Одномерные модели для бифуркаций в системах с аттракторами лоренцевского типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Сафонов Клим Андреевич

• Сафонов Клим Андреевич
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Сафонов Клим Андреевич

1.2 Бифуркационная диаграмма

1.3 Область существования хаотического аттрактора дня семейства одномерных лоренцевских отображений

1.4 Доказательство Теоремы

1.4.1 Положительность показателя Ляпунова в ренормализуемом случае

1.4.2 Положительность показателя Ляпунова в неренорманизуемом случае

1.4.3 Конец доказательства теоремы

1.5 Нидинг-инвариант и топологическая энтропия

1.6 Критерий непрерывность энтропии дня непрерывных отображений лоренцев-ского тина

1.7 Достаточные условия непрерывность энтропии дня дифференцируемых отображений лоренцевского тина

Глава 2. Критерий рождения аттрактора Лоренца в результате бифуркации

гомоклинической бабочки

2.1 Многомерное отображение лоренцевского тина

2.2 Критерий рождения аттрактора Лоренца в случае вхождения сепаратрис вдоль неведущего направления

2.3 Достаточные условия существования гладкого слоения дня гомоклинической бифуркации с нейтральным седлом

2.3.1 Достаточные условия существования гладкого слоения дня многомерного отображения лоренцевского тина

2.3.2 Бифуркация гомоклинической бабочки с нейтральным седлом

2.3.3 Нормальная форма в окрестности седнового состояния равновесия

2.3.4 Оценка дня поведения решений в окрестности седла

2.3.5 Построение отображения Пуанкаре

Глава 3. Критерий рождения аттракторов лоренцевского типа в системах инвариантных относительно Z^-симметрии

3.1 Основные результаты

3.2 Псевдогинербо.нические аттракторы

3.3 Существования аттрактора Лоренца

3.4 ^4-симметричный гетероклинический контур

3.5 Критерий рождения псевдогиперболических аттракторов из Z4-CHMMeTpH4Horo гетерок.нипического контура

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Одномерные модели для бифуркаций в системах с аттракторами лоренцевского типа»

Введение

Актуальность. На сегодняшний день известно множество примеров математических моделей, описывающих различные явления и процессы, которые демонстрируют сложное хаотическое поведение. Исследование такого поведения является одним из актуальных и широко развивающихся направлений теории дифференциальных уравнений и динамических систем. Дня диссинативных динамических систем хаотическое поведение обычно ассоциируется с понятием странного аттрактора. Странные аттракторы представляют собой инвариантные множества с фрактальной топологической структурой, к которым стремятся все траектории динамической системы из некоторой окрестности аттрактора. Хаотичность диссинативной динамической системы проявляется в виде неустойчивости траекторий аттрактора: траектории со сколь угодно близкими начальными условиями расходятся экспоненциально быстро с течением времени.

Один из первых примеров странного аттрактора был открыт Эдвардом Лоренцем |1| в 1963 г, в трехмерной системе дифференциальных уравнений, являющейся некоторой аппроксимацией дня модели конвекции жидкости в плоском слое. На сегодняшний день аттрактор Лоренца является основным примером негинербо.нического странного аттрактора, обладающим робастностью, Робастность означает, что при малых возмущениях системы (например, при малых изменениях параметров или при добавлении малой периодической силы) в ней сохраняется хаотическое поведение. При этом аттрактор может поменять свою топологическую структуру и претерпеть бесконечное число различных бифуркаций. Это отличает аттрактор Лоренца от гиперболических аттракторов, которые являются структурно устойчивыми, т.о. не меняются при малых возмущениях, Робастность хаотической динамики имеет принципиальное значение дня практического применения, поскольку позволяет быть уверенным, что численно наблюдаемое хаотическое поведение действительно соответствует странному аттрактору, а не является, например, длительным переходным процессом к устойчивому не-риоди ческому режиму.

Теоретическое обоснование робастности аттрактора Лоренца было предложено в работах B.C. Афраймовича, В,В, Быкова и Л.П. Шилышкова |2, 3|, Авторы описали геометрическую модель системы, демонстрирующую хаотическое поведение, аналогичное странному аттрактору, открытому Лоренцем (альтернативная геометрическая модель была проложена Дж, Гукенхоймером и Р, Вильямсом |4|) и связали робастность аттрактора с наличием некоторой сингулярно гиперболической структуры. Пример аттрактора Лоренца послужил началом дня многочисленных исследований робастности странных аттракторов, В качество достаточного условия, гарантирующего робастность, Д.В. Тураев и Л.П. Шилышков |5, 6| ввели понятие нсовдогииербо.ничности, которое является обобщенном классического понятия гиперболичности, введенного С, Смейлом |7|, Параллельно, К, Моралесом, М. Пасифико и Э, Пужалсом |8| было введено понятие сингулярно гиперболического аттрактора, практически эквивалентное понятию неевдогинерболичеекого аттрактора, В отличие от гиперболичности оба этих понятия не требуют существования равномерно растягивающегося инвариантного нодраеелоения, а требуют существования инвариантного нодраеелоения только е растягивающимися объемами соответствующей размерности.

На сегодняшний день все известные примеры робастных хаотических аттракторов принадлежат классу неевдогинерболичееких аттракторов. Этот класс, в частности, включает в себя гиперболические аттракторы и аттрактор из геометрической модели Афраймовича-Быкова-Шилышкова, Также установлена неевдогинерболичиоеть аттрактора, непосредственно обнаруженного Лоренцем, Псевдогинербо.ничность этого аттрактора была проверена В, Таке-

ром |9| с помощью доказательных компьютерных вычислений. Другим примером нсевдоги-иерболического аттрактора является дикий спиральный аттрактор, геометрическая модель которого была построена Д.В, Тураевым и Л.П. Шилышковым |5|. Система с таким аттрактором была недавно представлена в работе C.B. Гопчепко, А.О. Казакова и Д.В. Тураева |10|. Также к псевдогинербо.ническим аттракторам относятся различные аттракторы лоренцевско-го тина и их дискретные аналоги, открытые в работах A.C. Гопчепко, C.B. Гопчепко, А.О. Казакова |11, 12, 13, 14|. Кроме того, К. Моралее, М. Пасифико и Э. Пужанс |15| показали дня трехмерных систем, что робаетпоеть действительно эквивалентна нсевдогинербо.ничпо-сти. В общем же случае, вопрос об эквивалентности нсевдогинербо.ничпости и робастпости странного аттрактора па сегодняшний день остается открытым.

Данная диссертационная работа продолжает изучение как аттрактора Лоренца, так и псевдогинерболичееких аттракторов в целом. Несмотря па то, что псевдогинербо.ничпость гарантирует робаетпоеть хаотической динамики |5, 6|, проверка неевдогинерболичноети обычно является нетривиальной задачей. В работах C.B. Гопчепко, А.О. Казакова, М. Кайнова и Д.В. Тураева |10, 16| были предложены численные методы проверки неевдогинерболичноети, основанные па вычислении лянуновеких показателей и соответствующих лянуновеких подпространств. Диссертационная работа посвящена разработке аналитических методов, с помощью которых в системе можно установить существование хаотического аттрактора лоренцев-ского тина и доказать его пеевдогиперболичноеть, В совокупности с численными методами проверки нсевдогинербо.ничпости, приведенные в диссертации исследования предоставляют эффективный инструмент дня исследования нсевдогинербо.нических аттракторов.

Разработанные в диссертационной работе методы основываются па идее, предложенной Л.П. Шилышковым |17|. Он заметил, что бифуркации гомоклшшческой бабочки (нары петель сепаратрис) седнового состояния равновесия в присутствии некоторого дополнительного вырождения приводят к рождению аттрактора Лоренца. Это означает, что дня доказательства существования аттрактора Лоренца достаточно установить наличие гомоклшшчсской бабочки при некоторых значениях параметров и проверить условия одного из возможных вырождений. Дня системы Лоренца существование бифуркационной поверхности, соответствующей гомоклшш чсской бабочке, было доказано в работе В.Н. Белых |18|. В недавней работе В.Н. Белых, Н.В. Барабаша и А.Е. Суроегипой |19| было показано существование бесконечной последовательности пегомотонпых друг другу гомок.нипических бабочек в системе, являющейся некоторой универсальной нормальной формой дня трехмерных систем с осевой симметрией и, в частности, обобщающей систему Лоренца. В работе Д.В, Тураева и Г. Тигана |20| было показано существование значений параметров, при которых в системе Шимицу-Мориока есть гомок.нипическая бабочка, удовлетворяющая одному из критериев Шилышкова, Полная проверка условий критерия Шилышкова дня данной система была проделана в работе М. Цапипекого, П. Жглиципекого и Д.В. Тураева |21| с помощью доказате.ньпых компьютерных вычислений. В работе И.И. Овсянникова и Д.В. Тураева |22| было получено аналитическое доказательство существования аттрактора Лоренца в расширенной модели Лоренца. В совокупности с исследованиями из работ Д.В. Тураева, А.Л. Шилышкова, Л.П. Шилышкова, C.B. Гопчепко, И.И. Овсянникова, К. Симо ¡11, 23| эти результаты влекут рождение аттрактора Лоренца в результате бифуркации состояния равновесия с трехкратным нулевым собственным значением в системах с Z 2-симметрией, а также возникновение дискретного аттрактора Лоренца в результате бифуркации неподвижной точки с мультипликаторами (1, —1, —1). В данной диссертационной работе найден новый случай Z4-CHMMeTpHH, приводящей к возникновению робастной динамики из состояния равновесия с тремя нулевыми собственными значениями. Система дифференциальных уравнений с таким

симметричным вырожденным состоянием равновесия аппроксимирует, например, динамику отображения в окрестности неподвижной точки с мультипликаторами (1,г, —г). Поскольку такие бифуркации неподвижных точек встречаются в достаточно произвольных семействах отображений, то пеевдогинерболичеекие аттракторы лоренцевекого тина типично возникают в различных моделях.

Исследование бифуркаций гомоклиничеекой бабочки, описанных Шилышковым, и доказательство рождения аттрактора Лоренца опирается па изучение динамики одномерного отображения, являющегося малым возмущением отображения х = Т(х) := |1 — схи\, Здесь, параметр и совпадает с седловым индексом состояния равновесия, а параметр с и амплиту-

Т

Т

Тем не менее, динамика этого отображения в основном исследовалась при значениях и > 1 (в особенности случай квадратичного отображения и = 2), когда отображение является достаточно гладким и имеет отрицательную производную Шварца. Однако, дня аттрактора Лоренца параметр и может принимать значения только из интервала (0,1). При данных значениях и динамика отображения Т существенно отличается от случая и > 1 и изучалась, например, в работах |24, 25|, Отметим также, что одномерные отображения, возникающие при изучении бифуркаций гомоклиничеекой бабочки, обычно имеют низкую гладкость, значительно меньшую, чем гладкость самой системы. Это добавляет технические трудности при изучении отображения и не позволяет непосредственно применять многие известные результаты (в частности, понятие производной Шварца требует существования производных до 3-го порядка). Для доказательства возникновения аттрактора Лоренца необходимо описать область значений на плоскости параметров (с, и), при которых отображение Т имеет хаотический аттрактор. В данной диссертационной работе приводится полное решение этой задачи для случая 0 < и < 1, а также показано, что данная область сохраняется при С 1-малых возмущениях.

В теории аттрактора Лоренца одномерные отображения возникают не только в задачах, связанных с бифуркацией гомоклиничеекой бабочки, по и в цепом применяются при описании топологической структуры и бифуркаций аттрактора. В геометрической модели Афраймовича-Быкова-Шилышкова одномерное отображение возникает в качестве фактор-отображения над сильно-устойчивым инвариантным слоением и задается кусочно-монотонной функцией с одной точкой разрыва. Одним из инструментов теории одномерных динамических систем, применяемых при изучении аттрактора Лоренца, является понятие нидинг-инварианта. Это понятие было введено в работе Дж. Милиора и В. Терстона |26| дня изучения непрерывных кусочно-монотонных отображений отрезка. В работах Д. Рэнда |27|, М.И. Малкииа |28, 29, 30|, П. Глецдишшга |31| нидинг-техника была обобщена на класс отображений отрезка с одной точкой разрыва. В контексте изучения аттрактора Лоренца нидинг-инвариант представляет собой пару бесконечных символических последовательностей, описывающих поведение одномерных неустойчивых сепаратрис еедлового состояния равновесия, принадлежащего аттрактору.

Одним из ключевых результатов применения нидинг-техники является тот факт, что нидинг-инвариант определяет топологический класс аттрактора Лоренца. Нидинг-техника также позволяет вычислять топологическую энтропию системы, с помощью которой можно оценить степень хаотичности и сложность аттрактора Лоренца. Кроме самого факта существования аттрактора Лоренца, имеет значение то, как зависит степень хаотичности аттрактора от параметров системы. В частности, важно выяснить, непрерывно .ни меняется топологическая энтропия при возмущениях системы. Известные результаты о поведении то-

дологической энтропии для отображений с одной точкой разрыва обычно предполагают либо условие растяжения, либо плотность прообразов точки разрыва. Однако, отображения, возникающие при изучении аттрактора Лоренца, не всегда удовлетворяют этим условиям. В диссертационной работе поведение топологической энтропии изучается без данных ограничительных предположений. В работе доказана непрерывность топологической энтропии дня отображений с положительной энтропией и получена точная оценка возможного скачка топологической энтропии дня отображений с нулевой энтропией.

Степень разработанности. Исследования системы Лоренца, проведенные в работах B.C. Афраймовича, В.В. Быкова и Л.П. Шилышкова |2|, показали, что возникающая в данной системе хаотическая динамика и странные аттракторы тесно связаны с бифуркациями гомок.нинической бабочки. Однако, в общем случае, бифуркация гомок.нинической бабочки не приводит непосредственно к возникновению аттрактора Лоренца. Вместо аттрактора возникает гиперболическое множество, сопряженное с надстройкой над схемой Бернулли из двух символов. Л.П. Шилышков |17| заметил, что если гомок.ниническая бабочка имеет некоторое дополнительное вырождение, то в пространстве параметров существует открытая область, соответствующая аттрактору Лоренца и примыкающая к точке бифуркации. Он предложил три случая такого вырождения. В первом случае состояние равновесия имеет равные по модулю ближайшие к пуню собственные значения. Такое состояние равновесия называется нейтральным седлом. Возникновение аттрактора Лоренца в случае нейтрального седла было доказано в работах К, Робинсона |32, 331 и И,И, Овсянникова, Д.В. Тураева |22| (при несколько отличных предположениях) дня систем, инвариантных относительно некоторой симметрии, а в работе К. Моралеса, Б. Мартина и М. Пасифико |34| — дня несимметричных систем. Во втором случае вырождения устойчивое многообразие седла касается расширенного неустойчивого многообразия вдоль неустойчивых сепаратрис. Такой случай называется запунепием сепаратрисной величины, а возникновение аттрактора Лоренца дня этого вырождения в симметричных системах было доказано в работе М. Рыхлика |35|, В третьем случае вырождения неустойчивые сепаратрисы возвращаются в седновое состояние равновесия вдоль певедущего устойчивого направления. Для симметричных систем возникновение аттрактора Лоренца в результате расщепления такой гомок.нинической конфигурации было показано в работе А. Го.нмакапи и А. Гомбурга |24|, Однако, дня последнего случая авторы использовали предположение v > 1/2, которое на самом деле является ограничительным. Исследования данной диссертационной работы позволили избавиться от данного предположения и расширить область применения данного критерия.

Критерии Шилышкова являются эффективным инструментом дня доказательства существования аттрактора Лоренца, с помощью которого был получены ряд результатов о возникновении аттрактора Лоренца. Из работ А. Арпеодо, П. Колле, Э. Шпигеля", К. Трессе |36, 37| известно, что бифуркация состояния равновесия с тремя нулевыми собственными значениями приводит к возникновению хаотической динамики. В общем случае, возникающая хаотическая динамика связана с гомок.нинической петлей к седло-фокусу и не является робастпой. А.Г. Владимиров, Д.Ю. Волков |38| и А.Л. Шилышков, Л.П. Шилышков, Д.В. Тураев |23| обнаружили, что при наличии дополнительной ^2-симметрии три нулевых собственных значения могут приводить к рождению аттрактора Лоренца, т.е. к робастпому хаотическому поведению. В данной диссертационной работе найден новый случай ^4-симметрии, приводящей к возникновению робастпой динамики из состояния равновесия с тремя нулевыми собственными значениями.

Системы дифференциальных уравнений с дополнительной симметрией возникают в качестве потоковых нормальных форм дня бифуркаций неподвижных точек и периодических ор-

бит диффеоморфизмов, В частности, ^2-симметрия из работы А,Л, Шильникова, Л.П. Шиль-никова, Д.В, Тураева соответствует неподвижной точке с мультипликаторами (1, —1, —1), Д.В, Тураев, C.B. Гоичеико, И,И, Овсянников, К, Симо |11| показали, что в результате бифуркации такой неподвижной точки возникает дискретный аналог аттрактора Лоренца, Новый случай ^4-симметрии, рассмотренный в диссертации, соответствует неподвижной точке с мультипликаторами (—1,i, —г). В недавней работе A.C. Гонченко, C.B. Гонченко, А,О, Казаков и Е.А. Самылииа |12| численно обнаружили новые формы дискретных аттракторов ло-ренцевского тина, возникающие в результате бифуркации такой неподвижной точки. Результаты данной диссертационной работы аналитически доказывают возникновение аттракторов в результате данной локальной бифуркации и описывают соответствующие исевдогииербо-ли чеекие аттракторы,

В работах Дж, Гукенхеймера, Р. Вильямеа |4| и Д. Рэцца |27| было показано, что дня описания классов топологической эквивалентности аттрактора Лоренца требуется только два модуля топологической сопряженности, которые называются нидинг-инвариантами, В работе Дж Милиора и В, Терстоиа |26| была установлена связь между нидинг-ишзариантами кусочно-монотонного отображения отрезка и его топологической энтропией, В результате было доказано, что на пространстве С 1-гладких кусочно-монотонных отображений отрезка топологическая энтропия меняется непрерывно, М, Мизюревич |39| показан, что топологическая энтропия одномерного кусочно-монотонного отображения может претерпевать разрыв при С0-возмущениях, если отображение имеет периодическую критическую точку, В работе

М.И, Малкииа |29| было показано, что дня кусочно-монотонных отображений с одной точкой

C0

зы точки разрыва всюду плотны. В данной диссертационной работе приводятся обобщения этих результатов. Автором диссертации получен точный критерий непрерывности топологической энтропии дня непрерывных отображений с одной точкой разрыва и точная оценка

возможного скачка энтропии, а также получены достаточные условия непрерывности тоио-

C1

Цели и задачи исследования. Цель данной диссертационной работы — получить новые критерии рождения хаотических аттракторов лоренцевекого вида в результате гомоклиииче-еких и гетерок.нинических бифуркаций в системах дифференциальных уравнений.

Дня достижения поставленной цени рассматривались следующие задачи:

1. Исследовать множество параметров, соответствующих существованию хаотического аттрактора в семействе одномерных отображений X = |1 — cxv + еф(х)| при значениях c G [1, 2], v G (0,1) и сколь угодно малых значениях е.

2. Исследовать непрерывность топологической энтропии в классе кусочно-монотонных

отображений с одной точкой разрыва. Получить достаточные условия непрерывности

C0 C1

3. Исследовать бифуркацию ^2-симметричной гомоклинической бабочки в случае вхождения сепаратрис вдоль неведущего направления. Получить достаточные условия рождения хаотических аттракторов.

4. Исследовать бифуркацию Z4-CHMMeTpH4Horo гетероклинического контура, включающего три еедловых состояния равновесия. Доказать возникновение хаотических аттракторов лоренцсчзского типа в результате данной бифуркации.

5, Исследовать бифуркацию состояния равновесия с трехкратным нулевым собственным значением в системах с Z4-cиммeтpиeй. Показать существование поверхности в пространстве бифуркационных параметров, соответствующей Z4-eиммeтpичнoй гетерокли-нической бифуркации.

Методы исследования. Для решения поставленных задач применялись методы математического анализа, функционального анализа, теории дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии, теории локальных и глобальных бифуркаций, эргодической теории.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты имеют теоретический характер и вносят вклад в развитие теории хаотических динамических систем и, в частности, в развитие теории аттракторов лоренцевского вида. Несмотря на то, что изучению аттрактора Лоренца, начавшегося в конце 1970-х годов, посвящено множество работ, в этой теории остается много открытых проблем. Данная диссертационная работа дополняет теоретические исследования гомоклинических бифуркаций, приводящих к рождению аттрактора Лоренца, и расширяет область применения данных критериев.

Для бифуркации симметричной гомоклинической бабочки в случае вхождения неустойчивых сепаратрис вдоль неведущего устойчивого направления доказательство возникновения аттрактора Лоренца было известно только при значениях и > 1/2, В диссертационной работе доказано возникновение аттрактора Лоренца при всех допустимых значениях 0 < и < 1, и более того, описаны границы области существования аттрактора, В частности, доказано, что при малых значениях и аттрактор разрушается в результате локальных бифуркаций — внутри аттрактора возникает устойчивая периодическая траектория (в отличие от изученного случая и > 1/2, где при изменении параметров поглощающая область в некоторых местах стягивается к аттрактору, что приводит к разрушению аттрактора), Полученные результаты могут быть применены при аналитическом и численном исследовании аттрактора Лоренца в конкретных моделях, при описании области существования аттрактора и бифуркаций, приводящих к его разрушению,

В диссертационной работе обнаружен новый механизм возникновения робастной хаотической динамики при бифуркациях состояния равновесия с тремя нулевыми собственными значениями в Z4-eиммeтpичнoй системе. Более того, открыт новый класс псевдогиперболических аттракторов лоренцевского вида и новый случай гетероклинической бифуркации, приводящей к возникновению псевдогиперболических аттракторов. Рассматриваемая в диссертации симметричная бифуркация состояния равновесия с тремя нулевыми собственными значениями возникает, в частности, при изучении бифуркаций периодических траекторий (или неподвижных точек диффеоморфизмов) с мультипликаторами (—1,г, +г). Поскольку такие бифуркации периодических траекторий (и неподвижных точек) могут происходить для достаточно произвольных семейств динамических систем, то полученные результаты говорят о типичности и универсальности аттракторов лоренцевского вида.

Далее, в диссертационной работе доказано, что топологическая энтропия меняется непрерывно при С0-возмущениях отображений с положительной энтропией. Положительность энтропии является одним из критериев хаотичности системы и, в частности, выполняется для аттрактора Лоренца, Поэтому полученный критерий непрерывности покрывает класс отображений, описывающих динамику аттрактора Лоренца, Кроме того, топологическая энтропия является естественной и легко вычисляемой характеристикой для измерения степени хаотичности аттрактора Лоренца, поскольку существуют эффективные алгоритмы вычисления энтропии для одномерных кусочно-монотонных отображений отрезка. Однако, при численных

вычислениях неминуемо возникают погрешности, В связи с этим, непрерывность является важным свойством для корректного вычисления энтропии. Основные положения, выносимые на защиту.

1, Для двухпараметричеекого семейства одномерных отображений, зависящего от параметров (с, и), где с € [1, 2] и € (0,1), и являющегося малым возмущением семейства отображений х = \1 — схи \, описана область па плоскости параметров, соответствующая

существованию хаотического аттрактора, а также описаны бифуркационные кривые

и

разрушается в результате негиперболических локальных бифуркаций — еедлоузловой бифуркации и бифуркации удвоения периода,

2, Получен точный критерий непрерывности топологической энтропии для непрерывных

кусочно-монотонных отображений отрезка с одной точкой разрыва и точная оценка

возможного скачка энтропии. Получены достаточные условия непрерывности тополо-

С1

точкой разрыва,

3, Доказано, что бифуркация симметричной гомоклинической бабочки, в случае когда неустойчивые сепаратрисы входят в состояние равновесия вдоль неведущего устойчивого направления, приводит к рождению аттрактора Лоренца при всех допустимых значениях и € (0,1),

4, Получены достаточные условия для существования гладкого слоения и гладкого одномерного фактор-отображения в окрестности симметричной гомоклинической бабочки с нейтральным седлом,

5, Доказано возникновение псевдогиперболических аттракторов лоренцевекого вида в результате бифуркации Z4-eиммeтpичнoгo гетероклиничеекого контура. Показано, что на плоскости бифуркационных параметров существует счетное число открытых не пересекающихся областей, соответствующих аттракторам различной формы,

6, Для нормальной формы бифуркации состояния равновесия с трехкратным нулевым собственным значением в системах с Z4-eиммeтpиeй найдено уравнение бифуркационной поверхности, отвечающей существованию Z4-eиммeтpичнoгo гетероклиничеекого контура.

Новизна и достоверность. В результате исследования бифуркаций гомоклинической бабочки получен новый критерии возникновения аттрактора Лоренца, Теоретическое обос-

Т

и

многие известные результаты из одномерной динамики не могли быть применены, и для изучения требовалось усовершенствование известных методов и создание новых, В частности, получены достаточные условия, при которых гладкость одномерного фактор-отображения

и < 1 Т

водную Шварца, В отличие от отображений с отрицательной производной Шварца, свойства отображений с положительной производной Шварца мало изучены и описаны в литературе, В диссертационной работе показано, что для отображений с положительной производной

Шварца область существования аттрактора Лоренца может быть открытой односвязной областью, в отличие от отображений с отрицательной производной, где область параметров с хаотическим аттрактором обычно имеет сложную канторовскую структуру,

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сафонов Клим Андреевич, 2026 год

Список литературы

[1] Е, Lorenz, "Deterministic nonperiodic flow," Journal of Atmospheric Sciences, vol. 20, no. 2, 1963.

[2] В. С. Афраймович, В. В. Быков, and Л. П. Шильников, "О возникновении и структуре аттрактора Лоренца," Доклады Академии наук, vol. 234, по. 2, pp. 336-339, 1977.

[3] В. С. Афраймович, В. В. Быков, and Л. П. Шильников, "О притягивающих негрубых предельных множествах типа аттрактора Лоренца," Труды ММО, vol. 44, по. 0, pp. 450 212, 1982.

[4] J. Guekenheimer and E. F. Williams, "Structural stability of Lorenz attraetors," Publications Mathématiques de l'IHÉS, vol. 50, pp. 59-72, 1979.

[5] Д. В. Тураев and Л. П. Шильников, "Пример дикого странного аттрактора," Математический сборник, vol. 189, по. 2, pp. 137-160, 1998.

[6] Д. В. Тураев and Л. П. Шильников, "Псевдогиперболичность и задача о периодическом возмущении аттракторов лоренцевского типа," Доклады Академии Наук, vol. 418, no. 1, pp. 23-27, 2008.

[7] S. Smale, "Differentiable dynamical systems," Bulletin of the American mathematical Society, vol. 73, no. 6, pp. 747-817, 1967.

[8] C. Morales, M, Pacifico, and E. Pujals, "Singular hyperbolic systems," Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 127, no. 11, pp. 3393-3401, 1999.

[9] W, Tucker, "The Lorenz attractor exists," Comptes Rendus de VAcadémie des Sciences-Series I-Mathematics, vol. 328, no. 12, pp. 1197-1202, 1999.

[10] S. Gonchenko, A. Kazakov, and D. Turaev, "Wild pseudohvperbolie attractor in a four-dimensional Lorenz system," Nonlinearity, vol. 34, no. 4, p. 2018, 2021.

[11] S. V. Gonchenko, I. Ovsvannikov, C. Simô, and D. Turaev, "Three-dimensional Hénon-like maps and wild Lorenz-like attraetors," International Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 15, no. 11, pp. 3493-3508, 2005.

[12] S. Gonchenko, A. Gonchenko, A. Kazakov, and E. Samvlina, "On discrete Lorenz-like attraetors," Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, vol. 31, no. 2, 2021.

[13] S. Gonchenko, E. Karatetskaia, A. Kazakov, and V. Kruglov, "Conjoined Lorenz twins — a new pseudohvperbolie attractor in three-dimensional maps and flows," Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, vol. 32, no. 12, 2022.

[14] S. Gonchenko and A. Gonchenko, "Discrete Lorenz attraetors of new types in three-dimensional maps with axial symmetry," Partial Differential Equations in Applied Mathematics, vol. 11, p. 100904, 2024.

[15] C. A. Morales, M. J. Pacifico, and E. E. Pujals, "Eobust transitive singular sets for 3-flows are partially hyperbolic attraetors or repellers," Annals of mathematics, pp. 375-432, 2004.

[16] С, В, Гонченко, М, Кайнов, А. О, Казаков, and Д. В, Турист,. "О методах проверки псевдогиперболичности странных аттракторов," Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика, vol. 29, no. 1, pp. 160-185, 2021.

[17] Л. С. Шильников, "Теория бифуркаций и квазигиперболические аттракторы," Избранные научные труды, р. 413, 1981.

[18] В. Н. Белых, "О бифуркации сепаратрис седла системы Лоренца," Дифференциальные уравнения, vol. 20, по. 10, pp. 1666-1674, 1984.

[19] V. N. Belvkh, N. V. Barabash, and A. E. Suroegina, "Twisted homoelinie orbits in Lorenz and Chen systems: rigorous proofs from universal normal form," International Journal of Bifurcation and Chaos, p. 2630016, 2026.

[20] G. Tigan and D. Turaev, "Analytical search for homoelinie bifurcations in the Shimizu-Morioka model," Physica D: Nonlinear Phenomena, vol. 240, no. 12, pp. 985-989, 2011.

[21] M, J. Capinski, D. Turaev, and P. Zgliczviiski, "Computer assisted proof of the existence of the Lorenz attractor in the Shimizu-Morioka system," Nonlinearity, vol. 31, no. 12, p. 5410, 2018.

[22] I. Ovsvannikov and D. Turaev, "Analytic proof of the existence of the lorenz attractor in the extended Lorenz model," Nonlinearity, vol. 30, no. 1, p. 115, 2016.

[23] A. Shilnikov, L. Shilnikov, and D. Turaev, "Normal forms and Lorenz attraetors," International Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 3, no. 05, pp. 1123-1139, 1993.

[24] A. Golmakani and A. Homburg, "Lorenz attraetors in unfoldings of homoelinie-flip bifurcations," Dynamical Systems, vol. 26, no. 1, pp. 61-76, 2011.

[25] V. N. Belvkh, N. V. Barabash, and I. V. Belvkh, "A Lorenz-tvpe attractor in a pieeewise-smooth system: Rigorous results," Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, vol. 29, no. 10, 2019.

[26] J. Milnor and W, Thurston, "On iterated maps of the interval," Lecture Notes in Mathematics, vol. 1342, pp. 465-563, 1988.

[27] D. Rand, "The topological classification of Lorenz attraetors," Mathematical Proceedinys of the Cambridye Philosophical Society, vol. 83, no. 3, pp. 451-460, 1978.

[28] M. Malkin, "Topological eonjugaev of discontinuous maps of a closed interval," Ukrainian Mathematical Journal, vol. 32, no. 5, pp. 398-403, 1980.

[29] M. Малкин, "О непрерывности энтропии разрывных отображений интервала," Методы качественной теории дифференциальных уравнений, pp. 35-47, 1982.

[30] М. Малкин, "Интервалы вращения и динамика отображений лоренцевского типа," Методы, теории, дифференциальных уравнений, pp. 122-134, 1986.

[31] P. Glendinning and С. Sparrow, "Prime and renormalisable kneading invariants and the dynamics of expanding Lorenz maps," Physica D: Nonlinear Phenomena, vol. 62, no. 1-4, pp. 22-50, 1993.

[32] С, Robinson, "Homoelinie bifurcation to a transitive attractor of Lorenz type," Nonlinearity, vol. 2, no. 4, p. 495, 1989.

[33] C. Robinson, "Homoelinie bifurcation to a transitive attractor of Lorenz type, II," SIAM journal on mathematical analysis, vol. 23, no. 5, pp. 1255-1268, 1992.

[34] C. Morales, M. Paeifieo, and B. S. Martin, "Expanding Lorenz attraetors through resonant double homoelinie loops," SIAM journal on mathematical analysis, vol. 36, no. 6, pp. 18361861, 2005.

[35] M. R. Rvehlik, "Lorenz attraetors through Silnikov-tvpe bifurcation. Part I," Ergodic Theory and Dynamical Systems, vol. 10, no. 4, pp. 793-821, 1990.

[36] A. Arneodo, P. Coullet, and E. A. Spiegel, "Cascade of period doublings of tori," Physics Letters A, vol. 94, no. 1, pp. 1-6, 1983.

[37] A. Arneodo, P. Coullet, E. Spiegel, and C. Tresser, "Asymptotic chaos," Physica D: Nonlinear Phenomena, vol. 14, no. 3, pp. 327-347, 1985.

[38] A. Vladimirov and D. Y. Volkov, "Low-intensity chaotic operations of a laser with a saturable absorber," Optics communications, vol. 100, no. 1-4, pp. 351-360, 1993.

[39] M. Misiurewicz, "Possible jumps of entropy for interval maps," Qualitative Theory of Dynamical Systems, vol. 2, no. 2, pp. 289-306, 2001.

[40] V. S. Afraimovich, V. Bvkov, and L. P. Shilnikov, "On the origin and structure of the Lorenz attractor," Akademiia Nauk SSSR Doklady, vol. 234, pp. 336-339, 1977.

[41] V. S. Afraimovich, V. Bvkov, and L. P. Shilnikov, "Attractive nonrough limit sets of Lorenz-attractor type," Trudy MMO, vol. 44, pp. 150-212, 1982.

[42] L. P. Shilnikov, "The bifurcation theory and quasi-hvperbolic attraetors," Uspehi Mat. Nauk, vol. 36, pp. 240-241, 1981.

[43] A. Rovella, "The dynamics of perturbations of the contracting Lorenz attractor," Brazilian Mathematical Society, vol. 24, no. 2, pp. 233-259, 1993.

[44] L. O. Chua, L. P. Shilnikov, A. L. Shilnikov, and D. V. Turaev, Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dynamics, vol. 5. World Scientific, 2001.

[45] M. В. Шашков and Л. П. Шильников, "О существовании гладкого инвариантного слоения у отображений лоренцева типа," Дифференциальные уравнения, vol. 30, по. 4, pp. 586-595, 1994.

[46] D. Smania and J. Vidarte, "Existence of Cfc-invariant foliations for Lorenz-type maps," Journal of Dynamics and Differential Equations, vol. 30, no. 1, pp. 227-255, 2018.

[47] M. W. Hirsch, С. C. Pugh, and M. Shub, "Invariant manifolds," Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 76, no. 5, pp. 1015-1019, 1970.

[48] V. Araûjo and I. Melbourne, "Existence and smoothness of the stable foliation for sectional hyperbolic attraetors," Bulletin of the London Mathematical Society, vol. 49, no. 2, pp. 351367, 2017.

[49] И, М, Овсянников and Л, П, Шильников, "О системах с гомоклинической кривой седло-фокуса," Математический сборник, vol. 130, по. 4, pp. 552-570, 1986.

[50] И. М, Овсянников and Л. П. Шильников, "Системы с гомоклинической кривой многомерного седло-фокуса и спиральный хаос," Математический сборник, vol. 182, по. 7, pp. 1043-1073, 1991.

[51] L. P. Shilnikov, "A case of the existence of a denumerable set of periodic motions," in Sov. Math. Dokl, vol. 6, pp. 163-166, 1965.

[52] A. L. Shilnikov, "On bifurcations of the Lorenz attractor in the Shimizu-Morioka model," Physica D: Nonlinear Phenomena, vol. 62, no. 1-4, pp. 338-346, 1993.

[53] E. Karatetskaia, A. Kazakov, K. Safonov, and D. Turaev, "Multi-winged Lorenz attractors due to bifurcations of a periodic orbit with multipliers (—1,i, —i)," Nonlinearity, vol. 37, no. 12, p. 125009, 2024.

[54] T. Shimizu and N. Morioka, "On the bifurcation of a symmetric limit cycle to an asymmetric one in a simple model," Physics Letters A, vol. 76, no. 3-4, pp. 201-204, 1980.

[55] D. V. Turaev and L. P. ShiPnikov, "An example of a wild strange attractor," Sbornik: Mathematics, vol. 189, no. 2, p. 291, 1998.

[56] D. Turaev and L. ShiPnikov, "Pseudohyperbolieity and the problem on periodic perturbations of Lorenz-tvpe attractors," Doklady Mathematics, vol. 77, pp. 17-21, 2008.