Оценка значимости измерений при определении концентрации фуллерена в фуллеренсодержащих продуктах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 02.00.04, кандидат наук Юнусова Дарья Сергеевна

• Юнусова Дарья Сергеевна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Юнусова Дарья Сергеевна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР И ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ

1.1 Задача математического описания результатов измерений

1.2 Проблема количественного УФ спектрометрического анализа продуктов присоединения к фуллерену

1.3 Основные сведения из теории линейного программирования

1.3.1 Постановка задачи линейного программирования

1.3.2 Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования

1.3.3 Симплекс-метод

1.3.4 Двойственность в линейном программировании

1.3.5 Основные теоремы двойственности

1.3.6. Пакеты прикладных программ для решения задач линейного программирования

ГЛАВА 2. ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ПРИ РАСЧЕТЕ СОДЕРЖАНИЯ ФРАГМЕНТОВ ФУЛЛЕРЕНА В ФУЛЛЕРЕНСОДЕРЖАЩИХ ПРОДУКТАХ

2.1 Общая постановка задачи определения приближенного решения и погрешности измерений для линейных моделей

2.1. Общая постановка задачи определения значимости измерений для линейных моделей

2.2 Экспериментальные данные

2.3 Определение погрешности измерений

ГЛАВА 3. РАСЧЕТ СОДЕРЖАНИЯ ФРАГМЕНТОВ ФУЛЛЕРЕНА В ФУЛЛЕРЕНСОДЕРЖАЩИХ ПРОДУКТАХ С УЧЕТОМ КОРРЕКТИРОВОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ В ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

3.1 Описание общего подхода и оценка его погрешности

3.2 Количественный анализ низкомелекулярных индивидуальных фуллуруенсодержащих продуктов

3.2 Количественный анализ фуллеренсодержащих полимеров

ГЛАВА 4. АЛГОРИТМИЧЕСКОЕ И ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

4.1 Описание алгоритмов

4.2 Описание программы для определения содержания фуллерена и его производных в смеси фуллеренсодержащих продуктов

ВЫВОДЫ

СПИСК ЛИТЕРАТУРЫ

Приложение I. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ

ВВЕДЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценка значимости измерений при определении концентрации фуллерена в фуллеренсодержащих продуктах»

Актуальность исследования.

Задача математического описания результатов измерений довольно часто встречается в различных областях исследований, в том числе и в физико-химических задачах. Наиболее распространенными методами решения подобного класса задач являются статистические методы, в частности, метод наименьших квадратов. Однако на практике они далеко не всегда дают удовлетворительные результаты. Поэтому актуальным является разработка методов и подходов для определения параметров математических моделей в случаях, когда решение, найденное стандартными методами, не удовлетворяет некоторым ограничениям модели. В физической химии одной из проблем данного класса задач является получение отрицательных значений параметров моделей, нарушающее физико-химический смысл содержательной постановки исходной задачи. Такая ситуация может возникнуть, например, из-за неточности определения экспериментальных данных вследствие того, что полученные в ходе натурного эксперимента результаты несут некоторую погрешность, заранее не известную исследователю. Оценка этой погрешности, а также значимости измерений несомненно представляет интерес для исследователя в описанной ситуации и является актуальной задачей.

Одной из задач физической химии, суть которой сводится к определению параметров линейной математической модели, имеющей описанные выше трудности решения, является задача анализа состава сложных химических объектов, например, производных фуллерена. В химических реакциях фуллерен С60 выступает как реагент с большим числом равноценных реакционных центров. По этой причине большинство реакций присоединения по двойным связям приводит к набору продуктов с различной степенью функционализации фуллереновых фрагментов, в этом случае достаточно сложно количественно определить состав смесей. При получении

продуктов реакций фуллерена с низкомолекулярными реагентами можно прибегнуть к препаративному разделению компонентов с последующей их идентификацией и количественным определением. Однако в ряде случаев это сделать чрезвычайно сложно или, вообще говоря, невозможно, как в случае фуллеренсодержащих полимеров. Для количественного анализа содержания связанного фуллерена в таких сложных смесях, как правило, применяется метод ультрафиолетовой (УФ) спектрометрии [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]. Использование известных приемов обработки спектральных данных, к примеру, метода второй производной спектральной функции поглощения [4] позволяет решать указанную проблему только в случае ее неравномерной монотонности, однако, для спектров фуллеренсодержащих полимеров этого не наблюдается. Следовательно, актуальной является разработка новых методов к количественному анализу состава фуллеренсодержащих продуктов.

Цель диссертационного исследования состоит в разработке метода оценки значимости измерений на примере задачи УФ спектрометрического количественного определения содержания фрагментов фуллерена и его производных в фуллеренсодержащих продуктах.

Достижение поставленной цели потребовало решения следующих основных задач:

- математическая постановка задач определения приближенного решения, погрешности и значимости измерений для линейных моделей;

- определение поправочных коэффициентов, учитывающих погрешности в экспериментальных значениях, на примере коэффициентов экстинкции индивидуальных продуктов присоединения к фуллерену и оптических плотностей при длинах волн, характеризующих максимумы поглощения для каждого продукта присоединения к фуллерену;

- разработка метода определения содержания фрагментов фуллерена в фуллеренсодержащих продуктах с учетом погрешностей экспериментальных данных;

- создание программного обеспечения для определения мольных долей фрагментов фуллерена в фуллеренсодержащих продуктах.

Объектом исследования в диссертационной работе выступают линейные математические модели.

Предметом исследования являются системы линейных алгебраических уравнений, для которых не удается найти удовлетворительное решение с помощью стандартных методов.

Научная новизна работы заключается в разработке метода определения погрешности и значимости измерений в линейных моделях, основанного на теории линейного программирования [10] и теории двойственности. Он позволяет выделять измерения с максимальной погрешностью, тем самым предоставляя исследователю информацию о необходимости проведения дополнительных измерений той или иной величины.

В процессе исследования были получены следующие научные результаты, выносимые на защиту:

- формализованы задачи определения погрешности и значимости измерений в виде задач линейного программирования и двойственных задач линейного программирования соответственно, что позволяет определять погрешности в экспериментальных данных для линейных моделей, а также определять наиболее недостоверные значения экспериментальных данных;

- обоснована возможность применения в дальнейших расчетах полученных погрешностей экспериментальных данных значений коэффициентов экстинкции индивидуальных продуктов присоединения к фуллерену и оптических плотностей при длинах волн, характеризующих максимумы поглощения каждого продукта присоединения к фуллерену;

- разработан метод анализа УФ спектрометрических данных определения содержания фуллерена и его производных в общей смеси фуллеренсодержащих продуктов;

- для некоторых химических реакций с участием фуллерена определены концентрации содержания фрагментов фуллерена с различным числом присоединений (до четырех) в смеси;

- на основе разработанного метода создан алгоритм для определения содержания фуллерена и его производных в смеси фуллеренсодержащих продуктов.

Практическая значимость. Разработана программа для ЭВМ «Определение содержания фуллерена и его замещенных производных в смеси фуллеренсодержащих продуктов», позволяющая определять концентрацию содержания фрагментов фуллерена и его производных в смеси фуллеренсодержащих продуктов. Получено свидетельство о государственной регистрации разработанной программы. В дальнейшем она может быть использована в работах Уфимского института химии Российской академии наук.

Апробация результатов исследования. Основные положения, разработанные в диссертации, были представлены на 8 конференциях:

1. II всероссийской научно-практической конференции с международным участием "Математическое моделирование процессов и систем", Стерлитамак, 2013 г.;

2. XI научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании", Саранск, 2014 г.;

3. VII международной конференции "Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий", Воронеж, 2014 г.;

4. II всероссийской научной конференции "Теоретические и экспериментальные исследования процессов синтеза, модификации и переработки полимеров", Уфа, 2014 г.;

5. III всероссийской научно-практической конференции с международным участием "Математическое моделирование процессов и систем", Стерлитамак, 2014 г.;

6. III международной конференции «Информационные технологии интеллектуальной поддержки принятия решений» (ITIDS'2015), Уфа, 2015 г.;

7. Всероссийской научно-практической конференции молодых ученых с международным участием «Фундаментальные и прикладные проблемы математики, механики, информатики - 2015» (ФППММИ-2015), Пермь, 2015г.

8. III международной конференции «Устойчивость и процессы управления», посвященной 85-летию со дня рождения проф., чл.-корр. РАН В.И. Зубова, Санкт-Петербург, 2015г.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 13 статей, из них 4 - в центральных научных журналах, входящих в перечень изданий, рекомендуемых ВАК РФ. Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объем работы.

Материалы диссертационной работы изложены на 110 страницах машинописного текста. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения и списка литературы, включающего 103 наименования, содержит 12 таблиц, 20 рисунков и приложение.

ГЛАВА 1. ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР И ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ 1.1 Задача математического описания результатов измерений

В физической химии довольно часто встречается задача математического описания результатов измерений [11, 12]. На практике это задачи, для которых необходимо определить параметры рассматриваемой математической модели. В данной работе рассматриваются линейные математические модели. Таким образом, на основании эксперимента требуется определить параметры некоторой линейной математической модели вида:

У = РО).

Пусть в результате эксперимента получено п значений функции у при соответствующих значениях аргумента.

Результаты могут быть представлены в виде таблицы:

X х± *2 хп

У У1 У2 Уп

Вид функции у = ф(х) устанавливается или из теоретических соображений, или на основании характера расположения на координатной плоскости точек, соответствующих экспериментальным значениям. Пусть, например, экспериментальные точки расположены на координатной плоскости так, как изображено на рис. 1.1. Учитывая, что при проведении эксперимента имеют место погрешности, естественно предположить, что искомую функцию у = ф(х) можно искать в виде линейной функции у = ах + Ь [13, 14].

Задача математического описания результатов измерений заключается в подборе входящих в модель параметров таким образом, чтобы они в каком-то смысле наилучшим образом описывали рассматриваемый процесс.

М г • \ V ♦ ! 1 1 и

О Л^ ьГ, Л

Рис. 1.1. Расположение экспериментальных точек на плоскости.

Большое количество подобного рода линейных задач решаются статистическими методами, которые представляют на сегодняшний день группу подробно изученных и хорошо зарекомендовавших себя на практике инструментов определения параметров линейных зависимостей [15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23]. Однако, существенным препятствием к применению статистических методов является обязательное наличие достаточно большого количества экспериментальных данных и знание закона распределения погрешности измерений, что не всегда достижимо на практике.

Одним из наиболее распространенных статистических методов является метод наименьших квадратов, суть которого заключается в нахождении коэффициентов линейной зависимости, при которых функция двух переменных а и Ь

п

F(a,Ь) = ^(y¿-(ax¿ + Ь))2 ¿=1

принимает наименьшее значение. То есть, при данных а и Ь сумма квадратов отклонений соответствующих экспериментальных точек от точек, расположенных на найденной прямой будет наименьшей. В этом вся суть метода наименьших квадратов [24, 25]. Метод наименьших квадратов один из наиболее широко используемых методов при решении многих задач восстановления регрессионных зависимостей в различных областях науки и практической деятельности [26, 27].

Метод наименьших квадратов имеет свои недостатки, связанные например, со скоростью сходимости. Применительно к физико-химическим задачам у метода возникает еще один существенный недостаток, выражаемый в так называемой проблеме отрицательных значений, которые не имеют физико-химического смысла.

В случае равенства числа наблюдений и числа оцениваемых параметров могут быть использованы и классические методы решения квадратных систем линейных уравнений (метод Гаусса, метод обратной матрицы и пр.). Однако говорить о статистической значимости искомых параметров в этом случае нельзя, и основное назначение такого подхода заключается в установлении точного вида функциональной связи между исследуемыми величинами по результатам конкретных наблюдений. Также подобные методы не гарантируют наличия отрицательных решений, не имеющих физико-химического смысла.

Применение большинства методов определения параметров математических моделей (в том числе и перечисленных выше) к решению физико-химических задач сопряжено с группой проблем, связанных с тем, что найденные значения параметров могут не удовлетворять некоторым условиям, вытекающим из физико-химического смысла рассматриваемой модели (например, применение метода наименьших квадратов или методов решения линейных алгебраических уравнений не обеспечивают неотрицательности искомых величин) [28, 29, 30].

Принципиально другая методология обработки измерений была предложена Л. В. Канторовичем [31]. Суть ее состоит в следующем. Предположим, что из эксперимента известны значения наблюдаемой величины хгэксп, / = 1 , Ь. Модель описывает измерения в пределах их точности, если выполняется следующая система неравенств:

|хгэксп-хграс4| <£,/=1!, (1Л)

расч

расч /

где х, - рассчитанные по модели (зависящей от некоторых параметров а

р = 1 , Р) значения величины х, 1 = 1 , Ь, е — предельно допустимая погрешность измерений.

Определим по каждому из параметров ар, р = 1, Р интервал неопределенности как некоторый отрезок, внутри которого сохраняется совместность системы (1.1):

Ар = [ттар ,тах ар],р = 1, Р. (12)

Интервалы Ар, по сути, характеризуют вариацию значений параметров, а их объединение, таким образом, можно трактовать как область неопределенности параметров модели. В случае линейной зависимости измерений от искомых параметров решение задачи (1. 1)—(1.2) сводится к задаче линейного программирования.

Существенным является тот факт, что сама эта постановка явилась новым словом в теории математической обработки эксперимента [32], при использовании которой не требуется знания информации о статистических свойствах распределения погрешности измерений. Величины е в системе неравенств (1.1) представляют собой характеристики предельно допустимой погрешности эксперимента, информация о значении которой, как правило, присутствует. И тогда выполнение условий (1.1) означает, что модель описывает измерения в пределах, обусловленных величиной максимально допустимой погрешности измерений, что совершенно естественно.

В данной работе рассматриваются только линейные модели, для определения параметров которых используется подход Л. В. Канторовича [33], благодаря тем преимуществам, которые он имеет перед остальными методами, перечисленными выше.

1.2 Проблема количественного УФ спектрометрического анализа продуктов присоединения к фуллерену

Одной из прикладных задач физической химии, относящейся к задачам определения параметров линейных моделей, является задача УФ спектроскопического анализа состава многокомпонентных смесей по показателям поглощения компонентов [34]. В рамках метода производится определение концентраций компонентов на основе уравнений для оптических плотностей, составленных в предположениях выполнения закона Бугера для каждой компоненты и принципа аддитивности для их смеси. Для многокомпонентной смеси решение описанной задачи сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений, в которой число уравнений равно числу имеющихся растворов, а число неизвестных - числу компонент, содержащихся в имеющихся растворах в различных соотношениях. Полученную систему уравнений можно легко решить стандартными методами, например, методом обратной матрицы. Однако, несмотря на кажущуюся простоту, задача практического решения систем линейных уравнений имеет много вычислительных тонкостей, связанных, например, с накоплением погрешностей округления промежуточных результатов или с неточностью определения экспериментальных данных. Еще одной проблемой некоторых известных методов, например, метода Фирордта, является увеличение погрешности решения с увеличением числа компонент в смеси.

Решение проблемы значительных погрешностей при увеличении числа компонент в смеси реализуется посредством увеличения числа аналитических длин волн, что приводит к переопределенной системе уравнений, в которой число уравнений превышает число неизвестных. Если для определенных систем уравнений может быть найдено единственное решение, то для переопределенной системы решение может лишь наилучшим образом удовлетворять принятому критерию. Различные решения, полученные с

помощью разных критериев, могут принципиально отличаться друг от друга. При этом, без привлечения дополнительной информации нельзя сделать никаких выводов о близости того или иного решения к истинному. Переопределенные системы уравнений также решаются методом наименьших квадратов [35, 36, 37]. Единственным условием, которому должно удовлетворять полученное с помощью метода наименьших квадратов решение системы, является минимум суммы квадратов отклонений значений вычисленного спектра от экспериментальных значений. Как отмечалось ранее, основной недостаток метода наименьших квадратов в возможности получения не имеющих физического смысла отрицательных концентраций отдельных компонентов смеси [38].

Критерий минимальности суммы квадратов отклонений вычисленного от экспериментального спектра смеси может быть использован для поиска решения системы симплекс-методом, включающим ограничение на неотрицательность величин (концентраций). Решение системы может быть также основано на критериях минимума суммы абсолютных погрешностей или минимума максимального отклонения. Эти критерии могут быть дополнены рядом ограничений, накладываемых на решение, т.е. на значения. Это может быть условие неотрицательности концентраций или постоянством суммы концентраций компонентов смеси. В этом случае систему решают с помощью методов линейного программирования, суть которых заключается в выборе из имеющихся уравнений переопределенной системы тех уравнений, которые обеспечивают решение, оптимальное по используемому критерию, и удовлетворяющее принятым ограничениям. Для расчета искомых концентраций используют только выбранные таким образом уравнения, поэтому метод линейного программирования использует не всю информацию, используемую в системе [39].

Примерами задачи анализа состава многокомпонентных смесей являются задача количественного определения содержания

низкомолекулярных производных фуллерена в общей смеси и задача анализа содержания связанного фуллерена в фуллеренсодержащих полимерах.

В химических реакциях фуллерен С60 выступает как реагент с большим числом равноценных реакционных центров - двойных >С=С< связей. По этой причине большинство реакций присоединения по двойным связям приводит к набору продуктов с различной степенью функционализации фуллереновых фрагментов. Количественное определение состава таких смесей представляет собой достаточно сложную задачу. В случае продуктов реакций фуллерена с низкомолекулярными реагентами можно прибегнуть к препаративному разделению компонентов с последующей их идентификацией и количественным определением. Однако в ряде случаев это сделать чрезвычайно сложно или практически невозможно, как, например, в случае фуллеренсодержащих полимеров. Продукты радикальной полимеризации мономеров в присутствии фуллерена, в зависимости от степени их конверсии, могут содержать широкий набор соединений. Он включает в себя, как свободный фуллерен, так и ряд продуктов присоединения радикалов инициатора или макрорадикалов роста к фуллереновому фрагменту с различной степенью его функционализации (в случае полимерных радикалов еще и с различной степенью полимеризации) и, наконец, не функционализированные фуллереном макромолекулы. Для количественного анализа содержания связанного фуллерена в таких сложных смесях, как правило, применяется метод УФ спектрометрии [1, 2, 3, 4, 5, 40, 41, 42].

Количество фуллерена определяется фотометрически по величине оптической

*

плотности поглощения разрешенного п ^ п электронного перехода в фуллереновом фрагменте, например в растворе хлороформа при длине волны 330 нм — его второго главного максимума поглощения, с использованием величины экстинкции при этой длине волны [1, 5]. В то же время хорошо известно, что спектральные характеристики фуллеренов существенным образом меняются при введении в фуллеренсовый фрагмент аддендов [43, 44,

45, 46]. В [46] показано, что в растворах метанофуллеренов с различным видом и количеством аддендов (от 1 до 5) наблюдается гипсохромный сдвиг максимумов характеристических полос поглощения, величина которого прямо пропорциональна числу аддендов. Молярные коэффициенты экстинкции, определенные в максимумах характеристических полос поглощения, уменьшаются с возрастанием числа аддендов по экспоненциальному закону. При этом показано, что спектральные характеристики продуктов присоединения к фуллерену в области 200-400 нм не зависят ни от типа аддендов и их стереоизомерии, ни от природы растворителя. Однако, при количественном УФ спектроскопическом определении производных фуллерена в общей смеси не учитывается, по крайней мере, следующий момент. Спектры продуктов присоединения к фуллерену находятся в одной области длин волн и перекрываются. Соответственно, значение оптической плотности в каждой точке интегральной спектральной кривой, в том числе и в максимумах поглощения, имеют вклад поглощения, обусловленный другими производными фуллерена. Поскольку этот момент невозможно учесть при выполнении калибровок по индивидуальным соединениям, то это может внести погрешность в результаты количественных определений содержания фуллеренов. Использование других приемов, например, метода второй производной спектральной функции поглощения [4] позволяет решать указанную проблему только в случае, когда она неравномерно монотонна, чего не наблюдается для спектров фуллеренсодержащих полимеров. Таким образом, разработка подходов к количественному анализу состава смесей фуллеренсодержащих продуктов является актуальной задачей.

При решении описанной задачи, то есть количественном определении содержания фрагментов фуллерена и его производных в фуллеренсодержащих продуктах также возникают проблемы с точным решением системы линейных уравнений Бугера-Ламберта, связанные с точностью определения экспериментальных данных коэффициентов экстинкции. В частности, это

связано с тем, что делается допущение о том что коэффициенты экстинкции производных фуллерана не зависят от вида адденда, а зависят только от их числа. Обоснованность такого допущения в случае фуллеренсодержащих полимерных продуктов объясняется сложностью процессов их образования и, соответственно, их структуры.

Существуют различные методы получения фуллеренсодержащих полимеров [47, 48]. К ним относятся методы поликонденсации, ионной и радикальной полимеризации. хСинтезированные фуллеренсодержащие полимеры (рис. 1.2.) отличаются строением, количеством и типом расположения фуллереновых единиц.

Рис. 1.2. Фуллеренсодержащие полимеры: 1- полимеры, содержащие фуллерен в основной цепи; 2 - иммобилизованные фуллерены на твердой полимерной поверхности; 3 - звездообразные фуллеренсодержащие полимеры; 4 - полимеры, содержащие фуллерен на концах цепей; 5 - сетчатые полимеры с фуллереновыми узлами сшивки; 6 - полимеры, содержащие фуллерен в боковых цепях; 7 - фуллеренсодержащие дендримеры

При этом на сегодняшний день идентифицировать эти продукты по структуре составляет сложную физико-химическую задачу. Во многих работах по радикальной «фуллереновой» полимеризации указывается только, что это

должен быть разветвленный полимер из-за высокой склонности молекулы фуллерена к присоединению радикалов. В качестве примера приведем механизма процесса, описывающего сополимеризацию метилметакрилата и стирола с фуллереном [49]. Из схемы процесса видно, что это сложный процесс:

Из-за сложности процесса радикальной полимеризации и структуры образующихся продуктов, в литературных источниках по радикальной полимеризации в присутствии фуллерена до сих пор не решен вопрос о структуре макромолекул в таких системах. Данные о числе возможных присоединений цепей в различных источниках варьируются от 1 до 11 и имеют совершенно противоречивый характер. Например, в работе [50] изначально предполагалось число присоединений 1. Однако, в дальнейшем рассматривалось образование сильно разветвленного полимера [51], при этом в работе не указывается ни число ветвей, ни метода исследования, а также на основании каких экспериментальных данных делается заключение о структуре полимера. Поэтому на сегодняшний день нет достоверных представлений о структуре фуллеренсодержащих полимерных продуктов, образующихся в условиях радикальной полимеризации.

Учитывая, описанные выше проблемы количественного анализа состава таких смесей, а также недостатки имеющихся методов, в данной работе

I ^

Я* + М ^ М* М* + М ^ М* 2М ^ Р*

С60 + М* (или Я/) ^ МС60* МС60* + М ^ МС6оМ* С6о* + М* (или Я*) ^ М-С60 С6о* + С6о* ^ С60-С60

(1) (2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

предлагается метод определения параметров линейных математических моделей, основанный на теории линейного программирования, который позволяет учитывать все дополнительные требования, предъявляемые к ним.

1.3 Основные сведения из теории линейного программирования

1.3.1 Постановка задачи линейного программирования

Линейное программирование - это математическая дисциплина, посвященная теории и методам решения экстремальных задач, заданных системами линейных уравнений и неравенств. Создание этого направления в математике и экономике принадлежит выдающемуся математику, экономисту, академику Леониду Витальевичу Канторовичу [52]. Заслуга Канторовича состоит в том, что он предложил математический метод поиска оптимального варианта распределения ресурсов. Таким образом, им был открыт новый раздел в математике, получивший распространение в экономической практике и способствовавший развитию и использованию электронно-вычислительной техники [10].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Юнусова Дарья Сергеевна, 2016 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гунькин, И. Ф. Влияние природы органического растворителя на характер спектра поглощения фуллерена C[60] / И. Ф. Гунькин, Н. Ю. Логинова // Журнал общей химии. - 2006. - Т.76, №12. - С. 2000-2002.

2. Silvestrini, S. Continuous Flow Synthesis of Methanofullerenes in Microstructured Reactors: A Kinetic Study / S. Silvestrini, D. Dalle Nogare, T. Carofiglio, E. Menna, P. Canu, M. Maggini // Eur. J. Org. Chem. - 2011. -Vol. 2011. - P. 5571-5576.

3. Geerts, Y.H. Synthesis of mesogenic phthalocyanine-C60 donor-acceptor dyads designed for molecular heterojunction photovoltaic devices / Y. H. Geerts, O. Debever, C. Amoto, S. Sergeyev, J. Beilstein // Org. Chem. - 2009. - №49.

4. Биглова, Ю.Н. Количественное определение методом УФ спектроскопии производных метанофуллеренов с различной степенью замещения / Ю. Н. Биглова, В. А. Крайкин, В. В. Михеев, С. А. Торосян, С. В. Колесов, А. Г. Мустафин, М. С. Мифтахов //, Журнал структурной химии. - 2013. - Т.54, №4. - С. 674-678.

5. Юмагулова, Р.Х. О радикальной (со)полимеризации аллилметакрилата в присутствии фуллерена С60 / Р.Х. Юмагулова, Ю.Н. Биглова, С.В. Колесов, Ю.Б. Монаков // Докл. РАН. - 2006. - Т.48, № 5. -С. 625-626.

6. Биглова, Ю. Н. УФ спектроскопия монозамещенных производных 1,2-дигидро-C60-фуллеренов / Ю. Н. Биглова, В. В. Михеев, А. Г. Мустафин, В. А. Крайкин, С. А. Торосян, С. В. Колесов, М. С. Мифтахов // Журнал структурной химии. - 2012. - №6. - С. 1107-1112.

7. Biglova, Yu. N. UV Spectroscopy of Methanofullerene Derivatives with Different Degrees of Substitution / Yu. N. Biglova, V. V. Mikheev, A. G. Mustafin, V. A. Kraikin, S. A. Torosyan, S. V. Kolesov, M. S. Miftakhov // Russian Journal of Physical Chemistry A. - 2013. - Т.87, №10. - P. 1692-1695.

8. Biglova, Yu. N. UV Spectroscopic Quantitative Determination of Methanofullerene Derivatives with a Different Degree of Substitution / Yu. N. Biglova, V. V. Mikheev, A. G. Mustafin, V. A. Kraikin, S. A. Torosyan, S. V. Kolesov, M. S. Miftakhov // Journal of Structural Chemistry. - 2013. - Т.54, №4. - P. 719-723.

9. Израилова, Г. Г. Количественное определение изониазида и рифампицина в модельных смесях методом спектрофотометрии / Г. Г. Израилова, Л. П. Овчаренко // Разработка, исследование и маркетинг новой фармацевтической продукции: сборник научных трудов. -Пятигорск: Пятигорская государственная фармацевтическая академия, 2005. - С. 217-218.

10. Данциг, Д. Линейное программирование, его применения и обобщения / Д. Данциг. - М.: Прогресс, 1966. - 600 с.

11. Вапник, В. Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным / В. Н. Вапник. - М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства "Наука", 1979. - 448 с.

12. Математическая теория планирования эксперимента / Под ред. С. М. Ермакова. - М.: Наука, 1983. - 392 с.

13. Уиттекер, Э. Математическая обработка результатов наблюдений / Э. Уиттекер, Г. Робинсон. - 2 изд. - М.: ОНТИ, 1935. - 368 с.

14. Степанов, Н. Ф. Методы линейной алгебры в физической химии / Н. Ф. Степанов, М. Е. Ерлыкина, Г. Г. Филипов. - М.: Изд-во МГУ, 1976. -360 с.

15. Кендалл, М. Многомерный статистический анализ и временные ряды / М. Кендалл, А. Стьюарт. - М.: Наука, 1976. - 736 с.

16. Айвазян, С. А. Прикладная статистика и основы эконометрики / С. А. Айвазян, В. С. Мхитарян. - М.: ЮНИТИ, 1998. - 1022 с.

17. Эконометрика / Под ред. И. И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2006. - 576 с.

18. Дрейпер, Н. Прикладной регрессионный анализ / Н. Дрейпер, Г. Смит.

- М.: Финансы и статистика, 1987. - 241 с.

19. Орлов, А. И. Прикладная статистика / А. И. Орлов. - М.: Экзамен, 2006. - 671 с.

20. Чураков, Е. П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике / Е. П. Чураков. - М.: Финансы и статистика, 2004. - 242 с.

21. Серафинович, Л. П. Статистическая обработка опытных данных / Л. П. Серафинович. - Томск: Изд-во Томского ун-та, 1980. - 74 с.

22. Грановский, В. А. Методы обработки экспериментальных данных при измерениях / В. А. Грановский, Т. Н. Сирая. - Л.: Энергоатомиздат, 1990.

- 228 с.

23. Себер, Дж. Линейный регрессионный анализ / В. А. Грановский, Т. Н. Сирая. - М.: Мир, 1980. - 456 с.

24. Линник, Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений / Ю. В. Линник. - 2 изд. - М.: Физматгиз, 1962. -349 с.

25. Мазмишвили, А. И. Теория ошибок и метод наименьших квадратов / А. И. Мазмишвили. - М.: Недра, 1978. - 311 с.

26. Вельдяксов, В. Н. О методе наименьших квадратов при регрессии с нечеткими данными / В. Н. Вельдяксов, А. С. Шведов // Экономический журнал Высшей школы экономики. - 2014. - №2. - С. 328-344.

27. Мусатов, М. В. Анализ моделей метода наименьших квадратов и методов получения оценок / М. В. Мусатов, А. А. Львов // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2009. -№4(43), Вып.2. - С. 137-140.

28. Гольцман, Ф. М. Физический эксперимент и статистические выводы / Ф. М. Гольцман. - Л.: Изд-во Ленинград. ун-та, 1982. - 394 с.

29. Белов, В. М. Математические модели и методы анализа экспериментальной физической информации / В. М. Белов. - Барнаул: Изд-во Алтайского государственного технического ун-та, 2002. - 66 с.

30. Спиридонов, В. Н. Математическая обработка физико-химических данных / В. Н. Спиридонов, А. А. Лопаткин. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1970. - 222 с.

31. Канторович, Л. В. О некоторых новых подходах к вычислительным методам и обработке наблюдений / Л. В. Канторович // Сибирский математический журнал. - 1962. - Т.3, №5. - С. 701-709.

32. Соловьев, В. А. Элементарные методы обработки результатов измерений / В. А. Соловьев, В. Е. Яхонтова. - Л.: Изд-во Ленинград. унта, 1977. - 72 с.

33. Спивак, С. И. Области неопределенности в математической теории анализа измерений / С. И. Спивак, А. С. Исмагилова, О. Г. Кантор // Системы управления и информационные технологии. - 2014. - Т.58, №4. - С. 17-21.

34. Крешков, А. П. Основы аналитической химии. Т.2. Теоретические основы. Количественный анализ / А. П. Крешков. - М.: Химия, 1971. - 456 с.

35. Brown, C. W. Matrix Representations and Criteria for Selecting Analytical Wavelengths for Multicomponent Spectroscopic Analysis / C. W. Brown, P.

F. Lynch, R. J. Obremski, D. S. Lavery // Analytical Chemistry. - 1982. -Vol.54, №9. - P. 1472-1479.

36. Haaland, D.M. Application of new least-squares methods for the quantitative infrared analysis of multicomponent samples / D. M. Haaland, R.

G. Easterling // Applied Spectroscopy. - 1982. - Vol.36, №6. - P. 665-673.

37. Maris, M. A. Nonlinear Component Analysis by Infrared Spectrophotometry / M. A. Maris, C. W. Brown, D. S. Lavery // Analytical Chemistry. - 1983. - Vol.55, №11. - P. 1694-1703.

38. Берштейн, И. Я. Спектрофотометрический анализ в органической химии / И. Я. Берштейн, Ю. А. Каминский. - М.: Химия, 1986. - 200 с.

39. Применение ЭВМ в химических и биохимических исследованиях / Под ред.Ч. Е. Клопфенштейна, Ч. Л. Уилкинса. - М.: Химия, 1976. - 296 с.

40. Boudon, C. Electrochemistry of mono- through hexakis-adducts of C60 / C. Boudon, J.-R. Gisselbrecht, M. Gross, L. Isaacs, H. L. Anderson, R. Faust, F. Diederich // Helv.Chim.Acta. - 1995. - Vol.78. - P. 1334-1344.

41. Hirsch, A. Regiochemistry of Multiple Additions to the Fullerene Core: Synthesis of a Th-symmetric Hexakisadduct of Coo and Di(ethoxycarbonyl)methylene / A. Hirsch, I. Lamparth, T. Grösser, H. R. Karfunkel // J. Am. Chem. Soc. - 1994. - Vol. 116. - P. 9385-9386.

42. Mishra, P. Spectrophotometric Methods for Simultaneous Estimation of Nebivolol Hydrochloride and Amlodipine Besylate in Tablets / P. Mishra, K. Shah, A. Gupta // International Journal of Pharmacy and Pharmaceutical Sciences. - 2009. - Vol.1, Issue 2. - P. 55-61.

43. Hirsch, A. Fullerene Chemistry in Three Dimensions: Isolation of Seven Regioisomeric Bisadducts and Chiral Trisadducts of C60 and Di(ethoxycarbonyl)methylene / A. Hirsch, I. Lamparth, H. R. Karfunkel // Angew. Chem. Int. Ed. Engl. - 1994. - Vol.33. - P. 437-438.

44. Cardullo, F. Bis- through Tetrakis-Adducts of C60 by Reversible Tether-Directed Remote Functionalization and systematic investigation of the changes in fullerene properties as a function of degree, pattern, and nature of functionalization / F. Cardullo, P. Seiler, L. Isaacs, J. F. Nierengarten, R. F. Haldimann, F. Diederich, T. Mordasini-Denti, W. Thiel, C. Boudon, J. P. Gisselbrecht, M. Gross // Helvetica Chimica Acta. - 1997. - Vol. 80. - P. 343371.

45. Yang, C. Heteroanalogues of PCBM: N-Bridged Imino-PCBMs for Organic Field-Effect Transistors / C. Yang, S. Cho, A. J. Heeger, F. Wudl // Angew. Chem. Int. Ed. - 2009. - Vol. 48. - P. 1592-1595.

46. Биглова, Ю. Н. УФ-спектроскопия производных метанофуллеренов с различной степенью замещения / Ю. Н. Биглова, В. А. Крайкин, С. А. Торосян, С. В. Колесов, М. С. Мифтахов, В. В. Михеев, А. Г. Мустафин // Журнал физической химии. - 2013. - Т.87, № 10. - С. 1705-1708.

47. Giacalone, F. Fullerene Polymers: Synthesis and Properties / F. Giacalone, N. Martin // Chem. Rev. - 2006. - Vol.106. - P. 5136-5190..

48. Макунин, А. В. Полимер-наноуглеродные композиты для космических технологий / А. В. Макунин, Н. Г. Чеченин. - М.: Университетская книга, 2011. - 150 с.

49. Ford, W.T. Structure and Radical Mechanism of Formation of Copolymers of C6o with Styrene and with Methyl Methacrylat / W.T. Ford, T. Nishioka, S.C. McCleskey, T.H. Mourey // Macromolecules. - 2000. - Vol.33, №7. - P. 2413-2423.

50. Cao, T. Free-radical copolymerization of fullerenes with styrene. / T. Cao, S.E. Webber // Macromolecules. - 1995. - V.28. - №10. - P. 3741-3743.

51. Cao, T. Free radical copolymerization of styrene and C60. / T. Cao, S.E. Webber // Macromolecules. - 1996. - V.29. - №11. - P. 3826-3830.

52. Андрианов, А. Л. Л. В. Канторович как создатель линейного программирования / А. Л. Андрианов // Вопросы истории естествознания и техники. - 2009. - №4. - С. 77-89.

53. Карманов, В. Г. Математическое программирование / В. Г. Карманов. - 5 изд. - М.: Физматлит, 2004. - 264 с.

54. Кузнецов, Ю. Н. Математическое программирование / Ю. Н. Кузнецов, В. И. Кузубов, А. Б. Волощенко. - М.: Высшая школа, 1980. -302 с.

55. Моисеев, Н. Н. Методы оптимизации / Н. Н. Моисеев, Ю. П. Иванилов, Е. М. Столярова. - М.: Физматлит, 1978. - 352 с.

56. Соловьев, В. И. Методы оптимальных решений: Учебное пособие / В. И. Соловьев. - М.: Финансовый университет, 2012. - 364 с.

57. Юдин, Д. Б. Задачи и методы линейного программирования / Д. Б. Юдин, Е. Г. Гольштейн. - М.: Советское Радио, 1961. - 494 с.

58. Анциферов, Е. Г. Методы оптимизации и их приложения. Ч. 1. Математическое программирование / Е. Г. Анциферов, Л. Т. Ащепков, В. П. Булатов. - Новосибирск: Наука, 1990. - 160 с.

59. Васильев, Ф.П. Методы оптимизации / Ф. П. Васильев. - М.: Факториал Пресс, 2002. - 824 с.

60. Абрамов, Л. М. Математическое программирование / Л. М. Абрамов, В. Ф. Капустин. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1981. - 328 с.

61. Аоки, М. Введение в методы оптимизации / М. Аоки. - М.: Наука, 1977. - 334 с.

62. Зуховицкий, С. И. Линейное и выпуклое программирование / С. И. Зуховицкий, Л. И. Авдеева. - М.: Наука, 1967. - 460 с.

63. Васильев, Ф. П. Линейное программирование / Ф. П. Васильев, А. Ю. Иваницкий. - М.: Факториал, 1998. - 174 с.

64. Еремин, И. И. Введение в теорию линейного и выпуклого программирования / И. И. Еремин, Н. Н. Астафьев. - М.: Физматлит, 1976. - 192 с.

65. Моисеев, Н. Н. Методы оптимизации / Н. Н. Моисеев, Ю. П. Иванилов, Е. М. Столярова. - М.: Наука, 1978. - 351 с.

66. Монахов, В. М. Методы оптимизации / В. М. Монахов, Э. С. Беляева, Н. Я. Краснер. - М.: Просвещение, 1978. - 174 с.

67. Гасс, С. Линейное программирование / С. Гасс. - М.: Физматгиз, 1961. - 303 с.

68. Банди, Б. Основы линейного программирования / Б. Банди. - М.: Радио и связь, 1989. - 176 с.

69. Палий, И. А. Линейное программирование. Учебное пособие / И. А. Палий. - М.: Эксмо, 2008. - 256 с.

70. Кремер, Н. Ш. Исследование опреций в экономике: учебное пособие для вузов / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин, М. Н. Фридман. -М.: ЮНИТИ, 2005. - 407 с.

71. Ашманов, С. А. Линейное программирование / С. А. Ашманов. - М.: Наука, 1981. - 340 с.

72. Кормен, Т. Х. Алгоритмы: построение и анализ / Т. Х. Кормен, Ч. И. Лейзерсон, Р. Л. Ривест, К. Штайн. - 2-е изд. - М.: Издательский дом "Вильямс", 2005. - 1296 с.

73. Ремез, Е.Я. Основы численных методов чебышевского приближения / Е. Я. Ремез. - Киев: Наукова думка, 1969. - 623 с.

74. Великанов, М. А. Ошибки измерения и эмпирические зависимости / М. А. Великанов. - Л.: Гимиз, 1962. - 302 с.

75. Зайдель, А. Н. Элементарные оценки ошибок измерений / А. Н. Зайдель. - Л.: Наука, 1968. - 96 с.

76. Кемниц, Ю. В. Теория ошибок измерений / Ю. В. Кемниц. - М.: Наука, 1967. - 176 с.

77. Свешников, А. А. Основы теории ошибок / А. А. Свешников. - Л.: Изд-во Ленинград. ун-та, 1972. - 122 с.

78. Спивак, С.И. Оценка погрешности и значимости измерений для линейных моделей / С. И. Спивак, О. Г. Кантор, Д. С. Юнусова, С. И. Кузнецов, С. В. Колесов // Информатика и ее применения. - 2015. - Т.9, Вып.1. - С. 90-100.

79. Спивак, С. И. Об одном подходе к оценке погрешности и значимости измерений в линейных задачах / С. И. Спивак, О. Г. Кантор, Д. С. Юнусова // Журнал Средневолжского математического общества. - 2014. - Т.16, №2. - С. 14-19.

80. Спивак, С. И. Вариация параметров математических моделей в пределах погрешности измерений / С. И. Спивак, Д. С. Юнусова // Математическое моделирование процессов и систем: Материалы II Всероссийской научно-практической конференции с международным

участием. - Стерлитамак: Стерлитамакский филиал БашГУ, 2013. - С. 130-133.

81. Марчук, Г. И. Методы вычислительной математики / Г. И. Марчук. -М.: Наука, 1977. - 457 с.

82. Спивак, С.И. Методы построения кинетических моделей стационарных реакций / С. И. Спивак, В. И. Тимошенко, М. Г. Слинько // Химическая промышленность. - 1979. - №3. - С. 33-36.

83. Канторович, Л. В. Экономический расчет наилучшего использования ресурсов / Л. В. Канторович. - М.: Изд-во Академии наук СССР, 1960. -347 с.

84. Канторович, Л. В. Оптимальные решения в экономике. / Л. В. Канторович, А. Б. Горстко. - М.: Наука, 1972. - 231 с.

85. Торосян, С.А. Бис(аллилоксикарбонил)метанопроизводные фуллерена С60 / С. А. Торосян, Ф. А. Гималова, В. В. Михеев, А. А. Фатыхов, Ю. Н. Биглова, М. С. Мифтахов // Журнал органической химии. - 2011. - Т.47, №12. - С. 1771-1774.

86. Torosyan, S.A. Synthesis of fullerene-containing methacrylates / S. A. Torosyan, Y. N. Biglova, V. V. Mikheev, Z. T. Khalitova, F. A. Gimalova, M. S. Miftakhov // Mendeleev Communications. - 2012. - Vol.22, №4. - P. 199200.

87. Кузнецов, С.И. Фуллеренсодержащие полимеры. УФ-спектроскопическое исследование / С. И. Кузнецов, Р. Х. Юмагулова, Ф. Ф. Хамидуллин, Н. А. Медведева, С. В. Колесов // Высокомолекулярные соединения. Серия А. - 2012. - Т.54, №6. - С. 859-864.

88. Parra, A. First and second derivative spectrophotometric determination of cefoperazone and sulbactam in injections / A. Parra, J. Garcia-Villanova, V. Rodenas, M. D. Gomez // J. Pharm. Biomed. Anal. - 1994. - Vol.12, №5. - P. 653-657.

89. Спивак, С. И. Определение содержания фрагментов фуллерена в макроцепях полимеров с помощью линейного программирования / С. И. Спивак, О. Г. Кантор, Д. С. Юнусова // Теоретические и

экспериментальные исследования процессов синтеза, модификации и переработки полимеров: сборник тезисов II Всероссийской научной конференции. - Уфа: РИЦ БашГУ, 2014. - С. 97-98.

90. Спивак, С.И. Анализ смесей фуллеренсодержащих продуктов / С.И. Спивак, О.Г. Кантор, Д.С. Юнусова // Устойчивость и процессы управления: Материалы III международной конференции. - СПб.: Издательский Дом Федотовой Г.В. - 2015. - С. 553-554.

91. Спивак, С.И. Предельно-допустимые оценки параметров физико-химических моделей / С.И. Спивак, О.Г. Кантор, Д.С. Юнусова // Башкирский химический журнал. - 2015. - Т.22. - №3. - С. 12-17.

92. Спивак, С. И. Корректировка измерений в задаче определения концентрации содержания фрагментов фуллерена в макроцепях полимеров / С. И. Спивак, О. Г. Кантор, Д. С. Юнусова // Математическое моделирование процессов и систем: Материалы III Всероссийской научно-практической конференции с международным участием. -Стерлитамак: Стерлитамакский филиал БашГУ, 2014. - С. 70-75.

93. Спивак, С. И. Определение параметров распределений мольных долей фрагментов фуллерена в макроцепях полимеров / С. И. Спивак, О. Г. Кантор, Д. С. Юнусова // Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий: сборник трудов VII международной конференции «ПМТУКТ-2014». - Воронеж: Издательство «Научная книга», 2014. - С. 352-354.

94. Спивак, С.И. Оценка погрешности и значимости измерений методами линейного программирования / С. И. Спивак, О. Г. Кантор, Д. С. Юнусова // Известия Уфимского научного центра РАН. - 2014. - №2. -С. 62-67.

95. Кузнецов, С.И. Количественный УФ спектрофотометрический анализ смесей замещенных фуллеренов С60 / С. И. Кузнецов, Д. С. Юнусова, Р. Х. Юмагулова, М. С. Мифтахов, С. В. Колесов, С. И. Спивак, О. Г. Кантор // Журнал прикладной спектроскопии. - 2015. - Т.82, №4. - С. 608-615.

96. Спивак, С. И. Предельно допустимые оценки расчета параметров физико-химических моделей / С. И. Спивак, О. Г. Кантор, Д. С. Юнусова,

С. И. Кузнецов, С. В. Колесов // Доклады академии наук. - 2015. - Т.464, №4. - С. 437-439.

97. Спивак, С.И. Анализ смесей фуллеренсодержащих продуктов / С.И. Спивак, О.Г. Кантор, Д.С. Юнусова // Устойчивость и процессы управления: Материалы III международной конференции. - СПб.: Издательский Дом Федотовой Г.В. - 2015. - С. 553-554.

98. Спивак, С. И. Метод определения погрешности экспериментальных данных УФ спектрометрии смесей замещенных фуллеренов / С. И. Спивак, О. Г. Кантор, Д. С. Юнусова // Материалы третьей международной конференции «Информационные технологии интеллектуальной поддержки принятия решений». - Уфа: 2015. - С. 9093.

99. Спивак, С. И. Определение погрешности в экспериментальных данных для линейных моделей / С. И. Спивак, О. Г. Кантор, Д. С. Юнусова // Сборник докладов всероссийской научно-практической конференции с международным участием "Фундаментальные и прикладные проблемы механики, математики, информатики". - Пермь: 2015. - С. 244-247.

100. Кузнецов, С. И. Самоорганизация функционализированных фуллереном С60 макромолекул полиметилметакрилата и полистирола / С. И. Кузнецов, Ф. Ф. Хамидуллин, Р. Х. Юмагулова, Н. А. Медведева, Ю. А. Лебедев, С. В. Колесов // Высокомолекулярные соединения. Серия А. - 2012. - Т.54, №10. - С. 1527-1531.

101. Юмагулова, Р. Х. Особенности формирования фуллерен(С60)содержащих макромолекул стирола и метилметакрилата / Р. Х. Юмагулова, Н. А. Медведева, С. И. Кузнецов, О. В. Стоянов, Г. Е. Заиков, С. В. Колесов // Вестник Казанского технологического университета. - 2013. - Т.16, №3. - С. 136-138.

102. Мину, М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы / М. Мину. - М.: Наука, 1990. - 488 с.

103. Определение содержания фуллерена и его замещенных производных в смеси фуллеренсодержащих продуктов / С. И. Спивак, О.

Г. Кантор, Д. С. Юнусова // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2015617284 от 12 мая 2015 г. -Москва: Реестр программ для ЭВМ.

Приложение I. Свидетельство о государственной регистрации

программы для ЭВМ