Оценка состояний, длительности мертвого времени и параметров распределения в обобщенном MAP-потоке событий с произвольным числом состояний тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Кеба Анастасия Владимировна

• Кеба Анастасия Владимировна
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Кеба Анастасия Владимировна

Введение

1 Математическая модель обобщенного MAP-потока событий с произвольным числом состояний, функционирующего в стационарном режиме

1.1 Математическое описание потока в условиях полной наблюдаемости____

1.2 Математическое описание потока в условиях мертвого времени фиксированной длительности

1.3 Основные свойства потока событий

1.4 Матрицы инфинитезимальных характеристик сопровождающего процесса

1.5 Априорные вероятности состояний сопровождающего процесса

1.6 Выводы и результаты по первой главе

2 Оптимальное оценивание состояний потока и оценивание параметров распределения в потоке в условиях полной наблюдаемости

2.1 Оптимальная оценка состояний потока событий с произвольным числом состояний

2.1.1 Вывод рекуррентных соотношений для апостериорных вероятностей состояний

2.1.2 Вывод системы дифференциальных уравнений для апостериорных вероятностей состояний

2.1.3 Явный вид апостериорных вероятностей

2.1.4 Алгоритм оптимального оценивания состояний потока событий

2.2 Оценка параметров плотности вероятности длительности интервала между соседними событиями в обобщенном MAP-потоке с двумя состояниями

2.2.1 Плотность вероятности длительности интервала между соседними событиями в обобщенном MAP-потоке

2.2.2 Вероятностные характеристики потока

2.2.3 Оценка параметров методом моментов

2.3 Выводы и результаты по второй главе

3 Оптимальное оценивание состояний потока и оценивание длительности мертвого времени в потоке в условиях неполной наблюдаемости

3.1 Оптимальная оценка состояний потока с конечным числом состояний

при наличии мертвого времени

3.1.1 Исходные предпосылки для вывода апостериорной вероятности

в условиях мертвого времени

3.1.2 Апостериорные вероятности на интервалах наблюдаемости и ненаблюдаемости потока

3.1.3 Алгоритм оптимального оценивания состояний сопровождающего процесса

3.2 Оценка длительности мертвого времени в коррелированном потоке с двумя состояниями

3.2.1 Одномерная плотность вероятности

3.2.2 Вероятностные характеристики наблюдаемого потока

3.2.3 Среднее число потерянных событий в потоке

3.2.4 Оценка длительности периода ненаблюдаемости методом моментов - ММ-оценка

3.3 Оценка длительности мертвого времени в рекуррентном потоке с двумя состояниями

3.3.1 Совместная плотность вероятности длительностей двух смежных интервалов

3.3.2 Условия рекуррентности наблюдаемого потока

3.3.3 Вероятностные характеристики потока

3.3.4 Оценка длительности мертвого времени методом максимального правдоподобия - МП-оценка

3.4 Выводы и результаты по третьей главе

4 Результаты численных экспериментов на имитационной модели обобщенного МАР-потока событий с произвольным числом состояний

4.1 Работоспособность модели

4.2 Оценка состояний наблюдаемого потока

4.3 Оценка параметров плотности распределения вероятности

4.4 Оценка длительности мертвого времени

4.4.1 Случай коррелированного задания потока

4.4.2 Случай рекуррентного задания потока

4.5 Выводы и результаты по четвертой главе

Заключение

Список использованной литературы

Приложение А Имитационная модель потока

Приложение Б Акт о внедрении результатов диссертации в учебный процесс Национального исследовательского Томского государственного

университета

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценка состояний, длительности мертвого времени и параметров распределения в обобщенном MAP-потоке событий с произвольным числом состояний»

Введение

Актуальность темы исследования. Современный этап развития науки и техники характеризуется стремительным прогрессом вычислительных технологий и широким внедрением инновационных решений в сфере информационно-коммуникационных систем. Эти изменения обусловили необходимость пересмотра и расширения традиционных подходов к моделированию и анализу систем массового обслуживания (СМО), заложенных еще в начале XX века трудами А. Эрланга [122, 123]. Постепенно подобные задачи, связанные с обслуживанием заявок, проектированием сетей и управлением трафиком, начали активно возникать в различных областях, включая телекоммуникации, автоматизированные системы управления, компьютерные и информационно-вычислительные сети. Это способствовало активному развитию теории массового обслуживания (ТМО), также известной как теория очередей (queueing theory), занимающейся исследованием СМО с целью моделирования и анализа реальных прикладных систем.

Построение математических моделей ТМО, реализуемых через различные структуры СМО, базируется на исследовании поведения реальных объектов и процессов. Теоретическая база ТМО подробно изложена в трудах как отечественных [2, 5, 10-12, 22, 24, 25, 42-44, 62, 70, 71, 97-100], так и зарубежных ученых [58-61, 63, 64, 87, 89, 115, 117, 118, 121, 124, 133, 139, 140, 149, 151-153, 157, 158]. Дальнейшее развитие теории, в том числе через совершенствование математического аппарата и внедрение методов статистического моделирования на ЭВМ, способствовало появлению новых моделей, адекватно описывающих усложненные структуры современных цифровых и телекоммуникационных систем.

Особый интерес в последние десятилетия вызывают дважды стохастические потоки событий [6, 7, 39, 107, 116, 134, 136, 138, 143, 160], интенсивность которых является случайным процессом, а моменты наступления событий являются случайными, что и обуславливает двойную стохастику в наименовании. Эти потоки применимы в качестве входных потоков для СМО [23, 26, 73, 76, 108, 131, 143, 154] и обладают высокой гибкостью в моделировании реальных информационных

потоков, например, в цифровых сетях интегрального обслуживания (ЦСИО), в компьютерных и беспроводных сетях, при анализе трафика в Ethernet-сетях [74,120], а также в биофизике [109, 112], экономике [66, 113, 114] и управлении запасами [137]. Их практическая значимость подтверждается исследованиями по оценке производительности телекоммуникационных систем, моделированию трафика и оптимизации работы информационно-вычислительных сетей [20].

Класс дважды стохастических потоков событий включает в себя два основных типа математических моделей: потоки с непрерывной функцией интенсивности [106, 115, 116, 134] и потоки с кусочно-постоянной интенсивностью [138, 144], задаваемой случайным процессом с конечным числом состояний. Потоки второго типа были впервые представлены научному сообществу практически одновременно в 1979 году в статьях [6, 7, 144]. В работах [6, 7] такие потоки получили название MC-потоков (Markov Chain), а в [144] - MVP-потоков (Markov Versatile Processes).

Наибольшее практическое значение, особенно в контексте моделирования телекоммуникационных систем, имеют именно MC-потоки, обладающие ступенчатой функцией интенсивности. Согласно многочисленным исследованиям [119, 130, 150], такие потоки наиболее адекватно описывают поведение реальных трафиков, например, в широкополосных беспроводных сетях вдоль транспортных магистралей [8, 19, 39, 40, 90, 136].

В зависимости от механизма смены состояний сопровождающего процесса MC-потоки классифицируются на три типа:

1) синхронные потоки, в которых переходы между состояниями происходят в те же моменты времени, когда наступают события [14, 28];

2) aсинхронные потоки, где смена состояний осуществляется независимо от моментов появления событий [17, 31, 128];

3) полусинхронные потоки, сочетающие признаки первых двух типов - для одних состояний применим механизм синхронности, для других - асинхронности [30].

Обобщенная классификация MC-потоков и их расширение на MAP-потоки (Markovian Arrival Process) подробно рассмотрена в работах [16, 33]. В частности,

в [33] предложено деление МАР-потоков на потоки первого порядка, у которых смена состояний определяется одной случайной величиной, и второго порядка -с двумя независимыми случайными величинами, что делает модель более гибкой, но и существенно сложнее в аналитическом и численном исследовании. Среди МАР-потоков первого порядка выделяют синхронные и обобщенные МАР-потоки [129, 150]; ко второму порядку относятся модулированные МАР-потоки [77, 145], обобщенные асинхронные потоки [31, 128, 147], а также обобщенные полусинхронные модели [3, 45]. Сравнительный анализ МАР-потоков, а также их соотношение с синхронными, асинхронными и полусинхронными потоками подробно рассматривается в [16], а наиболее полная библиография по этой тематике представлена в [33].

В реальных условиях функционирования систем параметры входящих потоков событий не наблюдаются - доступны лишь моменты наступления событий (запросов, сообщений). Сопровождающий случайный процесс дважды стохастического потока событий, представляет собой скрытую, т.е. ненаблюдаемую, компоненту модели, характеризующуюся конечным или счетным множеством состояний и набором параметров. Ввиду этого с целью управления обслуживанием такого потока событий и решения задачи адаптации реальной системы по отношению к такому потоку особую актуальность приобретают задачи оценивания в режиме реального времени как состояний сопровождающего процесса [9, 31, 127], так и его параметров [15, 36, 125, 126, 159], включая возможное мертвое время [18, 29, 35, 37, 45, 82] - интервал, в течение которого система временно утрачивает способность регистрировать события. Поскольку наблюдению подлежат только моменты наступления событий, решение указанных задач базируется исключительно на анализе моментов времени этих наблюдений. Особую ценность в таких условиях представляют модели дважды стохастических потоков событий с конечным числом состояний и возможностью частичной или полной наблюдаемости, которые обеспечивают необходимую гибкость для описания и анализа сложных информационных потоков в реальных системах.

В совокупности все вышеперечисленное подтверждает высокую степень актуальности темы диссертационного исследования. Оно развивает теоретические

и прикладные аспекты моделирования входных потоков в современных информационных системах, в условиях высокой сложности и неопределенности.

Степень разработанности темы исследования. Класс дважды стохастических потоков событий - важное направление в развитии ТМО, активно изучаемое с середины XX века. Первые исследования в этой области были инициированы работами Д. Кокса (1955 г.) [116], Дж. Кингмена (1964 г.) [134] и М. Бартлетта [106], в которых рассматривался поток с интенсивностью в виде непрерывного случайного процесса. Такая модель известна как процесс Кокса или дважды стохастический пуассоновский процесс. Позднее, в 1979 году, Г. П. Башарин, В. А. Кокотушкин, В. А. Наумов [6, 7] и М. Ньютс [144] независимо друг от друга представили модели потоков с кусочно-постоянной интенсивностью, положив начало систематическому изучению MC- и MAP-потоков.

На сегодняшний день наибольшее внимание исследователей привлекают MAP-потоки, в которых интенсивность потока является скрытым марковским процессом с конечным числом состояний. Эти модели, особенно в виде BMAP (batch MAP) [91, 135, 156] и их модификаций, активно применяются для описания информационных потоков в телекоммуникационных, беспроводных и компьютерных сетях, включая задачи моделирования широкополосных сетей вдоль транспортных магистралей, систем передачи данных и распределенных вычислительных структур.

В научной литературе имеется, вероятно, единственная монография [21], где в систематизированном виде изложена теория очередей с дважды стохастическими (коррелированными) потоками сообщений применительно к телекоммуникационным сетям. Следует заметить, что изложенная в [21] теория и ее применение в телекоммуникационных сетях рассмотрены без искажающих факторов, оказывающих воздействие на входящий дважды стохастический поток сообщений.

Одним из ключевых факторов, искажающих информацию о потоке, выступает мертвое время - период, в течение которого система неспособна регистрировать новые события потока вследствие обработки зарегистрированного события (период ненаблюдаемости потока) [1, 148]. Это явление характерно для многих

реальных устройств - от счетчиков ядерного излучения (например, счетчик Гейгера-Мюллера) до узлов компьютерных сетей, реализующих протоколы с множественным случайным доступом, таких как CSMA/CD. В момент регистрации (обнаружения) конфликта в ходе некоторого узла сети по сети рассылается сигнал «заглушки»; в течение времени рассылки сигнала запросы, поступившие в данный узел сети, получат отказ в обслуживании. Время, в течение которого узел сети закрыт для обслуживания запросов, поступивших в него после обнаружения конфликта, можно трактовать как мертвое время прибора, регистрирующего конфликт в узле сети. Мертвое время может быть фиксированным [29, 82] или случайным [38, 41, 83], продлевающимся [30], когда наступившее в период ненаблюдаемости событие продлевает период длительности мертвого времени, либо непродлевающимся [29, 34].

Очевидно, что увеличение продолжительности периода ненаблюдаемости за счет наличия мертвого времени приводит к росту объема утраченной информации и существенно влияет на точность оценок состояний и параметров потока. Поэтому задача оценки длительности мертвого времени приобретает особую значимость, поскольку позволяет количественно определить возможные потери полезной информации о потоке событий.

Большой вклад в развитие ТМО, теории дважды стохастических потоков, а также в исследование СМО с входящими дважды стохастическими потоками событий внесли российские и зарубежные ученые, принадлежащие к различным научным школам: Г П. Башарин [6-8, 107], В. М. Вишневский [19-21, 160], А. М. Горцев, Л. А. Нежельская [26-38, 77-85, 125-129, 145-147], А. Н. Дудин [40, 39, 120], В. И. Клименок [136], В. А. Ивницкий [42, 43], Ю. В. Малинковский [67, 69], Г. А. Медведев [71, 72], А. З. Меликов [141, 142], А. А. Назаров, А. Ф. Терпугов [73, 74], К. Е. Самуйлов, Ю. В. Гайдамака [90, 155], Г. Ш. Цициашвили [101-103], Д. Лукантони [138], М. Ньютс [143, 144], Banik [105], Best [109], Breuer [110], Centanni [114], Normey-Rico[148].

В Томской научной школе, посвященной теории дважды стохастических потоков событий, под руководством А. М. Горцева и Л. А. Нежельской проводились и проводятся исследования и разработки различных подходов к решению задач,

связанных с исследованием математических моделей дважды стохастических потоков событий, функционирующих в различных условиях. В этом процессе приняли участие молодые ученые, такие как М. А. Бахолдина [4], А. А. Соловьев [94], Е. Ф. Сидорова [92], Д. Тумашкина [95] и А. А. Першина [86], чьи исследования способствовали обогащению теории дважды стохастических потоков событий.

Тем не менее, несмотря на обширную научную литературу в исследуемой области, ряд аспектов остается недостаточно изученным. В частности, разнообразие современных информационных потоков, генерируемых цифровыми системами, требует построения новых математических моделей, способных адекватно отражать сложные корреляционные и структурные свойства данных потоков.

В настоящей диссертационной работе впервые исследуется обобщенный МАР-поток событий с произвольным (конечным) числом состояний. Исследование проводится как в условиях полной наблюдаемости потока, так и в условиях его частичной наблюдаемости (при наличии непродлевающегося мертвого времени фиксированной длительности), что делает модель более реалистичной. В работе решаются задачи:

1) оценки состояний потока по методу максимума апостериорной вероятности, обеспечивающему минимум безусловной вероятности вынесения ошибочного решения;

2) оценивания параметров распределения длительности интервалов между соседними событиями и длительности мертвого времени с использованием метода моментов, обеспечивающего устойчивость оценок при больших выборках, и метода максимального правдоподобия.

Отличие рассматриваемого в диссертации обобщенного МАР-потока событий от потоков, рассмотренных в перечисленных работах молодых ученых Томской школы теории дважды стохастических потоков, в том, что:

— в данной диссертации рассматривается поток с произвольным числом состояний, а не с фиксированным равным двум;

— различны случайные механизмы переключения состояний (что отличает математические модели друг от друга);

— различные модели случайного времени (в данной диссертации мертвое время является детерминированной величиной, а, например, в работе А. А. Першиной мертвое время - случайная величина).

Результаты, полученные с помощью имитационного моделирования, демонстрируют корректность предложенных подходов и практическую применимость разработанных алгоритмов. Исследование вносит вклад в дальнейшее развитие теории дважды стохастических потоков событий, расширяет арсенал математических моделей, применяемых при проектировании, анализе и оптимизации современных информационно-телекоммуникационных систем и является актуальным.

Цель и задачи исследования. Целью настоящего исследования является аналитическое и численное изучение обобщенного МАР-потока событий с произвольным (конечным) числом состояний, функционирующего в условиях как полной, так и частичной наблюдаемости с учетом наличия искажающего фактора в виде мертвого времени.

В соответствии с поставленной целью в диссертационной работе решены следующие задачи:

1) построение математической модели обобщенного МАР-потока событий с произвольным (конечным) числом состояний, описывающей его поведение как при полной, так и при частичной наблюдаемости (при наличии непродлевающегося мертвого времени фиксированной длительности);

2) разработка алгоритмов оптимального оценивания состояний потока на основе критерия максимума апостериорной вероятности при различных режимах наблюдаемости (полной и частичной);

3) оценивание параметров плотности вероятности длительности интервалов между соседними событиями в коррелированном потоке в условиях полной наблюдаемости с использованием метода моментов;

4) построение алгоритмов оценивания длительности непродлевающегося мертвого времени в коррелированном и рекуррентном потоках событий методом моментов;

5) построение алгоритма оценивания длительности непродлевающегося мертвого времени в рекуррентном потоке событий методом максимального правдоподобия;

6) построение имитационной модели обобщенного МАР-потока событий с произвольным (конечным) числом состояний, учитывающей наличие или отсутствие мертвого времени фиксированной длительности;

7) программная реализация разработанных алгоритмов и проведение статистических экспериментов на имитационной модели потока для определения точности и качества оценивания состояний, параметров плотности распределения вероятностей длительности интервалов между соседними событиями и длительности мертвого времени.

Решение указанных задач направлено на расширение возможностей моделирования, анализа и управления сложными информационными потоками в современных телекоммуникационных и вычислительных системах.

Научная новизна исследования. Научная новизна диссертационной работы состоит в разработке и комплексном исследовании новой математической модели дважды стохастического потока событий - обобщенного МАР-потока событий с произвольным (конечным) числом состояний, функционирующего в стационарном режиме в условиях полной и частичной наблюдаемости. В рамках исследования впервые решен ряд задач, имеющих важное значение для теории и практики анализа случайных потоков:

1) впервые построена математическая модель обобщенного МАР-потока событий с произвольным (конечным) числом состояний, функционирующего как в условиях полной наблюдаемости, так и в условиях частичной наблюдаемости с учетом непродлевающегося мертвого времени фиксированной длительности,

что расширяет класс математических моделей дважды стохастических потоков, являющихся адекватными моделями реальных случайных потоков событий (сообщений, запросов), входящих в СМО;

2) разработаны алгоритмы оптимального оценивания состояний данного потока на основе критерия максимума апостериорной вероятности для обоих режимов наблюдаемости (полной и частичной), что позволяет адекватно реагировать на изменение интенсивности входящего потока (изменять режимы работы системы обслуживания в зависимости от того или иного состояния обобщенного МАР-потока);

3) построен алгоритм оценки параметров плотности вероятности длительности интервалов между соседними событиями в коррелированном потоке (на основе метода моментов), что способствует решению задачи адаптации реальной системы к такому входящему потоку;

4) разработаны алгоритмы оценки длительности мертвого времени как в коррелированном, так и в рекуррентном потоке (на основе метода моментов и метода максимального правдоподобия), что позволяет рассчитать среднее количество потерянных событий в потоке.

Полученные результаты дополняют существующую теорию дважды стохастических потоков событий, особенно в части моделирования и анализа потоков с усложненной структурой.

Теоретическая и практическая значимость диссертации. Результаты диссертационного исследования вносят весомый вклад в развитие теории дважды стохастических потоков событий, расширяя как сам класс этих потоков, так и спектр математических моделей, применимых для описания входящих потоков в СМО. В работе впервые аналитически решены задачи оптимального оценивания состояний потока, параметров распределения вероятностей длительности интервалов между соседними событиями, как в условиях полной, так и частичной наблюдаемости потока, а также длительности мертвого времени для обобщенного

MAP-потока событий с произвольным (конечным) числом состояний (для случая коррелированного и рекуррентного задания потока).

С практической точки зрения разработанные алгоритмы могут быть применены при анализе функционирования реальных СМО, а также при проектировании телекоммуникационных, вычислительных и компьютерных сетей, где требуется учет свойств входящих информационных потоков, включая наличие мертвого времени. Математический аппарат, созданный в рамках диссертационного исследования, может использоваться для адаптации существующих математических моделей и новой предложенной модели дважды стохастического потока событий к более сложным типам трафика, а также при обработке экспериментальных данных, особенно в задачах, связанных с регистрацией дискретных событий, где имеет место мертвое время измерительных приборов.

Научные результаты исследования нашли применение в учебном процессе Института прикладной математики и компьютерных наук Национального исследовательского Томского государственного университета. Они используются в преподавании таких дисциплин, как: «Имитационное моделирование» (для студентов 4 курса бакалавриата, 01.03.02 Прикладная математика и информатика), «Оценка состояний дважды стохастических потоков событий», «Оценка параметров дважды стохастических потоков событий» (для магистрантов 2-го года обучения, 01.04.02 Прикладная математика и информатика).

Методы исследования. Методологическую основу диссертационного исследования составляет широкий класс математических и современных вычислительных подходов. В работе использовались методы теории вероятностей и случайных процессов, в том числе марковских, теория массового обслуживания, математическая статистика, теория дифференциальных уравнений, математический анализ, линейная алгебра, а также методы оптимальных статистических решений.

Для численной реализации поставленных задач применялось имитационное моделирование, выполненное с использованием объектно-ориентированного языка программирования C# в интегрированной среде Microsoft Visual Studio. Разработана программная система с графическим пользовательским интерфейсом (GUI), на основе которой проводились статистические эксперименты. В основу программы,

реализующей все разработанные алгоритмы оценивания, положена имитационная модель обобщенного МАР-потока событий с произвольным (конечным) числом состояний, функционирующего как в условиях полной наблюдаемости, так и при наличии непродлевающегося мертвого времени фиксированной длительности.

Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие результаты исследования для обобщенного МАР-потока событий с произвольным (конечным) числом состояний, рассматриваемого в стационарном режиме в условиях доступности наблюдению всех его событий (полной наблюдаемости):

1) математическая модель обобщенного МАР-потока событий;

2) алгоритм оптимальной оценки состояний потока в произвольный момент времени, основанный на критерии максимума апостериорной вероятности;

3) алгоритм расчета оценки безусловной вероятности вынесения ошибочного решения о состоянии потока и ее выборочной дисперсии;

4) алгоритм оценки параметров плотности вероятности значений длительности интервала между соседними событиями, основанный на методе моментов;

5) численные результаты статистических экспериментов по установлению качества оценивания состояний и параметров плотности вероятности.

Для обобщенного МАР-потока событий с произвольным (конечным) числом состояний, рассматриваемого в условиях его частичной наблюдаемости:

1) математическая модель коррелированного (и рекуррентного) обобщенного МАР-потока событий;

2) алгоритм оптимальной оценки состояний потока в произвольный момент времени по наблюдениям за моментами наступления событий в наблюдаемом потоке, основанный на критерии максимума апостериорной вероятности;

3) алгоритм расчета оценки безусловной вероятности вынесения ошибочного решения о состоянии потока и ее выборочной дисперсии;

4) алгоритмы оценки длительности непродлевающегося мертвого времени в коррелированном и рекуррентном потоках, основанные на методе моментов, с использованием явных видов одномерной плотности вероятности значений длительности интервала и совместной плотности вероятности значений длительностей смежных интервалов между соседними событиями в наблюдаемом потоке;

5) алгоритм оценки длительности непродлевающегося мертвого времени в рекуррентном потоке методом максимального правдоподобия с использованием явных видов плотности вероятности значений длительности интервала и совместной плотности вероятности значений длительностей смежных интервалов между соседними событиями в наблюдаемом потоке;

6) численные результаты статистических экспериментов по установлению качества оценивания состояний наблюдаемого потока и длительности непродлевающегося мертвого времени.

Достоверность результатов исследования. Достоверность полученных результатов обеспечивается строгим математическим подходом, корректным применением теоретических методов и надежностью используемых алгоритмов расчетов. Аналитические выводы подтверждаются не только внутренней согласованностью полученных явных формул при решении задач оценивания, но и их соответствием известным результатам для моделей дважды стохастических потоков событий, что демонстрирует непротиворечивость разработанной теории с ранее полученными данными.

Кроме того, надежность и достоверность результатов исследования подтверждается широким спектром статистических экспериментов, проведенных с применением разработанной имитационной модели исследуемого обобщенного MAP-потока событий с произвольным (конечным) числом состояний. Модель, разработанная на языке программирования C# в среде Visual Studio, позволяет изучать поведение потока как при полной, так и при частичной наблюдаемости (при наличии непродлевающегося мертвого времени фиксированной длительности).

Согласованность численных результатов с физическими представлениями о предмете исследования дополнительно свидетельствует о высоком уровне достоверности полученных результатов.

Апробация результатов исследования. Ключевые положения и результаты, полученные в ходе выполнения диссертационной работы, были представлены и обсуждены на ряде научных конференций и семинаров:

1) VI Международная молодежная научная конференция «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем», г Томск, 24-26 мая 2018 г.;

2) VII Международная молодежная научная конференция «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем», г Томск, 23-25 мая 2019 г.;

3) VIII Международная молодежная научная конференция «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем», г Томск, 26-30 мая 2020 г;

4) XIII Российская конференция с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур», г. Томск, 7-9 сентября 2020 г.;

5) IX Международная молодежная научная конференция «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем», г Томск, 26-28 мая 2022 г;

6) XIV Российская конференция с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур», п. Листвянка Иркутской обл., 19-24 сентября 2022 г.;

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кеба Анастасия Владимировна, 2025 год

— -

- ! 1 — — •••

— —

ГI г2 ¡1 г< г6 Г. г8 г, гп г12 г13 г2

Рисунок 4.17 - Траектория процесса Л(Ь)

На рисунке 4.18 приведена траектория поведения оценки Л(Ь), где Л1, Л2, Л3 - состояния оценки Л(Ь). Вынесение решения о состоянии процесса Л(Ь) производилось с шагом АЬ = 0,001. Штриховкой на оси времени на рисунке 4.18 отмечены области принятия ошибочного решения, когда значение оценки Л(Ь) не совпадает с истинным значением процесса Л(Ь).

г» : ! ! | 1 • —.

• • • | ■ 1 | 1 1 1 ; 1 1 : ; : • I 1 < • 1 • 1 « 1 I 1 | | I 1 • : : ; • * >

Рисунок 4.18 - Траектория оценки Л(Ь)

На рисунках 4.19-4.21 продемонстрированы траектории поведения апостериорных вероятностей w(Л1 \Ь), w(Л2 \Ь), w(Л3 \Ь) состояний 81, Б2, Б3 процесса Л(Ь) соответственно, графические реализации которых получены с помощью имитационного моделирования последовательности наблюдаемых

моментов времени наступления событий £1, £2, ... . При этом в любой момент

3

времени £, £0 < £ < Тт, выполняется условие нормировки Е \£) = 1.

г=1

1.0 0.(6) 0.(3)

А

Рисунок 4.19 - Траектория апостериорной вероятности w(Л1 \£)

Рисунок 4.20 - Траектория апостериорной вероятности w(Л2 \£)

Рисунок 4.21 - Траектория апостериорной вероятности w(Л3 \£)

Отметим, что функция апостериорной вероятности в момент наступления событий терпит разрыв первого рода.

Эксперимент 6. Фиксируются число состояний п = 3, количество опытов N = 100, значения Л1 = 16, Л2 = 9, Л3 = 5 процесса Л(£) и переходные вероятности, приведенные в таблице 4.11. При этом время моделирования

Тт Е {100, 200, ... , 1000}. Цель эксперимента 6 заключается в установлении стационарного режима.

В таблице 4.12 и на рисунке 4.22 при заданных параметрах потока устанавливается зависимость между временем моделирования Тт и Рош и Гс

Таблица 4.12 — Результаты эксперимента 6

'ош-

Т т 100 200 300 400 1000

) 1 ош Гош Х 103 0,417696 0,370405 0,422749 0,150085 0,421239 0,097438 0,423008 0,077143 0,423523 0,034281

На рисунке 4.22 по оси абсцисс отложено время моделирования Тт, по оси ординат - оценка вероятности ошибочно принятого решения Рош. Из приведенного графика видно, что стационарный режим устанавливается при времени моделирования Тт > 500 ед. времени, поэтому для дальнейших исследований время моделирования положим Тт = 1000 ед. времени.

Значение длительности времени моделирования Рисунок 4.22 - График зависимости Рош от значения Тт

Эксперимент 7. Фиксируются число состояний п = 3, значение времени моделирования Тт = 1000 ед. времени, количество опытов N = 100 и переходные вероятности потока, заданные в таблице 4.13. Стоит отметить, что в данном эксперименте вероятности Р0(А3 \\), Р\(А^ \\Г1), г^ = 1,3, задаются следующим образом: увеличиваются вероятности наступления событий при переходе процесса

А(£) из состояния в состояние Б{, г = 1,3, тем самым процесс А(£) становится

интенсивным в каждом из своих трех состояний, значительно уменьшаются значения вероятностей ненаступления событий.

Таблица 4.13 — Значения переходных вероятностей для эксперимента 7, п = 3

Ро(Ах Ах) = 0,02 Ро(Ах А2) = 0,02 Ро(Ах Аз) = 0,02

Ро(А2 Ах) = 0,02 Ро(А2 А2) = 0,02 Ро(А2 Аз) = 0,02

Ро(Аз Ах) = 0,02 Ро(Аз А2) = 0,02 Ро(Аз Аз) = 0,02

Рх(Ах Ах) = 0,70 Рх(Ах А2) = 0,12 Рх(Ах Аз) = 0,12

Рх(А2 Ах) = 0,12 Рх(А2 А2) = 0,70 Рх(А2 Аз) = 0,12

Рх(Аз Ах) = 0,12 Рх(Аз А2) = 0,12 Рх(Аз Аз) = 0,70

В рамках данного эксперимента рассматривается три случая задания значений состояний процесса А(£). В таблице 4.14 приведены величины оценок Рош и Г)ош в зависимости от значений А^, г = 1,3.

Таблица 4.14 — Результаты эксперимента 7

значения процесса А(£) А 1 ош Рош х 10з

Ах = 5, А2 = 2, Аз = 1 Ах = 10, А2 = 3, Аз = 1 Ах = 21, А2 = 10, Аз = 1 0,30701 0,18147 0,06535 0,10933 0,05049 0,00982

Представленные численные результаты таблицы 4.14 свидетельствуют о том, что оценивание тем лучше, чем состояния процесса А(£) более различимы, т.е. обеспечивается лучшее (в смысле малости оценки вероятности ошибочно принятого решения) качество оценивания состояний потока событий.

2) Рассмотрим результаты оценивания состояний потока при его частичной наблюдаемости (Т = 0).

Для числа состояний п = 3, времени моделирования Тт = 10 ед. времени, длительности мертвого времени Т = 0,27, значений Ах = 16, А2 = 9, Аз = 5 процесса А(£) и переходных вероятностей, приведенных в таблице 4.11, проведены расчеты нахождения оценки А(£) процесса А(£).

В качестве иллюстрации на рисунке 4.23 приведена истинная реализация случайного процесса А(£), полученная путем имитационного моделирования; Ах, А2, Аз - значения процесса А(£), £х, Ь2, ... - моменты времени наступления событий

наблюдаемого потока. На первой временной оси кружочками отмечены моменты наступления событий исходного потока, на второй временной оси штриховкой обозначены периоды мертвого времени длительности Т, где черными кружочками обозначены ненаблюдаемые события исходного потока, на третьей временной оси -наблюдаемый поток.

Рисунок 4.23 - Траектория процесса А(Ь)

На рисунке 4.24 приведена траектория поведения оценки А(Ь), где Аь А2, А3 -значения оценки А(Ь). Вынесение решения о состоянии процесса А(Ь) производилось с шагом АЬ = 0,001. Штриховкой на оси времени отмечены области принятия ошибочного решения, когда значение оценки А(Ь) не совпадает с истинным значением процесса А(Ь).

Рисунок 4.24 - Траектория оценки А(Ь)

На рисунках 4.25-4.27 продемонстрированы траектории поведения апостериорных вероятностей и>(А1 \Ь), -ш(А2 \Ь), w(А3 \Ь) состояний Б1, Б2, процесса А(Ь). Вертикальные пунктирные линии соответствуют наблюдаемым

моментам времени наступления событий £1, £2, ••• В любой момент времени £,

3

£о < £ < Тт, выполняется условие Е w(Лi \£) = 1.

¿=1

Рисунок 4.25 - Траектория апостериорной вероятности w(Л1 \£)

Рисунок 4.26 - Траектория апостериорной вероятности w(Л2 \£)

Рисунок 4.27 - Траектория апостериорной вероятности w(Л3 \£)

Эксперимент 8. Фиксируются число состояний п = 3, количество опытов N = 100, значение длительности мертвого времени Т = 0,17 и переходные вероятности процесса Л(£), заданные в таблице 4.15.

Целью эксперимента является установление зависимости Рош и Рош от длительности времени моделированияТт, где Тт Е {100, 200, ••• , 1000}. Численные результаты восьмого статистического эксперимента продемонстрированы в таблице 4.16 и на рисунках 4.28 и 4.29.

Из графика зависимости Рош от значения Тт (рисунок 4.28) видно, что значение величины Рош с ростом времени моделирования практически не изменяется.

Таблица 4.15 — Значения переходных вероятностей для экспериментов 8 и 9

РЪСАх Лх) = 0,15 Ро(Лх Л2) = 0,09 Ро(Лх Лз) = 0,21

Ро(Л2 Ах) = 0,24 Ро(Л2 Л2) = 0,13 Ро(Л2 Л з) = 0,07

Ро(Лз Лх) = 0,12 Ро(Л з Л2) = 0,25 Ро(Л з Лз) = 0,15

Рх(Лх Лх) = 0,19 Рх(Лх Л2) = 0,16 Рх(Лх Лз) = 0,18

Рх(Л2 Лх) = 0,23 Рх(Л2 |Л2) = 0,23 Рх(Л2 |Л з) = 0,27

Рх(Лз Лх) = 0,07 Рх(Лз |Л2) = 0,14 Рх(Лз |Л з) = 0,12

Таблица 4.16 — Результаты эксперимента 8

Т т Лх = 10, Л2 = 5, Лз = 1 Лх = 15, Л2 = 7, Лз = 1 Лх = 20, Л2 = 10, Лз = 1

) 1 ош Гош X 10з ) Р ош Гош х 10з ) Р ош Гош х 10з

100 0,221677 0,124653 0,111047 0,053860 0,080622 0,053154

200 0,222842 0,073262 0,111634 0,037884 0,081597 0,021223

300 0,223427 0,037959 0,112130 0,020882 0,081153 0,014627

400 0,223023 0,024762 0,111765 0,015552 0,081211 0,010005

1000 0,224191 0,007012 0,112037 0,004407 0,081509 0,003198

Значение времени моделирования Рисунок 4.28 - График зависимости Рош от значения Тт

График зависимости Гош от значения Тт (рисунок 4.29) демонстрирует значительное убывание значений Гош с ростом значения Тт. Это означает, что отклонение доли ошибочных решений ) в р-м эксперименте от выборочного среднего Рош достаточно мало. Таким образом, с ростом значения времени моделирования Тт величина Рош сходится к истинной вероятности ошибки принятия

Рисунок 4.29 - График зависимости Лош от значения X,

решения Рош. Также стоит отметить, что чем больше различимы состояния процесса Л(£), тем меньше величина Рош и тем быстрее убывает величина Лош с ростом значения Хт.

Эксперимент 9. Фиксируются число состояний п = 3, количество опытов N = 100, значение времени моделирования Хт = 500 и переходные вероятности, представленные в таблице 4.15.

В данном эксперименте устанавливается зависимость Рош, Лош от длительности мертвого времени X, где X Е {0,1; 0,6; ... ; 4,6}. Результаты 9-го эксперимента представлены в таблице 4.17 и на рисунках 4.30 и 4.31.

Таблица 4.17 — Результаты эксперимента 9

X Лх = 10, Л2 = 5, АЗ = 1 Лх = 15, Л2 = 7, АЗ = 1 Лх = 20, Л2 = 10, Аз = 1

р 1 ош Гош х 103 р 1 ош Лш х 103 р 1ош Лош х 103

0,1 0,220668 0,022246 0,107824 0,008235 0,080381 0,005645

0,6 0,243161 0,062665 0,122340 0,022681 0,088786 0,012839

1,1 0,247258 0,073618 0,125029 0,027722 0,090372 0,015937

1,6 0,247955 0,098588 0,126855 0,032891 0,091913 0,020551

4,6 0,250198 0,110724 0,130280 0,033756 0,095226 0,016456

Численные результаты (таблица 4.17 и рисунок 4.30) свидетельствуют о том, что значение Рош растет с увеличением значения X, так как с увеличением длительности

Значение длительности мёртвого времени Г Рисунок 4.30 - График зависимости Рош от значения Т

мертвого времени общий период ненаблюдаемости увеличивается и Рош стремится к постоянной величине на основании того, что апостериорные вероятности w(Xi ),

г = 1,п, на участке ненаблюдаемости < Ь < + Т, к = 1, 2, ...) с ростом

Т стремятся к априорным вероятностям г = 1,п. Увеличение длительности Т приводит к уменьшению числа наблюдаемых событий и, как следствие, к снижению количества информации о потоке, что является базой для алгоритма принятия решения о значении процесса Х(Ь) в произвольный момент времени Ь.

Рисунок 4.31 - График зависимости Iош от значения Т

На графике зависимости IIош от значения Т (рисунок 4.31) продемонстрирован рост величин 1ош с ростом значения мертвого времени при 0,1 < Т < 1,6. При

Т > 1,6 можно наблюдать стабилизацию величины Iош в пределах некоторого постоянного значения отдельно для каждого из 3-х рассмотренных случаев значений процесса Л(£). Также стоит отметить, что чем больше различимы состояния потока Л(£), тем точнее оценивание в смысле малости значения Iош.

4.3 Оценка параметров плотности распределения вероятности

С целью получения численных результатов разработан алгоритм вычисления оценок )!, )2, ). На первом этапе расчета осуществляется имитационное моделирование обобщенного МАР-потока события с двумя состояниями

(приложение А) с тем, чтобы получить статистики С, I = 1,3, на основе выборки моментов времени наступления событий Ь1, ... , 1т . На втором этапе расчета вычисляются оценки )2, 7 по формулам (2.2.18), (2.2.19).

Для каждой реализации определены значения оценок ), V = 1,Ы, соответствующих параметров 0, на основании которых вычислены выборочное

Л . 1 N Л Л Л

среднее значение М()) = — Е 0^^ оценка смещения М)()) — 0

N у=1

0 = [г1, %2, 7}; ) = {)1, ¿2, Т}.

где

Эксперимент 10. Фиксируются число состояний п = 2, количество опытов N = 100, значения Л1 = 2, Л2 = 1 процесса Л(£) и переходные вероятности, представленные в таблице 4.18.

Таблица 4.18 — Значения переходных вероятностей для эксперимента 10

Ро(Л1 Л1) = 0,10 Ро(Л1 Л2) = 0,05

Л (О Л1) = 0,05 Л (О Л2) = 0,10

А(Л1 Л1) = 0,80 Р1(Л1 Л2) = 0,05

Р1(Л2 Л1) = 0,05 Р1(Л2 Л2) = 0,80

Целью данного эксперимента является отслеживание временного интервала установления стационарного режима функционирования обобщенного МАР-потока события с двумя состояниями путем установления зависимости М)()),

М()) — 0

от длительности времени моделирования Тт ед. времени, где

Тт Е {100, 200, ... , 1000}. Результаты десятого статистического эксперимента представлены в таблице 4.19 и на рисунках 4.32-4.34.

Таблица 4.19 — Результаты эксперимента 10

T J- m в

zi 0,8944 Z2 1,8055 Y = 0,5823

M(zi) M(zi) — zi M(Z2) M(Z2) — Z2 M(Z) M(Z) — Y

100 1,5079 0,6134 4,2102 2,4047 0,3737 0,2085

200 1,4024 0,5080 5,8124 4,0069 0,2741 0,3081

300 1,3175 0,4231 2,9713 1,1658 0,1935 0,3887

400 1,2660 0,3715 2,8707 1,0652 0,1521 0,4301

1000 1,3355 0,4411 2,6806 0,8751 0,1117 0,4706

i.6' '«¡Г i: i о о

О О о О о о о о

-0,8944

1

ft fi

0.65 ' im | 0.55 0.5 ■ ■of 0.45 ■ 0.4 ""t ft It 100 200 300 400 500 600 "00 $00 900 1000

о

О

О О о о о о

О о

O.J --—,—------>

100 200 300 100 500 (VOO 700 800 900 1000

Значение времени моделирования Т„,

Рисунок 4.32 - Графики зависимостей M(zi), M(zi) — zi

от значения Tm

Из анализа численных результатов, приведенных в таблице 4.19, следует, что имеет место смещение оценок относительно исходных значений оцениваемых параметров. Анализ представленных результатов эксперимента приводит к утверждению о зависимости получаемых оценок от времени моделирования, а именно: с увеличением значения Тт выборочные средние и оценки смещения стабилизируются при Тт > 400, что объясняется концепцией метода моментов.

6.3 f 5.3

" 4.3

-Ni

3.3 2.3 1.3

Zi = 1.8055

100 200 300 400 500 600 700 $00 900 1000

4.3 ф

, " 3.8 ' 3.3 1 2.8 2.3

* 1.8

? 13

0.8

0.3

О о

о о о о о о

100

200 300 100 500 600 700 800 900

Значение времени моделирования Тт

1000

Рисунок 4.33 - Графики зависимостей М(г2), М(г2) —

от значения

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 о

0.4? 0.4 0,35 0.3

0.25 ■ 0.2 0.15

Л У = 0,5823

О

о О

о О о о о О о

А 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

_Л_ _о_ О о

О 0 о V

О

О

О

—->

100 200 300 400 500 600 700 800 900

Значение времени моделирования Т„,

1000

Рисунок 4.34 - Графики зависимостей М(7), М(7) — 7

от значения Tm

Эксперимент 11. Фиксируются число состояний п = 2, количество опытов N = 100, значение времени моделирования Тт = 1000, значение А2 = 1 процесса А(£) и переходные вероятности, представленные в таблице 4.20.

Таблица 4.20 — Значения переходных вероятностей для эксперимента 11

PQ(AI Ai) = 0,25 Po(Ai A2) = 0,25

to Ai) = 0,25 to A2) = 0,25

Pi (Ai Ai) = 0,25 Pi (Ai A2) = 0,25

Pi(A2 Ai) = 0,25 Pi(A2 A2) = 0,25

В рамках эксперимента исследуются зависимости М($), М($) — 0 от изменения параметра Ль где А1 Е {2, 3, ... , 10}.

Результаты одиннадцатого статистического эксперимента представлены в таблице 4.21 и на рисунках 4.35-4.37.

Таблица 4.21 — Результаты эксперимента 11

Л1 2 3 4 5 10

¿1 0,6096 0,6339 0,6438 0,6492 0,6586

М(Х1) 2,1788 1,8743 1,8143 1,3173 0,5882

М(70 — ¿1 1,5692 1,2403 1,1704 0,668 0,0703

¿2 1,6503 2,366 3,1061 3,8507 7,5913

М7(г2) 3,6762 4,5476 5,6904 2,5113 1,4914

М7) — ¿2 2,0358 2,1816 2,5843 1,3394 6,0999

7 0,8638 0,7886 0,7538 0,7342 0,6983

М7(7) 3,7406 2,1419 1,9095 0,6146 -0,0434

М(7) — 7 2,8768 1,3533 1,1557 1,3489 0,7418

15 ^

<М 1.5 1

0,5

<14

10

—~ *> /К 11

I 1.5

1

0.5

3 4 5 6 7

Значение параметрах,

10

Рисунок 4.35 - Графики зависимостей ЛТ(г1), МТ(г1) — ¿1

от значения Л1

Результаты таблицы 4.21 указывают на то, что увеличение значений параметра А1 при выбранном наборе параметров влечет улучшение качества оценок ¿1,7 в смысле уменьшения значений смещения, что является вполне естественным, и ухудшения качества оценивания параметра 72. Это объясняется тем, что при сближении А1 и Л2 состояния процесса Л(£) менее различимы.

8 *

6

2 3 4 5 6 7 8'

Значение параметра Рисунок 4.36 - Графики зависимостей М(г2), М(г2) —

ю о

-1->

ю

от значения А1

4 *

о

10

_ 4 *

I 3

г"

1

2 3 4 5 6 7 8

Значение параметра X, Рисунок 4.37 - Графики зависимостей М(М), ММ"(7) — ^

ю

от значения А1

4.4 Оценка длительности мертвого времени

С целью получения численных результатов разработан алгоритм вычисления оценки Т, основанный на численном решении уравнения (3.2.7) для получения ММ-оценки Тмм и численном решении оптимизационной задачи (3.3.8) для получения МП-оценки Тмь. На первом этапе расчета осуществляется имитационное моделирование обобщенного МАР-потока событий с двумя состояниями с тем, чтобы получить выборку моментов времени наступления событий , ... , £т, т = 2, 3,..., в наблюдаемом потоке. На втором этапе расчета вычисляются значения Тмм и Тмь оценок Тмм и Тмь.

Уравнение моментов (3.2.7) решается численно методом простой итерации. При выбранных параметрах потока, как показывают результаты численных

экспериментов, приведенные в данном разделе, математическое ожидание Мт (т) есть возрастающая функция переменной (параметра) Т, Т > 0. Вследствие этого уравнение моментов (3.2.7) имеет единственное решение.

Для решения оптимизационной задачи (3.3.8) применяется метод простой итерации. Из результатов численных экспериментов данного раздела следует, что при выбранных параметрах рекуррентного потока функция правдоподобия Ь(Т\т(1),..., т(т-1)) переменной (параметра) Т, ттщ > Т, является возрастающей. Вследствие этого решение оптимизационной задачи (3.3.8) единственное.

Для каждой реализации найдены значения оценки ), V = , на основании

Л . 1 N л

которых вычислены выборочное среднее М(Т) = — ^ ) и выборочная вариация

N 1У=1

Л Л 1 N / Л \ 2 г Л

^(т) = N ^ (тМ - Т) , где Т(") е \Тми, Тмь\; Т - значение длительности мертвого времени, известное из имитационной модели; Т - оценки Тмм, ТМ1.

4.4.1 Случай коррелированного задания потока

В экспериментах 12-13 рассматривается случай коррелированного задания обобщенного МАР-потока событий. Приведенные результаты расчета оценки длительности мертвого времени Т получены методом моментов - ММ-оценка.

Эксперимент 12. Фиксируются число состояний п = 2, количество опытов (реализаций) N = 1000, длительность мертвого времени Т = 1 ед. времени, значения А1 = 25, Л2 = 10 процесса А(£) и переходные вероятности, представленные в таблице 4.22.

Таблица 4.22 — Значения переходных вероятностей для экспериментов 12 и 13

Ро(А1 А1) = 0,05 Ро(А1 \А2) = 0,05

А (О А1) = 0,05 Ро(А2 \А2) = 0,05

Р1(А1 А1) = 0,15 Р1(А1 А2) = 0,75

Р1(А2 А1) = 0,75 Р1(А2 А2) = 0,15

Целью данного эксперимента является нахождение временного интервала установления стационарного режима функционирования коррелированного

обобщенного MAP-потока события с двумя состояниями в условиях непродлевающегося мертвого времени фиксированной длительности, иными словами, установление зависимости M(TMM), V(TMM) от длительности времени моделирования Tm ед. времени, где Tm е {100, 200, ... , 1500}. Результаты статистического эксперимента 12 представлены в таблице 4.23 и на рисунке 4.38.

Таблица 4.23 — Результаты эксперимента 12

T ± m 100 200 300 400 ... 1500

М(Тмм) F(TMM) х 104 0,9445 29,8556 0,9497 24,3601 0,9515 22,6321 0,9523 21,8365 ... 0,9542 20,0202

Значения времени моделирования Рисунок 4.38 - Графики зависимостей М(Тмм), У(Тмм) от значения Т7

m

Из анализа численных результатов, приведенных на рисунке 4.38, следует, что выборочная вариация стремится к близкому к нулю числу, т.е. методика оценивания качественна и полученную оценку можно принимать за истинную с достаточно малой погрешностью. С увеличением значения Тт выборочные средние значения и выборочная вариация стабилизируются при Тт > 500, что объясняется концепцией метода моментов.

Эксперимент 13. Фиксируются число состояний п = 2, количество опытов N = 1000, значение времени моделирования Тт = 1000 ед. времени, значения А\ = 25, А2 = 10 и переходные вероятности, представленные в таблице 4.22.

В рамках эксперимента исследуются зависимости М(ТММ), У(ТММ) от изменения длительности мертвого времени Т, где Т е {0,5; 0,6; ... ; 1,9}. Результаты статистического эксперимента 13 представлены в таблице 4.24 и на рисунке 4.39.

Таблица 4.24 — Результаты эксперимента 13

Т 0,5 0,6 0,7 0,8 1,9

М(ТММ ) У(Тмм) х 104 0,4551 19,7215 0,5547 20,0124 0,6546 19,9936 0,7542 20,2736 1,8505 22,7099

Значения длительности мёртвого времен!

Рисунок 4.39 - График зависимости У(ТММ) от значения Т

Результаты таблицы 4.24 указывают на то, что увеличение длительности мертвого времени Т влечет увеличение выборочной вариации оценки. Это объясняется тем, что при увеличении значения Т увеличивается период ненаблюдаемости потока, что приводит к увеличению числа потерянных событий, и как следствие, к ухудшению качества оценивания. Оценки также получаются смещенными, о чем свидетельствуют полученные результаты для М(ТММ).

Замечание 4.1. В случае коррелированного задания обобщенного MAP-поmока событий говорить о состоятельности получаемых методом моментов оценок не представляется возможным [68, 104].

4.4.2 Случай рекуррентного задания потока

В экспериментах 14-16 рассматривается рекуррентный обобщенный МАР-поток событий (условие рекуррентности Р1(А1 \А1 )Р1(А2 \А2) — Р1 (А1 \А2 )Р1(А2 \А1) = 0 получено в подразделе 3.3.2) и проводится сравнение методов максимального

правдоподобия и метода моментов по качеству получаемых оценок длительности мертвого времени Т для заданного набора параметров Л^ Р0Л \Ai), \Л.1),

М = 1,2.

Оценка Тмь лучше, если V (тмь^ < V (гмм^, иначе лучше оценка Тмм.

Эксперимент 14. Фиксируются число состояний п = 2, количество опытов N = 1000, длительность мертвого времени Т = 1 ед. времени, значения Х\ = 25, Л2 = 10 процесса Л(£) и переходные вероятности (таблица 4.25).

Таблица 4.25 — Значения переходных вероятностей в рекуррентном потоке для экспериментов 14, 15 и 16

Ро(Л1 Л1) = 0,05 Ро(Л1 Л2) = 0,05

Л (О Л1) = 0,05 Л (О Л2) = 0,05

А(Л1 Л1) = 0,45 Р1(Л1 Л2) = 0,45

Р1(Л2 Л1) = 0,45 Р1(Л2 Л2) = 0,45

Целью данного эксперимента является нахождение временного интервала установления стационарного режима функционирования рекуррентного обобщенного МАР-потока события с двумя состояниями в условиях непродлевающегося мертвого времени фиксированной длительности посредством установления зависимостей М(Т), V(T) от длительности времени моделирования Тт ед. времени, где Тт е {100, 200, ... , 1500}.

Результаты статистического эксперимента 14 представлены в таблице 4.26 и на рисунке 4.40.

Таблица 4.26 — Результаты эксперимента 14

Т т ММ (Тмм) Vм (Тмм) X 104 М (Тмь) V(fмь) X 104

100 0,9451 29,1964 0,9954 0,4576

200 0,9504 23,7264 0,9952 0,4799

300 0,9521 22,0135 0,9954 0,4522

400 0,9529 21,2357 0,9955 0,4418

1500 0,9549 19,4513 0,9956 0,4368

Из анализа численных результатов, приведенных в таблице 4.26 и на рисунке 4.40, следует, что имеет место смещение оценок относительно исходного

Рисунок 4.40 - Графики зависимостей M(Tml), М(Тмм), V(Tml), V(Tmm) от

значения Tm

значения оцениваемого параметра T. Оценивание длительности мертвого времени методом максимального правдоподобия дает лучшие по сравнению с методом моментов результаты (в смысле выборочной вариации) вне зависимости от длительности времени моделирования. При этом выборочная вариация для каждой из предложенных оценок стремится к близкому к нулю значению, т.е. методика оценивания качественна и полученную оценку можно принимать за истинную с достаточно малой погрешностью. Стационарный режим устанавливается при Tm > 500 ед. времени.

Замечание 4.2. В случае рекуррентного задания обобщенного MAP-потока событий ММ-оценки являются состоятельными, так как последовательность т 1, ..., тm-i представляет собой взаимно независимые случайные величины, конечный теоретический момент MT (т) существует и уравнение моментов (3.2.7) имеет единственное решение [68].

Эксперимент 15. Фиксируются число состояний n = 2, количество опытов N = 1000, значение времени моделирования Tm = 1000 ед. времени, значения Х1 = 25, Х2 = 10 и переходные вероятности, представленные в таблице 4.25.

В рамках эксперимента исследуются зависимости М(Т), V(T) от изменения значения длительности мертвого времени T, где T е {1, 2, ... , 10}. Результаты статистического эксперимента 15 представлены в таблице 4.27 и на рисунке 4.41.

Результаты таблицы 4.27 и рисунка 4.41 указывают на то, что увеличение

Таблица 4.27 — Результаты эксперимента 15

Т М(Тмм) У(Тмм) х 104 М(Тмь) У(Тмь) х 104

1 0,9445 19,7622 0,9953 0,4662

2 1,9504 22,6564 1,9905 1,8988

3 2,9444 27,6735 2,9868 3,9532

4 3,9364 35,5709 3,9809 7,6127

10 9,8466 205,8273 9,9552 44,8211

XX О

^ ^ 100 ---о-0-

о 8 8 8 8 • •

^^ 1234 5 6789 10

Значения мёртвого времени Т

Рисунок 4.41 - Графики зависимостей У(Тмъ), У(Тмм) от значения Т

значения длительности мертвого времени Т влечет увеличение выборочной вариации полученных оценок. Это объясняется тем, что при увеличении значения Т увеличивается период ненаблюдаемости потока, что приводит к увеличению числа потерянных событий и, как следствие, к ухудшению качества оценивания как методом моментов, так и методом максимального правдоподобия.

Эксперимент 16. Фиксируются число состояний п = 2, количество опытов N = 1000, значение времени моделирования Тт = 1000 ед. времени, длительность мертвого времени T = 1 ед. времени, значение Х2 = 10 и переходные вероятности, представленные в таблице 4.25. Изменяется значение Х\ Е {11, 12, ... , 25} с целью выявления влияния близости значений X¡, г = 1,2 на качество получаемых оценок.

Результаты статистического эксперимента 16 представлены в таблице 4.28 и на рисунке 4.42.

Из результатов, представленных в таблице 4.28 и на рисунке 4.42, следует, что при увеличении различимости состояний (при увеличении значения параметра Хх) оценки, полученные методом моментов и методом максимального правдоподобия, улучшаются, о чем свидетельствуют значения М(Тмх), М(Тмм), приближающиеся к истинному значению длительности мертвого времени Т, и выборочные вариации

Таблица 4.28 — Результаты эксперимента 16

Ах М(Тмм) У(Тмм) х 104 М(Тмь) У(Тмь) х 104

11 0,9357 40,043 0,9950 0,4905

12 0,9399 34,9576 0,9953 0,4653

13 0,9453 31,5313 0,9953 0,4687

14 0,9473 28,8446 0,9951 0,4833

25 0,9545 19,7622 0,9953 0,4662

о О

'ЬЪ'

60

40 • 20 •

о о о о о о о Г\ Г\

0

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Значения параметра

Рисунок 4.42 - Графики зависимостей М(Тмх), М(Тмм), У(Тмь), У(Тмм) от

значения Ах

У(ТМ1), У(Тмм), стремящиеся к нулю. Оценка параметра Т, полученная методом максимального правдоподобия, показывает лучшие результаты.

4.5 Выводы и результаты по четвертой главе

В четвертой главе диссертации получены следующие результаты:

— осуществлена проверка работоспособности построенной имитационной модели в случае полной (Т = 0) и частичной (Т = 0) наблюдаемости потока;

— представлена серия статистических экспериментов для установления качества оценивания состояний потока по разработанным алгоритмам оптимального оценивания (в условиях полной наблюдаемости потока алгоритм изложен в подразделе 2.1.4, в условиях частичной наблюдаемости - в подразделе 3.1.3);

— проведена серия статистических экспериментов для установления качества оценивания параметров г\, г2, 7 плотности распределения вероятностей (подраздел 2.2.3) и длительности мертвого времени Т для коррелированного (подраздел 3.2.4) и рекуррентного (подраздел 3.3.4) потоков.

Таким образом, экспериментальная проверка аналитических результатов глав 2 и 3 на имитационной модели обобщенного МАР-потока событий с произвольным (конечным) числом состояний показала, что построенная имитационная модель (приложение А) соответствует логике математической модели потока, представленной в разделах 1.1 и 1.2 и является адекватной.

Алгоритм оптимального оценивания состояний потока обеспечивает достаточно приемлемую оценку безусловной вероятности ошибочного решения. Проверка оценки параметров распределения вероятностей и длительности мертвого времени показала, что найденные оценки методом моментов являются смещенными. Для рекуррентного случая задания потока оценки по методу моментов и по методу максимального правдоподобия являются состоятельными. Проведенные эксперименты позволили определить, при каких комбинациях заданных входных параметров потока алгоритмы оценивания демонстрирую меньшие ошибки оценивания в соответствие с выбранными критериями.

Заключение

В диссертационной работе рассмотрен обобщенный МАР-поток событий с произвольным (конечным) числом состояний в условиях его полной и частичной (при наличии непродлевающегося мертвого времени фиксированной длительности) наблюдаемости.

В работе доказано, что обобщенный МАР-поток событий с произвольным (конечным) числом состояний в общем случае является коррелированным. Также определены условия, при которых исследуемый поток становится рекуррентным. Для коррелированного потока вычислены основные вероятностные характеристики: ковариация и коэффициент корреляции.

Рассмотрены основные задачи, характерные для анализа дважды стохастических потоков, к которым относится обобщенный МАР-поток событий с произвольным (конечным) числом состояний, такие как оценка состояний, оценка параметров распределения вероятностей длительности интервалов между соседними событиями потока и оценка длительности мертвого времени.

Для решения задачи оценки параметров исследуемого потока (при п = 2) в условиях полной наблюдаемости получена аналитическая функция плотности вероятности длительности интервалов между соседними событиями рассматриваемого потока. С использованием метода моментов выведены аналитические оценки параметров распределения. Результаты численных экспериментов, выполненных на имитационной модели потока при полной наблюдаемости событий, соответствуют физической интерпретации модели и демонстрируют удовлетворительное качество оценивания по выбранным критериям точности.

В условиях частичной наблюдаемости (при наличии непродлевающегося мертвого времени фиксированной длительности) за потоком (при п = 2) получена аналитическая функция плотности вероятности длительности интервалов между соседними событиями рассматриваемого потока, а также определен явный вид совместной плотности вероятности длительностей двух смежных интервалов между моментами наступления событий. Сформулированы условия, при которых

поток становится рекуррентным. Решение задачи оценки длительности мертвого времени осуществлялось с использованием метода моментов (применительно к коррелированным и рекуррентным потокам) и метода максимального правдоподобия (применительно к рекуррентным потокам) при фиксированных значениях остальных параметров потока. В ходе численных экспериментов, проведенных для различных наборов параметров и выбранных критериев оценивания, получена оценка, характеризующаяся приемлемым уровнем ошибки. Анализ численных результатов показал, что полученная методом моментов оценка является смещенной. При этом установлено, что в случае рекуррентного потока оценка длительности мертвого времени обладает свойством состоятельности, то есть при увеличении объема наблюдений значение оценки стремится к истинному значению оцениваемого параметра.

Таким образом, совокупность выводов диссертационного исследования выявляет наличие качественно новых результатов решения задач оценивания состояний, параметров распределения и длительности мертвого времени в обобщенном МАР-потоке событий с произвольным (конечным) числом состояний, которые в комплексе с программной реализацией разработанных алгоритмов могут быть использованы при решении важных прикладных задач, таких как моделирование потоков, функционирующих в реальных телекоммуникационных и информационно-вычислительных сетях в условиях полной либо частичной наблюдаемости.

Перспектива дальнейшего исследования связана с проектированием адаптивных СМО с входящим дважды стохастическим потоком (обобщенным МАР-потоком событий с произвольным (конечным) числом состояний) с последующим определением их вероятностных характеристик.

Список использованной литературы

1. Апанасович В. В. Статистический анализ случайных потоков в физическом эксперименте / В. В. Апанасович, А. А. Коляда, А. Ф. Чернявский. - Минск : Университетское, 1988. -256 с.

2. Базилевич К. В. Трафик и работа приборов соединения автоматических телефонных станций / К. В. Базилевич, В. А. Говорков. - М. : Связьтехиздат, 1933. -176 с.

3. Бахолдина М. А. Вероятность ошибки при оценивании состояний модулированного обобщенного полусинхронного потока событий // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2016. - № 1 (34). - С. 18-34.

4. Бахолдина М. А. Оценка состояний и длительности мертвого времени в модулированном обобщенном полусинхронном потоке событий: дис. ... канд. физ.-мат. наук 05.13.01 / М. А. Бахолдина. - Томск, 2016. - 199 с.

5. Башарин Г. П. Массовое обслуживание в телефонии / Г. П. Башарин, А. Д. Харкевич, М. А. Шнепс. - М. : Наука, 1968. - 240 с.

6. Башарин Г. П. О методе эквивалентных замен расчета фрагментов сетей связи / Г. П. Башарин, В. А. Кокотушкин, В. А. Наумов // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика.

- 1979.-Ч. 1,№6.-С. 92-99.

7. Башарин Г. П. О методе эквивалентных замен расчета фрагментов сетей связи / Г. П. Башарин, В. А. Кокотушкин, В. А. Наумов // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика.

- 1980.-Ч. 2, № 1. - С. 55-61.

8. Башарин Г. П. Новый этап развития математической теории телетрафика / Г. П. Башарин, К. Е. Самуйлов, Н. В. Яркина, Н. А. Гудкова // Автоматика и телемеханика. - 2009. - № 12. - С. 16-28.

9. Березин Д. В. Численные результаты оптимальной оценки состояний модулированного МАР-потока событий / Д. В. Березин, Л. А. Нежельская // Изв. высш. учеб. заведений. Физика. - 2015. - Т. 58, № 11/2. - С. 151-157.

10. Боровков А. А. Вероятностные процессы в теории массового обслуживания / А. А. Боровков. - М. : Физматгиз, 1972. - 368 с.

11. Бочаров П. П. Теория массового обслуживания / П. П. Бочаров, А. В. Печинкин. - М. : Изд-во РУДН, 1995. - 529 с.

12. Бронштейн О. И. Модели приоритетного обслуживания в информационно-вычислительных системах / О. И. Бронштейн, И. М. Духовный. -М. : Наука, 1976.-220 с.

13. Буркатовская Ю. Б. Оценивание параметров гиперэкспоненциального распределения / Ю. Б. Буркатовская, С. Э. Воробейчиков // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2025. - № 70. - С. 52-61.

14. Бушланов И. В. Оптимальная оценка состояний синхронного дважды стохастического потока событий / И. В. Бушланов, А. М. Горцев // Автоматика и телемеханика. - 2004. - № 9. - С. 40-51.

15. Бушланов И.В. Оценка параметров синхронного дважды стохастического потока событий / И. В. Бушланов, А. М. Горцев, Л. А. Нежельская // Автоматика и телемеханика. - 2008. - № 9. - С. 76-93.

16. Василевская Т. П. О соотношении моделей МАР-потока событий и асинхронного, полусинхронного и синхронного дважды стохастических потоков событий / Т. П. Василевская, М. Е. Завгородняя, И. С. Шмырин // Вестник Томского государственного университета. - 2004. - № S9-2. - С. 138-144.

17. Васильева Л. А. Оценивание параметров дважды стохастического потока событий в условиях его неполной наблюдаемости / Л. А. Васильева, А. М. Горцев // Автоматика и телемеханика. - 2002. - № 3. - С. 179-184.

18. Васильева Л. А. Оценивание длительности мертвого времени асинхронного дважды стохастического потока событий в условиях его неполной наблюдаемости / Л. А. Васильева, А. М. Горцев // Автоматика и телемеханика. - 2003. - № 12. - С. 69-79.

19. Вишневский В. М. Оценка пропускной способности локальной беспроводной сети при высокой нагрузке и помехах / В. М. Вишневский, А. Н. Ляхов // Автоматика и телемеханика. - 2001. - № 8. - С. 81-96.

20. Вишневский В. М. Оценка производительности широкополосных беспроводных сетей вдоль протяженных транспортных магистралей / В. М.

Вишневский, А. Н. Дудин, Д. В. Козырев, А. А. Ларионов // Распределенные компьютерные и телекоммуникационные сети: управление, вычисление, связь (DCCN-2015) = Distributed computer and communication networks: control, computation, communications (DCCN-2015). - М. : Изд-во РУДН, 2015. - С. 241-256.

21. Вишневский В. М. Стохастические системы с коррелированными потоками. Теория и применение в телекоммуникационных сетях / В. М. Вишневский, А. Н. Дудин, В. И. Клименок. - М. : Техносфера, 2018. - 564 с.

22. Вишневский В. М. Теория очередей и машинное обучение. / В. М. Вишневский, Д. В. Ефросинин. - М. : ИНФРА-М, 2024. - 370 с.

23. Воробьев Н. М. Об управлении системой массового обслуживания одного вида // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. - 1967. - № 3. - С. 86-93.

24. Гнеденко Б. В. Приоритетные системы обслуживания / Б. В. Гнеденко [и др.]. - М. : Изд-во МГУ, 1973. - 447 c.

25. Гнеденко Б. В. Введение в теорию массового обслуживания. Изд. 4-е, испр. / Б. В. Гнеденко, И. Н. Коваленко. - М. : Изд-во ЛКИ, 2007. - 400 с.

26. Горцев А. М. Управление и адаптация в системах массового обслуживания / А. М. Горцев, А. А. Назаров, А. Ф. Терпугов. - Томск : Изд-во ТГУ, 1978. - 208 с.

27. Горцев А. М. Оптимальная нелинейная фильтрация марковского потока событий с переключениями / А. М. Горцев, Л. А. Нежельская // Техника средств связи. Серия: Системы связи. - 1989. - Вып. 7. - С. 46-54.

28. Горцев А. М. Оценивание параметров синхронного дважды стохастического потока событий методом моментов / А. М. Горцев, Л. А. Нежельская // Вестник Томского государственного университета. - 2002. - №S1-1. - С. 24-29.

29. Горцев А. М. Оценивание длительности мертвого времени и параметров асинхронного альтернирующего потока событий при непродлевающемся мертвом времени / А. М. Горцев, О. В. Ниссенбаум // Изв. высш. учеб. заведений. Физика. -2005. -№ 10.-С. 35-49.

30. Горцев А. М. Полусинхронный дважды стохастический поток событий при продлевающемся мертвом времени / А. М. Горцев, Л. А. Нежельская // Вычислительные технологии. - 2008. - Т. 13, № 1. - С. 31-41.

31. Горцев А. М. Оптимальная оценка состояний обобщенного асинхронного дважды стохастического потока / А. М. Горцев, М. А. Леонова // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2010. - №1. - С. 33-47.

32. Горцев А. М. Оптимальная оценка состояний асинхронного дважды стохастического потока событий с произвольным числом состояний / А. М. Горцев, В. Л. Зуевич // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2010. - №2 (11). - С. 44-65.

33. Горцев А. М. О связи МС-потоков и МАР-потоков событий / А. М. Горцев, Л. А. Нежельская // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2011. - № 1 (14). - С. 13-21.

34. Горцев А. М. Совместная плотность вероятностей длительности интервалов обобщённого асинхронного потока событий при непродлевающемся мёртвом времени / А. М. Горцев, М. А. Леонова, Л. А. Нежельская // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2012. - № 4 (21). - С. 14-25.

35. Горцев А. М. Сравнение МП- и ММ- оценок длительности мертвого времени в обобщенном асинхронном потоке событий / А. М. Горцев, М. А. Леонова, Л. А. Нежельская // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2013. - №4 (25). - С. 32-42.

36. Горцев А. М. Совместная плотность вероятностей длительности интервалов обобщенного полусинхронного потока событий при непродлевающемся мертвом времени / А. М. Горцев, А. А. Калягин, Л. А. Нежельская // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2014. - №2 (27). - С. 19-29.

37. Горцев А. М. Оценка максимального правдоподобия длительности мертвого времени в обобщенном полусинхронном потоке / А. М. Горцев, А. А. Калягин, Л.А. Нежельская // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2015. - №1. - С. 27-37.