Ослабление предпосылок о распределении и учет эффекта асимметрии в обобщенных авторегрессионных моделях условной гетероскедастичности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Трифонов Юрий Сергеевич

• Трифонов Юрий Сергеевич
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Трифонов Юрий Сергеевич

Цели и задачи исследования

Научная новизна исследования

Структура исследования

Публикация результатов исследования

Глава 1. Нарушение предпосылок о распределении случайных шоков

1.1 Обзор литературы

1.1.1 Методология оценивания GARCH моделей при нарушении предпосылки о нормальности

1.1.2 PGN распределение

1.1.3 SPL распределение

1.2 Обобщение GARCH моделей на случай с использованием полунепарамет-рических PGN и SPL распределений

1.2.1 PGN-GARCH и SPL-GARCH Модели

1.2.2 KDE-GARCH Модель

1.3 Анализ симулированных данных

1.3.1 Дизайн анализа симулированных данных

1.3.2 Результаты анализа симулированных данных

1.4 Приложение к анализу условной волатильности криптовалюты Bitcoin

1.5 Обсуждение и потенциальные направления дальнейших исследований

Глава 2. Нарушение предпосылок при моделировании премии за риск

2.1 Обзор литературы

2.1.1 Авторегрессионная модель условной гетероскедастичности (ARCH)

2.1.2 Обобщенная авторегрессионная модель условной гетероскедастич-ности (GARCH)

2.1.3 GARCH-in-Mean (GARCH-M) модель

2.1.4 Экспоненциальная ОЛИСН модель (ЕОЛИСН)

2.1.5 ОЖ-ОЛИСН модель

2.2 Ослабление предпосылки о симметричности премии за риск в моделях семейства ОЛИСН-М

2.2.1 СЛИСН-М-ОЛИ Модель

2.2.2 ОЛИСН-М-ОЛК-ЬЕУ модель

2.3 Анализ симулированных данных

2.3.1 Дизайн анализа симулированных данных

2.3.2 Результыты анализа симулированных данных

2.4 Применение метода к анализу фондового индекса Б&Р

2.4.1 Анализ с использованием полной выборки

2.4.2 Анализ 3-летних подвыборок: 2019-2021, 2018-2020,

2.4.3 Анализ 3-летних подвыборок: 2016-2018, 2015-2017, 2014-2016,

Глава 3. Моделирование премии за риск на российском фондовом рынке

с учетом эффекта асимметрии

3.1 Проблема моделирования премии за риск на фондовом рынке России

3.2 Описание данных

3.3 Эмпирический анализ с использованием предложенного метода

3.3.1 Анализ по всей выборке

3.3.2 Анализ индексов с пятилетним окном

3.4 Выводы

Заключение

Список литературы

Приложение

А Результаты анализа с использованием симулированных данных для

моделей РСК-САКСИ и БРЬ-САКСИ

В Анализ устойчивости оценок модели GARCH-M-GJR-LEV к нарушению предпосылки о нормальности

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Ослабление предпосылок о распределении и учет эффекта асимметрии в обобщенных авторегрессионных моделях условной гетероскедастичности»

Введение

Предпосылки о распределении как проблема оценивания авторегрессионных моделей условной гетероскедастичности

Одним из основных показателей, характеризующих поведение активов на финансовых рынках, является волатильность. Данный показатель выражается как стандартное отклонение доходности рассматриваемых финансовых инструментов и является индикатором уровня риска активов или портфеля ценных бумаг в совокупности (Магко"№^, 1952) (БИагре, 1964). По этой причине различные участники финансового рынка являются заинтересованными в моделировании волатильности с целью измерения уровня риска активов, а также проведения эффективной политики риск-менеджмента. В частности, моделирование волатильности является неотъемлемой частью процесса хеджирования, моделей ценообразования опционов и других областей финансов (М1га11е8-Магее1о е! а1., 2013).

Одним из наиболее широко применяемых методов моделирования условной волатиль-ности на финансовых рынках является класс обобщенных авторегрессионных моделей условной гетероскедастичности (ОЛИСН), впервые предложенный Во11еге1еу (1986) на основе работы (Е^1е, 1982). Данное семейство моделей является достаточно гибким за счет ослабления предпосылки о постоянстве условной дисперсии во времени, благодаря чему успело продемонстрировать серьезное преимущество при применении к финансовым временным рядам в сравнении с классическими линейными моделями временных рядов класса ЛИИМЛ. Однако, как и любой эконометрический инструментарий, данный класс моделей основывается на ряде предпосылок, часть из которых зачастую плохо согласуется с наблюдаемыми эмпирическими закономерностями и финансовой теорией. При этом, в результате нарушения данных предпосылок свойства оценок могут не соблюдаться, что, в свою очередь, может приводить к серьезному снижению точности оценок и прогнозов как условной волатильности, так и доходности.

Данное диссертационное исследование концентрируется на ослаблении двух типов предпосылок, приводящих к проблеме ошибок спецификации в моделях семейства ОЛИСН

Во-первых, рассматривается проблема наложения предпосылок о конкретной форме распределения случайных шоков в уравнении доходности при оценивании ОЛИСН моде-

лей. Обычно модели семейства GARCH оцениваются при помощи метода максимального правдоподобия, что требует наложения предположений о виде функции плотности случайных шоков при спецификации функции правдоподобия. Классическая GARCH модель основывается на предпосылке о нормальности случайных шоков в уравнении доходности активов. Однако данная предпосылка зачастую является нереалистичной. При этом, несмотря на наличие свидетельств в пользу того, что оценки в GARCH моделях остаются состоятельными даже в случае отклонения от нормальности (Bollerslev & Wooldridge, 1992), ошибочная спецификация распределения обычно приводит к существенной потере в эффективности оценок (Feng & Shi, 2017). Так во многих эмпирических исследованиях были найдены свидетельства в пользу отклонения распределения шоков от нормального в финансовых временных рядах. В особенности реальные данные наиболее часто демонстрируют наличие явно выраженных «тяжелых» хвостов, а также скошенности в распределении (Trifonov & Potanin, 2022). Более того, некоторые исследования обнаруживали и более серьезные отклонения от нормальности. Например, при исследовании волатиль-ности акций во время британских выборов в 1987, 1992 и 1997 годах, Gemmill & Saflekos (2000) обнаружили статистические свидетельства в пользу бимодального распределения шоков. Исследователи связывали наличие мультимодальной структуры с тем, что выборы могли закончиться победой как лейбористов, так и консерваторов, и каждое из этих событий порождало различное распределение шоков. По этой причине, в некоторых случаях целесообразным является формирование предположений о нетривиальной форме распределения на основе анализа конкретных рыночных условий. Однако в общем случае невозможно гарантировать учет исследователями всех фактов, определяющих распределение случайных шоков. Это мотивирует использование гибких распределений при оценивании GARCH моделей, позволяющих учитывать отклонения от нормальности без необходимости проведения нетривиального предварительного анализа финансовых рыночных условий (Trifonov & Potanin, 2022).

Второй тип рассматриваемых предпосылок затрагивает проблему спецификации премии за риск в моделях семейства GARCH-in-Mean (GARCH-M). Данный класс моделей был впервые предложен в работе (Engle et al., 1987), и его основной особенностью является учет компоненты премии за риск в уравнении доходности. Эта особенность повлекла за собой широкое применение данного семейства моделей среди эмпирических исследовате-

лей. Однако в своей работе Bollerslev (2022) указал на множественные несогласующиеся с финансовой теорией результаты в ряде эмпирических исследований (см. (Bollerslev et al., 2006), (Hong & Linton, 2020), (Rossi & Timmermann, 2015)), использовавших семейство GARCH-M для моделирования премии за риск в доходностях финансовых активов. Согласно Bollerslev (2022), эмпирические исследования иллюстрируют противоречивые результаты, поскольку знак оценки премии за риск являлся неустойчивым как при рассмотрении различных временных периодов, так и для разных активов. При этом Bollerslev (2022) предположил, что причиной подобной несогласованности результатов при применении модели GARCH-M может являться невозможность учета моделью асимметричной зависимости между шоками в доходности и динамикой премии за риск. Поскольку классическая GARCH-M модель является симметричной, она не способна улавливать данный эффект при моделировании премии за риск. По этой причине, наложение нереалистичной предпосылки о симметричной взаимосвязи между премией за риск и шоками в доходности может приводить к несостоятельности оценок премии за риск из-за возникновения ошибки спецификации. Проблема необходимости учета эффекта асимметрии при моделировании премии за риск связана с существованием стилизованного факта о том, что инвесторы склонны запрашивать более высокую премию за риск в случае, когда волатильность вызвана отрицательными шоками в доходности («плохая [bad] волатиль-ность»), чем когда она формируется при восходящем тренде на рынке («хорошая [good] волатильность») (Bollerslev, 2022)(Trifonov & Potanin, 2024). Таким образом, проблема симметричной природы GARCH-M мотивирует разработку нового класса асимметричных GARCH-M моделей, позволяющих дифференцировать вклад «хороших» и «плохих» периодов волатильности при формировании премии за риск с целью получения ее состоятельных оценок. Кроме того, интерес представляет и непосредственное изучение самого механизма, обуславливающего соответствующую асимметрию, поскольку он отражает различные поведенческие особенности инвесторов на финансовых рынках.

Цели и задачи исследования

В роли объекта диссертационного исследования выступают обобщенные авторегрессионные модели условной гетероскедастичности в контексте моделирования условной вола-тильности на финансовых рынках. Предметом исследования являются нереалистичные

предпосылки в моделях данного семейства (ошибки спецификации). В свою очередь, основная цель исследования заключается в разработке новых методов, позволяющих ослабить данные предпосылки. Для достижения поставленной цели были определены следующие задачи.

1. Сформулировать спецификации полунепараметрических SNP-GARCH и SPL-GARCH моделей, основанных на аппроксимации неизвестной функции плотности случайных шоков эрмитовыми полиномами и сплайнами. В основу данной задачи ложится адаптация гибкого семейства распределений Gallant & Nychka (1987) к оцениваю моделей семейства GARCH с помощью метода максимального правдоподобия. Реализация данной задачи включает в себя отказ от предпосылок о распределении случайных шоков в процессе генерации данных, а также замену истинной функции плотности на ее аппроксимацию с помощью описанных методов при спецификации функции правдоподобия.

2. Осуществить программную реализацию предложенных полунепараметрических методов в статистической среде R за счет написания пакета, позволяющего оценивать предложенные методы как на симулированных, так и на реальных финансовых данных.

3. Исследовать свойства оценок предложенных методов, а также провести сравнительный анализ с существующими аналогами на основе проведения анализа с использованием численных экспериментов Монте-Карло. Основной задачей анализа выступает оценка результативности предложенных моделей при рассмотрении процессов генерации данных, характеризующихся нарушением предпосылки о конкретной форме распределения случайных шоков.

4. Определить наиболее подходящий информационный критерий для подбора оптимальной степени полинома в модели SNP-GARCH и количества узлов в сплайне в SPL-GARCH с помощью анализа симулированных данных.

5. Применить предложенные методы к анализу временного ряда доходностей крипто-валюты Биткоин с целью оценки эффективности разработанных моделей на практике.

6. Предложить и описать спецификацию нового семейства асимметричных ОЛИСН-М моделей, способных учитывать эффект асимметрии в премии за риск за счет расширения функциональной формы ОЛИ-СЛИСН на уравнение доходности актива.

7. Вывести аналитическое выражение для безусловной дисперсии ОЛИСН-М модели с асимметричной премией за риск и сформулировать теорему о необходимом условии для наличия стационарного решения системы разностных уравнений процесса.

8. Осуществить программную реализацию предложенного асимметричного семейства моделей в статистической среде И за счет написания пакета, позволяющего оценивать предложенные методы как на симулированных, так и на реальных финансовых данных.

9. Реализовать анализ симулированных данных с целью исследования устойчивости классических методов к нарушению предпосылки о симметричности премии за риск и анализа точности оценок предлагаемого метода.

10. Провести анализ фондового индекса Б&Р500, а также основных фондовых индексов России на наличие эффекта асимметрии в премии за риск с применением предложенного класса моделей.

Научная новизна исследования

В рамках данного диссертационного исследования был осуществлен следующий вклад в развитие эконометрической методологии оценивания обобщенных авторегрессионных моделей условной гетероскедастичности:

1. Предложены две полунепараметрические модификации ОЛИСН модели, основанные на приближении неизвестной функции плотности шоков эрмитовыми полиномами и сплайнами.

2. На основе анализа с использованием численных экспериментов был определен наиболее эффективный критерий для подбора оптимальной степени полинома и количества узлов в сплайне в РОК-ОЛИСН и БРЬ-ОЛИСН моделях соответственно.

3. С помощью анализа симулированных данных была проанализирована точность оценок предлагаемых полунепараметрических методов. Также был проведен анализ

устойчивости параметрических ОЛКСН моделей к нарушению предпосылок о форме распределения случайных шоков. В частности, было выявлено, что параметрические модели являются неустойчивыми к наличию бимодальной структуры распределения случайных шоков, в то время как предложенные методы демонстрируют значительное преимущество в точности оценивания.

4. Было предложен новый класс асимметричных ОЛКСН моделей, ОЛКСН-М-ОЛК-ЬЕУ, позволяющий ослабить предпосылку о симметричности премии за риск в моделях класса ОЛКСН-М. Предложенное семейство моделей позволило дифференцировать вклад «хороших» и «плохих» периодов волатильности в формирование премии за риск.

5. Было выведено аналитическое выражение для расчета безусловной дисперсии доходности в предлагаемом классе моделей. Также на основе данного выражения были выведены условия для наличия стационарного решения системы разностных уравнений.

6. Был проведен анализ устойчивости существующих моделей к нарушению предпосылки о симметричности премии за риск за счет проведения анализа на основе численных экспериментов. Также была проанализирована точность оценок предложенной ОЛКСН-М-ОЛК-ЬЕУ модели в сравнении с существующими аналогами.

Научная новизна исследования с точки зрения эмпирического анализа реальных финансовых временных рядов с использованием предложенной методологии заключается в следующем:

1. Были найдены статистические свидетельства в пользу нарушения предпосылки о нормальности распределения случайных шоков в доходности криптовалюты Битко-ин. Также была получена визуализация аппроксимированной функции плотности. При этом, согласно информационным критериям, было выявлено существенное преимущество предложенных полунепараметрических методов в сравнении с существующими альтернативами. Таким образом, были найдены свидетельства, подтверждающие актуальность развития и применения полунепараметрических методов для анализа условной волатильности на финансовых рынках.

2. Были получены оценки премии за риск с учетом эффекта асимметрии для индекса Б&Р500. Полученные результаты свидетельствовали в пользу присутствия эффекта рычага в премии за риск на американском фондовом рынке. При этом данный эффект являлся устойчивым на большинстве рассмотренных временных периодов. Кроме того, была продемонстрирована необходимость учета эффекта асимметрии при моделировании премии за риск. Так, при применении спецификаций, не учитывающих данный эффект, полученные результаты могут являться недостоверными вплоть до изменения знака оценки премии за риск, а также ее значимости. В результате, за счет применения предложенной методологии исследователи с большей вероятностью способны провести корректную интерпретацию результатов оценивания.

3. Впервые были получены оценки премии за риск с учетом эффекта асимметрии для трех ведущих фондовых индексов России: РТС, ММВБ и индекса голубых фишек. По результатам эмпирического анализа получены свидетельства в пользу значимого эффекта рычага в премии за риск на российском рынке. При этом данный эффект является противоположным к гипотезе и эмпирическим свидетельствам по американскому рынку, что, вероятно, объясняется нарушением гипотезы эффективности рынка и высокой долей иррациональных инвесторов. Данный результат согласуется с предыдущими исследованиями, посвященными анализу поведения инвесторов на фондовом рынке России.

Структура исследования

Настоящая диссертация включает введение, три главы и заключение.

Во введении представлено обоснование актуальности темы, определены объект и предмет исследования, а также сформулированы цель и задачи работы, направленные на разработку методов ослабления предпосылок о распределении случайных шоков в обобщенных авторегрессионных моделях условной гетероскедастичности. Приведен краткий обзор литературы, отражающий текущие проблемы и ограничения существующих методов. Охарактеризованы методологические основы исследования, изложена научная новизна и ключевые полученные результаты. Также во введении приведены сведения об апробации промежуточных выводов через публикации в научных изданиях и доклады

на конференциях.

Первая глава посвящена анализу устойчивости классических параметрических ОЛИСН-моделей к нарушениям предпосылок о форме распределения случайных шоков. Глава включает обзор литературы, посвященной ограничениям стандартных моделей условной гетероскедастичности, связанным с нормальностью распределения. Введены и формально описаны гибкие семейства РОК и БРЬ распределений. Представлены и формализованы новые полунепараметрические методы РОК-ОЛКСН и БРЬ-ОЛКСН, позволяющие гибко аппроксимировать неизвестную плотность распределения шоков с использованием эрмитовых полиномов и сплайнов соответственно. Разработанные методы позволяют отказаться от жестких допущений о нормальности распределения, увеличивая точность оценивания параметров.

Далее, в главе представлены результаты численных экспериментов, проведенных на симулированных данных, где сравниваются предложенные методы с классическими ОЛИСН моделями и существующими гибкими параметрическими и непараметрическими аналогами, такими как 88ТБ-ОЛКСН, 8ОЕБ-ОЛКСН и КБЕ-ОЛКСН. Анализируется эффективность информационных критериев для выбора оптимальной степени полинома и количества узлов в сплайновом представлении. В завершение главы приводится приложение методов к реальным данным, представленным доходностями криптовалюты Биткоин, в ходе которого выявлены статистически значимые отклонения от нормального распределения, а также преимущества БРЬ-ОЛКСН модели в сравнении с альтернативными методами.

Вторая глава посвящена ослаблению предпосылок при моделировании премии за риск. Приведен обзор литературы, включающий описание как различных спецификаций симметричных и асимметричных ОЛИСН моделей, так и гипотезы о дифференциации периодов волатильности. Основное внимание уделено классическим моделям ОЛКСН-М, которые предполагают симметричность премии за риск. Однако, согласно последним исследованиям, инвесторы могут по-разному реагировать на «хорошую» и «плохую» вола-тильность, что приводит к необходимости дифференцированного подхода при оценивании премии за риск.

В данной главе представлена спецификация нового класса асимметричных ОЛКСН-моделей — ОЛКСН-М-ОЛК-ЬЕУ. Данный метод учитывает эффект рычага как в урав-

нении волатильности, так и в уравнении доходности, позволяя различать влияние позитивных и негативных шоков на премию за риск. Выведено аналитическое выражение для безусловной дисперсии в данной модели и сформулированы необходимые условия стационарности процесса.

Для оценки эффективности предложенного метода проведены численные эксперименты с использованием симулированных данных, включающие сравнение ОЛИСН-М-ОЛИ-ЬЕУ модели с существующими аналогами. Исследованы случаи, когда пренебрежение асимметрией премии за риск может приводить к неточным оценкам и некорректной интерпретации результатов. Помимо этого, проведен анализ устойчивости к нарушениям предпосылок о распределении случайных шоков.

Третья глава представляет эмпирическое применение предложенного ОЛИСН-М-ОЛИ-ЬЕУ метода к анализу премии за риск на российском фондовом рынке. Рассматриваются три крупнейших индекса: РТС, ММВБ и индекс голубых фишек. Основной задачей главы является выявление асимметрии в премии за риск, связанной с различными фазами рыночной волатильности.

Глава начинается с обзора литературы, посвященного особенностям российского фондового рынка, включая высокий уровень неэффективности, спекулятивные стратегии и преобладание иррационального поведения инвесторов. В данном контексте предлагаемый метод ОЛИСН-М-ОЛИ-ЬЕУ позволяет выявить, как инвесторы оценивают риск в разные периоды, отличающиеся характером волатильности.

Далее представлены результаты оценивания модели на российских данных и их сопоставление с аналогичными оценками, полученными для индекса Б&Р 500. Эмпирически выявлено, что на российском рынке реакция премии за риск на волатильность отличается от западных рынков, что может быть связано с высоким уровнем спекулятивной активности, низкой ликвидностью и высокой долей иррациональных инвесторов. Также, найдены статистически значимые свидетельства в пользу эффекта рычага, однако его природа и влияние на премию за риск оказываются противоположными по сравнению с американскими данными.

Заключение обобщает основные результаты исследования и формулирует его ключевые выводы.

По результатам, полученным в данном исследовании, были подготовлены и опубликованы в ведущих российских и зарубежных журналах 1 следующие научные статьи:

1. Trifonov, J. & Potanin, B. (2024). GARCH-M model with an asymmetric risk premium: Distinguishing between 'good' and 'bad' volatility periods. International Review of Financial Analysis, 91.

Характеристики статьи: Scopus Q1, Список A; Объем: 1.6 авторских листа.

2. Trifonov, J., & Potanin, B. (2022). Semi-Nonparametric Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model with Application to Bitcoin Volatility Estimation.

HSE Economic Journal, 26(4), p.623-646.

Характеристики статьи: Scopus Q3, Список С; Объем: 1.2 авторских листа.

3. Трифонов Ю. С. (2023). Моделирование премии за риск на российском фондовом рынке с учетом эффекта асимметрии. Прикладная эконометрика, 71, с. 5-19. Характеристики статьи: Scopus Q3, Список B; Объем: 1 авторский лист.

4. Потанин, Б. С., & Трифонов, Ю. С. (2021). Влияние ожиданий инвесторов на цену нефти. Прикладная эконометрика, 63, с. 76-90.

Характеристики статьи: Scopus Q2, Список B; Объем: 0.8 авторских листа.

5. Трифонов, Ю. С., Потанин, Б. С. (2023). Многомерная асимметричная GARCH-модель с динамической корреляционной матрицей. Финансы: теория и практика, 26(2), с. 204-218. Характеристики статьи: Scopus Q3, Объем: 1.1 авторских листа.

Помимо публикаций, результаты диссертационного исследования были также представлены соискателем на следующих международных конференциях:

1. 2nd International Conference on Econometrics and Business Analytics (iCEBA).

American University of Armenia & Central Bank of Armenia, Erevan & Dilijan, Republic of Armenia, 2022.

Доклад: GARCH-M model with an asymmetric risk premium: Distinguishing between 'good' and 'bad' volatility periods.

хВсе журналы индексируются в международной базе цитирований Scopus.

2. VIII International Conference Modern Econometric Tools and Applications - META2022. HSE University, Nizhny Novgorod, Russia, 2022

Доклад: GARCH-M model with an asymmetric risk premium: Distinguishing between 'good' and 'bad' volatility periods.

3. VII International Conference Modern Econometric Tools and Applications — META2021. HSE University, Nizhny Novgorod, Russia, 2021

Доклад: Semi-nonparametric multivariate GARCH model with dynamic correlation matrix.

4. XXII April International Academic Conference on Economic and Social Development: 3rd Workshop "Applied Econometrics". HSE University, Moscow, Russia, 2021 Доклад: Influence of investors' expectations on oil prices.

Глава 1. Нарушение предпосылок о распределении случайных шоков

1.1 Обзор литературы

1.1.1 Методология оценивания GARCH моделей при нарушении предпосылки о нормальности

Семейство обобщённых авторегрессионных моделей условной гетероскедастичности (GARCH), предложенное Bollerslev (1986), является одним из наиболее популярных подходов к моделированию условной волатильности активов. "Классическая GARCH-модель основывается на предпосылке о нормальности распределения случайных шоков в доходности. Однако в различных эмпирических исследованиях были найдены свидетельства, что финансовые временные ряды могут отклоняться от нормальности, особенно по параметрам асимметрии и эксцесса распределения." (Trifonov & Potanin, 2022)

"Несмотря на то, что оценка классической GARCH-модели может оставаться состоятельной при нарушении предпосылки о нормальности (Bollerslev & Wooldridge, 1992), некорректная спецификация распределения обычно приводит к потерям в эффективности оценок неизвестных параметров (Feng & Shi, 2017)." (Trifonov & Potanin, 2022)

В связи с этим, исследователи обычно оценивают модели семейства GARCH при рассмотрении различных распределений случайных шоков. Впоследствии наиболее подходящее распределение выбирается на основе некоторых критериев валидации, таких как корень средней квадратичной ошибки (RMSE), информационный критерий Акаике (AIC), Байесовский информационный критерий (BIC), а также критерий Ханна-Куина (HQC).

В качестве наиболее часто рассматриваемых распределений при оценивании GARCH моделей используются распределение Стьюдента, а также обобщенное нормальное распределение (GED), так как данные виды распределений характеризуются наличием «тяжелых» хвостов, которые часто наблюдаются в доходностях финансовых инструментов (Feng & Shi, 2017). В качестве более гибких альтернатив стоит выделить применение нецентрированного распределения Стьюдента, а также обобщенного нецентрированного распределения Стьюдента. Данные виды распределений помимо наличия «тяжелых» хвостов также позволяют улавливать скошенную структуру распределения, которая часто наблюдается на реальных данных (Feng & Shi, 2017). Несмотря на то, что использование данных распределений и позволяет ослабить предпосылку о нормальности, тем не менее соответствующий подход является параметрическим и требует наложения предпосылок о конкретной форме функции плотности.

В результате, упомянутые причины привели к развитию нового пласта в литературе, посвященному развитию более гибких методов оценивания моделей семейства GARCH. Так одной из наиболее популярных альтернатив является применение ядерного оценивания функции плотности при оценивании моделей с помощью метода максимального правдоподобия. В качестве подобных подходов можно выделить KDE-GARCH и Bayesian-KDE-GARCH модели, предложенные Wang et al. (2020) и Zhang & King (2013) соответственно. Оба данных подхода обладают сравнительным преимуществом в виде отказа от предпосылок о распределении при спецификации функции правдоподобия, так как предполагаемый вид функции плотности заменяется на ее ядерную оценку. Тем не менее, данные непараметрические методы обладают существенным недостатком в виде сложности подбора ширины окна при реализации ядерного оценивания. Кроме того, данный подход характеризуется высокой сложностью вычислительной задачи, что значительно увеличивает как временные издержки, так и требования к вычислительным ресурсам при практической имплементации (Zhang & King, 2013). Наконец, были найдены свиде-

тельства в пользу того, что подход KDE-GARCH является эффективным лишь в контексте GARCH моделей с включением реализованной волатильности (RV-GARCH), когда применение к классической GARCH модели приводит к существенной потере в точности оценок в сравнении с параметрической спецификацией, предполагающей нормальное распределение шоков (Wang et al., 2020).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Трифонов Юрий Сергеевич, 2025 год

Список литературы

Маневич, В. А., Пересецкий, А. А., & Погорелова, П. В. (2022). Волатильность фондового рынка и волатильность криптовалют. Прикладная эконометрика, 65 (1), 65-76.

Хасанов, Р. Х., & Лавриненко, А. О. (2019). Оценка стоимости российского фондового рынка. Финансы и кредит, 25, 2606-2624.

Аганин, А. Д., Маневич, В. А., Пересецкий, А. А., & Погорелова, П. В. (2023). Сравнение моделей прогноза волатильности криптовалют и фондового рынка. Экономический журнал Высшей школы экономики, 27(1), 49-77.

Погорелова, П. В. (2024). Исследование влияния индексов неопределенности на волатильность bitcoin с помощью ardl модели. Прикладная эконометрика, (74), 35-50.

Борзых, Д. А., & Языков, А. А. (2019). Ks-метод обнаружения структурного сдвига в garch(1,1) моделях. Прикладная эконометрика, 54 , 90-104.

Дорофеев, М. Л., & Самарский, Г. В. (2017). Моделирование процессов финансовых пузырей на российском фондовом рынке. Финансовая аналитика: проблемы и решения, 10, 311-330.

Потанин, Б. С., & Трифонов, Ю. С. (2021). Влияние ожиданий инвесторов на цену нефти. Прикладная эконометрика, 63, 76-90.

Трифонов, Ю. С. (2023). Моделирование премии за риск на российском фондовом рынке с учетом эффекта асимметрии. Прикладная эконометрика, 71, 5-19.

Трифонов, Ю. С., & Потанин, Б. С. (2022). Многомерная асимметричная garch-модель с динамической корреляционной матрицей. Финансы: теория и практика, 26, 204-218.

Awartani, B. M., & Corradi, V. (2005). Predicting the volatility of the s&p-500 stock index via garch models: the role of asymmetries. International Journal of Forecasting, 21 (1), 167-183.

Berkes, I., & Horvath, L. (2004). The efficiency of the estimators of the parameters in garch processes. The Annals of Statistics, 32, 633-655.

Black, F. (1976). Studies of stock price volatility changes. In: Proceedings of the 1976 Meeting of the Business and Economic Statistics Section, American Statistical Association, (pp. 177-181).

Bollerslev, T. (1986). Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity. Journal of Econometrics, 31, 307-327.

Bollerslev, T. (2022). Realized semi(co)variation: Signs that all volatilities are not created equal. Journal of Financial Econometrics, 20, 219-252.

Bollerslev, T., Litvinova, J., & Tauchen, G. (2006). Leverage and volatility feedback effects in high-frequency data. Journal of Financial Econometrics, 4, 353-384.

Bollerslev, T., & Wooldridge, J. M. (1992). Quasi-maximum likelihood estimation and inference in dynamic models with time-varying covariances. Econometric Reviews, 11, 143172.

Christie, A. (1982). The stochastic behavior of common stock variances value, leverage and interest rate effects. Journal of Financial Economics, 10, 407-432.

de Boor, C. (1978). A practical guide to splines. Mathematics of Computation, 34.

Engle, R. F. (1982). Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of united kingdom inflation. Econometrica, 50, 987-1007.

Engle, R. F., Granger, C., & Kraft, D. (1984). Combining competing forecasts of inflation using a bivariate arch model. Journal of Economic Dynamics and Control, 8, 151-165.

Engle, R. F., Lilien, D. M., & Robins, R. P. (1987). Estimating time varying risk premia in the term structure: The arch-m model. Econometrica, 55, 391-407.

Fama, E. F. (1970). Efficient capital markets: A review of theory and empirical work. The Journal of Finance, 25, 383.

Feng, L., & Shi, Y. (2017). A simulation study on the distributions of disturbances in the garch model. Cogent Economics & Finance, 5.

Galanos, A. (2024). rugarch: Univariate GARCH models.. R package version 1.5-3.

Gallant, A. R., & Nychka, D. W. (1987). Semi-nonparametric maximum likelihood estimation.

Econometrica, 55, 363-390.

Gemmill, G., & Saflekos, A. (2000). How useful are implied distributions? The Journal of Derivatives, 7, 83-91.

Glosten, L. R., Jagannathan, R., & Runkle, D. E. (1993). On the relation between the expected value and the volatility of the nominal excess return on stocks. The Journal of Finance, 48, 1779-1801.

Hong, S. Y., & Linton, O. (2020). Nonparametric estimation of infinite order regression and its application to the risk-return tradeoff. Journal of Econometrics, 219, 389-424.

Kahneman, D., & Tversky, A. (1979). Prospect theory: An analysis of decision under risk. Econometrica, 47, 263-292.

Katsiampa, P. (2017). Volatility estimation for bitcoin: A comparison of garch models. Economics Letters, 158, 3-6.

Markowitz, H. (1952). Portfolio selection. The Journal of Finance, 7, 77-91.

McAleer, M., & Hafner, C. M. (2014). A one line derivation of egarch. Econometrics, 2(2), 92-97.

McAleer, M., Hoti, S., & Chan, F. (2009). Structure and asymptotic theory for multivariate asymmetric conditional volatility. Econometric Reviews, 28(5), 422-440.

Miralles-Marcelo, J. L., Miralles-Quiros, J. L., & del Mar Miralles-Quiros, M. (2013). Multivariate garch models and risk minimizing portfolios: The importance of medium and small firms. The Spanish Review of Financial Economics, 11, 29-38.

Nelson, D. B. (1991). Conditional heteroskedasticity in asset returns: A new approach.

Econometrica, 59, 347-370.

Rossi, A. G., & Timmermann, A. (2015). Modeling covariance risk in merton's icapm. The Review) of Financial Studies, 28, 1428-1461.

Sharpe, W. F. (1964). Capital asset prices: A theory of market equilibrium under conditions

of risk. The Journal of Finance, 19, 425-442.

Trifonov, J., & Potanin, B. (2022). Semi-nonparametric generalized autoregressive conditional heteroscedasticity model with application to bitcoin volatility estimation. HSE Economic Journal, 26, 623-646.

Trifonov, J., & Potanin, B. (2024). Garch-m model with an asymmetric risk premium: Distinguishing between 'good' and 'bad' volatility periods. International Review of Financial Analysis, 91.

Troster, V., Tiwari, A. K., Shahbaz, M., & Macedo, D. N. (2019). Bitcoin returns and risk: A general garch and gas analysis. Finance Research Letters, 30.

Wang, J., Jiang, Y., Zhu, Y., & Yu, J. (2020). Prediction of volatility based on realized-garch-kernel-type models: Evidence from china and the u.s. Economic Modelling, 91, 428-444.

Zhang, X., & King, M. L. (2013). Gaussian kernel garch models. Monash Econometrics and Business Statistics Working Papers, 19/13.

Zhang, X. F. (2006). Information uncertainty and stock returns. The Journal of Finance, 61, 105-137.

Приложение A Результаты анализа с использованием симулированных данных для моделей PGN-GARCH и SPL-GARCH

В данном разделе приводятся результаты анализа точности оценивания параметров, а

также внутривыборочных прогнозов условной волатильности и доходности в моделях

PGN-GARCH и SPL-GARCH с использованием выборки размером T = 300 наблюдений.

GARCH модель

Метрика Classic SGED SSTD TRUE KDE

Распределение Стьюдента

100 х RMSE(<r) 12.526 11.914 13.067 7.988 21.871

MAPE(CT) 9.060 8.532 9.897 6.049 22.334

100 х MAE(ct) 8.835 8.412 9.632 5.794 17.627

Victories % 0.58 0.50 0.77 0.23

AIC (average) 2.560 2.518 2.509 2.507 2.578

BIC (average) 2.639 2.592 2.583 2.557 2.615

HQC (average) 2.610 2.548 2.539 2.527 2.592

Нецентрированное распределение Стьюдента

100 х RMSE(<r) 18.874 11.171 13.823 4.331 23.880

MAPE(CT) 12.591 9.410 11.570 3.493 23.217

100 х MAE(ct) 12.180 8.476 10.754 3.120 18.625

Victories % 0.75 0.70 0.95 0.16

AIC (average) 2.479 1.995 1.981 1.969 2.108

BIC (average) 2.529 2.069 2.055 2.019 2.145

HQC (average) 2.450 2.024 2.011 1.989 2.122

Бимодальная смесь распределений Стьюдента

100 х RMSE(<r) 6.055 7.343 7.163 3.707 14.964

MAPE(CT) 4.769 6.083 5.900 3.026 14.157

100 х MAE(ct) 4.704 5.994 5.755 2.945 12.211

Victories % 0.40 0.38 0.77 0.26

AIC (average) 2.737 2.567 2.591 2.302 2.407

BIC (average) 2.787 2.642 2.665 2.351 2.444

HQC (average) 2.757 2.598 2.620 2.321 2.421

Бимодальная смесь нецентрированных распределений Стьюдента

100 х RMSE(<r) 6.507 7.686 9.293 2.226 14.640

MAPE(CT) 4.947 6.979 8.777 1.833 13.639

100 х MAE(ct) 4.891 6.724 8.340 1.757 11.884

Victories % 0.39 0.46 0.30 0.91 0.18

AIC (average) 2.701 2.201 2.231 1.841 2.043

BIC (average) 2.751 2.275 2.305 1.890 2.080

HQC (average) 2.721 2.230 2.260 1.861 2.058

Примечание: метрика Victories % отражает долю случаев (симуляций), на которых каждая соответствующая модель демонстрировала преимущество над классической GARCH моделью, выраженное в более низком значении метрики RMSE. Расчеты осуществлялись в рамках исследования (Trifonov & Potanin, 2022), где была представлена аналогичная таблица.

GARCH модель

Метрика PGN-AIC PGN-BIC PGN-HQC SPL-AIC SPL-BIC SPL-HQC

Распределение Стьюдента

100 х RMSE(cr) 13.494 13.076 13.445 11.902 11.572 11.875

MAPE(<r) 9.967 9.493 9.992 8.847 8.644 8.768

100 х MAE(<r) 9.622 9.247 9.643 8.573 8.356 8.515

Victories AIC (average) 2.518 2.527 2.521 2.531 2.538 2.533

BIC (average) 2.613 2.600 2.603 2.660 2.649 2.652

HQC (average) 2.556 2.557 2.554 2.583 2.582 2.580

Нецентрированное распределение Стьюдента

100 x RMSE(cr) 13.461 13.957 13.344 9.920 11.119 10.079

MAPE(<r) 10.872 11.224 10.898 8.683 9.614 8.914

100 x MAE(<r) 9.842 10.176 9.816 7.714 8.628 7.902

Victories AIC (average) 2.038 2.044 2.040 2.003 2.013 2.005

BIC (average) 2.173 2.168 2.169 2.151 2.141 2.145

HQC (average) 2.092 2.094 2.092 2.062 2.064 2.061

Бимодальная смесь распределений Стьюдента

100 x RMSE(cr) 5.280 5.339 5.218 5.046 5.183 5.219

MAPE(<r) 4.237 4.317 4.213 4.102 4.209 4.233

100 x MAE(<r) 4.151 4.222 4.125 4.010 4.115 4.140

Victories AIC (average) 2.318 2.326 2.320 2.346 2.348 2.346

BIC (average) 2.423 2.411 2.414 2.517 2.512 2.513

HQC (average) 2.360 2.360 2.358 2.414 2.414 2.413

Бимодальная смесь нецентрированных распределений Стьюдента

100 x RMSE(cr) 4.994 4.997 4.999 4.398 4.518 4.506

MAPE(o-) 4.120 4.109 4.118 3.964 4.052 4.070

100 x MAE(<r) 3.986 3.988 3.989 3.720 3.811 3.821

Victories AIC (average) 1.949 1.956 1.945 1.938 1.943 1.939

BIC (average) 2.087 2.083 2.084 2.121 2.113 2.115

HQC (average) 2.004 2.007 2.004 2.011 2.011 2.009

Примечание: в данной таблице приводится сравнение метрик точности по моделям РО^ОАИСИ и ЯРЬ-ОАКСИ, в которых оптимальная степень полинома и количество узлов в сплайне выбирались на основе соответствующего информационного критерия: А1С, В1С и HQC. Расчеты осуществлялись в рамках исследования (тмопоу & Ро1ашп, 2022), где была представлена аналогичная таблица.

Таблица 24: Сравнение точности оценок параметров (I), Т = 300.

GARCH модель

Метрика Classic SGED SSTD TRUE КБЕ

Распределение Стьюдента

MAPE(/t) 3.681 3.505 3.309 2.263 4.541

MAPE(w) 78.663 58.524 61.982 89.313 109.287

MAPE(a) 40.737 41.372 41.826 22.542 48.349

MAPE(/5) 20.360 17.884 17.897 20.132 32.904

Нецентрированное распределение Стьюдента

MAPE(/t) 4.081 3.619 3.569 1.916 4.862

MAPE(w) 123.542 32.098 43.378 33.004 123.705

MAPE(a) 66.829 28.020 32.447 12.174 54.221

MAPE(/5) 30.956 9.694 10.197 8.346 24.248

Бимодальная смесь распределений Стьюдента

MAPE(/t) 3.790 4.972 4.006 1.262 4.362

MAPE(w) 66.408 51.871 56.517 44.934 75.699

MAPE(a) 27.986 27.603 28.897 13.865 34.257

MAPE(/5) 14.945 12.513 14.236 9.995 18.121

Бимодальная смесь нецентрированных распределений Стьюдента

MAPE(/t) 3.396 4.229 4.916 0.921 3.845

MAPE(w) 66.276 42.683 36.116 29.713 88.018

MAPE(a) 28.987 24.133 21.897 9.008 34.290

MAPE(/5) 15.229 9.437 9.266 6.960 18.261

Примечание: расчеты осуществлялись в рамках исследования (Тпйопоу & Ро1ашп, 2022), где была

представлена аналогичная таблица.

Таблица 25: Сравнение точности оценок параметров (II), Т = 300.

ОЛИСИ модель

Метрика РОК-Л1С РОК-Б1С Рок-идс БРЬ-ЛГС БРЬ-БГС БРЬ-ИдС

Распределение Стьюдента

МЛРЕ(Д) 3.775 3.793 3.955 3.520 3.358 3.439

МЛРЕ(ш) 83.549 74.237 81.247 68.163 65.998 69.153

МЛРЕ(а) 42.161 43.348 42.772 37.469 37.276 38.055

МЛРЕ(/?) 22.162 20.488 21.777 18.486 18.530 19.217

Нецентрированное распределение Стьюдента

МЛРЕ(Д) 4.057 4.212 4.131 3.600 3.768 3.652

МЛРЕ(ш) 63.454 68.851 65.120 32.942 34.677 32.703

МЛРЕ(а) 35.845 37.847 35.592 24.340 26.207 23.838

МЛРЕ(/?) 13.294 14.194 13.130 9.055 9.878 8.960

Бимодальная смесь распределений Стьюдента

МЛРЕ(Д) 3.639 3.757 3.605 3.663 3.707 3.659

МЛРЕ(ш) 45.080 44.612 43.931 42.989 47.520 47.700

МЛРЕ(а) 22.844 25.704 23.464 21.840 23.666 23.396

МЛРЕ(/?) 10.346 10.976 10.222 9.885 11.192 10.972

Бимодальная смесь нецентрированных распределений Стьюдента

МЛРЕ(Д) 3.369 3.319 3.346 3.213 3.348 3.194

МЛРЕ(ш) 40.760 40.399 40.668 29.359 31.365 29.737

МЛРЕ(а) 20.952 20.798 20.758 15.247 16.312 15.695

МЛРЕ(/?) 10.393 10.303 10.366 7.734 7.952 7.611

Примечание: в данной таблице приводится сравнение метрик точности по моделям РО^ОАКСН и ЯРЬ-СЛИСН, в которых оптимальная степень полинома и количество узлов в сплайне выбирались на основе соответствующего информационного критерия: А1С, В1С и HQC. Расчеты осуществлялись в рамках исследования (тмопоу & Ро1ашп, 2022), где была представлена аналогичная таблица.

Приложение Б Анализ устойчивости оценок модели GARCH-

M-GJR-LEV к нарушению предпосылки о нормальности

В данном разделе представлены результаты для QMLE оценок. В таблицах 26-27 приведены результаты при допущении ¿-распределения Стьюдента, тогда как таблицы 28-29 содержат результаты на основе нецентрированного ^распределения Стьюдента.

Таблица 26: Метрики точности оценок коэффициентов (¿-распределение). Метрика/Модель GARCH-M-GJR-LEV

RMSE(/t) 8.961 7.596 5.076

RMSE(A) 5.962 3.881 3.275

RMSE(a) 10.866 4.709 3.935

RMSE03) 8.679 6.944 6.245

RMSE(Ai) 20.727 8.462 7.262

RMSE(y) - 22.989 7.666

RMSE(A2) - - 11.212

Таблица 27: Метрики точности и информационные критерии для оценок условных вола-тильностей и доходности(Ь-распределение).

Метрика/Модель GARCH-M GARCH-M-GJR GARCH-M-GJR-LEV

RMSE(A) 14.342 11.423 7.229

Victories^ % 2 % 11% 87%

RMSE(y) 92.934 92.082 87.910

Victories^% 0 % 1% 99%

AIC 2484.250 2468.050 2413.541

BIC 2508.789 2497.497 2447.896

Таблица 28: Метрики точности оценок коэффициентов (Нецентрированное ¿-распределение).

Метрика/Модель GARCH-M GARCH-M-GJR GARCH-M-GJR-LEV

RMSE(/t) 9.309 8.144 5.804

RMSE(A) 7.633 7.206 6.827

RMSE(a) 13.954 11.561 10.734

RMSE(/3) 14.588 13.559 13.519

RMSE(Ai) 24.855 24.556 21.107

RMSE(y) - 28.285 9.677

RMSE(A2) - - 15.128

Таблица 29: Метрики точности и информационные критерии для оценок условных вола-тильностей и доходности (Нецентрированное ¿-распределение).

Метрика/Модель GARCH-M GARCH-M-GJR

RMSE(A) 13.147 12.676

Victories^ % 19% 16%

RMSE(y) 83.456 83.335

Victories^ % 5% 0%

AIC 2318.284 2311.030

BIC 2342.823 2340.477

GARCH-M-GJR-LEV

10.230 65% 80.786 95% 2270.023 2304.377