ф. - м. н., проф. А. В. Арутюнов, к. ф. - м. н., доц. В. Н. Розова), кафедры оптимального управления Московского государственного университета.

Публикации.

По материалам диссертации опубликовано 5 работ, список которых приведен в конце диссертации. Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, двух глав, дополнения и списка литературы. Диссертация изложена на страницах. Библиография содержит 35 наименования. Содержание работы.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Мусса Абубакар

включение

2;7

GSczP.

2.3.46) где

5 =

Обозначим через -наименьшее собственное значение положительно определенной симметричной матрицы в (см. (2.3.46)).Тогда с 08 и (см. (2.3.46))

-SciP. 2ц

Следовательно гп >

2 7]

2.3.47)

Фиксируем такие числа Mi = ~4

Л. \2

1) и е,

8^Г ю

Л. V и что (см.

2.3.15), (2.3.42), (2.3.44), (2.3.47))

8 1 4ц

Используя соображения доказательство теоремы 2.3 и замечания из 2.1 нетрудно показать, что нелинейное отображение (см. (2.3.42)) Я

Fe (vQ) = NvQ) + C[v(.), v(.)] + Щу(-), обеспечивает следующее включение при Mo ~тш<

Г \2 Vo v7/ Г sQ = mini

ЩТ ю

41 {п J 1 и гге[0,£0]

Из формул (2.3.38), (2.3.42), (2.3.43) при //0=min 1 Г

Г \г е0 = mm<¡

Л. \ь

1,

ЩТ ю

П) и s е [0, £0] вытекают включения

-A(jU0)PcD(T,e), 0Gint^A(//o)P

ДОПОЛНЕНИЕ.

В параграфе мы сформулируем некоторые теоремы, на которые мы часто ссылались в главах 1 и 2.

1. Схолия, (см. [12])

Пусть /(х) -непрерывное отображение компактного выпуклого подмножества V с Я", имеющего внутренние точки в пространство Я". Пусть р внутренняя точка множества V, и предположим, что

2.Неравенство Гронуолла-Беллмана. (см. [21])

Пусть функция т{1) непрерывна и удовлетворяет неравенству для каждого л; из дУ.

Тогда

О < т(/) < Щ) +1 g{r)m{r)dr, я < г < Т, где т и измеримая функция И1) ограничена на \?,т\.

Тогда г при 8<г<Т.

Следствие. г

Если

О <т^)<0 + с\т{г)Ф, где С, Б -неотрицательные константы, то

3.Продолжимость решений ори оценках Филиппова.

Рассмотрим

Предположим, что функция /(*,*) непрерывна по совокупности ((,х) и выполняется неравенства где К > О -некоторая константа.

Тогда решение задачи Коши (1) х{1) продолжаемо на [0,оо). х = /и,х),х(0) = х{

1) где

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мусса Абубакар, 2000 год

1. Аваков Е.Р. Теоремы об оценках в окрестности особой точки отображения. //Матем. Зам. 1990. Т.47, №5. С.3-13.

2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Наука. 1979.

3. Арутюнов A.B., Розова В.Н. Регулярные нули квадратичного отображения и локальная управляемость нелинейных систем.// Диф. Уравнения 1999. Т. 35. №6. С. 723-728

4. Благо датских В.И., Филиппов А.Ф. Диф. включение и оптимальное управление. // Труды Матем. ин-та им. В.А. Стеклова АНСССР. 1985. 169с. 194-252.

5. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: ГИФМЛ., 1963.

6. Габасов Р., Кириллова Ф. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971.

7. Дмитрук A.B., Милютин A.A., Осмоловский Н.П. Теорема Люстерника и теория экстремума. //УМН. 1980. 35. вып. 6. С. 11-46.

8. Зубов В.Н. Лекции по теории управления М.: Наука, 1975. 9.Измаилов А.Ф., Третьяков A.A. Факторанализ нелинейных отображений. М.: Наука, 1994.

9. Ю.Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М., 1974. П.Кавски М. Хронологические алгебры: комбинаторика и управление. Итоги науки и техники. Совр. Матем. и ее прилож. Тематич. обзоры. 1999. Т.64. Москва: ВИНИТИ. С. 144-178.

10. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М. 1972.

11. Мшценко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975.

12. Никольский М.С. Некоторые теоремы о накрытии и их применение в теории управления. // Труды Матем. ин-та им. В.А. Стеклова РАН. 1999. Т.224. С.264-274.

13. Никольский М.С. Об оценке множества достижимости нелинейного объекта изнутри. //Диф. уравнения 1999. Т.35, №11. С. 1487-1491.

14. Никольский М.С. Об оценке изнутри множества достижимости нелинейного интегратора Р. Брокитта. (в печати ).

15. П.Никольский С.М. Курс математического анализа. Т.2. М.: Наука, 1983.

16. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М. Физматгиз, 1961.

17. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.

18. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М. Издательство Моск. Университета, 1976.

19. Флеминг У., Ришел Р. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами. М.: Мир, 1978.

20. Хадвигер Г. Лекции об объеме, площади поверхности и изопериметрии. М.: Наука 1966.

21. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

22. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М.: Наука, 1998.

23. Шикин Е.Р. Линейные пространства и отображения. М.: издательство Моск. Университета, 1987.

24. Brammer R.F. Controllability in linear autonomous systems with positive controllers. // SIAM J. Control. 1972. 10. №2. P.339-353.

25. Brockett R.W. Asymptotic stability and feedback stabilization // Differ. Geom. Contr. Theory. Proc. Conf. Technol. Univ. 1982 P. 181-191.

26. La Salle J., Lefschetz S. Stability by Liapunov's direct method with Applications. N.Y. London: Academic Press, 1961.

27. Абубакар M. Об оценке множества достижимости управляемого математического маятника изнутри.// Вестник Российского университета дружбы народов. Серия "Математика". 1999.-Т.6. - №1.-С. 3-13.

28. Абубакар М., Никольский М.С. Некоторые теоремы о накрытии слабо нелинейным отображением. Вестник Российского университета дружбы народов. Серия "Математика". 2000.-Т.7. - №1.-С. 3-9.

29. Никольский М.С., Абубакар М. Некоторые оценки множества достижимости для управляемого уравнения Ван-дер-Поля. Труды института математики и механики УрО РАН, Екатеринбург, 2000 (в печати).