Скорости сходимости в эргодических теоремах для унитарных действий групп компактного происхождения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Тодиков Владислав Эдуардович

• Тодиков Владислав Эдуардович
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Тодиков Владислав Эдуардович

1.3 Общий многомерный случай

1.4 Приложения

2 Скорости сходимости в эргодической теореме для унитарных действий абелевых групп компактного происхождения

2.1 Эргодические теоремы дня действия групп

2.2 Усреднения но подгруппам

2.3 Усреднения дня действия групп компактного происхождения

3 Корреляции и скорости сходимости в общих эргодических теоремах

3.1 Корреляции и спектральные меры

3.2 Вычисление скорости сходимости но известным корреляциям

3.3 Восстановление корреляций но известным нормам эргодических средних для действий Zd и ММ

Заключение Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Скорости сходимости в эргодических теоремах для унитарных действий групп компактного происхождения»

Введение

Актуальность темы исследования. Эргодическая теория исследует свойства и поведение динамических систем во времени. Основоположниками этой теории являются Дж, фон Нейман и Дж, Биркгоф, В 1930-х годах они сформулировали и доказали первые эргодические теоремы с дслыо обоснования эргодичоской гипотезы статистической механики, С тех нор появилось большое многообразие эргодических теорем. Обзор и различные приложения этих теорем к концу 20 века можно посмотреть в монографиях У, Креигеля |48| н A.A. Темиельмаиа |57|, В наше время эта тематика не утратила актуальность. Исследователи обращают внимание, например, на сходимость неконвоцианьных эргодических средних (см., например, обзор |42| и ссылки в нем).

Естественным является вопрос о скорости сходимости во всех таких утверждениях, Развитие современных представлений о скоростях сходимости наглядно демонстрируется в серии недавних публикаций. Так, например, в работе A.A. Темиельмаиа |58| рассматриваются эргодические теоремы дня действий груш: и скорости сходимости в таких теоремах, а в работе Н, Халмукиса, Л, Кольцани, Б, Гарибальди, А, Монгуцци |37| изучается скорость сходимости в эргодичоской теореме дня операторов сдвига. Также стоит упомянуть работу Дж. Бен-Арци и Б, Морисса |34|, которые исследовали равномерную скорость сходимости в эргодичоской теореме фон Неймана в случае, когда спектральная мера не имеет особенности в нуле. Заслужи-

вают внимания и работы |32|, |35|, в которых была проделана объемная работа но изучению скоростей сходимости в эргодических теоремах.

Статистическая эргодическая теорема фон Неймана |54| — это результат из теории операторов, в котором скорость сходимости определяется как норма отклонения эргодических средних от его продола. В свою очередь теорема Биркгофа |18| - это результат из теории меры, и здесь ответ на вопрос "Что называть скоростью сходимости?" уже не такой тривиальный. Этот вопрос подробно разобран в обзорах А.Г. Качуровского и И,В, Подвигипа |14|, |22|,

Как упоминалось в работе |14|: "Вопрос о скоростях сходимости в эргодических теоремах естественно возникает в физических приложениях этих теорем, и впервые рассматривался Дж. фон Нейманом уже в 1932 году. Поскольку сами эргодическио теоремы возникли из попыток обосновать эргодическую гипотезу статистической механики, то естественный интерес представляет, например, задача о скорости сходимости в них дня моделирующих газ различных бильярдов - в случае усреднения характеристической функции подмножества фазового пространства, например (для которой эргодическио средние дают среднее время нахождения в соответствующем подмножество фазового пространства бильярда). Без решения этой задачи непонятно, как долго физику придется дожидаться гарантируемой ему эргодическим теоремами сходимости, и доживет ли он вообще до ее ощутимых проявлений". Как было доказано в работах Качуровского А.Г, степенная скорость сходимости в классической эргодической теореме фон Неймана равносильна степенной же, с тем же показателем степени, особенности спектральной меры в точке 0. Тем самым было показано, что скорости сходимости в эргодической теореме для действий групп ^Кс необходимостью являются спектральными (эти скорости сейчас хорошо изучены).

В 1990-х годах A.M. Вершиком и A.M. Стениным бы.на поставлена задача переноса описанного выше результата с действия группы Z — на группы Zd и Kd (и далее на

максимально широкий класс групп). Недавно в ходе переписки А,Г, Качуровского и A.A. Темиельмана, последним была предложена "дорожная карта" дальнейшей работы в этом направлении, где в качестве ближайшего к рассмотрению класса груш: были указаны группы компактного происхождения (класс, включающий в себя группы Zd и

Актуальность исследования данной задачи продиктована ее теоретической и практической значимостью, В теоретическом плане, анализ скорости сходимости помогает раскрыть особенности строения динамических систем и изучить спектральные свойства операторов, С практической точки зрения, эти выводы имеют место в таких сферах, как теория вероятностей, математическая физика, спектральный анализ операторов, статистическая механика и обработка сигналов, где принципиальное значение имеет точность аппроксимации временных средних.

Несмотря на существенную проработку темы, что находит отражение в трудах А,Г, Качуровского и его учеников (см. обзор |14|), многие вопросы остаются открытыми и требуют дальнейшего изучения. Продолжающееся развитие этой области порождает новые задачи и открытия.

Цели и задачи исследования. Основная цель диссертации — устранить существующие пробелы и адаптировать существующие методы дня применения к более широким классам операторов, динамических систем и более общему групповому времени, Основной же задачей дня достижения цели является получение спектральных критериев скоростей сходимости в различных эргодических теоремах. Более детально, основная задача разбивается на следующие подзадачи:

- получить спектральный критерий равномерной (в операторной норме) скорости сходимости на подпространствах в эргоди ческой теореме фон Неймана с непрерывным временем;

- получить спектральный критерий скорости сходимости но норме в эргодичс-

ской теореме для Rd действий;

- получить спектральный критерий скорости сходимости но норме в эргодической теореме дня действий груш: компактного происхождения;

- получить формулу дня вычисления норм отклонений эргодических средних от их продола но известным корреляциям в эргодической теореме дня унитарных действий хаусдорфовых локально компактных со второй аксиомой с четности групп.

Научная новизна. Полученные в диссертации результаты являются новыми. Основные результаты первой главы обобщают и улучшают ранее получение оценки А.Г.Качуровским и его учениками(см, |8|,|15|) в эргодической теореме фон Неймана с непрерывным временем дня полу потоков. В |8| дня получения спектрального критерия скорости сходимости использовался метод разложения ядра Фейера в ряд. В этой же работе использовался метод интегрирования но частям (лемма 1), предложенный В.Ф. Ганошкиным (см.|5|). Еще при доказательство нижней оценки скорости сходимости (лемма ) был добавлен параметр е, что позволило улучшить константу нижней оценки скорости сходимости. Что же касается основных результатов первой главы, а именно, спектрального критерия равномерной скорости сходимости па подпространствах (теорема 2), а также хакатеризации таких нодпростапств (теорема 3), то эти результаты безусловно является новыми и могут использоваться дня исследования решений некоторых уравнений математической физики, проведенным в |34].

Основной результат второй главы - это первые попытки реализации задачи, поставленной в 1990-х годах A.M. Вершиком A.M. Стениным, о переносе известных результатов, полученных школой А.Г. Качуровского, о скоростях сходимости в эргодических теоремах па случай действий групп. По рекомендации A.A. Темпельмана

было предложено начать с абелевых груш: компактного происхождения. В итоге удалось получить спектральный критерий скорости сходимости (теорема 12) в эрго-дической теореме дня действий абелевых груш: компактного происхождения. Более того, этот критерий закрывает вопрос об унифидикадии сиектралыюго критерия скоростей сходимости дня дискретного (см.|10|) и непрерывного времени (см. |15|), а также их многомерных аналогов (см. |60|,|21|),

В третье главе основным результатом является формула (теорема 13), которая дает возможность вычислять эргодические средние через корреляционные коэффицен-ты в случае действий локально-компактных групп. Кроме того, представлены примеры реализации формулы дня известных классических примеров (действий груш: Zd, М^, локально-конечных групп), и два более общих примера (действий абелевой группы компактного происхождения и группы аффипого преобразования прямой). Помимо основного результата этой главы стоит упомянуть теорему о восстановлении корреляций через нормы эргодических средних (теорема 15). Полностью восстановить корреляции но нормам средних нельзя, однако можно восстановить лишь некоторые суммы их наборов. Впервые этот факт был обнаружен В.В Рыжиковым |14, замечания 9 и 11| дня дискретного и непрерывного времени. Здесь же приводится многомерное обобщение этого факта.

Все результаты, представленные в диссертации содержат подробные доказательства.

Положения, выносимые на защиту. Наиболее значимыми являются следующие результаты:

- в теореме 2 получены критерии равномерной степенной скорости сходимости (в операторной норме) для векторных подпространств в Н со своими нормами (в случае непрерывного времени); также найдены все возможные показатели степени рассматриваемой степенной сходимости и дня каждого из этих пока-

зателей даны спектральные критерии такой сходимости; в теореме 3 получено полное описание всех таких подпространств,

- в теореме 12 получен спектральный (в терминах особенности спектральной меры в окрестности единичного характера) критерий скоростей сходимости в эр-годической теореме дня унитарных действий абелевых локально компактных групп компактного происхождения;

- в теореме 13 получена формула для вычисления норм отклонений эргодических средних от их продола по известным корреляциям в эргодической теореме дня унитарных действий хаусдорфовых локально компактных со второй аксиомой с четности групп; также в теореме 15 рассмотрена обратная задача восстановления сумм некоторых комбинаций корреляций но известным значениям норм этих отклонений,

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер, Полученные результаты позволяют оценивать скорость сходимости в статистических эргодических теоремах дня популярных в приложениях классов динамических систем. Отдельные аспекты работы могут быть интегрированы в научную деятельность математиков, специализирующихся па смежных направлениях, таких как спектральный анализ операторов, анализ на группах, абстрактный гармонический анализ, теория вероятностей или теория динамических систем.

Методология и методы исследования, В работе используются методы из различных направлений анализа, алгебры, В том число: теория операторов, теория групп, абстрактный гармонический анализ, функциональный анализ, теория характеров, анализ па группах. Кроме того, используются факты из теории динамических систем и теории вероятностей.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность представ-

лепных результатов подтверждена подробными доказательствами.

Результаты диссертации были представлены па следующих конференциях и научных семинарах:

- научный семинар по геометрическому анализу иод руководством С.К. Водопьянова (Новосибирск, ИМ СО РАН, 2022);

- международная конференция но геометрическому анализу памяти Ю.Г. Решетника (Новосибирск, ИМ СО РАН, 2022);

- международная конференция но геометрическому анализу, посвященная 95-летию со дня рождения академика Ю.Г. Решетпяка,

(Новосибирск, ИМ СО РАН, 2024);

- международная научная студенческая конференция "МНСК — 2024" (Новосибирск, НГУ, 2024);

- международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов — 2025": докладом па научном семинаре кафедры теории динамических систем (Москва, ММФ МГУ, 2025).

Основное содержание диссертации отражено в четырех работах автора, опубликованных в журналах, входящих в официальный перечень ВАК; все эти журналы индексируются в системах цитирования Web of Science и Scopus; две работы опубликованы в журнале, относящемся к квартили Q2 (2024) но Scimago Journal Rank. Из этих четырех статей три совместные работы с А.Г. Качуровским и И.В. Подви-гиным |59|, |61|, |62|; одна совместная работа с А.Г. Качуровским, И.В. Подвигиным и А.Ж. Хакимбаевым |60|.

В совместных работах |59|, |60|, |61| и |62| формулировки задач и общее руководство их решением принадлежат А.Г. Качуровскому и И.В. Подвигипу. Все новые теоремы, вошедшие в текст диссертации, доказаны автором, кроме теоремы 6, которая

доказана И,В, Подвигиным, Работа |60| но вошла в текст диссертации, поскольку ее основные результаты полностью покрываются в работе |61|. Новые теоремы из |60| были доказаны совместно с А,Ж, Хакимбаевым: автору принадлежат результаты для непрерывного времени (т.е. действия группы М^), а А. Ж, Хакимбаеву — для времени дискретного (т.е. действия группы Zd), Доказательства, по существу, для этих случаев оказались одинаковыми.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из 82 страниц, из которых 7 отведено па библиографию. Структура работы включает введение, три главы, заключение и список литературы, включающий 62 наименования.

Краткий обзор диссертации. Во введении обсуждаются актуальность и степень разработанности темы исследования. Приведены цель работы и задачи, научная новизна, теоретическая значимость работы, методология и методы исследования, выносимые па защиту результаты, обоснованность и достоверность результатов. Указаны сведения об апробации работы.

Глава 1. В первой главе рассматривается степенная равномерная (в операторной норме) сходимость па векторных подпространствах со своими нормами в эргодической теореме фон Неймана с непрерывным временем. Найдены все возможные показатели степени рассматриваемой степенной сходимости; для каждого из этих показателей даны спектральные критерии такой сходимости и получено полное описание всех таких подпространств. Равномерная сходимость па всем пространстве имеет место .лишь в тривиальных случаях, что объясняет интерес к равномерной сходимости именно па подпространствах.

Кроме того, попутно обобщены и уточнены старые оценки скоростей сходимости в эргодической теореме фон Неймана для (но.лу)потоков.

Результаты этой главы опубликованы в статье |59|,

Глава 2. В этой главе получен спектральный (в терминах особенности снектраль-

ной меры в окрестности единичного характера) критерий скоростей сходимости в эр-годической теореме дня унитарных действий абелевых локально компактных груш: компактного происхождения. Тем самым показано, что оценки этих скоростей, как и для ранее изученных классических эргодических теорем для действий групп ^ и М, с необходимостью являются спектральными. Результаты этой главы опубликованы в статье |61|,

Глава 3. В данной главе получена формула для вычисления норм отклонений эргодических средних от их предана по известным корреляциям в эргодической теореме дня унитарных действий хаусдорфовых локально компактных со второй аксиомой с четности групп. Разобраны иллюстрирующие примеры. Рассмотрена обратная задача восстановления сумм некоторых комбинаций корреляций но известным значениям норм этих отклонений. Результаты этой главы опубликованы в статье |62|,

В заключении сформулированы основные выводы, обобщающие полученные па-у чпые результаты,

1 Равномерная сходимость на подпространствах в эргодпческой теореме фон Неймана с непрерывным временем

1.1 Группа унитарных операторов и спектральная мера

1.1.1. Пусть H - гильбертово пространство, {U^eR — группа унитарных операторов, действующих в H, Будем предполагать, что группа {U4}^ является сильно непрерывной (см, |6, гл. VIII, §1|; такими будут, например, рассматривавшиеся в |54| группы унитарных операторов {и*}4ек в L2{ß), порождаемые группами преобразований, сохраняющих меру на вероятностном пространстве Q, т.е. потоками).

Для каждого вектора f G H и всех t,s G R таких, что t > s, рассмотрим эргоди-ческие средние

t

Pf = t—sj UT fdT-

s

Классическая эргодичеекая теорема фон Неймана |54| утверждает дня каждого вектора f G H существование предела по норме пространства H

lim Ptf = f* := Pf,

t—s—^^o

P

Для группы {и4}4ек по теореме Стоуна [ , гл. XII, §6] существует инфинитези-мальный генератор В, т.е. Ut = eitB для всex t G R. Пусть {E(А)}дек _ разложение единицы, соответствующее группе {U(ее инфинитезимальному генератору). Тогда (см., например, [ ]) для любых векторов f,g G H справедливо представление

/те

eitX d(E(A)f,g)H

-те

для всех t G R, и можно ввести спектральные меры Ofg — такие конечные борелев-

ские меры на действительной прямой, что для всех ее борелевских подмножеств С

(С) = I ¿(БШ,д)н;

с

обозначим aí = аи. Как хорошо известно (и было доказано и применено еще в | ]), при всех Ь > в справедливо интегральное представление

. (г-з)т'

\\Ptf\\Н = I (х)= I Б^(х) (х)

дня ядра

8Ш тх \ 2

Бт(х)=[-т^) ,х = 0; Бт(0) = 1;

тх 2

очевидно, всегда 0 < Бт (х) < 1 и Бт (х) < т-Х^ для всех х = 0,

(тх)

Учитывая, что Р = Б(0), при всех Ь > в получаем интегральное представление \\PtJ - I1 н = \\PtAf - I *)\\Н = / Б-з(х) * (х) = ! Б- (х) (х). (1)

Ш ./М\{0}

1.1.2. В теореме 1 мы даем спектральный критерий равномерной степенной сходимости с показателем а € [0, 2) на одномерных подпространствах в Н, Оказывается (замечание 7), степенная скорость сходимости с показателем а = 2 является максимально возможной; теорема 7 дает спектральный же (в несколько других терминах) критерий наличия такой максимальной скорости па одномерных подпространствах. Попутно теоремы 1 и 7 обобщают и уточняют оценки скоростей сходимости в эрго-дической теореме фон Неймана для (полу)потоков, полученные ранее в |8|; при этом одна из новых констант этих оценок оказывается (п, 3,4 раздела 3) точной.

Далее в теоремах 2 и 8 мы переносим критерии теорем 1 и 7 па общий случай многомерных векторных подпространств в Н со своими нормами. Удалось также получить (теорема 3) полное описание всех таких многомерных (нормированных, со своими нормами) подпространств с равномерной степенной со всеми возможными показателями а € [0, 2] сходимостью.

2

В раздано 1.3 мы покажем (замечание 3), что рассматриваемая равномерная сходимость на всем пространстве Н имеет место лишь в случае спектрального пробела — что в теореме фон Неймана дня потоков па пространстве Лебега равносильно (замечание 4) периодичности п.в. траекторий с ограниченными в совокупности периодами, т.е. бывает лишь в тривиальных случаях; уже этим объясняется наш интерес к равномерной сходимости именно на подпространствах в Н со своими нормами.

В разделе 1.4 рассматриваются также возможные приложения полученных результатов к исследованию решений некоторых уравнений математической физики, проведенным в |34|,

1.2 Одномерные подпространства с равномерной степенной сходимостью

1.2.1. Полное описание всех одномерных подпространств с равномерной степенной (с показателями меньше 2) сходимостью фактически было дано в |15, 8|, где рассматривались эргодические средние полугрупп изометрических операторов ® Ь2(П), порожденных полугруппами преобразований, сохраняющих меру па вероятностном пространстве П (т.е. обычная эргодическая теорема фон Неймана для полупотоков). Поскольку представление (1) справедливо и дня тех эргодических средних (подробности см., например, в |8|), а константы наших оценок обеих частей теоремы 1 ниже точнее соответствующих им констант из |8|, то доказательство теоремы 1 немедленно дает и уточнение тех старых оценок.

Основное уточнение получилось за счет другого подхода к доказательству леммы 1 ниже. В |8| дня оценки интеграла от ядра Фейера но спектральной мере использовалось разложение его в ряд (следуя подходу дня случая дискретного времени из 110, 16, 17|). Мы здесь применяем дня оценки этого интеграла использовавшийся в |15| и оказавшийся здесь более подходящим метод интегрирования но частям, пред-

ложеппый В.Ф, Гапошкипым (для случая дискретного времени) в |5|, Отметим также, что, поскольку представление (1) справедливо и дня (рассматривавшихся в |5|) средних стационарных в широком смысле процессов с непрерывным временем — см., например, |9, теорема 18,3,1|, то наша теорема 1 имеет очевидный точный аналог и для тех стохастических процессов.

Далее нам потребуются следующие две технические .леммы, уточняющие соответствующие им .леммы 1 и 2 из |8|.

Лемма 1. Для всех Ь > $ справедливо неравенство

(X

\\Ptssf - I *\\2и < (¡-¿г/ Х-3(Т?_/* (-Х,х]йх.

2 г--

Доказательство леммы 1. Воспользуемся представлением (1):

\\Ptsf - IЧ2ч = \\PtM - I*)\\2ч = ! Ъ-.{х) 1(Е(х)(1 - I*), (I - I*))и =

-(

= ! (х) <1(7$_/* (х) + ! <1(7$_/* (х) + ! Е1-3(х) <1(7$_/* (х) <

(_г^, т2— ] (_(,_ гЧ (Л

4 ь—в'ь—-1 4 ' г-— -' '

< 1( / _/*(х) +

/ \

х_2 1(/_/* (х)+ х_2 1(/_/* (х)

(Ь - $)

(_т—-,т—-] т—в ] (т—-() /

Пусть О(х) = 7/_/* (-ж, х], С(х) — монотонная функция, Поскольку 7/_/* является

конечной борелевской мерой, то С(х) будет функцией ограниченной вариации на любом интервале вещественной прямой. Таким образом, наряду с интегралом Лебега-Стилтьеса можно рассмотреть интеграл Римана-Стилтьеса по функции С(х). Если Н(х) непрерывная на [а, Ь] функция, то для нее существует интеграл Римана-Стилтьеса, и его значение совпадает с интегралом Лебега-Сти.лтьеса:

J К(х)1С(х) = J К(х)1а/_/* (х).

[а,Ь] [а,Ь]

Поэтому, если к(х) непрерывна и имеет ограниченную вариацию на [а,Ь], то J к(х)д,С(х) = к(Ь)0(Ь) - к(а)0(а) - ^ 0(хЩ(х).

[а,Ь] [а,Ь]

Это — аналог формулы интегрирования но частям для интеграла Римана-Стилтьеса (см, [ , теорема 6,30]; а также [ , гл. II, §6, теорема 11]), Поскольку функция О непрерывна справа, то последняя формула справедлива как дня конечных полуинтервалов (а, Ь], так и бесконечных (-го,Ь] и (а, Получаем:

11Р/ - /14 <

¿0(х) +

4

(__^ ]

(г - в)2

= О

г-в

-01 ^ + 4

/

ч^—Ь-в ] (

\

х ¿0(х) + х ¿0(х)

(ь-в те)

/

г - в) (г - в)2

-2_

х-20(х) Ь-в + 2 1 х—30(х) ¿х

-те \

/

-2 Ь-в

\

(

(г - в)2

V

2 Ь-в

+

х—20(х) +2 х—30(х) ¿х

2 Ь-в

0(тЬ)-0 (й) +0{т-;) -0 (г-;)+(-&! х-3(0<х)-0(-х» ^

2 Ь-в

(г - в)2

х 0^f-f * (-х,х] ¿х.

2 Ь — в

-2 Ь-в

Последнее равенство следует из замены у = -х в интеграле / х 30(х) ¿х и с учетом

—те

того, что 0(х) - 0(-х) = o■f—f*(-х,х]. Лемма 1 доказана, □

Лемма 2. Пусть £ Е (0,п); тогда для всех г > в справедливо неравенство

af—f *

2£ 2£

г — в г — в

-2

£

вШ2 £

<— ||р/ - /14.

Доказательство леммы 2. Воспользуемся представлением (1):

+те

11Р/ - /14

Ft—s(x)daf—f * (х) > J Ft—s(x)daf—f * (х) >

(__2^ ]

V Ь-в, Ь-в]

2

4

ОС1

8

> min

sin

(t-s)x

0<|x|<^ \ (t-s)x

(f-f *

2e 2e

t — s t — s

min

sin y

0<|y|<£ \ y

Лемма 2 доказана.

rf-f *

2e 2e

t — s t — s

■ 2 Sin £

~(f-f*

2£ 2£

t — s t — s

□

1.2.2. Критерий степенной сходимости с показателем а < 2. Для а Е [0, 2]

положим

x

2—а

р(а) = Ы .2 .

x>0 sin X

Нетрудно убедиться, что при а = 0 точная нижняя грань достигается при x ^ 0+, и поэтому р(0) = 1. При а = 2 инфимум достигается в точках xn = п/2 + пп, n > 0 и также равен единице: р(2) = 1. Для а Е (0, 2) инфимум достигается на первом положительном решении уравнения tg x = . Этот корень не превосходит п/2, поэтому р(а) < (f)2 а при всех а Е [0, 2]. Эта оценка является хорошим приближением р(а) при а близких к 2. Можно также легко про верить, что 1 < р(а) < sin-2(1); при этом значение sin-2(1) достигается при а = 2(1 — ctg(1)).

Теорема 1. Пусть а Е [0, 2); зафиксируем f еН. Тогда:

1. Если спектральная мера гf-f * имеет степенную особенность в нуле, т.е. если, для некоторой положительной константы, А при всех ó > 0 выполняется

неравенство

гf -f * (—ó, ó] < Aóa

то скорость сходимости эргодических средних Л — степенная с тем же показателем степени, т.е. при всех Ь > $

\\ъл - f*\1 2 < -

где можно положить B

2а+1 2-а

А.

2

2

2

£

2. Если скорость сходимости эргодических средних — степенная, т.е. если для, некоторой положительной константы, В при всех Ь > в выполняется неравен-

ство

IIP,-/ - f*IIH < ВЦ - s)-a,

тпо спектральная мера оf—f * имеет степенную особенность в нуле (с тем otee показателем степени), т.е. для, всех ó > 0

Of-f* [-ó^ó] < Aóa, где A — ^В (< В

Доказательство теоремы, 1. По лемме 1 получаем:

I I Pt-f - f * 11 h <

8

8A

x 3xadx —__

«Л/ «Л/ UÍÍA/

(t - s)2 8A

x Of-f *(-x,x]dx

2 t-s

-2+a

2«+i

A(t - s)-

(Ь - в)^ (-2 + а)(Ь - Ь - 2 - а'

2 г-в

Теперь докажем вторую часть теоремы. По лемме при каждом е € (0, п) для

t > s

Of-f *

2е 2е

t — s t — s

£2

< —B(t - s)-sin2 £

Представляя произвольное 6 > 0 в виде ó = -¡~2г8 ПРИ £ S (0, п) и t > s, получаем:

p2—а в

°f-f * (-6,6] < —B6a.

sin2 £ 2a

Минимизация константы в правой части по £ S (0, п) приводит к требуемому неравенству. что и завершает доказательство теоремы 1, □

Как будет показано далее (предложение 4), константа р(а)/2а во второй части теоремы 1 является точной (в |8| соответствующая константа была чуть хуже, и имела вид (2)2-а/2а).

Разумеется, аналоги спектрального критерия степенной скорости сходимости теоремы 1 могут быть получены и дня более широкого диапазона скоростей. Следующий диапазон был предложен В.Ф, Ганошкиным в |5|,

2

Замечание 1. Пусть а Е [0, 2), и функция ф(и) — слабо колеблющаяся на [1, то), т.е. для любого 5 > 0 функция ф(и)иё монотонно возрастает, а функция ф(и)и-ё монотонно убывает. Тогда аналог утверждения теоремы 1 может быть получен и для всех скоростей сходимости вида ¿-аф(Ь) (утверждение теоремы 1 соответствует случаю ф(Ь) = 1; при а = 0 и ф(Ь) = ¿, в > 0 получаем аналог этого утверждения дня .логарифмических скоростей; рассматриваемый диапазон скоростей включает и все скорости вида ¿-а ¿для всех а Е (0, 2) при всех в).

Доказательства аналогов теоремы 1 для указанных выше скоростей могут быть получены так же, как и утверждения теоремы 1, конкретизацией оценок .лемм 1 и 2 для каждой из этих скоростей; поэтому мы и сформулировали эти утверждения в виде двух отдельных .лемм (вынося их из доказательства теоремы 1). Нас же в этой работе интересуют исключительно степенные скорости.

1.2.3 Степенная сходимость с показателем а > 2. Для исчерпывающего решения рассматриваемого в теореме 1 вопроса о критерии наличия степенной скорости

а>2

а>2

исключением вырожденного случая Л = Л*), Доказательство этого факта, данное для эргодической теоремы фон Неймана для но.лупотоков в замечании 3 в |8| (полученное там переносом соответствующего результата В.Ф. Ганошкипа для дискретного времени — следствия 5 в |4| — на время непрерывное) — может быть перенесено и на наш случай почти дословно. В замечании 7 разде.ла 4 мы дадим независимое совсем простое доказательство того, что уже скоростей сходимости о(Ь — в)-2 при Ь — в ^ то не бывает, т.е. что скорость сходимости 0(Ь — в)-2 является максимально возможной. Задача нахождения критерия наличия такой максимально возможной (степенной с а=2

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Тодиков Владислав Эдуардович, 2026 год

Список литературы

[1] Агаев Г.Н., Виленкин В,Я,, Джафарли Г.\I.. Рубинштейн А,И, Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нуль-мерных группах. Издательство ЭДМ, Баку, 1981, 182 с,

[2] Белошапка В,К, и др. ТФФА — лекции для аспирантов / под ред. акад. B.C. Кашина, 2-е изд. М,: Издательство МГУ, 2024,

[3] Водолазов A.M., Скопина М.А. Обобщенные группы Виленкина // Матем. заметки. 2024. Т. 116. №4. С. 489-503.

[4] Гапошкин В.Ф. Сходимость рядов, связанных со стационарными последовательностями // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1975. Т. 39. №6. С. 1366-1392.

[5] Гапошкин В.Ф. О скорости убывания вероятностей е-уклонений средних стационарных процессов // Матем. заметки. 1998. Т. 64. №3. С. 366-372.

[6] Данфорд Н, Шварц Дж. Линейные операторы. Часть 1. Общая теория. М,: Изд. иностранной лит., 1962.

[7] Данфорд Н, Шварц Дж. Линейные операторы. Часть 2. Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. М,: Мир, 1966.

[8] Джулай H.A., Качуровекий А.Г. Константы оценок скорости сходимости в эрго-

дической теореме фон Неймана е непрерывным временем // Сиб, матем, журн, 2011. Т. 52. №5. С. 1039-1052.

[9] Ибрагимов H.A., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М,: Наука, 1965.

[10] Качуровекий А.Г. Скорости сходимости в эргодических теоремах // УМН, 1996. Т. 51. Ж. С. 73-124.

[11] Качуровекий А.Г. О сходимости средних в эргодичеекой теореме для групп Zd 11 Записки научи, сем. ПОМП. 1999. Т. 256. С. 121-128.

[12] Качуровекий А.Г. Единые теории, унифицирующее эргодичеекие средние и мартингалы // Труды математического института им В.А. Стеклова. 2007. Т. 256. С. 182-186.

[13] Качуровекий А.Г., Вершик A.M. Скорости сходимости в эргодических теоремах для локально конечных групп и обращенные мартингалы // Дифф. уравн, и процессы упр. 1999. У2 1. С 19-26.

[14] Качуровекий А.Г., Подвигни И.В. Оценки скоростей сходимости в эргодических теоремах фон Неймана и Биркгофа // Тр. ММО. 2016. Т. 77. Л'" 1. С. 1-66.

[15] Качуровекий А.Г., Решетенко A.B. О скорости сходимости в эргодичеекой теореме фон Неймана с непрерывным временем // Матем. еб. 2010. Т. 201. ЛМ, С. 25-32.

[16] Качуровекий А.Г., Седалищев В.В. О константах оценок скорости сходимости в эргодичеекой теореме фон Неймана // Матем. заметки. 2010. Т. 87. №5. С. 756-763.

[17] Качуровекий А.Г., Седалищев В.В. Константы оценок скорости сходимости в эргодических теоремах фон Неймана и Биркгофа // Матем. сб. 2011. Т. 202. Д'"8. С. 21-40.

[18] Корнфельд И,П., Синай Я,Г, Фомин C.B. Эргодическая теория, М,: Наука, 1980,

[19] Леонов В.П, О дисперсии временных средних стационарного случайного процесса // Теория вероятн, и ее примен, 1961, Т. 6, №1, С, 93-101,

[20] Нерётин Ю.А, Топологические группы и инвариантные меры, https://arxiv.org/pdf/1510.03082.

[21] Подвигин И.В. Критерий степенной скорости сходимости эргодических средних для унитарных действий групп Zd и Rd // Алгебра и Анализ. 2024. Т. 36. JVS4. С. 148-164.

[22] Подвигин И.В. О скоростях сходимости в эргодической теореме Биркгофа // Сиб. матем. журн. 2024. Т. 65. №5. С. 991-1010.

[23] Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. М,: Наука, 1984. 520с.

[24] Приходько A.A. Эргодичеекие автоморфизмы с простым спектром и свойством быстрого убывания корреляций // Мат. заметки. 2013. Т. 94. .N'"6. С. 949-954.

[25] Приходько A.A. Об эргодических потоках с простым лебеговеким спектром // Мат. сборник. 2020. Т. 211. №4. С. 123-144.

[26] Рудин У. Основы математического анализа. М,: Мир, 1976.

[27] Рыжиков В.В. О спектральных задачах Колмогорова и Рохлина в классе перемешивающих автоморфизмов // УМН. 2024. Т. 79. №6 (480). С. 159-160.

[28] Рыжиков В.В. Типичные корреляции и эргодичеекие средние для сильно и мягко перемешивающих автоморфизмов // Мат. заметки. 2024. Т. 116. №3. С. 438-444.

[29] Седалищев В.В. Связь скоростей сходимости в эргодических теоремах фон Неймана и Биркгофа в Lp // Сиб. матем. журн. 2014. Т. 55. JVS2. С. 412-426.

[30] Тихонов C.B. О перемешивающих действиях локально компактных групп // Мат. заметки. 2025. Т. 117. №4. С. 561-574.

[31] Ширяев А.Н. Вероятность. М,: Наука, 1989.

[32] Aloisio M.. Carvalho S.L., Oliveira S.R., Souza E, On spectral measures and convergence rate in von Neumann's ergodic theorem // Monatsh. Math, 2024, V, 203. P. 543-562.

[33] Bekka B,, de la Harpe P., Valette A. Kazhdan's Property (T). (New Mathematical Monographs, vol 11.). Cambridge: Cambridge University Press, 2008.

[34] Ben-Artzi J., Morisse B. Uniform convergence in von Neumann's ergodic theorem in the absence of spectral gap // Ergodic Theory Dvnam, Systems. 2021. V. 41. No 6. P. 1601-1611.

[35] Bunimovich L.A., Su Y. Maximal large deviations and slow recurrences in weakly chaotic systems Advances in Mathematics. 2023. V. 432. A. 109267.

[36] Blum J., Eisenberg B. Generalized summing sequences and the mean ergodic theorem // Proc. Am. Math. Soc. 1974. V. 42. P. 423-429.

[37] Chalmoukis N,, Colzani L,, Gariboldi B,, Monguzzi A. On the speed of convergence in the ergodic theorem for shift operators // Canad. J. Math. 2024. P. 1-19.

[38] Chernov N,, Markarian E. Chaotic billiards (Mathematical surveys and monographs, V. 127). Providence, EI: AMS, 2006.

[39] ter Elst A.F.M., Lemanezvk M. On one-parameter Koopman groups // Ergodic Theory Dvnam. Svst. 2017. V. 37. No 5. P. 1635-1656.

[40] EmePvanov E.Yu. Non-spectral asymptotic analysis of one-parameter operator semigroups, (Operator Theory Advances and Applications. V. 173). Basel: Birkhauser Verlag, 2007.

[41] Folland G.B. A course in abstract harmonic analysis. Boca Eaton: CEC Press, 1995.

[42] Frantzikinakis N. Some open problems on multiple ergodic averages // Bull. Hellenic Math. Soc. 2016. ¥.60. P. 41-90.

[43] Glasner E, Ergodic theory via joinings, (Mathematical Surveys and Monographs, V. 101). Providence, EI: AMS, 2003.

[44] Goldstein S. Spectrum of measurable flows // Int. Conf. on Dynamical Systems in Mathematical Physics (Rennes, 1975), P. 95-98. Asterisque, No 40. Paris: Soc. Math. France, 1976.

[45] Gomilko A., Haase M,, Tomilov Yu. On rates in mean ergodic theorem // Math. Res. Lett. 2011. V. 18. No 2. P. 201-213.

[46] Karagulvan G.A., Lacev M.T., Martirosvan V.A. On the convergence of multiple ergodic means // arXiv:2208.00215

[47] Katok A., Thouvenot J.-P. Spectral properties and combinatorial constructions in ergodic theory // Handbook of dynamical systems, v. IB, Amsterdam: Elsevier B. V., 2006. P. 649-743.

[48] Krengel U. Ergodic theorems. Berlin — New York: Walter de Gruvter, 1985.

[49] Krengel U,, Lin M. On the range of the generator of a Markovian semigroup // Math. Zeit. 1984. V. 185. P. 553-565.

[50] Last Y. Quantum dynamics and decompositions of singular continuous spectra //J. Funct. Anal. 1996. V. 42. P. 406-445.

[51] Lin M. On uniform ergodic theorem II // Proc. Amer. Math. Soc. 1974. V. 46. No 2. P. 217-225.

[52] Melbourne I., Varandas P. Good inducing schemes for uniformly hyperbolic flows, and applications to exponential decay of correlations // Ann. Henri Poincare. 2025. V. 26. P. 921-945.

[53] Nadkarni M. G. On Spectra of Non-Singular Transformations and Flows // Sankhva: The Indian Jour. Stat., Series A. 1979. V. 41. No 1/2. P. 59-66.

[54] Neumann, J, von. Proof of the quasi-ergodie hypothesis // Proe, Nat, Acad, Sei, USA. 1932. V. 18. No 1. P. 70-82.

[55] Parreau F. On the Foias and Stratila theorem // Stud. Math. 2024. V. 276. No 1. P. 81-98.

[56] Robinson F.A. Sums of stationary random variables // Proe. Amer. Math. Soe. 1960. V. 11. No 1. P. 77-79.

[57] Tempelman A. Ergodie Theorems for Group Actions. Informational and Thermodynamical Aspects (MAIA, V. 78). Dordrecht: Springer, 1992.

[58] Tempelman A. Randomized consistent statistical inference for random processes and fields // Stat. Inference Stoch. Process. 2022. V. 25. P. 599-627.

Работы автора по теме диссертации

[59] Kaehurovskii A.G., Podvigin I.V., Todikov V.E. Uniform convergence on subspaces in von Neumann's ergodie theorem with continuous time // Siberian Electronic Math. Reports. 2023. V. 20. No.l. P. 183-206.

[60] Качуровекий А.Г., Подвигни И.В., 'Годнкои В.Э., Хакимбаев А.Ж. Спектральный критерий степенной скорости сходимости в эргодической теореме для Zd и Rd действий // Сиб, матем, журн, 2024. Т. 65. №1. С. 76-95.

[61] Качуровекий А.Г., Подвигин И.В., Тодиков В.Э. Скорости сходимости в эргодической теореме для унитарных действий абелевых групп компактного происхождения // Сиб. мат. журн. 2025. Т. 66. №3. С. 438-449.

[62] Качуровекий А.Г., Подвигин И.В., Тодиков В.Э. Корреляции и скорости сходимости в общих эргодических теоремах // Теория вероятностей и ее применения. 2025. Т. 70. №4. С. 672-689.