Оценка риска многомерных портфелей: многомерные меры риска и снижение размерности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Волков Никита Васильевич

• Волков Никита Васильевич
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Волков Никита Васильевич

Введение

Глава 1. Многомерные когерентные меры риска и их свойства

1.1 Когерентные меры риска

1.1.1 Одномерные меры риска

1.1.2 Классический подход к определению многомерных когерентных мер риска

1.2 Нетранзитивность в многомерных когерентных мерах риска

1.3 Подход с использованием случайных множеств

1.3.1 Определение многомерных когерентных мер риска и их свойств

1.3.2 Конструктивный подход к построению многомерных когерентных мер риска

1.3.3 Сравнение с классическим подходом

1.4 Когерентная мера риска, не представимая в виде конструкции

из одномерных мер риска

1.5 Пример расчета многомерного Tail VaR

Глава 2. Сравнение оценок VaR с помощью модели гауссовских

смесей и модели с марковским переключением режимов

2.1 Описание алгоритмов

2.1.1 Смеси гауссовских распределений

2.1.2 Модель с марковским переключением режимов

2.1.3 Расчет меры VaR

2.2 Методы бэктестинга

2.2.1 Биномиальный тест

2.2.2 Бэктестинг меры УаЯ: тест Купика

2.2.3 Бэктестинг меры УаЯ: тест Кристоферсона

2.2.4 Оценка на скользящем окне

2.2.5 Время работы алгоритма

2.3 Тестирование алгоритма

2.3.1 Описание данных

2.3.2 Анализ данных

2.4 Результаты

2.4.1 Результаты экспериментов

2.4.2 Анализ параметров

Глава 3. Применение различных подходов для оценки риска и

снижения размерности

3.1 Описание используемых методов

3.1.1 Метод главных компонент

3.1.2 Вероятностный метод главных компонент

3.1.3 Смесь вероятностных методов главных компонент

3.1.4 Подсчет доли объясненной дисперсии для РСА

3.1.5 Доля объясненной дисперсии в РРСА

3.1.6 Информационный критерий Акаике (А1С) для тРРСА

3.2 Описание алгоритмов

3.2.1 Алгоритм на основе РСА

3.2.2 Алгоритм на основе РРСА

3.2.3 Алгоритм на основе тРРСА

3.2.4 Подходы к ускорению работы алгоритмов

3.3 Результаты

3.3.1 Выбор оптимального окна и оптимального количества

компонент

3.3.2 Результаты оценки VaR с помощью PPCA

3.3.3 Результаты оценки VaR с помощью mPPCA

3.3.4 Анализ влияния параметров модели на лог-приросты следующего дня

Глава 4. Оптимизация портфеля с использованием методов

снижения размерности

4.1 Постановка оптимизационной задачи

4.2 Описание алгоритма

4.2.1 Принцип работы алгоритма

4.2.2 Калибровка: подбор гиперпараметров

4.2.3 Оптимизация: вычисление весов

4.3 Метрики сравнения портфелей

4.4 Описание данных

4.5 Результаты

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценка риска многомерных портфелей: многомерные меры риска и снижение размерности»

Введение

Управление рисками является неотъемлемой частью процесса принятия решений корпорациями и финансовыми институтами. В финансовой сфере оценка и количественное измерение риска выступают фундаментальной основой для обоснованного выбора стратегий и обеспечения устойчивости инвестиционных портфелей. Именно критическая потребность в надежных инструментах измерения риска способствовала разработке и активному исследованию различных подходов к мерам риска сначала для относительно простого одномерного случая, а далее — и для многомерных задач.

Одной из наиболее распространённых одномерных мер риска является Value at Risk (VaR), количественно характеризующая потенциальные потери портфеля или инвестиции на заданном временном горизонте. Проще говоря, величина VaR уровня а — это такая пороговая сумма потерь, которую инвестиция или портфель превысят с вероятностью не более а. Несмотря на ясность интерпретации и простоту применения, данная мера обладает рядом недостатков: в частности, VaR не удовлетворяет свойству диверсификации.

С целью устранения этого ограничения Артцнер и соавторы предложили концепцию когерентных мер риска в работе [1]. Когерентные меры характеризуются набором интуитивно понятных финансовых свойств: диверсификацией, монотонностью, положительной однородностью и инвариантностью к трансляции.

Когерентные меры риска обширно исследованы в литературе. В работе [2] был представлен Tail VaR как когерентная альтернатива VaR. Дополнительные сведения о Tail VaR изложены в работах [3, 4]. В работах [5, 6] введен и рассмотрен взвешенный VaR (Weighted VaR), который обладает рядом хороших свойств, отсутствующих у Tail VaR, что показано в работе [7]. В работе [2] была доказана базовая теорема о представлении для одномерных когерентных

мер риска. Важные приложения когерентных мер рассмотрены, в частности, в работах [6] и [8-12].

Все указанные работы фокусируются на когерентных мерах риска для одномерной случайной величины, представляющей стоимость портфеля, выраженную либо в заранее выбранной базовой валюте, либо в единицах специально выбранного актива, с последующим применением одномерных мер риска. Тем не менее этот метод не учитывает связи между активами и ограничения ликвидности.

Для описания подобных сложных ситуаций Ю. М. Кабанов предложил альтернативный метод, детально изложенный в работах [13, 14]. Согласно ему портфель рассматривается как многомерный вектор, каждая компонента которого соответствует количеству единиц соответствующего актива. Понятие многомерной когерентной меры риска было введено в работе [15] и дополнительно изучено в работах [16-18]. В указанных работах транзакционные издержки предполагались детерминированными, а риск изменения валютных курсов не учитывался. Поскольку валютная волатильность существенно влияет на портфель, учет валютного риска остается критически важным.

В работе [19] описывается подход к многомерным когерентным мерам риска, предполагающий, что множество приемлемых позиций на момент 1 представляет собой случайный конус. Это исключает возможность учёта ограничений ликвидности, поскольку в таком случае множество приемлемых позиций перестает быть конусом.

Второй подход, предложенный в работе [20], определяет множество приемлемых позиций как случайное множество, обладающее рядом специфических свойств. Это позволяет включать в модель важные рыночные факторы, такие как ограничения ликвидности и зависимость цен от объёма лота. В указанной работе также представлен конструктивный метод получения

многомерных когерентных мер риска на основе одномерных мер. Следует подчеркнуть, что этот метод не охватывает некоторые меры риска.

На практике важными свойствами когерентных мер риска являются инвариантность по распределению (law invariance) и согласованность с пространством (space consistency). Инвариантность по распределению предполагает, что портфелям с идентичными распределениями финансовых результатов должны соответствовать одинаковые значения меры риска, то есть оценка риска определяется распределением доходности и валютных курсов. Принцип был впервые сформулирован для одномерных мер риска в работе [5] и далее подробно исследован, в частности, в [15, 21]. Свойство согласованности с пространством проявляется именно в многомерном случае и означает, что изменение масштаба вдоль отдельных осей — например, переход от координатной пары «доллар-рубль» к осям «доллар» и 100 рублей — не влияет на итоговую меру риска. Соответственно, актуальными задачами являются сравнение двух подходов к определению многомерных когерентных мер риска и их свойств, изучение примеров расчета многомерного аналога Tail VaR.

Несмотря на многолетние усилия, проблема корректного учёта «тяжёлых» хвостов при расчёте VaR остаётся нерешённой. Классические параметрические и исторические методы [22-24] исходят из стационарности и близости распределений лог-приростов к нормальному, тогда как эмпирические данные демонстрируют существенно более высокую вероятность экстремальных изменений. Ещё в работе [25] показано, что распределения доходностей обладают значительно большими эксцессом и асимметрией, чем гауссовские. В результате традиционные оценки VaR систематически занижают риск, особенно в периоды рыночных шоков, что приводит к росту числа нарушений (VaR violations).

Дополняющие картину модели условной гетероскедастичности фиксируют долгосрочную зависимость дисперсии, однако стандартная спецификация СЛЯСЫ исходит из единственного стационарного режима, хотя финансовые данные явно демонстрируют наличие нескольких режимов [26,27]. Как демонстрирует работа [28], при смене рыночного состояния (например, при переходе от низкой к высокой волатильности) однорежимная СЛЯСЫ-оценка существенно проигрывает МБ-СЛИСЫ по точности УаЯ на валютных рынках. Аналогичные выводы содержатся в работах [29-31], где показано, что кластеризация волатильности нарушает гипотезу независимости исключений УаЯ и требует моделей со сменой режимов.

Модели смесей нормальных распределений (СММ) аппроксимируют тяжелые хвосты успешнее, чем обычные нормальные распределения, что показано, например, в работах [32-39], повышая точность оценки крайних квантилей. Тем не менее СММ предполагает неизменность параметров во времени и не отражает переходы между режимами. На практике это приводит к накоплению исключений УаЯ в кластеры, особенно после резких изменений волатильности, что подчёркивает необходимость учёта нестационарности динамики.

Модели на основе марковского переключения (МБМ, МБ-СЛИСЫ) объединяют идею разных волатильностных состояний с гибкостью авторегрессионного подхода, что подтверждается в работах [26] и [40-42]. Исследования [43-46] показывают, что такие модели надёжнее проходят регуляторные бэктестирования и превосходят СЛЯСЫ и СММ по качеству прогноза как на дневном, так и на многодневном горизонте. Однако даже в МБ-СЛЯСЫ «тяжёлые» хвосты каждого отдельного режима обычно описываются нормальным распределением, а значит остаётся нерешённой задача совместного учёта крайних хвостов и кластеризации волатильности. Следовательно, интеграция подходов, одновременно моделирующих как

экстремальные хвосты, так и смену рыночных режимов, остаётся актуальным направлением для дальнейших исследований и практики управления финансовыми рисками.

Итак, задача оценки риска одномерного портфеля на практике хорошо изучена. Также активно изучаются задачи оптимизации многомерных портфелей. Высокая размерность портфеля делает эту задачу значительно труднее. Это связано с необходимостью оценивать многомерное совместное распределение сильно скоррелированных активов, что описано, например, в работах [47-49].

Методы понижения размерности, такие как метод главных компонент (РСА), активно применяются для упрощения многомерной задачи оценки риска и оптимизации портфелей, что описано, например, в работах [50,51]. Однако классический РСА не учитывает вероятностную природу данных и оказывается чувствительным к выбросам и нестандартным наблюдениям, характерным для финансовых данных, что подтверждается работами [52,53]. С другой стороны, смеси гауссовских распределений (СММ) позволяют более точно моделировать «тяжёлые» хвосты, но при этом существенно усложняют оценку многомерных матриц ковариаций и страдают от нестабильности оценок в случае высокой размерности, что описано, например, в работах [39] и [54-56].

В этой связи становится актуальным применение методов вероятностного анализатора главных компонент (РРСА) и смеси вероятностных анализаторов главных компонент (тРРСА), объединяющих преимущества РСА и СММ. Метод тРРСА учитывает вероятностную структуру данных, более устойчив к выбросам и позволяет более эффективно моделировать «тяжёлые» хвосты распределений, избегая при этом проблемы оценки полноразмерных ковариационных матриц, что описано в работах [57, 58]. Несмотря на перспективность данного подхода, он мало исследован в финансовой области [59, 60], а применительно к задаче оценки финансового риска

фактически не рассматривался. Таким образом, разработка, адаптация и тщательное тестирование метода mPPCA на реальных финансовых данных является важной и своевременной задачей.

Также важно отметить, что проблема понижения размерности актуальна не только в задачах оценки финансовых рисков, но и при оптимизации портфеля по Марковицу. В частности, при построении инвестиционных стратегий с использованием модели Марковица возникает необходимость оценки высокоразмерной ковариационной матрицы доходностей большого числа активов, что описано в работах [47-49], что значительно усложняет задачу и может привести к нестабильности получаемых решений. В этом контексте методы понижения размерности, такие как PCA [50] и Kernel PCA [61], позволяют существенно уменьшить размерность исходного пространства активов, снизить чувствительность к шумам и выбросам и повысить устойчивость решений.

Включение регуляризации и учёта транзакционных издержек (комиссий за перебалансировку) в модели оптимизации портфеля также является важным аспектом. Учёт этих факторов, как показано в ряде исследований [62-64], позволяет не только повысить стабильность решений, но и существенно улучшить реальные экономические показатели стратегии, снижая риски чрезмерных потерь в периоды рыночных колебаний.

Таким образом, совместное использование методов снижения размерности и регуляризации в рамках оптимизации по Марковицу является актуальной и практически значимой задачей, позволяющей более эффективно управлять рисками и доходностью инвестиционных портфелей.

Актуальность исследования дополнительно обусловлена двумя важными обстоятельствами. Во-первых, при решении задачи оптимизации финансового портфеля по Марковицу необходимо многократно и оперативно оценивать риски для множества существенно различных по структуре

портфелей. В реальной практике инвесторы сталкиваются не только с диверсифицированными портфелями, такими как индексные фонды (например, Б&Р 500), но и с портфелями с ярко выраженной концентрацией активов. Однако в большинстве существующих работ по оценке рисков методика бэктестирования применяется только к ограниченному числу заранее определённых портфелей с фиксированными весами, что существенно сужает область применимости и не позволяет убедиться в надёжности предложенных моделей при произвольных распределениях весов активов.

Во-вторых, сама по себе задача проведения полномасштабного бэктестирования на разнообразных по характеристикам портфелях сложна с вычислительной точки зрения. Необходимость многократного пересчёта моделей на скользящих окнах исторических данных делает традиционные реализации непригодными для оперативной работы из-за слишком долгих расчётов. В связи с этим критически важной становится разработка вычислительно эффективных подходов.

Цели и задачи данной диссертации:

1. Построение алгоритмов оценки риска многомерных портфелей как в случае одной валюты, так и в случае нескольких валют.

2. Ускорение работы алгоритмов оценки риска и их бэктестирования.

3. Рассмотрение применения данных алгоритмов для решения задач оценки риска на реальных портфелях и улучшения алгоритма Марковица.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Доказано существование многомерных инвариантных по распределению когерентных мер риска, которые нельзя получить конструктивным подходом из одномерных мер риска.

2. Введено понятие доли объясненной дисперсии для алгоритма РРСА, выведена аналитическая формула ее расчета.

3. Показано улучшение качества оценки риска многомерного портфеля и повышение метрик доходности в классической задаче Марковица при использовании различных методов снижения размерности.

Научная новизна:

1. Показана важность использования многомерных мер риска для оценки рисков мультивалютных портфелей, учитывающих ограничения ликвидности, впервые продемонстрировано отсутствие свойства транзитивности у многомерных когерентных мер риска.

2. Выполнен сравнительный анализ двух подходов к определению многомерных мер риска, впервые приведен пример расчета многомерного аналога VaR и предложен пример многомерной инвариантной по распределению когерентной меры риска, которую нельзя получить конструктивным подходом из одномерных мер риска.

3. Предложен и впервые применен подход адаптивного выбора оптимального количества компонент в смеси mPPCA на основе AIC-критерия.

4. Продемонстрировано, что применение введенной в работе доли объясненной дисперсии для алгоритма PPCA при выборе количества компонент при использовании алгоритма PPCA позволяет улучшить оценки риска портфелей.

5. Предложен и применен новый подход к выбору оптимального окна для оценки VaR.

6. Продемонстрирована возможность применения и оптимизации PCA и Kernel PCA, что позволило уточнить решение классической задачи Марковица.

Научная и практическая значимость работы:

1. Найдена оценка риска многомерных портфелей с помощью многомерного аналога ES.

2. Реализован и оптимизирован подход к проведению масштабного бэктестирования многомерных портфелей с помощью JIT-компиляции (обеспечивающей более чем 200-кратное ускорение вычислений при масштабном бэктестировании оценки VaR).

3. Показана высокая корреляция оптимального по критерию AIC количества компонент смеси в mPPCA и характеристик распределения лог-приростов следующего дня, а также, что минимальное достаточное число главных компонент PPCA обратно коррелирует со средней попарной корреляцией активов и также служит индикатором повышения волатильности и риска следующего дня.

4. Выявлено, что на слабо диверсифицированных портфелях алгоритмы PPCA и mPPCA дают существенно более качественную оценку VaR по сравнению с GMM и PCA.

5. Продемонстрировано, что предложенный подход к усовершенствованию алгоритма Марковица с понижением размерности позволяет получать большую доходность и Sharpe Ratio на длительном промежутке времени.

Апробация работы. Основные результаты диссертации представлены в устных докладах на:

— 61-я Всероссийская научная конференция МФТИ, доклад с публикацией тезисов «Многомерные когерентные меры риска», 19-25 ноября 2018, МФТИ, Долгопрудный.

— Лекторий кафедры высшей математики МИЭТ, доклад «Применение математических методов к решению задачи оптимального инвестирования», 7 марта 2024, Москва.

— 66-я Всероссийская научная конференция МФТИ, доклад с публикацией тезисов «Оценка VaR диверсифицированных портфелей с

применением методов понижения размерности PCA, PPCA и mPPCA», 1-6 апреля 2024, МФТИ, Долгопрудный.

— 66-я Всероссийская научная конференция МФТИ, доклад с публикацией тезисов «Оптимизация долгосрочного инвестирования на основе диверсификации Марковица», 1-6 апреля 2024, МФТИ, Долгопрудный.

— XXXI Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов» с докладом «Свойства многомерных мер риска». Секция «Вычислительная математика и кибернетика». 12-26 апреля 2024, МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва.

— 4th International Conference on Econometrics and Business Analytics, «Application of Markov Switching Model to Measure VaR», 26-29 September 2024, Astana, Kazakhstan.

— Научно-исследовательский семинар «Нетранзитивность и ее приложения», доклад «Нетранзитивность многомерных портфелей при наличии риска ликвидности и многомерный аналог ES», 26 февраля 2025, МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва.

— 67-я Всероссийская научная конференция МФТИ, доклад с публикацией тезисов «Оценка VaR с помощью больших языковых моделей», 31 марта - 5 апреля 2025, МФТИ, Долгопрудный.

— XXXII Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов» с докладом «Оценка VaR многомерных финансовых портфелей с помощью метода понижения размерности mPPCA». Секция «Вычислительная математика и кибернетика». 11-25 апреля 2025, МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва.

Личный вклад.

Содержание диссертации отражает работу автора над выбранной темой и его личный вклад. Автор принимал непосредственное участие в решении следующих задач:

— Доказательство теоремы о существовании многомерных инвариантных по распределению когерентных мер риска, которые нельзя получить конструктивным подходом из одномерных мер риска.

— Разработка примеров, иллюстрирующих нетранзитивность многомерных когерентных мер риска в рамках классического определения.

— Разработка примера расчета для многомерного аналога Expected Shortfall.

— Разработка программного кода и его оптимизация для получения оценок VaR многомерных портфелей с помощью методов GMM, MSM, PCA, PPCA, mPPCA и других, а также их бэктестирования.

— Исследование зависимостей между характеристиками распределений лог-приростов следующего дня и оптимальным по критерию AIC количеством смесей в mPPCA, а также минимально достаточным количеством компонент PPCA.

— Реализация и оптимизация алгоритмов оценки VaR и бэктестирования, в том числе с помощью внедрения JIT-компиляции кода.

— Разработка подхода для решения задачи Марковица с использованием методов понижения размерности.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в четырёх публикациях, размещённых в журналах категории К1 из собственного перечня журналов МФТИ [A1-A4].

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Полный объем диссертации составляет

144 страницы с 26 рисунками и 11 таблицами. Список литературы содержит 88 наименований.

Глава 1. Многомерные когерентные меры риска и их свойства

Для международных компаний и банков, работающих с разнообразными активами в разных валютах, эффективная оценка риска является критически важной задачей. Многомерные когерентные меры риска представляют собой мощный инструмент для такого анализа. В данной главе демонстрируется, что их применение позволяет оптимизировать объем капитала, резервируемого для покрытия рисков, возникающих при мультивалютных операциях и работе с разнородными портфелями активов.

Рассматриваются два принципиальных подхода к определению таких мер:

1. Метод случайного конуса, в основе которого лежит анализ случайного конуса возможных обменных курсов.

2. Метод случайных множеств, который позволяет интегрировать в модель такие ограничения, как ликвидность.

Также описан конструктивный метод создания многомерных мер на базе одномерных когерентных мер риска. Важно отметить, что этот метод не является универсальным, а в главе приведен пример когерентной меры, которую невозможно представить данным способом.

Проанализированы два фундаментальных свойства многомерных мер риска: инвариантность по распределению и согласованность с пространством. Для каждого свойства даны эквивалентные формулировки через определяющие и принимающие множества. В качестве практического примера приведено многомерное обобщение меры Tail VaR, которое обладает обоими свойствами и адекватно оценивает совокупный риск многомерного портфеля.

1.1 Когерентные меры риска 1.1.1 Одномерные меры риска

Данный раздел посвящен основам — одномерным мерам риска; здесь рассмотрена рекомендованная Базельским комитетом мера Value at Risk (VaR) уровня а, и приводятся свободные от её недостатков когерентные аналоги.

Для случайной величины X, представляющей прибыль, и заданного доверительного уровня а £ (0,1) вероятность превышения убытков над значением VaRa не превосходит а:

Определение 1.1.1. Пусть а £ (0,1), X — случайная величина. Тогда

VaRa(X) = -qa(X), (1.1)

где

qa(X) = inf {x £ R : P(X < x) > a}. (1.2)

Главным недостатком VaR является нарушение принципа диверсификации рисков. Это означает, что объединение позиций может, вопреки ожиданиям, приводить к увеличению расчетной меры риска. Чтобы справиться с этим недостатком, в работе [1] была разработана теория когерентных мер риска.

Определение 1.1.2. Когерентная мера риска определяется как функция р : Ьж ^ R, обладающая следующими свойствами:

— диверсификация: р(Х + Y) < р(Х) + p(Y);

— монотонность: X < Y ^ р(Х) > p(Y);

— неотрицательная однородность: УХ > 0 р(ХХ) = Хр(Х);

— инвариантность относительно сдвига: Ут £ R р(Х + т) = р(Х) — т;

р -

— свойство Фату: \Хп\ < с, Хп X ^ р(Х) < lim р(Хп).

п—>оо

Фундаментальная теорема о представлении [2] устанавливает, что любая когерентная мера допускает представление через определяющее множество:

Теорема 1.1.3. Функция р : Ьж ^ R является когерентной мерой риска тогда и только тогда, когда существует непустое выпуклое L1 — замкнутое множество мер V, где V С V = {Q : Q ^ P}, что

р(Х) = - ы Eqx. (1.3)

И указанное в (1.3) представление единственно.

Определение 1.1.4. Множество V называется определяющим для когерентной меры риска р.

Наиболее известной когерентной альтернативой VaR является хвостовой VaR (Tail VaR, Average VaR, Expected Shortfall), определённый в работе [1].

Пример 1.1.5. Рассмотрим А Е [0,1]. Возьмем V\ = {Q ^ P : jp < Л-1}. Тогда соответствующая когерентная мера риска:

рх(Х) = - inf Eqx (1.4)

QeVx

называется хвостовым VaR уровня \.

Но и у этого показателя есть недостаток: он учитывает только часть распределения ниже квантиля q\. Если распределения совпадают только ниже квантиля, а выше его — нет, то Tail VaR не покажет, что распределения отличаются. Для более тонкого анализа всего распределения, а не только хвоста, вводится взвешенная версия:

Пример 1.1.6. Пусть р, — вероятностная мера на [0,1]. Тогда взвешенный VaR (Weighted VaR) — это когерентная мера риска, определяемая, как:

г"(X)= Г рх(Х),i(d\). (1.5)

J о

Одно из полезных свойств одномерных когерентных мер — инвариантность по распределению:

Определение 1.1.7. Когерентная мера риска р называется инвариантной по распределению, если:

V X,Y Е L™, X = Y : р(Х) = p(Y). (1.6)

Ключевой результат об этом свойстве приводится в работах [5, 21]: выпуклая одномерная мера риска р инвариантна по распределению тогда и только тогда, когда выполняется равенство

р(Х)= sup (г»(Х) - $(м)), (1.7)

0,1]

где M(0,1] — множество всех вероятностных мер на (0,1], ¡3(р.) — выпуклое отображение из M в (-то, +™], ¡3 не равно тождественно Взвешенная

когерентная мера определяется равенством (1.5). Отсюда вытекает важное следствие:

p(E(X|G)) < р(Х) V G С F (1.8)

для любой меры р Е L™, инвариантной по распределению. Его можно понимать так: условное математическое ожидание (среднее значение при заданной информации) всегда несет в себе не больше риска, чем исходная неопределенная величина. Это согласуется с интуицией: любая дополнительная информация Q позволяет снизить неопределенность и, следовательно, оценку риска. Как показано в работе [7], обратное утверждение тоже истинно:

Теорема 1.1.8. Пусть вероятностное пространство (Q, F,P) не содержит атомов. Тогда выпуклая одномерная мера риска р Е L™ обладает свойством

инвариантности по распределению в том и только в том случае, когда:

р(ЩХ|©)) < р(Х) V © С (1.9)

При работе с портфелем, состоящим из нескольких валют, традиционный подход заключается в рассмотрении его как многомерного вектора, каждый компонент которого представляет количество единиц, выделенных соответствующему активу в портфеле. Естественной практикой для оценки риска является перевод всех компонентов вектора в единую, заранее выбранную базовую валюту с последующим применением одномерных мер риска. Тем не менее, этот метод не учитывает связи между активами и тот факт, что активы могут подпадать под различные режимы налогообложения и ограничения ликвидности. Более того, при определенных обстоятельствах он может предъявлять чрезмерные требования к резервированию. Следующий пример иллюстрирует важность многомерного подхода.

Пример 1.1.9. Пусть портфель X задан в базисе из двух валют е\ и е2 (например, доллар США и евро; рисунок 1.1). Рассмотрим вероятностное пространство (О,Т,Р), где О = {ш\,ш2}, а Т — а-алгебра, порождённая атомами {ш\} и {ш2}. Предположим, что события равновероятны: Р(^1) =

РМ = 2.

Интерпретируем исходы так: при доллар укрепляется;

соответствующее соотношение курсов е\ : е2 = 1:2. При ш2 доллар ослабевает; соотношение е\: е2 = 2:1. На рисунке 1.1 эти курсы обозначены как К(ш\) и К(ш2) соответственно.

Портфель X рассматривается как двумерная случайная величина (вектор позиций в единицах е\ и е2):

X(шг) = (-2,1), XЫ = (1, - 2).

То есть мы сделали ставку в долларах на ослабление доллара: получаем 1 в случае укрепления евро и теряем 2 в случае укрепления доллара. И одновременно сделали ставку в евро на ослабление евро: получаем 1 в случае укрепления доллара и теряем 2 в случае укрепления евро.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Волков Никита Васильевич, 2025 год

Литература

[1] Artzner P., Delbaen F., Eber J.-M., Heath D. Thinking coherently // Risk. — 1997. —Vol. 10, no. 11. —P. 68-71.

[2] Artzner P., Delbaen F., Eber J.-M., Heath D. Coherent measures of risk // Mathematical Finance. — 1999.— Vol. 9, no. 3. —P. 203-228.

[3] Follmer H., Schied A. Convex measures of risk and trading constraints // Finance and Stochastics.— 2002.— Vol. 6, no. 4. —P. 429-447.

[4] Follmer H., Schied A. Robust preferences and convex measures of risk // Advances in Finance and Stochastics: Essays in Honour of Dieter Sondermann / ed. by Sandmann Klaus, Schonbucher Philipp J. — Heidelberg : Springer, 2002. —P. 39-56.

[5] Kusuoka S. On law invariant coherent risk measures // Advances in Mathematical Economics. — 2001.— Vol. 3. —P. 83-95.

[6] Acerbi C. Spectral measures of risk: a coherent representation of subjective risk aversion // Journal of Banking and Finance. — 2002. — Vol. 26, no. 7. — P. 1505-1518.

[7] Cherny A.S. Weighted VaR and its properties // Finance and Stochastics.— 2006. —Vol. 10, no. 2. —P. 367-393.

[8] Acerbi C., Tasche D. On the coherence of expected shortfall // Journal of Banking and Finance. — 2002.— Vol. 26, no. 7. —P. 1487-1503.

[9] Burgert C., Riischendorf L. Consistent risk measures for portfolio vectors // Insurance: Mathematics and Economics. — 2006. — Vol. 38, no. 2. — P. 289-297.

[10] Cherny A.S. Equilibrium with Coherent Risk. — 2006. — Access mode: https://arxiv.org/abs/math/0605051 (online; accessed: 2024-12-19). Preprint.

[11] Cherny A.S. Pricing with coherent risk // Theory of Probability and its Applications. — 2007. — Vol. 52, no. 3. —P. 506-540.

[12] Delbaen F. Coherent risk measures on general probability spaces // Advances in Finance and Stochastics: Essays in Honour of Dieter Sondermann / ed. by Sandmann Klaus, Schonbucher Philipp J. — Heidelberg : Springer, 2002. — P. 1-37.

[13] Kabanov Y.M., Stricker Ch. The Harrison-Pliska arbitrage pricing theorem under transaction costs // Journal of Mathematical Economics. — 2001.— Vol. 35, no. 2. —P. 185-196.

[14] Kabanov Y.M., Rasonyi M., Stricker Ch. No-arbitrage criteria for financial markets with efficient friction // Finance and Stochastics. — 2002. — Vol. 6, no. 3. —P. 403-411.

[15] Jouini E., Schachermayer W., Touzi N. Law invariant risk measures have the Fatou property // Advances in Mathematical Economics. — 2006. — Vol. 9, no. 1. —P. 49-71.

[16] Cascos I., Molchanov I. Multivariate risks and depth-trimmed regions // Finance and Stochastics. — 2007. — Vol. 11. — P. 373-397.

[17] Hamel A.H., Heyde F. Duality for set-valued measures of risk // SIAM J. Financial Math. — 2010.— Vol. 1. —P. 66-95.

[18] Hamel A.H., Heyde F., Rudloff B. Set-valued risk measures for conical market models // Math. Finan. Economics.— 2011.— Vol. 5. —P. 1-28.

[19] Kulikov A.V. Multidimensional Coherent and Convex Risk Measures // Theory of Probability and its Applications. — 2008. — Vol. 52, no. 4. — P. 614-635.

[20] Cascos I., Molchanov I. Multivariate Risk Measures: A Constructive Approach Based on Selections // Mathematical Finance. — 2016. — Vol. 26, no. 4. — P. 867-900.

[21] Kunze M. Verteilungsinvariante konvexe Risikomaße : Diplomarbeit ; Humboldt-Universitat zu Berlin. — Berlin, 2003.

[22] Duffie D., Pan J. An overview of value at risk // Journal of derivatives.— 1997. —Vol. 4, no. 3. —P. 7-49.

[23] Khindanova I.N., Rachev S.T. Value at Risk: Recent Advances // Handbook of Analytic Computational Methods in Applied Mathematics / ed. by Anastassiou G. — Boca Raton, FL : Chapman and Hall/CRC, 2000. — P. 801-858.

[24] Hull J.C. Options, Futures, and Other Derivatives. — 9th ed. — Boston : Pearson, 2015. —P. 494-520.

[25] Mandelbrot B. The Variation of Certain Speculative Prices // The Journal of Business. — 1963. — Vol. 36, no. 4. — P. 394-419.

[26] Hamilton J.D. A new approach to the economic analysis of non-stationary time series and the business cycle // Econometrica. — 1989. — Vol. 57, no. 2. —P. 357-384.

[27] Dmitriev A., Lebedev A., Kornilov V., Dmitriev V. Self-organization of the stock exchange to the edge of a phase transition: empirical and theoretical studies // Frontiers in Physics. — 2025.— Vol. 12. —P. 1508465.

[28] Haas M., Mittnik S., Paolella M.S. A New Approach to Markov-Switching GARCH Models // Journal of Financial Econometrics. — 2004. — Vol. 2, no. 4. — P. 493-530.

[29] Cai J. A Markov Model of Switching-Regime ARCH // Journal of Business & Economic Statistics. —1994. —Vol. 12, no. 3. —P. 309-316.

[30] Klaassen F. Improving GARCH volatility forecasts with regime-switching GARCH // Advances in Markov-Switching Models. Studies in Empirical Economics / ed. by Hamilton J.D., Raj B. — Heidelberg : Physica, 2002.— P. 223-254.

[31] Sajjad R., Coakley J., Nankervis J.C. Markov-Switching GARCH Modelling of Value-at-Risk // Studies in Nonlinear Dynamics & Econometrics. — 2008. —Vol. 12, no. 3. —P. 1-31.

[32] Tan K. Modeling returns distribution based upon radical normal distributions // Journal of the Society for Studies on Industrial Economies. — 2005. —Vol. 46, no. 3. —P. 449-467.

[33] Tan K., Tokinaga S. Approximating Probability Distribution Function based upon Mixture Distribution Optimized by Genetic Algorithm and its Application to Tail Distribution Analysis using Importance Sampling Method // Journal of Political Economy. — 2007. — Vol. 74, no. 1. — P. 183-196.

[34] Tan K., Chu M. Estimation of portfolio return and value at risk using a class of Gaussian mixture distributions // The International Journal of Business and Finance Research. — 2012.— Vol. 6, no. 1. —P. 97-107.

[35] Contreras J.R. Market Risk Measures Using Finite Gaussian Mixtures // Journal of Applied Finance and Banking. — 2014. — Vol. 4, no. 6. — P. 29-45.

[36] Cuevas-Covarrubias C., Inigo-Martinez J., Jimenez-Padilla R. Gaussian mixtures and financial returns // Discussiones Mathematicae Probability and Statistics. —2017. —Vol. 37. —P. 101-103.

[37] Sridharan R. Gaussian mixture models and the EM algorithm. — 2014. — Access mode: https://souravsengupta.com/cds2017/lectures/emGMM. pdf (online; accessed: 2025-10-05). Lecture notes.

[38] Li Y., Wu J. The estimation of VaR and ES based on Gaussian mixture model - Take the Shanghai Composite Index as an example // ICCAS. — 2022. — P. 1497-1502.

[39] Morkunaite I., Celov D., Leipus R. Evaluation of Value-at-Risk (VaR) using the Gaussian Mixture Models // Research in Statistics. — 2024. — Vol. 2, no. 1. —P. 2346075.

[40] Baum L.E., Petrie T. Statistical inference for probabilistic functions of finite state Markov chains // Annals of Mathematical Statistics. — 1966. — Vol. 37, no. 6. —P. 1554-1563.

[41] Baum L.E., Petrie T., Soules G., Weiss N. A maximization technique occurring in the statistical analysis of probabilistic functions of Markov chains // Annals of Mathematical Statistics. — 1970. — Vol. 41, no. 1.— P. 164-171.

[42] Kuan C.M. Lecture on the Markov Switching Model: Institute of Economics, Academia Sinica. — Access mode: https://homepage.ntu.edu.tw/~ckuan/ pdf/Lec-Markov_note.pdf (online; accessed: 2024-09-19). Lecture notes.

[43] Ardia D., Bluteau K., Boudt K., Catania L. Forecasting Risk with Markov-Switching GARCH Models: A Large-Scale Performance Study // International Journal of Forecasting. — 2018. — Vol. 34, no. 4. — P. 733-747.

[44] Ardia D., Bluteau K., Riiede M. Regime Changes in Bitcoin GARCH Volatility Dynamics // Finance Research Letters. — 2019. — Vol. 29. — P. 266-271.

[45] Kuester K., Mittnik S., Paolella M.S. Value-at-Risk Prediction: A Comparison of Alternative Strategies // Journal of Financial Econometrics. — 2006. —Vol. 4, no. 1. —P. 53-89.

[46] Marcucci J. Forecasting Stock Market Volatility with Regime-Switching GARCH Models // Studies in Nonlinear Dynamics & Econometrics. — 2005. —Vol. 9, no. 4.

[47] Ledoit O., Wolf M. Improved estimation of the covariance matrix of stock returns with an application to portfolio selection // Journal of Empirical Finance. —2003. —Vol. 10, no. 5. —P. 603-621.

[48] Fan J., Liao Y., Liu H. An overview of the estimation of large covariance and precision matrices // The Econometrics Journal. — 2016. — Vol. 19, no. 1.— P. C1-C32.

[49] Pafka S., Kondor I. Noisy covariance matrices and portfolio optimization II // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. — 2003. — Vol. 319. — P. 487-494.

[50] Pearson K. LIII. On lines and planes of closest fit to systems of points in space // The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. —1901. —Vol. 2, no. 11. —P. 559-572.

[51] Partovi M.H., Caputo M. Principal Portfolios: Recasting the Efficient Frontier // Economics Bulletin. — 2004.— Vol. 7. —P. 1-10.

[52] Kelly B., Malamud S., Pedersen L.H. Principal Portfolios // The Journal of Finance. —2023. —Vol. 78, no. 1. —P. 347-387.

[53] Mavungu M. Computation of financial risk using principal component analysis // Algorithmic Finance. — 2023. — Vol. 10, no. 1-2. —P. 1-20.

[54] Luxenberg E., Boyd S. Portfolio construction with Gaussian mixture returns and exponential utility via convex optimization // Optimization and Engineering. —2024. —Vol. 25, no. 1. —P. 555-574.

[55] Halbe Z., Bortman M., Aladjem M. Regularized Mixture Density Estimation With an Analytical Setting of Shrinkage Intensities // IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems. — 2013. — Vol. 24. — P. 460-470.

[56] Ruan L., Yuan M., Zou H. Regularized Parameter Estimation in High-Dimensional Gaussian Mixture Models // Neural Computation. — 2011. —Vol. 23. —P. 1605-1622.

[57] Tipping M.E., Bishop C.M. Probabilistic Principal Component Analysis // Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Statistical Methodology). — 1999. —Vol. 61, no. 3. —P. 611-622.

[58] Tipping M.E., Bishop C.M. Mixtures of probabilistic principal component analyzers // Neural Comput. — 1999.— Vol. 11, no. 2. —P. 443-482.

[59] Tzagkarakis G., Caicedo-Llano J., Dionysopoulos T. Exploiting market integration for pure alpha investments via probabilistic principal factors analysis // Journal of Mathematical Finance. — 2013. — Vol. 3, no. 1.— P. 192-200.

[60] Begusic S., Kostanjcar Z. Cluster-Specific Latent Factor Estimation in High-Dimensional Financial Time Series // IEEE Access. — 2020. — Vol. 8. — P. 164365-164379.

[61] Schölkopf B., Smola A., Müller K.-R. Nonlinear Component Analysis as a Kernel Eigenvalue Problem // Neural Computation. — 1998. — Vol. 10, no. 5. —P. 1299-1319.

[62] Lien G. Non-parametric estimation of decision makers' risk aversion // Agricultural Economics. —2002. —Vol. 27, no. 1. —P. 75-83.

[63] Fama E.F., MacBeth J.D. Risk, Return, and Equilibrium: Empirical Tests // Journal of Political Economy. — 1973. — Vol. 81, no. 3. — P. 607-636.

[64] Paolella M. The Univariate Collapsing Method for Portfolio Optimization // Econometrics.— 2017.— Vol. 5, no. 2. —P. 18.

[65] Jouini E., Meddeb M., Touzi N. Vector-valued coherent risk measures // Finance and Stochastics. — 2004. — Vol. 8. — P. 531-552.

[66] Scikit-learn Developers. sklearn.mixture.GaussianMixture documentation (Version 1.2.2). — 2025. — Access mode: https://scikit-learn.org/ stable/modules/generated/sklearn.mixture.GaussianMixture.html (online; accessed: 2025-06-23). Online resource.

[67] Zhu C., Byrd R.H., Lu P., Nocedal J. Algorithm 778: L-BFGS-B: Fortran sub-routines for largescale bound-constrained optimization // ACM Transactions on Mathematical Software. — 1997. — Vol. 23, no. 4. — P. 550-560.

[68] Kupiec P.H. Techniques for verifying the accuracy of risk measurement models // Journal of Derivatives. — 1995. — Vol. 3, no. 2. — P. 73-84.

[69] Christoffersen P.F. Evaluating Interval Forecasts // Int. Econ. Rev.— 1998. —Vol. 39, no. 4. —P. 841-862.

[70] Pearson K. On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling // The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. — 1900. —Vol. 50. —P. 157-175.

[71] Yates F. Contingency Tables Involving Small Numbers and the x2 Test // Supplement to the Journal of the Royal Statistical Society. — 1934. — Vol. 1, no. 2. —P. 217-235.

[72] Serra N., Rea T., Di Carlo P., Sergi C. Continuity correction of Pearson's chi-square test in 2x2 Contingency Tables: A mini-review on recent development // Epidemiology, Biostatistics, and Public Health. — 2019. — Vol. 16, no. 2.

[73] Brutti Righi M., Sergio Ceretta P. On the existence of an optimal estimation window for risk measures // Applied Finance Letters. — 2015. — Vol. 4, no. 1-2. — P. 28-32. — Access mode: https://ojs.aut.ac.nz/ applied-finance-letters/article/view/30.

[74] Lam S.K., Pitrou A., Seibert S. Numba: A LLVM-based Python JIT Compiler // Proceedings of the Second Workshop on the LLVM Compiler Infrastructure in HPC, LLVM 2015, Austin, TX, USA, November 15, 2015. — ACM. — 2015. — P. 1-6. — Access mode: https://doi.org/10. 1145/2833157.2833162.

[75] Yahoo Finance. Financial Market Data. — Access mode: https://finance. yahoo.com (online; accessed: 2025-08-07). Online resource.

[76] Волков Н.В., Золин Н.А., Куликов А.В. Интерактивный график волатильности состояний различных акций. — 2025. — Режим доступа:

https://msm-article-eaa89f.gitlab.io/ (дата обращения: 2025-07-13).

Электронный ресурс.

[77] Wold S., Esbensen K., Geladi P. Principal component analysis // Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems. — 1987. — Vol. 2, no. 1. — P. 37-52.

[78] Abdi H., Williams L. Principal Component Analysis // Wiley Interdisciplinary Reviews: Computational Statistics. — 2010. — Vol. 2. — P. 433-459.

[79] Akaike H. A new look at the statistical model identification // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1974. — Vol. 19, no. 6. — P. 716-723.

[80] Anderson T.W., Darling D.A. Asymptotic Theory of Certain "Goodness of Fit" Criteria Based on Stochastic Processes // Annals of Mathematical Statistics. —1952. —Vol. 23, no. 2. —P. 193-212.

[81] Scikit-learn Developers. sklearn.modeLselection.RandomizedSearchCV. — 2025. — Access mode: https://scikit-learn.org/stable/modules/ generated/sklearn.model_selection.RandomizedSearchCV.html (online; accessed: 2025-08-19). Online resource.

[82] Peng Y., Albuquerque P., Nascimento I., Machado J. Between Nonlinearities, Complexity, and Noises: An Application on Portfolio Selection Using Kernel Principal Component Analysis // Entropy. — 2019. — Vol. 21, no. 4. — P. 376.

[83] Diamond S., Boyd S. CVXPY: A Python-embedded modeling language for convex optimization // Journal of Machine Learning Research. — 2016. — Vol. 17, no. 83. —P. 1-5.

[84] Weston J., Scholkopf B., Bakir G. Learning to Find Pre-Images // Advances in Neural Information Processing Systems / ed. by S. Thrun, L. Saul, B. Scholkopf. — MIT Press. — 2003. — Vol. 16.

[85] SciPy Developers. scipy optimize. — 2025. — Access mode: https: //docs.scipy.org/doc/scipy/tutorial/optimize.html (online; accessed: 2025-06-30). Online resource.

[86] Drenovak M., Rankovic V. Markowitz portfolio rebalancing with turnover monitoring // Economic Horizons. — 2014. — Vol. 16, no. 3. — P. 207-217.

[87] Scikit-learn Developers. sklearn.modeLselection.TimeSeriesSplit. — 2025.— Access mode: https://scikit-learn.org/stable/modules/generated/ sklearn.model_selection.TimeSeriesSplit.html (online; accessed: 2025-07-20). Online resource.

[88] Полозов Д.С., Куликов А.В., Волков Н.В. Интерактивный график результатов решения задачи Марковица. — 2025. — Режим доступа: https://disk.yandex.ru/d/5nF7RiXKIWp1ig (дата обращения: 2025-08-17). Электронный ресурс.