Псевдогиперболические аттракторы лоренцевского типа трехмерных потоков и отображений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Каратецкая Ефросиния Юрьевна

• Каратецкая Ефросиния Юрьевна
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Каратецкая Ефросиния Юрьевна

1.1.1 Построение карты седел

1.2 О методах проверки псевдогиперболичности

1.2.1 Основные определения

1.3 Примеры гомоклинических аттракторов различных типов

1.3.1 Система Арнеодо-Кулле-Шпигеля-Трессера с центральной симметрией

1.3.2 Система Арнеодо-Кулле-Шпигеля-Трессера с гомоклиническим аттрактором Шильникова

1.3.3 Система с несимметричным аттрактором Лоренца

1.3.4 Система Любимова-Закса

Глава 2. Новые примеры аттракторов лоренцевского типа

2.1 Сдвоенные аттракторы Лоренца

2.1.1 От устойчивой точки к сдвоенным аттракторам Лоренца

2.1.2 Сдвоенные аттракторы Лоренца в трехмерном отображении Эно

2.1.3 О псевдогиперболических свойствах аттракторов

2.2 Двукрылые и четырехкрылые аттракторы Лоренца

2.2.1 Геометрическая модель аттракторов Симо

2.2.2 Псевдогиперболические аттракторы в нормальной форме

2.2.3 Аттракторы Лоренца

2.2.4 Двукрылые и четырехкрылые аттракторы Симо

2.2.5 Численная проверка псевдогиперболичности

Глава 3. Приложения

3.1 Двукрылые и четырехкрылые аттракторы Симо в обобщенной модели Ку-

рамото

3.1.1 Численные исследования псевдогиперболичности аттракторов

3.1.2 Четырехкрылые аттракторы Симо

3.1.3 Тройная неустойчивость и грубый хаос

Глава 4. Программный комплекс

4.1 Продолжение по параметрам бифуркации «вилка» для периодических траекторий систем ОДУ

4.2 Продолжение по параметрам гомоклинических касаний к периодическим траекториям трехмерных отображений

4.3 Вычисление минимального угла между подпространствами для проверки псевдогиперболичности

5 Заключение

Список литературы

Диссертационная работа выполнена в Национальном исследовательском университете «Высшая школа экономики».

Научный руководитель: доктор наук по прикладной математике, профессор Казаков Алексей Олегович.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Псевдогиперболические аттракторы лоренцевского типа трехмерных потоков и отображений»

Введение

Актуальность. В зависимости от конкретной задачи, возникновение хаотической динамики может приводить как к нежелательным последствиям, так и наоборот, способствовать возникновению благоприятных для системы режимов. Например, в генных сетях возникновении хаотического режима может приводить к патологиям, а значит изучение факторов, предпосылок и сценариев возникновения хаоса в таких моделях может способствовать выявлению заболеваний на ранних стадиях. С другой стороны, хаотические режимы играют важную роль, когда синхронизация в системе разрушительна и/или универсальность поведения имеет решающее значение. Так, например, синхронное движение пешеходов по мосту может приводить к его разрушению; наличие устойчивого хаотического режима препятствует синхронизации нейронов мозга и, как следствие, предотвращает эпилептические припадки; генерация устойчивого хаотического режима критически важна в алгоритмах искусственного интеллекта. В таких случаях для функционирующей системы очень важно оказаться в режиме устойчивой генерации хаотической динамики.

Согласно гипотезе Гонченко, Казакова, Тураева [1] устойчивому к возмущениям хаотическому режиму отвечает псевдогиперболический аттрактор. На сегодняшний день известно лишь несколько примеров псевдогиперболических аттракторов. При этом подавляющее большинство их являются абстрактными математическими объектами, не встречающимися в приложениях. В диссертационной работе обнаружен ряд новых примеров псевдогиперболических аттракторов (двукрылые и четырехкрылые аттракторы Симо, сдвоенный аттрактор Лоренца) [2*, 3*], предложены эффективно проверяемые критерии существования таких аттракторов, а также показано, что часть из них (двукрылые и че-тырехкрылые аттракторы Симо) естественным образом возникают в прикладных моделях [1*].

Степень разработанности.

Основы теории гиперболических аттракторов были заложены более шестидесяти лет назад в классических работах Аносова, Смейла, Синая, Вильямса, Плыкина, Песина, Нью-хауса, Рюэля и др. [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]. Динамика гиперболических хаотических аттракторов не чувствительна к малым вариациям, более того такие аттракторы являются структурно устойчивыми или грубыми. При малых возмущениях в системах с такими аттракторами не возникает бифуркаций. Классические примеры нетривиальных гиперболических аттракторов хорошо известны: это соленоид Смейла-Уильямса и его обобщения [4, 6], аттракторы Аносова [2] и БА-аттракторы [2], аттрактор Плыкина [7]. Долгое время гиперболические аттракторы считались чисто математическими моделями, так как они не наблюдались на практике. Первые примеры таких аттракторов в физических системах были открыты и изучены С.П. Кузнецовым [11] и его коллегами [12, 13]. Следует отметить, что до сих пор известно лишь несколько физических систем, демонстрирующих

гиперболические хаотические аттракторы. При этом поиск новых таких систем считается бесперспективным из-за сильных ограничений, обеспечивающих гиперболичность.

Существенным послаблением гиперболичности явилось построение и развитие теории аттрактора Лоренца. В отличие от гиперболических аттракторов, аттрактор Лоренца изначально был обнаружен в прикладной задаче о конвекции в плоском слое жидкости. В соответствующей трехмерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений метеоролог Э. Лоренц впервые обнаружил негрубое хаотическое поведение [14], впоследствии названное аттрактором Лоренца. Математическая теория этого класса аттракторов была построена позднее Афраймовичем, Быковым, Л.П. Шильниковым [15, 16], Гугенхеймером, Вильямсом [17, 18], Бунимовичем, Синаем [19, 20] и др. Аттрактор Лоренца не является структурно устойчивым, при этом он демонстрирует хаотическую динамику устойчивую к малым возмущениям [21]. В соответствии с классификацией, предложенной Морале-сом, Пасифико, Пужалсом [22] и Е. Сатаевым [23] он относится к классу сингулярно-гиперболических аттракторов, все его периодические траектории являются седловыми, а их инвариантные многообразия пересекаются трансверсально. При малых возмущениях таких систем трансверсальные пересечения многообразий сохраняются, но при этом происходят бифуркации возникновения гомоклинических петель (двояко-асимптотических траекторий к состоянию равновесия), не приводящие к рождению притягивающих траекторий.

Важнейшим послаблением условий гиперболичности и сингулярной гиперболичности аттракторов стало создание концепции псевдогиперболических аттракторов. Теория таких аттракторов была построена Д. Тураевым и Л.П. Шильниковым [24, 25]. Класс таких аттракторов не исчерпывается гиперболическими и сингулярно-гиперболическими аттракторами, а включает также дикие псевдогиперболические аттракторы, которые допускают гомоклинические и гетероклинические касания между седловыми периодическими траекториями, причем такие касания существуют для всюду плотного множества значений параметров. Таким образом, системы с дикими псевдогиперболическими аттракторами принадлежат к области Ньюхауса [26], все системы из которой обладают дикими гиперболическими множествами, устойчивые и неустойчивые многообразия которых образуют неустранимые касания. Такое свойство приводит к весьма богатой и сложной динамике, полное описание которой невозможно [1, 27, 28, 29, 30]. При этом, важнейшее свойство устойчивой хаотичности при малых возмущениях сохраняется.

Еще один принципиально важный результат в теории псевдогиперболических аттракторов получен в работе С.В. Гонченко, Овсянникова, Тураева, Симо [31], в которой было установлено, что дискретные псевдогиперболические аналоги аттрактора Лоренца могут существовать в трехмерных диффеоморфизмах. Также в этой работе показано, что псевдогиперболические аттракторы, в отличие от гиперболических, могут встречаться в математических моделях, на которые не накладывается такие строгие ограничения, как например, на модели с гиперболическими аттракторами. Таким образом, задачи поиска моделей с псевдогиперболическими аттракторами, а также разработки эффективно проверяемых условий, гарантирующих наличие у аттрактора псевдогиперболической структуры стала вполне решаемой. Позднее работах С.В. Гонченко, Казакова, Тураева и др. [1, 32, 33], был обнаружен ряд новых псевдогиперболических аттракторов.

Что касается методов проверки псевдогиперболичности, то здесь можно выделить ис-

следования по следующим направлениям. Частные случаи псевдогиперболичности (равномерная и сингулярная гиперболичность) для некоторых систем, проверялись в работах С.П. Кузнецова, Купцова, Такера, Жгличинского, Цапинского [11, 34, 35, 36]. Так, в работе Такера [21], с помощью методов доказательных вычислений, установлена сингулярная гиперболичность классического аттрактора Лоренца и, тем самым, была решена известная гипотеза Смейла. Проверка свойства псевдогиперболичности аттрактора основана на вычислении показателей Ляпунова и проверке непрерывности сильно-сжимающего и растягивающего площади инвариантных подпространств Ляпунова в каждой точке аттрактора [37]. Непрерывность можно проверить напрямую или, основываясь на свойстве компактности аттрактора, оценить, отделены ли углы между этими подпространствами от нуля. Эффективность методов продемонстрирована на ряде систем с гиперболическими аттракторами, в том числе на распределенных системах и уравнениях с запаздыванием [34, 37, 38]. Описаны методы проверки псевдогиперболичности хаотических аттракторов в случае, когда в касательном пространстве системы сжимающее подпространство одномерное [1].

Альтернативные способы проверки существования псевдогиперболических аттракторов связаны с нахождением в системе некоторых типов бифуркаций. Так, Л.П. Шиль-ников [39] предложил три типа бифуркаций гомоклинических петель, при которых из соответствующей точке в пространстве параметров системы выходит область существования аттрактора Лоренца. Именно на основе проверки одного одного их таких условий удалось доказать существование аттрактора Лоренца в системе Шимицу-Мориока [36, 40]. В работе А.Л. Шильникова, Л.П. Шильникова, Тураева [41] доказано рождение аттрактора Лоренца из тройной неустойчивости в результате бифуркаций состояния равновесия с тремя нулевыми собственными, а также периодической траектории с мультипликаторами (-1,-1,1).

Вклад автора диссертации. Все результаты, включенные в диссертационную работу, получены соискателем. А именно, описаны бифуркационные механизмы возникновения двукрылых и четырехкрылых аттракторов Симо, сдвоенных аттракторов Лоренца, установлена псевдогиперболичность соответствующих аттракторов [2*, 3*], реализованы численные методы проверки псевдогиперболичности и продолжения по параметру нелокальных бифуркаций [5*]. Диссертанткой построен пример физически-релевантной системы ОДУ - обобщенной модели Курамото, описывающей взаимодействие четырех связанных ротаторов, в которой впервые обнаружен робастный хаос (пара аттракторов Лоренца и аттракторы Симо) [1*].

Цели и задачи исследования.

Целью данного диссертационного исследования является построение новых примеров псевдогиперболических аттракторов, в том числе, встречающихся в прикладных моделях.

Для достижения поставленной цели рассматривались следующие задачи:

1) Классификация хаотических аттракторов трехмерных систем дифференциальных уравнений по типу седлового состояния равновесия, принадлежащего аттрактору. Выявление среди них возможных аттракторов, которые могут быть псевдогиперболическими.

2) Построение примеров трехмерных систем дифференциальных уравнений, демонстрирующих новые типы псевдогиперболических аттракторов. А именно:

- системы, описывающей бифуркации неподвижной точки с мультипликаторами (—1,г, —г) и нахождение в ней пары аттракторов Лоренца, а также двух- и четы-рехкрылых аттракторов Симо.

- системы, описывающей бифуркации неподвижной точки с мультипликаторами (—1, —1,1) и зеркальной симметрией. Нахождение в ней сдвоенных аттракторов Лоренца.

3) Разработка теории новых псевдогиперболических аттракторов, описание сценариев их возникновения и разрушения.

4) Исследование хаотической динамики обобщенной модели Курамото, описывающей взаимодействие четырех идентичных осцилляторов, связанных каждый с каждым. Выявление в пространстве параметров, описывающих функцию связи между элементами, областей с псевдогиперболическими аттракторами.

Методы исследования. Для решения поставленных задач применялись качественные и аналитические методы теории динамических систем. При исследовании конкретных систем использованы методы прикладной теории бифуркаций, в том числе реализованные в пакетах программ МаЮоП и МаЮоПМ и программном комплексе диссертантки [5*].

Теоретическая и практическая значимость. Существенно расширен класс сингулярно-гиперболических аттракторов. В трехмерных системах дифференциальных уравнений обнаружены новые типы таких аттракторов: двукрылые и четырехкрылые аттракторы Симо и сдвоенные аттракторы Лоренца, построена соответствующая теория.

Практическая значимость обусловлена тем фактом, что впервые в действительно физически релевантных системах обнаружены хаотические аттракторы, устойчивые к малым возмущениям (изменениям значений параметров модели).

Результаты, выносимые на защиту.

1. Классификация гомоклинических аттракторов трехмерных систем. Для трехмерных систем с непрерывным временем построена классификация гомоклинических аттракторов по типу седловой точки, принадлежащей аттрактору. Выделено 2 типа гомоклинических аттракторов, которые могут быть псевдогиперболическими.

2. Новые типы псевдогиперболических аттракторов в трехмерных системах с зеркальной симметрией. Построена бифуркационная диаграмма для соответствующей системы, выделены области существования и изучены сценарии возникновения и разрушения сдвоенных аттракторов Лоренца - нового типа псевдогиперболических аттракторов и их дискретного аналога в трехмерном отображении Эно с центральной симметрией.

3. Новые типы псевдогиперболических аттракторов в нормальной форме бифуркации неподвижной точки с мультипликаторами (—1 , i, -i). Построена бифуркационная диаграмма для соответствующей системы, выделены области существования и изучены сценарии возникновения и разрушения пары аттракторов Лоренца и псевдогиперболических аттракторов нового типа (двукрылые и четырехкрылые аттракторы Симо).

4. Псевдогиперболические аттракторы в сетях связанных осцилляторов. В модели четырех глобально связанных идентичных фазовых осцилляторов установлено существование псевдогиперболических аттракторов двух типов: пары аттракторов Лоренца и четырехкрылые аттракторы Симо. Даны аналитические условия на функцию связи, при которых такие аттракторы возникают. Численно построены границы областей существования данных аттракторов.

Новизна и достоверность. Научная новизна исследований обусловлена тем, что до недавнего времени все псевдогиперболические аттракторы трехмерных динамических систем исчерпывались лишь аттракторами Лоренца, удовлетворяющими геометрической модели Афраймовича-Быкова-Шильникова. В рамках диссертации был существенно расширен класс псевдогиперболических аттракторов трехмерных потоков и отображений за счет обнаружения и исследования новых типов аттракторов, включая сдвоенные аттракторы Лоренца, двукрылые и четырехкрылые аттракторы Симо, которые ранее не встречались. Существенным новым результатом является демонстрация того, что обнаруженные новые типы псевдогиперболических аттракторов (аттракторы Симо) могут естественным образом возникать в прикладной модели связанных осцилляторов, что подтверждает их физическую реализуемость.

Все результаты, изложенные в диссертационной работе, являются новыми. Они хорошо согласуется с имеющимися теоретическими представлениями и положениями. Численные эксперименты подробно описаны, большая их часть воспроизводилась другими исследователями.

Результаты, выносимые на защиту, опубликованы в ведущих рецензируемых физико-математических журналах, индексируемых в научных базах Web of Science и Scopus с квартилями Q1 - 3 статьи, без квартиля WoS/4 квартиль Scopus - 1 статья. Разработанный комплекс программ зарегистрирован в Роспатенте, получено свидетельство о регистрации интеллектуальных прав на программу для ЭВМ.

Апробация полученных результатов. Основные результаты диссертации докладывались на следующих всероссийских и международных конференциях:

1. Секционный доклад "On new pseudohyperbolic attractor of Lorenz type", International Conference "ShilnikovWorkshop-2021", 16-17 декабря 2021, г. Нижний Новгород, Россия.

2. Постерный доклад "Conjoined Lorenz twins - a new pseudohyperbolic attractor in 3D maps and flows", International Conference "ShilnikovWorkshop-2022", 19-20 декабря 2022, г. Нижний Новгород, Россия.

3. Постерный доклад "Hyperchaotic Attractors in the Model of Two Coupled Parabola Map", The 27th International Conference on Difference Equations and Applications (ICDEA 2022), 18-22 июля 2024, г. Париж-Сакле, Франция.

4. Секционный доклад "Lorenz-like attractors in systems with central and axial symmetries", Chaos: Homoclinic bifurcations, Strange attractirs, Arnold diffusion, Fermi acceleration, Solitons, 25-29 сентября 2023, г. Измир, Турция.

5. Секционный доклад "Lorenz-like attractors in systems with central and axial symmetries", Equadiff 2024, 10-14 июня 2024, г. Карлстад, Швеция.

6. Секционный доклад "On pseudohyperbolic attractors", Dynamics Days in China, 7-14 сентября 2024, г. Ланчжоу, Китай.

7. Секционный доклад "Robust Chaos in a Totally Symmetric Network of Four Phase Oscillators", International Conference - CHAOS 2025, 17-20 июня 2025, г. Афины, Греция.

Список статей, представленных к защите по теме диссертации (с указанием личного вклада).

[1*] Karatetskaia E., Kazakov A., Safonov K., Turaev D. Robust chaos in a totally symmetric network of four phase oscillators //Physical Review Letters. -2025. -T. 134.- С. 167201

https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.134.167201

(Главный соавтор. В обобщенной модели Курамото, описывающей взаимодействие четырех идентичных осцилляторов, обнаружены псевдогиперболические аттракторы.)

[2*] Karatetskaia E., Kazakov A., Safonov K., Turaev D. Multi-winged Lorenz attractors due to bifurcations of a periodic orbit with multipliers (—1 ,i, —i) //Nonlinearity. - 2024. - Т. 37. - №. 12. - С. 125009.

https://doi.org/10.1088/1361-6544/ad882f

(Главный соавтор. В системе, являющейся нормальной формой бифуркации неподвижной точки с мультипликаторами (—1,i, — i) обнаружены новые примеры псевдогиперболических аттракторов, построены бифуркационные диаграммы, описаны сценарии возникновения и геометрические модели этих аттракторов.)

[3*] Gonchenko S., Karatetskaia E., Kazakov A., Kruglov V. Conjoined Lorenz twins—a new pseudohyperbolic attractor in three-dimensional maps and flows //Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. - 2022. - Т. 32. - №. 12.

https://doi.org/10.1063/5.0123426

(Описаны сценарии возникновения и разрушения сдвоенный аттракторов Лоренца, построены бифуркационные диаграммы в модельных системах (система Круглова, трехмерное отображение Эно с центральной симметрией), демонстрирующих эти аттракторы.)

[4*] Баханова Ю. В., Казаков А. О., Каратецкая Е. Ю., Козлов А. Д., Сафонов К. А. О гомоклинических аттракторах трехмерных потоков //Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. - 2020. - Т. 28. - №. 3. - С. 231-258.

Ь^рз:/^а1 .а^/10.18500/0869-6632-2020-28-3-231-258

(Главный соавтор. Построена классификация странных аттракторов, содержащих единственное состояние равновесие. Выделены классы аттракторов, которые могут быть псевдогиперболическими.)

[5*] Каратецкая Е.Ю., Сафонов К.А. РИД Численный метод аппроксимации и протягивания по параметрам гомоклинических касаний к периодическим траекториям трехмерных отображений, № 2025662954 от 23.05.2025.

(Программа предназначена для реализации алгоритма нахождения и продолжения по параметрам гомоклинических касаний к периодическим траекториям трехмерных отображений.)

Глава 1. Классификация аттракторов, возможные типы псевдогиперболических аттракторов

Первая глава диссертационного исследования посвящена вопросам классификации и псевдогиперболичности гомоклинических аттракторов трехмерных потоков - динамических систем с непрерывным временем. Основные результаты, полученные диссертанткой при работе над главой, были опубликованы в [4*].

Впервые термин гомоклинический был введен в работе [33] для странных аттракторов точечных отображений.

Определение 1. Странный аттрактор отображения называется гомоклиническим, если он содержит только одну седловую неподвижную точку, ее неустойчивое многообразие, а также все гомоклинические к нему траектории, т.е. те траектории, в которых неустойчивое многообразие седловой точки пересекается с устойчивым

В общем случае для отображений это свойство аттрактора сохраняется и при всех малых возмущениях. В случае потоков седловое состояние равновесия также может иметь гомоклинические траектории, их также называют гомоклиническими петлями. Однако эта ситуация является негрубой, т.к. при малых возмущениях петли исчезают. Но при этом могут появляться новые гомоклинические петли. Такая ситуация хорошо известна, например, в случае аттрактора Лоренца [15, 16], где значения параметров, отвечающих появлению гомоклинических петель, плотны. Соответственно, аттрактор Лоренца может быть назван гомоклиническим (он либо содержит единственное состояние равновесия вместе с петлей, либо неустойчивое многообразие состояния равновесия подходит сколь угодно близко к этому равновесию при £ ^ то). Такая же ситуация может быть и с другими аттракторами. Например, согласно результатам работ [24, 42], значения параметров, отвечающих гомоклиническим петлям, плотны и в спиральных аттракторах (содержащих состояние равновесия типа седло-фокус с одномерным неустойчивым многообразием).

В данной диссертационной работе рассматриваются аттракторы двух типов, для которых используется обобщающий термин «гомоклинический» (см. Опр.2).

Определение 2. Странный аттрактор системы обыкновенных дифференциальных уравнений называется гомоклиническим, если:

1. ему принадлежит единственное седловое состояние равновесия, и для которого значения параметров, отвечающие гомоклиническим петлям, плотны (без доказательства последнего факта, поскольку эта задача весьма специфическая);

или

2. он имеет гомоклинические петли при дискретных значениях параметра (например, аттрактор Шильникова [43]). Однако, к каждому такому значению параметра, в свою очередь, накапливаются те, при которых снова есть петля, но уже многообходная по отношению к исходной [44].

Для аттракторов первого типа принадлежность седлового состояния равновесия аттрактору является грубым (с физической точки зрения) свойством. Тогда как у аттракторов второго типа, в окрестности состояния равновесия, могут образовываться «дырки»,

отвечающие интервалам значений параметра, когда аттрактор не содержит равновесие. Такие аттракторы будем называть гомоклиническими в том случае, когда они содержат гомоклиническую петлю, либо неустойчивое многообразие состояния равновесия подходит сколь угодно близко к этому равновесию.

Также стоит отметить, что аттракторы первого типа можно разделить на 2 группы. К первой группе относятся «настоящие» гомоклинические аттракторы, содержащие состояние равновесия с положительной седловой величиной (суммой действительных частей пары ближайших к мнимой оси собственных чисел, одно из которых имеет положительную действительную часть, а другое - отрицательную). В общем случае, согласно работам [45, 46], из гомоклинических петель здесь рождаются седловые предельные циклы. Для аттракторов второй группы седловая величина является отрицательной. Из петель состояния равновесия в этом случая рождаются устойчивые периодические траектории [45, 46]. Тем не менее, с физической точки зрения, такие аттракторы во многих случаях могут считаться гомоклиническими, поскольку, как будет показано далее, их траектории, как и для «настоящих» гомоклинических аттракторов, могут подходить близко к равновесию. При этом, для таких аттракторов (как и для аттракторов из первой группы) седловое состояние равновесия (на уровне численного счета) принадлежит аттрактору для открытого множества значений параметра.

К классу гомоклинических аттракторов относятся многие известные аттракторы трехмерных потоков, например, аттрактор Лоренца, возникающий в классических системах Лоренца [14] и Шимицу-Мориока [47, 48], спиральный восьмерочный аттрактор, содержащий седло-фокусное положение равновесия с одномерным неустойчивым многообразием и возникающий, например, в цепи Чуа [49], спиральный аттрактор Шильникова в системе Рёсслера [50] и многие другие странные аттракторы.

Большинство гомоклинических аттракторов трехмерных потоков не могут быть псевдогиперболическими, т.е. робастно хаотическими (подробное определение будет дано далее) из-за наличия гомоклинических касаний седловых периодических траекторий. В случае трехмерных потоков такие касания неизбежно приводят к рождению устойчивых периодических траекторий внутри аттрактора [51, 52]. Очень часто такие траектории имеют очень большие периоды, малые бассейны притяжения и, таким образом, не разрушают хаотическую динамику, наблюдаемую в экспериментах. В работе Афраймовича и Шиль-никова [53] такие аттракторы были названы квазиаттракторами. Несмотря на то, что с физической точки зрения квазиаттрактор часто не отличим от псевдогиперболического аттрактора, с математической точки зрения не до конца ясно, что из себя представляет этот объект. Невозможно предсказать, существуют ли устойчивые периодические траектории внутри рассматриваемого квазиаттрактора. Более того, согласно теории Афраймо-вича и Шильникова [53] (см. также [54]), даже если каким-то образом удастся установить, что квазиаттрактор не содержит устойчивых периодических траекторий при рассматриваемых параметрах, нет никаких гарантий, что такие траектории не возникнут уже при сколь угодно малых возмущениях системы (изменениях параметров).

1.1 Классификация гомоклинических аттракторов. Метод карты седел

Идея классификации гомоклинических аттракторов по типу состояния равновесия была предложена в [55]. В работах [32, 56] эта идея использовалась для трехмерных отображений, а в [33] оформлена в виде метода карт седел и применена для поиска и классификации гомоклинических аттракторов трехмерных отображений Эно. Суть этого метода заключается в построении в пространстве параметров отображения разбиения на области, отвечающие различным наборам собственных чисел неподвижной точки, определяющих тип гомоклинических аттракторов. В работах [57, 58] метод карт седел был также успешно применен для поиска и классификации гомоклинических аттракторов в меняющих ориентацию трехмерных отображениях Эно.

В данной диссертационной работе на основе метода карт седел была осуществлена классификация гомоклинических аттракторов, содержащих состояние равновесие в начале координат 0(0, 0, 0), в случае трехмерных потоков вида

х = У + 91 (x,У,z),

у = г + 92(х,У,г), (1)

г = Ах + Ву + Сг + 93 (х, у, г),

где А, В и С - параметры системы, а 9г,г = 1, 2, 3 - нелинейные функции, удовлетворяющие соотношениям

9г(0, 0,0) = ^(0,0, 0) = ^(0, 0, 0) = ^(0, 0, 0) = 0, г = 1, 2, 3. дх ду дг

Матрица линеаризации системы (1) для состояния равновесия 0(0, 0, 0) записывается в форме Фробениуса:

0 1 0

0 0 1

А В С

Стоит отметить, что использованная линейная замена является универсальным способом сведения широкого спектра трехмерных потоков, удовлетворяющих критерию Фро-бениуса, к общему виду, заданному уравнением (2).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Каратецкая Ефросиния Юрьевна, 2025 год

Список литературы

[1] Gonchenko S., Kazakov A., Turaev D. Wild pseudohyperbolic attractor in a four-dimensional Lorenz system //Nonlinearity. - 2021. - Т. 34. - №. 4. - С. 2018.

[2] Аносов, Д. В.: Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны. Тр. МИАН СССР, 90, 3-210 (1967)

[3] Аносов Д. В. и др. Динамические системы с гиперболическим поведением //Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». - 1991. - Т. 66. - №. 0. - С. 5-242.

[4] Смейл С. Дифференцируемые динамические системы //Успехи мат. наук. - 1970. - Т. 25. - №. 1. - С. 151.

[5] Синай Я. Г. Гиббсовские меры в эргодической теории //Успехи математических наук.

- 1972. - Т. 27. - №. 4 (166. - С. 21-64.

[6] Williams R. F. Expanding attractors //Publications Mathematiques de l'lHES. - 1974. -Т. 43. - С. 169-203.

[7] Plykin R. V. Sources and sinks of A-diffeomorphisms of surfaces //Mathematics of the USSR-Sbornik. - 1974. - Т. 23. - №. 2. - С. 233.

[8] Песин Я. Б. Характеристические показатели Ляпунова и гладкая эргодическая теория //Успехи математических наук. - 1977. - Т. 32. - №. 4 (196. - С. 55-112.

[9] Newhouse S., Ruelle D., Takens F. Occurrence of strange axiom A attractors near quasi periodic flows on Tm,m > 3 //Communications in Mathematical Physics. - 1978. - Т. 64.

- С. 35-40.

[10] Рюэль, Д., Такенс, Ф.: О природе турбулентности. В сб. Странные аттракторы, под ред. Я.Г.Синая и Л.П.Шильникова. М., Мир, 117-151 (1981).

[11] Kuznetsov S. P. Example of a physical system with a hyperbolic attractor of the Smale-Williams type //Physical review letters. - 2005. - Т. 95. - №. 14. - С. 144101.

[12] Кузнецов С. П., Сатаев И. Р. Проверка условий гиперболичности хаотического аттрактора в системе связанных неавтономных осцилляторов ван дер Поля //Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. - 2006. - Т. 14. - №. 5.

- С. 3-29.

[13] Купцов П. В., Кузнецов С. П. О феноменах, сопровождающих переход к режиму синхронного хаоса в связанных неавтономных осцилляторах, представленных уравнениями для комплексных амплитуд //Russian Journal of Nonlinear Dynamics. - 2006. -Т. 2. - №. 3. - С. 307-331.

[14] Lorenz E. N. Deterministic nonperiodic flow //Journal of the atmospheric sciences. - 1963.

- №.20.

[15] Афраймович В. С., Быков В. В., Шильников Л. П. О возникновении и структуре аттрактора Лоренца //Доклады Академии наук. - Российская академия наук, 1977. -Т. 234. - №. 2. - С. 336-339.

[16] Афраймович В. С., Быков В. В., Шильников Л. П. О притягивающих негрубых предельных множествах типа аттрактора Лоренца //Труды Московского математического общества. - 1982. - Т. 44.- С. 150-212.

[17] Guckenheimer J. Guckenheimer J. A strange, strange attractor, The Hopf bifurcation and its applications //Applied Mathematical Series. - 1976. - Т. 19. - С. 368-381.

[18] Guckenheimer J., Williams R. F. Structural stability of Lorenz attractors //Publications Mathematiques de l'IHES. - 1979. - Т. 50. - С. 59-72.

[19] Sinai J. G., Vul E. B. Hyperbolicity conditions for the Lorenz model //Physica D: Nonlinear Phenomena. - 1981. - Т. 2. - №. 1. - С. 3-7.

[20] Bunimovich L. A. Statistical properties of Lorenz attractors //Nonlinear dynamics and turbulence. - 1983. - С. 71-92.

[21] Tucker W. The Lorenz attractor exists //Comptes Rendus de l'Academie des Sciences-Series I-Mathematics. - 1999. - Т. 328. - №. 12. - С. 1197-1202.

[22] Morales C. A., Pacifico M. J., Pujals E. R. On C1 robust singular transitive sets for three-dimensional flows //Comptes Rendus de l'Academie des Sciences-Series I-Mathematics. -1998. - Т. 326. - №. 1. - С. 81-86.

[23] Sataev E. A. Some properties of singular hyperbolic attractors //Sbornik: Mathematics. -2009. - Т. 200. - №. 1. - С. 35.

[24] Тураев Д. В., Шильников Л. П. Пример дикого странного аттрактора //Математический сборник. - 1998. - Т. 189. - №. 2. - С. 137-160.

[25] Тураев Д.В., Шильников, Л.П. Псевдогиперболичность и задача о периодическом возмущении аттракторов лоренцевского типа //Доклады Академии наук. - 2008. - Т. 418. - №. 1. - C. 23-27.

[26] Newhouse S. E. The abundance of wild hyperbolic sets and non-smooth stable sets for diffeomorphisms //Publications Mathematiques de l'IHES. - 1979. - Т. 50. - С. 101-151.

[27] Gonchenko S. V., Turaev D. V., Shilnikov L. P. Models with a structurally unstable homoclinic Poincare curve //Doklady Akademii Nauk. - Russian Academy of Sciences, 1991. - Т. 320. - №. 2. - С. 269-272.

[28] Gonchenko S. V., Shil'nikov L. P., Turaev D. V. On models with non-rough Poincare homoclinic curves //Physica D: Nonlinear Phenomena. - 1993. - Т. 62. - №. 1-4. - С. 1-14.

[29] Gonchenko S., Turaev D., Shilnikov L. Homoclinic tangencies of arbitrarily high orders in conservative and dissipative two-dimensional maps //Nonlinearity. - 2007. - Т. 20. - №. 2. - С. 241.

[30] Gonchenko S. V., Turaev D. V., Shilnikov L. P. On Newhouse domains of two-dimensional diffeomorphisms which are close to a diffeomorphism with a structurally unstable heteroclinic cycle //Proc. Steklov Inst. Math. - 1997. - Т. 216. - С. 70-118.

[31] Gonchenko S. V., Ovsyannikov I. I., Simo C., Turaev D. Three-dimensional Henon-like maps and wild Lorenz-like attractors //International Journal of Bifurcation and Chaos. -2005. - Т. 15. - №. 11. - С. 3493-3508.

[32] Гонченко А. С., Гонченко С. В., Шильников Л. П. К вопросу о сценариях возникновения хаоса у трехмерных отображений //Russian Journal of Nonlinear Dynamics. - 2012.

- Т. 8. - №. 1. - С. 3-28.

[33] Gonchenko A. S., Gonchenko S. V. Variety of strange pseudohyperbolic attractors in three-dimensional generalized Henon maps //Physica D: Nonlinear Phenomena. - 2016. - Т. 337.

- С. 43-57.

[34] Kuptsov P. V. Fast numerical test of hyperbolic chaos //Physical Review E—Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics. - 2012. - Т. 85. - №. 1. - С. 015203.

[35] Kuptsov P. V., Parlitz U. Theory and computation of covariant Lyapunov vectors //Journal of nonlinear science. - 2012. - Т. 22. - С. 727-762.

[36] Capinski M. J., Turaev D., Zgliczynski P. Computer assisted proof of the existence of the Lorenz attractor in the Shimizu-Morioka system //Nonlinearity. - 2018. - Т. 31. - №. 12.

- С. 5410.

[37] Гонченко С. В., Кайнов М., Казаков А.О., Тураев Д.В. О методах проверки псевдогиперболичности странных аттракторов //Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. - 2021. - Т. 29. - №. 1. - С. 160-185.

[38] Kuptsov P. V., Kuznetsov S. P. Lyapunov analysis of strange pseudohyperbolic attractors: angles between tangent subspaces, local volume expansion and contraction //Regular and Chaotic Dynamics. - 2018. - Т. 23. - С. 908-932.

[39] Shilnikov L. P. The bifurcation theory and quasi-hyperbolic attractors //Uspehi Mat. Nauk. - 1981. - Т. 36. - С. 240-241.

[40] Ovsyannikov I. I., Turaev D. V. Analytic proof of the existence of the Lorenz attractor in the extended Lorenz model //Nonlinearity. - 2016. - Т. 30. - №. 1. - С. 115.

[41] Shil'nikov A. L., Shil'nikov L. P., Turaev D. V. Normal forms and Lorenz attractors //International Journal of Bifurcation and Chaos. - 1993. - Т. 3. - №. 05. - С. 1123-1139.

[42] Hayashi S. Hyperbolicity, stability, and the creation of homoclinic points //Proceedings of the International Congress of Mathematicians. - 1998. - Т. 2. - С. 789-796.

[43] Шильников Л.П. Теория бифуркаций и турбулентность. Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Межвуз. сб. Горький: ГГУ. 1986. С. 150-163.

[44] Gonchenko S. V., Turaev D. V., Gaspard P., Nicolis G. Complexity in the bifurcation structure of homoclinic loops to a saddle-focus //Nonlinearity. - 1997. - Т. 10. - №. 2. - С. 409.

[45] Шильников Л. П. Некоторые случаи рождения периодических движений в n-мерном пространстве //ДАН СССР. - 1962. - Т. 143. - №. 2. - С. 289.

[46] Шильников Л. П. О рождении периодических движений в n-мерном пространстве //Мат. сб. - 1963. - №. 4. - С. 443.

[47] Шильников А.Л. Бифуркации и хаос в системе Мориока-Шимицу //Межвузовский сб. Методы КТДУ. Горький. - 1986. - C. 180-183.

[48] Shil'nikov A. L. On bifurcations of the Lorenz attractor in the Shimizu-Morioka model //Physica D: Nonlinear Phenomena. - 1993. - Т. 62. - №. 1-4. - С. 338-346.

[49] Chua L., Komuro M., Matsumoto T. The double scroll family //IEEE transactions on circuits and systems. - 2003. - Т. 33. - №. 11. - С. 1072-1118.

[50] Rossler O. E. An equation for continuous chaos //Physics Letters A. - 1976. - Т. 57. - №. 5. - С. 397-398.

[51] Gavrilov N. K., Shil'nikov L. P. On three-dimensional dynamical systems close to systems with a structurally unstable homoclinic curve. I //Mathematics of the USSR-Sbornik. -

1972. - Т. 17. - №. 4. - С. 467.

[52] Gavrilov N. K., Shil'nikov L. P. On three-dimensional dynamical systems close to systems with a structurally unstable homoclinic curve. II //Mathematics of the USSR-Sbornik. -

1973. - Т. 19. - №. 1. - С. 139.

[53] Aframovich V.S., Shilnikov L.P. Strange attractors and quasiattractors. Nonlinear Dynamics and Turbulence, eds G.I.Barenblatt, G.Iooss, D.D.Joseph. Boston, Pitmen. 1983.

[54] Gonchenko S. V., Shil'nikov L. P., Turaev D. V. Quasiattractors and homoclinic tangencies //Computers & Mathematics with Applications. - 1997. - Т. 34. - №. 2-4. - С. 195-227.

[55] Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований; Часть 2, 2009. 546 с.

[56] Gonchenko A., Gonchenko S., Kazakov A., Turaev D. Simple scenarios of onset of chaos in three-dimensional maps //International Journal of Bifurcation and Chaos. - 2014. - Т. 24. - №. 08. - С. 1440005.

[57] Гонченко А. С., Козлов А. Д. О сценариях возникновения хаоса в трехмерных неори-ентируемых отображениях //Журнал Средневолжского математического общества. -2016. - Т. 18. - №. 4. - С. 17-29.

[58] Козлов А. Д. Примеры странных аттракторов в трехмерных неориентируемых отображениях //Журнал Средневолжского математического общества. - 2017. - Т. 19. -№. 2. - С. 62-75.

[59] Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. Москва, Наука. - 1967.

[60] Guckenheimer J. et al. Global bifurcations //Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifurcations of vector fields. - 1983. - С. 289-352.

[61] Lyubimov D. V., Zaks M. A. Two mechanisms of the transition to chaos in finite-dimensional models of convection //Physica D: Nonlinear Phenomena. - 1983. - Т. 9. -№. 1-2. - С. 52-64.

[62] Rovella A. The dynamics of perturbations of the contracting Lorenz attractor //Boletim da Sociedade Brasileira de Matematica-Bulletin/Brazilian Mathematical Society. - 1993. -Т. 24. - №. 2. - С. 233-259.

[63] Williams R. F. The structure of Lorenz attractors //Publications Mathematiques de l'IHES. - 1979. - Т. 50. - С. 73-99.

[64] Morales C. A., Pacifico M. J., Pujals E. R. Robust transitive singular sets for 3-flows are partially hyperbolic attractors or repellers //Annals of mathematics. - 2004. - С. 375-432.

[65] Pujals E. From hyperbolicity to dominated splitting. - Inst. de Matematica Pura e Aplicada, 2006.

[66] Pujals E. R., Sambarino M. On the dynamics of dominated splitting //Annals of mathematics. - 2009. - С. 675-739.

[67] Barros D., Bonatti C., Pacifico M. J. Upper, down, two-sided Lorenz attractor, collisions, merging, and switching //Ergodic Theory and Dynamical Systems. - 2024. - Т. 44. - №. 10. - С. 2737-2781.

[68] Gonchenko S. V., Turaev D. V. On three types of dynamics and the notion of attractor //Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. - 2017. - Т. 297. - С. 116-137.

[69] Ruelle D. Small random perturbations of dynamical systems and the definition of attractors //Communications in Mathematical Physics. - 1981. - Т. 82. - С. 137-151.

[70] Coullet P., Tresser C., Arneodo A. Transition to stochasticity for a class of forced oscillators //Physics letters A. - 1979. - Т. 72. - №. 4-5. - С. 268-270.

[71] Arneodo A., Coullet P., Tresser C. Possible new strange attractors with spiral structure. - 1981.

[72] Шильников Л. П. Об одном случае существования счетного множества периодических движений //ДАН СССР. - 1965. - Т. 160. - №. 3. - С. 558-561.

[73] Овсянников И. М., Шильников Л. П. О системах с гомоклинической кривой седло-фокуса //Математический сборник. - 1986. - Т. 130. - №. 4 (8. - С. 552-570.

[74] Arneodo A., Coullet P., Tresser C. Oscillators with chaotic behavior: An illustration of a theorem by Shil'nikov //Journal of Statistical Physics. - 1982. - Т. 27. - С. 171-182.

[75] Gonchenko A. S. et al. Elements of contemporary theory of dynamical chaos: A tutorial. Part I. Pseudohyperbolic attractors //International Journal of Bifurcation and Chaos. -2018. - Т. 28. - №. 11. - С. 1830036.

[76] Казаков А. О., Козлов А. Д. Несимметричный аттрактор Лоренца как пример нового псевдогиперболического аттрактора в трехмерных системах //Журнал Средневолж-ского математического общества. - 2018. - Т. 20. - №. 2. - С. 187-198.

[77] Smale S. Differentiable dynamical systems //Bulletin of the American mathematical Society. - 1967. - Т. 73. - №. 6. - С. 747-817.

[78] Williams R. F. One-dimensional non-wandering sets //Topology. - 1967. - Т. 6. - №. 4. -С. 473-487.

[79] Gould G. G. et al. Dynamical systems IX: dynamical systems with hyperbolic behaviour.

- Berlin, Heidelberg : Springer, 1995. - Т. 66.

[80] Kuznetsov S. P., Seleznev E. P. A strange attractor of the Smale-Williams type in the chaotic dynamics of a physical system //Journal of Experimental and Theoretical Physics.

- 2006. - Т. 102. - С. 355-364.

[81] Kuznetsov S. P., Pikovsky A. Autonomous coupled oscillators with hyperbolic strange attractors //Physica D: Nonlinear Phenomena. - 2007. - Т. 232. - №. 2. - С. 87-102.

[82] Kuznetsov S. P. Hyperbolic chaos. - 2012.

[83] Marsden J. Lecture I Attempts to relate the navier-stokes equations to turbulence //Turbulence Seminar: Berkeley 1976/77. - Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 2006. - С. 1-22.

[84] Williams R. F. The structure of Lorenz attractors //Publications Mathematiques de l'IHES. - 1979. - Т. 50. - С. 73-99.

[85] Shilnikov L. P. Bifurcation theory and the Lorenz model //Appendix to Russian edition of The Hopf Bifurcation and Its Applications. - 1980. - С. 317-335.

[86] Robinson C. Homoclinic bifurcation to a transitive attractor of Lorenz type //Nonlinearity.

- 1989. - Т. 2. - №. 4. - С. 495.

[87] Rychlik M. R. Lorenz attractors through Shil'nikov-type bifurcation. Part I //Ergodic Theory and Dynamical Systems. - 1990. - Т. 10. - №. 4. - С. 793-821.

[88] Robinson C. Homoclinic bifurcation to a transitive attractor of Lorenz type, II //SIAM journal on mathematical analysis. - 1992. - Т. 23. - №. 5. - С. 1255-1268.

[89] Belykh V. N., Barabash N. V., Belykh I. V. A Lorenz-type attractor in a piecewise-smooth system: Rigorous results //Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. - 2019.

- Т. 29. - №. 10.

[90] Li D., Turaev D. Persistent heterodimensional cycles in periodic perturbations of Lorenz-like attractors //Nonlinearity. - 2020. - Т. 33. - №. 3. - С. 971.

[91] Pusuluri K., Meijer H. G. E., Shilnikov A. L. Homoclinic puzzles and chaos in a nonlinear laser model //Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. - 2021. -Т. 93. - С. 105503.

[92] Malkin M., Safonov K. Entropy charts and bifurcations for Lorenz maps with infinite derivatives //Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. - 2021. - Т. 31. -№. 4.

[93] Kazakov A. On bifurcations of Lorenz attractors in the Lyubimov-Zaks model //Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. - 2021. - Т. 31. - №. 9.

[94] Belykh V. N., Barabash N. V., Belykh I. V. Sliding homoclinic bifurcations in a Lorenztype system: Analytic proofs //Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. -2021. - Т. 31. - №. 4.

[95] Bonatti C., Barros D., Pacifico M. J. Up, down, two-sided Lorenz attractor, collisions, merging and switching. - 2021.

[96] Borisov A. V., Kazakov A. O., Sataev I. R. The reversal and chaotic attractor in the nonholonomic model of Chaplygin's top //Regular and Chaotic Dynamics. - 2014. - Т. 19. - С. 718-733.

[97] Gonchenko S., Gonchenko A., Kazakov A., Samylina E. On discrete Lorenz-like attractors //Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. - 2021. - Т. 31. - №. 2.

[98] Gonchenko S. V., Gonchenko A. S., Ovsyannikov I. I., Turaev D. V. Examples of Lorenz-like Attractors in Henon-likeMaps //Mathematical Modelling of Natural Phenomena. -2013. - Т. 8. - №. 5. - С. 48-70.

[99] Takens F. Unfoldings of certain singularities of vectorfields: Generalized Hopf bifurcations //Journal of Differential Equations. - 1973. - Т. 14. - №. 3. - С. 476-493.

[100] Arnold V. I. Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations. -Springer Science & Business Media, 2012. - Т. 250.

[101] Shil'nikov L. P. Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics. - World Scientific, 2001. - Т. 5.

[102] Shilnikov A. L. Bifurcations and chaos in the Shimizu-Marioka system //in Methods and Qualitative Theory of Differential Equations, Gorky State University. - 1986. - С. 180-193.

[103] Shilnikov A. L. Bifurcation and chaos in the Morioka-Shimizu system //Selecta Math. Soviet. - 1991. - Т. 10. - №. 2. - С. 105-117.

[104] Симонов А. А. Исследование кусочно-монотонных преобразований интервала методами символической динамики //Доклады Академии наук. - Российская академия наук, 1978. - Т. 238. - №. 5. - С. 1063-1066.

[105] Bindel D. et al. CL MATCONTL: a continuation toolbox for large equilibrium problems in MATLAB. - 2008.

[106] Meijer H. et al. Matcontm, a toolbox for continuation and bifurcation of cycles of maps: command line use //Universiteit Gent, Utrecht University, and University of Twente. -2017.

[107] Neirynck N. Advances in numerical bifurcation software: MatCont : дис. - Ghent University, 2019.

[108] Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., & Strelcyn J. M. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems; a method for computing all of them. Part 1: Theory //Meccanica. - 1980. - Т. 15. - С. 9-20.

[109] Chenciner A. Bifurcations de points fixes elliptiques-I. Courbes invariantes //Publications Mathematiques de l'IHES. - 1985. - Т. 61. - С. 67-127.

[110] Kuznetsov Y. A., Meijer H. G. E., van Veen L. The fold-flip bifurcation //International Journal of Bifurcation and Chaos. - 2004. - Т. 14. - №. 07. - С. 2253-2282.

[111] Gavrilov N. On some bifurcations of an equilibrium with two pairs of pure imaginary roots //Methods of Qualitative Theory of Differential Equations. - 1980. - С. 17-30.

[112] Kuznetsov Y. A., Kuznetsov I. A., Kuznetsov Y. Elements of applied bifurcation theory.

- New York : Springer, 1998. - Т. 112. - С. 591.

[113] Afraimovich V. S. Strange attractors and quasi attractors //Nonlinear and turbulent processes in physics. - 1984. - С. 1133.

[114] Arneodo A., Coullet P. H., Spiegel E. A. Cascade of period doublings of tori //Physics Letters A. - 1983. - Т. 94. - №. 1. - С. 1-6.

[115] Arneodo A., Coullet P. H., Spiegel E. A., & Tresser, C. Asymptotic chaos //Physica D: Nonlinear Phenomena. - 1985. - Т. 14. - №. 3. - С. 327-347.

[116] Arneodo A., Coullet P. H., Spiegel E. A. The dynamics of triple convection //Geophysical & Astrophysical Fluid Dynamics. - 1985. - Т. 31. - №. 1-2. - С. 1-48.

[117] Ibaiiez S., Rodriguez J. A. Shil'nikov configurations in any generic unfolding of the nilpotent singularity of codimension three on R3 //Journal of Differential Equations. -2005. - Т. 208. - №. 1. - С. 147-175.

[118] Shimizu T., Morioka N. On the bifurcation of a symmetric limit cycle to an asymmetric one in a simple model //Physics Letters A. - 1980. - Т. 76. - №. 3-4. - С. 201-204.

[119] Newhouse S. E. Nondensity of Axiom A (a) on S2 //Global analysis. - 1970. - Т. 1. - С. 191.

[120] Newhouse S. E. Diffeomorphisms with infinitely many sinks //Topology. - 1974. - Т. 13.

- №. 1. - С. 9-18.

[121] Гонченко С. В., Тураев Д. В. и Шильников Л. П. 1991 О моделях с негрубыми гомоклиническими кривыми Пуанкаре //Доклады Академии наук СССР. - 1991. - Т. 320. - №. 2.

[122] Gonchenko V. S., Turaev D. V., Shilnikov L. P. On models with a non-rough homoclinic Poincare curve //Physica D. - 1993. - Т. 62. - С. 1-14.

[123] Гонченко С. В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. О существовании областей Ньюхауса в окрестности систем с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре (многомерный случай) //Доклады Академии наук. - Российская академия наук, 1993. - Т. 329. - №. 4. - С. 404-407.

[124] Palis J., Viana M. High dimension diffeomorphisms displaying infinitely many periodic attractors //Annals of mathematics. - 1994. - Т. 140. - №. 1. - С. 207-250.

[125] Karatetskaia E., Kazakov A., Safonov K., Turaev D. Analytic proof of the emergence of new type of Lorenz-like attractors from the triple instability in systems with Z4-symmetry //Journal of Differential Equations. - 2025. - T. 430. - С. 113189.

[126] Gonchenko S. V., Meiss J. D., Ovsyannikov I. I. Chaotic dynamics of three-dimensional Henon maps that originate from a homoclinic bifurcation //arXiv preprint nlin/0510061. -2005.

[127] Gonchenko S. V., Gonchenko V. S., Tatjer J. C. Bifurcations of three-dimensional diffeomorphisms with non-simple quadratic homoclinic tangencies and generalized Hnenon maps //Regular and Chaotic Dynamics. - 2007. - Т. 12. - С. 233-266.

[128] Gonchenko S. V., Ovsyannikov I. I. On global bifurcations of three-dimensional diffeomorphisms leading to Lorenz-like attractors //Mathematical Modelling of Natural Phenomena. - 2013. - Т. 8. - №. 5. - С. 71-83.

[129] Gonchenko S. V., Ovsyannikov I. I., Tatjer J. C. Birth of discrete Lorenz attractors at the bifurcations of 3D maps with homoclinic tangencies to saddle points //Regular and Chaotic Dynamics. - 2014. - Т. 19. - С. 495-505.

[130] Hampton A. E., Meiss J. D. Anti-integrability for three-dimensional quadratic maps //SIAM Journal on Applied Dynamical Systems. - 2022. - Т. 21. - №. 1. - С. 650-675.

[131] Hampton A. E., Meiss J. D. The three-dimensional generalized Hnenon map: Bifurcations and attractors //Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. - 2022. - Т. 32. - №. 11.

[132] Malkin M. I. Rotation intervals and dynamics of Lorenz-like maps //Methods of Qualitative Theory of Differntial Equations. - 1985. - С. 122-139.

[133] Creaser J. L., Krauskopf B., Osinga H. M. Finding first foliation tangencies in the Lorenz system //SIAM Journal on Applied Dynamical Systems. - 2017. - Т. 16. - №. 4. - С. 2127-2164.

[134] Kazakov A. On bifurcations of Lorenz attractors in the Lyubimov-Zaks model //Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. - 2021. - Т. 31. - №. 9.

[135] Dhooge A., Govaerts W., Kuznetsov Y. A., Meijer H. G. E., & Sautois B. New features of the software MatCont for bifurcation analysis of dynamical systems //Mathematical and Computer Modelling of Dynamical Systems. - 2008. - Т. 14. - №. 2. - С. 147-175.

[136] De Witte V., Govaerts W., Kuznetsov Y. A., & Friedman M. Interactive initialization and continuation of homoclinic and heteroclinic orbits in MATLAB //ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS). - 2012. - Т. 38. - №. 3. - С. 1-34.

[137] Kuznetsov S. P. Dynamical chaos. Phis.-Mat. Lit., lectures 9-10. - 2001.

[138] Bykov V. V. On the generation of a non-trivial hyperbolic set from a contour formed by separatrices of saddles //Methods of the Qualitative Theory of Differential Equations. -1988. - С. 22-32.

[139] Bykov V. V. The bifurcations of separatrix contours and chaos //Physica D: Nonlinear Phenomena. - 1993. - Т. 62. - №. 1-4. - С. 290-299.

[140] Bykov V. V., Shilnikov A. L. On the boundaries of the domain of existence of the Lorenz attractor //Methods of Qualitative Theory and Theory of Bifurcations. Gorky State University, Gorky. - 1989. - С. 151-159.

[141] Barrio R., Shilnikov A., Shilnikov L. Kneadings, symbolic dynamics and painting Lorenz chaos //International Journal of Bifurcation and Chaos. - 2012. - Т. 22. - №. 04. - С. 1230016.

[142] Xing T., Barrio R., Shilnikov A. Symbolic quest into homoclinic chaos //International Journal of Bifurcation and Chaos. - 2014. - Т. 24. - №. 08. - С. 1440004.

[143] Шильников Л. П. Теория бифуркаций и квазигиперболические аттракторы //Успехи мат.наук. - 1981. - Т. 36. - С. 240.

[144] Pusuluri K., Shilnikov A. Homoclinic chaos and its organization in a nonlinear optics model //Physical Review E. - 2018. - Т. 98. - №. 4. - С. 040202.

[145] Pusuluri K., Meijer H. G. E., Shilnikov A. L. Homoclinic puzzles and chaos in a nonlinear laser model //Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. - 2021. -Т. 93. - С. 105503.

[146] Verner J. H. Explicit Runge-Kutta methods with estimates of the local truncation error //SIAM Journal on Numerical Analysis. - 1978. - Т. 15. - №. 4. - С. 772-790.

[147] Golmakani A., Homburg A. J. Lorenz attractors in unfoldings of homoclinic-flip bifurcations //Dynamical Systems. - 2011. - Т. 26. - №. 1. - С. 61-76.

[148] Malkin M., Safonov K. Entropy charts and bifurcations for Lorenz maps with infinite derivatives //Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. - 2021. - Т. 31. -№. 4.

[149] Ashwin P., Coombes S., Nicks R. Mathematical frameworks for oscillatory network dynamics in neuroscience //The Journal of Mathematical Neuroscience. - 2016. - T. 6.

- C. 1-92.

[150] Izhikevich E. M. Dynamical systems in neuroscience. - MIT press, 2007.

[151] Taylor J. D. et al. Noise-activated barrier crossing in multiattractor dissipative neural networks //Physical Review E. - 2022. - T. 105. - №. 6. - C. 064203.

[152] Richard P., Bakker B.M., Teusink B., Van Dam K., Westerhoff H.V. Acetaldehyde mediates the synchronization of sustained glycolytic oscillations in populations of yeast cells //European journal of biochemistry. - 1996. - T. 235. - №. 1-2. - C. 238-241.

[153] Prindle A., Samayoa P., Razinkov I., Danino T., Tsimring L. S., & Hasty J.A. sensing array of radically coupled genetic 'biopixels' //Nature. - 2012. - T. 481. - №. 7379. - C. 39-44.

[154] Peskin C. S. Mathematical aspects of heart physiology //Courant Inst. Math. - 1975.

[155] Garashchuk I. R., Kazakov A. O., Sinelshchikov D. I. Synchronous oscillations and symmetry breaking in a model of two interacting ultrasound contrast agents //Nonlinear Dynamics. - 2020. - T. 101. - №. 2. - C. 1199-1213.

[156] Kuramoto Y. Chemical oscillations, waves, and turbulence// Springer Berlin Heidelberg. -1984. - C.111-140.

[157] Taylor A. F. et al. Dynamical quorum sensing and synchronization in large populations of chemical oscillators //science. - 2009. - T. 323. - №. 5914. - C. 614-617.

[158] Toiya M., Gonzalez-Ochoa H. O., Vanag V. K., Fraden S., & Epstein I. R Synchronization of chemical micro-oscillators //The Journal of Physical Chemistry Letters. - 2010. - T. 1.

- №. 8. - C. 1241-1246.

[159] Yan J., Bloom M., Bae S. C., Luijten E., Granick S. Linking synchronization to self-assembly using magnetic Janus colloids //Nature. - 2012. - T. 491. - №. 7425. - C. 578-581.

[160] Kourtchatov S. Y., Likhanskii V. V., Napartovich A. P., Arecchi F. T., Lapucci A. Theory of phase locking of globally coupled laser arrays //Physical Review A. - 1995. - T. 52. - №. 5. - C. 4089.

[161] Kozyreff G., Vladimirov A. G., Mandel P. Global coupling with time delay in an array of semiconductor lasers //Physical Review Letters. - 2000. - T. 85. - №. 18. - C. 3809.

[162] Takemura N., Takiguchi M., Notomi M. Designs toward synchronization of optical limit cycles with coupled silicon photonic crystal microcavities //Optics Express. - 2020. - T. 28.

- №. 19. - C. 27657-27675.

[163] Benz S. P., Burroughs C. J. Coherent emission from two-dimensional Josephson junction arrays //Applied physics letters. - 1991. - T. 58. - №. 19. - C. 2162-2164.

[164] Wiesenfeld K., Colet P., Strogatz S. H. Frequency locking in Josephson arrays: Connection with the Kuramoto model //Physical Review E. - 1998. - T. 57. - №. 2. - C. 1563.

[165] Mukhopadhyay S. et al. Superconductivity from a melted insulator in Josephson junction arrays //Nature Physics. - 2023. - T. 19. - №. 11. - C. 1630-1635.

[166] Martens E. A., Thutupalli S., Fourriere A., Hallatschek O. Chimera states in mechanical oscillator networks //Proceedings of the National Academy of Sciences. - 2013. - T. 110. -№. 26. - C. 10563-10567.

[167] Belykh I., Jeter R., Belykh V. Foot force models of crowd dynamics on a wobbly bridge //Science advances. - 2017. - T. 3. - №. 11. - C. 1701512.

[168] Belykh I. et al. Emergence of the London Millennium Bridge instability without synchronisation //Nature communications. - 2021. - T. 12. - №. 1. - C. 7223.

[169] Turing A. M. The chemical basis of morphogenesis //Bulletin of mathematical biology. -1990. - T. 52. - C. 153-197.

[170] Marsden J. E., McCracken M., Smale S. A mathematical model of two cells via Turing's equation //The Hopf bifurcation and its applications. - 1976. - C. 354-367.

[171] Drubi F., Ibaiiez S., Rodriguez J. A. Coupling leads to chaos //Journal of Differential Equations. - 2007. - T. 239. - №. 2. - C. 371-385.

[172] Nijholt E., Pereira T., Queiroz F. C., Turaev D. Chaotic behavior in diffusively coupled systems //Communications in Mathematical Physics. - 2023. - T. 401. - №. 3. - C. 27152756.

[173] Ashwin P., Swift J. W. The dynamics of n weakly coupled identical oscillators //Journal of Nonlinear Science. - 1992. - T. 2. - C. 69-108.

[174] Swift J. W., Strogatz S. H., Wiesenfeld K. Averaging of globally coupled oscillators //Physica D: Nonlinear Phenomena. - 1992. - T. 55. - №. 3-4. - C. 239-250.

[175] Winfree A. T. Biological rhythms and the behavior of populations of coupled oscillators //Journal of theoretical biology. - 1967. - T. 16. - №. 1. - C. 15-42.

[176] Kuramoto Y. Self-entrainment of a population of coupled non-linear oscillators //International symposium on mathematical problems in theoretical physics. - Springer Berlin Heidelberg, 1975. - C. 420-422.

[177] Afraimovich V. S., Verichev N. N., Rabinovich M. I. Stochastic synchronization of oscillation in dissipative systems //Radiophysics and Quantum Electronics. - 1986. - T. 29. - №. 9. - C. 795-803.

[178] Sakaguchi H., Kuramoto Y. A soluble active rotater model showing phase transitions via mutual entertainment //Progress of Theoretical Physics. - 1986. - T. 76. - №. 3. - C. 576-581.

[179] Berner R., Lu A., Sokolov I. M. Synchronization transitions in Kuramoto networks with higher-mode interaction //Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. - 2023.

- T. 33. - №. 7.

[180] Ashwin P., Rodrigues A. Hopf normal form with SN symmetry and reduction to systems of nonlinearly coupled phase oscillators //Physica D: Nonlinear Phenomena. - 2016. - T. 325. - C. 14-24.

[181] Watanabe S., Strogatz S. H. Integrability of a globally coupled oscillator array //Physical review letters. - 1993. - T. 70. - №. 16. - C. 2391.

[182] Strogatz S. H. From Kuramoto to Crawford: exploring the onset of synchronization in populations of coupled oscillators //Physica D: Nonlinear Phenomena. - 2000. - T. 143. -№. 1-4. - C. 1-20.

[183] Watanabe S., Strogatz S. H. Constants of motion for superconducting Josephson arrays //Physica D: Nonlinear Phenomena. - 1994. - T. 74. - №. 3-4. - C. 197-253.

[184] Ashwin P., Orosz G., Wordsworth J., Townley S. Dynamics on networks of cluster states for globally coupled phase oscillators //SIAM Journal on Applied Dynamical Systems. -2007. - T. 6. - №. 4. - C. 728-758.

[185] Bick C., Timme M., Paulikat D., Rathlev D., Ashwin P. Chaos in symmetric phase oscillator networks //Physical review letters. - 2011. - T. 107. - №. 24. - C. 244101.

[186] Bick C., Ashwin P., Rodrigues A. Chaos in generically coupled phase oscillator networks with nonpairwise interactions //Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science.

- 2016. - T. 26. - №. 9.

[187] Arefev A. M., Grines E. A., Osipov G. V. Heteroclinic cycles and chaos in a system of four identical phase oscillators with global biharmonic coupling //Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. - 2023. - T. 33. - №. 8.

[188] Rabinovich M. I., Varona P., Selverston A. I., Abarbanel H. D. Dynamical principles in neuroscience //Reviews of modern physics. - 2006. - T. 78. - №. 4. - C. 1213-1265.

[189] Jiruska P. et al. Synchronization and desynchronization in epilepsy: controversies and hypotheses //The Journal of physiology. - 2013. - T. 591. - №. 4. - C. 787-797.

[190] Choudhary D., Foster K. R., Uphoff S. Chaos in a bacterial stress response //Current biology. - 2023. - T. 33. - №. 24. - C. 5404-5414. e9.

[191] Rogers T. L., Johnson B. J., Munch S. B. Chaos is not rare in natural ecosystems //Nature ecology & evolution. - 2022. - T. 6. - №. 8. - C. 1105-1111.

[192] Rogers T. L., Johnson B. J., Munch S. B. Chaos is not rare in natural ecosystems //Nature ecology & evolution. - 2022. - T. 6. - №. 8. - C. 1105-1111.

[193] Park J. H., Hollo G., Schaerli Y. From resonance to chaos by modulating spatiotemporal patterns through a synthetic optogenetic oscillator //Nature communications. - 2024. - Т. 15. - №. 1. - С. 7284.

[194] Caponetto R. et al. Chaotic sequences to improve the performance of evolutionary algorithms //IEEE transactions on evolutionary computation. - 2003. - Т. 7. - №. 3. -С. 289-304.

[195] Varol Altay E., Alatas B. Bird swarm algorithms with chaotic mapping //Artificial Intelligence Review. - 2020. - Т. 53. - №. 2. - С. 1373-1414.

[196] Wu W., Chen Z., Ip W. H. Complex nonlinear dynamics and controlling chaos in a Cournot duopoly economic model //Nonlinear Analysis: Real World Applications. - 2010.

- Т. 11. - №. 5. - С. 4363-4377.

[197] Barnett W. A., Bella G., Ghosh T., Mattana P., Venturi B. Shilnikov chaos, low interest rates, and New Keynesian macroeconomics //Journal of Economic Dynamics and Control.

- 2022. - Т. 134. - С. 104291.

[198] Grines E. A., Kazakov A., Sataev I. R. On the origin of chaotic attractors with two zero Lyapunov exponents in a system of five biharmonically coupled phase oscillators //Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. - 2022. - Т. 32. - №. 9.

[199] Doedel E. J. et al. Continuation and bifurcation software for ordinary differential equations (with HomCont) //AUTO97, Concordia University, Canada. - 1997.

[200] Paffenroth R., Doedel E., Dichmann D. Continuation of periodic orbits around Lagrange points and AUTO2000 //AAS/AIAA Astrodynamics Specialist Conference, Quebec City, Canada. - 2001.

[201] Kuznetsov Y. A., Levitin V. V. CONTENT: A multiplatform environment for analyzing dynamical systems [Электронный ресурс].

[202] England J. P., Krauskopf B., Osinga H. M. Computing one-dimensional stable manifolds and stable sets of planar maps without the inverse //SIAM Journal on Applied Dynamical Systems. - 2004. - Т. 3. - №. 2. - С. 161-190.

[203] Krauskopf B., Osinga H. Growing 1D and quasi-2D unstable manifolds of maps //Journal of Computational Physics. - 1998. - Т. 146. - №. 1. - С. 404-419.

[204] Zhiping Y., Kostelich E. J., Yorke J. A. Calculating stable and unstable manifolds //International Journal of Bifurcation and Chaos. - 1991. - Т. 1. - №. 03. - С. 605-623.

[205] Zhiping Y., Kostelich E. J., Yorke J. A. Erratum: Calculating stable and unstable manifolds //International Journal of Bifurcation and Chaos. - 1992. - Т. 2. - С. 215.

[206] Beyn W. J., Kleinkauf J. M. The numerical computation of homoclinic orbits for maps //SIAM journal on numerical analysis. - 1997. - Т. 34. - №. 3. - С. 1207-1236.

[207] Yagasaki K. Numerical detection and continuation of homoclinic points and their bifurcations for maps and periodically forced systems //International Journal of Bifurcation and Chaos. - 1998. - Т. 8. - №. 07. - С. 1617-1627.

[208] Dieci L., Friedman M. J. Continuation of invariant subspaces //Numerical Linear Algebra with Applications. - 2001. - Т. 8. - №. 5. - С. 317-327.