Задачи оптимальной добычи возобновляемого ресурса для моделей популяций, заданных различными динамическими системами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Черникова Анастасия Владимировна

• Черникова Анастасия Владимировна
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Черникова Анастасия Владимировна

Введение

Глава 1. Об оптимальной добыче возобновляемого ресурса для моделей популяций, заданных непрерывными динамическими системами

1.1 Определения характеристик сбора возобновляемого ресурса

1.2 Построение управлений для достижения заданных значений средней временной выгоды

1.3 Построение управлений для достижения заданных значений эффективности сбора ресурса

1.4 Вычисление и оптимизация характеристик сбора ресурса для однородной популяции

1.5 Другие задачи оптимального сбора ресурса

Глава 2. Об оптимальной добыче возобновляемого ресурса для моделей популяций, заданных дискретными динамическими системами

2.1 Определение характеристик сбора и построение управлений для достижения заданных значений характеристик

2.2 Об оптимальном режиме эксплуатации для достижения наибольших значений характеристик сбора

2.3 Оптимизация дисконтированного дохода от сбора ресурса

2.4 Об оптимальной эксплуатации однородной популяции

Глава 3. Задачи сбора возобновляемого ресурса для

динамических систем со случайными параметрами

3.1 Описание динамической системы со случайными параметрами

3.2 Оценки характеристик сбора ресурса, выполненные с вероятностью единица

3.3 О существовании предела и оценках средней временной выгоды, выполненных с вероятностью единица

Заключение

Стр.

Список литературы

Приложение А. Свидетельства о государственной регистрации

программ для ЭВМ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи оптимальной добычи возобновляемого ресурса для моделей популяций, заданных различными динамическими системами»

Введение

Актуальность и степень разработанности темы исследования.

Рациональное использование возобновляемых природных ресурсов, таких как популяции животных или растений, имеет основополагающее значение в жизни общества. При промысловом воздействии актуальными вопросами являются как сохранение биоразнообразия для дальнейшего воспроизводства ресурсов и способности их эксплуатировать в будущем, так и получение экономической выгоды. Изменение численности популяции, выживание и рост неполовозрелых особей, переходы в старшие возрастные классы являются сложными процессами, на которые промысел оказывает различное влияние. Поэтому ключевой задачей математической биологии является анализ влияния добычи ресурса на экологию и экономику (см., например, работы C.W. Clark [43; 44], J.M. Conrad [45], H.S. Gordon [50]).

К проблемам оптимального управления эксплуатацией ресурса относятся задачи максимизации характеристик сбора — дохода и эффективности. При этом исследуемые популяции могут иметь сложную структуру (например, быть разделенными на возрастные или типические группы), а процесс восстановления популяции может быть задан различными динамическими системами. К одним из первых моделей, описывающих структурированную популяцию, относится модель распространения эпидемии Кермака-МакКендрика 1927 г. В ней предполагается, что популяция разделена на три класса: уязвимые, зараженные и выздоровевшие, а последовательный переход особей в каждый класс описан системой дифференциальных уравнений [54]. Позднее в 1945 г. П. Лесли была предложена матричная модель, в которой ПОПуЛЯцИЯ разделена на конечное число возрастных классов одинаковой длительности, равной шагу модели по времени [57]. Эта модель получила много обобщений, наиболее известное из которых модель Л. Лефковича 1965 г., в которой использовались последовательные стадии развития организма [56]. Более поздние работы ученых посвящены исследованиям матричных моделей популяций с дискретной стадийной структурой [17; 18; 61] и с более сложными способами классификации, например, когда возрастной класс популяции подразделен на подклассы по размеру или другим физиологическим состояниям [19; 33; 47].

Наиболее известные и изученные модели популяций, как правило, заданы непрерывными и дискретными динамическими системами и являются детерминированными. В работах многих авторов, среди которых А. О. Беляков, V. М. Veliov, А. А. Давыдов [2; 9; 41; 42], М. И. Зеликин, Л. В. Локуциевский [11], A.A. Красовский [14], Л. И. Родина [6], К. Belkhodja [40], Т. Upmann [64], рассмотрены задачи максимизации прибыли (в том числе на бесконечном промежутке времени) от эксплуатации возобновляемого ресурса, заданного непрерывными динамическими системами. Исследование популяций, динамика которых описана системами дифференциальных уравнений с запаздываниями, получило свое развитие в Ярославской школе по нелинейной динамике [7; 8; 13].

С экономической точки зрения важной является задача максимизации чистой дисконтированной прибыли. Вопросы сбора ресурса из структурированной по возрасту популяции, для которой оптимизируется дисконтированный доход на бесконечном промежутке времени, исследуются в работах L.F. Murphy, S.J. Smith [59], N. Hritonenko, Y. Yatsenko [52] и других. Задачи оптимизации объемов выпуска и инвестиций в производственный процесс рассмотрены в Екатеринбургской школе по теории оптимального управления [15].

Наряду с задачей максимизации прибыли исследуется задача максимизации эффективности сбора. Например, в работе А. О. Белякова, A.A. Давыдова [2] для заданного усилия сбора доказано существование стационарного распределения ресурса, доставляющее на бесконечном горизонте максимальную эффективность сбора. Показано, что приложение усилий вне области распространения ресурса неэффективно.

Вместе с тем, интерес для исследования вызывают модели популяций, развитие которых задано дискретными динамическими системами. Такие системы, являясь, на первый взгляд, достаточно простыми, могут доставлять довольно сложную динамику. В них, например, могут возникать циклические и хаотические режимы. Исследованию таких режимов посвящены работы T.-Y. Li, J. A. Yorke [58], Д. О. Логофета, Ю.М. Свирежева [32], А. Н. Шарковского [35; 36] и других. Кроме того, некоторые модели эксплуатируемых структурированных популяций могут обладать свойством мультирежимности; это означает, что при одних и тех же значениях параметров системы наблюдаются различные динамические режимы (см., например, работы А. И. Абакумова, Г. П. Неверовой, Е. Я. Фрисмана [22; 23]). Исследование дохода от эксплуатации некоторых

двухвозрастных популяций показало, что при одновременной эксплуатации обоих возрастов максимум дохода не достигается (см., например, работу [24]).

Однако, детерминированные модели не учитывают случайные факторы, влияющие на динамику популяций или экосистемы в целом. Поэтому одной из важных задач является анализ промысла популяций, заданных моделями со случайными параметрами, (см., например, работы J.R. Beddington, R.M. May [39], А. Gleit [48], R. Lande [55], S.J. Schreiber [62], О. Tahvonen, M.F. Quaas [63], Y. Zhang [66] и их соавторов). В одной из первых работ по данной тематике W. J. Reed [60] показал, что для модели популяции со случайными параметрами оптимальной является эксплуатация до определенного уровня (escapement level), не зависящего от текущего размера популяции. Данная идея обобщается во многих дальнейших публикациях, среди которых работы A. Hening [51], U. Kapaun [53], M.L. Weitzman [65] и другие.

Начало исследований средней временной выгоды для моделей динамики эксплуатируемых популяций со случайными параметрами положено Е. Л. Тонковым и его учениками в Ижевской школе по математической теории управления [30]. В работах Л. И. Родиной и соавторов рассматриваются вероятностные модели сбора возобновляемого ресурса, описанные дифференциальными уравнениями с импульсным воздействием, для которых получены оценки средней временной выгоды, выполненные с вероятностью единица, и описан способ добычи ресурса, при котором сохраняется часть популяции, необходимая для ее дальнейшего восстановления [20; 26—28; 31].

Цель и задачи исследования. Целью диссертации является изучение моделей эксплуатируемых популяций, развитие которых задано различными динамическими системами, и исследование задач построения режимов промысла, доставляющих заданные и наибольшие значения характеристик сбора возобновляемого ресурса — средней временной выгоды и эффективности.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Основные утверждения являются новыми, сформулированы в виде теорем и сопровождаются строгими доказательствами. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях по теории дифференциальных уравнений и динамических систем, а также

могут найти применение при решении оптимизационных задач, возникающих при моделировании экологических и технологических процессов.

Методология и методы исследования. В работе применяются аналитические методы теории дифференциальных уравнений и динамических систем, математической теории управления и теории вероятностей. Для численного решения задач и графической интерпретации результатов используется пакет прикладных программ МАТЬАВ.

Положения, выносимые на защиту:

1. построены управляющие воздействия, при которых средняя временная выгода и эффективность сбора ресурса достигают заданных и наибольших значений, для моделей динамики популяций с непрерывным временем;

2. построены управления, доставляющие заданные и наибольшие значения средней временной выгоды и эффективности сбора, для моделей популяций, заданных дискретными динамическими системами. Описаны режимы промысла, при которых дисконтированный доход достигает наибольшего значения;

3. доказано существование предела и получены оценки средней временной выгоды, выполненные с вероятностью единица, для дискретных моделей однородных популяций со случайными параметрами.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность полученных результатов обеспечивается строгими математическими выкладками и доказательствами утверждений. Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах (см. [67—71; 73; 75; 76; 78; 79; 81; 86-91]):

1. Международная научная конференция «Интегрируемые системы и нелинейная динамика», Ярославль, ЯрГУ им. П. Г. Демидова, 2018 г.;

2. Международный молодежный научный форум «ЛОМОНОСОВ-2019», Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, 2019 г.;

3. Студенческая школа-конференция «Математическая весна», Нижний Новгород, НИУ ВШЭ-Нижний Новгород, 2019, 2021 гг.;

4. Международная научная конференция «Современные проблемы математики и механики», посвященная 80-летию академика В. А. Садовни-чего, Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, 2019 г.;

5. Международная конференция «Topological methods in dynamics and related topics. Shilnikov workshop», Нижний Новгород, ННУ ВШЭ-Нижний Новгород, 2019, 2020 гг.;

6. Международная научная конференция «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики», Нальчик, ИПМА КБНЦ РАН, 2021 г.;

7. II Всероссийская научная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения», Рязань, РГУ имени С. А. Есенина, 2022 г.;

8. Всероссийская конференция с международным участием «Теория управления и математическое моделирование», посвященная памяти профессора Н. В. Азбелева и профессора Е. Л. Тонкова, Ижевск, УдГУ, 2020, 2022 гг.;

9. Международная школа молодых ученых «Моделирование и оптимизация сложных систем», Суздаль, МИАН, МГУ имени М. В. Ломоносова, ВлГУ, НИТУ МИСИС, 2022 г.;

10. VIII Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием «Современные проблемы физико-математических наук», Орел, ОГУ имени И. С. Тургенева, 2022 г.;

11. Международная (Всероссийская) молодежная школа-конференция «Современные проблемы математики и ее приложений», Екатеринбург, ИММ УрО РАН, 2019, 2023 гг.

12. IV Международная научная конференция «Геометрические методы в теории управления и математической физике», Рязань, РГУ имени С. А. Есенина, 2023 г.;

13. Международная конференция, посвященная памяти академика A.B. Кряжимского «Системный анализ: моделирование и управление», Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, МЦФПМ, ИММ УрО РАН, 2024 г.;

14. Международная школа-семинар молодых ученых «Моделирование и оптимизация сложных систем», Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, НИТУ МИСИС, МИАН, 2019 г.;

15. Научный семинар «Нелинейный анализ и его приложения» кафедры функционального анализа и его приложений ВлГУ, 2019-2023 гг.;

16. Научный семинар «Нелинейная динамика и синергетика» математического факультета ЯрГУ им. П. Г. Демидова, 2023 г.;

17. Расширенное заседание семинара отдела динамических систем, Екатеринбург, ИММ УрО РАН, 2023 г.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 23 научных работах |67 81: 85—92], из которых 6 изданы в научных журналах категории К1 [72; 74; 77; 80; 85; 92], включенных в Перечень рецензируемых научных изданий ВАК или приравненных к ним (из них работы [72; 74; 77; 80; 85; 92] опубликованы в научных журналах, индексируемых Scopus, работы [74; 77; 80] — в журналах, индексируемых в Web of Science (ESCI), статьи [72; 74; 77; 85; 92] включены в наукометрическую базу данных zbMATH, статьи [74; 77; 80; 92] — в наукометрическую базу данных MathSciNet, работа [92] опубликована издательством Springer), 6 _ в сборниках трудов конференций [71; 75; 78; 79; 86; 88], 11 — в тезисах докладов конференций [67—70; 73; 76; 81; 87; 89—91]. Также получены 3 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ [82^84] (см. приложение А).

Личный вклад. Все основные результаты кандидатской диссертации получены автором самостоятельно. В работах [74; 77; 80; 92], выполненных в соавторстве с научным руководителем, Л. И. Родиной принадлежат постановки задач и общие схемы их исследований, а соискателю А. В. Черниковой — точные формулировки, доказательства результатов и исследование примеров с численной и графической реализацией (с помощью пакета прикладных программ MATLAB). В работе [77] соавтору А. А. Родину принадлежит компьютерное моделирование, выполненное в примере 2, и решение задачи об оптимальной эксплуатации популяции методом динамического программирования, приведенное в §3. Из опубликованных в соавторстве работ в диссертацию включены только результаты автора.

Благодарность. Автор диссертации выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Л. И. Родиной за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и 1 приложения. Полный объём диссертации составляет 115 страниц, включая 8 рисунков. Список литературы содержит 92 наименования.

Краткое содержание работы. Приведем краткое описание основных результатов всех глав данной диссертационной работы.

В первой главе исследуются модели однородных и структурированных популяций. Обозначим через х(), г = 1,... , п численность каждого из п видов популяции в момент времени £ ^ 0 и рассмотрим систему дифференциальных уравнений

Ь = / (х), (1)

где / = (/х,..., /п), = ¡г(х) — вещественные непрерывно дифференцируемые функции на = {х € : Х\ ^ 0,...,хп ^ 0}. Эта система описывает развитие популяции при отсутствии эксплуатации.

Эксплуатация популяции состоит в извлечении в моменты времени ти = к(1, (1> 0 некоторой доли ресурса и(к) = (щ(к),... ,ип(к)) € [0,1}п, к = 1, 2,.... Рассмотрим множество

и = {й : и = (и(1),...,и(к),...)} = [0,1}п х [0,1}п х ... (2)

и исследуем задачу выбора управлений и € и, доставляющих определенный результат сбора ресурса. Эксплуатация приводит к системе с импульсным воздействием:

ос7 == ^(х), ~Ъ

г .)г\ Г , ^

х(М) = (1 - иг(к)) • хг(к(1 — 0), к = 1,2,...,

где х^(к(1 — 0) и — коли чес тво ¿-го вида ресурса до и после сбора

в момент времени = кё,, к = 1,2,... соответственно. Обозначим через X(к) = (уХ1(к),... ,Хп(к)), Х{(к) = х^(к(1 — 0) количество особей ¿-го вида популяции до сбора в момент ти, к = 1, 2,...; х(0) = (хх(0),..., хп(0)), %^(0) — начальную численность ¿-го вида популяции, % = 1,... ,п. Предполагаем, что решения системы (3) непрерывны справа.

Поскольку системы (1) и (3) описывают динамику популяции, предполагаем, что их решения неотрицательные при любых неотрицательных начальных условиях, то есть выполнено условие квазиположительности [16].

Обозначим через С{ ^ 0 агрегированную стоимость условной единицы ¿-го вида, г = 1,... ,п. Будем исследовать две характеристики сбора ресурса. Первая из них — средняя временная выгода, которая задается функцией

1 к п

Н*(й,х(0))= Нш )щ(э), (4)

к—ьК

3=1 г=1

а вторая — эффективность сбора

к п \ —1

^ п / 1% п \ —1

Е*(й,х(0)) = lim ЕЕ СгХгй ЫЭ)( ЕЕ )) , (5)

к—>•+оо -Ii \ ■ 1 • 1 /

j=1 г=1 j=1 i=1

п

где ^ui(1) > 0. Отметим, что если существуют пределы в правых частях =1

равенств (4) и (5), то среднюю временную выгоду и эффективность сбора будем обозначать Н(й,х(0)) и Е(й,х(0)) соответственно.

Предполагаем, что решение системы (1) существует и единственно на[0, d] при любом х0 = ж(0) Е R+. Система (1) в силу автономности порождает динамическую систему iß(t, •) = (t, •),... ,^H(t, •)) для любого х0 Е R+, где tß(t, х0) — решение системы (1) при любом начальном условии х0 = ж(0).

Рассмотрим стационарный режим, эксплуатации популяции, когда извлекаемая доля ресурса постоянна. При таком режиме промысла развитие популяции описывается динамической управляемой системой с дискретным временем, порожденной динамической системой ^(t, •), соответствующей управляемой системе (3),

X (k + 1,и) = (p(d, (1 — и)Х (к, и)), к = 1, 2,..., (6)

где (1 — и)Х(к, и) = ((1 — и1 )Х1(к, и),..., (1 — ип)Хп(к, и)), (1 — ui)Xi(k, и) — количество ресурса после сбора ресурса в момент tu = kd, i = 1,... ,п (далее будем вместо X(к, и) писать X(к)).

Обозначим через X (к,и,Х0), к = 1, 2,... решение системы (6), удовлетворяющее начальному условию X (1) = Х0 Е R+. Если система (6) имеет неподвижную точку (положение равновесия) £ (и) = (^1(и),..., £п(и)), то выполнено ^(и) = y{d, (1 — и)£ (и)) .Пусть ||ж|| = \J х\ + ... + х2п. Множество начальных точек X(1) = Х0, для которых имеет место lim ||Х (k,u,X0) — £ (и) II = 0, называется множеством притяжения точки

£ (и); обозначим его ч ерез ^^ (и)).

Для построения управлений, доставляющих заданные и наибольшие значения средней временной выгоды, рассмотрим функцию

п

D(x) = ^i(d,x) — xi) и множество

=1

V+ = {х Е R+ : xi < (рi(d,x) = 0, г = 1,...,п}.

Теорема 1.2.1. (см. [92]). Предположим, что функция D(x) достигает гния % G (0, +œ) < ж(0) G A(<p(d,x*)) при,

значения % G (0, +œ) в точ ке х* G V+ .Тогда, Н(и*,х(0)) = % для любого

и* = (и*,и*,...), где и* = (l--1--^^ V (7)

Кроме того, если наибольшее значение D(x) на множестве R+ достигается

в точке х* G V+, то для любых и G U, х(0) G R+ вы,полнено неравенство

Н(й,х(0)) < Н(й*,х*(0)) = Б(х*),

где х*(0) С , а управление и* С и задано (7).

Далее построим управления, доставляющие заданные и наибольшие значения эффективности сбора. Рассмотрим функцию эффективности

Е(х) = ^ Ci(^i(d,x) - хг)(п - V )

X'

х G R+ : У" ——i—т < п; Xi ^ шi(d, х) = 0, г = 1,... ,п\. + i=1 (fi(d,x) J

Теорема 1.3.1. (см. [92]). Пусть Е(х*) = С G (0, +œ) для некоторого х* G 8+; тогда Е(й*,х(0)) = С для любого х(0) G A(ip(d,x*)} при и*, заданном равенством (7). Кроме того, если наибольшее значение Е(х) на множестве R+ достигается в точке х* G 8+, то

Е(й,х(0)) < Е(х*)

для любого стационарного управлениям, G U и любого х(0) G R+.

В первой главе также рассмотрены две задачи, первая из которых заключается в нахождении наибольшего значения эффективности при фиксированном значении средней временной выгоды Н(й,х(0)) = % ^ D(x*), а вторая — в нахождении наибольшего значения средней временной выгоды Н{й,х(0)), полагая значение эффективности сбора фиксированным Е(й,х(0)) = С. Решение данных задач проиллюстрировано на примерах однородной популяции, заданной логистическим уравнением, и модели взаимодействия двух видов типа «нейтрализм». Кроме того, приведена оценка средней временной выгоды Н(й,х(0)) для модели взаимодействия популяции двух видов типа «комменсализм».

Вторая глава посвящена исследованию оптимальной добычи возобновляемого ресурса, заданного динамической системой с дискретным временем. Рассматриваются однородные и структурированные популяции, развитие которых при отсутствии эксплуатации определено дискретной динамической системой

х(к + 1) = ] (х(к)), к =0,1, 2,...,

где х(к) = (х\(к),..., хп(к)), Х{(к) ^ 0, г = 1,... ,п — численность популяции г-го вида либо возрастного класса в момент времени к = 0,1, 2,...; / = (/х,... , /п), /¡, % = 1,... ,п — вещественные непрерывно дифференцируемые функции на

Пусть ж(0) = (жх(0),... ,хп(0)), Xi(0) ^ 0 — начальная численность ¿-го вида популяции. Предполагаем, что в момент времени к = 0 ресурс не извлекается, а в моменты к = 1, 2,... из популяции извлекается некоторая доля ресурса и(к) = (щ(к),... ,ип(к)) Е [0,1]п. Рассмотрим множество и, определенное (2), и исследуем задачу выбора управлений и Е и, обеспечивающих определенный результат сбора. Будем исследовать модель эксплуатируемой популяции, которая определяется динамической системой с дискретным временем

X (к + 1) = / ((1 - и(к))Х (к)), к = 1, 2,..., (8)

где Х,ь(к) ж (1 — щ(к))Х^к) — количество ре сурса ¿-го вида до и после сбора в момент времени к соответственно, г = 1,...,п, (1 — и(к))Х (к) = ((1 — и1(к))Х1 (к),..., (1 — ип(к))Хп(к)). Отметим, что X (1) = / (Х(0)).

Для описанной модели популяции, подверженной промыслу, так же рассмотрим две характеристики сбора — среднюю временную выгоду и эффективность сбора, определенные равенствами (4) и (5) соответственно.

Приведем способы эксплуатации популяции, которые доставляют наибольшее значение характеристик сбора на бесконечном промежутке времени.

Теорема 2.2.1. (см. [80]). Предположим, что функция

п

в(х) = х) —хО

i=l

О Г* а

достигает наибольшего значения D(x*) в точке х* Е R++ и х* ^ fi{x*) = 0 для любого г = 1,... ,п. Тогда для любого х(0) Е A(f (х*)} функция Н{й,х(0) достигает максимального значения D(x*) на множестве всех управленийи при,

ф)sи* = О-щгу-1 -¿У' fc = ^2-" (9)

Здесь через /(х*)^ обозначено множество притяжения неподвижной точки /(х*) системы (8) при и(к), заданном (9).

Теорема 2.2.2. (см. [80]). Предположим,, что функция

п 1

гр . \ — 1

Л, г

Е(х) = Шх) — х) (п — ^ Т71Л )

г=1 г=1 1г(Х)

достигает наибольшего значения Е(х*) в точке х* € и х* ^ х*) = 0 для любого г = 1,... ,п. Тогда для любого х(0) € /(х*)) функция Е(й,х(0))

Е( х*)

управлений при, и (к) = и*, заданных (9).

Данные утверждения проиллюстрированы на примере вычисления характеристик сбора для структурированной популяции, состоящей из особей младшего и старшего возрастного класса, при различных режимах эксплуатации.

При анализе качества эксплуатации по стоимости сбора, естественно вводить дисконтирование. Функцию

то п

На(и,х(0)) = ^^СгХги)иги)е—аз, з=1 ¿=1

где а > 0 — коэффициент дисконтирования, назовем дисконтированным доходом, от извлечения ресурса.

Приведем способ эксплуатации, при котором дисконтированный доход достигает наибольшего значения на бесконечном промежутке времени. Теорема 2.3.4. (см. [72]). Предположим, что функция

п

Еа(х) = ^Сг(/г(х) — хгеа)

¡=1

достигает максимального значения в точке х* € и х* ^ /¡(х*) = 0, г = 1,... ,п. Тогда для любого х(0) € Ж+ такого, что х,ь(0) ^ х*, г = 1,... ,п, функция На(й,х(0)) достигает наибольшего значения

Ми',х(0)) = + ¿С Х^е -

¡=1

(х* х* \ 1 — V 1 \ , . . . , 1--^ Пл \ ) ,

Х1(1) Хп(1) '

(х* х* \

1 - / ■ ,..., 1 - п ■ для всех к ^ 2. Ь(х*У ' к(х*))

Третья глава посвящена исследованию оптимальной добычи возобновляемого ресурса, заданного дискретной динамической системой со случайными параметрами. Рассмотрим популяцию, развитие которой описано одномерной дискретной динамической системой

х(к +1) = ¡(х(к)), к =0,1,2,..., (10)

где — численность популяции в момент времени к, / — вещественная дифференцируемая функция, заданная на отрезке I = [0, а], такая, что /(I) С I.

Предполагаем, что в нулевой момент времени численность популяции равна ж(0) ^ 0, а в моменты времени к = 1,2,... из популяции извлекается некоторая случайная доля ресурса ш(к) Е ^ С [0,1]. Эксплуатация прекращается в том случае, когда доля собранного ресурса окажется больше некоторого значения и(к) Е [0,1) в момент к. Тогда доля добываемого ресурса будет равна

£(к) = £(ш(к),и(к)) = тш {ш(к),и(к)}, к = 1,2,....

Таким образом, модель эксплуатируемой популяции имеет вид

X (к + 1) = / ((1 - £(к))Х (к)), к = 1, 2,..., (И)

где X(1) = /(ж(0)), X(к) = Х(£(1),..., £(к — 1),ж(0)) — количество ресурса до сбора в момент к = 2,3,..., зависящее от долей ресурса 1(1),..., £(к — 1), собранного в предыдущие моменты, и от начальной численности популяции ж(0).

Так же как в первой и второй главах рассмотрим две характеристики сбора ресурса: среднюю временную выгоду

- 1 п -Н*(1,ж(0))=Нт -ЕX(к)£(к), где £ = (£(1),... ,£(к),...), (12)

п к=1

и эффективность сбора ресурса

—1

.

п п

Е*(£,х(0)) = Нт ЕХ(к)£(к)\ Е 1(к)

к=1 \к=1 /

Рассмотрим множество и = {й : и = (м(1),... ,и(к),.. , и(к) Е [0,1], и исследуем задачу выбора управления сбором и Е и, ограничивающего долю добываемого ресурса в каждый момент времени к, при котором пределы в правых частях (12) и (13) существуют и их значения можно оценить снизу с вероятностью единица по возможности наибольшим числом.

Приведем описание вероятностной модели (Т, A,n), параметризующей динамическую систему (11). Пусть задано вероятностное пространство (Q, A, J1), где A — сигма-алгебра подмножеств Q С [0,1], па которой с помощью функции распределения G определена вероятностная мера Д следующим образом: Д((а, /3]) = G(fi) — G(a). Предполагаем, что G(0) < 1. Пусть Т = {а : а = (ш(1),... ,ш(к),...)}, ш(к) Е Q, A — наименьшая снгма-алгеб-ра, порожденная цилиндрическими множествами

D(k) = {а Е Т: w(1) Е А(1),...,ш(к) Е А(к)}, где А(1) Е A,...,А(к) Е A,

зададим меру Д(D(k)) = J!(^(1)) • Д(А(2)) •... • Д(А(к)). Тогда в силу теоремы

(Т , A)

вероятностная мера ц,, которая является продолжением меры Д па сигма-алгеб-A.

Пусть задана функция и : I ^ [0,1]. Для каждого х Е I функция

£(и,и(х)) = min {и,и(х)} является случайной величиной на множестве

Q; обозначим через М£(ш,и(х)) ее математическое ожидание. Пусть

х Е I и х < max f (х); рассмотрим отрезок Р(х) = \х, max f (ж)!. Обо-хЕ1 хе1

значим через х(к) размер популяции после извлечения ресурса; тогда х(к) = (1 — £(к))Х (к), к = 1, 2,....

Теорема 3.2.1. (см. [77]). Пусть точка х Е I такова, что х ^ f (х) ^ f (х) для вссх х Е Р(х). Тогда для любого х(0) Е Р(х) существует управление и Е U такое, что для почти всех а Е Т выполнены неравенства

f (х)М£(и,и(х)) < Н*(£,х(0)) < max f (х) • М£(и,и(х)),

хЕ1

где и(х) = 1 — Х

f (Ъ)'

Теорема 3.2.2. Предположим, что точка х Е I такова, что х ^ f (х) ^ f (х) для вс ex х Е Р (х). Тогда для любого х(0) Е Р (х) существует управление и Е U такое, что для всех а Е Т выполнены неравенства

f (х) < Е*(£,х(0)) < max f (х).

хЕ1

() называ-

ется решение вида x(k) = const = х*. Отметим, что х* = fix*).

Обозначим £(к) = (1(1),... , £(к)). Для нахождения оценки средней временной выгоды, выполненной с вероятностью единица, зададим

рекуррентным образом случайные величины А(к,х) = А(к,х,£(к)), В (к,х*) = В (к,х*,1(к)):

А(1,х) = f(x), А(к + 1,х) = f((1 - £(к))А(к,х));

В(1,х*) = х*, В(к + 1,х*) = f((1 - 1(к))В(к,х*)), к = 1, 2,....

Теорема 3.3.4. (см. [85]). Предположим, что уравнение (10) имеет решение х(к) = х* > 0 и существует а\ Е [0,х*) такое, что 0 < f(х) < 1 для всех х Е (а\,х*). Тогда для любого х Е (а\,х*) найдется управление и Е U такое, что для почти всех а Е £ существует положительный предел

Н(I, х(0)) = lim МА(к,х)1(к) = lim МВ(к,х*)1(к),

к^ж к^ж

не зависящий от начального значения х(0) Е (а\,х*).

Теорема 3.3.5. (см. [85]). Если уравнение (10) имеет решение х(к) = х* > 0 и существует а\ Е [0,х*) такое, что 0 < f(х) < 1 для всех х Е (а\,х*), то для любо го к = 1, 2,... и почти всех а Е £ имеет место неравенство

МА( к, х)1(к) < Н (1,х(0)) < МВ (к ,х*)1(к).

В заключении подведены итоги диссертационной работы, формулируются основные выводы и приводятся некоторые возможные направления развития исследований.

Глава 1. Об оптимальной добыче возобновляемого ресурса для моделей популяций, заданных непрерывными динамическими

системами

Первая глава диссертации посвящена исследованию моделей популяций, динамика которых описана динамическими системами с непрерывным временем. Полагая, что х(£) — численность популяции в момент времени £ ^ 0, развитие популяции при отсутствии промысла, можно описать системой дифференциальных уравнений х = /(х). Предполагаем, что в каждый момент времени производится сбор ресурса и имеется возможность управлять этим процессом, чтобы достичь определенного результата сбора.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Черникова Анастасия Владимировна, 2024 год

Список литературы

1. Базыкин А. Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. — Москва-Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2003. — 368 с.

2. Беляков А. О., Давыдов А. А. Оптимизация эффективности циклического использования возобновляемого ресурса // Труды Института математики и механики УрО РАН. - 2016. - Т. 22, № 2. - С. 38-46.

3. Братусь А. С., Новожилов А. С., Платонов А. П. Динамические системы и модели биологии. — Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2010. — 400 с.

4. Волдеаб М. С. Свойства средней временной выгоды для вероятностных моделей эксплуатируемых популяций // Вестник российских университетов. Математика. - 2023. - Т. 28, № 141. - С. 26-38.

5. Волдеаб М. С., Родина Л. И. О способах добычи биологического ресурса, обеспечивающих максимальную среднюю временную выгоду // Известия высших учебных заведений. Математика. — 2022. — № 1. — С. 12—24.

6. Волдеаб М. С., Родина Л. И. О способах добычи возобновляемого ресурса из структурированной популяции // Вестник российских университетов. Математика. - 2022. - Т. 27, № 137. - С. 16-26.

7. Глызин С. Д. Учет возрастных групп в уравнении Хатчинсона // Моделирование и анализ информационных систем. — 2007. — Т. 14, № 3. — С. 29-42.

8. Глызин С. Д., Кащенко С. А. Семейство конечномерных отображений, индуцированных логистическим уравнением с запаздыванием // Математическое моделирование. — 2020. — Т. 32, № 3. — С. 19—46.

9. Давыдов А. А., Платов А. С. Оптимальная эксплуатация двух структурированных по размеру конкурирующих популяций // Труды Института математики и механики УрО РАН. — 2013. — Т. 19, № 4. — С. 89—94.

10. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. — Москва : Издательство «Наука», 1967. — 472 с.

11. Зеликин М. П., Локуциевский Л. В., Скопинцев С. В. Об оптимальном сборе ресурса на окружности // Математические заметки. — 2017. — Т. 102, Л" 4. - С. 521-532.

12. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. X. Математический анализ. Начальный курс. — Москва : Издательство МГУ, 1985. — 662 с.

13. Кащенко И. С., Кащенко С. А. Динамика уравнения с двумя запаздываниями, моделирующего численность популяции // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. - 2019. - Т. 27, № 2. -С. 21—38.

14. Красовский А. А., Платов А. С. Алгоритм решения задачи оптимального управления структурированными популяциями, взаимодействующими на стационарном состоянии // Труды Математического института имени В. А. Стеклова. - 2021. - Т. 315. - С. 151-159.

15. Кряжимский А. В., Тарасьев А. М., Усова А. А., Ванг В. Пропорциональный экономический рост в условиях ограниченности природных ресурсов // Труды Математического института имени В. А. Стеклова. — 2015. - Т. 291. - С. 138—156.

16. Кузенков О. А., Рябова Е. А., Круподерова К. Р. Математическое моделирование процессов отбора. — Нижний Новгород : Нижегородский госуниверситет, 2010. — 133 с.

17. Логофет Д. О., Белова И. Н. Неотрицательные матрицы как инструмент моделирования динамики популяций: классические модели и современные обобщения // Фундаментальная и прикладная математика. - 2007. -Т. 13, № 4. - С. 145—164.

18. Логофет Д. О., Уланова Н. Г. От мониторинга популяции к математической модели: новая парадигма поп уля пион нот исследования // Журнал общей биологии. — 2021. — Т. 82, № 4. — С. 243 269.

19. Мазуров В. Д., Смирнов А. И. Критерий существования сохраняющих управлений задачи оптимальной эксплуатации системы с бинарной структурой // Труды Института математики и механики УрО РАН. — 2020. — Т. 26, № 3. - С. 101—117.

20. Мастерков Ю. В., Родина Л. И. Оценка средней временной выгоды для стохастической структурированной популяции // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. — 2020. - Т. 56. - С. 41 49.

21. Неверова Г. П., Хлебопрос Р. Г., Фрисман Е. Я. Влияние эффекта Олли на динамику популяций с сезонным характером размножения // Биофизика сложных систем. — 2017. — Т. 62, № 6. — С. 1174 1184.

22. Неверова Г. П., Абакумов А. П., Фрисман Е. Я. Влияние промыслового изъятия на режимы динамики лимитированной популяции: результаты

моделирования и численного исследования // Математическая биология и биоинформатика. — 2016. — Т. 11, № 1. — С. 1—13.

23. Неверова Г. П., Абакумов А. И., Фрисман Е. Я. Режимы динамики лимитированной структурированной популяции при избирательном промысле // Математическая биология и биоинформатика. — 2017. — Т. 12, № 2. — С. 327-342.

24. Ревуцкая О. Л., Фрисман Е. Я. Влияние равновесного промысла на сценарии развития двухвозрастной популяции // Информатика и системы управления. — 2017. — Т. 53, № 3. — С. 36—48.

25. Ризниченко Г. К).. Рубин А. Б. Математические модели биологических продукционных процессов. — Москва : Издательство МГУ, 1993. — 302 с.

26. Родина Л. И. Об одной стохастической модели сбора возобновляемого ресурса // Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки. — 2018. — Т. 23, № 124. — С. 685—695.

27. Родина Л. И. Оптимизация средней временной выгоды для вероятностной модели популяции, подверженной промыслу // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2018. — Т. 28, Л" 1. - С. 48-58.

28. Родина Л. И. Свойства средней временной выгоды в стохастических моделях сбора возобновляемого ресурса // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2018. — Т. 28, № 2. — С. 213-221.

29. Родина Л. И. Разностные уравнения как модели биологических процессов. — Владимир : Издательство ВлГУ, 2022. — 82 с.

30. Родина Л. И., Тонков Е. Л. Статистические характеристики множества достижимости управляемой системы, неблуждаемость и минимальный центр притяжения // Нелинейная динамика. — 2009. Т. 5. Л'° 2. С. 265—288.

31. Родина Л. И., Тютеев И. И. Об оценке средней временной выгоды в вероятностных эколого-экономических моделях // Моделирование и анализ информационных систем. — 2018. — Т. 25, № 3. — С. 257—267.

32. Свирежев Ю. М., Логофет Д. О. Устойчивость биологических сооб-гцеств. — Москва : Наука, 1978. — 352 с.

33. Смирнов А. И., Мазуров В. Д. Алгоритм решения задачи оптимальной эксплуатации системы с бинарной структурой // Труды Института математики и механики УрО РАН. — 2021. — Т. 27, № 4. — С. 142—160.

34. Фрисман Е. Я., Сычева Э. В., Израильский Ю. Г. Математическая модель динамики численности однородной промысловой популяции и анализ влияния промысла на характер динамики // Дальневосточный математический журнал. — 2002. — Т. 3, № 1. — С. 108 122.

35. Шарковский А. И., Коляда С. Ф., Сивак А. Г., Федоренко В. В. Динамика одномерных отображений. — Киев : Наукова думка, 1989. — 216 с.

36. Шарковский А. И., Майстренко Ю. Л., Романенко Е. Ю. Разностные уравнения и их приложения. — Киев : Наукова думка, 1986. — 280 с.

37. Ширяев А. Н. Вероятность-1. — Москва : Издательство МЦНМО, 2004. — 520 с.

38. Ширяев А. Н. Вероятность-2. — Москва : Издательство МЦНМО, 2004. — 408 с.

39. Beddington J. R., May R. M. Harvesting natural populations in a randomly fluctuating environment // Science. — 1977. — Vol. 197, no. 4302. — P. 463—465.

40. Belkhodja K., Moussaoui A., Alaoui M. A. Optimal harvesting and stability for a prey-predator model // Nonlinear Analysis: Real World Applications. — 2018. — Vol. 39. — P. 321—336.

41. Belyakov A. O., Davydov A. A., Veliov V. M. Optimal cyclic exploitation of renewable resources // Journal of Dynamical and Control Systems. — 2015. — Vol. 21, no. 3. — P. 475—494.

42. Belyakov A. O., Veliov V. M. On optimal harvesting in age-structured populations // Dynamic Perspectives on Managerial Decision Making. — 2016. — Vol. 22. — P. 149—166.

43. Clark C. W. Bioeconomic Modeling and Resource Management // Applied Mathematical Ecology. Biomathematics. — 1989. — Vol. 18. — P. 11—57.

44. Clark C. W. Mathematical Bioeconomics: The Mathematics of Conservation. — Hoboken : John Wiley & Sons, 2010. — 392 p.

45. Conrad J. M., Smith M. D. Nonspatial and spatial models in bioeconomics // Natural Resource Modeling. — 2012. — Vol. 25, no. 1. — P. 52 92.

46. Dennis B. Allee effects: population growth, critical density, and the chance of extinction // Natural Resource Modeling. — 1989. — Vol. 3, no. 4. — P. 481—538.

47. Doubleday W. G. Harvesting in matrix population models // Biometrics. — 1975. — Vol. 31, no. 1. — P. 189—200.

48. Gleit A. Optimal harvesting in continuous time with stochastic growth // Mathematical Biosciences. — 1978. — Vol. 41, no. 1/2. — P. 111—123.

49. Gompertz B. XXIV. On the nature of the function expressive of the law of human mortality, and on a new mode of determining the value of life contingencies. In a letter to Francis Baily, Esq. FRS &c // Philosophical transactions of the Royal Society of London. — 1825. — Vol. 115. — P. 513—583.

50. Gordon H. S. The economic theory of a common-property resource: the fishery // Journal of political economy. — 1954. — Vol. 62, no. 2. — P. 124—142.

51. Hening A., Nguyen H. N., Ungureanu S. C., Wong T. K. Asymptotic harvesting of populations in random environments // Journal of mathematical biology. — 2019. — Vol. 78. — P. 293—329.

52. Hritonenko N., Yatsenko Y. Optimization of Harvesting Return from Age-Structured Population // Journal of Bioeconomics. — 2006. — Vol. 8, no. 2. — P. 167—179.

53. Kapaun U., Quaas M. F. Does the optimal size of a fish stock increase with environmental uncertainties? // Economics Working Paper. — 2012. — Vol. 9. — P. 1—40.

54. Kermack W. O., McKendrick A. G. A contribution to the mathematical theory of epidemics // Proceedings of the royal society of london. Series A, Containing papers of a mathematical and physical character. — 1927. — Vol. 115, no_ 772. _ p. 700—721.

55. Lande R., Engen S., Sasther B. E. Stochastic population dynamics in ecology and conservation. — New York : Oxford University Press, 2003. — 224 p.

56. Lefkovitch L. P. The Study of Population Growth in Organisms Grouped by Stages // Biometrics. — 1965. — Vol. 21, no. 1. — P. 1—18.

57. Leslie P. H. On the Use of Matrices in Certain Population Mathematics // Biometrika. — 1945. — Vol. 33, no. 3. — P. 183 212.

58. Li T.-Y., Yorke J. A. Period Three Implies Chaos // The American Mathematical Monthly. — 1975. — Vol. 82, no. 10. — P. 985^992.

59. Murphy L. F., Smith S. J. Optimal harvesting of an age-structured population // Journal of Mathematical Biology. — 1990. — Vol. 29, no. 1. — P. 77—90.

60. Reed W. J. The steady state of a stochastic harvesting model // Mathematical Biosciences. — 1978. — Vol. 41, no. 3/4. — P. 273 307.

61. Reed W. J. Optimum age-specific harvesting in a nonlinear population model // Biometrics. — 1980. — Vol. 36, no. 4. — P. 579 593.

62. Schreiber S. J., Benai'm K., Atchadé K. A. S. Persistence in fluctuating environments // Journal of Mathematical Biology. — 2011. — Vol. 62. — P. 655—683.

63. Tahvonen O., Quaas M. F., Voss R. Harvesting selectivity and stochastic recruitment in economic models of age-structured fisheries // Journal of Environmental Economics and Management. — 2018. — Vol. 92. — P. 659—676.

64. Upmann T., Behringer S. Harvesting a remote renewable resource // Theoretical Ecology. — 2020. — Vol. 13, no. 4. — P. 459 480.

65. Weitzman M. L. Landing fees vs harvest quotas with uncertain fish stocks // Journal of Environmental Economics and Management. — 2002. — Vol. 43, no. 2. — P. 325—338.

66. Zhang Y., Zhang J. Optimal harvesting for a stochastic competition system with stage structure and distributed delay // Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations. — 2021. — Vol. 2021, no. 25. — P. 1—22.

Публикации автора по теме диссертации

67. Егорова А. В. О вычислении максимального дохода при эксплуатации структурированной популяции / / Студенческая школ а-конференция «Математическая весна-2019», Нижний Новгород, 2-5 мая 2019. — Нижний Новгород : НИУ ВШЭ, 2019. - С. 26^27.

68. Егорова А. В. О вычислении средней временной выгоды для эксплуатируемой популяции // Современные проблемы математики и механики. Материалы международной конференции, посвященной 80-летию академика РАН В. А. Садовничего, Москва, 13-15 мая 2019. — Москва : МАКС Пресс, 2019. - С. 284 287.

69. Егорова А. В. О вычислении средней временной выгоды при эксплуатации структурированной популяции [Электронный ресурс] // Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2019», Москва, 8-12 апреля 2019. — Москва : МАКС Пресс, 2019.

70. Егорова А. В. Об одной задаче оптимальной добычи возобновляемого ресурса // Современные проблемы математики и ее приложений (Со-ПроМат-2019) : тезисы докладов Международной (50-й Всероссийской) молодежной школы-конференции, Екатеринбург, 3-9 февраля 2019. — Екатеринбург : ИММ УрО РАН, УрФУ, 2019. - С. 32^33.

71. Егорова А. В. Об оптимальном режиме эксплуатации для достижения наибольшего дисконтированного дохода от извлечения ресурса // Теория управления и математическое моделирование (СТММ-2020) : Материалы Всероссийской конференции с международным участием, посвященной памяти профессора Н. В. Азбелева и профессора Е.Л. Тонкова, Ижевск, 15-19 июня 2020. — Ижевск : Издательский центр «Удмуртский университет», 2020. - С. 66^68.

72. Егорова А. В. Оптимизация дисконтированного дохода для структурированной популяции, подверженной промыслу // Вестник российских университетов. Математика. — 2021. — Т. 26, № 133. — С. 15 25.

73. Егорова А. В., Родина Л. И. О некоторых задачах оптимальной добычи возобновляемого ресурса // Интегрируемые системы и нелинейная динамика : тезисы докладов Международной научной конференции, Ярославль, 1-5 октября 2018. — Ярославль : ЯрГУ, 2018. — С. 107—109.

74. Егорова А. В., Родина Л. И. Об оптимальной добыче возобновляемого ресурса из структурированной популяции // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2019. — Т. 29, Л" 4. - С. 501—517.

75. Егорова А. В., Родина Л. И. Об оценке средней временной выгоды для структурированной популяции, подверженной промыслу // Актуальные

направления научных исследований XXI века : теория и практика. Т. 7, № 1. - 2019. - С. 129-131.

76. Егорова А. В., Родина Л. И. Об оценке средней временной выгоды для вероятностной модели динамики популяции // Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики : Материалы VI Международной научной конференции, Нальчик, 5-9 декабря 2021. — Нальчик : Издательская типография «Принт Центр»,

2021. - С. 75.

77. Родин А. А., Родина Л. П., Черникова А. В. О способах эксплуатации популяции, заданной разностным уравнением со случайными параметрами // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. - 2022. - Т. 32, № 2. - С. 211-227.

78. Родина Л. И., Черникова А. В. Оптимизация средней временной выгоды для вероятностной модели динамики популяции // Теория управления и математическое моделирование (СТММ-2022) : Материалы Всероссийской конференции с международным участием, посвященной памяти профессора Н.В. Азбелева и профессора Е.Л. Тонкова, Ижевск, 13-17 июня

2022. — Ижевск : Издательский центр «Удмуртский университет», 2022. — С. 214-217.

79. Родина Л. И., Черникова А. В. Оптимизация характеристик дохода от добычи ресурса на бесконечном промежутке времени // Дифференциальные уравнения и математическое моделирование : Межвузовский сборник научных трудов. Вып. 4 / под ред. С. С. Мамонов. — Рязань : Рязанский государственный университет имени С. А. Есенина, 2022. — С. 90—93.

80. Родина Л. И., Черникова А. В. Об оптимальной добыче возобновляемого ресурса на бесконечном промежутке времени // Труды Института математики и механики УрО РАН. — 2023. — Т. 29, Л'° 1. О. 167—179.

81. Родина Л. И., Черникова А. В. Об эксплуатации структурированной популяции, заданной дифференциальными уравнениями, на бесконечном промежутке времени // Современные проблемы математики и ее приложений (СоПроМат-2023) : тезисы докладов Международной (54-й Всероссийской) молодежной школы-конференции, Екатеринбург, 6-10 и 17 февраля 2023. — Екатеринбург : ИММ УрО РАН, УрФУ, 2023. — С. 104-105.

82. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2020665243 РФ. Программа вычисления максимального дохода при эксплуатации структурированной популяции / А. В. Егорова ; заявитель ФГБОУ ВО «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых». — № 2020664300 ; заявл. 16.11.2020 ; опубл. 24.11.2020.

83. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2020665447 РФ. Программа для реализации алгоритма определения положения равновесия модели динамики однородной популяции, подверженной промыслу / А. В. Егорова ; заявитель ФГБОУ ВО «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых». — № 2020664319 ; заявл. 16.11.2020 ; опубл. 27.11.2020.

84. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2021618274 РФ. Программа построения оптимальной траектории развития популяции двух видов, подверженных промыслу / А. В. Егорова ; заявитель ФГБОУ ВО «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых». — № 2021617311 ; заявл. 12.05.2021 ; опубл. 25.05.2021.

85. Черникова А. В. О существовании предела средней временной выгоды в вероятностных моделях сбора возобновляемого ресурса // Вестник российских университетов. Математика. — 2022. — Т. 27, № 140. — С. 386—404.

86. Черникова А. В. О существовании предела средней временной выгоды для стохастических моделей эксплуатируемых популяций // Дифференциальные уравнения и математическое моделирование : Межвузовский сборник научных трудов. Вып. 4 / под ред. С. С. Мамонов. — Рязань : Рязанский государственный университет имени С. А. Есенина, 2022. — С. 108—110.

87. Черникова А. В. Об оценке средней временной выгоды в вероятностной модели эксплуатируемой популяции // Международная школа молодых ученых «Моделирование и оптимизация сложных систем» (МОС8-2022). Аннотации лекций и докладов, Суздаль, Владимир, 30 июня - 5 июля, 2022. — Суздаль. Владимир : «Аркаим», 2022. — С. 40—41.

88. Черникова А. В. Свойства характеристик сбора ресурса для моделей популяций, заданных дифференциальными уравнениями // Современные проблемы физико-математических наук (СПФМН-2022) : Материалы VIII-

ой Всероссийской научно-практической конференции с международным участием, Орел, 25-26 ноября 2022. — Орел : ОГУ имени И. С. Тургенева, 2022. - С. 143—149.

89. Egorova А. V. About optimal harvesting of renewable resource at a finite period of time // Book of Abstracts II International conference «Topological methods in dynamics and related topics. Shilnikov workshop», Nizhny Novgorod, 9-13 December, 2019. — Nizhny Novgorod : NRU HSE, 2019. — P. 47^48.

90. Egorova A. V. Optimizing discounted income for a structured population subject to harvesting // Book of Abstracts III International conference «Topological methods in dynamics and related topics. Shilnikov workshop», Nizhny Novgorod, 12-13 December, 2020. — Nizhny Novgorod : NRU HSE, 2020. — P. 27—28.

91. Egorova A. V. Estimation of the average time profit for a probabilistic model of population dynamics // Book of Abstracts III Student Educational School-Conference Mathematical Spring 2021 Invitation to Dynamical Systems, Nizhny Novgorod, 30 March - 1 April, 2021. — Nizhny Novgorod : NRU HSE, 2021. — P. 14—15.

92. Rodina L. I., Chernikova A. V. Problems of Optimal Resource Harvesting for Infinite Time Horizon // Journal of Mathematical Sciences. — 2023. — Vol. 270, no. 4. — P. 609—623.

Приложение А

Свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ