Особенности оптимизации циклических процессов при наличии дисконтирования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Шуткина, Татьяна Сергеевна

• Шуткина, Татьяна Сергеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шуткина, Татьяна Сергеевна

Введение

1. Усредненные циклические процессы с дисконтированием

1.1. Модель циклического процесса.

1.2. Переформулировка проблемы.

1.3. Теорема существования и условие оптимальности.

1.4. Сбалансированность оптимального цикла.

1.5. Монотонность периода.

1.6. Дифференцируемость усредненной выгоды.

1.7. Единственность оптимального цикла.

1.8. Теоремы существования и единственности оптимального цикла с дисконтированием по доходу и прилагаемым усилиям

1.9. Теорема единственности оптимального цикла с двумя показателями дисконтирования

1.10. Алгоритм построения численного решения.

2. Классификация типичных особенностей усредненной выгоды циклических процессов с дисконтированием

2.1. Теорема о классификации особенностей.

2.2. Гладкое изменение точек переключения.

2.3. Доказательство теоремы о классификации особенностей . . 50 Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Особенности оптимизации циклических процессов при наличии дисконтирования»

Немало естественных процессов, происходящих вокруг нас, имеют циклический характер по своей природе или являются таковыми в силу нашего управления ими. Например, цикличность легко обнаружить в ряде технологических и экономических процессов, в сосуществовании двух видов и во многих других явлениях различной природы [20]. При наличии возможности управлять таким процессом возникает задача выбора цикла, доставляющего наилучшее возможное значение выбранного критерия качества.

В силу понятной прикладной значимости результатов в такой задаче, анализ и оптимизация различных моделей циклических процессов проводились многими авторами с использованием различных методов [14], [15], [26], [27]. В.И.Арнольд для анализа таких процессов предложил использовать методы теории особенностей [2], [3]. В рамках этого подхода для однопараметрических циклических процессов без дисконтирования были изучены типичные особенности средней временной выгоды [8], оптимальных стационарных стратегий и переходов от них к циклическим [23], стационарных стратегий в двух и трехпараметрическом случаях и получен ряд других интересных результатов [28].

Циклический процесс моделируется управляемой системой на окружности, задаваемой полем скоростей г>, гладко зависящим от точки х окружности и управляющего параметра. Предполагается, что этот параметр пробегает гладкое компактное многообразие (или дизъюнктное объединение таковых) и принимает не менее двух различных значений, а все допустимые скорости положительные, то есть у > 0.

Допустимым движением системы называется абсолютно непрерывное отображение х : £ н-» а;(£) промежутка временной оси в фазовое пространство, в точках дифференцируемости которого его производная лежит в выпуклой оболочке множества допустимых скоростей соответствующей точки.

Цикл с периодом Т, Т > 0, - это допустимое движение х, х(Ь + Т) = х(Ь). При наличии непрерывной плотности выгоды / на окружности выбор циклического процесса с максимальной средней временной выгодой за один оборот является одной из важных задач оптимального управления. В.И. Арнольд показал, что при разумных предположениях о системе и плотности выгоды такой цикл существует, а соответствующее ему движение устроено просто - оно использует максимальные и минимальные допустимые скорости скорости на участках, где плотность выгоды меньше либо больше максимальной средней временной выгоды за цикл [3], [8]. В диссертации, аналогичный результат получен для циклов при наличии дисконтирования.

Следуя В.И. Арнольду [3], используя положительность допустимых скоростей, задачу можно переписать в виде где а - показатель,дисконтирования и для допустимого движения х,х — гс(^), плотность р задается как р(х{€)) — всюду, где производная определена, то есть почти всюду на окружности, а в остальных точках эта плотность может быть взята любой допустимой. Здесь 0 и 2ж -это начальная и конечная точки цикла, соответственно. В такой формулировке задачи необходимо найти измеримую плотность р, доставляющую

1) о о максимум функционала в (2) и удовлетворяющую ограничениям

П<р< г2, (3) где г\ и т*2 положительные функции, равные обратным значениям максимума и минимума допустимой скорости, соответственно.

Измеримая плотность, удовлетворяющая ограничениям (3), называется допустимой.

Теорема 1.1. Для непрерывных плотности выгоды / и положительных функций 7"i, 7*2, 7*1 < 7~25 существует допустимая плотность, доставляющая точную верхнюю грань значений функционала в (2) по всем допустимым плотностям.

Теорема 1.2. (необходимое условие оптимальности). Если для непрерывных ПЛОТНОСТИ ВЫГОДЫ / и положительных функций 7*1, 7*2, 7*1 < 7*2 допустимая плотность р доставляет максимум А функционала в (2), то в любой точке х, где эта плотность является производной своего интеграла, значение функции S х 27Г у a f p(z)dz f —a f p(z)dz

S{x) = e о f{x) -a j e ° f{y)p{y)dy - A, (4) X является либо неположительным, либо неотрицательным, либо равным нулю, если р(х) принимает значение г\{х) или 7*2(2;), либо принадлежит интервалу (г\(х), Г2(х)), соответственно.

Функция S играет роль функции переключения. Условие (4) получено прямыми вычислениями изменения средней временной выгоды при вариации допустимой плотности р на величину h на отрезке [ж, х + и] при х G (0, 27г) (при граничных х рассуждения аналогичны) и достаточно малом v > 0.

Функцию переключения можно переписать в виде а § р{г)йг Г —а / р(г)йг е о Цх) +а е ° 1{у)р{у)(1у - аР - А, (5) о где о

- полная выгода вдоль цикла. Отметим, что при <т — 0 функция переключения та же что и в случае без дискаунта [3].

Для дифференцируемой плотности выгоды функцию переключения можно записать как проинтегрировав второе слагаемое (5) по частям. Отметим, что в этой форме, задав константу с = —А — аР, можно вычислять управление по правилу теоремы, начиная движение из нуля и беря на уровне с большую скорость. Такое движение будем называть циклом уровня с.

Теорема 1.Б. (Единственности). Для дифференцируемой плотности выгоды / с конечным числом критических точек и положительных функций ограничения Г1,Г2,Г\ < Г2, совпадающих лишь в отдельных точках, цикл, доставляющий максимальную среднюю временную выгоду, определен однозначно, если эта плотность неотрицательна. Более того, уровень с оптимального цикла, выгода Р и средняя временная выгода А вдоль него удовлетворяют уравнению

Обозначим теперь через т, М максимальное и минимальное значения константы с (здесь значение функции переключения в нуле) такие, что при с < т и с > М движение по циклу уровня с происходит с допусти

6) с = -А - аР.

7) мой минимальной и максимальной плотностями, соответственно. Понятно, что X т = — тах х£[0,2тг]

I е-а^Г(у)ау - ДО) о и X

М — — тт же[0,2тг]

I е-^ГШу - ДО) о ж где = J Г{{у)с1у, г = 1,2, и что цикл с наибольшей средней временной выгодой является циклом некоторого уровня с 6 [тп, М]. Как и в случае без дисконтирования период цикла уровня оказывается монотонной функцией:

Предложение 1.3. Для дифференцируемой плотности выгоды с конечным числом критических точек и непрерывных функций ограничения г\ и 7"2} т\ < 7*2, совпадающих лишь в отдельных точках, период цикла уровня с является непрерывной возрастающей функцией на отрезке [■тп,М]. Более того, вне значений уровня, для которых функция переключения имеет критические точки или концевые точки цикла на своем нулевом уровне, эта функция дифференцируема и ее производная вычисляется по формуле где суммирование идет по точкам переключения.

Обозначим тт = Т(т) и тм ~ Т(М). В условиях последней теоремы на отрезке [тт,тм] определена и непрерывна обратная функция с : Т »-»• с(Т) к функции Т периода цикла уровня, и на этом отрезке выгоду Р = Р{с) и среднюю временную выгоду А — А(с) вдоль цикла уровня с € [т, М], можно рассматривать как функции от периода этого цикла, то есть Р — Р(с(Т)) и А = А(с(Т)), Т € [тт, 7м]- Обе эти функции оказываются дифференцируемыми: о

Предложение 1.4. Выгода и средняя временная выгода как функции периода цикла уровня является дифференцируемой на отрезке [тт, тм] с производными если числа критических точек дифференцируемой плотности выгоды и точек совпадений значений непрерывных функций ограничения г\ и Г2, г\ <Г2, конечны.

В частности, из последней формулы и вытекает (7).

Основной результат второй главы диссертации - это теорема о классификации типичных особенностей средней временной выгоды для од-нопараметрических циклических процессов с дисконтирование по доходу. Сначала обосновывается метод анализа особенностей максимальной средней временной выгоды как функции параметра, а затем находится классификация особенностей.

В параметрическом случае особенности максимальной и минимальной скоростей являются одним из источников особенностей у максимальной средней временной выгоды как функции параметра. В случае общего положения при одномерном параметре р максимальная плотность усилия вблизи каждой точки (х,р) либо гладкая либо имеет одну из трех типичных особенностей как у функций

1) Н, 2) тах{г>, |и|}, 3) тах{—ш4 + ти2 4- уш \ и> € Я} (11) в нуле с точностью до /2+-эквивалентности - гладкой замены координат в области определения и прибавления гладкой функции; для минимальной плотности нужно изменить знак у этих функций [1], [6], [7], [22]. Точку с особенностями 1) - 3) мы будем называть двойной, тройной и точкой

Р±(с(Т)) = -с(Т)-*Р(с(Т)),

9) (10)

А'т(с(Г)) с(Г) + аР(с(Т)) + Л(с(Т)) Т сборки, соответственно. При dimр — 1 в типичном случае замыкание множества точек, где или максимальная или минимальная плотности имеют такие особенности, (=множество Максвелла) либо пусто, либо есть

- гладкая кривая при фи = 2, а при = 3 гладкая кривая с тройными точками^ одинаковыми для максимальной и минимальной скоростей, . причем множество Максвелла вблизи каждой из них есть состоит из трех гладких некасающихся кривых, либо

- гладкая кривая с тройными точками при 3 < #С/ < оо и дополнительно с точками сборки.при dim U. > 0, различными для минимальной и максимальной скоростей, а также с трансверсальными самопересечениями вне этих точек.

Кроме того, множества Максвелла,типичного семейства систем и любого достаточно близкого к нему переводятся одно в другое, гладким; диффеоморфизмом- близким" к тождественному. Следовательно, для семейства систем общего положения это множество размещено типично по отношению к слоям естественного расслоения т :. (х,р) р над пространством параметра, в частности, онб'может касаться слоев расслоения-' г только в точках своей гладкости; и с первым порядком касания: При; этом каждый-слой этого расслоения может содержать только одну точку . такого касания, либо тройную точку, либо точку сборки, либо еще точку ; самопересечения этого множества. Точку такого касания будем называть двойной с касанием, а остальные точки гладкости множества Максвелла - регулярными.

Теорема 2.1. (Классификация особенностей). Для типичного однопа-раметрического семейства пар плотностей; выгоды и управляемых систем с положительными скоростями росток наибольшей средней временной выгоды в любом значении параметра есть росток в нуле функции, равной нулю при 0 < р и одной из семи функций второго столбца Таблицы 1 при р > 0, с точностью до эквивалентности, указанной в третьем столбце, и при условиях из четвертого столбца. Более того, эта выгода для типичного семейства пар и для любого достаточно близкого к нему переводятся одна в другую гладкой Г-эквивалентностью близкой к тождественной.

Таблица 1.

Особен. Эк. Условия

1 0 R+ #[/>2

2 Р R+ #(7 > 2, появление точки переключения в конце цикла

3 р3/2+р2 г « ^U > 2, проход минимума функции S через i ноль

4 рг'2-р2 га фи > 2, проход максимума функции S через ноль

5 рЗ/2 Г ^U > 2, проход через двойную точку с касанием у используемой скорости

6 Р2 R+ либо проход через тройную точку у используе- 1 мой скорости при фи > 3, либо появление регулярной двойной точки на конце цикла при фи> 2.

7 Р3 R+ ф11 > 2, переключение скоростей в двойной точке

8 2 Г dim U > 0, проход через точку сборки у используемой скорости

В этой таблице:

-Г-эквивалентность - это С°°-диффеоморфизм пространства графика функции, сохраняющий естественное расслоение над областью определения, а Га - это афинная вдоль оси выгоды Г-эквивалентность;

- проход через минимум (максимум) функции 5 - это равенство нулю функции переключения оптимального цикла в ее минимуме (максимуме, соответственно);

- условие прохода через точку - это использование на некотором участке скорости, доставляющей на этом участке указанную в условии особенность;

- условие переключения в двойной точке - переключение между максимальной и минимальной скоростями в такой точке, не являющейся двойной с касанием.

Классификация особенностей проходит по той же схеме, что и в работе

8]:

- сначала явление, порождающее особенность, локализуется, затем

- оптимальное движение изменяется так, что это явление не учитывается, а в результате период изменённого цикла, выгода и средняя временная выгода вдоль него становятся гладкими функциями уровня и параметра вблизи изучаемой точки, и, наконец,

- делается учет проведенного изменения, что и доставляет особенность уровня с оптимального цикла, выгоды и средней временной выгоды вдоль него как функции параметра, после чего

- эта особенность средней временной выгоды приводится к нормальной форме.

При наличии дисконтирования реализация этой схемы требует более тонких рассуждений, чем в [8], ибо, во-первых, изменение используемой плотности усилия на небольшом участке приводит к смещению последующих точек переключение, а, во-вторых, вместо уравнения с = — сгР — А для вычисления уровня оптимального цикла с и, фактически, наибольшей средней временной выгоды А при а — 0, при а > 0 мы имеем более сложное уравнение (7), из которого сначала нужно найти с, и только потом найти выгоду и среднюю временную выгоду.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шуткина, Татьяна Сергеевна, 2011 год

1. В.И. Арнольд, А.Н.Варченко, С.М. Гусейн-Заде. Особенности дифференцируемых отображений. // М : Наука. - 1982. -Т.1. - С. 304.

2. В.И. Арнольд. Выпуклые оболочки и повышение производительности систем при пульсирующей загрузке// Сиб. матем. журнал. 1987 - Т. 28, № 4. - С. 27-31

3. В.И. Арнольд. Оптимизация в среднем и фазовые переходы в управляемых динамических системах// Функц. анализ и его приложения.- 2002. Т.36 - С. 1-11.

4. В. JI. Бабурин. Пространство циклов. М.:ЛКИ. - 2007. - 316 с.

5. Э. М. Браверман , М. И. Левин. Неравновесные модели экономических систем. — М.: Наука. 1981.— С. 159.

6. Л.Н. Брызгалова. Особенности максимума функции, зависящей от параметров// Функц. анализ и его приложения. 1977. - Т.11, вып. 1.- С. 59-60.

7. Л.Н. Брызгалова. О функциях максимума семейства функций, зависящих от параметров // Функц. анализ и его приложения. 1978. -Т. 12, вып. 1. - С. 66-67.

8. A.A. Давыдов. Особенности типичной выгоды в модели Арнольда циклических процессов// Труды МИАН. 2005. - Т. 250. - С. 79-94

9. А.А.Давыдов, Е. Мена-Матош. Типичные фазовые переходы и особенности выгоды в модели Арнольда// Матем. сб. 2007. - 198:1. -С. 21-42

10. А. А. Давыдов, Т. С. Шуткина. Оптимизация циклического процесса с дисконтированием по его средней временной выгоде//УМН. 2009.- 64:1(385). С. 143-144

11. A.A. Давыдов , Т.С. Шуткина. Единственность цикла с дисконтированием, оптимального по средней временной выгоде// Труды Института математики и механики. 2011. - 17:2- С.80-87

12. В.В.Жиков. Математические проблемы теории поиска// Труды Владимирского политехнического института. 1968. - С. 263-270

13. A.A. Зевин. О некоторых особенностях оптимальных циклических траекторий// Автоматика и телемеханика. 1980.- №3. -С.19-23

14. A.M. Цирлин. Методы усредненной оптимизации и их приложения// М.: Наука. Физматлит. 1997.- ISBN 5-02-015091-6.

15. H.JI. Карданская. Системы управления производством: анализ и проектирование / H.JI.Карданская, А.Д.Чудаков. — М. : Русская деловая литература. 1990. — 240 с.

16. П. Митчелл. 101 ключевая идея: Экология. Пер.с англ. Перфильева.- М.: ФАИР-ПРЕСС. 2001. - 224 с.

17. JI. Ю. Шипович. Особенности циклического развития экономики России// Вестник Челябинского государственного университета. 2009. - № 2 (140). - Экономика. Вып. 18. - С. 27-36.

18. Д. Эрроусмит, К. Плейс. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. М.: "МИР 1986. - 243 с.

19. F.Contre, I. Goldin. Agriculture and the economic cycle: an economicand econometric analysis with special reference to Brazil. // OECDdevelopment centre. Working Paper No. 15. p. 43.

20. A.A. Davydov. Singularities of the maximum function over the preimage// Geometry in nonlinear control and differential inclusions, Banach Center Publications. 1995. - Vol.32. - pp. 167-181.

21. A.A Davydov, H. Mena-Matos. Singularity theory approach to time averaged optimization//Singularities in geometry and topology, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2007.- pp.598-628.

22. J. Glombowski , M. Kruger. Generalisations of Goodwin's Growth Cycle Model // Nonlinear Models of Fluctuating Growth IR. Goodwin, M. Kruger and A.Vercelli (eds.). — Berlin: Springer, 1984. —P. 260-289.

23. J.N.Mather. Generic projections// Ann. of Math. 1973. - II. Ser.98. -pp. 226-245.

24. H. Maurer, Ch. Bliskens, G. Feichtinger. Solution techniques for periodic control problems: a case study in producting planning// Optim. Control Appl. Meth.- 1998.- Vol. 19. pp. 185-203.

25. H. Mena-Matos, C. Moreira. Generic Singularities of the Optimal Averaged Profit among Stationary Strategies//Journal of dynamical and control system. 2007. - Volume 13, Number 4. - pp. 541-562.

26. C.S. Moreira. Singularities of the stationary domain for polydynamical systems. // Control & Cybernetics. 2006. - 35:4. - pp. 881-886.

27. C.S. Moreira. Singularities of optimal averaged profit for stationary strategies.// Portugaliae Mathematica. 2006. - 63:1. - pp. 1-10.

28. M. Slade. Modeling Stochastic And Cyclical Components of Technical Change. An Application of the Kalman Filter // Journal of Econometrics. 1989. - Vol. 41. - P. 363-383