Осцилляционная теория дифференциального оператора четвертого порядка на графе тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Уртаева Александра Артуровна

• Уртаева Александра Артуровна
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Уртаева Александра Артуровна

1.1. Постановка задачи

1.1.1. Терминология и обозначения

1.1.2. Краевая задача четвертого порядка на графе

1.2. Теоремы о перемежаемости нулей

1.3. Теорема сравнения

1.4. Теория неосцилляции уравнения четвертого порядка на графе

1.5. Положительность функции Грина краевой задачи Дирихле

2. Оценки кратности собственных значений

2.1. Условия простоты собственных значений

2.2. Оценки кратности собственных значений

2.3. Верхняя оценка ведущего собственного значения

3. Осцилляционные спектральные свойства

3.1. Свойства решений Вейля

3.2. Осцилляционная теорема

3.3. Обобщения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Осцилляционная теория дифференциального оператора четвертого порядка на графе»

Введение

Актуальность темы диссертации. Исследование обыкновенных дифференциальных уравнений на графах является одним из бурно развивающихся и актуальных направлений современной теории дифференциальных уравнений. Актуальность данной проблематики имеет двоякую мотивировку - прикладную и теоретическую. Многие современные конструкции допускают структурную формализацию в виде одномерных объектов, которые взаимодействуют друг с другом через узлы-соединения (упругие системы [42, 62, 63], [80]-[82], [95, 97], [115]-[118], трубопроводы [11], кровеносная система [1, 6, 91], акустические сети, волноводы [11, 41, 44], транспортные потоки [84, 85], модель каналов водоотведения и оросительных систем [77, 99], информационные сети, процессы диффузии в разветвленных структурах [60, 61, 101], распространения импульса в нервной системе [68, 106] и т. п.). Математическая формализация таких задач в рамках классической теории приводит к краевой задаче для вектор-функций с нераспадающимися краевыми условиями. Анализ подобных задач оказывается достаточно затруднительным, что приводит к необходимости исследования краевых задач на графах и разработки методов для их решения. В то же время идеи и методы анализа часто позволяют взглянуть на результаты классической теории дифференциальных уравнений с совершенно новой стороны. Примерами таких подходов являются теория функций Грина осцилляционная спектральная теория [22, 25, 30, 50].

Основная особенность уравнения на графе в том, что это уже не обыкновенное дифференциальное уравнение, но и не уравнение в частных производных. А поэтому исследование уравнений на графах требует не только модификации известных подходов, но и генерации совершенно новых идей, применение которых в классической — одномерной — ситуации не только упрощает известную теорию, но и приводит к пониманию того, в каком направлении нужно двигаться в исследованиях нерешенных проблем.

Первые работы, в которых изучались уравнения четвёртого порядка на графах появились около тридцати лет назад. С тех пор уже опубликованы сотни работ, и практически все эти работы затрагивают модели балочных конструкций с различными условиями сочленения балок. В теории уравнений четвёртого порядка на графах можно выделить несколько основных направлений исследований: задачи (граничной и внутренней) управляемости; спектральные задачи (асимптотика, полнота и базисность); качественная теория (функция Грина, теоремы типа Штурма, неосцилляция, осцилляционные свойства); обратные задачи (восстановление коэффициентов уравнения или структуры графа).

Задача управляемости колебаниями систем балок в различных постановках исследовалась в работах [64, 82, 95, 96, 105, 115, 116, 118]. В основе рассуждений лежат абстрактные методы функционального анализа, спектральные асимптотики, метод единственности Гильберта, оценки резольвенты [80, 81, 103, 117].

Стоит отметить, что исследование уравнения четвёртого порядка является существенно более сложной задачей по сравнению с уравнениями второго порядка. Поэтому многие результаты получены только для уравнений с постоянными коэффициентами [49, 80, 105]. Отличительной особенностью моделей стержневых систем от струнных является то, что виды условий согласования для стержневых систем гораздо богаче, а в описании некоторых условий согласования присутствуют геометрические характеристики графа [18, 20, 69, 90, 115]. Для задач четвёртого порядка на графах изучены вопросы разрешимости краевых задач с различными условиями согласования в узлах графа. Здесь необходимо отметить, что свойства операторов с различными (даже физически обоснованными) условиями согласования могут существенно отличаться. Эти отличия начинают проявляться уже в вопросах однозначной разрешимости и положительной обратимости краевых задач [24, 26, 28, 30, 46, 47, 71]. Цикл работ Р.Ч. Кулаева был посвящён изучению краевых задач для дифференциального оператора с условиями жесткого соединения стержней [24, 26, 28, 30]. В частности, им были

установлены условия положительности соответствующей функции Грина, изучены вопрос о неосцилляции уравнения и свойства дифференциальных неравенств четвёртого порядка [27, 31]. Эти результаты позволили доказать осцилляционность функции Грина краевой задачи о балке на упругом основании [23, 25]. В работах М.Г. Завгороднего исследовалась спектральная задача для для уравнения стержня с условиями жесткого соединения, для которой была получена асимптотика собственных значений и полнота собственных функций [18, 19]. Эти результаты стали основой обоснования метода Фурье разделения переменных для эволюционных краевых задач четвёртого порядка на графах [3, 18, 21].

Основным объектом исследования настоящей диссертационной работы является уравнение четвёртого порядка на графе с условиями упруго-шарнирного соединения. Поэтому отдельно остановимся на результатах, связанных с этим уравнением. В работе А.В. Боровских и К.П Лазарева [71] был изучен вопрос об однозначной обратимости соответствующей краевой задачи. Там же было показано, что для решений однородного уравнения справедлив принцип максимума, аналогичный решениям уравнения Штурма-Лиувилля на графе. Принцип максимума в комбинации с методом редукции привели к обоснованию положительности функции Грина соответствующей краевой задачи. В цикле работ Ю.В. Покорного и Р. Мустафокулова изучались спектральные свойства дифференциального оператора для уравнения с условиями упруго-шарнирного соединения. Была установлена простота ведущего собственного значения [4, 46, 47]. Для задачи о собственных колебаниях цепочки шарнирно сочленённых стержней была доказана осцилляционная теорема, а также установлена перемежаемость нулей собственных функций и другие важные результаты. В недавних работах А.А. Владимирова и А.А. Шкаликова [9, 10], установлена связь между числом внутренних нулей нетривиальных решений самосопряжённых краевых задач (с регулярными и сингулярными коэффициентами) четвёртого порядка с распадающимися граничными условиями и отрицательным индексом инерции этих задач.

За последнее десятилетие появилось множество новых постановок и направлений в изучении уравнений четвёртого порядка на сетях. Начали активно исследоваться векторные задачи [14]—[17], [115]-[118]. Кроме того, появились работы, посвящённые нелинейным краевым задачам на графах [107, 108].

Появились работы, в которых рассматриваются разнопорядковые уравнения на графах, когда на одних ребрах задаются уравнения второго порядка, а на других — уравнения четвёртого порядка. Такие уравнения возникают при моделировании колебаний различных конструкций, таких как кабельно-опорные мосты, мачты с растяжками и струнно-стержневые системы. Например, в модели плоской струнно-стержневой системы уравнение может быть второго или четвёртого порядка на различных рёбрах графа. Условия в узлах зависят от типа соединения элементов конструкции. Анализ разнопорядковых краевых задач делает только первые шаги. В работах [115]-[118] рассматривались вопросы о корректности начально-краевых задач для волновых уравнений и стабилизации их решений. Т.В. Белоглазова и К.П. Лазарев изучали качественные свойства решений краевой задачи для струнно-стержневой модели с условиями шарнирной стыковки стержней. Была доказана строгая положительность соответствующей функции Грина и получены точные двухсторонние оценки [2, 37, 48]. В недавней работе [66] рассмотрена трехмерная модель стержней с условиями полужесткого сочленения, расширяющая жесткую модель.

Большое внимание во всем мире привлекают обратные задачи на графах. Здесь можно выделить два основных направления исследований [57]-[59], [67, 74], [119], [65, 72, 73]: задачи восстановления коэффициентов дифференциальных уравнений по спектральным характеристикам при условии, что структура графа известна a priori и задачи восстановления структуры самого графа по спектру дифференциального оператора.

Начали активно изучаться дифференциальные уравнения дробного порядка на графах [86, 89, 109, 110].

Степень разработанности темы исследования. Настоящее исследование продолжает работу в области качественной теории дифференциальных уравнений на метрических графах. В нём разрабатывается теория неосцилляции оператора четвёртого порядка на сетях, которая обобщает аналогичные теории для одномерного оператора четвёртого порядка и для оператора второго порядка на графах. Изучена структура спектра оператора четвертого порядка и исследован вопрос о кратности его собственных значений. Сформулированы условия осцилляционности спектра.

Цель и задачи работы. Цель этой работы — дальнейшее развитие и строгое обоснование качественных свойств решений краевых задач для уравнений четвёртого порядка на графах с упруго-шарнирными соединениями в узловых вершинах. Исследуются вопросы распределения нулей, аналоги теорем сравнения Штурма, теория неосцилляции, а также простота и кратность собственных значений, и осцилляционная спектральная теория.

Научная новизна. Основным объектом исследования является дифференциальный оператор четвёртого порядка на геометрическом графе, который задаётся обыкновенными дифференциальными уравнениями на рёбрах графа и условиями упруго-шарнирного соединения. Установлено, что дифференциальный оператор обладает качественными свойствами, аналогичными свойствам оператора Штурма-Лиувилля. В числе основных результатов отметим следующие:

- теоремы о перемежаемости нулей и сравнения для уравнения четвертого порядка на графе;

- теория неосцилляции для уравнения четвертого порядка на графе;

- оценки кратности собственных значений;

- осцилляционные спектральные свойства.

Методология и методы исследования. В основе рассуждений лежит подход, когда дифференциальное уравнение на графе рассматривается как целостный объект, состоящий из двух частей - обыкновенные дифференциальные уравнения на ребрах графа и условия согласования во внутренних вершинах графа. В качественной теории дифференциальных

уравнений на графах такой подход имеет принципиальное значение, поскольку позволяет придать уравнению на сети поточечный смысл. Решения такого уравнения являются непрерывными на всём графе функциями, что дает возможность проводить анализ распределения нулей решений, вводить понятия перемен знака, экстремумов, числа нулей и т.п.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации развивают качественную теорию дифференциальных уравнений на графах и краевых задач для них. Они могут быть использованы для дальнейшего изучения краевых задач на графах.

Основные научные результаты диссертационной работы внедрены в учебный процесс кафедры алгебры и анализа ФГБОУ ВО «Северо-Осетинский государственный университет им. К.Л. Хетагурова» при изучении дисциплины «Качественная теория дифференциальных уравнений», читаемой студентам по направлению подготовки 01.04.02 Прикладная математика и информатика.

Положения, выносимые на защиту. Основным объектом исследования является дифференциальный оператор четвёртого порядка на геометрическом графе, задаваемый обыкновенными дифференциальными уравнениями на ребрах графа и условиями упруго-шарнирного сочленения в узловых вершинах графа. В числе основных результатов отметим следующие:

1. Установлены теоремы типа Штурма о разделении нулей и о сравнении для решений однородного дифференциального уравнения четвёртого порядка на сети.

2. Построена теория неосцилляции соответствующего дифференциального уравнения 4-го порядка. Определение неосцилляции уравнения четвёртого порядка на графе основано на новом понятии двойной зоны знакопостоянства, введённом в диссертационной работе. Также предложено обобщение основных принципов теории неосцилляции уравнений второго порядка на графах для уравнений четвёртого порядка. Установлена эквивалентность между свойством неосцилляции и положительностью

функции Грина некоторых классов краевых задач.

3. Изучены спектральные свойства краевой задачи четвертого порядка. Получены условия простоты точек спектра. В терминах геометрических характеристик графа даны оценки кратности собственных значений. В рамках использованных понятий оценки являются неулучшаемыми.

4. Изучены распределение нулей собственных функций дифференциального оператора четвёртого порядка. Получены условия осцилляционности спектра. Показано, что при выполнении этих условий, спектр оператора состоит из простых, положительных собственных значений и k-я собственная функция имеет на графе ровно k нулей, в каждом из которых она меняет знак.

Степень достоверности и апробация результатов исследования.

Надёжность результатов диссертации гарантируется строгими математическими доказательствами и удостоверяется правильным применением существующих научных принципов. Основные результаты диссертации были представлены на международных и всероссийских научных конференциях, а также на специализированных семинарах:

- Workshop «St. Petersburg Youth Conference in Probability and Mathematical Physics», г. Санкт-Петербург, 21-24 декабря 2021 г.; тема доклада: «On the disconjugacy of fourth-order differential equations on graphs».

- XXXV Международная Воронежская весенняя математическая школа «Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения -XXXIII», г. Воронеж, 03-09 мая 2022 г.; тема доклада: «Свойства собственных значений краевой задачи четвертого порядка на графе».

- XXXVI Международная Воронежская весенняя математическая школа «Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения -XXXIV», г. Воронеж, 03-09 мая 2023 г.; тема доклада: «Метод Штурма для уравнения 4-го порядка на графе».

- Международная научная конференция «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования, XVII: Теория операторов и дифференциальные уравнения», г. Владикавказ, 29 июня - 05 июля

2023 г.; тема доклада: «Спектральные свойства дифференциального оператора четвертого порядка на сети».

- Научный семинар «Математическое моделирование и численные методы» (руководитель: д.ф.-м.н. Е. С. Каменецкий), 23.05.2023; тема доклада: «О теоремах Штурма для уравнений четвертого порядка на графах».

- XXXVII Международная Воронежская весенняя математическая школа «Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения-XXXV», г. Воронеж, 26-30 апреля 2024 г.; тема доклада: «Осцилляционные свойства спектра для дифференциального оператора четвертого порядка на графе».

- Научный онлайн-семинар «Дифференциальные уравнения на графах и стратифицированных множествах» (руководители: проф. Р. Ч. Кулаев, проф. О. М. Пенкин, доц. В. Л. Прядиев), 18 апреля 2024 г.; тема доклада: «О неосцилляции дифференциального уравнения четвёртого порядка на графе».

- Математический семинар НИУ «БелГУ» (руководители: проф. В. Б. Васильев, проф. С. М. Ситник, проф. А. П. Солдатов), 14.05.2024; тема доклада: «Качественные свойства дифференциальных уравнений четвертого порядка на геометрическом графе».

Публикации.Результаты диссертации опубликованы в 11 работах, из которых 5 размещены в российских и зарубежных журналах, включённых в список ВАК и индексируемых в Web of Science и Scopus. В совместных публикациях Р.Ч. Кулаеву принадлежит формулировка задачи, в то время как все полученные результаты принадлежат автору.

Структура и объем диссертации. Объем диссертации составляет 112 страниц. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 122 наименований. Нумерация формул, теорем и лемм тройная - номер главы, номер раздела и собственный номер, например, лемма 3.2.1 - лемма 1 второго раздела третьей главы.

Первая глава под названием „,Теорил неосцилляции" посвящена построению аналога теории неосцилляции для уравнения четвёртого порядка

на графе. Глава состоит из пяти разделов.

Раздел 1.1 носит вводный характер и предназначен, прежде всего, для описания основного объекта, являющегося предметом рассмотрения в диссертации — дифференциального уравнения 4-го порядка на геометрическом графе. Сначала, в подразделе 1.1.1 вводятся все основные понятия, обозначения и связанная с ними терминология.

На протяжении всей работы Г С обозначает связный и конечный геометрический граф без петель, с множеством вершин V(Г) и множеством точек ребер графа Е(Г). Ребро графа — это интервал конечной длины, а вершина графа — это концевая точка одного или нескольких ребер. Ребра графа обозначаются 7*, вершины обозначаются а, Ь, с и т.д. Для любой а Е V(Г) через I(а) обозначим множество индексов ребер, инцидентных вершине а, и через |1 (а)| обозначим количество элементов множества I(а). Элементы множеств J(Г) = {а Е V(Г) : |1 (а)| ^ 2} и дГ = {а Е V(Г) : |1 (а)| = 1} называются внутренними и граничными вершинами соответственно. Мы предполагаем, что Г = Е(Г)ии(Г) и дГ = 0. Любой связный граф, вложенный в Г, называется подграфом графа Г.

Введем функциональные пространства:

С [Г] = {и : Г ^ К | и* равномерно непрерывна У 7* С Е (Г)};

С[Е(Г)] = {и : Е(Г) ^ К | щ равномерно непрерывна У7* С Е(Г)}.

Для функции и Е С [Г] (или С [Е (Г)]), произвольной а Е V (Г) и г Е I(а) полагаем и* (а) := Нш и*(х). Пространство непрерывных функций

7 гЭх^а

определяется равенством

С (Г) = {и Е С [Г]| и* (а) = и(а) (Уа Е J (Г)) Л (Уг Е I (а))}.

Производная функции на ребре 7* С Е(Г) определяется как производная на параметризованном интервале и обозначается и*(ж), ж Е 7*. Аналогично определяются производные более высокого порядка.

Через СП[Г] (или СП[Е(Г)]) мы обозначаем пространство функций и(ж) Е С [Г] (или СП[Е (Г)]), у которых существуют производные до порядка п

включительно, принадлежащие пространству С[Е(Г)]. Для функции и(х) € СП[Г] (или СП[Е(Г)]) в любой вершине а € V(Г) определено множество производных и()(а), 1 ^ ] ^ п, вдоль ребер инцидентных а, которые считаются в направлению «от вершины» а.

В подразделе 1.1.2 описывается исследуемое дифференциальное уравнение четвертого порядка на геометрическом графе Г и соответствующая краевая задача. Уравнение коротко записывается в виде

(2 ( (2 и \

Ьи = (г^ (р(х)(Г2 ) - г(х)и = 0, х € Г. (0.0.1)

При этом, под дифференциальным уравнением (0.0.1) на графе мы подразумеваем набор обыкновенных дифференциальных уравнений на ребрах графа

(рг(х)иУ — тг(х)и = 0, ж € 7г С Е(Г), (0.0.2)

и набор условий согласования в каждой внутренней вершине а € J(Г)

и (а) = и(а), Д(а)и'/(а) — Фг(а)и[(а) = 0, % € I (а), (0.0.3) ^ (рги"У(а) — г(а)и(а) = 0, а € 3(Г), (0.0.4)

г€1(а)

где р € С 2[Е (Г)], т£ р(х) > 0 и г € С [Г], г > 0 на Е (Г) и г ^ 0 на

х€е (Г)

3 (Г); коэффициенты Д, Фг неотрицательны и Д (а) + Ф г (а) > 0 для любых а € 3(Г) и % € I(а); для любого ребра 7г = (а,Ь), по крайней мере одно из значений Ф г(а) и Ф г(Ь) не равно нулю. Здесь и всюду далее мы полагаем, что в условиях согласования все производные считаются в направлении от внутренней вершины.

Уравнение (0.0.2)-(0.0.4) возникает при моделировании малых деформаций решетки из стержней с условиями упруго-шарнирного соединения.

Решением дифференциального уравнения (0.0.1) называется всякая функция и(х) € С4 [Г] П С (Г), удовлетворяющая на каждом ребре графа соответствующему обыкновенному дифференциальному уравнению (0.0.2), а в каждой внутренней вершине — условиям (0.0.3), (0.0.4).

Дифференциальный оператор Ь : Б ^ С [Г] определяется соотношениями

Б = {и Е С4[Г] : и удовлетворяет (0.0.3) на У(Г)}, Г(р(ж)и'')'', ж Е Е(Г),

Ьои(х):=| £ (рг(ж)<)', ж Е У (Г); (0.0.5)

^ *Е/(х)

Ьи(ж) := Ь0и — г(ж)и, ж Е Г.

Для оператора Ь рассматривается краевая задача, порождаемая следующими условиями на границе дГ:

и|дг = 0, (ви'' — #и')|аг = 0, (0.0.6)

где в, ^ ^ 0, в + ^ > 0 на дГ.

В разделе 1.2 показывается, что теорема Штурма о перемежаемости нулей решений допускает распространение на решения уравнения четвертого порядка (0.0.1). Приводимые в этом разделе теоремы являются обобщением классической теоремы Штурма и аналогичны теореме о перемежаемости нулей для уравнения второго порядка на графе [50]. В случае уравнения четвертого порядка мы, как и в одномерном случае [98] накладываем на решения дополнительные граничные условия.

Определение 1. S -зоной функции и(ж) е С (Г) назовем подграф Г0 с Г такой, что и(ж) = 0 на Г0; и(ж) = 0 на дГ0; и(ж) имеет нуль на любом подграфе Г Э Г0, Г1 = Г0.

Теорема 0.0.1 (о перемежаемости нулей). Пусть и — решение уравнения (0.0.1), равное нулю на дГ и имеющее S-зону Г0 такую, что дГ0 П дГ = 0. Тогда любое решение V уравнения (0.0.1), равное нулю на дГ, либо пропорционально и на Г0, либо меняет знак в Г0.

В формулировке теоремы 0.0.1 условия Дирихле на границе графа могут быть заменены на условия (ви'' — $и')|аг = 0. Такая замена избавляет от необходимости требования Г0 СС Г. Точнее, граничные вершины ^-зоны Г0 могут содержаться в дГ.

Теорема 0.0.2 (о перемежаемости нулей). Пусть и — решение уравнения (0.0.1), удовлетворяющее на дГ условиям (ви'' — Фи')|дг = 0 и имеющее Б-зону Го, Г0 С Г. Тогда любое решение V уравнения (0.0.1), удовлетворяющее на дГ тем же условиям, либо коллинеарно и на Г0, либо меняет знак в Г0.

Вместе с оператором Ь рассматривается оператор С : Б ^ С [Г]:

<(Р(ж)и'')'' — Я(х)и, х € Е(Г),

Си(х) := < ^ (Рг(х)и'/)' — Я(х)и, ж € 3(Г); (°.°.7)

^ г€/(х)

с коэффициентами Р€ С 2[Е (Г)], т£ Р (ж) > 0, и Я€ С [Г].

х€е (Г)

Теорема 0.0.3 (сравнения). Если существует нетривиальное решение краевой задачи

Ьи = 0, ж € Г, и|дг = 0, (и''и')|дг ^ 0, удовлетворяющее условию

^[и] := /*[(р — Р) и''2 + (Я — г)и2](х + ^ (Я(а) — г(а))и2(а) ^ 0,

Г а€7(Г)

то любое решение V € Б системы неравенств

^(ж) ^ 0, ж € Г, V''(ж) < 0, ж € Е(Г),

положительное хотя бы в одной точке графа Г, либо пропорциональна и на Г, либо имеет нуль в Г.

В разделе 1.4 развивается теория неосцилляции уравнения (0.0.1). Предлагается новый подход к построению теории неосцилляции с помощью понятия двойной зоны знакопостоянства функции на графе. Это понятие позволяет обобщить основные положения теории неосцилляции с уравнений второго порядка на графе на уравнения четвертого порядка.

Определение 2. Б2-зоной функции и € С:(Г) будем называть подграф Г0 С Г такой, что и(ж) =0 на Г0; существует подграф Г1 такой, что Г0 С Г1 С Г и и(ж) = 0 на дГ0 и дГ1; и'(ж) = 0 на дГ0 П дГь

Определение 3. Дифференциальное уравнение (0.0.1) и соответствующий дифференциальный оператор Ь, порождаемый соотношениями (0.0.5), назовем неосциллирующими на графе Г, если любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1) не может иметь $2-зоны в Г.

Введем в рассмотрение для каждой граничной вершины а Е дГ графа Г по две краевые задачи

Ьи = 0, ж Е Г, и(а) = 1, и'(а) = 0,

(0.0.8)

и(Ь) = и'(Ь) = 0, Ь Е дГ \ а,

^ = 0, ж Е Г, v(а) = 0, v'(a) = 1,

(0.0.9)

v(Ь) = v'(Ь) = 0, Ь Е дГ \ а.

Основной результат первой главы формулируется следующим образом.

Теорема 0.0.4. Следующие свойства эквивалентны:

(a) У а Е д Г задача (0.0.8) однозначно разрешима и её решение положительно на Г;

(b) существует решение уравнения (0.0.1) и такое, что и'|дг = 0 и т£ и (ж) > 0;

хЕГ

(c) существует положительное на Г решение уравнения (0.0.1), удовлетворяющее граничным условиям и'|дг = 0 и не равное нулю хотябы в одной вершине из дГ;

(^ Уа Е дГ задача (0.0.9) однозначно разрешима и её решение положительно на Г;

(е) уравнение (0.0.1) не осциллирует на Г.

В разделе 1.5 устанавливается связь между неосцилляцией дифференциального уравнения (0.0.1) и положительностью функции Грина.

Теорема 0.0.5. Уравнение (0.0.1) не осциллирует на Г тогда и только тогда, когда функция Грина краевой задачи

Ьи = ](ж), ж Е Г, и|дг = и'|дг = 0, положительна на Г Г.

Следствие 0.0.1. Если уравнение (0.0.1) не осциллирует на Г, то функция Грина краевой задачи (0.0.1), (0.0.6) положительна на Г х Г.

Вторая глава диссертации называется „Оценки кратности собственных значений". В ней изучается задача на собственные значения:

ЬЛ и = Ь0и — Ар(ж)и = 0, и|дг = (ви''— $и')|дг = 0, (0.0.10)

где р Е С [Г], р > 0 на (Г) и р ^ 0 на У (Г), а дифференциальное уравнение (0.0.10) совпадает с уравнением (0.0.1) при г = Ар.

Теорема 0.0.6. Дифференциальный оператор Ь0 является самосопряженным. Спектр Л оператора Ь0 дискретен, т.е. существует неограниченная последовательность собственных значений такая, что

0 < А0 < А1 < ... < Ак...

Раздел 2.1 посвящен установлению условий простоты собственных значений оператора Ь0.

Пусть Уз+(Г) = {а Е У (Г) : |1 (а)| > 3}.

Определение 4. Назовем точку ж0 е Г простой, если ж0 Е У3+(Г) и множество Г\ж0 не связно.

Теорема 0.0.7. Если при некотором А > 0 у некоторого решения задачи (0.0.10) все нули в Г являются простыми, то А является простым собственным значением задачи (0.0.10).

Следствие 0.0.2. Пусть граф Г является деревом. Если при некотором А > 0 существует решение задачи (0.0.10), не имеющее нулей в Г, то А — простое собственное значение задачи (0.0.10).

В разделе 2.2 устанавливаются оценки кратностей собственных значений спектральной задачи (0.0.10).

Сначала рассматривается случай задачи, заданной на графе-дереве.

Теорема 0.0.8. Пусть граф Г является деревом. Тогда кратность любого собственного значения оператора Ь0 не превосходит |дГ| — 1.

Далее рассматривается случай произвольного графа.

Пусть Г — произвольный граф с циклами. Вершину а0, лежащую на каком-либо цикле, назовем разбивающей, если Г\{а0} не является связным. Граф Г\{а0} распадается на подграфы: деревья и подграф Г0, который может содержать циклы. Присоединяем вершину а0 подграфу Г0. Подграф Г0 также может разбиваться на связные компоненты некоторыми вершинами лежащими на его циклах. После такого разбиения снова образуем подграфы типа Г0, присоединяя к ним вершины, с помощью которых они разбивались. Продолжая этот процесс и далее мы получим некоторое количество подграфов. Каждый из них является либо деревом, либо связным объединением циклов, не допускающим дальнейшего разбиения описанного выше типа. Такое объединение циклов назовем гнездом. Гнездо назовем граничным, если ему принадлежит лишь одна разбивающая вершина. Количество таких гнезд обозначим через ((Г). Остальные гнезда назовем внутренними (их количество не играет принципиальной роли для дальнейшего). Через п(Г) обозначим цикломатическое число графа Г.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Уртаева Александра Артуровна, 2025 год

Список литературы

1. Ашметков, И. В. Краевая задача для линеаризованных гемодинамических уравнений на графе / И. В. Ашметков, С. И. Мухин, Н. В. Соснин, А. П. Фаворский // Дифференциальные уравнения. — 2004. — Т. 40, № 1. — С. 78-84.

2. Белоглазова, Т. В. Разрешимость некоторых классов разнопорядковых дифференциальных уравнений на графах / Т. В. Белоглазова // Вестник Воронежского университета. Сер. Физика, математика. — 2002. — № 1. — С. 95-98.

3. Богатов, Е. М. Метод Фурье в задаче Коши для уравнения четвертого порядка на стратифицированных множествах / Е. М. Богатов, О. М. Пенкин // Известия ВУЗов. — 2003. — № 495. — С. 67-71.

4. Боровских, А. В. Об одном классе дифференциальных уравнений четвертого порядка на пространственной сети / А. В. Боровских, Р. О. Мустафакулов, К. П. Лазарев, Ю.В. Покорный // Доклады РАН. — 1995. — Т. 345, № 6.— С. 730-732.

5. Боровских, А. В. Условия знакорегулярности разрывных краевых задач / А. В. Боровских // Математические заметки. — 2003. — Т. 74, № 5. — С. 643-655.

6. Буничева, А. Я. Осредненная нелинейная модель гемодинамики на графе сосудов / А. Я. Буничева, С. И. Мухин, Н. В. Соснин, А. П. Фаворский // Дифференциальные уравнения. — 2001. — Т. 37, №. 7. — С. 905-912.

7. Бутерин, С. А. Об успокоении системы управления произвольного порядка с глобальным последействием на дереве / С. А. Бутерин // Математические заметки. — 2024 — Т. 115, № 6. — С. 825--848.

8. Бутерин, С. А. О равномерной устойчивости восстановления функций типа синуса с асимптотически отделенными нулями / С. А. Бутерин // Математические заметки. —2022.— Т.111, №3. —- С. 339-353

9. Владимиров, А. А. Осцилляционные свойства самосопряжённых

граничных задач четвёртого порядка / А. А. Владимиров, А. А. Шкаликов // Алгебра и анализ. — 2023. — Т. 35, №. 1. — С. 109—133.

10. Владимиров, А. А. Об осцилляционных свойствах самосопряженных граничных задач четвертого порядка / А. А. Владимиров, А. А. Шкаликов // Доклады РАН. Математика, информатика, процессы управления. — 2021. — Т. 496. — С. 10-15.

11. Герасименко, Н. И. Задача рассеяния на некомпактных графах / Н. И. Герасименко, Б. С. Павлов // Теоретическая и математическая физика. — 1988. — Т. 74, № 3. — С. 345-359.

12. Дерр, В. Я. Неосцилляция решений дифференциальных уравнений /

B.Я. Дерр // Вестник Удмуртского университета. — 2009. — Вып. 1. — С. 46-89.

13. Диаб, А. Т. О кратности собственных значений в задаче Штурма-Лиувилля на графах /Б. К. Калдыбекова, О. М. Пенкин // Математические заметки.— 2016. — Т. 99, № 4 — С. 489-501.

14. Завгородний, М. Г. Вариационные принципы построения моделей стержневых систем / М. Г. Завгородний // Сборник научных трудов «Математическое моделирование информационных и технологических систем».—Воронеж: Воронеж. гос. технол. академия. 2000. — Вып. 4. —

C. 59-62.

15. Завгородний, М. Г. Сопряженные и самосопряженные краевые задачи на геометрических графах / М. Г. Завгородний // Дифференциальные уравнения.— 2014. — Т. 50, № 4. — С. 446-456.

16. Завгородний, М. Г. Метод разделения переменных для жесткосочлененных стержневых систем / М. Г. Завгородний, С. П. Майорова // Вестник ВГТУ. — 2006. — Т. 2, № 8. — С. 57-59.

17. Завгородний, М.Г. О математических моделях сетевых технических систем / М.Г. Завгородний, С.П. Майорова // Вестник Воронежского государственного технического университета. — 2007. — Т. 3, № 8. — С. 82-85.

18. Завгородний, М. Г. Об одном уравнении математической физики четвертого порядка на графе / М. Г. Завгородний, С .П. Майорова // Сборник трудов «Исследования по дифференциальным уравнениям и математическому

моделированию». — Владикавказ: ВНЦ РАН. — 2008. — С. 88-102.

19. Завгородний, М. Г. Краевые задачи, описывающие процессы сетевых систем / М. Г. Завгородний, С. П. Майорова // Математический форум (Итоги науки. Юг России). — Владикавказ: ВНЦ РАН, 2010. — Т. 4. — С. 48-64.

20. Завгородний, М. Г. Математические модели стержневых систем / М. Г. Завгородний, С. П. Майорова // Вестник ТГУ. — 2000. — Т. 5, вып. 4. — С. 450-452.

21. Завгородний, М. Г. Аналог ряда Фурье на геометрическом графе / М. Г. Завгородний, С. П. Майорова // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конференции Воронежской зимней математической школы. — Воронеж: Издательско-полиграфический центр ВГУ. — 2009. — С. 71-72.

22. Кулаев, Р. Ч. Условия осцилляционности функции Грина разрывной краевой задачи на графе для уравнения четвертого порядка / Р. Ч. Кулаев // Владикавказский мат. журнал. — 2015. — Т. 17, № 1. — С. 47-59.

23. Кулаев, Р. Ч. Об осцилляционности функции Грина многоточечной краевой задачи четвертого порядка / Р. Ч. Кулаев // Дифференциальные уравнения. — 2015. — Т. 51, № 11. — С. 1553-1554.

24. Кулаев, Р. Ч. Необходимое и достаточное условия положительности функции Грина для уравнения четвертого порядка на графе. / Р. Ч. Кулаев // Дифференциальные уравнения. — 2015. — Т. 51, № 3. — С. 302-316.

25. Кулаев Р. Ч. Об осцилляционности функции Грина многоточечной краевой задачи на графе для уравнения четвертого порядка / Р. Ч. Кулаев // Дифференциальные уравнения.—2015.—Т. 51, № 4. С. 445-458.

26. Кулаев, Р. Ч. О функции Грина краевой задачи на графе для уравнения четвертого порядка / Р. Ч. Кулаев // Тезисы докладов международной конференции „Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование.,,— Владикавказ. — 2014. — С. 122-123.

27. Кулаев, Р. Ч. Об осцилляционности функции Грина для уравнения четвертого порядка / Р. Ч. Кулаев // Тезисы докладов международной конференции „Порядковый анализ и смежные вопросы математического

моделирования-Х1." — Владикавказ. — 2013. — С. 128-129.

28. Кулаев, Р. Ч. О функции Грина краевой задачи на графе-пучке / Р. Ч. Кулаев // Известия ВУЗов. Математика. — 2013. № 2. — С. 56-66.

29. Кулаев, Р. Ч. Некоторые вопросы качественной теории дифференциальных уравнений четвертого порядка на графах: специальность 01.01.02 «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление»: диссертация на соискание ученой степени доктора Физико-математических наук / Р. Ч. Кулаев //; [Место защиты: Южный федеральный университет]. — 2016.— 319 с.

30. Кулаев, Р. Ч. Неосцилляция уравнения четвертого порядка на графе / Р. Ч. Кулаев // Математический сборник. — 2015. — Т. 206, № 12. — С. 79-118.

31. Кулаев, Р. Ч. О свойстве неосцилляции уравнения на графе / Р. Ч. Кулаев // Сибирский математический журнал. — 2016. — Т. 57, № 1. — С. 85-97.

32. Кулаев, Р. Ч. Принцип сравнения для функции Грина краевой задачи четвертого порядка на графе / Р. Ч. Кулаев // Уфимский математический журнал. — 2015. — Т. 7, №4. — С. 99-108.

33. Кулаев, Р. Ч. Теоремы Штурма о распределении нулей для уравнения четвертого порядка на графе / Р. Ч. Кулаев, А. А. Уртаева // Математические заметки. — 2022. — Т. 111, № 6. — С. 947-952.

34. Кулаев, Р. Ч. Метод Штурма для краевой задачи четвертого порядка на графе / Р. Ч. Кулаев, А. А. Уртаева // Воронежская весенняя математическая школа. Понтрягинские чтения— XXXIV. (Воронеж, 03-09 мая 2023 года.) — 2023. — С. 248-251.

35. Кулаев, Р. Ч. Качественные свойства решений дифференциальных уравнений четвертого порядка на графах / Р. Ч. Кулаев, А. А. Уртаева // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. — 2022. — Т. 208. — С. 37-48.

36. Кулаев, Р. Ч. О кратности собственных значений дифференциального оператора четвёртого порядка на графе / Р. Ч. Кулаев, А. А. Уртаева // Дифференциальные уравнения. — 2022. — Т. 58, № 7. — С. 882-889.

37. Лазарев, К. П. Разрешимость краевой задачи для разнопорядкового дифференциального уравнения на геометрическом графе / К. П. Лазарев, Т. В. Белоглазова // Математические заметки. — 2006. — Т. 80, № 1. — С. 60-68.

38. Левин, А. Ю. Неосцилляция решений уравнения х(п) + Р1(£)ж(п-1) + ... + рп(ф = 0 / А. Ю. Левин // Успехи математических наук. — 1969. — Т. 24, № 2.— С. 43-96.

39. Мустафокулов, Р. О. О задаче Штурма -Лиувилля на пространственных сетях: специальность 01.01.02 «Дифференциальные уравнения»: диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук / Р. О. Мустафокулов // — Душанбе. — 2000. — 273 с.

40. Мустафокулов, Р. О. Положительные решения нелинейных краевых задач для уравнения четвертого порядка на графе / Р. О. Мустафокулов // Докл. АН РТ. — 1999. — Т. 42, № 3.— С. 40-46.

41. Павлов, Б. С. Модель свободных электронов и задача рассеяния / Б. С. Павлов, М. Д. Фаддеев // Теоретическая и математическая физика. — 1983. — Т. 55, № 2 — С. 257-268.

42. Пенкин, О. М. О краевой задаче на графе / О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный // Дифференциальные уравнения. — 1988. — Т. 24, № 4. — С. 701-703.

43. Покорный, Ю. В. О распределении нулей собственных функций задачи Штурма-Лиувилля на пространственной сети /В. Л. Прядиев // Доклады РАН. — 1999. — Т. 309, № 6. — С. 1306-1308.

44. Постнов, Д. Э. Механизм противофазной синхронизации в моделях нейронов / Д. Э. Постнов, С. К. Хан // Письма в ЖТФ. — 1999. — Т. 25, № 4.

— С. 11-18.

45. Покорный, Ю. В. Осцилляционный метод Штурма в спектральных задачах / Ю. В. Покорный, Ж. И. Бахтина, М. Б. Зверева, С. А. Шабров //

— М.: Физматлит. — 2009. — 192 с.

46. Покорный, Ю. В. О позитивной обратимости некоторых краевых задач для уравнения четвертого порядка / Ю. В. Покорный,

Р. О. Мустафокулов // Дифференциальные уравнения. — 1997. — Т. 33, № 10.

— С. 1358-1365.

47. Покорный, Ю. В. О положительности функции Грина линейных краевых задач для уравнений четвертого порядка на графе / Ю. В. Покорный, Р. О. Мустафокулов // Известия ВУЗов. Математика. — 1999. — Т. 441, № 2.

— С. 75-82.

48. Покорный, Ю. В. Об одном классе разнопорядковых обыкновенных дифференциальных уравнений на графе / Ю. В. Покорный, Т. В. Белоглазова, К. П. Лазарев // Математические заметки. — 2003. — Т. 73, № 3. — С. 469-470.

49. Покорный, Ю. В. Некоторые осцилляционные теоремы для многоточечных задач / Ю. В. Покорный, К. П. Лазарев // Дифференц. уравнения.—1987.—Т. 23, № 4.—С. 658-670.

50. Покорный, Ю. В. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин, В.Л. Прядиев и др. // — М.: Физматлит. — 2004. — 272 с.

51. Полиа, Г. Задачи и теоремы из анализа / Г. Полиа, Г. Сеге // — М.: Наука. — 1978. — Ч. 2. — 431 с.

52. Уртаева, А. А. Оценки сверху кратности точек спектра дифференциального оператора четвёртого порядка на графе. / А. А. Уртаева // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2024. — Т. 27, № 2. — С. 121-132.

53. Уртаева, А. А. Условия простоты собственных значений дифференциального оператора на графе / А. А. Уртаева // Понтрягинские чтения - XXXV : Материалы международной Воронежской весенней математической школы. (26--30 апреля 2024 .) — 2024. — С. 349-350.

54. Уртаева, А. А. Свойства собственных значений краевой задачи четвертого порядка на графе / А. А. Уртаева // Воронежская весенняя математическая школа. Понтрягинские чтения - XXXIII. (Воронеж, 03-09 мая 2022 года.). — 2022. — С. 270-272.

55. Уртаева, А. А. Спектральные свойства дифференциального оператора четвертого порядка на сети / А. А. Уртаева // Порядковый анализ

и смежные вопросы математического моделирования. Теория операторов и дифференциальные уравнения: тезисы докладов XVII Международной научной конференции (РСО-Алания, турбаза Дзинага, 29 июня - 5 июля 2023 г.). — 2023. — С. 230-231.

56. Уртаева, А. А. О свойствах собственных значений краевой задачи четвертого порядка на сети / А. А. Уртаева // Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики. Материалы VII Международной научной конференции.(Нальчик, 04-08 декабря 2023 года). — 2023 — С. 273-275.

57. Юрко, В. А. Восстановление дифференциальных операторов на звездообразном графе с разными порядками на разных ребрах / В. А. Юрко // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. — 2013. — Т. 13, № 1. — C. 112-116.

58. Юрко, В. А. Обратная задача для дифференциальных операторов на пространственных сетях с разными порядками на разных рёбрах / В. А. Юрко // Труды Московского математического общества — 2014. — Т. 75, № 2. — C. 125-138.

59. Юрко, В. А. Обратные спектральные задачи для дифференциальных операторов на пространственных сетях / В. А. Юрко // Успехи математических наук. —2016. — Т. 71, № 3. — C. 149--196.

60. Ali-Mehmeti, F. Some realizations of interaction problems / F. Ali-Mehmeti, S. Nicaise // Lecture Notes in Pure and Appl. Math. Berlin: Springer. — 1991. — V. 135. — P. 15-27.

61. Ali-Mehmeti, F. Nonlinear interaction problems / F. Ali-Mehmeti, S. Nicaise // Nonlinear Anal. — 1993. — V. 20, № 1. — P. 27-61.

62. Ali-Mehmeti, F. Nonlinear waves in networks / F. Ali-Mehmeti // Mathematical Research. — 1994. — V. 80.

63. Ali-Mehmeti, F. Multiple tunnel effect for dispersive waves on a star-shaped network: an explicit formula for the spectral representation / F. Ali-Mehmeti, R. Haller-Dintelmann, V. Regnier // Journal of Evolution Equations. — 2012. — V. 12, № 3. — P. 513-545.

64. Ali-Mehmeti, F. Transient vibrations of planar networks of beams: interaction of flexion, transversal and longitudal waves / F. Ali-Mehmeti, B. Dekoninck // Lect. Notes Pure Appl. Math. Berlin: Springer. — 2001. — V. 219.

— P. 1-18.

65. Avdonin, S. A. Recovery of a potential on a quantum star graph from Weyl's matrix / S. A. Avdonin, K. V. Khmelnytskaya, V. V. Kravchenko // Inverse Problems and Imaging. — 2024. — V. 18, No. 1.—P. 311-325;

66. Bae, S. On Vertex Conditions In Elastic Beam Frames: Analysis on Compact Graphs /S. Bae, M. Ettehad. // Engineering, Mathematics, Physics — 2021.

67. Belishev, M.I. Boundary spectral inverse problem on a class of graphs (trees) by the BC method / M.I. Belishev // Inverse Problems. — 2004. — Vol. 20.

— P. 647-672.

68. von Below, J. Sturm-Liouville eigenvalue problems on networks / J. von Below // Math. Meth. Appl. Sc. — 1988. — V. 10.— P. 383-395.

69. Berkolaiko, G. Three dimensional elastic beam frames: rigid joint conditions in variational and differential formulation /G. Berkolaiko, M. Ettehad // Studies in Applied Mathematics. — 2022.

70. Bohner, M. Disconjugacy and transformation for symplectic systems / M. Bohner, O. Dosly // Rocky Mountain Journal of Mathematics. — 1997 — V.27, No 3. — P. 707-743.

71. Borovskikh, A.V. Fourth-order differential equations on geometric graphs / A.V. Borovskikh, K.P. Lazarev //Journal of Mathematical Science. — 2004. — V. 119, № 6. — P. 719-738.

72. Bondarenko, N.P. Partial inverse problems for the Sturm-Liouville operator on a star-shaped graph with mixed boundary conditions /N.P. Bondarenko //J. Inverse Ill-Posed Probl. — 2018. — V. 26. — P. 1-12.

73. Bondarenko, N.P. Partial Inverse Sturm-Liouville Problems /N.P. Bondarenko // Mathematics. —2023.—V. 11. 2408.

74. Brown, B.M. A Borg-Levinson theorem for trees / B.M. Brown, R. Weikard // Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci. — 2005. — Vol.

461, № 2062.—P. 3231-3243.

75. Buterin, S. Functional-differential operators on geometrical graphs with global delay and inverse spectral problems. / S. Buterin // Results Math. — 2023.

— Vol. 78 № 3, Article number: 79.

76. Cabada, A. Disconjugacy characterization by means of spectral (k, n — k) problems /A. Cabada, L. Saavedra// Appl. Math. Lett.— 2016. — V. 52. — P. 21-29.

77. Cantoni, M. Control of large-scale irrigation networks / M. Cantoni, E. Weyer, Y. Li, etc. // Proceedings of the IEEE.—2007. V. 95.—P. 75-91.

78. Castro, C. Exact boundary controllability of two Euler-Bernoulli beams connected by a point mass /C. Castro and E. Zuazua// Math. Comput. Modelling.

— 2000. — V.32. —P. 955-969.

79. Coddington, E.A. Theory of ordinary differential equations / E. A. Coddington„ N. Levinson.// McGraw-Hill. — 1955.

80. Dekoninck, B. Spectre des reseaux de poutres / B. Dekoninck, S. Nicase // C.R. Acad. Sci. Paris. Serie 1. — 1998. — V. 326. — P. 1249-1254.

81. Dekoninck, B. The eigenvalue problem for network of beams / B. Dekoninck, S. Nicase // Generalized Functions, Operator Theory and Dimnamical Systems, Chapman and Hall Research in Math. — 1999. — P. 335-344.

82. Dekoninck, B. Control of network of Euler-Bernoulli beams / B. Dekoninck, S. Nicase // ESAIM: Control Optimisation and Calculus of Variations. — 1999. — V. 4. — P. 57-82.

83. Elias, U. Oscillation theory of two-term differential equations /U. Elias // Springer-Verlag. — 1997.

84. Garavello, M. Traffic Flow on Networks.—AIMS Series on Applied Mathematics / M. Garavello, B. Piccoli // — V. 1. — 2006. — 246 p.

85. Gottlich, S. Model hierarchies and optimization for dynamic flows on networks. Modeling and optimization of flows on networks / S. Gottlich, A. Klar —Cetaro—2009.—C.I.M.E. Courses. — 109 p.

86. Graef, J.R. Existence and uniqueness of solutions for a fractional boundary value problem on a graph / J.R. Graef, L. Kong, M. Wang // Fractional Calculus

and Applied Analysis. — 2014. — Vol. 17, № 2. — P. 499-510

87. Ignatyev, M. Inverse scattering problem for Strum-Liouville operator on non-compact A-graph. / M. Ignatyev // Uniqueness result, Tamkang J. Math. — 2015. — Vol. 46, № 4. — P. 410-422.

88. Ignatyev, M. Inverse scattering problem for Sturm-Liouville operators with Bessel singularities on noncompact star-type graphs.. / M. Ignatyev // Inverse Problems. — 2015. — Vol. 31 №. 12, 125006

89. Karimov, E. A non-local problem for a time-fractional differential equation with the Hilfer operator on metric graph / E. Karimov, Z.Sobirov, J. Khujakulov. // Mathematical Methods in the Applied Sciences. — 2024. — P. 1-19.

90. Kiik, J.-C. On vertex conditions for elastic systems / J.-C. Kiik, P. Kurasov, M. Usman // Phys. Lett. A. — 2015. — V. 379, № 34-35.—P. 1871-1876.

91. Kuchment, P. Quantum graphs: an introduction and a brief survey / P. Kuchment // Analysis on Graphs and its Applications, V. 77 of Proceedings of Symposia in Pure Mathematics.— Provdence. — 2008. — P. 291-314.

92. Kuchment, P. Quantum graphs. I. Some basic structures / P. Kuchment // Waves in Random Media. — 2004. — V. 14, № 1. — P. 107-128.

93. Kuchment, P. Quantum graphs. II. Some spectral properties of quantum and combinatouial graphs / P. Kuchment // J. Phys. A. — 2005. — V. 38, № 22. — P. 4887-4900.

94. Kulaev, R. Ch. Spectral properties of a fourth-order differential operator on a network. / R. Ch. Kulaev, A. A. Urtaeva // Mathematical Methods in the Applied Sciences.—2023.— P. 1-21.

95. Lagness, J.E. Modelling and controllability of plate-beam systems / J.E. Lagness // Journal Math. Systems, Estimation, and Control.—1995.—V. 5.—P. 141-187.

96. Lagnese, J. E. Modelling analysis and control of dynamic elastic multi-link structures / J.E. Lagness, G. Leugering, EJPG Schmidt. Birkhauser // Schmidt —Berlin: Springer.— 2012.—P. 235.

97. Lagnese, J.E. Control of planar networks of Timoshenko beams / J.E. Lagness // SIAM J. Control Optim.—1993.—V. 31.—P. 780-811.

98. Leighton, W. On the oscillation of solutions of self-adjoint linear differential equations of the fourth order / W. Leighton, Z. Nehari // — Trans. Amer. Math. Soc.—1958.—V.89.—P. 325-377.

99. Litrico, X. Experimental validation of a methodology to control irrigation canals based on Saint-Venant equations / X. Litrico, V. Fromion, J-P. Baume, etc. // Control Engineering Practice.—2005.—V. 13.—P. 1425-1437.

100. Lubary, J.A. On the geometric and algebraic multiplicities for eigenvalue problems on graphs / J.A. Lubary // Lecture Notes in Pure and Appl. Math., 219, Marcel Dekker, New York.—2001.—P. 135-146.

101. Lumer, G. Connecting of local operators and evolution equations on network / G. Lumer // Lect. Notes Math.—V. 787.—Berlin: Springer, 1980.—P. 219-234.

102. Mammana, G. Decomposizione delle espressioni differenziali lineari omogenee in prodotto di fattori simbolici e applicazione relativa alio studio delle equazioni differenzi ali lineari / G. Mammana // Math. Z.—1931.—V. 33.—P. 186 -231.

103. Mercier, D. Spectrum of a network of Euler-Bernoulli beams / D. Mercier, V. Regnier // Journal of Math. Anal. and Appl.—2008.—V. 337, № 1.—P. 174-196.

104. Mercier, D. Control of a network of Euler-Bernoulli beams / D. Mercier, V. Regnier // J. Math. Anal. Appl.—2008.—V. 342, № 2.—P. 874-894.

105. Munoz Rivera, J.E. Global stability for damped Timoshenko systems / J.E. Munoz Rivera, R. Racke // Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser.—2003.—V. 9— P. 1625-1639.

106. Nicaise, S. Some results on spectral theory over networks, applied to nerve impuls transmission / S. Nicaise // Lect. Notes Math. № 1771.-Berlin: Springer-Verlag, 1985.—P. 532-541.

107. Panasenko, G. Asymptotic analysis of the non-steady Navier-Stokes equations in a tube structure, I,II. / Panasenko, G., Pileckas, K. // Nonlinear Analysis.—2015—V. 122.—P. 125-168.

108. Panasenko, G. Flows in a tube structure: equation on the graph / G. Panasenko, K. Pileckas, // J. Math. Phys.—2014—V. 55.

109. Sobirov, Z.A. Cauchy Problem for Subdiffusion Equation on Metric Star Graph with Edge Dependent Order of Time-Fractional Derivative. /Z.A. Sobirov // Lobachevskii J. Math.— 2022. — V. 43.— P. 3282-3291.

110. Sobirov, Z.A., Eshimbetov M.R. Fokas Method for the Heat Equation on Metric Graphs / Z.A. Sobirov // Journal of Mathematical Sciences.— 2024 — V. 278. — P. 530-545.

111. Sturm, C. Memore sur les equation differentielles lineaires du second ordre / C. Sturm // J. Math. Pures Appl. — 1836. —V. 1.—P. 373-444.

112. Swanson, C.A. Comparison theorems and oscillation theory of linear differential equations /C.A. Swanson //New York and London: Academic Press. — 1968.

113. Timoshenko, S. P. Vibration Problems in Engineering. / S. P. Timoshenko, D.H. Young, Jr., W. Weaver // 5th Edition. Wiley. — 1990.

114. Urtaeva, A.A. Forth-order differential inequalities on a graph / A.A. Urtaeva, I.T. Dzanagova // Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования. Теория операторов и дифференциальные уравнения тезисы докладов XVI международной научной конференции. Владикавказ, 2021. — P. 1-21.

115. Xu, G. Q. Differential equations on metric graph / G. Q. Xu, N.E. Mastorakis // Wseas Press. — 2010.

116. Xu, G.Q. Stability of a star-shaped coupled network of strings and beams / G.Q. Xu, N.E. Mastorakis // Proceedings of the 10th WSEAS Int. Conf. on Mathematical methods and computational techniques in electrical engineering. — 2008. — P. 148-154.

117. Zhang, K.T. Spectrum of a complex network of Euler-Bernoulli beams / K.T. Zhang, G.Q. Xu, N.E. Mastorakis // Mathematics and Computers in Science and Engineering. — 2009. P.120-128.

118. Zhang, K.T. Stability of a complex network of Euler-Bernoulli beams / K.T. Zhang, G.Q. Xu, N.E. Mastorakis // WSEAS Transactions on System. — 2009. — V. 6, №. 3.— P. 379-389.

119. Wang, L.M. Inverse problem of networks-reconstruction of graph /

L.M. Wang, G.Q. Xu, N.E. Mastorakis // Proceedings of the 10th WSEAS international conference on Systems theory and scientific computation. — 2010. — P. 41-47.

120. Weinstein, A., Stenger, W. Methods of Intermediate Problems for Eigenvalues. /A. Weinstein, W. Stenger // Academic Press, New York. — 1972.

121. Yurko, V. Inverse spectral problems for Sturm-Liouville operators on graphs. / V.Yurko // Inverse Problems. — 2005. — Vol. 21, №3. — P. 1075-1086.

122. Zorich, V. A. Mathematical Analysis I / V. A. Zorich // 2nd Edition. New York - Berlin, Springer. — 2015.