Особенности электронного транспорта в средах с границами в условиях квантового эффекта Холла тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат наук Малакеева, Марина Юрьевна

• Малакеева, Марина Юрьевна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Малакеева, Марина Юрьевна

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. КЛАССИЧЕСКИЙ И КВАНТОВЫЙ ЭФФЕКТЫ ХОЛЛА

1.1 .Классический эффект Холла

1.1.1. Движение электрона в магнитном поле. Случай сильных и слабых полей

1.1.2. Обобщение тензора магнитосопротивления на зонный случай

1.2. Квантовый эффект Холла

1.2.1. Двумерный электронный газ

1.2.2. Целочисленный квантовый эффект Холла

1.2.3. Качественное объяснение квантования холловского сопротивления

1.3. Краевые состояния в целочисленном квантовом эффекте Холла

1.4. Основные выводы главы 1

ГЛАВА 2. ПРОТЕКАНИЕ ТОКА В СРЕДАХ С ГРАНИЦАМИ В УСЛОВИЯХ КВАНТОВОГО ЭФФЕКТА ХОЛЛА

2.1. Граничные условия для тока в условиях квантового эффекта Холла

2.2. Холловская проводимость слоистых сред

2.2.1. Проводимость в режиме КЭХ при протекании тока поперек слоев

2.2.2. Проводимость в режиме КЭХ при протекании тока вдоль слоев

2.3. Методы теории функции комплексного переменного в двумерной задаче проводимости

2.4 Локальные распределения токов и холловская проводимость в модели со смещением слоев

2.5. Основные выводы главы 2

ГЛАВА 3. ПРОТЕКАНИЕ ХОЛЛОВСКОГО ТОКА В МНОГОФАЗНОЙ СРЕДЕ

3.1. Симметрия двумерной системы относительно линейных преобразований поворота (преобразования Дыхне)

3.1.1. Преобразования симметрии для двумерной системы

3.1.2. Предельный переход к режиму квантового эффекта Холла

3.2. Эффективная холловская проводимость многофазных сред

3.3. Электронные интерферометры и интерференция краевых холловских токов

3.3.1. Принцип работы электронных интерферометров в режиме квантового эффекта Холла, реализованных с помощью квантовых точечных контактов

3.3.2. Принцип работы квантовых интерферометров на основе со-направленных краевых состояний

3.3.3. Способ разделения краевых холловских токов с помощью гетерофазных контактов

3.4. Выводы к главе 3

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ!. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Особенности электронного транспорта в средах с границами в условиях квантового эффекта Холла»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы

Изучение низкоразмерных квантовых систем привлекает к себе внимание исследователей всего мира на протяжении нескольких десятилетий. Этот интерес обусловлен, с одной стороны, тем, что низкоразмерные квантовые структуры представляют значительный интерес для фундаментальной науки в силу широкого разнообразия их квантовых свойств, необычности физических процессов, протекающих в них. Большой класс таких структур включает в себя двумерные электронные системы, в которых было открыто уникальное явление квантования поперечного холловского сопротивления - квантовый эффект Холла [1]. Открытие этого эффекта привело к интенсивному исследованию электронного транспорта в низкоразмерных квантовых системах. В результате возникла необходимость создания наиболее чувствительных измерительных приборов. Так, на основе эффекта Джозефсона, открытого в 1962 году, был разработан целый класс уникальных по своим свойствам измерительных приборов, чувствительным элементом которых является сверхпроводниковый квантовый интерферометр. Как аналог традиционных оптических интерферометров созданы твердотельные интерферометры, основанные на квантовом эффекте Холла (КЭХ). Принцип работы таких интерферометров основан на явлении интерференции краевых холловских токов [2]. Экспериментальное и теоретическое исследование таких интерференционных схем позволяет, как изучать эффекты электрон-электронного взаимодействия в одномерной электронной жидкости, так и выделить проявление анионной (дробной) статистики квазичастиц. Следовательно, исследование распределения краевых токов в условиях целочисленного квантового эффекта Холла

необходимо для разработки и усовершенствования квантовых интерферометров.

С другой стороны, интерес также обусловлен и нуждами электронной промышленности, в частности, процессом миниатюризации и переходом на наноразмеры в электронике. Так, при создании полупроводниковых гетероструктур появляется возможность управления фундаментальными параметрами в полупроводниковых материалах: шириной запрещенной зоны, эффективными массами носителей и их подвижностями, показателем преломления, электронным энергетическим спектром и т.д.

Таким образом, исследование особенностей электронного транспорта в низкоразмерных квантовых системах в условиях квантового эффекта Холла, в частности, в средах с границами является актуальным.

Цель и задачи работы

Целью настоящего диссертационного исследования является теоретическое исследование особенностей электронного транспорта в средах с границами в условиях квантового эффекта Холла (КЭХ). Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

• Сформулировать граничные условия для протекания тока в условиях целочисленного КЭХ в средах с границами;

• Установить механизм протекания краевых холловских токов через границы гетерогенных сред и вывести формулы для описания холловской проводимости в слоистых неоднородных средах;

• Найти локальные распределения токов и полей в средах с межфазными границами в режиме КЭХ;

• Обобщить метод Дыхне на случай бездиссипативных холловских фаз и вычислить эффективную холловскую проводимость многофазных сред.

Методы исследований

Поставленные задачи решались с помощью различных методов, включая общие методы теории функции комплексного переменного и метода линейных преобразований, разработанного академиком A.M. Дыхне [3,4]. Для решения задачи нахождения локальных распределений токов (полей) в средах с границами была сформулирована краевая задач Римана в векторно-матричной форме, которая в общем случае не решается. Однако для задачи протекания тока в условиях квантового эффекта Холла возможна диагонализация матрицы граничных условий и сведение к системе уравнений скалярных задач Римана. Для реализации этого алгоритма были использованы методы теории функции комплексного переменного [5,6]. Исследования проводимости многофазных сред в условиях квантового эффекта Холла осуществлялось с использованием метода линейных преобразований, разработанного академиком A.M. Дыхне и обобщенного на случай бездиссипативных фаз.

Предметом исследования являются особенности электронного транспорта в средах с границами в режиме КЭХ.

Объектом исследования являются низкоразмерные квантовые системы, в частности, среды с границами.

Научная новизна

В диссертационной работе впервые:

• детально исследовано влияние границ на протекание тока в условиях КЭХ и установлен механизм протекания холловского тока через границы фаз;

• получены выражения для локального распределения токов и полей в фазах;

• выведены соотношения дуальности для холловских проводимостей в многофазном случае и вычислены компоненты эффективного тензора холловской проводимости для многофазных сред;

• исследованы пределы применимости обобщенного подхода Дыхне. Научная и практическая значимость диссертационного исследования

состоит в том, что полученные результаты существенно дополняют известные результаты по изучению КЭХ в области исследования влияния границ, в том числе межфазных границ, на протекание тока. Установленные механизмы распределения краевых холловских токов и условия их протекания в гетерогенных материалах могут быть использованы как для интерпретации экспериментальных данных, так и для постановки новых экспериментов в режиме КЭХ. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы и при разработке и усовершенствовании квантовых твердотельных интерферометров нового типа, в которых переходы между фазами и интерференция краевых холловских токов определяются свойствами угловых контактов и могут управляться приложением электрического поля.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Механизм протекания холловского тока через границы фаз. Согласно этому механизму протекание тока в условиях КЭХ через границы фаз возможно только через сингулярные точки, в качестве которых могут выступать или угловые контакты на стыке фаз, или бесконечность.

2. Выражения для распределения локальных электрических токов и полей в условиях КЭХ в слоистых средах, которые имеют степенные особенности и отражают концентрацию токов вблизи межфазных контактов:

у, (ОН с, |ехр(д)х(0 = СхХ(£)\ Л (О Н С21 ехр^/^х-Чо = с2х-\о,

где = —=. , значения константы | С\ |,| С21 определяются условиями

л/С2-«2

на бесконечности.

3. Соотношения дуальности и выражение для эффективной холловской

проводимости многофазных (четырехфазных) сред, полученное методом

Дыхне, обобщенным на случай квантового эффекта Холла:

(сг,<т3 -ст2сг4) ^ | (а,о-3 -сг2гт4) 2 ^^(сг, + сг3)-<т1а3(о-2 (<т{ + 0-3 - СГ2 - сг4 ) (сг,+сг3-<х2-сг4) сг, + сг3 - сг2 - сг4

где сг/ - проводимости /-фазы; -проводимость по перколяционному

кластеру, образованному 1 и 3 фазами; проводимость по

перколяционному кластеру, образованному 2 и 4 фазами.

Апробации работы

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на XXXIII Международной зимней школе физиков-теоретиков «Коуровка» ,22 — 28 февраля 2010 г., Екатеринбург; на 17-й Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых учёных (ВНКСФ - 17), 25 марта-1 апреля 2011г., Екатеринбург; на IV Международной конференции "Математика, ее приложения и математическое образование" (МПМО'11) 2011г., Улан-Удэ, а также на научных семинарах кафедры «ФТиМОФ» ЗабГГПУ им. Н.Г. Чернышевского, кафедры «ФиТС» ЗабГУ и кафедры космической физики БГУ.

Личный вклад автора

Автором проведен обзор и анализ литературы, выполнены все вычисления и проанализированы точность результатов и использованных приближений. Все результаты получены автором лично или совместно с соавтором при его непосредственном участии.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 7 работ, 4 из которых изданы в журналах, рекомендуемых ВАК для опубликования основных научных результатов диссертаций, и 3 — в сборниках трудов конференций, в том числе международных. Список публикаций автора приведен в заключении диссертации.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, одного приложения и списка цитируемой литературы, содержащего 97 наименований. Общий объем диссертации составляет 102 страницы, включая 24 рисунка.

Структура и краткое содержание диссертации

Во введении дается общая характеристика работы, сформулированы цели, задачи, основные защищаемые положения работы, обоснована актуальность исследования, новизна полученных результатов, научная и практическая значимость работы.

В первой главе сделан обзор литературы по теме исследования, введены основные необходимые для дальнейшего изложения понятия, рассмотрена теория и изложены основные эксперименты по исследованию квантового эффекта Холла. Рассмотрены подходы, предложенные для описания транспорта между краевыми состояниями в режиме целочисленного квантового эффекта Холла.

Вторая глава посвящена исследованию особенностей протекания тока в средах с границами в условиях КЭХ.

В разделе 2.1 описаны особенности протекания тока в слоистых средах в режиме КЭХ и определены граничные условия для тока в условиях КЭХ.

В условиях квантового эффекта Холла электрический ток всегда перпендикулярен электрическому полю:

здесь " - единичный вектор, направленный перпендикулярно двумерной плоскости по магнитному полю, поэтому джоулево тепло при протекании тока в режиме КЭХ всегда равно нулю, т.е. холловские фазы являются бездиссипативными. Протекание тока в режиме квантового эффекта Холла также характеризуется еще одной дополнительной особенностью, а именно из обычных граничных условий непрерывности тангенциальных компонент электрического поля еи = e2t и нормальных компонент электрического тока

J\n = hn вытекают новые граничные условия для тока в условиях КЭХ:

Другими словами, холловский ток не может пересекать границу раздела фаз и всегда обтекает неоднородности, быть может, за исключением конечного числа особых точек. Соответственно, на первый взгляд, кажется, что холловская проводимость в средах с границами всегда должна обращаться в ноль, но на самом деле это не так.

В разделе 2.2 исследована холловская проводимость слоистых сред. На примере простой модели, состоящей из двух слоистых сред с различными холловскими проводимостями, рассмотрены два случая протекания тока: поперек и вдоль слоев. При протекании тока поперек слоев значение эффективной холловской проводимости

соответствует решению с постоянным электрическим полем <е>1х=<е>1х=Ех/2. На первый взгляд полученное решение (3) для холловской проводимости не совсем соответствует новым граничным

(1)

Jm = Jin = 0

(2)

(3)

условиям (2). Согласно этим условиям холловский ток не может пересекать границы раздела фаз, и соответственно, холловская проводимость должна обращаться в ноль. На самом деле, холловские токи носят краевой характер, текут вдоль границ раздела фаз и пересекаются в бесконечности, благодаря чему и осуществляется электронный транспорт. Следовательно, протекание через бесконечность и определяет ненулевое значение холловской проводимости. При протекании тока вдоль слоев выражение эффективной холловской проводимости

. (2)

_ ' V " ХУ /д\

ух о- (l)+a (2) v

ху ху

соответствует решению с постоянным электрическим током. Таким образом, холловская проводимость в слоистых средах носит тензорный характер

^ 0

&ху =

ху

у< О

(5)

причем компоненты тензора холловской проводимости не равны друг ДРУГУ- К * <

В разделе 2.3 двумерная задача проводимости переформулирована в терминах теории функции комплексных переменных[5,6]; введены комплексные выражения для двумерных электрических токов и электрических полей:

3 Кг) = Л У у ^ е К2)-ех геу

здесь к = 1,2-номера фаз. Такое представление величин возможно для функций, удовлетворяющих условиям Коши-Римана. Одно из условий Коши-Римана дает уравнение неразрывности тока:

дЛк)_ д]?

(7)

дх ду

а второе условие следует из уравнения rote = 0, равносильного для сред с кусочно-непрерывной проводимостью уравнению rotj = 0:

д 1(к) д }<к) = (8) ду дх

Аналогично уравнения шё = О ; с/г'у ё = 0, второе из которых следует из уравнения Шг 7 = 0, приводят к условиям Коши-Римана для компонент электрического поля. Закон Ома в магнитном поле также может быть представлен в комплексной форме:

Я*) = 7

(9)

В разделе 2.4 методами теории функции комплексного переменного исследована модель слоистых сред со смещением слоев в шахматном порядке и получены выражения для локального распределения токов и полей в фазах (10) в условиях квантового эффекта Холла:

МО =| Сх | екр^: ^Х(С) = СгХ(0 =1С2 | ехр ^ *-^ЛГ (О = С2Х~\0

(10)

Здесь функция Х(£) =

(С-Ж + 1)

1/2

имеет степенные особенности в углах

С

на стыках фаз. Модули коэффициентов определяются условиями на

бесконечности. Также вычислены компоненты эффективного тензора

холловской проводимости:

« /Ке(С,+С2) е 1\т(Сх+С2)

°ХУ " 1ш(р?С, + р%Сг) °ух ~ Яе(<С, + р™С2) (11}

где 1=<Х{0>=<Х~\0>.

В третьей главе рассмотрены случайно неоднородные многофазные

среды. Для изучения протекания холловского тока в многофазной среде

методы ТФКП не могут быть применены из-за невозможности построения

конформного отображения многосвязной области, поэтому для этой цели

были использованы линейные преобразования Дыхне [3, 4].

В разделе 3.1. продемонстрировано, как симметрия двумерной системы

относительно преобразований поворота (преобразования Дыхне) может

12

быть использована для получения соотношений дуальности компонент тензора проводимости. Как впервые было установлено в работах Дыхне, уравнения постоянного тока и закон Ома инвариантны относительно уравнений поворота:

] = Ь[п,ё'], ё = а[п,У] (12)

здесь Ь,с1 - постоянные коэффициенты уравнений поворота, п - нормаль к плоскости. В силу линейности указанных преобразований сохраняется закон Ома и в новой штрихованной системе / = <т' ё' . При этом проводимость штрихованной системы равна:

= (13)

асг

В случае магнитного поля используются обобщенные линейные преобразования поворота:

] = а}'+ Ь[п,ё'], ё = сё' + (1\п,У\ (14)

В штрихованной системе закон Ома также имеет тензорный вид. При этом

компоненты тензора новой штрихованной системы связаны с компонентами

тензора исходной системы следующими соотношениями:

а, <гд(дс + М)

" (<гя</)2+(*„</ +а)2

а^сй + (ссгху -Ь)(с1сгху -а) ^^

&ху =

(ст^У + (а хус1 +а)

В разделе 3.2 показано, что в отличие от случая металлических фаз в преде квантового эффекта Холла решается задача проводимости и для многофазного (4-фазного) случая. Для изучения протекания тока в многофазных средах в условиях КЭХ осуществлен предельный переход к режиму квантового эффекта Холла в полученных выше соотношениях (15). Согласно общему методу, установлены возможные симметрии перестановок и соответствующие соотношения дуальности:

1) Первая симметрия: перестановка четных и нечетных фаз местами:

9

сг[ = ст2, ст'2=<тх, (7Ъ =ст4, а\ = сг3 (1<->2, 3<->4) (16)

Согласно условиям (16) и формуле для проводимости преобразованной системы это задается коэффициентами

а =-с Ъ = ^ +<т4)~д"з°"4О1 +о~2) ^ _ + ~°~з ~°~4

1 1,1 <У\ (У2 - А ' 1 а\ а2 - СГ3СГ4

При произвольных концентрациях фаз штрихованная система оказывается дуальной по отношению к исходной: а'е(8) = сге {-8). В результате получено следующее соотношение дуальности для эффективных проводимостей четырехфазных неоднородных сред в режиме КЭХ:

(-¿К (£) + &, =ах{ае{-8) + сте(3)) (18)

2) Вторая симметрия: перестановка четных и нечетных фаз:

<т;=о-4, сг2 = сг3, сг3'=о-2, о-; =0-, (1^->4, 2^3) (19)

В этом случае коэффициенты а, Ъ, с1 принимают значения:

а =-с Ъ = °"1<74^°"2 +<тз)-°"2сгз(°"1 +°~4) ^ = +СГ4 ~°~2 ^20)

2 2' 2 <т,ог4-<72о-з ' <х,<х4 -а2сг3

и получается еще одно соотношение дуальности, аналогичное (18), но со своими коэффициентами а2, Ь2> с12.

3) Третья симметрия: перестановка четных и нечетных фаз между собой:

а,' = сг3, ^ = ст4, =ст„ а\ = <х2 (1<->3, 2<->4) (21)

В этом случае штрихованная система оказывается макроскопически эквивалентной исходной: а'е(8) = ае(8) и эффективная холловская проводимость определяется уравнением:

¿3сте(д)2+Ь3-2а3ае(8) = 0 (22)

Здесь коэффициент а3, Ь3, с13 находятся из условий (21). В результате из уравнения (22) получено выражение для эффективной холловской проводимости четырехфазной среды в режиме КЭХ:

ас (а1сгз-У2°4) ± I (р-,0-3 -о-2сг4) у о-2(т,{(т{ +о-з)-а1сг3(о-2 +сг4)

*у (сг, +а3-ст2 -ег4) у (сг, + <т3 —сг2 -сг4) с^ + сг3 -сг2 -<т4

Л разделе 3.3 описан принцип работы электронных интерферометров в режиме КЭХ и дан краткий обзор экспериментальных результатов, полученных к настоящему времени для других типов интерферометров. Транспорт по краевым состояниям позволил реализовать электронные аналоги оптических интерферометров типа Маха-Цендера и Фабри-Перо, см, например, обзор [7,8]. Указанные интерферометры работают в квантующих магнитных полях - магнитное поле, прежде всего, задаёт геометрию интерференционного прибора. В данном разделе работы предложена возможность использования установленного механизма протекания краевых холловских токов для усовершенствования твердотельных квантовых интерферометров. Особенностью конструкции таких интерферометров будет являться использование гетерофазного контакта в качестве квантового точечного контакта, позволяющего управлять интерференцией краевых холловских токов приложением электрического поля.

В заключении сформулированы основные результаты работы, приведен список публикаций автора.

В приложении 1 дается краткий обзор по математическому аппарату конформных отображений, введены основные определения и свойства, описано построение конформных отображений для случая шахматной доски.

ГЛАВА 1. КЛАССИЧЕСКИЙ И КВАНТОВЫЙ ЭФФЕКТЫ ХОЛЛА

1.1.Классический эффект Холла

1.1.1. Движение электрона в магнитном поле. Случай сильных и

слабых полей

В 1879 году американский физик Эдвин Герберт Холл (Е.Н.НаН) наблюдал появление поперечной электродвижущей силы (Э.Д.С.) в проводнике с током, находящемся во внешнем магнитном поле. Величина Э.Д.С. Холла оказалась пропорциональна напряженности магнитного поля и зависела только от концентрации носителей заряда в проводнике. Эффект Холла оказался один из немногих экспериментальным методом, позволяющим определять с высокой точностью концентрацию носителей и знак их заряда.

Коротко обсудим схему эксперимента по изучению классического эффекта Холла. Через плоскую прямоугольную пластину пропускается транспортный ток с объемной плотностью J в присутствии поперечного магнитного поля напряженности Н (рис. 1). Электроны проводимости с массой т, согласно простейшей модели Друде (1900 г.), разгоняются приложенным электрическим полем Е, отклоняются силой Лоренца во внешнем магнитном поле, и рассеиваются (например, на примесях) с характерным временем между столкновениями т (для упрощения пока не зависящим от энергии электрона) [9].

Рис.1. Геометрия стандартного эксперимента Холла

Итоговое уравнение движения электрона должно содержать все эти взаимодействия, и изменение импульса электрона Р в единицу времени будет подчиняться следующему соотношению:

<1Р = Р

—— = еЁ - — + \рЙ\ Ш тст

(1.1)

Изменение импульса происходит за счет действия магнитного и электрического полей и за счет столкновений электронов, описываемых временем релаксации т. В равновесии изменение импульса во времени равно нулю: с1РIЖ = 0. Учитывая связь плотности тока, скорости и импульса 3 = епУ = (е/т)пР, где п- плотность электронов, расписываем соотношение (1.1) по компонентам х, у. Тогда находим для тензора магнитосопротивления рар в плоскости х,у [10]:

Еа = Рар^р, а,р = х,у\

1 /ог0 кО)ст/а0

/ <7п

1/сг

(

о У

\ЯнН

-ЯнН

Ро ,

(1.2)

2

Здесь а0=1/р0=е пт/т - известное соотношение Друде для удельной проводимости, ¿Ус = еН I тс - ларморова (или циклотронная) частота, частота процессии электрона в магнитном поле. Ток направлен под так называемым углом Холла в к оси х, причем, tgв=cocт. На эксперименте измеряют две физические величины:

1) магнитосопротивление Р^ — 1 / сг0 — Ех / Jх \ Jy=Q - сопротивление в

направлении протекания тока в отсутствие поперечного тока. Как видно, оно в данном случае не зависит от магнитного поля и равно обычному друдевскому сопротивлению.

2) Коэффициент Холла RH = EY/JxH |Jy=o = 1/пес - отношение поперечной электродвижущей силы EY (Э.Д.С. Холла) к ^-компоненте тока и магнитному полю. Как видно, в данном простейшем подходе эта величина не зависит от магнитного поля, и является функцией только концентрации носителей п. Кроме того, знак носителей заряда (т.е. знак величины е ) также будет определять знак коэффициента Холла, так что, например для дырочных носителей RH > 0.

Интересно отметить, что сам Э.Г. Холл (в экспериментах 1879 года) стремился выяснить, действует ли сила, испытываемая проводником с током в магнитном поле, на весь проводник или же только на электрический ток (сам электрон как элементарная частица был обнаружен только через 8 лет, Томпсоном, в 1887 году). Он рассуждал так: "если электрический ток в закрепленном проводнике сам притягивается к магниту, то этот ток должен подходить ближе к одной из сторон проводника и поэтому испытываемое им сопротивление должно нарастать". Однако он этого не обнаружил, зато зафиксировал поперечную разность потенциалов. Как следует из вышесказанного, причина появления поперечной электродвижущей силы -действие силы Лоренца, заставляющей электроны отклоняться в направлении, перпендикулярном направлению движения. В результате возникает поле Холла, уравновешивающее силу Лоренца, и между боковыми гранями образца возникнет разность потенциалов, которую и измеряют. В эксперименте коэффициент Холла получают из измерения зависимости сопротивления Холла р^ от магнитного поля, при этом ищут линейный участок на этой зависимости в диапазоне сильных магнитных полей (что, как

правило, имеет место даже для реальных сложных композитных соединений) [11]:

РХу=Еу! ¿х 1./у=о ~ Н / пес (1.3)

Из выражения для тензора магнитосопротивления (1.3) можно заметить, что сильное магнитное поле для системы электронов - это такое поле, в котором выполняется условие (ост))1 (соответственно угол Холла в стремится к ж/2). Физически это означает, что период прецессии электрона много меньше среднего времени между столкновениями и на его движение вдоль линий магнитного потока рассеяние влияет слабо. Напротив, условие £Усг((1 (угол Холла 0 стремится к нулю) является условием слабого поля, когда электрон постоянно сбивается с орбиты вокруг линий магнитного потока из-за столкновений с примесями и практически не чувствует магнитного поля. Обычно масштабы сильных магнитных полей в твердых телах ~1-10Тл. При поле ~1Тл ларморова частота сос ~ 1011 с. Типичное время рассеяния на примесях т ~ 10"12 -10"14 с. Таким образом, даже в больших полях (> ~ 1 Тл) реализуется режим "слабого поля" в смысле ранее сказанного: (ост{{\ . Однако это не мешает наблюдать эффект Холла, поскольку все равно можно с высокой точностью измерять поперечную Э.Д.С. Холла, выражающую меру отклонения электронов проводимости в поперечном магнитному полю направлении.

1.1.2. Обобщение тензора магнитосопротивления на зонный случай

В реальном твердом теле электрон проводимости не является свободной частицей, и его масса в общем случае отлична от массы свободного электрона т (по определению тензор эффективных масс тар для электрона с энергией Е(к) имеет вид т'^ = \\./Н2\12Е(к)/с1кас1к/},а/3 = х,у,г), однако в

квазиклассическом приближении при условии медленности изменения внешних полей и отсутствии электрического и магнитного пробоя сохраняется соотношение (1.1) Обобщение тензора магнитосопротивления на случай зонной теории уже не так тривиально. Так, рассмотрим следующую модельную задачу. Пусть имеется двухзонная система, т.е. электроны в каждой системе характеризуются своим тензором магнитосопротивления.

' А

и,я р,

и = 1,2 (1.4)

Согласно соотношениям р1=т11е11п1т и мы тем

самым задаем концентрацию, заряд и эффективную массу носителей заряда отдельно по зонам (положим для простоты время рассеяния одинаковым для обеих зон). Получим матрицу магнитосопротивления системы, суммируя токи по зонам. В итоге в пределе слабого поля находим:

Н-> О (А?сг«1)

ч Р = РхРг^Рх +РгУ> п <л

а) ■> 1 7 (I*5)

В случае сильного поля:

Я-> оо (осг»1)

р = (р,Я22 + р^,2)/^ + я2у, (1 6)

Во втором случае, в сильных полях, можно преобразовать постоянную Холла:

Ян = ЯХК2/(К1 +Я2) = \/(\/К1 + \/Я2) = 11{пхе1с + п2е2с) (1.7)

Так, если мы имеем собственный полупроводник, а две зоны - это зона проводимости и валентная зона, то ~ 1/ I е I с(п/г +пе) Таким образом, в достаточно сильных полях, когда зоны дают аддитивный вклад в проводимость, можно измерять суммарную концентрацию носителей заряда, несмотря на сложную энергетическую структуру. Соответственно, в этом случае выражение для коэффициента Холла остается таким же универсальным, позволяя получать информацию о суммарной концентрации носителей и знаке заряда. Кроме того, линейная зависимость поперечной компоненты рху (холловского сопротивления) от магнитного поля в широком интервале температур и полей для многих однозонных веществ позволяет конструировать датчики Холла - измерители магнитного поля, обладающие высокой чувствительностью и малыми размерами. Как видно из анализа, само условие "сильного поля" соответствует случаю аддитивного вклада каждой зоны в холловскии ток и пренебрежимо малой интерференции их между собой. Как правило, перенормировка эффективной массы (а она здесь - циклотронная, в которую дает вклад только часть тензора эффективной массы, поперечная магнитному полю - т^ , т^ , тух , Шуу) и времени рассеяния приводит к тому, что режим "сильного" поля вполне достижим для реальных полей ~ 1 Тл и в реальных твердых телах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Малакеева, Марина Юрьевна, 2014 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Halperin В. I., Quantized Hall conductance, current-carrying edge states, and the existence of extended states in a two-dimensional disordered potential // Phys. Rev. В - 1982. vol.25,-pp. 2185-2190.

[2] Девятов Э.В. Электронные интерферометры в режиме квантового эффекта Холла / Девятов Э.В.//Физика низких температур. - 2013. - т. 39.-№ 1.- С. 11-25.

[3] Дыхне A.M. Проводимость двумерной двухфазной системы/ Дыхне A.M. // Журнал экспериментальной и теоретической физики 1970. -Т.59. -№1.- С.110-115.

[4] Dykhne A.M. Theory of fractional quantum Hall effect: The two phase model / Dykhne A.M., Riizin J.M. // Physical Revie . - 1994.-vol. 50.- P. 2369 -2379.

[5] Лаврентьев M.A., Шабат Б.В. Методы теории функции комплексного переменного. М: Издательство «Наука» -1973.- С.716.

[6] Маркушевич А. И., Краткий курс теории аналитических функций. М: Издательство «Наука»- 1978.-С. 625.

[7] van Wees В. J. Observation of zero-dimensional states in a one-dimensional electron interferometer/ van Wees B. J., Kouwenhoven L. P., Harmans C. J. P. M., Williamson J. G., Timmering С. E., Broekaart M. E. I., Foxon С. T. and Harris J. J. // Phys. Rev. Lett. - 1989. - vol. 62. -P. 25232526.

[8] W.G. van der Wiel, Y.V. Nazarov, S. DeFranceschi, T. Fujisawa, J.M. Elzerman, E.W.G.M. Huizeling, S. Tarucha, and L.P. Kouwenhoven// Phys. Rev. В 67/-033307/-2003.

[9] Ашкрофт H., Мермин H. Физика твердого тела. M.: Мир. - 1979. -T.l. -С.399. - Т.2. - С. 422.

[10] Ландау JI.Д. иЛифшицЕ.М. Квантовая механика: Нерелятивистская теория. Физматлит. Москва. - 2001.

[11] Квантовый эффект Холла: пер. с англ. / Под ред. Р. Пренджа, С. Гирвина. - М.: Мир. - 1989. - С.408.

[12] Маделунг О. Физика твердого тела. Локализованные состояния. М.: Наука.- 1985. - Т.2.- С.184.

[13] Physics of low dimensional structures/ Ed. By B. Butcher, N.H. March, M.P. Tosi. - Plénum Press. - 1993. - p.330.

[14] Баскин Э.М. , Магарилл Л.И., Энтин M.B. Двумерная электрон-примесная система в сильном магнитном поле// ЖЭТФ. - 1978. - Т.75. вып.2 - С.723.

[15] Андо Т., Фаулер А., Стерн Ф. Электронные свойства двумерных систем. М.: Мир. - 1985. -С.416.

[16] Демиховский В.Я. Квантовые ямы, нити, точки: Что это такое? // Соросовский образовательный журнал. - 1997. - №5. - С. 87 -92.

[17] Клитцинг К. фон, Дорда Г., Пеппер М. Новый метод очень точного определения постоянной тонкой структуры, основанный на измерении

квантового холловского сопротивления// Квантовый эффект Холла/ Под ред. Шмарцева Ю.В. - М.: Мир. - 1986. - С. 10-17.

[18] Бармонтов Е. Н. Квантовый эффект Холла// Соросовский образоваельный журнал. - 1999. - №9. - С.81.

[19] Ando Т., Matsumota У., Uemura Y. Theory of Hall effect in a two-dimensional electron system //J. Phys. Soc. Japan. - 1975. - Vol.39. - P. 279-288.

[20] Stormer H. Nobel Lecture: the fractional quantum Hall effect// Reviews of Modern Phys. - 1999. - Vol.71. - № 4. -P. 875 -889.

[21] Лафлин P. Квантовая двумерная холловская проводимость// Квантовый эффект Холла: Сборник статей/ Под. Ред. Ю.В. Шмарцева. -М.: Мир. - 1986.-С. 160.

[22] Лафлин Р. Квантованное движение трех двумерных электронов в сильном магнитном поле// Квантовый эффект Холла: Сборник статей / Под. Ред. Ю.В. Шмарцева. -М.: Мир. - 1986. - СЛ85-197.

[23] Langhlin R.B. Nobel Lecture: Fractional quantization// Rev. of Modern Phys. - 1999. - Vol.71. - № 4. -P. 863 - 874.

[24] Landauer R. Philos. Mag. 21.-863 (1970).

[25] Мартинес-Дуарт Дж.М., Мартин-Палма P. Дж., Агулло-Руеда Ф. Наноехнологии для микро- и оптоэлекроники. Москва: Техносфера. — 2007.-С.368.

[26] Девятов Э.В., Краевые состояния в режимах целочисленного и дробного квантовых эффектов Холла // Успехи физических наук, — 2007. т. 177, №2, - стр. 207-229.

[27] Deviatov Е. V., Lorke A., Separately contacted edge states at high imbalance in the integer and fractional quantum Hall effect regime // phys. stat. sol. (b). - 2008. 245, No.2, - pp. 366 - 377.

[28] Wurtz A., Wildfeuer R., Lorke A., Deviatov E. V., and Dolgopolov V. Т., Separately contacted edge states: A spectroscopic tool for the investigation of the quantum Hall effect// Phys. Rev. B. - 2002. vol. 65, - pp. 075303.

[29] Deviatov E. V., Dolgopolov V. Т., Wurtz A., Charge redistribution between cyclotronresolved edge states at high imbalance // JETP Letters. -2004. vol. 79(10),-pp. 618.

[30] Wurtz A., Deviatov E.V., Lorke A., Dolgopolov V.T., Reuter D., and Wieck A.D., Separately contacted edge states in the fractional quantum Hall regime // Physica E.-2004. vol. 22 (1-3) - pp. 177-180.

[31] Dolgopolov V. Т., Shashkin A. A., Deviatov E. V., Hastreiter F., Härtung M., Wixforth A., Campman К. L., and Gossard А. С., Electron subbands in a double quantum well in a quantizing magnetic field // Phys. Rev. B. -1999. vol. 59,-pp. 13235-13241.

[32] Deviatov E.V., Lorke A., Biasiol G., Sorba L., Wegscheider W., Local investigation of the energy gap within the incompressible strip in the quantum Hall regime // JETP Letters. - 2010. vol. 92, issue 1, - pp. 69.

[33] Wurtz A., Lorke A., Melnikov M. Yu., Dolgopolov V. Т., Reuter D., Deviatov E. V. and Wieck A. D., Two relaxation mechanisms observed in

m

transport between spin-split edge states at high imbalance // Phys. Rev. B. -vol. 69,-pp. 115330.

[34] Dolgopolov V.T., Tsydynzhapov G.E., Shashkin A.A., Deviatov E.V., Hastreiter F., Härtung M., Wixforth A., Campman K. L., and Gossard A. C., Magnetic-field-induced hybridization of electron subbands in a coupled double quantum well // JETP Letters. - 1998. vol. 67 (8), - pp. 595-601.

[35] Deviatov E.V., Khrapai V.S., Shashkin A.A., Dolgopolov V.T., Hastreiter F., Wixforth A., Campman K. L., and Gossard A. C., Opening an energy gap in an electron double layer system at the integer filling factor in a tilted magnetic field // JETP Letters. -2000. vol. 71 (12), - pp. 496-499.

[36] Dolgopolov V. T., Deviatov E. V., Khrapai V. S., Reuter D., Wieck A. D., Wixforth A., Campman K. L., and Gossard A. C., Spin ordering: two different scenarios for the single and double layer structures in the fractional and integer quantum Hall effect regimes // Phys. Stat. Sol. (b). - 2006. vol. 243, No. 14, - pp. 3648-3652.

[37] Wurtz A., Lorke A., Melnikov M. Yu., Dolgopolov V. T., Wixforth A., Campman K. L., and Gossard A. C., Manifestation of the bulk phase transition in the edge energy spectrum in a two-dimensional bilayer electron system // JETP Letters. -2004. vol. 79 (4), - pp. 171-176.

[38] Deviatov E. V., Dolgopolov V. T., Wurtz A., Lorke A., Wixforth A., Wegscheider W., Campman K. L., and Gossard A. C., Topological defects in the edge-state structure in a bilayer electron system // Phys. Rev. B. — 2005. vol. 72,-pp. 041305.

[39] Shashkin A. A., Dolgopolov V. T., Kutcshera H.-J., Wixforth A., Deviatov E. V., Campman K. L., and Gossard A. C., Shifting the quantum Hall

plateau level in a double layer electron system 11 JETP Letters. - 2002. vol. 75(1), pp. 34-36.

[40] Kononov A., Biasiol G., Sorba L., and Deviatov E. V., Energy spectrum reconstruction at the edge of a two-dimensional electron system with strong spin-orbit coupling // Phys. Rev. B. - 2012. vol. 86, - pp. 125304.

[41] Wan X., Yang K., Rezayi E.H. Phys. Rev.Lett. 88 056802 (2002); Wan X., Rezayi E.H., Yang K., Phys. Rev.Lett. B68 125307 (2003).

[42] Балагуров Б.Я О проводимости двумерных систем с макроскопическими неоднородностями// Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 1980. -Т.79. -С. 1561-1572.

[43] Фокин А.Г. Макроскопическая проводимость случайно неоднородных сред: Метода расчёта// УФН. -1996. - 166. - 10. - С. 1069-1091.

[44] Arkhincheev V.E. Percolation in inhomogeneous medium under quantum Hall effect conditions// Physica A.-2000.-V.285.-P.373-382.

[45] Архинчеев B.E. Граничные (минимальное и максимальное) значения эффективной проводимости в условиях квантового эффекта Холла // Письма в ЖТФ. - 2008. - том 34. - вып. 4.

[46] Архинчеев В.Е. Квантовый эффект Холла в неоднородных средах: эффективные характеристики и локальное распределение токов //ЖЭТФ. - 2000. - Т. 118.-В.2.-С.465-474.

[47] Емец Ю. П. Электрические характеристики композиционных материалов с регулярной структурой. - Киев: Наукова думка. - 1986.-С. 191.

[48] Емец Ю.П. О проводимости среды с неоднородными включениями в магнитном поле//ЖТФ.-1974.-Т.44.-С.916-921.

[49] Архинчеев В.Е. О неподвижных точках, инвариантах преобразований Дыхне и устойчивости решений задач эффективной проводимости //Письма в ЖЭТФ. - 1998.- Т. 67. - В.З.- С.951.

[50] Arkhincheev V.E., Batiev E.G. , То the theory of the Quantum Hall Effect in inhomogeneous medium //Solid State Communications - 1989.- vol. 12.-pp. 1059-1060.

[51] Arkhincheev V.E. Bound values for Hall conductivity of heterogeneous medium under quantum Hall effect conditions //Pramana (Indian Journal of Physics). - 2008.- vol. 70. - no. 2. - pp.271-277.

[52] Alvermann A. and Fehske H. Stochastic Green's function approach to disordered systems // Journal of Physics: Conference Series. - 2006. - vol. 35.- pp. 145-156.

[53] Avron J.E., Osadehy D., Seiler R. A topological look at the Quantum Hall Effect// Physics Today. - 2003. - vol.56. - no.8. - pp.38-42.

[54] Forrester A. , Joglekar Y. Conductivities in Bilayer Quantum Hall Systems// Physical revive -2003. - vol.14. - pp. 1-17.

[55] Keller J. B. A theorem on the conductivity of a composite medium // Journal of Mathematical Physics - 1964. - vol. 5. - no. 4. - pp. 548-553, 1964.

[56] Дыхне A.M. Аномальное сопротивление плазмы в сильном магнитном поле //ЖЭТФ.-1 970.-Т.59.-С.641-647.

[57] Балагуров Б .Я. Соотношения взаимности в двумерной теории протекания //ЖЭТФ. -1981.-Т.81.-С.665-671.

[58] Балагуров Б.Я. Гальваномагнитные свойства двумерных двухкомпонентных систем//ЖЭТФ.-Т.82.- С. 1333- 1346.

[59] Емец Ю.П. Преобразования симметрии двумерной двухкомпонентной электропроводящей системы // ЖЭТФ.-1 989.-Т.96.-С.701-710.

[60] Arkhincheev V.E. Exact relations and galvanomagnetic properties of the inhomogeneous two-dimensional medium //Physica Status Solidi (B).-1990.-V.161.-P.815-821.

[61] Архинчеев B.E. Эффективная проводимость трехфазных без диссипативных сред //ЖЭТФ. -1999.-Т .116.-В.6.-С .1166 -1167.

[62] Сатанин A.M., Скузоваткин В.В. , Хорьков С.В., Нарушение линейного режима протекания тока в периодических структурах//ЖЭТФ.-1997.-Т. 112.-С.643-660.

[63] Сатанин A.M., Хорьков С.В. , Угсльников А.Ю., Нелинейное протекание вблизи перехода мета-диэлектрик в регулярных текстурах/ЯТисьма в ЖЭТФ.-1997.-Т. 65.-С. 521-524.

[64] Stern A., Anyons and the quantum Hall effect—A pedagogical review // Annals of Physics, - 2008.vol. 323, - pp. 204-249.

[65] Bachtold, A., C. Strank, J. P. Salvetat, J. M. Bonard, L. Forro, T. Nussbaumer and C. Schonenberger. Aharonov-Bohm oscillations in carbon nanotubes// Nature. - 1999. - 397. - 673.

[66] Imry, Y. and R. A. Webb. Quantum Interference and the Aharonov-Bohm Effect// Scientific American.- 260(4). - April 1989.

[67] Van Oudenaarden, A., M. H. Devoret, Yu. V. Nazarov, and J. E. Mooij. Magneto-electric Aharonov-Bohm effect in metal rings// Nature.-1998.-391.-pp. 768—770.

[68] Van Wees B.J., Kouwenhoven L.P., Harmans C.J.P.M., Williamson J.G., Timmering C.E., Broekaart M.E.I., Foxon C.T., and Harris J.J., Observation of zero-dimensional states in a one-dimensional electron interferometer// Phys. Rev. Lett. -1989.- vol. 62, -pp. 2523-2526.

[69] Van der Wiel W.G., Nazarov Y.V., DeFranceschi S., Fujisawa T., Elzerman J.M., Huizeling E.W.G.M., Tarucha S. and Kouwenhoven L.P., Electromagnetic Aharonov-Bohm effect in a two-dimensional electron gas ring // Phys. Rev. - 2003.vol. 67.- pp.033307.

[70] Camino F.E., Wei Zhou and Goldman V.J., Quantum transport in electron Fabry-Perot interferometers // Phys. Rev. B. - 2007. vol. 76, - pp. 155305. [71] Camino F.E., Wei Zhou and Goldman V.J.// Phys. Rev. - 2007.- B 76.-155305.

[72] Camino F.E., Wei Zhou and Goldman V.J., e/3 Laughlin Quasiparticle Primary-Filling v=l/3 Interferometer // Phys. Rev. Lett. - 2007. vol. 98, -pp. 076805.

[73] Ping V. Lin, Camino F.E. and Goldman V.J. Electron interferometry in the quantum Hall regime: Aharonov-Bohm effect of interacting electrons // Phys. Rev. B. - 2009. vol. 80, - pp.125310.

[74] Zhang Y., McClure D.T., Levenson-Falk E.M., Marcus C.M., Pfeiffer L.N. and West K.W., Distinct signatures for Coulomb blockade and Aharonov-Bohm interference in electronic Fabry-Perot interferometers //Phys. Rev. B. - 2009. vol. 79, - pp. 241304.

[75] McClure D.T., Zhang Y., Rosenow B., Levenson-Falk E.M., Marcus C.M., Pfeiffer L.N. and West K.W., Fabry-Perot Interferometry with Fractional Charges // Phys. Rev. Lett.. - 2012. vol. 108, - pp. 256804

[76] Ofek N., Bid A., Heiblum M., Stern A., Umansky V. and Mahalu D., Role of interactions in an electronic Fabiy-Perot interferometer operating in the quantum Hall effect regime // PNAS. - 2010. vol. 107, - pp. 5276-5281.

[77] McClure D.T., Chang W., Marcus C.M., Pfeiffer L.N., and West K.W., Edge-State Velocity and Coherence in a Quantum Hall Fabry-Perot Interferometer // Phys. Rev. Lett. - 2009. vol. 103, - pp. 206806.

[78] Halperin B.I., Stern A., Neder I. and Rosenow B.,Theory of the Fabry-Perot quantum Hall interferometer // Phys. Rev. B. - 2011. vol. 83, - pp. 155440.

[79] Chung Y. Ji, Y., Sprinzak D., Heiblum M., Mahalu D. and Shtrikman H., An electronic Mach-Zehnder interferometer // Nature. - 2003. vol. 422, -pp. 415.// Nature-2003.- 422.- 415.

[80] Neder I., Heiblum M., Levinson Y., Mahalu D. and Umansky V., Unexpected Behavior in a Two-Path Electron Interferometer // Phys. Rev. Lett. - 2006. vol. 96, - pp. 016804.

[81] Neder I., Heiblum M., Mahalu D. and Umansky V., Entanglement, Dephasing, and Phase Recovery via Cross-Correlation Measurements of Electrons // Phys. Rev. Lett.. - 2007. vol. 98, - pp. 036803.// Phys. Rev. Lett.-2007.- 98.- 036803.

[82] Litvin L.V., Tranitz H.-P., Wegscheider W. and Strunk C., Decoherence and single electron charging in an electronic Mach-Zehnder interferometer // Phys. Rev. B - 2007. vol. 75, - pp. 033315.

[83] Litvin L.V., Helzel A., Tranitz H.-P., Wegscheider W., and Strunk C., Edge Channel Interference Controlled by Landau Level Filling // Phys. Rev. B. - 2008. vol. 78, - pp. 075303.

[84] Preden Roulleau, Portier F., Glattli D.C., Roche P., Cavanna A., Faini G., Gennser U., and Mailly D., Finite bias visibility of the electronic Mach-Zehnder interferometer // Phys. Rev. B. - 2007. vol. 76, - pp. 161309

[85] Roulleau P., Portier F., Roche P., Cavanna A., Faini G., Gennser U. and Mailly D., Noise Dephasing in Edge States of the Integer Quantum Hall Regime // Phys. Rev. Lett. - 2008. vol. 101, - pp. 186803.

[86] Roulleau P., Portier F., Roche P., Cavanna A., Faini G., Gennser U., and D. Mailly, Direct Measurement of the Coherence Length of Edge States in the Integer Quantum Hall Regime // Phys. Rev. Lett. - 2008. vol. 100, - pp. 126802. //Phys. Rev. Lett.-2008.- 101.- 186803.

[87] Law K.T., Feldman D.E., and Yuval Gefen, Electronic Mach-Zehnder interferometer as a tool to probe fractional statistics // Phys. Rev. B. -2006. vol. 74,-pp. 045319.

[88] Sukhorukov E.V. and Cheianov V.V., Resonant Dephasing in the Electronic Mach-Zehnder Interferometer // Phys. Rev. Lett. - 2007. vol. 99, - pp. 156801.

[89] Chalker J.T., Gefen Y., and Veillette M.Y., Decoherence and interactions in an electronic Mach-Zehnder interferometer // Phys. Rev. B. - 2007. vol. 76,-pp. 085320.

[90] Neder I. and Ginossar E., Behavior of Electronic Interferometers in the Nonlinear Regime // Phys. Rev. Lett. - 2008. vol. 100, - pp. 196806.

[91] Youn S.-C., Lee H.-W., and H.-S. Sim, Nonequilibrium Dephasing in an Electronic Mach-Zehnder Interferometer // Phys. Rev. Lett. - 2008. vol. 100,-pp. 196807.

[92] Ivan P. Levkivskyi and Eugene V. Sukhorukov, Spin Nernst effect and Nernst effect in two dimensional electron systems // Phys. Rev. B. - 2008. vol. 78, - pp. 045322.

[93] Deviatov E.V. and Lorke A., Experimental realization of a Fabry-Perot-type interferometer by copropagating edge states in the quantum Hall regime // Phys. Rev. B. - 2008. vol. 77, - pp.161302.

[94] Deviatov E.V., Marquardt В., Lorke A., Biasiol G., and Sorba L., Interference effects in transport across a single incompressible strip at the edge of the fractional quantum Hall system // Phys. Rev. B. - 2009. vol. 79, -pp. 125312.

[95] Deviatov E.V., Ganczarczyk A., Lorke A., Biasiol G., and L. Sorba, Quantum Hall Mach-Zehnder interferometer far beyond equilibrium // Phys. Rev. В.-2011. vol. 84,-pp. 235313.

[96] Deviatov E.V., Biasiol G., and Sorba L., Quantum Hall Mach-Zehnder

interferometer far beyond equilibrium // Phys. Rev. B. - 2011. vol. 84, - pp. 235313.

[97] Лаврик В.И., Савенков B.H. Справочник по конформным отображениям. М.: Издательство «Наукова думка»-1970.-С. 252.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

1. Определение и основные свойства конформного отображения

Непрерывное отображение м> =/ (г) области Б комплексной плоскости С в плоскость С называется конформным в точке г0 е И, если в этой точке оно обладает свойствами постоянства искажения масштаба и сохранения углов. Свойство постоянства искажения масштаба (или постоянства растяжений) в точке г0 при отображении м> = /(г) состоит в том, что при 2 —^ отношение|/0) -расстояния между образами/(г) и/(г0) точек г

и г0 к расстоянию между самими точками г и г0 стремится к определенному пределу к, не зависящему от способа стремления г к г0 . Число к называется коэффициентом искажения масштаба в точке г0 при отображении =/ (г). Свойство сохранения (консерватизма) углов в точке г0 при отображении = / (г) состоит в том, что любая пара гладких кривых у^ уг , расположенных в Э и пересекающихся в точке под некоторым углом а (то есть имеющих касательные в точке , образующие между собой угол а), переходит при рассматриваемом отображении в пару гладких кривых Г] , Г2 , пересекающихся в точке м>0 = / (г0) под тем же углом а с учетом направления (рис. 20). Такое отображение называют еще конформным отображением первого рода. Если отображение сохраняет углы между кривыми по абсолютной величине, изменяя их направления на противоположные, то оно называется антиконформным или конформным отображением второго рода. Отображение области Б называется конформным, если оно конформно в каждой точке области.

Из определения конформного отображения непосредственно следует, что если в плоскости изменения комплексной переменной г взять достаточно малый треугольник с одной из вершин в точке го , то он при

конформном отображении м> = / (г) перейдет в малый криволинейный треугольник с вершиной в точке м>0 (см. рис. 20).

У V ,Га \ \ \

V з. -Г" \Л/ = \

<Ч) -^ "о г,

0 х 0 и

Рис.20

При этом соответственные углы у этих треугольников будут равны как по абсолютной величине, так и по направлению, а отношения их соответственных сторон будут мало отличаться от коэффициента к искажения масштаба. Таким образом, конформное отображение является отображением, сохраняющим форму достаточно малых фигур, то есть преобразованием подобия применительно к малым фигурам.

Доказано, что образ любой области при конформном отображении снова является областью. Основными проблемами теории конформных отображений являются вопрос о возможности (существовании) конформного отображения одной заданной области на другую и задача практического нахождения функций, осуществляющих это отображение. Ответ на первый вопрос в случае односвязных областей дает теорема Римана, согласно которой любые две односвязные области с границами, состоящими более чем из одной точки, можно взаимно однозначно и конформно отобразить друг на друга. Множество всех таких отображений бесконечно, и все они осуществляются аналитическими функциями, то есть функциями, имеющими производную. В частности, из этой теоремы следует, что любую

односвязную область указанного типа можно бесконечным числом способов отобразить конформно на единичный круг | г | < 1 или верхнюю полуплоскость 1тг> 0, чем часто пользуются в приложениях.

Сложнее обстоит дело со второй проблемой. Найти практически конформное отображение одной области на другую, особенно с помощью элементарных функций, удается не всегда. По сложности эта проблема во многом схожа с проблемой нахождения интегралов функций, существование которых если даже доказано (например, в случае непрерывных функций), но найти их практически не всегда удается. Как и в случае интегралов, данная проблема решена лишь для некоторых определенных типов областей, поэтому она до сих пор остается предметом исследований.

2. Основные принципы теории конформных отображений

Остановимся вкратце на трех принципах, играющих исключительно важную роль при фактическом отыскании отображающих функций, позволяющих значительно облегчить нахождение геометрических образов и их совокупности (области) при рассмотрении конкретных конформных отображений.

1. Принцип соответствия границ. Пусть даны две односвязные области gиGc границами у и Г, причем область О ограничена. Если задана аналитическая в g функция \у=Дх), непрерывная в замкнутой области g = g + y и осуществляющая взаимно однозначное конформное отображение у на Г, то она осуществляет также однолистное конформное отображение области % на область О ( границы у и Г могут проходить и через бесконечно удаленную точку г=оо.

2. Принцип симметрии. Пусть граница области g содержит дугу окружности или прямолинейный отрезок у, а граница области в содержит дугу окружности или прямолинейный отрезок Г (рис.21,а,б)

У

V

О

X

О

-и

а

б

Рис.21.

и пусть функция м?=/(г) осуществляет конформное отображение области § на в таким образом, что дуга у отображается на дугу Г. Предполагая, что область § не содержит ни одной пары симметричных относительно дуги у точек, справедливо следующее.

1) Функцию м>=/(г) можно аналитически продолжить через дугу у на область £, симметричную с % относительно дуги у.

2) Аналитически продолженная функция м>=/(г) реализует конформное отображение области g + / + g' на область С + Г + С*.

3) Функция и^^г) пару взаимно симметричных относительно у точек (одна и которых принадлежит будет конформно отображать в пару точек, взаимно симметричных относительно дуги Г.

3. Принцип сохранения области. Если аналитическая в области g функция отлична от постоянной, то множество точек g,

являющееся областью, при помощи этой функции конформно

т

отображается на множество точек в, являющимся также областью, причем направление обхода границ областей gиG сохраняется. Например, если при обходе границы g область остается слева, то и при соответствующем обходе границы области в последняя также будет находиться слева.

Обратимся теперь к практическому отысканию требуемого преобразования. Рассмотрим случай многоугольника; соответствующее преобразование называется преобразованием Шварца — Кристоффеля. Многоугольник изображен на рис.22; вершины его обозначены а0, й/, ..., соответствующие внешние углы — <ро, (р1,..., образы этих вершин в плоскости м?-Ьо,Ь1, ... Заметим, что

Рис. 22. Отображение Шварца-Кристоффеля внутренности многоугольника на верхнюю

полуплоскость м>

3. Преобразование Шварца - Кристоффеля

Фо+ ф1+...=2я

(1)

Следует обратить внимание на то, каким образом отсчитываются углы , и на то, что при обходе многоугольника в направлении отсчета углов внутренность многоугольника все время остается слева. При тех вершинах, в которых контур при выбранном обходе поворачивает влево, углы (р( оказываются положительными; те ^ , которые соответствуют вершинам входящих углов, будут отрицательными. Возможны и «случаи вырождения», когда <р1 равно к или — те; какое из этих двух значений следует выбрать, обычно определяется соотношением (1).

Так как углы г/?,- при отображении не сохраняются, то щ должны быть особыми точками функции .Поэтому обходя контур С, мы будем скруглять вершины. Видоизменение соответствующего контура в плоскости и/ отмечено на рис.22 маленькими полуокружностями, огибающими точки Ъ{. Эти полуокружности исключают особые точки 6, из верхней полуплоскости, где \\?(г) должна быть аналитической.

Рассмотрим поведение дифференциалов сЬ и сЫ> при обходе многоугольника в положительном направлении, указанном на рис.2 стрелками. Левее Ъо аргумент <3.м>=0, тогда как аргумент ¿г определяется направлением отрезка а4а0. В точке ао аргумент с!г претерпевает скачок на величину <р0 , а аргумент сЬм остается равным нулю. Вблизи Ьо

— = А(м>-Ь0)а О->60)- Требуемое изменение аргумента в точке Ъ0 будет

сЬм

обеспечено при а=- (р</п, так что

(*->*„)• (2)

см

Применяя это рассуждение последовательно ко всем b¡, получаем

см

Так как 2 не должно иметь ни нулей, ни особых точек, отличных от Ьь то А в (3) есть постоянная. Согласно принципу отражения Шварца, функцию г можно продолжить на нижнюю полуплоскость, и притом г не будет иметь

96

там новых особых точек. Проинтегрировав (3), получим формулу, определяющую преобразование Шварца-Кристоффеля

Итак, формула (4) дает отображение внутренности многоугольника с внешними углами (р0, <р/,...на верхнюю полуплоскость Выбирая постоянные гО, \А\ и а^А, можно добиться того, чтобы многоугольник в плоскости г имел нужное положение и размеры. являются точками ветвления функции г=г(м?). Одну из точек bi обычно выбирают на бесконечности. Если это Ьо, то формула (4) принимает вид

Функции (4) и (5) отображают на верхнюю полуплоскость область, лежащую внутри многоугольника. Однако часто приходится иметь дело с областью, внешней по отношению к многоугольнику. При этом на многоугольники должно быть выбрано противоположное направление обхода (т.е. по часовой стрелке), чтобы его внутренность при обходе осталась справа. Углы в (4)должны быть взяты с обратными знаками. Вызывает еще затруднение точка р в плоскости соответствующая бесконечно удаленной точке плоскости г. Точка м>=р должна быть полюсом функции и,

следовательно, подынтегральная функция в (4) или (5) должны еще содержать множитель вида 1/(м>-р). Но одного этого множителя недостаточно, потому что его аргумент нарушит соответствие между границей многоугольника в плоскости ъ и действительной осью плоскости м/ . Чтобы избежать этого, введем такой множитель, который при действительных м? принимает действительные значения, т.е. не меняет аргумента произведения. Таким множителем может служить 1/[(м>- р)(м>- р\ и вместо (4) мы возьмем

(4)

(5)

(6)

Эта функция отображает область, внешнюю по отношению к

МНОГОуГОЛЬНИКу, На ПОЛУПЛОСКОСТЬ

4. Использование преобразования Шварца — Кристоффеля для отображения четырехугольников

4.1. Прямоугольника —;-;-; — I. Рассмотрим один из простейших

2 2 2 2^

примеров конформного отображения четырехугольников - отображение полуплоскости г на прямоугольник м>, длина которого равна /, а ширина равна И (рис23, а, б). Функцию, отображающую полуплоскость г на заданный

четырехугольник -;—;—[, будем искать при следующем соответствии

2 2 2 2

точек:

к ак Ак ак

1 -1/т -1/2+¿к 1/2

2 -1 -1/2 1/2

3 1 1/2 1/2

4 1/т 1/2+¿к 1/2

Теперь запишем искомую функцию через интеграл Кристоффеля Шварца:

1 Л Л -I 1 -1

м> = С' Г(г + —) 2(г + 1) 2(г-1) 2(г--) 2с1г + С1 =

о т т

= С' \ . йг + С, или

^(1-г2)(1-т222)

ч? = СТ(2,т) + Сх, (7)

где Р(г;т) —эллиптический интеграл 1 рода.

Учитывая соответствие точек (см. таблицу) и = ±К + Ш [97] ,

т

найдем постоянные С и С]

— = С К + С,; -- = -СК + С; С, = О 2 1 2 11

— + Ш = СГ(—,т) = СК + ак'\ 2 т

- - + Ш = , /я) = -С* + Ж'; 2 т

откуда С, = 0;С = А = (8)

Следовательно, отображающая функция запишется в виде

1 Г, ч (9)

2К

где модуль т эллиптического интеграла 1 рода Р(г;т) находится из равенства

— = —. (Ю)

К' 2И

Обращая интеграл (9), найдем, что конформное отображение заданного прямоугольника на полуплоскость осуществляется при помощи эллиптического синуса

г = (11)

где модуль т определяется из соотношения (10).

1 13 11

4.2. Четырехугольник ; —; —;— —. Найдем отображение первого квадранта (рис.4,а) на четырехугольник I, изображенный на

2 2 2 2

рис.246

а о

Рис.24 Отображение первого квадранта на четырехугольник

Для отыскания отображающей функции через интеграл Кристоффеля-Шварца дополним квадрант до полуплоскости 1тг>0, а четырехугольник А|А2А3А4 дополним симметричным относительно мнимой оси четырехугольника Л1Л2Л3Л4 (рис.4,б). В силу принципа симметрии искомое преобразование будет осуществляться функцией, отображающей верхнюю полуплоскость на пятиугольник А4А3А2А,А2А3А4. При этом для четырехугольника А,А2А3А4 удобно задать следующее соответствие точек:

к ак лк ак

1 0 0 1/2

2 1 1 1/2

3 1/т 1+Ш 3/2

4 00 00 -1/2

Интеграл Кристоффеля Шварца в рассматриваемом случае имеет вид:

II _1 -I II

= С' + —)2(2 +1) 2(г-\) 2(г--+ =

3 т т

м/

о

о * 1

1 - т2г2

2 сЬ+С1

ИЛИ ™ = + (12)

где Е(2,ш) -эллиптический интеграл 2 рода.

Учитывая соответствие точек (см. таблицу) и соотношение

,/и) = ±К + /К, найдем постоянные С, С1 и модуль ш

т

0 = СЕ(0,т) + С,; I = СЕ(\,т) = СЕ, откуда С1=0; С=1/Е, кроме того,

1 + Ш = СЕ(—,т) = -[Е + 1(К' + £'] = / + ЦК ~Е .

т Е Е

В результате находим

Ъ К'-Е'

(13)

I Е

Таким образом, отображающая функция запишется в следующем окончательном виде:

м> = ±-Е{2-т) (14)

Е

где модуль т эллиптических интегралов 2 рода Е(г;т) и Е(т) находится из соотношения (13).

Итак, как было показано выше, отображение полуплоскости на

интеграл не выражается в элементарных функциях, он принадлежит к числу эллиптических интегралов, а функция, обращающая его (т.е. реализующая отображение прямоугольника на полуплоскость), - к числу эллиптических функций Якоби. Она имеет специальное обозначение м? и называется эллиптический синус [97]. Отображение на полуплоскость произвольного прямоугольника (а не с фиксированными размерами) реализуется аналогично рассмотренным ранее примерам. Во второй главе диссертации построено конформное отображение внутренних

прямоугольных областей на нижнюю и верхнюю полуплоскости.

прямоугольник осуществляется функцией