Оценки скоростей сходимости в эргодической теореме фон Неймана тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Хакимбаев Азиз Жамалатдин улы

• Хакимбаев Азиз Жамалатдин улы
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Хакимбаев Азиз Жамалатдин улы

1.2 Общий многомерный случай

2 Спектральный критерий степенной скорости сходимости в эргодической теореме для Zd и М^

2.1 Основные понятия

2.2 Оценки сверху дня норм усреднений

2.3 Оценки сверху для норм усреднений: й =1и й =

2.4 Общий случай й >

3 Максимальная скорость сходимости по норме в эргодической теореме для групп Zd и М^

3.1 Введение в максимальную скорость сходимости

3.2 Спектральные условия дня максимальной скорости сходимости

3.3 Дискретный случай: действия группы Zd

3.4 Непрерывный случай: действия группы М^

4 Эргодическая теорема фон Неймана и суммы Фейера зарядов на

окружности

4.1 Степенные уклонения сумм Фейера гельдеровеких функций

4.2 Унифицирующий результат

4.3 Степенные уклонения сумм Фейера зарядов на окружности

4.4 Степенной роет сумм Фейера зарядов на окружности

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценки скоростей сходимости в эргодической теореме фон Неймана»

Введение

Актуальность темы исследования. Эргодичеекая теория — это раздел математики, изучающий долговременное поведение динамических систем. Её истоки восходят к концу XIX века, когда физики пытались обосновать статистическую механику с помощью математики. Они заинтересовались математическим обоснованием возможности приравнивания продола временных средних некоторой физической величины пространственному среднему этой же величины. Это привело к появлению эргодических теорем, т. е. математических утверждений о существовании продола временных средних вдоль траектории динамической системы, а также о возможности замены этого продола на пространственное среднее. Во второй половине XIX в. Л. Больцман в своих работах попытался обосновать это. Он в своей работе |35| сформулировал «эргодическую гипотезу» о том, что траектория любой точки каждой энергетической поверхности покрывает всю эту поверхность. Нередко бывает, что новая научная идея сформулировалась нечетко. Этот случай тоже не исключение. Но ученые долго не видели математическую некорректность гипотезы. В 1913 г. М, Планшерель |59| и А. Розенгаль |62| математически строго доказали, что «эргодичеекая гипотеза» принципиально не выполнима. В 1931 г. исследования Дж, фон Неймана и Дж. Биркгофа совершили революцию в эргодичеекой теории, переведя ее фокус с физических исследований на математические концепции, конкретно — на теорию множеств и теория операторов. Хотя Дж. фон Нейман опубликовал свой

результат позже, чем доказательство Дж, Биркгофа (соответственно, в |57|, и |34|), сам Биркгоф в работе |34| отметил, что статистическая теорема фон Неймана была доказана раньше, чем индивидуальная.

Теорема фон Неймана — это результат из теории операторов, и скорость сходимости в пей определяется как скорость сходимости числовой последовательности норм отклонений эргодических средних от продола, однако оценка скорости этой сходимости остаётся одной из центральных проблем современной эргодической теории.

Интерес к данной задаче обусловлен как теоретическими, так и прикладными аспектами, С одной стороны, оценка скорости сходимости позволяет глубже попять структуру динамических систем, спектральные свойства операторов и связь между локальными и глобальными характеристиками, С другой стороны, такие результаты находят применение в теории вероятностей, статистической механике, и обработке сигналов, где точность приближения временных средних критически важна.

Эта область достаточно глубоко изучена, что подтверждается работами Качуров-ского и его учеников, опубликованными в статье |12| и обзоре |14|, Однако, несмотря па значительный прогресс в исследованиях, некоторые аспекты этой темы все еще требуют разрешения. Кроме того, в данной области продолжают возникать новые задачи и открытия. Актуальность настоящего исследования связана с преодолением этих ограничений и расширением инструментария эргодической теории па новые классы операторов и динамических систем.

Цель и задачи исследования. Основной целью диссертации является разработка спектральных критериев скорости сходимости в эргодической теореме фон Неймана дня одномерных и многомерных динамических систем, В работе ставятся следующие задачи:

- получить критерии равномерной степенной сходимости па подпространствах в случае дискретного времени;

- получить критерий степенной скорости сходимости эргодических средних в эр-годичеекой теореме фон Неймана для действий групп Ъл ъ М^;

- получить утверждения о максимальной скорости сходимости для эргодических средних в многомерном случае.

Научная новизна. Полученные в диссертации результаты являются новыми. Все представленные утверждения содержат подробные доказательства.

Положения, выносимые на защиту. Наиболее значимыми являются следующие результаты:

- получены критерии равномерной степенной скорости сходимости для общего случая многомерных векторных подпространств в Н со своими нормами (в случае дискретного времени); удалось также получить полное описание всех таких многомерных (нормированных, с собственными нормами) подпространств с равномерной степенной со всеми возможными показателями а € [0; 2] сходимостью;

- показана эквивалентность степенной скорости сходимости в ¿2-норме эргодических средних для Ъл ъ М^ действий — и степенной оценки спектральной меры симметричных й-мерных промежутков: для показателей степеней, являющихся корнями некоторого специального симметрического многочлена от й переменных (при этом в случае й =1 накрывается весь возможный диапазон степенных скоростей);

- показано, что для всех р € [1, максимальная скорость сходимости в

Ьр-норме ееть О (^п1п ПРи п1 ,-■■ ,'пл ^ Для дискретного времени, и О (¿^I ^ ПРи ■ ■ ■ ^ для времени непрерывного; также получен спектральный критерий максимальной скорости сходимости в Ь2-норме;

- получена теорема, унифицирующая классическую теорему Бернштейна о степенных уклонениях сумм Фейера функций Гёльдера — и теорему о степенной скорости сходимости в классической эргодической теореме фон Неймана с дискретным временем.

Теоретическая и практическая значимость, Работа носит теоретический характер, Полученные результаты позволяют оценивать скорость сходимости в эргодической теореме фон Неймана для популярных в приложениях классов динамических систем. Отдельные аспекты работы могут быть интегрированы в научную деятельность математиков, специализирующихся на смежных направлениях, таких как спектральный анализ операторов или теория динамических систем.

Методология и методы исследования, В работе используются методы из разных направлений анализа, В том числе: теория операторов, гармонический анализ, функциональный анализ. Кроме того, используются факты из теории динамических систем и теории вероятностей.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность представленных результатов подтверждена подробными доказательствами.

Результаты диссертации были представлены на следующих конференциях:

- международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов — 2020": докладом на семинаре по теории ортогональных и тригонометрических рядов под руководством М, К, Потапова, В, А, Скворцова, Т. П, Лукашенко, М, И, Дьяченко (Москва, ММФ МГУ, 2020);

- международная научная студенческая конференция "МНСК — 2021" (Новосибирск, НГУ, 2021);

- международная конференция по геометрическому анализу памяти Ю.Г, Решет-няка (Новосибирск, ИМ СО РАН, 2022);

- международная школа — конференция но теории точечных процессов (Суздаль, МИАН, 2022);

- международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов — 2024": докладом на семинаре Смолянова "Бесконечномерный анализ и математическая физика" (Москва, ММФ МГУ, 2024);

- международная научная студенческая конференция "МНСК — 2024" (Новосибирск, НГУ, 2024);

- международная конференция но геометрическому анализу "Решетняк — 95" (Новосибирск, ИМ СО РАН, 2024).

Основное содержание диссертации отражено в четырех работах автора, опубликованных в журналах, входящих в официальный перечень ВАК и индексируемых в системах цитирования Web of Science и Scopus, Из них одна совместная работа с А, Г, Качуровским и М, Н, Ланштаевым |67|; две совместные работы с А, Г, Качу-ровским и И, В, Подвигиным |68|, |70|; одна совместная работа с А, Г, Качуровским, И, В, Подвигиным и В, Е, Тодиковым |69|, В совместных работах результаты принадлежат в равной мере всем соавторам.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из 93 страниц, из которых 7 отведено на библиографию. Структура работы включает введение, четыре главы, заключение и список литературы, включающий 70 наименований.

Краткий обзор диссертации. Во введении обсуждаются актуальность и степень разработанности темы исследования. Приведены цель работы и задачи, научная новизна, теоретическая значимость работы, методология и методы исследования, выносимые на защиту результаты, обоснованность и достоверность результатов. Указаны сведения об апробации работы.

Глава 1. Рассматривается степенная равномерная (в операторной норме) сходимость на векторных подпространствах со своими нормами в эргоди ческой теореме фон Неймана с дискретным временем. Найдены все возможные показатели степени рассматриваемой степенной сходимости; дня каждого из этих показателей даны спектральные критерии такой сходимости (теоремы 3, 4) и получено полное описание всех таких подпространств (теорема 5), Равномерная сходимость на всем пространстве имеет место лишь в тривиальных случаях, что объясняет интерес к равномерной сходимости именно на подпространствах.

Кроме того, попутно обобщены и уточнены старые оценки скоростей сходимости в эргоди ческой теореме фон Неймана дня сохраняющих меру отображений (теорема 1), Результаты этой главы опубликованы в статье |68|,

Глава 2. Глава посвящена исследованию степенной скорости сходимости эрго-дических средних для действий групп Zd и М^ в пространствах Ь2. Основной результат — доказательство эквивалентности между степенной скоростью сходимости эргодических средних и степенной оценкой спектральной меры симметричных й -мерных параллелепипедов (теоремы 8, 9, 11), В одномерном случае (й =1) критерий охватывает весь диапазон возможных скоростей. Дня многомерных случаев (й > 2) введены специальные симметрические многочлены, корни которых определяют показатели степенных оценок (теорема 11), Результаты обобщают известные одномерные случаи и предлагают новые подходы дня анализа многомерных динамических систем. До всех возможных показателей степеней этот результат позже был распространен И, В, Подвигиным в |26|; в |25| аналогичный результат ранее был получен дня усреднения но многомерным шарам. Результаты этой главы опубликованы в статье |69|,

Глава 3. В этой главе исследуется максимальная скорость сходимости в эргоди-ческой теореме для групп Zd и М^, Рассматриваются эргодические средние по парал-

лелепипедам для й коммутирующих автоморфизмов (потоков) вероятностного пространства, Получен спектральный критерий дня максимальной скорости сходимости в Ь2 -норме (теоремы , ), Результаты этой главы опубликованы в статье [ ],

Глава 4. В данной главе исследуется важное понятие интегрального условия Гёльдера для зарядов, что позволило унифицировать классическую теорему Берн-штейна о степенных уклонениях сумм Фейера функций Гёльдера — и теорему о степенной скорости сходимости в эргодической теореме фон Неймана, Доказано достаточное условие степенного уклонения сумм Фейера в классе измеримых зарядов (теоремы 17, 18), Результаты этой главы опубликованы в статье |67|,

В заключении сформулированы основные выводы, обобщающие полученные па-у чпые результаты,

1 Равномерная сходимость на подпространствах в эргодической теореме фон Неймана с дискретным временем

1.1 Одномерные подпространства с равномерной степенной сходимостью

1.1.1. Пусть % — гильбертово пространство и U : H ^ H — унитарный оператор. Для каждого вектора f G H и всех n,m G Z таких, что n > m рассмотрим эргодиче-ские средние

I n— 1

Pn,mf / U f.■

n — m '

k=m

Эргодическая теорема фон Неймана утверждает для каждого вектора f G H существование предела по норме пространства H

lim Pn,mf = f* := Pf,

где P — ортогональный проектор на подпространство неподвижных векторов оператора U. Пусть {E(А)}де(—п,п] — разложение единицы унитарного оператора U (см., например, [ , §71]), Тогда для любых векторов f,g gH справедливо представление

(Ukf,g)H = j eikX d(E(А)f,g)H,

для всех k G Z, и можно ввести спектральные меры af,g — такие конечные борелев-ские меры на (—п, п], что для всех борелевских множеств C С (—п,п]

fg (C) = J d(E (А )f,g)„;

с

обозначим af = af,f ■ Рассмотрим ядра Фейера

1 sin2 nx

фп(х) =--, 0 < |x| < п; фп(0) = n;

n Sin2 x

отмстим хорошо известные (см., например, |2, §47|) очевидные неравенства

1 п2 п

-Фп(х) < —^ ДЛЯ - < |х| < п; (1)

п п2х2 п

— Фп(х) < 1 для |х| < п. (2)

п

При всех целых п > т справедливо интегральное представление

\\Pnamf II н = ! 1 Фп—т(А) daf (А). (3)

,} п — т

В случае т = 0 эта формула хорошо известна — см., например, [11, теорема 18.2.1];

п > т

Полное описание всех одномерных подпространств с равномерной степенной (с показателями меньше 2) сходимостью фактически было дано в |17, 18|, где рассматривались эргодические средние полугрупп изометрических операторов {ип}п>0 в Ь2(П), порожденных эндоморфизмами вероятностного пространства П (т. е. обычная эргодическая теорема фон Неймана дня сохраняющих меру отображений). Поскольку представление (3) справедливо и дня тех эргодических средних (подробности см., например, в |17, 18|), а константы наших оценок обеих частей теоремы 1 ниже точнее соответствующих им констант из |17, 18|, то доказательство теоремы 1 немедленно дает и уточнение тех старых оценок.

Основное уточнение получилось за счет другого подхода к доказательству .леммы 1 ниже. В |17, 181 для оценки интеграла от ядра Фейера но спектральной мере использовалось разложение его в ряд (следуя подходу из |12|). Мы здесь применяем для оценки этого интеграла оказавшийся здесь бо.лее подходящим метод интегрирования по частям, предложенный Гапошкипым в |5|, Отметим также, что, поскольку представление (3) справедливо и для (рассматривавшихся в |5|) средних стационарных в широком смысле процессов — см., например, |11, теорема 18,2,1|, то наша теорема 1 имеет точный аналог и для тех стохастических процессов.

Далее нам потребуются следующие две технические леммы, уточняющие соответствующие им леммы 1 и 2 из |17, 18|,

Лемма 1. Для всех целых п > т справедливо неравенство

П

\\Pnmf - /*\\Н < Г^т^ [ х—3а,—,* (—х,х]йх + ( 1 ,2 II/-Г\\ч. Н (п — т)2 ] (п — т)2

п

— — т

Доказательство леммы . Для всех целых п > т по представлению ( )

\ \ Рп,ш/ — /* \\ Н = I I Рп,ш(/ — /* ) \\ Н = / Фп-т(х) йа;—;* (х) =

J п — т

(—п,п\

С 1 [ 1

Фп-т(х) йа;* (х)+ -Фп-т(х) йа;— ;* (х) +

п — т J п — т

( , ^ ] (— П, ]

\ — — т ' — — т J \ '- = ш]

+ I -1-Фп—т(х) йа;—;* (х).

] п — т

( — ,п]

\ — — т ' J

Пусть С(х) = а;—;*(—п, х]; ясно, что 0(х) — монотонная функция. Поскольку * является конечной борелевской мерой, то С(х) будет функцией ограниченной вариации на (—п,п]. Таким образом, наряду с интегралом Лебега-Стилтьеса можно рассмотреть интеграл Римана-Стилтьеса по функции С(х). Если Н(х) непрерывная на [а, Ь] функция, то для нее существует интеграл Римана-Стилтьеса, и его значение совпадает с иптеграном Лебега-Стилтьеса:

J Н(х)йС(х) = J Н(х)йа;—;*(х).

[а,Ь] [а,Ь]

Теперь, если ^(х) непрерывна и имеет ограниченную вариацию на [а,Ь], то J Н(х)йС(х) = Н(Ь)С(Ь) — Н(а)С(а) — ^ С(х)йН(х).

[а,Ь] [а,Ь]

Это аналог формулы интегрирования но частям дня интеграла Римана-Стилтьеса (см, [ , теорема 6,30]; а также [ , гл. II, §6, теорема 11]), Поскольку функция С непрерывна справа, то последняя формула справедлива и для полуинтервалов (а, Ь].

С учетом неравенств (1) и (2) получаем:

п

\\Рп,т/ — /*\\Н < dG(x)+( )2

н ' (п — т)2

х dG(x) +

{ —п п 1

V п —т ' п—т ]

(—П, — 1

п—т

+

п

(п — т)2

х dG(x) — С

( — ,п]

п—т

п

п — т

— + п — т

+

п

(п — т)2

С(х)

V (

— 7Г

— 7г п —т

п — т Г

\

+ 2 х—3С(х) dx

+

+

п

С(х)

п /

П ^

-3

+ 2 х-3С(х) dx

п — т

/

(п — т)2 х2

Вычисляя получившиеся значения, делая замену у = —х в интеграле / х-3С(х) dx и учитывая равенство С(х) — С(—х) = а/—/* (—х,х], в итоге по-

-П

лучасм требуемую оценку

1\Рп.„„/ — / 1Н < Я—п> + 2п2

(п — т)2 (п — т)2

х а/—/* (—х,х] dx.

Лемма 2. Пусть а € (0,п]; тогда для всех £ € Е,т € таких что £ > т + 1, справедливо неравенство

вт ■

а 2

а/—/*

а

а

£ — т £ — т

< \\%т/ — /1Н

Доказательство леммы 2. Обозначим I = (—7-^-, . Используя представле

V г г J ^

ние ( ) и неравенства 1 > ^^ > ^^ при 0 < |х| < |у| < п, получаем:

\!%т/ — / *ВН = \!%т(/ — /

> / ^^ ,,*/—/. (А)

(-П,П]

[£] — т

вт

[£] — т

— т) вШ -2

Ф[4]—т(А) —/*(А) >

—/*(А) >

2

П

П

П

пт

2

2

1

2

ОЫМ2 r /siníí-^ 2

— / I (MJ)A j d*/-f * W — / ^H -f* (A) —

/ sin ^\2 ^ /-in f\2 ^

> min —-—^ //* (I) = min —а/_/* (I)

- |л|<t-am V / f f м<Л f У f f

2

a / V t - m t - m

sin ^ \ / a a

1.1.2. Спектральные критерии степенной сходимости. Для а е [0, 2] поло-

жим

„2-а

р(а) = inf

2

f>0 sin x

Нетрудно убедиться, что при а = 0 точная нижняя грань достигается при x ^ 0+, и поэтому р(0) = 1. При а = 2 ипфимум достигается в точках xn = п/2 + nn, n — 0 и также равен единице: р(2) = 1. Для а е (0, 2) инфимум достигается на первом положительном решении уравнения tg x = ^zfa. Этот корень не превосходит п/2, поэтому р(а) < (П^)2 а при всех а е [0, 2]. Эта оценка является хорошим приближением р(а) при а близких к 2. Можно также легко про верить, что 1 < р(а) < sin- 2(1); при этом значение sin- 2(1) достигается при а = 2(1 — ctg(1)).

В следующих теоремах 1 и 2 мы приводим спектральные критерии степенной скорости сходимости в эргодической теореме фон Неймана, Рассмотрим сначала случай показателя а е [0, 2), который ранее был разобран в [ ] (см, также [ , ]); здесь мы попутно уточняем все ранее полученные константы.

Теорема 1. Пусть а е [0, 2); зафиксируем f е H. Тогда:

1) Если спектральная мера а/- /* имеет степенную особенность в нуле, т. е. если, для некоторой положительной константы, А при, всех ó е (0,п] выполняется неравенство

а/-/* (—ó, ó] < А0а,

то скорость сходимости эргодичсских средних Рп,т/ — степенная с тем же показателем, степени, т. е. для, любых целых п > т будет

2 Па

I I Рпш1 - I * I1 2 < А-—---.

1 1 п,т -1 11 н < 2 - а (п - т)а

2) Если скорость сходимости эргодических средних Рп,т1 — степенная, т. е. если для, некоторой положительной константы, В такой, что для, любых целых п > т

I I Рп,т! - I*11н < В(п - т)—а,

тпо спектральная мера а /—/ * имеет степенную особенность в нуле с тем же показателем степени, т. е. для, любого 5 Е (0, п] будет

а/—у * (-5,5] < Вр(а)6*( < В (П.

Доказательство теоремы 1. Для доказательства первой части теоремы воспользуемся леммой 1:

I I Рп,т1 - I * 11 н < ( 2п2 )2 [ х—3 а/—у * (-Х,х] ¿х +( 1 )2 11 I - I * 11 н < н (п - т)2 ] (п - т)2 н

П

2п2 Г

< А--- ха—3 ¿х + А

(п - т)2 ] (п - т)2

п

п —т

2п2 1

А-,-гх--х

а-2

+А

(п — т)2 а — 2 —^ (п — т)2

п—т

. 2 па Л а па А---:--А-

2 - а (п - т)а 2 - а (п - т)2

Дня доказательства второй части теоремы воспользуемся леммой 2, Представляя

пт

па

произвольное 6 G (0, п] в виде 6 = tfm ПРИ t ^ т + Iй a G (0, п], получаем:

-/-/• (-м = -/-/• (-t-m r-m] < (А)2 «'W - лн <

<( Siflj B([t]- < Uní) B (t - m)

2 ■

a \2 /« \2 2a

a

2 fa)2_a

—^ 2aa-a B6a = V272 B6a. sin a y sin2 2

Минимизация константы в последнем выражении по a G (0, п] приводит к требуемому неравенству, что и завершает доказательство теоремы 1. □

Как уже отмечалось, константы оценок обеих частей теоремы 1 точнее констант соответствующих им оценок из |17, 18|: константа оценки первой части лучше за счет интегрирования но частям (вместо разложения в ряд) при подсчете интеграла от ядра Фейера при пашем доказательство леммы 1; константа оценки второй части теоремы получилась точнее за счет того, что паше доказательство использует незамеченную в |18| возможность дополнительной оптимизации, а в |17| еще стояла

>2-a

грубая первоначальная оценка р(а) <

Разумеется, аналоги спектрального критерия степенной скорости сходимости теоремы 1 могут быть получены и дня более широкого диапазона скоростей. Следующий диапазон был предложен Ганошкиным в |5|,

Замечание 1. Пусть а € [0, 2), и функция ф(и) — слабо колеблющаяся на [1, то), т, е. для любого 5 > 0 функция ф(м)мг монотонно возрастает, а функция р(п)п-г монотонно убывает. Тогда аналог утверждения теоремы 1 может быть получен и для всех скоростей сходимости вида п-аф(п) (утверждение теоремы 1 соответствует случаю ф(п) = 1; при а = 0 и ф(п) = 1пв п, в > 0 получаем аналог этого утверждения дня логарифмических скоростей; рассматриваемый диапазон скоростей включает и все скорости вида п-а 1пв п для всех а € (0, 2) при всех в)-

Доказательства аналогов теоремы 1 дня указанных выше скоростей могут быть

получены так же, как и утверждения теоремы 1, конкретизацией оценок лемм 1 и 2 дня каждой из этих скоростей; поэтому мы и сформулировали эти утверждения в виде двух отдельных лемм (вынеся их из доказательства теоремы 1),

Нас же в этой работе интересуют исключительно степенные скорости. Следующий спектральный критерий степенной с показателем а = 2 скорости сходимости в эргодической теореме фон Неймана был получен Робинсоном в |61|, Мы приводим здесь это утверждение в нужной нам форме, выписав в явном виде соотношения между возникающими константами.

Теорема 2 (Робинсон [ ]). Зафиксируем, I еН. Тогда: 1) Если

^2ГХ daf-f *(x) = A < Ж sin

Sin 2

то скорость сходимости эргодических средних Pn,mf — степенная с показателем степени 2, т. е. при всех целых n > m

| | Pn,mf - f *I1 h < A(n - m)-2.

2) Если скорость сходимости эргодических средних Pn,mf — степенная с показателем степени 2, т. е. если для, некоторой положительной константы B при n > m

| | Pn,mf - f * 11 H < B (n - m)-2,

I —rx d°f-f *(x) < A

J sin2 x

где можно положить A = 2B.

1.1.3. О максимально возможной скорости сходимости. Как показывает следующее замечание, скорость сходимости O(n - m)-2 при n - m ^ ж является максимально возможной в рассматриваемой эргодической теореме фон Неймана,

Замечание 2 (Батзер, Веетфал |38|; Гапошкип |6|; Седалищев |29|). Степенной еко-

а>2

о(п - т)—2 при п - т ^ ж бывает только в вырожденном случае I = I*,

Таким образом, теорема 2 дает спектральный критерий максимальной скорости сходимости; известен также критерий в терминах когомологичноети нулю усредняемой функции I.

Замечание 3 (Браудер |37|; Батзер, Веетфал |38|). Максимально возможная скорость сходимости имеет место тогда и только тогда, когда

I =(и - I)дг + д2

для некоторых д\,д2 Е Н при ид2 = д2.

а=2

ждепия 2 теоремы 1 справедлив и в этом случае: доказательство проходит без изменений, А вот аналог утверждения 1 этой теоремы не имеет места, пи с какими константами: условие а/* (-5,5] = 0(52) при 5 ^ 0 не является, вообще говоря, достаточным для выполнения соотношения I I Pn,mf' -1* 11^ = 0(п - т)—2 при п - т ^ ж (см, замечание 2 к теореме 3 в |12|), Тем не менее, справедлив следующий ослабленный вариант этого соотношения.

Предложение 1. Пусть I Е Н и а = 2. Если существует положительная константа А, такая, что для, всех 5 Е (0, п] выполняется, неравенство

а/—/* (-5,5] < А52,

п > т

I I Рп^ - I * 11 н < Ап

*||2 / л 2 1 + 21п(п - т)

( п - т) 2

Доказательство предложения 1. Учитывая оценку ||/ — / *||^ = а/_/*(—п,п] < Ап2, но лемме 1 получаем

п

11рп,т/ — /*||Н < (П—/ х_3а/_/*(—Х,х] ^ + ^II/ — /* 11Н <

п

п — гп

п

„ 2п2 А 1 , , п2 „ 2 1 + 21п(п — т)

< А?-- -¿X + А?-^ = Ап2-?-1 ,2 ;.

(п — т)2 ,/ х (п — т)2 (п — т)2

п

п — гп

Рассмотрим теперь случай а > 2 в условиях теоремы , Следующее предложение в качестве аналога утверждения 1 теоремы для случая а > 2 дает еще один достаточный признак максимальной скорости сходимости.

Предложение 2. Пусть / € Н и а > 2. Если существует положительная константа А, такая, что для, всех 5 € (0, п] выполняется неравенство

а/_/* (—5,5] < А5а,

то для, всех целых п > т

„ а па

||Рп,т/ — /*||Н < А

а — 2 (п — т)2

Доказательство предложения 2. Учитывая оценку ||/ — /*||Н = а/_/* (—п,п] < Апс по лемме 1 получаем

п

||Рп,т/ — /*||Н < ( 2п2 ^ / х_3а/_/*(—х,х] ¿х +( 1 ||/ — /*||Н < н (п — т)2 ] (п — т)2

+А

п

<А 2п2 / х«_3 + А па = А 2п2 1 х„_2 < (п — т)2 У (п — т)2 (п — т)2 а — 2 ' (п — т)2

п

п — гп

Л а па 2 па = А---— - А

а — 2 (п — т)2 а — 2 (п — т)а 20

п —т

1.2 Общий многомерный случай

1.2.1. Степенные равномерные сходимости на подпространствах. Следующая теорема является следствием (естественной переформулировкой на общий многомерный случай) теоремы 1.

Теорема 3. Пусть а е [0, 2), Н — гильбертово пространство, X С Н — его векторное подпространство со своей нормой I I ■ I I Х. Тогда:

1) Если существует положительная константа, А, такая, что для, всех I Е X 5 Е (0, п]

а/—/*(-5,5] < А I I I11 X5а,

то имеет место степенная равномерная сходимость на пространстве X в теорем,е фон Неймана: для, любых целых п > т

О тга

22

| | Рп,т Р 11 Х^н < А

2 - а (п - т)а

2) Если имеет место степенная равномерная сходимость на пространстве X в теорем,е фон Неймана, т. е. существует положительная константа, В такая,

п > т

I I Рп,т - Р11 Х^н < В(п - т)—а,

то при всех I Е X спектральная мера а/—/* имеет степенную особенность в нуле с тем же показателем степени, т. е. для, всех 5 Е (0, п]

/ /п \ 2—а

а/—/*(-5,5] < Вр(а)11 I11 X5^< В (-) I I I11 X5а

Доказательство теоремы, 3. Из первой части теоремы 1 следует, что

2 па

| I №,„,- Р^ I| н < А2-а(п-таI| II| Х.

п > т

И(Рп,т — Р)/А 2 йИр й~ёц2 < А'<

/:/=о ||/||Х " 2 — а (п — т)а'

Докажем вторую часть теоремы. Из равномерной сходимости эргодических средних мы получаем, что для всех / € X, при всех п > т

||(Рп,т — Р)/1|

№ < в (п — т) ■

5 € (0, п]

а/_/* (—5,5] < А5а||/||Х, где А = Вр(а),

что и требовалось доказать, □

Переформулируем па многомерный случай утверждения предложений 1 и 2 предыдущего раздела, т, е, посмотрим, что можно получить в условиях теоремы 3 при а > 2,

Предложение 3. Пусть а > 2, Н — гильбертово пространство, X С Н — его векторное подпространство со своей нормой || ■ ||х.

Если, существует положительная константа, А, такая, что для, всех / € X, 5 € (0, п]

а/_/*(—5,5] < А||/||Х5а,

то имеет место равномерная сходимость на пространстве X в теорем,е фон Неймана:

1) В случае а = 2 для, всех целых п > т

||Р _Р|12 <Ап2 1 + 21п(п — т) . ||Рп,т РУх^Н < Ап (п — т)2 >

2) В случае а > 2 для всех целых п > т

||Рга,т — Р< А

а — 2 (п — т)2

па

Доказательство проводится аналогично доказательству первой части теоремы 3 с пользованием предложений 1 и 2, соответственно.

Переформулируем теперь па многомерный случай теорему 2, т. е, дадим крите-

а=2

замечапию 2) равномерной сходимости па подпространствах.

Теорема 4. Пусть Н — гильбертово пространство, X С Н - его векторное подпространство со своей нормой || ■ ||Х. Тогда:

1) Если существует положительная константа А, такая, что для, всех I Е X выпол,1 ш,ется, ? /,еравенство

(—п,п\

то имеет место степенная, с показателем 2 равномерная, сходимость на пространстве X в теореме фон Неймана: при всех целых п > т

2) Если имеет место степенная, с показателем 2 равномерная, сходимость на пространстве X в теорем,е фон Неймана, т. е. для, некоторой положительной константы, В при всех целых п > т выполняется неравенство

(—п,п\

где можно положить А = 2В.

Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 3 с использованием теоремы 2,

< А(п - т) 2.

< В(п - т) 2,

то для всех I Е X

1.2.2. Пространства и Для люб ого а > 0 обозначим через множество всех / € Н, у которых спектральная мера а/ имеет степенную с показателем а > 0 особенность в пуне, т. е,

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Хакимбаев Азиз Жамалатдин улы, 2026 год

использовало.

Лемма 10 ([ ]). Если }£=1 — последовательность неотрицательных вещественных чисел, в Е [0, 2) и С — некоторая положительная константа, то из

того, что

следует, что

< Сп в для всех п Е М,

п-1 2

< С--- п2 в для вс ех п € N.

2 - в

Теорема 17. Если, для, р € М2п в точке ж0 € (-п,п] выполняется, интегральное условие Гельдера (или, более того, сильное интегральное условие Гельдера) с показателем а Е (0,1) и параметрами $ Е Е, М > 0, то для всех п € N будет

К(р,жо) - $ < Д«Мп—а,

где можно положить = (1 + у^) .

Доказательство. Воспользуемся аналогом интегрального представления (23) дня мер и зарядов (см., например, |15|)

а„(р,Жо) = 2П У (¿),

и хорошо известными свойствами ядер Фейера (см., например, |2, глава I, §47|): раЖ

венствами / Фп(£)^ = 2п, и стандартными неравенствами (1) и (2).

—ж

Получаем:

|а„(р,Жо) - $ =

2П У Фп(¿)ф,Жо (*) - ^

п

-1 У Фп(^)^рЖо (Ь) - 2п1 Фп(Ь)сИ

(—п,п] —п

-1 У ФпШрхо (*) + 2п/ Фп(Ь)^рхо (Ь) - /

(—п,0] (0,п] (0,п]

I Фп(ЬЖо(Ь) + 2п/ Фп(Ь)^рхо(Ь) - 2п I Фп(Ь)2в(1Л(Ь)

(0,п] (0,п] (0,п]

— у Фп(Ь)^(рЖо + рХо - 25Л)(Ь)

(0,п]

< 2П У Фп(*)Ф*о + рХо - 25Л|(Ь) = /1 + /2,

(0,п]

где

/1 = 2П У Фп(Ь)^|рхо + рХо - 25Л|(Ь), /2

(0, п ]

По неравенству (2):

— у Фп(Ь)^|рЖо + рХо - 2«Л|(Ь).

(п ,п]

— П — /П\а+1 па

л < ^ + рХо - 25л|(0,п] < 2;М(п) = тМ—

/2

1

7Г

2

/2 < 2П У —2 ^р*о + рХо - 25Л|

(п ,п]

п Г 1

^хо + рХо - 25Л|.

(П ,п]

3 аметим следу ющее:

^хо + р*хо - 25Л| (0,п = ^ ак^ ВД6 ак = ^хо + рХо - 25Л|

к=п

пп

к + Г к

—

те ,

'п \ 1+а

< м(п —

к=п

отсюда по числовой лемме для в =1 + а € (1, 2) получаем:

п1

^ к2ак < Мпа+1

к=1

1а

—

1—а

—а

2

Воспользовавшись этим неравенством, продолжим оценку интеграла /2: п Г 1 п Г 1

2п у ¡2+ рхо - 2^Л| = У ¡2+ рхо - 2^л| <

(п п] к=Ъ п п]

П ^ (к + 1)2 1 ^ „ 2 2=1,2 ^ 4п" а

< ^ V (-^^ = — V (к + 1)2а^ < — V к2^ < М--п-а.

2п ' п2 2пп ' пп ' 1 — а к=1

В итоге получаем требуемую оценку:

па 4па

Мр,Жо) - < М—+ М--п-а.

2 1 — а

□

4.4 Степенной рост сумм Фейера зарядов на окружности

Будем говорить, что заряд р € М2п в точке ж0 € (—п,п] имеет:

а) сильную степенную особенность с показателем а € [0,1], если существует такая константа М > 0, что

|рХ01(—5, 5] < М5а для любо го 5 € (0,п];

б) степенную особенность с показателем а € [0,1], если существует такая кон-

М>0

|рХ0 + РХ01(0, 5] < М5а для любо го 5 € (0, п];

в) слабую степенную особенность с показателем а € [0,1], если существует такая М>0

|рХ0 (—5,5] | < М5а для любо го 5 € (0,п].

Те же выкладки, что и в п, 4,1, показывают, что из сильной степенной особенности следует степенная особенность, которая в свою очередь влечет слабую степенную

аМ

ремы 2 при в € [0,1] спектральная мера р/=/* € М2п — имеет сильную степенную особенность в точке ж0 = 0 с показателем а = в-

Теорема 18. Если р € Ш2п в точке х0 € (-п,п] имеет степенную особенность (или, более того, сильную степенную особенность) с показателем а € [0,1] и параметром М > 0, то для всех п € N будет

К(р,х0)| <ВаМп1—а, где можно положить Ба = па—1 (1 + ^та) .

Доказательство теоремы 18 почти дословно совпадает с доказательством теоремы 17 (случай 5 = 0), Любопытное отличие состоит в том, что при применении числовой леммы мы используем здесь значения в = а € [0,1] — в доказательстве теоремы нам нужны были в € (1, 2),

Заключение

В диссертации получены следующие основные результаты по оценкам скоростей сходимости в эргодической теореме фон Неймана:

1, Для дискретного времени определены условия равномерной степенной сходимости эргодических средних на подпространствах гильбертова пространства. Установлены критерии, связывающие скорость сходимости с поведением спектральной меры,

2, Для действий групп Ъл ъ М доказана связь между степенной скоростью сходимости эргодических средних в пространстве Ь2 и оценкой спектральной меры симметричных многомерных параллелепипедов, В одномерном случае критерий охватывает все возможные скорости, а для многомерных случаев разработаны специальные симметричные многочлены, определяющие показатели сходимости,

3, Установлена максимальная скорость сходимости эргодических средних для групп Ъл ъ М в нормах проетранств Для дискретного времени она зависит от произведения обратных величин индексов, а для непрерывного — от произведения обратных временных параметров. Разработан спектральный критерий, основанный на конечности определённого интеграла спектральной меры,

4, Показана связь эргодической теоремы фон Неймана с суммами Фейера зарядов на окружности через соотношение между нормой отклонений эргодических средних и значением сумм Фейера в нуле. Для зарядов, удовлетворяющих интегральному

условию Гёльдера, получена степенная оценка уклонений сумм Фейера, а для зарядов со степенной особенностью — оценка их роста с соответствующей константой.

Список литературы

[1] Ахиезер Н, И,, Глазман И, М, Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, М,: Наука, 1966,

[2] Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз. 1961. 936 с.

[3] Богачев В. И. Теория меры. Том 1. М.-Ижевск: РХД. 2003.

[4] Богачев В. И. Теория меры. Том 2. М.-Ижевск: РХД. 2003.

[5] Гапошкин В. Ф, О скорости убывания вероятностей е-уклонений средних стационарных процессов // Матем, заметки. 1998. Т. 64. №3. С. 366-372.

[6] Гапошкин В. Ф. Сходимость рядов, связанных со стационарными последовательностями // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1975. Т. 39. №6. С. 1366-1392.

[7] Данфорд И., Шварц Дж. Линейные операторы. Часть 1. Общая теория. М,: Изд. иностранной лит. 1962.

[8] Данфорд И., Шварц Дж. Линейные операторы. Часть 2. Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. М,: Мир. 1966.

[9] Джулай Н. А., Качуровекий А. Г. Константы оценок скорости сходимости в эрго-дической теореме фон Неймана с непрерывным временем // Сиб. матем. жури. 2011. Т. 52. №5. С. 1039-1052.

[10] Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1. М,: Мир. 1965. 616 с.

[11] Ибрагимов И, А,, Лиииик Ю, В, Независимые и стационарно связанные величины // М,: Наука, 1965,

[12] Качуровекий А, Г, Скорости сходимости в эргодических теоремах // УМН, 1996, Т. 51. Ж. С. 73-124.

[13] Качуровекий А. Г. О сходимости средних в эргодичеекой теореме для групп Zd // Записки научи, сем. ПОМП. 1999. Т. 256. С. 121-128.

[14] Качуровекий А. Г., Подвигин И. В. Оценки скоростей сходимости в эргодических теоремах фон Неймана и Биркгофа // Тр. ММО, 2016. Т. 77. №1. С. 1-66.

[15] Качуровекий А. Г., Подвигин И. В. Суммы Фейера периодических мер и эрго-дическая теорема фон Неймана // ДАН. 2018. Т. 481. №4. С. 358-361.

[16] Качуровекий А. Г., Решетенко А. В. О скорости сходимости в эргодичеекой теореме фон Неймана с непрерывным временем // Матем, сб. 2010. Т. 201. №4. С. 25-32.

[17] Качуровекий А. Г., Седапищев В. В. О константах оценок скорости сходимости в эргодичеекой теореме фон Неймана // Матем. заметки. 2010. Т. 87. №5. С. 756763.

[18] Качуровекий А. Г., Седапищев В. В. Константы оценок скорости сходимости в эргодических теоремах фон Неймана и Биркгофа // Матем. сб. 2011. Т. 202. №8. С. 21-40.

[19] Колмогоров А. И., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М,: Наука. 1976. 544 с.

[20] Конторович П. Г., Мильман Д. И. Об одном методе И. И. Лобачевского нахождения целых решений целочисленных линейных однородных уравнений // УМН. 1953. Т. 8. №1 (53). С. 145-149.

[21] Корнфельд И. П, Синай Я. Г, Фомин С. В. Эргодическая теория. М.: Наука. 1980. 384 е.

[22] Мании Ю. И., Панчишкин А. А. Введение в теорию чисел // Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл, мат. Фундам, направления. 1990. Т. 49. С. 5-341.

[23] Натансон И. П. Конструктивная теория функций. М.-Л.: ГИТТЛ. 1949. 688 с.

[24] Никольский С. М. Об асимптотическом поведении остатка при приближении функций, удовлетворяющих условию Липшица, суммами Фейера // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1940. Т. 4. №6. С. 501-508.

[25] Подвигин И. В. О степенной скорости сходимости в эргодической теореме Винера // Алгебра и анализ. 2023. Т. 35. №6. С. 159-168.

[26] Подвигин И. В. Критерий степенной скорости сходимости эргодических средних для унитарных действий групп Zd и Rd // Алгебра и анализ. 2024. Т. 36. ЛИ, С. 148-164.

[27] Рисс Ф, Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: ИЛ. 1954.

[28] Рудин У. Основы математического анализа. М,: Мир. 1976.

[29] Седапищев В. В. Связь скоростей сходимости в эргодических теоремах фон Неймана и Биркгофа в Lp // Сиб, матем. журн, 2014. Т. 55. JVS2. С. 412-426.

[30] Фельдман Н. И. Седьмая проблема Гильберта. М,: Изд-во МГУ. 1982.

[31] Хьюитт Э,, Росс К. Абстрактный гармонический анализ. Т. 1-2. М,: Мир. 1975.

[32] Ширяев А. И. Вероятность. М,: Наука. 1989.

[33] Веп-Artzi J., Morisse В. Uniform convergence in von Neumann's ergodic theorem in the absence of spectral gap // Ergodic Theory Dvnam, Systems. 2021. V. 41. No. 6. P. 1601-1611.

[34] Birkhoff G. Proof of the ergodie theorem // Proe. Natl. Aead. Sei. USA. 1931. V. 17. No. 12. P. 656-660.

[35] Boltzmann L. Ueber die meehanisehen Analogien des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik // Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1887. Bd. 100. S. 201-212.

[36] Bradley R. S. An Lp 'Cousin of coboundary' theorem for random fields // J. Aust, Math. Soe. 2008. V. 85. P. 51-58.

[37] Browder F. E. On the iteration of transformations in noneompaet minimal dynamical systems // Proc. Amer. Math. Soc. 1958. V. 9. P. 773-780.

[38] Butzer P., Westphal U. The mean ergodie theorem and saturation // Indiana Univ. Math. J. 1971. V. 20. P. 1163-1174.

[39] Cohen G,, Lin M. Double eoboundaries for commuting contractions // Pure Appl. Funct. Analysis. 2017. V. 2. No. 1. P. 11-36.

[40] Cohen G,, Lin M. Joint and double eoboundaries of commuting contractions // Indiana Univ. Math. J. 2021. V. 70. No. 4. P. 1355-1394.

[41] Dunford N. An individual ergodie theorem for non-commutative transformations // Acta Sei. Math. (Szeged). 1951. V. 14. P. 1-4.

[42] Einsiedler M.. Ward T. Ergodie Theory with a view towards Number Theory // London: Springer. 2011. (Graduate Texts in Mathematics. V. 259).

[43] EmePvanov E. Yu. Non-spectral asymptotic analysis of one-parameter operator semigroups // Operator Theory: Advances and Applications. V. 173. Basel: Birkhäuser Verlag. 2007.

[44] Folland G. B. A course in abstract harmonic analysis. Boca Eaton: CEC Press. 1995.

[45] Fonf V. P., Lin M.. Wojtaszezvk P. Poisson's equation and characterizations of reflexivitv of Banach spaces // Colloquium Math. 2011. V. 124. No. 2. P. 225-235.

[46] Goldstein S, Spectrum of measurable flows // Int. Conf, on Dynamical Systems in Mathematical Physics (Rennes, 1975), Astérisque, No, 40, Paris: Soc, Math, France, 1976. P. 95-98.

[47] Glasner E. Ergodic theory via joinings // Mathematical Surveys and Monographs. V. 101. Providence, EI: AMS. 2003.

[48] Gomilko A., Haase M,, Tomilov Yu. On rates in mean ergodic theorem // Math. Res. Lett. 2011. V. 18. No. 2. P. 201-213.

[49] Kaehurovskii A. G,, Podvigin I. V., Todikov V. E. Uniform convergence on subspaces in von Neumann's ergodic theorem with continuous time // Siberian Electronic Math, Reports. 2023. V. 20. No.l. P. 183-206.

[50] Karagulvan G. A., Laeev M. T., Martirosvan V. A. On the convergence of multiple ergodic means // arXiv:2208.00215.

[51] Krengel U,, Lin M. On the range of the generator of a Markovian semigroup // Math. Zeit. 1984. V. 185. P. 553-565.

[52] Krengel U. Ergodic theorems. Berlin—New York: Walter de Gruvter, 1985.

[53] ter Elst A, F, M,, Lemanezvk M, On one-parameter Koopman groups // Ergodic Theory Dvnam. Svst. 2017. V. 37. No. 5. P. 1635-1656.

[54] Lin M. On uniform ergodic theorem II // Proc. Amer. Math. Soc. 1974. V. 46. No. 2. P. 217-225.

[55] Nadkarni M. G. On Spectra of Non-Singular Transformations and Flows // Sankhva: The Indian Jour. Stat., Series A. 1979. V. 41. No. 1/2. P. 59-66.

[56] Niven I. The asymptotic density of sequences // Bull. Amer. Math. Soc. 1951. V. 57. P. 420-434.

[57] Neumann J. von. Proof of the quasi-ergodic hypothesis // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1932. V. 18. No. 1. P. 70-82.

[58] Novo A. Pointwise ergodic theorems for actions of groups // Handbook of Dynamical Systems. 2006. V. 1. Part B. P. 871-982.

[59] Plancherel M, Beweis der Unmöglichkeit ergodischer mechanischer Systeme // Annalen der Physik. 1913. Bd. 42. S. 1061-1063.

[60] Podvigin I. V. Lower bound of the supremum of ergodic averages for Zd and Reactions // Siberian Electronic Math. Reports. 2020. V. 17. P. 626-636.

[61] Robinson F. A. Sums of stationary random variables // Proc. Amer. Math. Soc. 1960. V. 11. No. 1. P. 77-79.

[62] Rosental A. Beweis der Unmöglichkeit ergodischer Gassvsteme // Annalen der Physik. 1913. Bd. 42. S. 796-806.

[63] Tempelman A. Ergodic Theorems for Group Actions. Informational and Thermodynamical Aspects // MAIA. V. 78. Dordrecht: Springer. 1992.

[64] Tempelman A. Randomized consistent statistical inference for random processes and fields // Stat. Inference Stoch. Process. 2022. V. 25. P. 599-627.

[65] Zaslavskv T. Facing up to arrangements: face-count formulas for partitions of space by hvperplane // Memoirs of AMS. V. 1. No. 154. Providence, RI: AMS. 1975.

[66] Zvgmund A. An individual ergodic theorem for non-commutative transformations // Acta Sei. Math. (Szeged). 1951. V. 14. P. 103-110.

Работы автора по теме диссертации

[67] Качуровекий А. Г., Лапштаев М. П.. Хакимбаев А. Ж. Эргодическая теорема фон Неймана и суммы Фейера зарядов на окружности // Сиб. электрон, матем. изв. 2020. Т. 17. С. 1313-1321.

[68] Качуровекий А. Г., Подвигни И. В., Хакимбаев А. Ж. Равномерная сходимость

на подпространствах в эргодической теореме фон Неймана с дискретным временем // Матем. заметки. 2023. Т. ИЗ. №5. С. 680-693.

[69] Качуровекий А. Г., Подвигни И. В., 'Годнкои В. К.. Хакимбаев А. Ж. Спектральный критерий степенной скорости сходимости в эргодической теореме для Zd и Rd действий // Сиб, матем. жури, 2024. Т. 65. №1. С. 76-95.

[70] Kaehurovskii A. G,, Podvigin I. V., Khakimbaev A. J., Maximum rate of norm convergence in the ergodie theorem for groups Zd and Rd // Siberian Electronic Math. Reports. 2025. V. 22. No.l. P. 67-83.