Обратимые разностные схемы для динамических систем с квадратичной правой частью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Гамбарян Марк Микаелович

• Гамбарян Марк Микаелович
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Гамбарян Марк Микаелович

Введение

Глава 1. Конечно разностные модели динамических систем с

квадратичной правой частью

1.1 Динамические системы с квадратичной правой частью

1.2 Конечно-разностные модели

1.3 Сохранение и наследование интегралов движения

1.4 Проблема лишних корней

1.5 Обратимые схемы

1.6 Заключение

Глава 2. Программное обеспечение для проведения

компьютерных экспериментов с обратимыми

разностными схемами

2.1 Пакет fdm в системе компьютерной алгебры Sage

2.2 Инструменты для интегрирования по обратимым схемам

2.3 Компьютерные эксперименты с обратимыми схемами

2.4 Заключение

Глава 3. О траекториях динамических систем, лежащих на

гиперповерхностях линейных систем

3.1 Введение

3.2 Работы Лагутинского

3.3 Определители Лагутинского

3.4 Невырожденные линейные системы

3.5 Невырожденные линейные системы с нулевым определителем Лагутинского

3.6 Интегральные гиперповерхности

3.7 Заключение

Глава 4. О траекториях динамических систем с квадратичной правой частью, вычисленных по обратимым

разностным схемам

Стр.

4.1 Приближенные траектории, найденные по обратимым схемам

4.2 Алгебраические многообразия, на которых лежат точки приближенных решений

4.3 Примеры

4.4 Приближенные траектории в проективных пространствах

4.5 Заключение

Глава 5. Обратимые разностные схемы для эллиптических

осцилляторов

5.1 Введение

5.2 Эллиптические осцилляторы и классические трансцендентные функции

5.3 Обратимые разностные схемы для эллиптических осцилляторов

5.4 Представление разностной схемы в виде квадратуры

5.5 Период приближенного решения

5.6 Описание приближенного решения при помощи периодических функций

5.7 Заключение

Глава 6. Движение волчка в случае Эйлера-Пуансо

6.1 Интегральные кривые

6.2 Представление разностной схемы в виде квадратуры

6.3 Периодичность приближенного решения

6.4 Заключение

Заключение

Список литературы

Список рисунков

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обратимые разностные схемы для динамических систем с квадратичной правой частью»

Введение

Непрерывные динамические системы являются одной из самых распространенных математических моделей, описывающих движение частиц в рамках классической механики и электродинамики, явления химической кинетики. Все эти явления роднит то обстоятельство, что они хорошо описываются математической моделью, основанной на системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Такие модели удается исследовать аналитически только в тех редких случаях, когда они линейны или сводятся к линейным. В нелинейном же случае как правило приходится прибегать к численному интегрированию дифференциальных уравнений.

С позиций математического моделирования, разностные схемы, употребляемые для численного интегрирования, можно рассматривать как дискретные модели тех же явлений. При этом смещается акцент с исследования сходимости разностной схемы к исследованию наследования разностной схемой тех или иных свойств непрерывной динамической системы. Со времен возникновения геометрических интеграторов гамильтоновых систем все четче и четче формулируется задача о конструировании разностных схем, аппроксимирующих заданную динамическую систему и наследующих все известные ее свойства. Задача эта в полной мере еще не решена и нет сомнений в том, что само понятие наследования будет существенно расширено. Решение этой задачи позволит исследовать динамические системы без чрезмерного измельчения шага по времени.

Ключевым вопросом здесь оказывается выбор самого главного свойства, сохранение которого, повлекло бы наследование остальных. При этом, конечно, было бы крайне желательно, чтобы это свойство имело простой "механический" в случаях классической механики смысл. Одна из возможностей, активно разрабатываемая в последние два десятилетия, основана на следующем наблюдении. Уравнения Ньютона задают взаимно однозначное соответствие между начальным и конечным положением динамической системы. Разностные схемы, аппроксимирующие уравнения Ньютона, задают соответствие между начальным и конечным положением системы, которое описывается при помощи алгебраических уравнений. Такое соответствие будет взаимнооднозначным только в том случае, если оно будет бирациональным. По этой причине

конструирование и исследование разностных схем, задающих бирациональное соответствие между слоями, является актуальной задачей. Такие разностные схемы будем вслед за [1] называть обратимыми.

Дискретные динамические системы, в которых шаг описывается бираци-ональным преобразованием, рассматривались заметно ранее А.П. Веселовым в 1989 г. [2], частные примеры — Хеноном и Мозером. При этом А.П. Веселов отметил возможность получения таких дискретных моделей из непрерывных, однако, ограничил рассмотрение полиномиальными преобразованиями Кремоны.

Если расширить класс рассматриваемых преобразований Кремоны до неполиномиальных, то всякую динамическую систему

dt

или, для краткости,

= fi (хл,...,хп), i = 1 ,...,n,

Ж = '(Х). d)

с квадратичной правой частью можно аппроксимировать разностной схемой, задающей бирациональное соответствие между положениями системы в момент времени t и положением при t + At. Если обозначить первое положение просто как у, а второе — как у, то эту схему можно записать в виде

Xi — Xi = FiAt, i = 1 ,...,n, (2)

где Fi — линейные функции у и у. В этом случае система уравнений (2) является линейной как относительно у, так и относительно у и поэтому у можно выразить рационально через у и наоборот.

Описанные выше способ аппроксимации динамической системы (1) с квадратичной правой частью вошел в употребление в середине прошлого века в работах, связанных с солитонами. После доклада, сделанного Уильямом Каганом в 1993 г., эта разностная схема получила одно из своих имен —метод Кагана. Вскоре она была применена к классическим динамическим системам: системе Вольтерры-Лотки [3], к квадратичной гамильтоновой системе [4; 5] и уравнениям движения гироскопа для двух классических случаев — Эйлера-Пуансо [6—8] и Лагранжа-Эйлера [9]. Впервые то обстоятельство, что разностная схема Кагана задает бирациональное соответствие было отмечено Ю.Б. Сурисом [7].

В центре внимания этих исследований было наследование разностной схемой Кагана алгебраических интегралов движения исходной динамической системы. Для гамильтоновых систем в [4] получены явные выражения для симплектической структуры и модифицированного гамильтониана, точно сохраняющихся на схеме Кагана. Для гироскопа модифицированные выражения для квадратичных интегралов были указаны в работах Хироты и Кимуры [6; 9], метод их получения был восстановлен в [8] и представляет собой разностный аналог метода Лагутинского [10].

Среди динамических систем с квадратичной правой частью выделяется один класс — осцилляторы, которые интегрируются в эллиптических функциях. С механической точки зрения этот класс можно описать как класс моделей, описывающих движение маятника и волчка, в т.ч. несимметричного, закрепленного в своем центре тяжести. Этому же классу принадлежат гамильтоновы системы с одной степенью свободы и кубическим гамильтонианом, рассмотренные в недавних работах Ю.Б. Суриса [5]. Этот класс был тщательно исследован методами теории аналитических функций в XIX веке. Траектории этих систем являются эллиптическими кривыми, а общее решение сужается на такой кривой до бирационального соответствия между начальными и конечными данными. Это наблюдение Пенлеве положил в основу своей теории классических трансцендентных функций [11; 12].

Схема Кагана позволяет аппроксимировать уравнения эллиптического осциллятора разностной схемой, задающей преобразование Кремоны всего пространства, а не интегральной кривой. При этом бирациональные преобразования эллиптической кривой, вообще говоря, не обязаны продолжаться до преобразования Кремоны пространства, объемлющего эту кривую. Это возвращает нас к давнему заочному спору, состоявшемуся на рубеже XIX и XX веков между Эрмитом и Клейном на страницах их книг по теории алгебраических функций и истории математики. В полном соответствии с мыслью, высказанной Эрмитом и порицаемой Клейном, теорию эллиптических функций можно рассматривать как частный случай теории преобразований Кремоны, однако для этого необходимо провести дискретизацию дифференциальных уравнений по схеме Кагана, во времена Клейна и Эрмита совершенно неизвестной.

Нет никаких сомнений в том, что свойства схемы Кагана для эллиптических осцилляторов столь же богаты, как и свойства эллиптических функций. Их исследование сулит с одной стороны построение дискретной теории эллипти-

ческих функций как раздела теории преобразований Кремоны (идея Эрмита), а с другой должно пролить свет на связь между свойствами дискретной и непрерывной моделей и уточнить понятие наследования и подражания. Отсюда вытекает цель настоящей работы.

Целью данной работы — исследование алгебраических свойств обратимых разностных схем, аппроксимирующих эллиптические осцилляторы, методами компьютерной алгебры.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

— Реализовать метод составления обратимой разностной схемы, аппроксимирующей динамическую систему с квадратичной правой частью, в виде процедуры в системе компьютерной алгебры.

— Реализовать метод вычисления приближенных решений по обратимой схеме в виде процедуры в системе компьютерной алгебры.

— Разработать алгебраические методы исследования траекторий в фазовом пространстве, полученным по обратимым схемам, реализовать их в виде комплекса программ для системы компьютерной алгебры.

— Исследовать различия непрерывной модели эллиптического осциллятора и её дискретного аналога, записанного в виде обратимой разностной схемы.

— Интегрировать созданные инструменты в пакет fdm for sage (https: //github.com/malykhmd/fdm).

Научная новизна:

1. Метод конструирования обратимой разностной схемы описан Каганом, его реализация в виде компьютерной программы в системе компьютерной алгебры сделана впервые.

2. На основе метода Лагутинского впервые разработан и реализован в системе компьютерной алгебры Sage метод исследования алгебраических траекторий приближенных решений.

3. Выполнено оригинальное исследование обратимых схем для осциллятора Якоби и задачи о вращении волчка в случае Эйлера-Пуансо.

Теоретическая и практическая значимость Разрабатываемые численно-аналитические методы найдут применение в теоретических исследованиях динамических систем, богатых законами сохранения и особенно при исследовании разного рода осцилляторов. Результаты диссертации могут быть

использованы при создании учебных курсов по теме «Дифференциальные уравнения» и «Компьютерная алгебра».

Методология и методы исследования. Символьные и численные вычисления выполнялись в системе компьютерной алгебры Sage, созданные в рамках диссертационного исследования инструменты были интегрированы в пакет fdm for sage. Для исследования алгебраических свойств обратимых разностных схем использовалась теория алгебраических интегралов, разработанная Лагутингским, теория преобразований Кремоны и классическая теория эллиптических интегралов.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Разработаны и реализованы в системе компьютерной алгебры Sage инструменты для исследования динамических систем с квадратичной правой частью по обратимым схемам.

2. Разработаны и реализованы в системе компьютерной алгебры Sage инструменты для исследования алгебраических свойств обратимых разностных схем.

3. Для эллиптических осцилляторов, в т.ч. волчка, закрепленного в своем центре тяжести, доказано, что дискретная теория повторяет непрерывную теорию полностью:

а) точки приближенного решения ложатся на некоторую эллиптическую кривую, которая при At ^ 0 переходит в интегральную кривую,

б) разностная схема допускает представление при помощи квадратуры,

в) приближенное решение можно представить при помощи эллиптической функции дискретного аргумента.

Достоверность Обоснованность результатов диссертации опирается на теоретические исследования, все оригинальные теоремы, используемые в тексте диссертации, и их доказательства были опубликованы в рецензируемых журналах. Везде, где это возможно, проводилось сравнения полученного численного решения с аналитическими решениями. Результаты находятся в соответствии с результатами, которые можно получить аналитически.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международных конференциях PCA'2023 и PCA'2024, ПОМИ, Санкт-Петербург, и ITTMM'24, РУДН, Москва, а также на научных семинарах: по

вычислительной и прикладной математике ЛИТ ОИЯИ (Дубна, 2022 г.), научном семинаре каф. Прикладной математики МИФИ под рук. проф. Н.А. Кудряшова (Москва, декабрь 2023 г.), секции по математическому моделированию Объединённого научного семинар Института компьютерных наук и телекоммуникаций под рук. проф. Л.А. Севастьянова (Москва, сентябрь 2023 г.) и семинара по нелинейной теории дифференциальных уравнений Математического института РУДН под рук. проф. А.Е. Шишкова (Москва, апрель 2024 г.).

Личный вклад. Автор диссертации, работая в коллективе соавторов, доказал ряд теорем о свойствах обратимых разностных схем, самостоятельно разработал и реализовал ряд основных функций пакета fdm for sage, провел серию экспериментов в Sage.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 5 статьях [13—17], изданных в журналах, индексируемых в международных базах цитирования Scopus/WoS, а также 3 тезисах докладов на международных конференциях [18—20].

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 6 глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 111 страниц, включая 15 рисунков. Список литературы содержит 103 наименования.

Глава 1. Конечно разностные модели динамических систем с

квадратичной правой частью

1.1 Динамические системы с квадратичной правой частью

Динамические системы с квадратичной правой частью задаются автономной системой обыкновенных дифференциальных уравнений

^ = /г (хл,...,хп), г = !,...,п, правые части которых являются квадратичными функциями X1, . . . , .

В дальнейшем набор переменных х\,... ,хп будем для краткости обозначать как у, а саму систему записывать в векторном виде

! = «у- (11)

Эти уравнения задают собой весьма широкой класс моделей механики и физики, описывающий значительно число известных нелинейных эффектов.

Прежде всего к этому классу принадлежат нелинейные осцилляторы, интегрируемые в эллиптических функциях. Классический, и в то же время реальный пример такого нелинейного осциллятора предлагает динамическая система, описывающая движение волчка, закрепленного в своем центре тяжести. Хотя интегрирование этой модели связывают с именами Эйлера и Пуансо [21], движение волчка до сих пор вызывает удивление и интерес у наблюдающих его в живую. Так, напр., в сети активно обсуждались кувырки барашка в невесомости, которые наблюдал Джанибеков и которые, тем не менее, прекрасно описываются этой моделью [22]. Обозначим, вслед за [21], координаты вектора угловой скорости относительно главных осей инерции как р,д,г, а моменты инерции относительно этих осей —как А,В,С, тогда изменение угловой скорости описывается динамической системой

р = оъцт, = Ьрг, г = сщ, (1.2)

коэффициенты которых выражаются моменты инерции

С-В А-С В-А а = -—,Ь = = .

Эта система имеет два квадратичных интеграла

Ар2 + Вд2 + Сг2 = Сг и А2р2 + В 2д2 + С2г2 = С2, (1.3)

которые были найдены еще в XVIII веке [21]. В XIX веке их использовали для сведения задачи к квадратуре и интегрировании в эллиптических функциях

[23].

Линейным преобразованием систему (1.2) можно привести к виду

р = дг, д = —рг, г = —к2рд, (1.4)

где к — единственный параметр (модуль). Решение этой системы, принимающее при I = 0 значения

р = 0, д = 1, г = 1,

называют эллиптическими функциями Якоби [23] и пишут

р = 8п^,к), д = ш(1,к), г = ¿п^,к).

Эти функции имеют два периода, один из которых вещественный, и могут быть представлены в виде отношения всюду сходящихся рядов по степеням В дальнейшем мы будем называть динамическую систему (1.4) осциллятором Якоби и опускать зависимость этих функций от к. Как и система (1.2), эта система обладает двумя квадратичными интегралами

р2 + д2 = Сг, к2р2 + г2 = С2.

Поэтому проекция траектории на плоскость рд представляет собой окружность, а колебания р и д происходят с амплитудой, равной л/С[. При к = 0 система (1.4) вырождается в гармонический осциллятор.

Помимо эллиптических функций Якбои часто употребляют эллиптическую функцию Вейерштрасса р, которую можно определить как решение уравнения

с\

х = 12х2 + дг,

где дг — числовой параметр, тоже принадлежащего к рассматриваемому типу. Систему

2

х = у, у = 12х + дг

(1.5)

мы будем называть осциллятором Вейерштрасса. Ее решения имеют вещественный период и периодически уходя на бесконечность.

Движение твердого тела, закрепленного в одной точке, тоже описывается системой с квадратичной правой частью. Если обозначить координаты центра тяжести в подвижной системе координат как (х0, у0, г0), а направляющие косинусы оси, направленной против силы тяжести, как (у,у',у"), то эта система может быть записана следующим образом:

А^ + (С - В)дг = Мд(у,у" - хоу')

В| + (А - С)гр = Мд(гоу - хоУ) (1т

С- + (В - А)рд = Мд(хоу' - уоу) ' "

— = Гу - ду ¿у' "

— = ру - Гу

(1у"

— = ду - ру

Эта система была предметом многочисленных аналитических изысканий. Известно, что эта система имеет три квадратичных интеграла, и в общем случае всякий другой алгебраический интеграл этой системы выражается через них. По существу, это — аналог теоремы Брунса о задаче многих тел [24—26], доказанный на рубеже XIX и XX века [27—29]. Эта система интегрируется в известных функциях в трех частных случаях — случай Лагрнажа-Пуансо, случай Эйлера-Пуансо и случай Ковалевской [21]. Эти частные случаи можно охарактеризовать тем, что в каждом из них 1.) решение оказывается ме-роморфной функцией (свойство Пенлеве) и 2.) имеется дополнительный алгебраический интеграл.

Благодаря этим исследованиям, мы знаем относительно системы (1.1) с квадратичной правой частью, что в общем случае 1.) ее решение не является мероморфной или периодической функцией , 2.) алгебраических интегралов не достаточно для интегрирования системы дифференциальных уравнений.

Случай Ковалевской стал исторически первым и по большому счету единственным примером, когда задача, описывающая движение реальной механической системы, интегрируется в абелевых функциях. Однако следует заметить, что среди систем с квадратичной правой частью это не редкость.

Простейшая система такого рода была предложена Ванэкке [30]. Это — одномерная задача двух тел с потенциалом

V = Й + 4? + aq2, + fiql

Уравнения движения имеют вид

¡i = -2qi(u + a), (¡2, = -2qi(u + в),

где

и = ql + ql.

Поскольку

и = 2qiqi + 2 ,

мы можем записать эту систему как систему 5 уравнений с квадратичной правой частью относительно qi,q2,pi,p2,u. В [30] описано решение этой системы в абелевых функциях. Хотя это решение и выглядит проще чем аналогичное решение в случае Ковалевской, описанное в [21], система Ванэкке пока не нашла приложений при моделировании реальных явлений. Система Ванэкке является в свою очередь частным случаем системы Гарнье [31].

Помимо осцилляторов, интегрируемых в эллиптических функциях, среди динамических систем имеются и другие осцилляторы. Самым известным из них следует назвать систему Хищник-Жертва, известную также как система Вольтерры-Лотки [32]. Система уравнений

х = х(\ — у), у = —ау(1 — х)

описывает, как известно, динамику взаимодействия хищников и жертв и является базовой в популяционной динамике и ряде смежных дисциплин. Решения этой задачи являются периодическими функциями, которые не являются ни элементарными, ни эллиптическими. Сама система имеет элементарный интеграл

ах + у — \n(xay) = const,

который не является алгебраическим, как это было в случае эллиптических осцилляторов.

Таким образом, динамические системы с квадратичной правой частью — весьма обширный класс математических моделей, описывающих разного рода

нелинейные колебания и более сложные непериодические движения, которые описывает, напр., несимметричный гироскоп. С математической точки зрения этот класс очень широк, поскольку в нем помещаются и теория эллиптических, и теория абелевых функций.

Широта рассматриваемого класса объясняется тем обстоятельством, что всякая система с полиномиальной правой частью может быть сведена к системе с квадратичной правой частью, но большей размерности. Суть в том, что для системы

I =

с полиномиальной правой частью 0 всегда можно указать такую замену

у = т,

что

% = 'О

имеет квадратичную правую часть. Эта процедура, впервые описанная Г. Г. Ап-пельротом в 1902 г. [33; 34], получила названия квадратизации [35—37]. В нашем распоряжении сейчас имеются эффективные алгоритмы квадратизации и их реализации, том числе QBee А. Бычкова [38].

1.2 Конечно-разностные модели

Аналитические методы не позволили развить для динамических систем с квадратичной правой частью сколько-нибудь общую теорию, выделив лишь весьма небольшое число точно решаемых частных случаев. Поэтому в настоящее время основным численным методом интегрирования является метод конечных разностей. Этот метод предлагает заменить систему дифференциальных уравнений (1.1) на систему алгебраических уравнений

дг(у, у, ДЪ) = 0, ъ = 1,... ,п, (1.6)

связывающих значение решения в некоторый момент времени со значением решения в момент времени Ъ + ДЪ. При этом первое значение обозначают просто

как у, второе — как X, а конечную величину называют шагом по времени. Саму систему алгебраических уравнений (1.6) будем называть разностной схемой для системы дифференциальных уравнений (1.1). Под приближенным решением задачи Коши

= Ш х(0)= *>•

найденным по схеме (1.6) с положительным шагом € К, понимают последовательность точек у0, уг, • • • € найденных рекурретно: ут+г — решение

дг(Хш, X, Аг) = 0, г = 1,...,п,

относительно у, ближайшее к у = уто. В центре внимания исследователей в прошлом веке была близость уто и у{тАЪ).

Формальная постановка задачи вычисления решения задачи Коши с заданной точностью была поставлена в [39; 40], в ней используются машина Тьюринга и оракул для записи вещественных входных данных. В этой работе было показано, что отсутствие полиномиальных верхних оценок сложности решения задачи Коши для проблемы трех тел.

Оставив в стороне этот, безусловно, важный математический вопрос, заметим, что разностная схема (1.6) представляет дискретную математическую модель того же явления, что и исходная система дифференциальных уравнений (1.1). Более того, в механике, как в старые времена, так и в новые, величину а часто трактовали как конечное приращение и подразумевали, что уравнения Ньютона в действительности разностные [41]. С этой точки зрения представляется разумным, что разностная модель должна быть не хуже дифференциальной. Однако простейший пример показывает, что при дискретизации теряются важнейшие свойства непрерывной задачи. Рассмотрим линейный осциллятор

(1х (1у .

т = —У, ~т = х (1.7)

(И а v 7

и простейшую разностную схему для него — явную схему Эйлера

х — х = —у АЬ, у —у = хАЪ. (1.8)

На исходной дифференциальной системе сохраняется энергия х2 + у2, поэтому на плоскости ху происходит движение точки по окружности с постоянной

скоростью. На решениях, найденных по схеме Эйлера, энергия не сохраняется и точка (х,у) по спирали падает в центр системы координат ху вместо того, чтобы крутится по кругу. Это противоречит нашим представлениям об осцил-ляциях, которое снимается лишь в пределе при ДЬ ^ 0. Фактически, описывая свойства линейного осциллятора, мы все время поправляем наши суждения, оглядываясь на дифференциальный случай, который, следовательно, нельзя изъять из рассмотрения.

В общем случае ситуация остается той же: замена дифференциальной модели на разностную схему приводит к нарушению законов сохранения и вносит новые явления (диссипацию или даже антидиссипацию), которые снимаются в пределе ДЬ ^ 0. Это и заставляет все время сравнивать приближенные решения с точным.

Однако, в конце XX века при численном исследовании уравнений математической физики возникла концепция наследования разностными схемами законов сохранения и других алгебраических свойств непрерывной задачи [42—46]. В 1990-х эта концепция была перенесена на динамические системы, в частности тогда возникло представление о геометрических интеграторах и симплектических схемах Рунге-Кутты [47]. На некоторых частных примерах было показано существование дискретных моделей, свойства которых во многом схожи со свойствами непрерывных моделей для тех же явлений.

1.3 Сохранение и наследование интегралов движения

Наиболее изученным является вопрос о наследовании разностными схемами алгебраических интегралов движения. По аналогии с непрерывным случаем примем следующее.

Определение 1.1. Будем говорить, что разностная схема (1.6) сохраняет выражение Н(у,ДЬ), если из уравнений (1.6) следует, что

к(у,(И) = к(уДЪ).

Если выражение Н не зависит от ДЬ, то оно является интегралом движения непрерывной динамической системы (1.1). В этом случае мы будем говорить,

что интеграл движения Н сохраняется на разностной схеме точно. Если же выражение Н зависит от ДЬ, то интегралом движения будет предел этого выражения при ДЬ ^ 0. В этом случае мы будем говорить, что этот интеграл наследуется разностной схемой.

В действительности, причины, по которым перестают сохраняться интегралы движения, не связаны с предельным переходом ДЬ ^ 0. Заменяя

(1х

и = -

на

х — х = - уДЬ

мы нарушаем -симметрию, присущую самому явлению, из-за чего возникает «диссипация».

Определение 1.2. Будем говорить, что разностная схема (1.6) обладает ¿-симметрией, если система уравнений (1.6) эквивалентна системе

дг(у, у, -Д) = 0, г = !,...,п.

Схемы, обладающие -симметрией, хорошо известны, среди них нельзя не выделить схему средней точки

у - у = '(~г)Аг, (19)

и схему трапеций

у - г=пцтд. (1Ло)

2

Сохранение интегралов на схеме средней точке было исследовано в 1980-х годах Купером [47; 48].

Теорема 1.1 (Соорег). Схема средней точки сохраняет линейные и квадратичные интегралы динамической системы (1.1) точно.

Из этой теоремы следует, что, например, точки приближенного решения линейного осциллятора (1.7), найденные по схеме средней точки

Д Д

ж -ж = -(у + у) —, у-у = (х + (1.11)

ложатся на окружности

ж2 + у2 = С.

(1.12)

Более того, в данном случае переход со слоя на слой можно описать в матричном виде

(3=■4 С) ■■

где матрица перехода

■ =

(

4-At2 -4At

At2+4 At2 +4 4At 4—At2 At2+4 At2+4

)

является матрицей поворота

V SI

cosAa — sinAa sinAa cosAa

)

на угол А а. Таким образом, схема средней точки позволяет дискретизовать модель линейного осциллятора (1.7) так, что за равные промежутки времени происходит повороты на равные углы. Качественно дискретная и непрерывная модели ничем не отличаются, количественно за интервал времени АЪ непрерывная модель поворачивается на угол АЪ, а дискретная — на угол

А

A a = arcsin

= At + О (At3),

1 + At 2/4

что было отмечено в [49].

Если, как в случае линейного осциллятора, f — линейная функция у, то

f(X) + f (у)

f

(Ё?)

2

поэтому схема трапеций (1.10) совпадет со схемой средней точки (1.9). В нелинейном же случае эти схемы не совпадают. В силу теоремы Купера квадратичные интегралы сохраняются на схеме средней точке. Вопрос о том, в каком смысле интегралы наследуются схемой трапеций, был исследован в [50].

Вслед за этой работой, заметим, что эти две разностные схемы в некотором смысле сопряжены друг к другу. В самом деле, пусть у0, у!, у2,... — приближенное решение уравнения (1.1), рассчитанное по схеме средней точки (1.9).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гамбарян Марк Микаелович, 2025 год

Список литературы

1. Баддур, А. О периодических приближенных решениях динамических систем с квадратичной правой частью [Текст] / А. Баддур, М. Д. Малых, Л. А. Севастьянов // Зап. научн. семин. ПОМИ. — 2021. — Т. 507. — С. 157—172.

2. Веселое, А. П. Группа Кремоны и динамические системы [Текст] / А. П. Веселов // Матем. заметки. — 1989. — Т. 45, № 3. — С. 118—120.

3. Sanz-Serna, J. M. An unconventional symplectic integrator of W. Kahan [Текст] / J. M. Sanz-Serna // Applied Numerical Mathematics. — 1994. — Vol. 16. — P. 245—250.

4. Geometric properties of Kahan's method [Текст] / E. Celledoni [et al.] //J. Phys. A: Math. Theor. — 2013. — Vol. 46. — P. 025201.

5. Petrera, M. Geometry of the Kahan discretizations of planar quadratic Hamil-tonian systems [Текст] / M. Petrera, J. Smirin, Y. B. Suris // Proc. R. Soc. A. — 2019. — Vol. 475. — P. 20180761.

6. Hirota, R. Discretization of the Euler Top [Текст] / R. Hirota, K. Kimura // Journal of the Physical Society of Japan. — 2000. — Vol. 69, no. 3. — P. 627—630.

7. Petrera, M. On the Hamiltonian structure of Hirota-Kimura discretization of the Euler top [Текст] / M. Petrera, Y. B. Suris // Math. Nachr. — 2010. — Vol. 283, no. 11. — P. 1654—1663.

8. On the Construction of Elliptic Solutions of Integrable Birational Maps [Текст] / M. Petrera [et al.] // Experimental Mathematics. — 2017. — Vol. 26, no. 3. — P. 324—341.

9. Hirota, R. Discretization of the Lagrange Top [Текст] / R. Hirota, K. Kimura // Journal of the Physical Society of Japan. — 2000. — Vol. 69, no. 10. — P. 3193—3199.

10. Добровольский, В. А. Михаил Николаевич Лагутинский (1871 - 1915) [Текст] / В. А. Добровольский, Ж.-М. Стрельцын, Н. В. Локоть // Исто-рико-математические исследования. — 2001. — Т. 6. — С. 111—127. — in Russian.

11. Umemura, H. Birational automorphism groups and differential equations [Текст] / H. Umemura // Nagoya Math. J. — 1990. — Т. 119. — С. 1—80.

12. Малых, М. Д. О трансцендентных функциях, возникающих при интегрировании дифференциальных уравнений в конечном виде [Текст] / М. Д. Малых // Зап. научн. семин. ПОМИ. — 2015. — Т. 432. — С. 196—223.

13. О траекториях динамических систем с квадратичной правой частью, вычисленных по обратимым разностным схемам [Текст] / Э. А. Айрян [и др.] // Зап. научн. семин. ПОМИ. — 2022. — Т. 517. — С. 17—35.

14. Обратимые разностные схемы для эллиптических осцилляторов [Текст] / Э. А. Айрян [и др.] // Зап. научн. семин. ПОМИ. — 2023. — Т. 528. — С. 54—78.

15. О траекториях динамических систем, лежащих на гиперповерхностях линейных систем [Текст] / Э. А. Айрян [и др.] // Письма в журнал Физика элементарных частиц и атомного ядра. — 2023. — Т. 20, № 2. — С. 200—208.

16. О реализации численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений в системах компьютерной алгебры [Текст] / А. Баддур [и др.] // Программирование. — 2023. — № 5. — С. 47—58.

17. Finite Difference Models of Dynamical Systems with Quadratic Right-Hand Side [Текст] / M. Malykh [и др.] // Mathematics. — 2024. — Т. 12, № 167.

18. Гамбарян, М. М. Компьютерные эксперименты с обратимыми разностными схемами [Текст] / М. М. Гамбарян // Information and Telecommunication Technologies and Mathematical Modeling of HighTech Systems 2024 (ITTMM 2024). Book of Abstracts. — RUDN, 2024. — С. 57—58.

19. Reversible difference schemes for classical nonlinear oscillators [Текст] / M. Gambaryan [и др.] // International Conference Polynomial Computer Algebra '2023 / под ред. N. N. Vassiliev. — VVM Publishing, 2023. — С. 75—77.

20. Gambaryan, M. On computer experiments with reversible difference schemes in Sage [Текст] / M. Gambaryan, M. Malykh, L. Lapshenkova // International Conference Polynomial Computer Algebra '2024 / под ред. N. N. Vassiliev. — VVM Publishing, 2024. — С. 95—99.

21. Голубев, В. В. Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки [Текст] / В. В. Голубев. — Москва : ГТТИ, 1953.

22. Петров, А. Г. Эффект Джанибекова и законы механики [Текст] /

A. Г. Петров, С. Е. Володин // Докл. акад. наук. — 2013. — Т. 451, № 4. — С. 399—403.

23. Сикорский, Ю. С. Элементы теории эллиптических функций с приложениями к механике [Текст] / Ю. С. Сикорский. — М.-Л. : ОНТИ, 1936.

24. Bruns, H. Uber die Integrale der Vielkorper-Problems [Текст] / H. Bruns // Acta math. — 1887. — Vol. 11. — P. 25—96.

25. Whittaker, E. T. A Treatise on the Analytical Dynamics of Partióles and Rigid Bodies [Текст] / E. T. Whittaker. — Cambridge : Cambridge University Press, 1988.

26. Painlevé, P. Mémore sur les intégrales du problème des n corps [Текст] / P. Painlevé // Œuvres de Paul Painlevé. Vol. 2. — 1975. — P. 666—699.

27. Полубаринова-Кочина, П. Я. Об однозначных решениях и алгебраических интегралах задачи о вращении тяжелого твердого тела около неподвижной точки [Текст] / П. Я. Полубаринова-Кочина // Движение твердого тела вокруг неподвижной точки. — Москва-Ленинград : АН СССР, 1940. — С. 157—186.

28. Козлов, В. В. Неинтегрируемость общей задачи о вращении динамически симметричного твердого тела с неподвижной точкой. I [Текст] / В. В. Козлов, Д. В. Трещев // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех. — 1985. — № 6. — С. 73—81.

29. Козлов, В. В. Неинтегрируемость общей задачи о вращении динамически симметричного твердого тела с неподвижной точкой. II [Текст] /

B. В. Козлов, Д. В. Трещев // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех. — 1986. — № 1. — С. 39—44.

30. Vanhaecke, P. A special case of the Garnier system, (1, 4)-polarized abelian surfaces and their moduli [Текст] / P. Vanhaecke // Compositio Mathematica. — 1994. — Т. 92, № 2. — С. 157—203.

31. Garnier, R. Sur une classe de systemes differentiels abeliens deduits de theorie des equations lineaires [Текст] / R. Garnier // Rend. Circ. Math. Palermo. — 1919. — Т. 43, № 4. — С. 155—191.

32. Трубецков, Д. И. Феномен математической модели Лотки-Вольтерры и сходных с ней [Текст] / Д. И. Трубецков // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. — 2011. — Т. 19, № 2. — С. 69—88.

33. Аппельрот, Г. Г. Основная форма системы алгебраических дифференциальных уравнений [Текст] / Г. Г. Аппельрот // Матем. сб. — 1902. — Т. 23, № 1. — С. 12—23.

34. Лагутинский, М. Н. К вопросу о простейшей форм системы обыкновенных дифференциальных уравнений [Текст] / М. Н. Лагутинский // Мат. сборник. — 1911. — Т. 27, № 4. — С. 420—423.

35. Hemery, M. On the complexity of quadratization for polynomial differential equations [Текст] / M. Hemery, F. Fages, S. Soliman // Computational Methods in Systems Biology / под ред. A. Abate, T. Petrov, V. Wolf. — Cham : Springer International Publishing, 2020. — С. 120—140.

36. Bychkov, A. Optimal monomial quadratization for ODE systems [Текст] / A. Bychkov, G. Pogudin. — 2021. — arXiv: ArXiv:2103.08013 [cs-SC].

37. Cai, Y. Dissipative quadratizations of polynomial ODE systems [Текст] / Y. Cai, G. Pogudin // Tools and Algorithms for the Construction and Analysis of Systems / под ред. B. Finkbeiner, L. Kovacs. — Cham : Springer Nature Switzerland, 2024. — С. 323—342.

38. Bychkov, A. Qbee [Текст] / A. Bychkov. — 2021. — https://github.com/ AndreyBychkov/QBee.

39. Васильев, Н. Н. Вычислительная сложность задачи Коши для задачи трёх тел [Текст] / Н. Н. Васильев, Д. А. Павлов // Зап. научн. сем. ПОМИ. — 2016. — Т. 448. — С. 80—95.

40. Vasiliev, N. N. Computational complexity of the initial value problem for the three-body problem [Текст] / N. N. Vasiliev, D. A. Pavlov //J. Math. Sci. (N. Y.) — 2017. — Т. 224, № 2. — С. 221—230.

41. Feynman, R. P. Quantum Mechanics and Path Integrals [Текст] / R. P. Feynman, A. R. Hibbs. — Courier Corporation, 2010.

42. Shashkov, M. Conservative Finite Difference Methods [Текст] / M. Shashkov. — Boca Raton : CRC Press, 1996.

43. Compatible Spatial Discretizations [Текст] / D. Arnold [и др.]. — SpringerVerlag, Berlin, 2006.

44. Castillo, J. E. Mimetic discretization methods [Текст] / J. E. Castillo, G. F. Miranda. — Chapman, Hall/CRC, 2013.

45. Veiga, L. B. da. The mimetic finite difference method for elliptic problems [Текст]. Т. 11 / L. B. da Veiga, K. Lipnikov, G. Manzini. — Springer, 2014.

46. Blinkov, Y. A. Investigation of Difference Schemes for Two-Dimensional Navier-Stokes Equations by Using Computer Algebra Algorithms [Текст] / Y. A. Blinkov, A. Y. Rebrina // Programming and Computer Software. — 2023. — С. 39—42.

47. Hairer, E. Geometric Numerical Integration. Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations [Текст] / E. Hairer, G. Wanner, C. Lubich. — Berlin Heidelberg New York : Springer, 2000.

48. Cooper, G. J. Stability of Runge-Kutta methods for trajectory problems [Текст] / G. J. Cooper // IMA J. Numer. Anal. — 1987. — Т. 7. — С. 1—13.

49. On the properties of numerical solutions of dynamical systems obtained using the midpoint method [Текст] / V. P. Gerdt [и др.] // Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science. — 2019. — Т. 27, № 3. — С. 242—262.

50. Malykh, M. D. On conjugate difference schemes: the midpoint scheme and the trapezoid scheme [Текст] / M. D. Malykh, Y. Ying // Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science. — 2021. — Т. 29, № 1. — С. 64—73.

51. Yang, X. Efficient linear schemes with unconditional energy stability for the phase field elastic bending energy model [Текст] / X. Yang, L. Ju // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 2016. — Нояб. — Т. 315.

52. Yang, X. Linear and Unconditionally Energy Stable Schemes for the binary Fluid-Surfactant Phase Field Model [Текст] / X. Yang, L. Ju // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 2017. — Янв. — Т. 318.

53. Zhang, H. Novel high-order energy-preserving diagonally implicit Runge-Kutta schemes for nonlinear Hamiltonian ODEs [Текст] / H. Zhang, X. Qian, S. Song // Appl. Math. Lett. — 2020. — Т. 102. — С. 106091.

54. On the Quadratization of the Integrals for the Many-Body Problem [Текст] / Y. Ying [и др.] // Mathematics. — 2021. — Т. 9, № 24. — URL: https: //www.mdpi.com/2227-7390/9/24/3208.

55. Baddour, A. On Difference Schemes for the Many-Body Problem Preserving All Algebraic Integrals [Текст] / A. Baddour, M. Malykh // Phys. Part. Nuclei Lett. — 2022. — Т. 19. — С. 77—80.

56. Seven, F. Lezioni di geometria algebrica [Текст] / F. Severi. — Padova : Angelo Graghi, 1908.

57. Мозер, Ю. Лекции о гамильтоновых системах [Текст] / Ю. Мозер. — Москва : Мир, 1973.

58. Hénon, M. A two-dimensional mapping with a strange attractor [Текст] / M. Henon // Communications in Mathematical Physics. — 1976. — Т. 50. — С. 69—77.

59. Tabor, M. Chaos and Integrability in Nonlinear Dynamics: An Introduction [Текст] / M. Tabor. — Wiley, 1989.

60. Клейн, Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии [Текст]. Т. 1 / Ф. Клейн. — М.-Л. : ОНТИ, 1937.

61. Painlevé, P. Lecons sur la theorie analytique des equations différentielles [Текст] / P. Painleve // Œuvres de Paul Painleve. Т. 1. — 1971.

62. Айрян, Э. А. О разностных схемах, аппроксимирующих дифференциальные уравнения первого порядка и задающих проективные соответствия между слоями [Текст] / Э. А. Айрян, М. Д. Малых, Л. А. Севастьянов // Зап. научн. семин. ПОМИ. — 2018. — Т. 468. — С. 202—220.

63. Sage Mathematics Software (Version 9.6) [Текст] / W. Stein [и др.] ; The Sage Development Team. — 2022. — http://www.sagemath.org.

64. Голубков, А. Ю. Компьютерная алгебра в системе Sage : учебное пособие [Текст] / А. Ю. Голубков, А. И. Зобнин, О. В. Соколова. — Москва : Изд-во МГТУ им. Баумана, 2013.

65. Аладьев, В. З. Основы программирования в Maple [Текст] / В. З. Ала-дьев. — Таллинн, 2006.

66. Тарнавский, Т. Maxima — максимум свободы символьных вычислений [Текст] / Т. Тарнавский // Linux Format. — 2006. — Т. 87, № 7. — URL: https://maxima.sourceforge.io/ru/maxima-tarnavsky-1.html.

67. Баддур, А. Исследование консервативных разностных схем в моделях движения многих тел [Текст] : дис. ... канд. / Баддур Али. — Российский университет дружбы народов, 2023.

68. Stone, P. Maple worksheets on the derivation of Runge-Kutta schemes [Текст] / P. Stone. — 2023. — http://www.peterstone.name/Maplepgs/RKcoeff

69. Ин, Ю. Численно-аналитические методы в задачах математического моделирования [Текст] : дис. ... канд. / Ин Юй. — Российский университет дружбы народов, 2020.

70. Ying, Y. The symbolic problems associated with Runge-Kutta methods and their solving in Sage [Текст] / Y. Ying // Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science. — 2019. — Т. 27, № 1. — С. 33—41.

71. Голубев, В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений [Текст] / В. В. Голубев. — Москва : URSS, 2021.

72. Al'shina, E. A. Diagnostics of singularities of exact solutions in computations with error control [Текст] / E. A. Al'shina, N. N. Kalitkin, P. V. Koryakin // Computational Mathematics and Mathematical Physics. — 2005. — Т. 45, № 10. — С. 1769—1779.

73. Belov, A. A. Numerical detection and study of singularities in solutions of differential equations [Текст] / A. A. Belov // Doklady Mathematics. — 2016. — Т. 93, № 3. — С. 334—338.

74. Belov, A. A. Numerical diagnostics of solution blowup in differential equations [Текст] / A. A. Belov // Computational Mathematics and Mathematical Physics. — 2017. — Т. 57, № 1. — С. 122—132.

75. Blow-up for one Sobolev problem: theoretical approach and numerical analysis [Текст] / M. O. Korpusov [и др.] // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 2016. — Т. 442, № 2. — С. 451—468.

76. Blow-up phenomena in the model of a space charge stratification in semiconductors: analytical and numerical analysis [Текст] / M. O. Korpusov [и др.] // Mathematical Methods in the Applied Sciences. — 2017. — Т. 40, № 7. — С. 2336—2346.

77. Korpusov, M. O. Instantaneous blow-up versus local solvability for one problem of propagation of nonlinear waves in semiconductors [Текст] / M. O. Korpusov, D. V. Lukyanenko // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 2018. — Т. 459, № 1. — С. 159—181.

78. On the blow-up phenomena for a one-dimensional equation of ion-sound waves in a plasma: analytical and numerical investigation [Текст] / M. O. Korpusov [и др.] // Mathematical Methods in the Applied Sciences. — 2018. — Т. 41, № 8. — С. 2906—2929.

79. Козлов, В. В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела [Текст] / В. В. Козлов. — Москва-Ижевск : РХД, 2000.

80. Difference Schemes for Differential Equations with a Polynomial Right-Hand Side, Defining Birational Correspondences [Текст] / M. Malykh [и др.] // Mathematics. — 2024. — Т. 12, № 17. — URL: https://www.mdpi.com/2227-7390/12/17/2725.

81. Malykh, M. D. On algebraic integrals of a differential equation [Текст] / M. D. Malykh, L. A. Sevastianov, Yu Ying // Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science. — 2019. — Т. 27, № 2. — С. 105—123.

82. Малых, М. Д. Об отыскании рациональных интегралов систем обыкновенных дифференциальных уравнений по методу М.Н. Лагутинского [Текст] / М. Д. Малых // Вестник НИЯУ МИФИ. — 2016. — Т. 5, № 24. — С. 327—336.

83. Лагутинский, М. Н. Приложение полярных операций к интегрирова-нанию обыкновенных дифференциальных уравнений в конечном виде [Текст] / М. Н. Лагутинский // Сообщ. Харьков. матем. общ. Вторая сер. — 1911. — Т. 12. — С. 111—243.

84. Лагутинский, М. Н. О некоторых полиномах и связи их с алгебраическим интегрированием обыкновенных дифференциальньных алгебраических уравнений [Текст] / М. Н. Лагутинский // Сообщ. Харьков. матем. общ. Вторая сер. — 1912. — Т. 13. — С. 200—224.

85. Christopher, C. Multiplicity of Invariant Algebraic Curves in Polynomial Vector Fields [Текст] / C. Christopher, J. Llibre, J. Vitorio Pereira // Pacific J. Math. — 2007. — Vol. 229, no. 1. — P. 63—117.

86. Cheze, G. Computation of Darboux Polynomials and Rational First Integrals with Bounded Degree in Polynomial Time [Текст] / G. Cheze // Journal of Complexity. — 2011. — Vol. 27, no. 2. — P. 246—262.

87. Малых, М. Д. Методика отыскания алгебраических интегралов дифференциальных уравнений первого порядка [Текст] / М. Д. Малых, Ю. Ин // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Математика, информатика, физика. — 2018. — Т. 26, № 3. — С. 285—291.

88. Глазков, С. А. Алгоритмы решения дифференциальных уравнений в Math Partner [Текст] / С. А. Глазков // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. — 2018. — Т. 23, № 122. — С. 250—260.

89. Cremona, L. Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane [Текст] / L. Cremona // Opere matematiche di Luigi Cremona. Т. 1. — Milano : U. Hoepli, 1914. — С. 317—465.

90. Goriely, A. Integrability and Nonintegrability of Dynamical Systems [Текст] / A. Goriely. — Singapore; River Edge, NJ : World Scientific, 2001.

91. Enriques, F. Lezioni di gometria descrittiva [Текст] / F. Enriques. — Bologna : Zanichelli, 1929.

92. Prasolov, V. Elliptic Functions and Elliptic Integrals [Текст] / V. Prasolov, Y. Solovyev. — American Mathematical Society, 1997.

93. Klein, F. Uber die Theorie des Kreisels [Текст]. Т. 2 / F. Klein, A. Sommerfeld. — Leipzig : B. G. Teubner, 1898.

94. Mandelbrot, B. B. The fractal geometry of nature [Текст] / B. B. Mandelbrot. — Macmillan, 1983.

95. Гурвиц, А. Теория функций [Текст] / А. Гурвиц, Р. Курант. — Москва : Наука, 1968.

96. Маркушевич, А. И. Введение в классическую теорию абелевых функций [Текст] / А. И. Маркушевич. — Москва : Наука, 1979.

97. Weierstrass, K. Mathematische Werke [Текст]. Т. 4 / K. Weierstrass. — Berlin : Mayer&Miiller, 1902.

98. Кудряшов, Н. А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений [Текст] / Н. А. Кудряшов. — Москва : МИФИ, 2002.

99. Трансценденты Пенлеве. Метод задачи Римана [Текст] j А. Р. Итс [и др.]. — Москва-Ижевск : ИКИ, R&C Dynamics, 2005.

100. Painleve, P. Memoire sur les equations différentielles du primier ordre [Текст] j P. Painleve jj Œuvres de Paul Painleve. Т. 2. — i974. — С. 237—46i.

101. Shaska, T. Determining the Automorphism Group of a Hyperelliptic Curve [Текст] / T. Shaska // Proceedings of the 2003 international symposium on Symbolic and algebraic computation. — 2003. — С. 248—254.

102. Малых, М. Д. О вычислении группы автоморфизмов гиперэллиптических кривых [Текст] j М. Д. Малых, Л. А. Севастьянов jj Зап. научн. семин. ПОМИ. — 20i9. — Т. 485. — С. i40—i54.

103. Enriques, F. Le superficie algebriche [Текст] j F. Enriques. — Zanichelli, i949.

Список рисунков

2.1 График решения задачи (2.4), найденное по обратимой схеме по 200

точками................................... 32

2.2 Решения задачи (2.4) на фазовой плоскости ху, найденное по обратимой схеме (точки) и по методу Рунге-Кутты 4-го порядка (линии).................................... 32

2.3 Решение задачи (2.5), найденное по обратимой схеме (точки), и

точное решение этой задачи........................ 33

2.4 Решение задачи (2.6), найденное по обратимой схеме (точки).....34

2.5 Проекции решения задачи (2.6) на координатные плоскости. Точки —точки приближенного решения, сплошная — траектория точного решения............................... 35

2.6 Приближенное решение начальной задачи из примера 2.6,

найденное по обратимой схеме, шаг А = 1/10.............. 37

4.1 Проекции траектории задачи (2.6) при к = ^ на плоскости рд и рг\ точками отмечено приближенное решение, красным — точная интегральная кривая, зеленым — приближенная интегральная кривая. 55

4.2 Решение задачи (4.5), А = 1/40...................... 58

4.3 Решение задачи (4.7) на интервале 0 < Ь < 500, взято 103 точек. Сплошной линией изображена интегральная кривая для точного решения................................... 61

4.4 Решение задачи (4.7). Взят критический случай, когда рассматривается интервал 0 <Ь < 500, на котором берется 740 точек. 61

4.5 Приближенное решение волчка, центр тяжести которого смещен относительно точки закрепления, найденное по обратимой схеме. . . 65

5.1 Изменение приращение квадратуры в примере 5.5........... 80

5.2 Периодические решения для осциллятора Якоби при М = 5 и

N = 1,М = 13 и N = 1, 2, 3........................ 85

6.1 Приближенное решение системы (2.6), найденное по обратимой схеме (6.1) при А = 1,В = 2, С = 3 и А = 3. На рис. указан круг, который является интегральной кривой при А = 0, и эллипс, на который ложатся точки приближенного решения ........... 91

6.2 Изменение приращение квадратуры 6.9 при А = 1, В = 2,С = 3,

10

начальных данных р = 0,д = г = 1 и шаге А = тО........... 95