Оценки осциллирующих интегралов с выпуклой фазой и их приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Чахкиев, Магомед Абдулгамидович

• Чахкиев, Магомед Абдулгамидович
• доктор физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Чахкиев, Магомед Абдулгамидович

0.ВВЕДЕНИ Е.

1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ.

2. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА

2.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

2.2. СВОЙСТВА ЯДРА G (t, Г}).

2.3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕММЫ 2.2.1.

2.4 СВОЙСТВО ФАТУ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИГЕРА.

2.4.1 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2.1.2. (СЛУЧАЙ ЧЕТНОГО Г).

2.4.2 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2.1.2. (СЛУЧАЙ НЕЧЕТНОГО Г).

3.ОЦЕНКИ ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ ИНТЕГРАЛОВ.

3.1. МОДУЛЬ ОСЦИЛЛЯЦИИ ФУНКЦИИ

3.2. ОЦЕНКИ ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ ИНТЕГРАЛОВ С АМПЛИТУДОЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ.

3.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ МОДУЛЯ ОСЦИЛЛЯЦИИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ.

3.4. ОЦЕНКИ ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ ИНТЕГРАЛОВ С АМПЛИТУДОЙ ИЗ КЛАССОВ ЛИПШИЦА.

3.5. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ОСЦИЛЛИРУЮЩЕГО ИНТЕГРАЛА С ПОЛИНОМИНАЛЬНОЙ ФАЗОЙ.

3.6 ИНТЕГРАЛ ПИРСИ.

3.7. ОЦЕНКИ ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ ИНТЕГРАЛОВ ОТ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценки осциллирующих интегралов с выпуклой фазой и их приложения»

Л.Карлесоном [12] исследовалась задача Коши для простейшего уравнения Шредингера

--га^-^г {a-const, 1тд = 0); i//(x,t) = f(x),xeR (0*1) dt дх

Для функций Дх) имеющих компактный носитель в [12] установлены следующие факты относительно решений задачи (0.1): а) Если /(*) финитна и \f(x)- /0)| = о{\хравномерно, то выполнено свойство Фату, т.е. y/(x,t) стремится к Дх) равномерно по х при t->0. б) Если Дх) финитна и удовлетворяет условию Гелъдера (Липшица)с показателем У2 , т.е. \f(x)-f(y)\ = 0^\x-yf2y то f(t,x) ограничена, но свойство Фату может не выполняться. с) Если функция Дх) удовлетворяет условию Гелъдера с показателем \l<\+s,s>0 или, более общо, Дх) принадлежит классу Соболева я]'4, т.е.

-со то для почти всех xeR решение ц/Ц,х) задачи (0.1) стремится к f{x) при t-+0. г z

Пусть Pr(z)- Pr(a,z) =— + ar-lzr ]+. + ct\Z- многочлен r степени г с вещественными коэффициентами и пусть Dx и Dt следующие дифференциальные операторы:

D^D.-M. i дх i dt

Поставим задачу Коши: найти функцию ¥ = удовлетворяющую соотношениям:

D,4 = Pr{Dx)4, ) = f(x),xeR. (0.2)

В работе [11] утверждения (а) и (б) Л.Карлесона доказаны для многочлена третьей степени p^(z) = z\ т.е. для вырожденного уравнения Кортевега-де Фриза: дш SV ,т , ч г, ч

-f = fl7T (1тд = 0); y/(x,t) = f{x). dt дх

Формально, в смысле дифференцирования под знаком интеграла и подстановки значения / = о обобщенное решение задачи (0.2) можно представить в виде:

00 -оо где -f-CO = — J/(x)exp {-/£*}<&

-CO преобразование Фурье функции /(*) или

1 +СО

-оО где

00 -00

Для исследования решений задачи (0.2) необходимо изучение функций G(t,jj). При малых значениях степени г многочлена pr(z) функция G{t,rj) может быть выражена в терминах известных специальных функций: при г=2 это интеграл Френеля, при г=3 интеграл Эйри, асимптотика которого хорошо изучена, при г=4 интеграл Пирси, где еще оставались вопросы. При г>4 функции G{t,i7) изучены мало, в связи, с чем в диссертации изучаются методы оценки осциллирующих интегралов.

Осциллирующие интегралы встречаются в различных областях математики: математическом анализе, математической статистике и теории вероятностей, математической физике и теории чисел. Постоянно появляющиеся новые приложения осциллирующих интегралов приводят к новым постановкам задач об их оценке и к необходимости обобщения уже известных результатов. Осциллирующим интегралом в соответствии с принятой терминологией, называется интеграл вида

Is - jz/(x)ex р (iAf(x))dx, (0.3) м где x = (xl,.,xs)eR\ м с R", функция и = и(х) называется амплитудой, вещественная функция f(x) называется фазой, Я > 1 -большим параметром. Амплитуда и фаза могут зависеть от ш-мерного параметра t.

Различают две общие задачи об оценке осциллирующего интеграла:

1) Задача об асимптотической оценке осциллирующего интеграла при Л->со и фиксированном значении параметра t (индивидуальные оценки).

2) Задача о равномерной оценке при t с Т с Rmт.е. оценке вида: ls\<C(u)X~a, а> 0, в которой константы С(и) явно указаны.

В диссертации исследуется задача 2). Первые равномерные оценки осциллирующих интегралов были получены в работах И.М. Виноградова и Ван дер Корпута в связи с задачей о числе целых точек в плоских областях [21,22]. Эти методы были развиты в работах Г.И. Архипова, А.А. Карацубы и В.Н. Чубарикова [14,15,16], что в частности позволило им получить полное решение проблемы Хуа JIo-гена о показателе сходимости особого интеграла проблемы Терри в одномерном случае [1]. Используя методы разработанные этими авторами в теории чисел для оценки одномерных осциллирующих интегралов и некоторые модификации метода стационарной фазы Д.А. Поповым [6,7] исследована задача о поточечной сходимости алгоритмов восстановления в двумерной Радоновской томографии и задача о поточечной сходимости сферических методов суммирования интегралов и рядов Фурье характеристических функций областей в R" .

Перечисленные выше методы оценки осциллирующих интегралов (см. также [23,30,31]) предполагают наличие у фазы f(x) достаточного числа производных, и неприменимы для не дифференцируемых функций /(*). Однако для учета эффекта интерференции положительных и отрицательных значений осциллирующего интеграла достаточно только выпуклости функции f(x). В диссертации получены оценки одномерных осциллирующих интегралов с фазами, имеющими конечное число интервалов выпуклости и вогнутости. Получены также оценки кратных осциллирующих интегралов, с фазой имеющей вырожденные и неизолированные особые точки.

Диссертация состоит из введения и четырех глав. Главы, в свою очередь, делятся на параграфы.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Чахкиев, Магомед Абдулгамидович, 2006 год

1. Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Теория кратных тригонометрических сумм. М.: Наука, 1987

2. Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Показатель сходимости особого интеграла проблемы Терри. ДАН СССР. 1979. Т. 248. №2. с.268-272

3. Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы.М.:Наука, 1980

4. Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Тригонометрические интегралы. Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1979. Т. 43. №5. с.971-1003.

5. Попов Д.А. Оценки с константами для некоторых классов осциллирующих интегралов. УМН, 1997, Т. 52, вып. 1, с.77-148.

6. Попов Д.А. Восстановление характеристических функций в двумерной Радоновской томографии. УМН, 1998, Т. 53, вып. 1, с.115-198

7. Попов Д.А. Сферическая сходимость ряда и интеграла Фурье индикатора двумерной области. Труды МИАН, 1997, Т. 218, с.354-373.

8. Крейн М.Г. К теории наилучшего приближения периодических функций. Докл. АН СССР, 1938, т. 18, № 4-5, С.245-251.

9. Ахиезер Н.И. О наилучших приближениях аналитических функций. Докл. АН СССР, 1938, Т. 18, №2, с.241-244.

10. Тихомиров В.Н. Некоторые вопросы теории приближений. М.: Изд. МГУ, 1976.

11. Куркиев А.В. Anal. Math. 1993. V. 19

12. CarlesonL. Some analytic problems related to statistical mechanics//Eucledean harmonic analysis: Proc. Univ. Md, 1979. B. etc.: Springer, 1979. P.5-45 (Lect. Notes Math.; V. 779).

13. Осколков К.И. Ряды И.М. Виноградова в задаче Коши для уравнений типа Шредингера. Тр. МИАН. 1991. Т. 200, с.265-288.

14. Осколков К.И. Ряды и интегралы И.М. Виноградова и их приложения. Тр. МИАН. 1989. Т. 190,с. 186-221.

15. Чубариков В.Н. Об одном кратном тригонометрическом интеграле. ДАН СССР. 1976. Т. 227. №6, с. 1308-1310.

16. Чубариков В.Н. О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах. Матем. Заметки. 1976.Т. 20, №1, с.61-68

17. Hua loo-Keng/ On the numbers of solutions of Tarry's problem. Acta Sci. Sinica. 1952. V. 1.№1. p. 1-76.

18. Икромов И.А. On the convergence exponent of trigonometric integrals. Тр. МИАН. 1997, Т. 218, с. 179-189.

19. Эрдейн А. Асимптотические разложения. М.:Наука, 1962.

20. Fang. Gensun. PF density, Chahkiev's condition and some related extremal problems. (English) Kexue Tongbao. Sci. Bull. Ed. 33 №19,1584-1587.(1988).

21. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.:Наука, 1980.

22. Van der Corput. Zahlentheoretische Abschatzungen. Math. Ann. 1921. V. 84. №1. p.33-79.

23. Федорюк M. В. Метод перевала. М:Наука, 1977.

24. Хермандер JI. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т. 1. Теория распределений и анализ Фурье. М.:Мир,1986.

25. Никольский С. М. Приближение функций тригонометрическими полиномами в среднем.-Известия АН СССР. Сер. матем., 1946, т. 10, с.207-256.

26. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. 2-е изд. М.:Наука, 1969.

27. Бари Н. К. Тригонометрические ряды ФМ., Москва, 1961.

28. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1. Издательство "Мир", Москва, 1965.

29. Zolotarev G., Korkine A. Sur un certain minimum. -Nuovelles annals de mathematiques., 2-е serie,1873,p.337-355.

30. Арнольд В.И. Интегралы быстро осциллирующих функций и особенности проекций лагранжевых многообразий, Функ. анализ 6:3(1972), 62-62.

31. Арнольд В.И. Замечания о методе стационарной фазы и числах Кокстера. Успехи мат. наук. 1973 .т.ХХVIII вып.5(173). стр. 17-44.

32. Colin de Verdier. Nombre de pointe entere dans une famille homotheique de Domaines in R"// Ann. Ecoll. Norm. Sup. Ser.4 1977. V.40.№4.p.559-575.

33. Arnold's Problems. Springer phases 2004. Ed. V. 1. p. 392393.Публикации автора по теме диссертации

34. Чахкиев М. А. Экспоненциальные полиномы, наименее уклоняющиеся от нуля и оптимальные квадратурные формулы. Доклады АН СССР, т. 260, №6, 1981, с. 1309-1312.

35. Чахкиев М. А. Об оптимальности равноотстоящих узлов. Доклады АН СССР, т. 264, №4, 1982. С.836-839.

36. Чахкиев М. А. Линейные дифференциальные операторы и оптимальные квадратурные формулы. Доклады АН СССР, т. 273, №1, 1983, с.60-65.

37. Чахкиев М. А. Об оптимальности равноотстоящих узлов. Некоторые вопросы прикладной математики. Издательство Московского университета.1982.

38. Чахкиев М. А. Экспоненциальные полиномы наименее уклоняющиеся от нуля и оптимальные квадратурные формулы. Матем. сборник, 120/162, №2, 1983, с.273-285.

39. Чахкиев М. А. Линейные дифференциальные операторы с вещественным спектром и оптимальные квадратурные формулы. Известия АН СССР, т. 48, №5, 1984, с.1078-1108.

40. Чахкиев М. А. О свойстве Фату решения задачи Коши для простейшего уравнения Шредингера. Всесоюзная конференция по теории функций. Тезисы докладов. Ереван, 1987, с.53-54.

41. Чахкиев М. А. Квазимногочлены минимальной нормы и оптимальные квадратурные формулы. Чечено-Ингушский государственный университет. Труды семинаров по дифференциальным и функциональным уравнениям. Грозный, 1990, с.43-57.

42. Чахкиев М. А. О свойстве Фату решения задачи Коши для уравнения Шредингера. Доклады РАН, 1994, т.337, №5, с.589-591.

43. Чахкиев М. А. О свойстве Фату решения задачи Коши для уравнения Шредингера. Международная конференция, посвященная девяностолетию со дня рождения JI. С. Понтрягина. Тезисы докладов. Москва, 1998г.

44. Чахкиев М. А. О показателе сходимости особого интеграла многомерного аналога проблемы Терри. Доклады РАН, 2003, т. 390, №1, с.24-26.

45. Чахкиев М. А. О показателе сходимости особого интеграла многомерного аналога проблемы Терри. Известия РАН, серия матем., т. 67, №2, 2003г. с.211-224.

46. Чахкиев М. А. Оценки осциллирующих интегралов и многочлены Чебышева. Труды одиннадцатых математических чтений МГСУ. Москва, 2004, с.84-89.

47. Чахкиев М.А. Оценки осциллирующих интегралов с выпуклой фазой. Известия РАН, серия матем.,т.70 № 1,2006г. С. 183-220 .