Оценки устойчивости в обратных задачах для уравнений гиперболического типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Глушкова, Дарья Игоревна

• Глушкова, Дарья Игоревна
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Глушкова, Дарья Игоревна

Введение

Глава 1. Оценка устойчивости решения в одной обратной задаче об определении коэффициента поглощения

Постановка задачи и основной результат.

Дифференциальные свойства решения прямой задачи.

Устойчивость по данным задачи и а, Ь, с-метод.

Доказательство теоремы 1.

Глава 2. Оценка устойчивости решения в задаче об определении двух коэффициентов гиперболического уравнения

Постановка задачи и основной результат.

Доказательство теоремы 2.

Доказательство теоремы 2.

Глава 3. Оценка устойчивости решения в одной обратной задаче для системы уравнений Максвелла

Постановка задачи и основной результат.

Дифференциальные свойства прямой задачи.

Доказательство теоремы 3.

Энергетические оценки для функций Н и Е.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценки устойчивости в обратных задачах для уравнений гиперболического типа»

Цель работы. Диссертация посвящена исследованию вопросов устойчивости решения обратных задач для многомерных гиперболических уравнений в постановках с минимальной по размерности информацией о решении прямой задачи.

Актуальность темы. В настоящее время известно немало случаев, когда потребности практики приводят к задачам определения коэффициентов дифференциального уравнения (обыкновенного или в мастных производных) по некоторым известным функционалам от его решения. Такие задачи получили название обратных задач математической физики. Прикладная важность обратных задач настолько велика (они возникают в самых различных областях человеческой деятельности, таких как: сейсмология, разведка полезных ископаемых, биология, медицина, контроль качества промышленных изделий и т. д.), что ставит их в ряд актуальнейших проблем современной математики.

Обратные задачи, связанные с уравнениями гиперболического типа, изучались многими авторами, в частности Ю. Е. Аниконовым [1], [24], [25], М. И. Белишевым [2], [3] А. С. Благовещенским [4], A. JI. Бухгеймом [6], С. И. Кабанихиным [11], М. В. Клибановым [7], М. М. Лаврентьевым [12], [13], В. Г. Романовым [18].

Доказательство теорем единственности и устойчивости в задаче восстановления коэффициента внутри некоторой ограниченной области D даже для оператора д2 в трехмерном пространстве, вызывает определенные трудности. Первая теорема единственности была получена Ю. М. Березанским [5] в сильно переопределенной постановке. В дальнейшем обратные задачи для оператора Lq были постоянным объектом исследований. В ряде случаев предполагалось, что точечные источники возмущений, расположенные вне D, пробегают некоторое множество и коэффициент q[x) известен вне D [18], [20]. В других работах ([6], [7]) считались известными и отличными от нуля начальные данные для уравнения Lqu = 0, носитель которых совпадает с замыканием D.

В. Г. Романовым в работе [17] был предложен новый метод получения теорем единственности и устойчивости решения обратной задачи для оператора Lq при фиксированном точечном источнике. Этот метод использовал минимальную по размерности информацию о решении прямой задачи, то есть в качестве данных обратной задачи задаются функции, зависящие от такого же количества переменных, что и решение прямой задачи. В последствии данный метод был применен к другим многомерным задачам для гиперболических операторов В.Г Романовым, М. Yamamoto, Д. И. Глушковой.

Содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Глушкова, Дарья Игоревна, 2003 год

1. Аниконов Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. // Новосибирск: Наука, 1978. 118 С.

2. Белишев М. И. Волновые базисы в многомерных обратных задачах. // Матем. сборник. 1989. Т. 180. К0-5. С. 584 602.

3. Белишев М. И. Об одном подходе к многомерным обратным задачам для волнового уравнения. // Докл. АН СССР. 1987. Т. 297. №3. С. 524 527.

4. Белишев М. И., Благовещенский А. С. Динамические обратные задачи теории волн. // Изд-во Санкт-Петербургского Университета. 1999. 266 С.

5. Березанский Ю. М. К теореме единственности в обратной задаче спектрального анализа для уравнения Шредингера // Труды Моск. матем. общ. 1958. Т. 7, С. 3 51.

6. Бухгейм A. JT. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. // Новосибирск: Наука, 1983. 208 С.

7. Бухгейм A. JL, Клибанов М. В. Единственность в целом одного класса многомерных обратных задач // Докл. АН СССР. 1981. Т. 260, т. С. 269 272.

8. Глушкова Д. И. Оценка устойчивости решения в одной обратной задаче для системы уравнений Максвелла. Новосибирск. 2003. 16 С. (Препринт / Новосиб. гос. ун-т; № 19).

9. Глушкова Д. И. Оценка устойчивости решения обратной задачи об определении коэффициента поглощения // Дифференц. уравнения 2001. Т. 37, № 9. С. 1203 1211.

10. Глушкова Д. И., Романов В. Г. Оценка устойчивости решения в задаче об определении двух коэффициентов гиперболического уравнения. // Сиб. мат. журн. 2003. Т. 44, № 2. С. 311 321.

11. Кабанихин С. И. Проекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических уравнений. // Новосибирск: Наука, 1988.

12. Лаврентьев М. М., Романов В. Г. О трех линеаризованных задачах для гиперболических уравнений. // Докл. АН СССР. 1966. Т. 171, № 6. С. 1279 1281.

13. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. // М.: Наука, 1980. 286 С.

14. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука. 1973. 408 С.

15. Михлин С. Г.Линейные уравнения в частных производных. М., 1977.

16. Романов В. Г. Вопросы корректности задачи определения скорости звука. // Сиб. мат. журн. 1989. Т. 30, №4. С. 125 134.

17. Романов В.Г. Об оценке устойчивости решения обратной задачи для гиперболического уравнения. // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, № 2.

18. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. // М.: Наука, 1984. 264 С.

19. Романов В. Г. Оценка устойчивости решения в одной обратной задаче для системы уравнений Максвелла. // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: Издательство Института математики, 2002. С. 169 205.

20. Романов В. Г. Теоремы единственности в обратных задачах для некоторых уравнений второго порядка. // Докл. АН СССР. 1991. Т. 321, т. С. 254 257.

21. Романов В. Г., Глушкова Д. И. Оценка устойчивости решения в задаче об определении двух коэффициентов гиперболического уравнения. // Докл. РАН. 2003. Т. 391, № 3. С. 314 319.

22. Романов В. Г., Яхно В. Г. Обобщенные функции в математической физике: Методические указания. Ч. 2. Новосибирск, 1986.

23. Смирнов В. И. Курс высшей математики Т. 4, Ч. 2 // М.: Наука, 1974. 334 С.

24. Anikonov Ju. Е. Multidimensional Inverse and Ill-Posed problems for Differential Equations. // Utrecht: VSP. 1995.

25. Anikonov Ju. E. Formulas in Inverse and Ill-Posed Problems. // Utrecht: VSP. 1997.

26. Romanov V. G. Investigation Methods for Inverse Problems. // Utrecht: VSR 2002. 280 R

27. Romanov V. G. and Yamamoto M. Multidimensional inverse hyperbolic problem with impulse input and single boundary measurement. J J J. Inv. Ill-Posed Problems. 1999. V. 7. No. 6. R 573 588.