Оптимальное управление температурным режимом в теплице тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Лашин, Дмитрий Александрович

• Лашин, Дмитрий Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лашин, Дмитрий Александрович

Введение

1 Описание предметной области

1.1 История возникновения задачи.

1.2 Формулировка задачи.

1.3 Подходы к решению задачи.

1.4 Построение математической модели.

1.5 Обзор существующих методов

2 Математическая модель на базе уравнения теплопроводности

2.1 Постановка краевой задачи.

2.2 Существование решения экстремальной задачи.

2.3 Единственность решения экстремальной задачи.

2.4 О точной управляемости

2.5 Об оптимальном управлении.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимальное управление температурным режимом в теплице»

Данная работа посвящена вопросу об управлении температурой в теплице. Решается задача управления температурным режимом в теплице, матиматическая модель которой приводит к задаче о минимизации функционала качества. В работе рассматривается одномерное уравнение теплопроводности, доказываются теоремы о существовании и единственности управляющей функции, а также выводятся условия, при которых возможно точное управление. В конце работы для некоторых классов функций найдено точное выражение на управление.

Задача управления пришла из практики, так как на сегодняшний день наблюдается недостаток алгоритмов, позволяющих с высокой точностью поддерживать температуру в теплицах. Тепличное производство -это динамично развивающаяся отрасль сельского хозяйства. К 2008 году на территории России построено всего 2500 га промышленных теплиц. Современная теплица имеет, как правило, 5 м в высоту, 140м в длину и 70м в ширину. В связи с тем, что строительство и эксплуатация теплиц свя заны с большими капиталовложениями, то требования, предъявляемые к количеству и срокам получения урожая в теплицах, всегда значительно выше, нежели к урожайности культур, растущих на открытом пространстве. Достичь предъявляемых требований можно только в том случае, когда растения обеспечены необходимыми условиями развития и роста.

Важнейшими факторами, влияющими на темпы роста и урожайность, являются сбалансированный полив и четко выдержанный микроклимат. К последнему относятся такие критерии как температура, влажность, концентрация углекислого газа, количество поступаемого света. На сегодняшний день технологическое оборудование в теплицах дает возможность регулировать практически все параметры, обуславливающие режим микроклимата и даже частично заменить солнечный свет, необходимый для фотосинтеза. Специальные лампы позволяют создать уровень света, сравнимый по интенсивности с ясным весенним днем.

Наиболее важным среди параметров микроклимата является температура воздуха в теплице. В зависимости от фазы роста и времени суток, агрономом выбирается температурный режим (график температуры), и требования таковы, что на определенной высоте, называемой точкой роста, температура должна соответствовать выбранному режиму. Точка роста -это уровень высоты в теплице, на котором в данный момент находится макушка растения, именно в этой точке зарождаются новые плоды и листья. Изменение температуры воздуха в теплице производится с помощью системы отопления, которая представляет из себя трубы, равномерно расположенные на полу теплицы. Регулировка же температуры труб осуществляется с помощью специального смесительного клапана, который смешивает воду из котельной и воду, возвращающуюся из теплицы. Таким образом, принцип управления температурой в теплице заключается в выборе такой температуры отопления, чтобы на уровне точки роста температура воздуха соответствовала заданному режиму. История возникновения систем автоматического регулирования, а также способы поддержания температуры в теплице описаны в параграфе [1.1].

В условиях стремительного развития вычислительной техники, совершенствования микроконтроллеров и разного рода датчиков в качестве системы автоматического контроля и управления температурой лучшим вариантом является использование устройств и приборов на базе ЭВМ. Добиться оптимального поддержания температуры невозможно без применения современной вычислительной техники, позволяющей быстро обрабатывать потоки информации и своевременно подавать управляющие сигналы. Однако вычислительная техника может предоставить только средство для управления температурой, а кроме этого необходим еще и математический алгоритм, на основе которого будет производиться расчет управляющих воздействий.

Проведенный анализ показал, что системы автоматического регулирования температурой, включая зарубежные, основаны, как правило, на устаревших эмпирических алгоритмах. Современные требования агрономов не могут быть удовлетворены с помощью таких систем. Поэтому разработка систем автоматического регулирования температурой, в основу которой положен анализ соответствующей математической модели, является актуальной задачей.

Итак, рассмотрим процесс распределения тепла внутри теплицы. Понимание того, как функционирует процесс, обычно выражается в виде модели, которая описывает поведение объекта. Чтобы построить такую модель, сначала необходимо выделить важные параметры (переменные) процесса: и(х,Ь): распределение температуры в теплице, температура системы отопления на полу теплицы, отток тепла через остекление теплицы, заданная температура, и(с, £): температура в теплице на высоте с (точке роста). Описание вышеперечисленных параметров процесса распределения температуры приводится в параграфе [1.2] данной работы.

Задача автоматического управления заключается в том, чтобы с помощью управляющей функции ф{Ь), с учетом оттока тепла через остекление ?/>(£), поддерживать на высоте с заданную температуру в течение времени Т. В математических терминах условие поддержания температуры г(£) на высоте с можно сформулировать, как задачу минимизации функционала (и(с,£) -2(£))2<й. Л

Существует два подхода к реализации задачи управления. Первый - это построение алгоритма управления на базе эмпирического алгоритма, например, на базе широкоизвестных ПИД (Пропорционально-Интегрально-Дифференциальных)-регуляторах. Простота таких регуляторов, с одной стороны, позволяет достаточно быстро разрабатывать системы управления, а, с другой стороны, ограничивает диапазон объектов, которыми они могут удовлетворительно управлять. Тем не менее, удивительная многосторонность ПИД-управления обеспечивает в течение длительного времени значимость и популярность данного регулятора.

Обычно ПИД-регулятор описывается функцией, связывающей ошибку е{р) = — у{Ь) и выход регулятора следующим образом х{1) = Кре(г) + ^ / + где Кр - пропорциональный коэффициент, К{ - интегральный коэффициент и соответственно К'д - дифференциальный.

Сфера применения описанного регулятора широка, начиная от металлургической промышленности и заканчивая медицинскими приборами. Для того, чтобы запустить устройство управления на базе ПИД-закона, достаточно подобрать соответствующим образом коэффициенты

Яр, Кь К(1).

Применительно к поставленной задаче расчет управляющей функции на базе ПИД будет таковым:

Основная причина использования ПИД-регуляторов для устройств регулирования температуры - это простота в разработке и реализации. Но при сильных возмущающих воздействиях такой регулятор не справляется с поставленной задачей, а временами управляющая функция и вовсе порождает колебательный процесс в (1-1,5 градуса).

Современная технология выращивания, наоборот, требует все большую точность в поддержании температуры. Более подробно об эмпирическом моделировании описано в параграфе [1.3].

Второй подход для построения алгоритма - это математическое моделирование объекта. Подход к задаче моделирования состоит в том, чтобы использовать физические законы (тина сохранения массы, энергии и импульса) для построения модели. В этом подходе используется факт, что в любой реальной системе имеются основные феноменологические законы, которые определяют связь между всеми ее внутренними параметрами. Применяя физические законы переноса тепла (теплопроводности и конвекции), получаем, что процесс распределения температуры описывается уравнением теплопроводности. Процесс построения модели описан в параграфе [1.4]. Таким образом, получаем задачу

Щ — ихх, 0 < х < I, 0 < £ < Т, их(1,г) = и(х,0) = о, где ф{€) е ^(0,Т), ф{1) £ И^(0,Г) для любого Т > 0.

1) (2)

3)

4)

0,0 = 0(0 их(1, о =

0 и(х, 0)=0 I х

Под решением задачи (1) - (4) будем понимать обобщенное решение из энергетического класса, то есть функцию и(х, ¿) € ^^(Фт), где Ят — (0,0 х (О,^1) ([1], с.15). Утверждения, доказывающие существование и единственность решения u(x,t) е V^^iQr) Для задачи (1) - (4), приводятся в параграфе [2.1] данной работы.

Пусть Т > О, z(t) е L2(0, Т). Обозначим через Um множество функций им = {Фе жКо,т), U\\W^T) < М}, где М > 0.

Для произвольного с е (0, /] определим функционал т

J[(t>]= [ (u(c:t)-z(t))2dt. (5)

Jo

Целью математического исследования является отыскание минимизирующей данный функционал функции ф(р) из предложенного класса Um-В идеале требуется получить точную управляемость. Под точной управляемостью будем понимать возможность получения в точке с следа u(x,t), почти всюду совпадающего на [0, Т] с заданной функцией z(t), и соответственно точным управлением будем называть такую функцию </>(£) G Um, при которой функционал J[0(t)] обращается в ноль: т

J[0(t)] = [ (и(с, t) — z(t))2 dt = 0.

J о

Задачи, подобные поставленной, рассматривались в работах таких авторов, как А. Г. Бутковский, Ю.В. Егоров, А.И. Егоров, Ж.-Л. Лионе и др.

Эти работы условно можно разделить на два типа. К первому относятся задачи, в которых управляющая функция должна выбираться так, чтобы в заданный момент времени температура стержня была максимально возможно близка к заданной. Ко второму типу относятся задачи на оптимальное быстродействие, т.е. задачи, в которых требуется довести температуру стержня до заданной в наиболее короткое время. Некоторые результаты этих работ приведены в параграфе [1.5].

Возвращаясь непосредственно к поставленной задаче (1) - (4), сформулируем теорему существования решения экстремальной задачи:

Теорема 2.1. Существует функция фо^) е 11м, для которой Ы

Феим

Доказательство этой теоремы приводится в параграфе [2.2]. В следующем параграфе [2.3] приводится и доказывается теорема единственности решения экстремальной задачи.

Рассмотрим класс управляющих функций и°м = {фе ^(0,Т), Т) < м, 0(0) = 0},

Теорема 2.2. Существует единственная функция фо(Ь) € для которой

Ы: т = Аф0].

Ф&м

Следующие утверждения показывают, что точная управляемость может не иметь место не только для функций г{Ь) 6 1^(0, Т), но и для С([0,Т]). Рассмотрим вопрос о точной управляемости в случае ^(¿) =0 (отсутствует поток через правый конец).

Щ = йхх, 0 < х < I, 0 < Ь < Т, (6) й(0 = (7) йх(1,г) = о, (8)

АФ) = АФо]. йО,0) = 0.

9)

Теорема 2.3. Для любого М > 0 существует такая функция € С([0 п"г1пп Лпа ^1,^0,0,0, Л\(+\ а тто ¡)ля задачи (6) - (д] выпол

Рассмотрим теперь более общий случай, когда ф 0, т.е. будем рассматривать задачу (1) - (4).

Теорема 2.4. Для любых М > 0 и Му > 0 существует такая функция Е С([0,Т]); что для любой функции ф(Ь) € и^ и любой такой ф(Ь) € ),Т)7 что \\ф^)\\цг^(о,т) < для решения задачи (1) -(4) выполняется неравенство

Теорема 2.5. Для любого Е РТ7^(0, Т1) множество Z всех функций г(Ь) Е 1,2(0, Т), для которых существует такое М > 0, что в классе 11м возможна точная управляемость (то есть существует фо Е им, такая, что J[фo} = 0), является множеством первой категории в ¿2(0, Т).

В следующем параграфе [2.5] доказывается теорема о существовании точной управляемости для Е И^2(0,Т). Более того, в рамках данной теоремы удалось выразить функцию ф(£), реализующую точное управление, через заданные функции ф(Ь) и

Теорема 2.6. Для любой ф(г) Е И^(0,Т) и для любой г(Ь) Е И^С),Т), существует такое М > 0, 'что в классе 11м имеет место точная управляемость, и управление ф(Ь) Е £/д/ илгеет вид: няется неравенство 1[ф] — (гг(с, £) — г({))2 (И > 0. оо

71=0

Подводя итоги данной работы, хотелось бы отметить, что полученные результаты позволили получить условие точной управляемости. С пракN тической точки зрения этот результат позволяет заранее предсказывать возможность или невозможность поддержания заданной в теплице температуры.

Выведенное выражение точного управления представляет большой практический интерес, так как составило основу алгоритма, реализующего автоматическое управление температурным режимом. Частично полученные результаты уже внедряются на базе систем и комплексов научно-производственной фирмы "ФИТО".

Фирма "ФИТО" организована в 1991 г. группой специалистов Специального Конструкторско-Технологического Бюро АПК "Москва". Основным направлением деятельности является разработка автоматических комплексов и систем для управления технологическими процессами (в том числе и температурой) в теплицах. В настоящее время фирма является лидером Российского рынка и ежегодно разрабатывает проекты и поставляет оборудование для 50-60 гектар защищенного грунта. С 2005 года осуществляются поставки разработанного оборудования в страны Европы.

Полученные в рамках данного исследования результаты опубликованы в работах [14] - [27].

Фотографии с действующих объектов приведены в приложении 1. Справка о внедрении приводится в приложении 2. Отзывы ведущих тепличных комбинатов — в приложении 3. Экранные формы программы, которая реализует алгоритм оптимального управления, приводятся в приложении 4.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лашин, Дмитрий Александрович, 2008 год

1. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уралъцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука 1967.

2. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир. 1972.

3. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука. 1983.

4. Рисс Ф., Секефалъви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. Москва.: Мир. 1979.

5. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Москва.: Наука. 1988.

6. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. Ленинград.: ОГИЗ. 1948.

7. Гудвин Г.К., Гребе С. Ф., Салъгадо М.Э. Проектирование систем управления. Москва.: БИНОМ. 2004.

8. Егоров Ю.В. Некоторые задачи теории оптимального управления// Ж. Выч. мат. и мат. физ.,1963, т.З, №5, с. 887-904.

9. Бутковский А.Г. Оптимальное управление в системах с распределенными параметрами// Автоматика и телемеханика, 1961, 22, № 1, с. 1726.

10. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. 7-е издание, Москва.: НАУКА, 2004.

11. Рудин У. Функциональный анализ. Москва.: МИР, 1975.

12. Ильин A.A., Калашникв A.C., Олейник O.A. Линейные уравнения второго порядка параболического типа.// Успехи матем. наук, 1962, 17, вып. 3, с. 3-146.

13. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М.: Наука,. 1978, 463 с.

14. Лашин Д.А. Использование логических выводов в управлении микроклиматом теплиц // Информационный сборник "Теплицы России", 2004, № 1, с. 33-35.

15. Лашин Д.А. IT в теплицах: симбиоз технологий // Тепличные технологии, 2005, № 2(3), с. 16.

16. Лашин Д. А. Стратегия управления микроклиматом в теплицах// Гав-риш, 2005, № 2, с. 25-26.

17. Лашин Д.А. О существовании оптимального управления температурным режимом// Тезисы Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2006, с. 141.

18. Лашин Д.А. Об оптимальном управлении температурным режимом.// Материалы Воронежской весенней математической школы, Воронеж, 2006, с. 103.

19. Лашин Д.А. Современные системы автоматического управления микроклиматом в теплицах НПФ "ФИТО11// Журнал для специалистов защищенного грунта "Теплицы России", 2006, № 3, с. 52-53.

20. Лашин Д.А. О единственности оптимального управления температурным режимом// Материалы Воронежской весенней математической школы, Воронеж, 2007, с. 105-106.

21. Лашин Д.А. О существовании оптимального управления температурным режимом // принята к печати в журнале "Современная математика и ее приложения" в 2007 г., 9 с.

22. Лашин Д.А. Искусство российских технологий. Комплексная автоматизация теплиц на базе оборудования НПФ "ФИТО"// Журнал для специалистов защищенного грунта "Теплицы России", 2007, № 4, с. 4950.

23. Лашин Д. А. Об оптимальном управлении температурным режимом // Тезисы докладов 14-й Саратовской зимней школы, Саратов, 2008, с. 99.

24. Лашин Д. А. Об одной параболической задаче с граничным управлением // Математические идеи П.Л. Чебышева, их приложение к современным проблемам естествознания. Тезисы докладов, Обнинск, 2008, с. 46-47.

25. Лашин Д.А. Об оптимальном управлении температурным режимом. Москва.: МЭСИ, 2008,17 с. Библиогр. 6 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 356-В2008 от 23.04.08.

26. Лашин Д. А. Об оптимальном управлении температурным режимом // Дифференциальные уравнения, 2008, том 44, вып. 6, с. 853.