Отслеживание псевдотраекторий в гладких потоках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Тихомиров, Сергей Борисович

• Тихомиров, Сергей Борисович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тихомиров, Сергей Борисович

1 Введение

2 Ориентированное свойство отслеживания

2.1 Гиперболичность замкнутых траекторий и точек покоя

2.2 Схема доказательства теоремы 7.

2.3 Вспомогательные леммы.

2.4 Конструкции псевдотраекторий.

2.5 Доказательство теоремы 8.

3 Липшицево свойство отслеживания

3.1 Двумерный и одномерный потоки

3.2 Доказательство основной леммы.

4 Орбитальное свойство отслеживания

4.1 Лемма об отслеживании псевдотраекторий специального вида.

4.2 Завершение доказательства теоремы 9.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Отслеживание псевдотраекторий в гладких потоках»

Задача об отслеживании псевдотраекторий в самом общем виде связана со следующим вопросом: при каких условиях для любой псевдотраектории динамической системы можно найти близкую к ней траекторию? Изучение данной задачи было начато Д. В. Аносовым [1] и Р. Боуэном [7]. Современное состояние теории отслеживания в значительной степени отражено в монографиях [14, 15].

В данной диссертации изучается связь между свойством отслеживания для потоков и структурной устойчивостью. Отметим, что основное отличие задачи об отслеживании для потоков от аналогичной задачи для дискретных динамических систем, порождаемых диффеоморфизмами, состоит в необходимости репараметриза-ции отслеживающих траекторий. Основным вопросом для нас будет вопрос о структуре множества векторных полей, обладающих различными видами свойства отслеживания. Мы будем рассматривать не само множество векторных полей, обладающих тем или иным свойством отслеживания, а его (^-внутренность, т.е. множество таких векторных полей, которые сами обладают свойством отслеживания и любое их малое (в С1-метрике) возмущение также обладает свойством отслеживания.

Пусть М - гладкое п-мерное замкнутое многообразие класса С00 с римановой метрикой сНэ!;. Обозначим через Т{М) пространство гладких векторных полей на М с топологией, порожденной С1-метрикой. Для векторного поля X G Т{М) и точки х (Е М будем обозначать через (f>(t,x) такую траекторию поля X, что ф(0, х) = х. Пусть

0(х,ф) = {(f>{t,x) :t€ Щ,

0+(х, ф) = {ф(г,х) : t > 0}, 0~(х, ф) = {ф(^х) : t < 0}.

Прежде чем определять свойства отслеживания, введем ряд обозначений. Будем обозначать через В (а, ж), где а > 0 и х - точка некоторого метрического пространства, шар радиуса а с центром в точке х. Если А - некоторое подмножество метрического пространства, то будем обозначать через В(а,А) объединение всех шаров радиуса а с центрами в точках множества А. Через С1А будем обозначать замыкание множества А.

Для любого множества А С Т{М) будем через Int1 (Л) обозначать внутренность множества А в топологии, порожденной С1-метрикой. Для векторного поля X обозначим через Рег(Х) множество точек покоя и замкнутых траекторий поля X. Для гиперболической траектории р 6 Рег(Х) будем обозначать через Ws(p) и Wu{jp) ее устойчивое и неустойчивое многообразие, соответственно.

Перейдем к определению свойств отслеживания для потоков. Определение 1. Рассмотрим произвольное d > 0. Отображение g{t) : R М будем называть d-псевдотраекторией векторного поля X и потока ф, если для любых ¿о £ R и t 6 [— 1,1] выполнено неравенство dist{g(t0 + t)^(t,g(t0))) < d.

1.1)

Отметим, что мы не требуем непрерывности отображения д.

Псевдотраектории возникают естественным образом при компьютерном моделировании потоков.

Для определения свойства отслеживания для случая векторных полей нам понадобится понятие репараметризации. Определение 2. Назовем репараметризацией такой возрастающий гомеоморфизм h : R —> R, что h(0) = 0. Для а > 0 обозначим через Rep (а) множество репараметризаций, удовлетворяющих неравенству

Определение 3. Будем говорить, что векторное ноле X и поток ф обладают (стандартным) свойством от,слегживания, если для всякого s > 0 найдется такое d > 0, что для любой d-псевдотраектории g(t) найдутся такие ре параметризация h Е Rep(e) и точка р Е М, что выполнены неравенства

Множество векторных полей, обладающих стандартным свойством отслеживания, будем обозначать через StSh.

Отметим, что понятие репараметризации необходимо в определении свойства отслеживания. Действительно, если неравен

M*i) - Mfr) h-h

- 1 < а для ti:t2 € R, h ^ ¿2• dist(ф(h(t),р),g(t)) <е, ten.

1.2) ства (1.2) в определении 3 заменить на неравенства то многие "хорошие" векторные поля перестанут обладать свойством отслеживания. В качестве примера подобного векторного поля можно рассмотреть векторное поле на многообразии М, у которого есть гиперболическая притягивающая замкнутая траектория [15].

Свойство отслеживания играет большую роль при компьютерном моделировании векторных полей. Действительно, если векторное поле X обладает свойством отслеживания, то приближенные решения, полученные при компьютерном моделировании (а следовательно, являющиеся псевдотраекториями) этого поля отражают (с точностью до репараметризаций) поведение точных траекторий векторного поля на неограниченном промежутке времени.

Кроме того, свойство отслеживания" играет важную роль в теории динамических систем: ясно, что если векторные поля Х\ и Х2 близки в С1-метрике, то точные траектории векторного поля Х2 будут псевдотраекториями векторного поля Х\, следовательно, свойство отслеживания является слабым аналогом устойчивости [15]. Также ясно, что если векторное поле X обладает свойством отслеживания, то множество неблуждающих точек [3] и множество цепно-рекуррентных точек [16] векторного поля X совпадают.

Введем несколько других видов свойства отслеживания.

Определение 4. Будем говорить, что векторное поле X и поток ф обладают липшицевым свойством отслеживания, если существуют константы > 0, обладающие следующим свойством: для любых с? < Д) и ¿¿-псевдотраектории д можно указать такие точку р и репараметризацию Н £ Яер(1/о^), что выполнены неравенства сНвь(Ф{к(1),р),д{г)) < ь0(1, г е Е.

Множество векторных полей, обладающих липшицевым свойством отслеживания, будем обозначать через ГлрЗЬ. Определение 5. Будем говорить, что векторное поле X и поток ф обладают ориентированным свойством отслеживания, если по любому £ > 0 найдется такое (I > 0, что для любой (¿-псевдотраектории д можно указать такие точку р и репараметризацию Н, что выполнено неравенство (1.2).

Таким образом, в определении 5 мы не требуем близости отоб ражения /г к тождественному. Множество векторных полей, обладающих ориентированным свойством отслеживания, будем обозначать через ОпехйЗЬ.

Определение 6. Будем говорить, что векторное поле X и поток ф обладают орбитальным свойством отслео/сивания, если по любому е > 0 найдется такое й > 0, что для любой ¿-псевдотраектории д можно указать такую точку р, что выполнено неравенство где distя - расстояние по Хаусдорфу. Множество векторных полей, обладающих орбитальным свойством отслеживания, будем обозначать через ОгЬйБЬ.

Ясно, что

ЫрЭЬ с StSh С Опег^Ь С ОгБ^ЭЬ.

Отмстим, что все четыре свойства отслеживания определяют разные понятия. Примеры векторных полей, лежащих в множествах StSh \ 1лр8Ь и ОгЫ18Ь \ Опех^ЗЬ достаточно просты, мы приводим их в приложении А. В ходе данного исследования был построен пример векторного поля лежащего в ОпеМБЬ \ StSh, однако, ввиду громоздкости данный пример не включен в текст диссертации.

Нас будут интересовать С1-внутренности множеств векторных полей, обладающих стандартным, липшицевым, ориентированным и орбитальным свойствами отслеживания.

Ранее аналогичная задача изучалась для дискретных динамических систем, порожденных диффеоморфизмами. Основные результаты были получены в работах [18], [21], [22], [23]. Приведем их краткий обзор.

Пусть, как и ранее, М - гладкое замкнутое многообразие класса С00 с римановой метрикой сЛэ^ Рассмотрим пространство диффеоморфизмов многообразия М класса С1 с топологией, порожденной Сх-метрикой. Пусть / Е С1 - некоторый диффеоморфизм многообразия М. Для всякого й > 0 последовательность п £ М}, Для которой выполнены соотношения сМв^+ь /(£„)) < ^ ДЛЯ 71 <Е будем называть й-псевдотраекторией.

Будем говорить, что диффеоморфизм / обладает стандартным свойством отслеживания, если для любого е > 0 найдется такое (1 > 0, что для всякой «¿-псевдотраектории {£п} найдется траектория {хп} диффеоморфизма /, удовлетворяющая неравенствам сНз1;(:гп, £п) < е для п 6 Ъ.

По аналогии со случаем векторных полей рассматриваются также следующие два свойства отслеживания, играющие важную роль в рассматриваемой задаче.

Мы будем говорить, что диффеоморфизм / обладает липши-цевым свойством отслеживания, если найдутся такие Ь, И о > О, что для любого с1 < Ио и всякой (¿-псевдотраектории {£п} найдется траектория {хп} диффеоморфизма /, удовлетворяющая неравенствам

ИзЬ(хп, £п) < Ь(1 для п е Z.

Мы будем говорить, что диффеоморфизм / обладает орбитальным свойством отслеживания, если для любого е > 0 найдется такое й > О, что для всякой (¿-псевдотраектории {£„} найдется такая траектория {жп} диффеоморфизма /, что расстояние по Хаусдорфу между замыканиями множеств {жп, п 6 и {£п> меньше е.

Нетрудно понять, что если диффеоморфизм обладает лип-шицевым свойством отслеживания, то он обладает и стандартным свойством отслеживания. Если он обладает стандартным свойством отслеживания, то он обладает и орбитальным. При этом, как и в случае векторных полей, все три свойства отслеживания определяют разные понятия, т.е. никакие два из них не равносильны [15].

Одним из наиболее важных результатов в теории отслеживания был получен Аносовым в [1], где показано, что диффеоморфизм обладает липшицевым свойством отслеживания в некоторой малой окрестности гиперболического множества.

Ниже мы приводим теоремы, которые позволяют полностью описать структуру С1-внутренности множеств диффеоморфизмов, обладающих тем или иным свойством отслеживания.

В [21], [23] доказана следующая теорема (см. также [16], Appendix А).

Теорема 1. Любой структурно устойчивый диффеоморфизм обладает липшицевым свойством отслеживания.

При этом существуют примеры не структурно устойчивых диффеоморфизмов, обладающих стандартным свойством отслеживания [15].

Сакай в [22] доказал следующую теорему. Теорема 2. С1-внутренность множества диффеоморфизмов, обладающих стандартным свойством отслеживания, совпадает с множеством структурно устойчивых диффеоморфизмов.

Позднее Пилюгин, Родионова, Сакай [18] обобщили данную теорему.

Теорема 3. С1-внутренность множества диффеоморфизмов, обладающих орбитальным свойством отслеживания, совпадает с множеством структурно устойчивых диффеоморфизмов.

Таким образом, для диффеоморфизмов поставленная задача, в некотором смысле, решена полностью.

Отметим, что при доказательстве теоремы 3 существенно используется теорема Аоки-Хаяши [6, 10], сформулированная ниже. Теорема 4. Пусть Тд - множество диффеоморфизмов, у которых все периодические точки гиперболичны. Множество 1пЬ1(То) совпадает с множеством устойчивых диффеоморфизмов.

Приступим к формулировке основных результатов диссертации. Свойство отслеживания для векторных полей имеет несколько более сложное определение, чем в случае диффеоморфизмов, что требует иных методов решения поставленной задачи.

Введем ряд обозначений, которые понадобятся нам в дальнейшем. Обозначим через 5 множество структурно устойчивых векторных полей. Обозначим через Т множество векторных полей, у которых все точки покоя и замкнутые траектории гиперболичны. Обозначим через N множество векторных полей без точек покоя. Обозначим через КБ множество полей Купки-Смейла (т.е. множество векторных полей X Е 7", для которых устойчивые и неустойчивые многообразия точек покоя и замкнутых траекторий транс-версальны) [3].

Пилюгин доказал, что верна следующая теорема [17]. Теорема 5. 5 С LipSh.

Так как множество S является С1-открытым, то S С Int1 (LipSh). Наша цель - доказать обратное включение, т.е. доказать следующее утверждение (см. главу 2). Теорема 6. S = Int1 (LipSh).

Мы также охарактеризуем множества

Int1(OrbitSh) и Int1(OrientSh).

Обзор основных результатов диссертации опубликован в работе автора [1].

В первой главе изучается свойство OrientSh. При описании множества Int1 (OrientSh) важную роль играют системы, обладающие описанной ниже структурой. Будем говорить что матрица А принадлежит классу К, если все ее собственные числа имеют ненулевые вещественные части. Отметим, что точка покоя р является гиперболической, если D Х(р) е /С. Обозначим через /С^ множество матриц А 6 /С, у которых есть такое вещественное собственное число а\ > 0, что если с\ + d\i - собственное число матрицы А с с\ > 0 и d\ ф 0, то с\ > ai. Обозначим через /С^ множество матриц А G /С, для которых найдется такая пара комплексно сопряженных собственных чисел а\ ± Ъ\i с а\ > 0, что если с\ > 0 - собственное число матрицы А, то с\ > Отметим, что /С]1" П /С^ = 0, но К. Ф и

Обозначим через множество таких матриц А е /С, что — А 6 /С*. Аналогично, обозначим через К^ множество таких матриц А € /С, что —А е

Определение 7. Мы будем говорить, что векторное поле X принадлежит классу В, если у него есть две гиперболические точки покоя pi и р2 (не обязательно различные), обладающие следующими свойствами:

1) матрица DX(pi) G /С^,

2) матрица БХ(рг) G >

3) существует траектория нетрансверсального пересечения многообразий WU{p2) и Ws{pi).

Рисунок 1 иллюстрирует данное определение.

В первой главе доказаны следующие теоремы. Теорема 7. Int^OrientShVB) С S. Теорема 8. Если dim М < 3, то выполнено равенство

S = Int1 (OrientSh).

Во второй главе приведено доказательство теоремы 6. В доказательстве основным является случай, когда у векторного поля есть гиперболические неподвижные точки покоя р и q и при этом Ws(p) и Wu(q) пересекаются нетрансверсально. Ключевым -.I #")

Р1

Рис. 1. Пример векторного поля класса Б моментом в доказательстве является построение псевдотраектории в окрестности (р) П \¥и(с1). которая не может быть отслежена. Следует отметить, что построенная псевдотраектория не имеет аналога для случая дискретных динамических систем, порожденных диффеоморфизмами. Теорему 6 следует считать основным результатом диссертации. Результаты данной главы опубликованы в работе автора [2].

В третьей главе доказана следующая теорема. Теорема 9. ^^ОгЬйЗЬПА^) С 5.

Эта теорема является обобщением недавно доказанной теоремы Ли-Сакая [11], в которой аналогичное включение получено не для орбитального, а для стандартного свойства отслеживания: Ь^^БЬП./У) С Я. Кроме того, теорема 9 является обобщением соответствующего утверждения для диффеоморфизмов (теорема 3).

При доказательстве теоремы 3, как упоминалось ранее, используется теорема Аоки-Хаяши. В доказательстве теоремы 9 важную роль играет аналогичное утверждение для векторных нолей без точек покоя [9], сформулированное ниже. Теорема 10. (Ган, Вен) Множество Int^T П N) состоит из 0,-устойчивых векторных полей.

В то же время, существуют векторные поля, лежащие в Int1(T), и не являющиеся П-устойчивыми [12].

Основными результатами диссертации являются теоремы 6-9. Эти результаты опубликованы в работах автора [1], [2].

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Тихомиров, Сергей Борисович

включение gN{koj) G Г(1/4г/). (4.34)

Действительно, выполнено равенство д^{ки) = (0, Qkry, Rk~N(v«/)). Следовательно, норма г?-координаты точки д^(ксо) равна ^"^г/!, а норма ги-координаты точки д^{кш) равна \Bk~Nw'\. При этом выполнена цепочка неравенств

R^w'l \w'\ -âk~N\v'\ ~ |т/| 4г/

Следовательно, выполнено включение (4.34).

Пусть H1 G Ei - прямая, проходящая через 0 и а. Пусть H2,., Нт - ее образы под действием отображения (Т\. Введем обозначение J' = я1 и ■ • • и нт. Рассмотрим множества

Ii = S^xeJ: ^ < dist(rc,7i) < Jij С S и

I2 = ^(0; 0; 0, w) : ^ < \w\ < ¿i j С Е.

Если dim Еи = 2, то /2 = {0}.) Отметим, что dist(/i, J') > 0. Рассмотрим множество

I = {х G Е, \Пгх\ G Л или |П2а;| G /2 }П

0,y:v,w) G Е, \у\, И < ii}

Ниже мы покажем, что множество I удовлетворяет следующим условиям

Бе^й') Существует такое е > 0, что для любого N Е 14 выполнены неравенства с^(7,рлг(£)) > ¿6 1. (4.35)

Set2') Существует такое е > 0, что для любого г] Е {г + Ь] П Си(е, г) множество 0(х,ф) П I не пусто. По аналогии со случаем 01, из условий (БеИ') и (Set2/) следует, что векторное поле У не обладает свойством ОгЬ^БЬ.

Покажем, что множество I удовлетворяет условию (БеИ'). Из неравенств (4.32) и (4.33) следует, что при е < ^ и £ Е (—оо; 0) и (Л^; +оо) выполнено неравенство (4.35).

По аналогии со случаем 01, существуют такие Е0,1 > 0, что если для некоторых £ Е (0, Ео): N Е 14, £ Е [0, ЛГы] выполнено неравенство /) < е, то найдется такое целое число к £ [0, ТУ"], что выполнено неравенство

Ш(ди(кш),1) < 1е. (4.36)

Выберем произвольное г Е (0, | тт(&8^/х, ^')/2, <5х/(4^), .ЁЬ))-Предположим, что условие (БеН') не выполнено. Тогда найдутся такие числа N Е 14 и £ Е [0, Л/о;], что выполнено неравенство dist(I, дм^)) < е. Тогда в силу неравенства (4.36) найдется такое к Е [0, ЛГ], что выполнено неравенство (4.36). При этом исходя из определения ¿/лг(£) выполнено включение

ПхЫМ е У-100

Отсюда следует, что выполнено неравенство

П^лКМэ А) > (^(/ь «/'). (4.37)

Из включения (4.34) следует, что < 5\/2у или

П1^лг(А:а;)| > 25\. Из этого условия и неравенства (4.37) следует, что &\^(ды(кш),1) > 1е. Мы получили противоречие с неравенством (4.36).

Таким образом, мы показали, что множество I обладает свойством (8еи'). Покажем, что оно обладает свойством (Set2/).

Предположим противное, тогда найдутся такие последовательности чисел £г —> 0 и точек т]г £ В(£1,г)Г\{г+Ь}, что выполнено равенство

0(тн,ф)П1 = Ъ. (4.38)

Пока ф(ксо}г]г) £ В(61,71), выполнено равенство

Риф((к + 1)ш,т) = ИРЩки,^), и при этом \\Я\\ = у. Следовательно для любого г найдется такое к (г), что выполнены неравенства < 1^1 < ¿1, (4.39) где г][ = ф(к(г)ш, щ). Из соотношения щ 0 следует, что к(г) —» оо. Отметим, что И\Т}[ £ J. Из неравенств (4.39) следует, что для одного из индексов ] £ {1,2} выполнено неравенство < М < 101

Отсюда следует, что выполнено включение Пjr}[ € Ij. Поскольку к (i) —> оо, при достаточно больших г координата у точки г)[ будет меньше Следовательно, г)[ £ I. Мы получили противоречие с равенством (4.38). Таким образом, множество / обладает свойством (Set2').

Случай dim L' = 1 разобран. Случай dim L' = 0 рассматривается аналогично.

Лемма доказана. □

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тихомиров, Сергей Борисович, 2008 год

1. Аносов Д.В. Об одном классе инвариантных множеств гладких динамических систем // Труды 5-й Межд. конф. по пслин. колеб. Киев. 1970. Т. 2. С. 39 45.

2. Каток А. Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М., 1999. 768 с.

3. Пилюгин С. Ю. Введение в грубые системы дифференциальны уравнений. JL, 1988. 160 с.

4. Рейзипъ Л. Э. Локальная эквивалентность дифференциальных уравнений. Рига, 1971. 235 с.

5. Anosov D. V., Bronshtein I. U.: Topological dynamics. In: Dynamical Systems I. Ordinary Differential Equations and Smooth Dynamical Systems. EMS 1. Springer-Verlag. 1988. 221 p.

6. Aoki N. The set of Axiom A diffeomorphisms with no cycle // Bol. Soc. Brasil. Mat. (N.S.) 1992. Vol. 23. P. 21 65.

7. Bowen R. Equilibrium States and the Ergodic Theory of Anosov Diffeomorphisms. Lect. Notes. Math. V. 470. Springer-Verlag. Berlin. 1975. 108 p.

8. Gan S. Another proof for the С1 stability conjecture for flows // Sci. China Ser A. 1998. Vol. 41. P. 1076 1082.

9. Gan S.; Wen L. Nonsingular star flows satisfy Axiom A and the no-cycle condition 11 Invent, math. 2006. Vol. 164. P. 279-315.

10. Hayashi S. Diffeomorphisms in Fl (M) satisfy Axiom A // Ergod.

11. Theory Dyn. Syst. 1992. Vol. 12. P. 233 353.

12. Lee K., Sakai K. Structural stability of vector fields with shadowing // Journ. Differ. Equat. 2007. Vol. 232. P. 303 313.

13. Mane R. A proof of the С1 stability conjecture // Publ. Math. IHES. 1987. Vol. 66. P. 161-210.

14. Moriyasu K., Sakai K., Sumi N. Vector fields with topologycal stability // Trans. Amer. Math. Soc. 2001. Vol 353. P. 3391-3408.

15. Palmer K. Shadowing in Dynamical Systems. Theory and Applications. Dordrecht-Boston-London. 2000. 299 p.

16. Pilyugin S. Yu. Shadowing in dynamical systems. Lect. Notes Math. V. 1706. Springer-Verlag. Berlin. 1999. 283 p.

17. Pilyugin S. Yu. The Space of Dynamical Systems with the C°-Topology. Lect. Notes Math. V. 1571. Springer-Verlag. Berlin/New-York. 1994.

18. Pilyugin S. Yu. Shadowing in structurally stable flows // Journ. Differ. Equat. 1997. Vol. 140. P. 238 265.

19. Pilyugin S. Yu., Rodionova A. A., Sakai K. Orbital and weak shadowing properties // Discr. Contin. Dyn. Systems. 2003. Vol. 9. P. 287 308.

20. Pugh C., Robinson C. The enclosing lemma, including Hamiltonians // Ergod. Theory Dyn. Syst. 1983. Vol. 3. P. 261-313.

21. Pugh C., Shub M. The fi-Stability theorem for flows 11 Invent. Math. 1970. Vol. 11. P. 150-158.

22. Robinson С. Stability theorems and hyperbolicity in dynamical systems // Rocky Mount. J. Math. 1977. Vol. 7. P. 425-437.

23. Sakai K., Pseudo orbit tracing property and strong transversality of diffeomorphisms of closed manifolds // Osaka J. Math. 1994. Vol. 31. P. 373-386.

24. Sawada K. Extended /-orbits are approximated by orbits // Nagoya Math. J. 1980. Vol. 79. P. 33-45.

25. Публикации автора по теме диссертации

26. Пилюгин С. Ю., Тихомиров С. В. Множества векторных полей с различными свойствами отслеживания псевдотраекторий / / Доклады АН. 2008. Т. 422. N. 1. С. 30-31.

27. Тихомиров С. Б. Внутренности множеств векторных полей со свойствами отслеживания, соответствующими некоторым классам репараметризаций // Вестник С.-Петерб. ун-та. Серия 1. 2008. Вып. 4. С. 90-97.