Оптимальное по быстродействию управление динамическим объектом посредством ограниченной силы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат физико-математических наук Кошелев, Александр Петрович

• Кошелев, Александр Петрович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кошелев, Александр Петрович

Введение

Глава 1. Постановка задачи и исследование особенностей

1.1 Постановка задачи

1.2 Частный случай: t>o = vj

1.3 Кусочно-постоянное и постоянное управления.

1.4 Особенности решения задачи принципа максимума

1.5 Полученные результаты

Глава 2. Решение задачи в многомерном случае

2.1 Частный случай: = xj

2.2 Частный случай: vq =

2.3 Вариация величины и направления скорости

2.4 Вариация величины и направления радиус-вектора

2.5 Полученные результаты

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимальное по быстродействию управление динамическим объектом посредством ограниченной силы»

Многомерные задачи возникают в различных приложениях теории оптимального управления и теории дифференциальных игр. Их решение весьма затруднено большим количеством параметров, от которых зависят искомые величины, сложностью решения систем нелинейных дифференциальных уравнений, трудностью представления и интерпретации полученных результатов.

При решении возникает необходимость исследовать искомые величины при изменении заданных параметров, что приводит к большому количеству частных случаев, подлежащих учету, и большим вычислительным трудностям. По этой причине до недавнего времени эти задачи не могли быть решены вследствие отсутствия соответствующих вычислительных мощностей, а рассматривались лишь для небольшого количества параметров или при дополнительных упрощающих предположениях.

Среди задач этого типа можно выделить задачи оптимального управления [22, 48, 49, 58, 59, 71]. В них некоторая величина должна удовлетворять заданному интегральному или терминальному функционалу, который минимизируется или максимизируется. Наиболее распространенными с точки зрения практического применения являются задачи предельного быстродействия, то есть управления за минимальное время. Решению этих задач посвящено большое количество работ [3-14, 20-22, 25, 38, 40-49, 55-59, 70-72, 78, 79, 81-84].

Первоначально для решения задач оптимального управления использовались методы вариационного исчисления [22-24, 34, 36, 53, 58, 65, 66], а также различные методы, основанные на интерпретации условий задачи, метод фазового пространства [78].

Существенное развитие методов решения задач оптимального управления стало возможным после создания метода динамического программирования [19] и принципа максимума JI.C. Понтрягина [71].

На основе метода динамического программирования, созданы методы решения задач оптимального управления, основанные на вариации в пространстве состояний системы, доставляющие максимум гамильтониану по выбранной управляющей функции [1, 19, 24, 64, 77, 82]. Другая группа методов основана на аппроксимации области ограничения управления посредством выпуклых многогранников [24, 77, 82].

Принцип максимума позволил свести решение задачи оптимального управления к решению системы дифференциальных уравнений [21, 62, 71, 77, 82]. Если уравнения в сопряженных переменных удается проинтегрировать в аналитической форме, то решение задачи сводится к численному решению системы нелинейных уравнений [24, 26, 77, 82]. В противном случае, использовалась разностная аппроксимация системы уравнений в сопряженных переменных. В [32, 33, 75, 77] для решения задачи были использованы различные численные методы, основанные на применении разностных схем и различных аппроксимаций множества искомых параметров. Для решения задач оптимального управления применялся также метод усреднения [2, 79, 81] и метод малого параметра [3, 16, 20, 37].

Если задача не решается в общей постановке, то иногда целесообразно рассматривать частные случаи, основанные на упрощении (приближении) функционала или условий окончания процесса. Хорошо известны решения задач с нефиксированной финальной скоростью или финальным положением [3, 21, 22, 48, 58, 59]. В работах [5, 49, 58, 59, 71] рассмотрены случаи одномерного движения с учетом воздействия различных внешних сил линейной диссипации и силы упругости, силы сухого трения и др.

Для некоторых систем удается доказать характерные особенности управляющей функции, позволяющие упростить процедуру решения задачи. В работах [5, 84] были рассмотрены системы третьего порядка, в которых возможно провести аналитическое исследование. В задачах большего порядка решение строилось с учетом того, что управление будет релейной функцией, содержащей конечное число переключений [31, 32].

При решении многомерных задач оптимального управления весьма важно построить область управляемости динамической системы, позволяющая существенно упростить решение задачи и определить качественные особенности оптимального движения [18, 21, 22, 27, 30, 39, 49, 59, 60, 61, 68, 73, 74, 80]. Также получили развитие методы построения квазиоптимальных управлений [16, 27].

Задачи оптимального по быстродействию управления динамическим объектом посредством ограниченного по величине управляющего ускорения возникают в различных областях теории управления. В области управления KJ1A [15, 17, 28, 31, 35], самолетами [54, 63, 67, 69, 85], мобильными роботами и транспортными средствами [29]. В задачах гашения колебаний [76, 81, 86], задачах оптимального управления с учетом фазовых ограничений [4, 12, 22], а также теории дифференциальных игр [1, 50-52, 83].

Следует отметить также различные задачи наведения на неподвижные объекты с учетом возмущений [49, 60], а также на подвижные объекты [31], задачи оптимального уклонения от препятствий [12] и минимизации промаха [56].

Диссертация посвящена решению задачи наискорейшего приведения многомерного динамического объекта в заданное фазовое состояние посредством управляющего ускорения, ограниченного по абсолютной величине. Движение происходит в геометрическом пространстве произвольной размерности. Цель работы исследовать оптимальное управление и время быстродействия. Построить синтез оптимального управления, исследовать время быстродействия как функцию начальных данных (функцию Беллмана) и определить качественные особенности движения.

В диссертационной работе обобщены уже известные решения задач с нефиксированной финальной скоростью и нефиксированным начальным положением динамического объекта. Эти случаи соответствуют особенностям на графиках направления управления и времени быстродействия при вариации по величине и направлению начальной скорости и начального радиус-вектора. Результаты работы [3], в которой была подробно исследована задача с нефиксированной финальной скоростью в диссертационной работе обобщены на случай равенства начальной и финальной скоростей.

Случай нулевой финальной скорости был рассмотрен в работе [11], где проинтегрированы уравнения движения, а решение задачи сведено к численному решению трансцендентного уравнения. Для этого случая получены новые результаты, основанные на выборке по величине и направлению начального положения динамического объекта.

В работе [71] рассмотрен случай одномерного движения. Характерные особенности управления и уравнения движения соответствуют случаям постоянного и кусочно-постоянного управлений в плоском случае.

Данная задача использовалась для тестирования различных численных алгоритмов [33, 77]. Рассматривались уравнения движения третьего порядка [84]. В качестве тестовых использовались как разностные схемы, так и аппроксимации множества начальных приближений.

В работах [40, 49] показана связь этой задачи с I - проблемой моментов.

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Кошелев, Александр Петрович

Заключение.

Рассмотрена задача наискорейшего приведения динамического объекта в требуемое фазовое состояние посредством ограниченного по величине управляющего ускорения. Решение задачи свелось к исследованию частных случаев: нулевого начального радиус-вектора, нулевой начальной скорости, а также выборки по величине и направлению начальной скорости и начального радиус-вектора.

Оптимальное управление находится в два этапа: численное решение системы нелинейных уравнений и решение системы линейных уравнений с коэффициентами, являющимися функциями найденных параметров.

Построен численный алгоритм решения задачи, позволяющий находить оптимальное управление и время быстродействия во всем фазовом пространстве начальных условий. Вычислительная процедура учитывает как непосредственно численное решение системы нелинейных уравнений, так и выбор начального приближения в пространстве состояний с помощью метода половинного деления. Для упрощения численного счета введена классификация управлений, позволяющая выделить и аналитически исследовать задачу для начальных условий, при которых алгоритм сходится очень медленно. На основе этой классификации построена эффективная процедура отбора кор- ней. Найдены начальные условия, соответствующие этим типам управлений.

В процессе численного моделирования обнаружены случаи неединственности решения задачи принципа максимума: до трех решений при равенстве начальной и финальной скоростей, существование постоянного и непрерывного управлений, кусочно-постоянного и непрерывного управлений. Наличие двух и больше непрерывных управлений не обнаружено. Доказана единственность оптимального решения задачи.

Для случая равенства начальной и финальной скоростей исследованы оптимальные траектории, время быстродействия и оптимальное управление. Найдены начальные условия, при которых имеет место разрыв функции Беллмана, соответствующие неединственнсти решения задачи принципа максимума.

Для случая совпадения начального и финального положений были исследованы управление и время быстродействия при различных начальных скоростях. Доказано, что оптимальная траектория, представляющая собой замкнутую кривую, находится в угле, образованном направлением начальной скорости и направлением противоположном финальной скорости, причем направление радиус-вектора является монотонной функцией времени движения. При исследовании оптимального управления установлено, что режимы, в которых в начальный момент происходит торможение, а в финальной точке разгон скорости - не являются оптимальными.

Для нулевой начальной скорости получены новые результаты, описывающие качественные особенности времени быстродействия и оптимального управления. Доказано, что оптимальная траектория, представляющая собой замкнутую кривую, находится в угле, образованном направлением начального радиус-вектора и направлением противоположном финальной скорости, причем направление радиус-вектора является монотонной функцией времени движения.

В ситуации общего положения, когда начальные и конечные условия произвольны, оптимальные траектории можно классифицировать в зависимости от направления скорости и управления в начальный и конечный моменты времени. Всего реализуются четыре типа траекторий, которые соответствуют всем возможным случаям взаимного направления скорости и управления (разгона или торможения) в начальной и финальной точках.

Исследованы выборки по величине и направлению начальной скорости и начального радиус-вектора. Установлена связь особенностей времени быстродействия и оптимального управления. Найдены начальные условия, при которых время быстродействия будет меньше, чем время, соответствующее нулевой начальной скорости. В этой области одно и то же время быстродействия достигается при двух различных величинах начальной скорости.

Полученные зависимости времени и направления управления от начальных данных позволяют решать данную задачу при ограничениях на величину и направление начальной скорости и начального радиус-вектора в форме неравенств и могут быть использованы при решении задачи с фиксированным временем движения для оптимизации величины управляющего ускорения.

На языке Visual С++ написана программа, позволяющая строить оптимальные траектории, находить время быстродействия и управление по обратной связи во всем фазовом пространстве начальных условий.

Краткая характеристика используемого подхода.

1. Интегрирование в явном виде уравнений Гамильтона и уравнений движения.

2. Введение автомодельных параметров, характеризующих управление.

3. Определение фазового пространства, в котором происходит движение (понижение порядка системы уравнений движения).

4. Сведение к системе скалярных уравнений.

5. Нахождение особых и вырожденных случаев. Их отдельное, по возможности, аналитическое рассмотрение.

6. Построение сечений в фазовом пространстве, отвечающих различным вариациям по начальным и конечным условиям.

7. Исследование оптимального управления и времени быстродействия.

8. Компьютерная реализация численного алгоритма.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кошелев, Александр Петрович, 2007 год

1. Айзеке Р. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967. 479 с.

2. Акуленко Л. Д. Асимптотические методы оптимального управления. Москва. Наука. 1987.

3. Акуленко Л. Д. Возмущенная оптимальная по быстродействию задача управления конечным положением материальной точки посредством ограниченной силы // ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 2. С. 12-21.

4. Акуленко Л. Д. Синтез управления в задаче оптимального по быстродействию пересечения сферы // ПММ. 1996. Т. 60. Вып. 5. С. 724-735.

5. Акуленко Л. Д., Костин Г. В. Аналитический синтез управления оптимального быстродействия в системе третьего порядка //ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 4. С. 532 544.

6. Акуленко Л. Д., Кошелев А. П. Наискорейшее приведение динамического объекта в начало координат при равенстве начальной и конечной скоростей // Известия РАН: Теория и системы управления. 2003. Вып. 6. С. 98 105.

7. Акуленко Л. Д., Кошелев А. П. Оптимальное по быстродействию возвращение динамического объекта с требуемой скоростью // ДАН. 2005. Т. 403. Вып. 5. С. 614 618.

8. Акуленко Л. Д., Кошелев А. П. Наискорейшее приведение динамического объекта в исходное положение с требуемой скоростью. // Известия РАН: Теория и системы управления. 2005. Вып. 5. С. 46-52.

9. Акуленко Л. Д., Кошелев А. П. Оптимальное по быстродействию уклонение от двугранного угла. Труды 49-ой научной конференции МФТИ.

10. Москва-Долгопрудный. МФТИ. III том. 2006. С. 256-257.

11. Акуленко Л. Д., Кошелев А. П. Наискорейшее приведение материальной точки в заданное положение с требуемой скоростью // ПММ. 2007. Т 71. Вып. 2. С. 228-236.

12. Акуленко Л. Д., Шматков А. М. Синтез управления в задаче оптимального по быстродействию приведения материальной точки в заданное положение с нулевой скоростью //ПММ. 1998. Т. 62. Вып. 1. С. 129 138.

13. Акуленко Л. Д., Шматков А. М. Оптимальное уклонение объекта от сферического препятствия // ДАН. 2002. Т. 387. Вып. 5.

14. Акуленко Л. Д., Шматков А. М. Оптимальное по быстродействию достижение сферы материальной точкой с нулевой скоростью. // ПММ. Том. 66. Вып. 1. 2002.

15. Акуленко Л. Д., Шматков А. М. Оптимальное по быстродействию пересечение сферы в вязкой среде. // Известия РАН: Теория и системы управления. 2007. Вып. 1.

16. Алексеев К. Б., Бебенин Г. Г. Управление космическими летательными аппаратами. М.: Машиностроение. 1974.

17. Альбрехт Э. Г. Об оптимальном управлении движением квазилинейных систем. // Дифференциальные уравнения. 1969. Т. 5. Вып. 3.

18. Алешков Ю. 3. Оптимальный вывод точки на траекторию, соответствующую требуемому методу наведения // Вестник ЛГУ, матем., мех., астроном., 1963, Вып. 19, С. 85-91.

19. Андриенко А. Я., Иванов В. П. и др. Вопросы теории терминальных систем управления (обзор), j j Автоматика и телемеханика. 1974. Вып. 5.

20. Беллман Р. Динамическое программирование. М., ИЛ, 1960.

21. Белолипецкий А. А. Линейная задача оптимального быстродействия с параметром. // ЖВМ и МФ. 1974. Т. 14. Вып. 5.

22. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969. 407 с.

23. Брайсон А., Хо Ю-Ши Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972.

24. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: Бином, 2004.

25. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980.

26. Внучков Д. В. Оптимальное по быстродействию приведение динамической системы с линейной диссипацией в заданное конечное положение // Известия РАН: Теория и системы управления. 1998. Вып. 3.

27. Габасов Р., Гневко С. В. и др. Прямой точный алгоритм построения оптимального управления в линейной задаче. // Автоматика и телемеханика. 1983. Вып. 8.

28. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука. 1974.

29. Гродзовский Г. JI., Иванов Ю. Н., Токарев В. В. Механика космического полета. Проблемы оптимизации. М.:Наука. 1975.

30. Гукасян А. А. Управление и оптимизация движений манипуляционных роботов с абсолютно твердыми и упругими звеньями. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико математических наук. Ереван. 1996.

31. Гурман В. И. Вырожденные задачи оптимального управления. М.: Наука. 1977.

32. Гуткин Л. С., Борисов Ю. П. и др. Радиоуправление реактивными снарядами и космическими аппаратами. М.: Советское радио. 1968.

33. Дубовицкий А. Я., Милютин А. А. Необходимые условия слабого экстремума в общей задаче оптимального управления. М.: Наука. 1971.

34. Дубовицкий А. Я., Рубцов В. А. Линейные быстродействия. // ЖВМ и МФ. 1968. Т. 8. Вып. 5. с. 937.

35. Иванов В. А., Фалдин Н. В. Теория оптимальных систем автоматического управления. М.: Наука, 1981. 336 с.

36. Ивашкин В. Оптимизация космических маневров. М.: Наука. 1975.

37. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М.: Наука. 1974.

38. Кириллова Л. С. Задача об оптимизации конечного состояния регулируемой системы. // Автоматика и телемеханика. Т. 24. Вып. 9. 1963.

39. Козьмин И. В. Исследование двухточечной граничной задачи для управляемой системы с симметриями. Проблемы теоретической и прикладной математики. Труды 37-ой Региональной молодежной конференции. Екатеринбург. 2006.

40. Коробов В. ИМаринич А. П., Подольский Е. Н. Управляемость линейных автономных систем при наличии ограничений на управление // Дифференциальные уравнения. 1975. Т. 11. Вып. 11.

41. Коробов В. И., Скляр Г. М. Оптимальное быстродействие и степенная проблема моментов // Мат. сб. 1987. Т. 134. Вып. 2. С. 186-206.

42. Костин Г. В. Оптимальное по быстродействию управление механической системой с учетом сил трения и гармонического возмущения, j j Известия РАН: Теория и системы управления. Вып. 4. 2005.

43. Кошелев А. П. Синтез управления в задаче оптимального по быстродействию приведения материальной точки в начало координат с заданной финальной скоростью. Труды 45-ой научной конференции МФТИ. Москва-Долгопрудный. МФТИ. III том. 2002. С. 36.

44. Кошелев А. П. Оптимальный по быстродействию разворот материальной точки. Труды 46-ой научной конференции МФТИ. Москва Долгопрудный. МФТИ. III том. 2003. С. 43.

45. Кошелев А. П. Исследование оптимального управления для линейной задачи быстродействия. Труды 47-ой научной конференции МФТИ. Москва-Долгопрудный. МФТИ. III том. 2004. С. 176.

46. Кошелев А. П. Параметрический анализ в задаче управления материальной точкой с учетом линейной диссипации и внешней силы. Труды 48-ой научной конференции МФТИ. Москва-Долгопрудный. МФТИ. III том. 2005. С. 226-228.

47. Кошелев А. П. Исследование особенностей одного класса задач оптимального быстродействия. Труды 49-ой научной конференции МФТИ. Москва-Долгопрудный. МФТИ. III том. 2006. С. 262.

48. Кошелев А. П. Оптимальное по быстродействию управление динамическим объектом посредством ограниченной силы. IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Тезисы докладов. Том I. Н.Новгород. 2006. С. 73-74.

49. Красовский Н. Н. Управление динамической системой. М.: Наука. 1985.

50. Красовский Н. Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

51. Красовский Н. Н. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука. 1970.

52. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.

53. Красовский Н. Н., Субботин А. И. Оптимальное уклонение в дифференциальной игре. Дифференциальные уравнения. 1968. 4. Вып. 12.

54. Кротов В. Ф., Гурман В. И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука. 1973.

55. Кротов В. Ф., Саргин В. Н. Об оптимальных траекториях полета самолета. Вопросы аналитической и прикладной механики. М.: Оборон-гиз. 1963.

56. Крылов И. А., Черноусько Ф. JI. О методе последовательных приближений для решения задач оптимального управления. // ЖВМ и МФ. 1962. Т. 2. Вып. 6.

57. Кузнецов А. Г., Черноусько Ф. Л. Об оптимальном управлении, минимизирующем экстремум функции фазовых координат // Кибернетика. 1968. Вып. 3. С. 50 55.

58. Ларин В. В., Науменко К. И., Супцев В. Н. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью. Киев.: Наукова думка. 1973.

59. Лейтман Дж. Введение в теорию оптимального управления. М.: Наука. 1968.

60. Летов А. М. Динамика полета и управление. М.: Наука, 1969.

61. Летов А. М. О разрыве между теорией и практикой. // Автоматика и телемеханика. 1966. Вып. 2.

62. Ли Э. Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука. 1972.

63. Любушин А. А. Модификация и исследование сходимости метода последовательных приближений для задач оптимального управления. // ЖВМ и МФ. 1982. Т. 22. Вып. 1.

64. Миеле А. Механика полета. Т. 1. Теория траекторий полета, изд-во Наука. М.: 1965.

65. Моисеев Н. Н. Численные методы оптимальных систем. М.: Наука, 1977.

66. Моисеев Н. Н. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975.

67. Неймарк Ю. И. Динамические системы и управляемые процессы. М.: Наука, 1978.

68. Несбит Р. А. Применение современных методов анализа и синтеза к системам управления летательными аппаратами. Современная теория систем управления. Сборник под редакцией К. Т. Леондеса. М.: Наука. 1970.

69. Овсеевич А. И. О полной управляемости линейных динамических систем. // ПММ. Том. 53. Вып. 5. 1989.

70. Остославский И. ВСтражева И. В. Динамика полета. Траектории летательных аппаратов. Оборонгиз. 1963.

71. Павлов А. А. Синтез релейных систем, оптимальных по быстродействию. М.: Наука, 1966.

72. Понтрягин Л. С.,Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М. : Наука, 1969. 384 с.

73. Пшеничный Б. Н. Численный метод расчета оптимального по быстродействию управления для линейных систем. // ЖВМ и МФ. 1964. 4. Вып. 1. с. 52-60.

74. Раковщик Л. С. Построение допустимых управлений. // Автоматика и телемеханика. Вып. 10. 1962.

75. Саввин А. Б. О наибыстрейшем выведении изображающей точки за пределы заданной области фазовой плоскости // Известия РАН. Техническая кибернетика. 1963. Вып. 4.

76. Тихонов А. Н. О методах регуляризации задач оптимального управления. // ДАН СССР. 1965. 162. Вып. 4. с. 763.

77. Троицкий В. А. Оптимальные процессы колебаний механических систем. JL: Машиностроение. 1976.

78. Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978.

79. Фельдбаум А. А. О синтезе оптимальных систем с помощью фазового пространства // Автоматика и телемеханика. 1955. Т. 16. Вып. 2. С. 129-149.

80. Формальский А. М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. М.: Наука, 1974.

81. Черноусько Ф. Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1988. 320 с.

82. Черноусько Ф. Л., Акуленко Л. Д., Соколов Б. Н. Управление колебаниями. М.: Наука, 1980.

83. Черноусько Ф. Л., Баничук Н. В. Вариационные задачи механики и управления. Численные методы. М.: Наука, 1973.

84. Черноусько Ф. Л., Меликян А. А. Игровые задачи управления и поиска. М.: Наука, 1978. 270 с.

85. Черноусько Ф. Л., Шматков А. М Оптимальное по быстродействию управление в одной системе третьего порядка. //ПММ. 1997. Т. 61. Вып. 5. С. 723 731.

86. Шелементьев Г. С. Об одной задаче коррекции движения. ПММ. 1969. 33. Вып. 2.

87. Balandin D. V., Bolotnik N. N., Pilkey W. ^.Optimal protection from Impact, Shock and Vibration. Gordon and Breach Science Publishers. 2001.

88. Neustadt L. W. Synthesys of time-optimal control systems. // J. Math. Anal. Appl., 1960. 1, p. 484-492.