Пассивная система демпфирования для снижения динамического отклика пролетных строений железнодорожных мостов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Проворная Дарья Андреевна

• Проворная Дарья Андреевна
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Проворная Дарья Андреевна

ВВЕДЕНИЕ

1 ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ ДВИЖУЩИХСЯ С РАЗЛИЧНОЙ СКОРОСТЬЮ ПОЕЗДОВ С ВИБРИРУЮЩЕЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ПРОЛЕТНЫХ СТРОЕНИЙ

1.1 Краткие сведения по развитию теории динамического поведения пролетных строений

1.2 Модели исследования динамического поведения взаимодействующей системы «подвижная нагрузка - пролетное строение»

1.3 Анализ параметров, влияющих на динамическое поведение пролетных строений

1.4 Устройства для снижения динамического отклика пролетных строений при движении по ним нагрузки

1.5 Выводы по главе

2 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СИСТЕМЫ «ПОДВИЖНАЯ НАГРУЗКА - ПРОЛЕТНОЕ СТРОЕНИЕ» С УЧЕТОМ ДВУСТОРОННИХ ГОЛОНОМНЫХ СВЯЗЕЙ

2.1 Разложение динамического поведения пролетного строения без двухсторонних голономных связей в ряд Фурье

2.2 Разработка математических моделей динамических взаимодействий системы «подвижная нагрузка - пролетное строение» при введении двухсторонних голономных связей

2.3 Учет сопротивлений в динамическом поведении системы «пролетное строение - устройство»

2.4 Фазовый сдвиг между перемещением устройства и перемещением пролетного строения

2.5 Выводы по главе

3 ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕРНИЗИРОВАННОГО ДЕМПФИРУЮЩЕГО УСТРОЙСТВА С СООСНО РАСПОЛОЖЕННЫМИ УПРУГИМИ ЭЛЕМЕНТАМИ ДЛЯ МИНИМИЗАЦИИ ПИКОВОГО ОТКЛИКА ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ

ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПОДВИЖНАЯ НАГРУЗКА - ПРОЛЕТНОЕ СТРОЕНИЕ

3.1 Выбор конструкции устройства для применения в системе пролетного строения

3.2 Вынужденные колебания устройства с соосно расположенными упругими элементами

3.3 Структурный метод для анализа и синтеза исследования колебательных процессов устройства с соосно расположенными упругими элементами

3.4 Обоснование параметров устройства с соосно расположенными упругими элементами

3.5 Экспериментальное исследование модернизированного демпфирующего устройства пролетного строения

3.6 Выводы по главе

4 СНИЖЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОГО ОТКЛИКА ПРОЛЕТНОГО СТРОЕНИЯ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО МОСТА МОДЕРНИЗИРОВАННЫМ ДЕМПФИРУЮЩИМ УСТРОЙСТВОМ С СООСНО РАСПОЛОЖЕННЫМИ УПРУГИМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

4.1 Линейный динамический анализ переходных процессов балочного пролетного строения моста

4.2 Численный эксперимент для определения податливости балки с установленными устройствами

4.3 Динамический отклик пролетного строения, с использованием настроенных устройств с соосно распределенными упругими элементами, при прохождении по ним многоосного подвижного состава

4.4 Распределение устройств в виброзащитной системе пролетного строения

4.5 Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ А. Акт о внедрении результатов

исследования

ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Акт о внедрении результатов исследования в учебный процесс

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Пассивная система демпфирования для снижения динамического отклика пролетных строений железнодорожных мостов»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. С увеличением скорости подвижного состава увеличивается амплитуда колебаний пролетных строений железнодорожного моста, увеличивается динамический отклик системы «подвижной состав - пролетное строение», а также снижается безопасность движения подвижного состава. Для снижения динамического отклика пролетных строений от воздействия подвижной нагрузки, в образовавшейся практике применяется один из основных способов - регулирование массы пролетных строений, как правило, в сторону увеличения. Следует признать, что применение этого подхода, требует больших материальных затрат, а также усложнение технологии монтажа элементов конструкций.

Япония и многие европейские страны работают над расширением железнодорожных высокоскоростных линий или улучшением существующих железнодорожных линий, страны Азии, такие как Корея, Тайвань и Китай, перешли с этапа планирования и строительства на этап эксплуатации высокоскоростных железнодорожных линий. За счет быстрого расширения таких линий, расширяются и технические проблемы, к которым можно отнести динамическое взаимодействие системы «подвижной состав - пролетное строение».

Задача контроля динамического поведения этой системы, особенно в резонансных условиях, с целью увеличения срока службы железнодорожных мостов возросла за последние годы. Это можно объяснить строительством новых высокоскоростных линий и переоборудованием некоторых эксплуатируемых железнодорожных линий для работы на более высоких скоростях, как это происходит в некоторых Европейских и Азиатских странах, и для работы при увеличении нагрузки на одну ось у грузовых вагонов.

Степень разработанности темы исследования.

Для снижения динамического отклика пролетных строений от воздействия подвижной нагрузки, в образовавшейся практике применяется один из основных способов - регулирование массы пролетных строений, как правило, в сторону

увеличения. В этом подходе, важную роль играет анализ динамики системы «поезд - пролетное строение».

В КНР, благодаря проведенному динамическому анализу, произвели усиление пролетных строений, жесткость их значительно увеличилась и позволила эксплуатировать поезд CRH со скоростью 250 км/ч, хотя изначально пролетные строения были рассчитаны на скорость движения 120 км/ч. Следует признать, что применение этого подхода, требует больших материальных затрат, а также усложнение условий технологии монтажа элементов конструкций.

Другим способом для снижения динамического отклика системы «подвижной состав - пролетное строение» является установка специальных демпфирующих устройств, как пассивных, так и активных. Применение активного демпфирующего устройства позволяет добиться максимального эффекта в снижении колебаний, однако конструкция такого устройства обладает определенной сложностью, дорога и ненадежна в эксплуатации. По этим причинам демпферы активного типа не нашли применения в практике строительства. В настоящее время более экономичным является применение устройств пассивного типа, обладающих свойствами автономности и относительной безотказности в работе. Для таких устройств характерны: механическая простота, а также отсутствие дополнительных источников энергии. Применение таких демпфирующих устройств в системе пролетных строений железнодорожных мостов позволит управлять их динамическим откликом.

Поэтому, снижение динамического отклика пролетных строений железнодорожных мостов, имеющих в системе пассивные демпфирующие устройства, при движении по ним поездов, особенно высокоскоростных, является актуальной исследовательской задачей.

Для исследования было выбрано устройство с соосно расположенными упругими элементами.

Методы исследований теоретические с применением математического аппарата и численное моделирование вынужденных колебаний системы «подвижной состав - пролетное строение с пассивной системой демпфирования».

Научная проблема заключается в том, что динамическое взаимодействие подвижных составов и пролетных строений железнодорожных мостов, особенно на высокоскоростных линиях, является открытой задачей в области эксплуатации и строительства железных дорог. С увеличением скорости поезда динамическое взаимодействие системы «подвижной состав - пролетное строение» возрастает. Возросшее динамическое взаимодействие не только влияет на безопасность движения и комфорт пассажиров при движении поезда, но и оказывает непосредственное влияние на вибрации моста. Таким образом, необходимо расширить изучение динамического взаимодействия системы «подвижной состав -пролетное строение», чтобы определить динамические характеристики всей системы.

Оценка динамических характеристик такой системы в условиях эксплуатации является важным параметром, влияющим на срок службы пролетных строений моста. Например, в Китае оценку динамических характеристик проводят для каждого нового моста, особенно для внеклассных мостов, как указано в «Кодексе проектирования высокоскоростных железных дорог» [ТВ 10621-2014]. Для обеспечения безопасности железнодорожной линии важным вопросом является исследование основных характеристик пролетных строений мостов, динамический отклик при фактической скорости подвижного состава в период эксплуатации, а также исследование резонансных характеристик.

Существует три основных механизма резонансных реакций пролетных строений, вызванных поездом, включая их периодическое воздействие, скорость нагрузки движущего состава и реакций, возникающих в результате воздействия неровностей пути и движений колес. В дополнение к резонансу пролетного строения, может возникать резонанс в системе подвижного состава из-за повторяющихся возбуждений, вызванных изменением жесткости пролетного строения, что может привести к дискомфорту для пассажиров при движении поездов. Также резонанс пролетного строения будет возникать не только в вертикальных колебательных режимах, но также в боковых и крутильных режимах. Движение подвижного состава — это циклические нагрузки. Разрушение

пролетного строения происходит из-за возникновения микроразрушений, их накопления и последующего объединения в макроразрушение. Процесс накопления микроповреждений обуславливается усталостью материала, а усталостная прочность характеризует способность материала выдерживать нагрузки без ущерба для своей целостности. Для каждого типа материала существует определённый предел усталостной прочности, который гораздо ниже его предела прочности. Предел усталостной прочности подразумевает, что материал может выдерживать нагрузки в течение бесконечного числа циклов, что на практике невозможно. Тем не менее, усталостная кривая, отображающая максимально допустимые напряжения после достижения предела усталостной прочности, значительно выравнивается. Эти факторы уменьшают срок службы существующих мостов.

Оценка усталостной прочности любой строительной конструкции требует определения её точных динамических реакций, особенно напряжения в наиболее нагруженных местах. Для достижения высокой точности эффективного анализа динамического отклика балочных мостов может быть принят метод конечных элементов (МКЭ). И использование МКЭ важными частями, использующими оболочечный элемент, и другими частями, использующими балочный элемент [142].

Задача оценки осложняется тем обстоятельством, что снижение колебаний системы «подвижной состав - пролетное строение с пассивными демпфирующими устройствами» становится нелинейной задачей из-за наложения двухсторонних голономных связей и взаимосвязанности вынужденных колебаний двух подсистем, зависящих от времени. Такие связи возникают при взаимодействии двух подсистем - подвижного состава и пролетного строения. Получаем голономную систему — механическую систему, связи которой можно свести к геометрическим. Такие связи сводятся к ограничениям только на положения тел системы.

Цель работы - снижение динамического отклика пролетных строений железнодорожных мостов путем модернизации внешних демпфирующих систем.

Для достижения поставленной цели предусматривается решение следующих

задач:

- получить уравнение колебаний балки и определить перемещение сечения балки в зависимости от функции времени и формы главных колебаний;

- разработать математическую модель динамических взаимодействий системы «подвижной состав - пролетное строение» при введении внешней пассивной системы демпфирования;

- определить рациональные соотношения параметров внешней демпфирующей системы с соосно расположенными упругими элементами для минимизации пикового отклика передаточной функции динамического взаимодействия системы «подвижной состав - пролетное строение»;

- проанализировать эффективность предложенной внешней пассивной системы демпфирования для балочных пролетных строений.

Научная новизна исследования:

- получена новая зависимость перемещения балки пролетного строения от проходящего подвижного состава с учетом силы реакции внешнего демпфирующего устройства;

- усовершенствована математическая модель динамического взаимодействия системы «движущаяся нагрузка - пролетное строение» с внешним демпфирующим устройством, учитывающая основные конструктивные параметры пролетных строений железнодорожных мостов и двухсторонние голономные связи устройства;

- получена новая зависимость реакции пролетного строения с веденными двусторонними голономными связями в устройстве от возмущающей нагрузки подвижного состава;

- доказана эффективность применения демпфирующих устройств с соосно расположенными упругими элементами в снижении для динамического отклика пролетных строений.

Предмет исследования - вынужденные колебания пролетных строений железнодорожных мостов от проходящих по ним подвижных составов, при установке двухсторонних голономных связей в системе пролетных строений.

Объект исследования - разрезные балочные пролетные строения железнодорожных мостов, подвергаемые динамическому воздействию со стороны движущихся по ним поездов.

Теоретическая и практическая значимость работы.

Теоретическая значимость заключается в развитии теоретического базиса исследования динамических взаимодействий, возникающих между балочными пролетными строениями железнодорожных мостов и движущимися железнодорожными составами, с учетом внешнего демпфирования в системе пролетных строений.

К практической значимости работы относится применение гасителей колебаний с соосно распределенными упругими элементами в системе пролетных строений для снижения вертикального ускорения, что подтверждается справкой внедрения.

Достоверность результатов диссертационного исследования обеспечивается применением апробированных методов и подходов, составляющих аналитический аппарат теории колебаний, моделирования эксперимента; верификацией результатов моделирования с использованием разработанных методик с результатами решения задач, имеющих аналитическое решение, результатами расчетов авторитетных отечественных и зарубежных специалистов.

Методология и методы исследования.

Основными методами, использованными в работе, являются экспериментальные и теоретические с применением математического аппарата и численное моделирование вынужденных колебаний системы «подвижной состав -пролетное строение с пассивной системой демпфирования».

Положения, выносимые на защиту:

- влияние реакции внешнего демпфирующего устройства на динамический отклик пролетных строений железнодорожного моста от проходящего подвижного состава;

- моделирование взаимодействия динамической системы «пролетное строение - подвижной состав» с учетом демпфирующего устройства из соосно расположенных упругих элементов;

- исследование динамического отклика системы «подвижной состав -пролетное строение» с введенным демпфирующим устройством;

- снижение динамического отклика пролетных строений железнодорожных мостов, с установленными на различном интервале по длине пролета демпфирующими устройствами, при воздействии движущейся нагрузки.

Апробация результатов работы.

Основные положения диссертационной работы были доложены и обсуждены на научно-технической конференции студентов и аспирантов «Наука и молодежь XXI века», в Новосибирске, 2016 - 2017 гг.; III международной научно-практической конференции «Научно-технические аспекты инновационного развития транспортного комплекса»; международной научной конференции «Вопросы науки и практики» Россия, Москва, 1 сессия - 17 февраля 2017 г; международной научной конференции «Политранспортные системы-2017», Новосибирск; международной научно-практической конференции "Инновационные факторы развития транспорта. Теория и практика" 19 -20 октября 2017 года; V Всероссийской (национальной) конференции молодых ученых 2019 г., Новосибирск; международной научной конференции «Политранспортные системы-2020», Новосибирск.

Публикации.

По теме диссертационного исследования опубликовано 22 работы, в том числе 2 работы в изданиях, включенных в перечень, рекомендуемых ВАК и 3 работы, включенных в перечень международной реферативной базы.

Личный вклад автора заключается в участии на всех этапах процесса научного исследования, в том числе непосредственном участии в эксперименте; обработке и интерпретации экспериментальных данных; теоретических исследования и подготовке публикаций по выполненной работе.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объем составляет 137 страниц, работа содержит 54 рисунка, 8 таблиц и 2 приложения. Список литературы содержит 144 источника.

1 ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ ПОДВИЖНОГО СОСТАВА И ПРОЛЕТНЫХ СТРОЕНИЙ

1.1 Краткие сведения развития теории динамического взаимодействия подвижного состава и пролетных строений

Динамическая реакция мостов при движущихся нагрузках в прошлом изучалась несколькими поколениями исследователей. Первое известное исследование в истории на эту тему было проведено, когда произошло обрушение Честерского железнодорожного моста через реку Ди в Англии в 1847 году. Отчет Уиллиса по этому событию является первой публикацией, касающейся динамического поведения железнодорожных мостов. Уиллис, установил дифференциальное уравнение, описывающее движения массы по безмассовой балке в зависимости от скорости движения. Выводы, полученные в результате этой новаторской работы, следует интерпретировать в настоящее время как чисто исторические, из-за допущенных упрощений, например, игнорирование инерционных эффектов массы мостового сооружения и другие.

Среди самых ранних работ на эту тему следует выделить работы Тимошенко С.П. (1922) [118], который изучал случай движущегося груза или пульсирующей силы, проходящей по простой балке, пренебрегая инерцией транспортного средства. Позже, нашел решение для случая сосредоточенной силы, движущейся с постоянной скоростью вдоль призматического стержня, без учета вклада демпфирующих сил. Также было представлено выражение для критической скорости. О колебаниях балок под действием движущихся грузов рассматривал Jeffcott, H. H. (1929) в своей работе [96].

Позднее, С.П.Тимошенко [119] получит огромное количество приближенных решений в задачах поведения простых балок под движущимися нагрузками. Подобные модели были приняты при изучении динамических характеристик двух балок под нагрузками исследователями Ayre R. S., Ford G., Jacobsen L. S. [62,63], а затем и Vellozzi J. [121] при изучении вибрации висячих мостов.

В работе [95] Inglis C. E. (1934), представил всеобъемлющую работу на тему динамического поведения железнодорожных мостов. Этот автор, проанализировав эффекты, присущие движущимся грузам, влияние демпфирования и жесткости пружинной подвески локомотива, и отметил, что, когда мост подвергается прохождению движущихся грузов, вызванные напряжения и прогибы могут быть выше, чем для статического случая.

Следующее развитие исследований по динамическому поведению мостовых сооружений, следует отнести к 60 - 70 годам прошлого столетия. Болотин В. В. (1961) [6, 68] рассматривает задачи о колебаниях мостов под действием подвижной нагрузки; Biggs J. M. (1964) [8] - динамическое взаимодействие движущихся транспортных средств и конструкций; Бондарь Н. Г. (1965) [8] - динамику железнодорожных мостов; Моргаевский А. Б. (1968) [35] - величину динамического воздействия подвижной нагрузки с учетом высших гармоник; Stanisic M.M. и Hardin J.C. (1969) [116] - динамический отклик на произвольное количество концентрированных движущихся масс; Китаев К.Е. (1971) [28] -вынужденные колебания балочных и арочных систем железнодорожных мостов в вертикальной плоскости; Fr'yba L. (1972) [88] - вибрацию твердых тел и конструкций под действием движущихся нагрузок; Козьмин Ю. Г.(1973) [29] -взаимодействие балочных пролетных строений железнодорожных мостов и подвижного состава при высоких скоростях движения; Иванченко И. И. (1975) [25] - колебания моста при движении по нему экипажа; Matsuura A. (1976) [108] -динамическое поведения мостовой балки высокоскоростной железной дороги; Kurihara M., Shimogo T. (1978) [101] - устойчивость свободно опертой балки, подвергающейся случайным разнесенным движущимся нагрузкам; Chu, K. H., Garg V. K., Dhar C. L. (1979) [76] - влияние железной дороги на мост: упрощенная модель поезда и моста.

В 1983 году Г. Б. Муравский разработал алгоритм исследования динамики линейно-деформируемых систем при действии подвижной нагрузки [36]. С использованием метода конечных элементов были произведены динамические расчеты конструкций на действие подвижной нагрузки в нашей стране (1986)

группой ученых Н.Н. Шапошниковым, С. К. Кашаевым, В. Б. Бабаевым, А. А Долгановым [60] и за рубежом (1987) учеными Wu J. S., Lee M. L., Lai T. S. [126].

В более позднее время следует отметить существенный вклад Fr'yba L. (1996) в теорию динамического поведения мостовых конструкций при движущихся нагрузках, с его работой "Динамика железнодорожных мостов" [89]. Здесь были включены подробные результаты для большого числа случаев, начиная от одномерных структур и заканчивая трехмерными твердыми телами. Движение поездов по мостовому сооружению предполагалось как возбуждающая непрерывная нагрузка движущейся многоосной системы или как движущиеся постоянные гармонические вынужденные силы. Движущие силы также были рассмотрены как произвольно изменяющаяся по времени, а также целый ряд специальных задач, включая движение груза с переменной скоростью, случайные нагрузки и силы, движущиеся с высокой скоростью. Особое внимание было уделено влиянию скорости поезда и неровностей пути на реакцию моста. Наконец, была проанализирована проблема усталости балок на железнодорожных мостах от действия нагрузок. Полученные экспериментальные результаты в 2001 году Fr'yba L. [90] завершают цикл исследований, позволяя сравнить теоретические расчеты с результатами измерений.

Chatterjee P. K., Datta T. K. (1994 - 95) в своих исследованиях провели динамический анализ арочных мостов под действием движущихся нагрузок, а также рассматривали вибрацию подвесных мостов при движении транспорта [71, 72].

В приведенных научных работах [132, 133, 134], в 1995 - 97 годах Yang Y. B., Liao S. S., Lin B. H., Поляков В.Ю. [90] было представлено моделирование взаимодействия транспортного средства и моста для анализа динамического поведения железнодорожных мостов под действием высокоскоростных поездов. В результате, по отношению к взаимодействующей системе железнодорожного транспортного средства и модели моста были установлены некоторые допущения:

1) поезд предполагался в виде ряда сгруппированных подрессоренных масс, расположенных в положениях тележки;

2) мост был рассмотрен с неровностями рельсового пути и смоделирован элементами балки.

С учетом этих допущений, составляются две системы взаимодействующих дифференциальных уравнений движения: одна - описывает динамическое поведение железнодорожного моста, а другая - динамику каждого элемента подпружиненных масс, составляющих поезд. Чтобы решить проблему взаимодействия, уравнение подпружиненной массы переводится в дискретное уравнение с помощью конечной разности (№,№тагк, N. М. [110]) и затем приводится к уравнению движения элемента моста, находящегося в контакте.

Смирнов В.Н. [51] - рассматривал многопролетное мостовое сооружение как упругую систему с конечным числом степеней свободы при учете работы бесстыкового пути.

В 2001 г. Бг'уЬа Ь. усложнил задачу: исследовал теорию динамического поведения моста на резонансных колебаниях, которые возникают на критических скоростях движения поезда [90]. В результате выявил две различные причины возникновения резонансной вибрации на железнодорожных мостах:

1) повторяющееся воздействие нагрузок на ось поезда, следовательно и на мостовое сооружение;

2) высокая скорость перемещения грузов по конструкции мостового сооружения.

Бг'уЬа Ь. подчеркнул, что резонанс мостов на высокоскоростных линиях с современными поездами, из-за высокой скорости перемещения грузов сам по себе не возникает, но при повторном действии осевой нагрузки поезда на мост, могут возникнуть резонансные явления, приводящие к критическим значениям вертикального ускорения верхнего строения пути пролетного строения моста. Как это наблюдается на некоторых французских железнодорожных мостах, где в качестве основной причины указывается дестабилизация балласта на мостах со малыми и средними пролетами.

С помощью дифференциальных уравнений Фурье и обратных интегральных преобразований Лапласа-Карлсона были получены аналитические решения для

перемещения, ускорения и изгибающего момента шарниро-опертой балки под действием ряда сил, движущихся с постоянной скоростью.

На рисунке 1.1 показано ускорение пролетного строения при прохождении поезда со скоростью 192 км/час.

Рисунок 1.1 - Ускорения пролетного строения моста длиной 38 м, при

прохождении поезда со скоростью 192 км/ч (Fr'yba, L. 2001,[90]) В той же статье, были получены некоторые простые выражения для приближенной оценки реакции пролетных строений мостов в условиях резонанса, аналогично коэффициенту динамического усиления при проектировании мостов. Кроме того, были также определены две формулы для оценки взаимодействия моста или транспортного средства. Результатом исследований стало предположение: необходима динамическая совместимость моста и транспортного средства, при условии, что движущийся поезд не вызывает предельного значения вертикального ускорения верхнего строения пути.

Значительный вклад в исследование о динамической реакции мостов под движущимися поездами внесло рабочее партнерство между Yau J.D. и Yang Y.B., результатом которого стала всеобъемлющая книга "Широкополосная система MTD для снижения динамической чувствительности неразрезного ферменного моста к движущимся поездам" [137]. В этом исследовании, поезд был смоделирован как состав из двух подсистем колесных нагрузок с постоянными интервалами, причем

одна относится ко всем узлам передних колес, а другая - ко всем узлам задних колес. Условия возникновения явления резонанса были определены, что привело к предложенным оптимально конструктивным критериям, которые являются эффективными для подавления резонансного отклика. Из проведенных исследований были сделаны некоторые выводы: снижение резонансных амплитуд возможно за счет удлинения периода колебаний балки с учетом инерционных воздействий транспортных средств, движущихся по ней.

Также рассматривался динамический отклик мостов с упругими основанием на удары. На упругих основаниях были виброизоляторы подобные тем, которые используются в качестве сейсмоизоляторов, для предотвращения повреждений мостовых сооружений от землетрясений. Используя аналитический подход [136], авторы проанализировали реакцию мостов с упругими изоляторами на воздействие движущихся железнодорожных нагрузок (рисунок 1.2). Особое внимание было уделено резонансному отклику, который может возникнуть на мосту. Игнорируя взаимодействие транспортного средства с мостом и демпфирование транспортного средства, эти авторы, предложили математические формулы, описывающие динамический отклик балки для случая бесконечного числа движущихся нагрузок, и пришли к заключению, что резонансные условия могут увеличиться за счет установки упругих опорных балок.

р р р 1 I 1

"ГЦ - JT

Рисунок 1.2 - Балка с упругой опорой, подверженная равномерным движущимся

нагрузкам (Яу и др., 2001, [136]) Все рассмотренные исследования не учитывали случайный характер воздействия на динамику мостов от неровности пути. Wu Y. S., Yang Y. B. [124,125], рассмотрели динамическое поведение железнодорожных мостов при

взаимодействии с движущимися поездами с учетом неровностей пути. Была предложена трехмерная модель, позволяющая учитывать эффект связи между боковыми и крутильными колебаниями, прогнозируя не только вынужденные вертикальные колебания, но также боковые и крутильные колебания. Эти авторы также подчеркнули, что из-за наличия неровностей пути динамические реакции как поезда, так и железнодорожного моста, значительно возрастают.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Проворная Дарья Андреевна, 2025 год

- a

-

ь

¿ i t I I t 1 • i . . J i i 1

2 4 6 8 10 15 20 40 60 80 100 L, М

Рисунок 1.12 - Пределы собственной частоты пролетного строения моста [Гц] в зависимости от длины L [м]: 1 - верхний предел; 2 - нижний предел [143] Дальнейшие наблюдения показали, что число резонансных пиков увеличивалось с увеличением числа промежутков, а, распределение частот становится более плотным по мере увеличения числа промежутков.

Для шарнирно-опертых балок в динамическом отклике преобладает первая собственная частота и соответствующая форма колебаний, тогда как на поведение неразрезных мостов влияют несколько собственных частот и, таким образом, в некоторой степени они компенсируют друг друга [Calzada и др., 2009]. Кроме того, при увеличении количества пролетов вибрация может передаваться на соседние пролеты и, таким образом, уменьшать динамические эффекты [136].

При строительстве железнодорожных линий в качестве несущей конструкции насыпи используется балласт. Слой балласта содержит какой-либо гранулированный материал, который уплотняется для обеспечения достаточного

показателя. Перемещения и разрушение балластного материала происходит под воздействием нагрузок от движущихся поездов, что может привести к неровностям рельсового пути и, следовательно, к дополнительным нагрузкам на пролетные строения. Для высокоскоростных линий с движением на балласте требуется повышенное техническое обслуживание, главным образом из-за повреждений колес и рельсов частицами балласта, которые взбиваются на высоких скоростях.

Альтернативой традиционному железнодорожному пути на балласте является безбалластный путь, который состоит из цельной плиты, на которую опираются рельс и шпалы. Кроме того, такой путь обеспечивает меньшую высоту, меньший вес и более высокую точность выравнивания пути по сравнению с балластом. Исследования, касающиеся затрат на содержание, показали, что рельсовые пути с плитным покрытием являются очень хорошей альтернативой традиционным путям с балластным покрытием.

В основном это было связано с тем, что безбалластный путь имеет меньшую массу и, следовательно, более высокую скорость возникновения резонанса. Максимальное ускорение было выше для безбалластного пути, поскольку допустимые пределы вертикального ускорения для них выше. Влияние массы балласта меньше для железобетонных мостов по сравнению со стальными и композитными мостами [100].

Важной проблемой в железнодорожных мостах являются концевые соединения, особенно для рельсовых путей безбалластных плит, подверженных высокоскоростным нагрузкам, поскольку в них происходит меньше перемещений. Перемещения и повороты должны быть ограничены, чтобы обеспечивать результирующие усилия в допустимом уровне. На балластном пути меньше проблем, поскольку в нем есть допуски перемещений, вызванных температурными изменениями, а также ползучестью и усадкой грунта [69].

Железнодорожный путь никогда не бывает идеально прямым или без неровностей, которые будут вызывать вибрацию моста во время прохождения подвижного состава. Неровности пути могут возникать как в вертикальной, так и в горизонтальной плоскости и, таким образом, вызывать вертикальные,

горизонтальные и крутильные колебания. Факторами, которые могут вызвать неровности пути, являются: дефекты колес, стыки рельсов, стрелочные переводы, переходные зоны (например, между мостами и опорами) [128, 129, 130].

Переходные зоны (рисунок 1.13) между пролетными строениями и опорами или между соседними пролетными строениями, вызывают повышенные динамические эффекты.

Рисунок 1.13 - Переходные зоны между балластным и безбалластным полотном

[Meng, et al., 2015]

Это связано с тем, что вертикальная жесткость резко меняется, что приводит к ударной нагрузке от колес подвижного состава, а также на рельсы. Поэтому этот факт нужно учитывать при проектировании переходных зон, путем постепенного изменения жесткости на достаточно большом расстоянии, чтобы избежать резкого изменения жесткости. Исследования показали, что частота технического обслуживания этих зон происходит в пять раз чаще [64].

Наиболее важным параметром, влияющим на динамические характеристики железнодорожного моста, является скорость движения поезда. Как правило, динамические характеристики увеличиваются с увеличением скорости. Поезд, движущийся на низкой скорости, как правило не вызывает динамических откликов пролетного строения.

Вид подвижного состава оказывает существенное влияние на динамические характеристики. В составе могут быть разные длины вагонов, масса, система подвески и т.д., и все это в той или иной степени влияет на динамику пролетных строений [53].

Демпфирование железнодорожного моста сильно влияет на динамические характеристики, особенно при резонансе. Мост начинает вибрировать, как только по нему проезжает поезд, и когда поезд проедет, мост будет свободно вибрировать до тех пор, пока в конце концов не достигнет равновесия благодаря свойству демпфирования [89]. Эффект затухания на резонансных пиках при увеличении коэффициента демпфирования показан на рисунке 1.14.

■- -1

/АЬ с-ш

1---4:-! 4М

на » т I ю и а.н

г

Рисунок 1.14 - Резонансные пики при различной степени демпфирования [89] Явление затухания является сложным и возникает из-за потерь энергии во время циклов колебания. Рассеивание энергии является результатом ряда факторов, таких как: трение в материале, трение опор, деформации материала, появление трещин и т.д. Величина демпфирования на конкретном мосту может варьироваться в зависимости от амплитуды вибрации, температуры, наличия балласта и влияния граничных условий [143].

Из-за сложного характера демпфирования практически невозможно учесть все параметры при оценке демпфирующих свойств моста. Как результат, не существует теоретических уравнений для определения коэффициентов демпфирования, которые можно было бы использовать при проектировании. Вместо этого предлагаемые расчетные значения основаны на эмпирических данных, полученных в ходе реальных экспериментов с мостами [89].

Исходя из результатов измерений демпфирования, Европейский подкомитет Б214 «Международного союза железных дорог» предложил использовать при

проектировании мостов следующие нижние пределы критического демпфирования (таблица 1.1).

Таблица 1.1 - Значения демпфирования, применяемые в проектировании [143]

Тип моста £: Нижний предел процента критического демпфирования [%]

Диапазон L <20 м Диапазон L > 20 м

Сталь и композитные материалы £ = 0.5 +0.125(20 - Щ £ = 0,5

Предварительно напряженный бетон £ = 1.0+ 0.07 (20 - Щ £ = 1,0

Заполняющая балка и железобетон £ = 1.5+ 0.07 (20 - Щ £ = 1,5

Сшркп 1НШ КЫ. 1

Рисунок 1.15 - Влияние многоступенчатых компенсаторов массы на железнодорожный мост, подвергнутый HSLM-A3 [67] Для увеличения демпфирования, позволяющего уменьшать вынужденные колебания, применяются внешние специальные устройства - демпферы. При настройке демпферов на определенную частоту отклик пролетного строения от этой частоты будет снижен (рисунок 1.15).

1.4 Внешние устройства для увеличения демпфирования пролетных строений

Демпфирующие устройства делятся на три основные категории: активные, полуактивные и пассивные системы управления. Для активных систем управления требуется внешний источник питания, в то время как пассивная система управления использует движение конструкции для увеличения демпфирования (рисунок 1.16).

Рисунок 1.16 - Настраиваемые демпферы: а) демпфер массы и б) демпфер вязко -

жидкостный

Настраиваемые массовые амортизаторы (ТМО) установлены в середине пролета моста, вязко - жидкостные демпферы ^УО) установлены на каждой опоре. Применение любых виброзащитных устройств в составе конструкции изменяет динамическое поведение пролетных строений и возникает своя амплитуда колебаний по гармоникам от внешних нагрузок.

Примерами могут служить: возникновение чрезмерных вибраций на Лондонском пешеходном мосту Миллениум и Волгоградском автомобильном мосту. В первый день эксплуатации, Лондонский мост испытал горизонтальные колебания со смещением центрального пролета около 70 мм, вызванные синхронизированной горизонтальной нагрузкой от пешеходов. Через два дня после открытия, мост был закрыт, для проведения диагностики и устранения проблемы [94]. Таким образом, после тщательного анализа было принято решение: для

управления динамическим поведением Лондонского пешеходного моста ввести дополнительное пассивное демпфирование в виде использования 37 вязко -жидкостных демпферов и 52 настраиваемых демпферов. На Волгоградском автомобильном мосту также пришлось снижать чрезмерные амплитуды вынужденных колебаний, введением дополнительных демпферов в систему пролетных строений [38].

В области исследований, связанной с динамическим поведением железнодорожных мостов с введенным дополнительным внешним демпфированием, воздействие высокоскоростного движения на железнодорожные мосты в настоящее время является актуальной задачей. Тем более, развивается строительство новых высокоскоростных линий, а также переоборудование некоторых эксплуатируемых железнодорожных линий для работы на более высоких скоростях.

Наиболее приемлемыми для железнодорожных мостов, как находящихся в эксплуатации, так и заново проектируемых, из-за простоты обслуживания и низкой стоимости можно считать пассивные системы. Кроме того, пассивные системы -это, системы, которые не нуждаются во внешнем источнике питания для выполнения своей функции управления, поскольку их поведение зависит только от характеристик самих устройств. К числу устройств, классифицируемых как пассивные системы [3,9,12,13,20,23,27,30,37,49,50,105], можно отнести вязкоупругие демпферы, гидродинамический гаситель и гаситель с настроенной массой.

Вязкоупругие демпферы или демпфированные динамические вибропоглотители показали, что могут предотвращать передачу или рассеивание огромного количества вибрационной энергии пролетного строения, создаваемых транспортным средством на мосту во время его прохождения. Для мостового вязкого демпфера принцип смягчения вертикальной вибрации заключается в увеличении отношения частот за счет соответствующего уменьшения собственной частоты вибрационной системы, а также в обеспечении надлежащего демпфирования во избежание резонанса. Так же, эти демпфирующие устройства

можно использовать для модернизации существующих железнодорожных мостов, поскольку ее можно устанавливать при сохранении линии в рабочем состоянии из-за отсутствия взаимодействия между верхним строением пути и установкой вязких демпферов.

Использование этой системы было реализовано на железнодорожных эстакадах в г. Сочи (рисунок 1.17) и Тайваньской высокоскоростной железной дороги (рисунок 1.18). Гидродинамический устройство [37] конструктивно состоит из двух основных элементов: поршня-устройства в виде круглой плиты, прикрепленной штоком к середине мостового пролета и стакана круглого сечения, устанавливаемого на фундаменте на дне реки под пролетным строением, в котором и размещается и перемещается поршень в процессе вынужденных колебаний пролетного строения (рисунок 1.19).

Рисунок 1.17 - Демпфирующее устройство на одной из железнодорожных эстакад

в г. Сочи

Рисунок 1.18 - Демпфирующие устройство на Тайваньской высокоскоростной железной дороге Гидродинамический устройство [37] конструктивно состоит из двух основных элементов: поршня-устройства в виде круглой плиты, прикрепленной штоком к середине мостового пролета, и стакана круглого сечения, устанавливаемого на фундаменте на дне реки под пролетным строением, в котором и размещается и перемещается поршень в процессе вынужденных колебаний пролетного строения (рисунок 1.19).

Рисунок 1.19 - Гидродинамическое демпфирующее устройство моста [37] При вынужденных колебаниях пролетного строения вертикальные перемещения передаются через стойку устройства к круглому поршню,

находящемуся в стакане. Поршень, перемещаясь в воде, рассеивает энергию колебательных перемещений пролетного строения.

Демпфер настроенной массы (ТМО) представляет собой систему, обычно состоящую из вторичной массы, подвешенной с помощью амортизатора (пневматического или гидравлического) и пружины из точки на первичной конструкции, настроенной на определенную собственную частоту пролетного строения моста, чтобы при возбуждении настроенная масса динамического устройства двигалась в противоположной фазе с перемещением пролетного строения. Учитывая это свойство, пассивные системы имеют возможность компенсировать силу вынужденных колебаний, действующих на конструкцию, за счет сил инерции дополнительной массы [21]. Такое демпфирующее устройство является одним из самых простых и наиболее часто используемых пассивных устройств управления для нескольких типов конструкций, включая, мостовые сооружения (рисунок 1.20). Оба типа динамических колебаний выполняют две основные функции: во-первых, уменьшают динамический отклик мостовой конструкции, особенно на частоте совпадения вынужденных колебаний и собственных, а во-вторых, увеличивают общее демпфирование конструкции, обеспечивая дополнительный источник рассеивания энергии.

4

И

I

I

Рисунок 1.20 - Демпфирующее устройство для мостов Таким образом, вибрации железнодорожного моста можно контролировать с помощью пассивных демпферов с использованием голономных связей. Высокая производительность, простота конструкции и надежность этого метода являются причинами его использования. Следовательно, необходимо исследовать выходные

параметры внешних пассивных устройств для применения их к реальным мостовым сооружениям.

1.5 Выводы по главе 1

Модели подвижных нагрузок со временем меняются и усложняются, в том числе по типу и движущейся массе. Факторы, которые необходимо учитывать при анализе реакции взаимодействия системы «подвижной состав - пролетное строение» включают: динамические свойства и частоты движущегося состава, а также динамические свойства и неровности пути. Несмотря на высокую сложность этой модели (десятки степеней свободы), необходимо определиться с математическими методами для определения динамического отклика, поскольку он позволяет идентифицировать ключевые параметры, определяющие динамику взаимодействия системы «подвижной состав - пролетное строение».

Для железнодорожных мостов, как находящихся в эксплуатации, так и проектируемых, из-за простоты обслуживания и низкой стоимости можно считать наиболее приемлемыми: виброзащитные пассивные системы (вязкоупругие демпферы, гидродинамические демпфирующие устройства и демпфирующие устройства с настроенной массой). Но необходима модернизация и универсальность существующих устройств. Для дальнейшего исследования выбрано демпфирующее устройство с соосно расположенными упругими элементами.

2 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СИСТЕМЫ «ПОДВИЖНОЙ СОСТАВ -ПРОЛЕТНОЕ СТРОЕНИЕ» С УЧЕТОМ ДВУХСТОРОННИХ ГОЛОМНЫХ

СВЯЗЕЙ

2.1 Разложение динамического поведения пролетного строения моста без двухсторонних голономных связей в ряд Фурье

Первым шагом анализа взаимодействия системы «подвижной состав -пролетное строение» является то, как масса, жесткость и демпфирование влияют на его динамический отклик. Анализ динамического поведения движущейся нагрузки и пролетных строений мостов изучался в последние годы многими исследователями с использованием различных методологий, которые позволяют инженеру выбрать наиболее подходящий вариант.

Однако проблема движущейся нагрузки балочной конструкции по-прежнему является активной темой в структурной динамике. Для этого есть две причины: первая касается модели движущегося груза от подвижной нагрузки, которая была разработана на основе модели взаимодействия силы и балки, до модели взаимодействия системы «движущейся массы и балки», вторая причина связана с методом расчета для решения этой задачи. Модель взаимодействия силы и балки представляет собой классическую модель, в которой балка подвергается воздействию одной сосредоточенной силы или серии движущихся сосредоточенных сил. Модель взаимодействия подвижного состава с балкой является более точной, поскольку подвижной состав рассматривается как движущиеся массы или подрессоренные массы для определения влияния системы амортизации вагонов поезда. С развитием транспорта возникают новые проблемы, например, проблема перемещения распределенной силы из-за перемещения нагрузки, движущейся по одному из железнодорожных путей, пересечение двух поездов, движущихся в противоположных направлениях, или такой параметр, как массовое отношение железнодорожной нагрузки к мосту.

Для оценки задачи о движущейся нагрузке было предложено множество методов. Однако необходимо учитывать один факт: до сих пор применение этих методов ограничивалось специальными задачами о движущейся нагрузке.

Yang Y. B., Lin C. L., Yau J. D., и Chang D. провели исследование на основе аналитического подхода реакции балок от прохождения высокоскоростного поезда, смоделированного в виде последовательности подвижных нагрузок с постоянной скоростью и регулярными интервалами (рисунок 2.1). В исследовании учитывался резонанс и максимальное динамическое отклонение, которое может быть в 1,74 раза выше статического отклонения для шарнирно-опертой балки. Было выявлено, что динамический отклик [135] балки связан со скоростью воздействия силы и достигнет чрезвычайно малого значения при определенной скорости. Это явление было названо подавлением.

Рисунок 2.1 - Модель нагрузки от поезда [135] С математической точки зрения движущаяся распределенная сила может быть описана как функция пространства, движущегося с определенной скоростью, что является более сложным, чем две предыдущие модели нагрузки, в которых дельта-функция Дирака определяет сосредоточенную нагрузку. С физической точки зрения необходимо учитывать дополнительные параметры (например, длину балки, длину груза и распределенную форму нагрузки). Кроме того, всю процедуру прохождения груза по балке можно разделить на четыре этапа, такие как заход нагрузки на балку, полная загрузка по длине, сход нагрузки и свободная вибрация балки после снятия нагрузки. Все эти факторы делают задачу о движущейся распределенной силе более сложной, чем случай сосредоточенной нагрузки.

При исследовании динамического отклика, взаимодействия системы «подвижной состав - пролетное строение» представляется в виде системы, имеющей две подсистемы: одна - пролетное строение, а другая - подвижная нагрузка. Именно взаимодействующие силы, зависящие от времени, существующие при контакте двух подсистем позволяют записать два набора дифференциальных уравнений движения. Для решения этих двух систем уравнений используются несколько подходов. Так называемый, итерационный подход, предлагает находить контактные усилия из уравнений поезда с учетом смещения точек контакта. Далее, подставляя контактные силы в уравнение для моста можно найти значения точек смещения. Преимущество метода заключается в том, что реакции, как от поезда, так и моста в любой момент могут быть найдены одновременно. Но, если, существует в два раза больше точек контакта, или нагрузка состоит из двух комплектов колесных узлов, скорость сходимости итераций, будет низкой.

Второй подход - применение уравнения Лагранжа с множителями и ограничениями к анализу взаимодействия системы [126]. Но, как хорошо известно, применение множителей Лагранжа увеличит общее число неизвестных и, следовательно, значительно увеличит вычисления. Теоретически, такой подход возможен, за счет исключения взаимодействия контактных сил во двух существующих дифференциальных уравнениях, но тогда необходимо сформировать новый набор связанных дифференциальных уравнений для всей системы «подвижной состав - пролетное строение».

Одним из наиболее эффективных подходов к решению взаимодействия системы при динамическом анализе является исключение безмассовых степеней свободы и соответственно уменьшения размера матриц системы в задаче на собственные значения. Такой подход известен в вычислительной механике как уменьшение «Guyan» или статическая конденсация. Такой метод можно использовать для сокращения количества степеней свободы подвижной нагрузки игнорируя инерционные члены уравнений равновесия и выражая ненагруженные степени свободы в терминах нагруженных степеней свободы.

В последнее время Lin B. H. и Yang Y. B. [102] использовали динамическую конденсацию, как способ устранения всех степеней свободы, связанных с каждым видом нагрузки на уровне элементов. В этом случае, учитывается только реакция пролетных строений (большая подсистема), но не получаются точные решения для динамического отклика при многочисленных контактах от подвижных нагрузок (меньшая подсистема).

Таким образом, многие упомянутые методологии, которые рассматривают подвижную нагрузку как движущиеся точечные грузы, являются наиболее широко известными и используемыми методами, но не обеспечивают в некоторых случаях достаточную точность. Другие методы, имеют более сложные подходы, основанные на решениях для ряда движущихся сил. К этим методам можно отнести последние различные упрощенные методы, такие как декомпозиция возбуждений при резонансе (DER), которая дает точное предсказание отклика при резонансе с меньшими компьютерными вычислениями по сравнению с методом конечных элементов для движущихся сил. К числу таких упрощенных методов можно было бы отнести метод LIR, основанный на концепции линии остаточного влияния, и метод IDP, который основан на слегка модифицированной версии подхода LIR с улучшенной точностью

Один из основных и традиционных методов, предписанный как техническими Европейскими кодексами для железнодорожных мостов, так и Российскими нормами проектирования мостов, состоит в вычислении приращения статической характеристики моста из-за динамических характеристик возбуждения с помощью коэффициента динамического усиления, который умножает статические эффекты, такие как напряжения и смещения, для воспроизведения огибающей динамических эффектов, создаваемых реальными поездами:

Ку • ^стат > ^дин' (2.!)

где Ку - коэффициент динамического усиления;

Scmam - статический тип поезда представляет динамические эффекты, соответствующие номинальному типу поезда в статических условиях;

SdUH - реальный поезд в динамических условиях.

Подход к назначению динамических коэффициентов, определяющих совокупность феноменов взаимодействия системы «подвижной состав - пролетное строение», представленный в большинстве современных норм проектирования мостов, является противоречивым с точки зрения методологии и физической природы и не имеет должной теоретической основы [19]. Многолетняя практика учета динамических эффектов при проектировании мостов, построенная на эмпирическом подходе, имеет весьма ограниченную область применения и не может быть использована при эксплуатации мостов для скоростей движения поездов более 200 км/ч [54].

Для анализа динамического поведения более сложных конструкций и задач, техника моделирования поездов как движущихся сил чаще используется не в рамках аналитических подходов, а в рамках численных. Среди этих численных подходов в последние годы для моделирования мостов с подвижной нагрузкой используют метод конечных элементов (МКЭ). Но, этот метод имеет существенный недостаток, который необходимо минимизировать: сложность модели моста должна быть адаптирована к каждой ситуации путем выбора критериальных параметров, которые вносят вклад в динамическое поведение конструкции, и это необходимо выполнить без потери точности. Тогда, увеличивается трудоемкость обработки данных, связанная с обработкой большого количества требуемых динамических анализов.

Таким образом, вместо простейших моделей движущихся грузов, которые не могут предсказать поведение этих параметров и не учитывают взаимодействие между поездом и системой амортизаторов, необходимо использовать подход, в котором рассматривается взаимодействие между двумя подсистемами.

Более перспективными являются методы динамического анализа, основанные на гармонических рядах, железнодорожных мостов, предназначенных для скоростных и высокоскоростных поездов. Некоторые из этих подходов, такие как методы DER и LIR, являются результатом исследований, разработанных в

рамках специализированного подкомитета D214 ERRI, рассматривающего поведение железнодорожных мостов при скоростях свыше 200 км/ч.

Эти методы ввели новую концепцию - динамическую сигнатуру поезда и спектра поезда, зависящую как от расстояния между осями, так и от нагрузки на ось. Сигнатура поезда отличается от сигнатуры спектра поезда только тем, что не зависит от демпфирования моста. Главное преимущество сигнатуры поезда заключается в том, что она позволяет быстро сравнивать эффекты от различных поездов. Следовательно, сравнивая величину сигнатуры нового поезда с сигнатурой существующих поездов на пути, можно предсказать, сможет ли поезд с новыми параметры проходить по тому же пути.

Общим преимуществом является то, что можно избежать численного интегрирования по времени или расширения рядов при динамическом анализе поведения «подвижной состав - пролетное строение», потому что решение уравнений динамического взаимодействия очень трудоемкое и более сложное в выполнении. Но, с другой стороны, его применение ограничено тем, что мост представлен балкой на двух опорах, динамические реакции которой, могут быть представлены с помощью одного гармонического режима вибрации, соответствующего первому режиму вынужденных колебаний моста при изгибе и при этом инерционные взаимодействующие эффекты не учитываются.

Математическая разработка этого метода основана на разложении функции динамической реакции моста в ряд Фурье. С помощью разложения в ряд Фурье, можно получить верхнюю границу для максимального ускорения в центре балки, рассматривая его как произведение постоянного члена на две независимые функции: первая представляет собой линию динамической реакции моста и характеризует реакцию верхнего строения пути моста, в то время как вторая представляет динамическую сигнатуру поезда [92]. Кроме того, эта форма решения имеет дополнительное преимущество, заключающееся в том, что она показывает агрессивность поезда в общей реакции верхнего строения пути, позволяя быстро оценить воздействие различных поездов. С помощью этого метода исследуем

вибрацию балки под действием движущегося давления от высокоскоростного поезда, как показано на рисунке 2.2.

Рисунок 2.2 - Однопролетная балка, подверженная воздействию движущейся

распределенной силы Введем две осевые координаты: общая координата х для всей системы, которая представляет собой расстояние от левой опоры балки в направлении движения, и локальная координата х для силы, которая перемещается вместе с распределенной силой. Соотношение между двумя координатами равно:

х = х + — L,

(2.2)

где I - длина распределенной силы, V - скорость распределенной силы, ? - время.

Таким образом, определяющим уравнением для этой задачи является хорошо известное дифференциальное уравнение движения балки Эйлера-Бернулли, с общим граничным условием: ссылка на 2.1

Л ЛиСг /Л

(2.3)

, лд4и(хХ) _д2и(хХ) ди(хх) л

дх4 дС2 дС

где Е - модуль Юнга материала;

I - осевой момент инерции сечения балки; и (х, ¿) - поперечный прогиб балки в точке х и времени ?

т - масса на единицу длины;

с - постоянная демпфирования;

Ь - длина балки;

/(х, £) - движущаяся распределенная сила.

Её можем записать в локальной координате как:

/(х) = /(х)[Я(х)-Я(х- Г)] (2.4)

в которой Н(х) - единичная функция Хевисайда:

=={?: * < 0 (25) Учитывая разложение /(х) в ряд Фурье и взаимосвязь между двумя координатами, уравнение (2.4) может быть повторно выражено

/ = ¡1 + £п=1(/2П + /зп), (2.6)

где п -- модальная форма колебаний;

/¡, /2п, /3п - разложения распределенной силы в виде рядов Фурье:

^ = Ш) - Л(Х, г - \ ), (2.7)

/2п = /2 п(х>- /2 п(Х г - ; ), (2.8)

/зп = /з „(*,- /з п(Х г - - ), (2.9)

г

/1(х, г) = а0[1 - Я(х - (2.10)

2тсп(х-гС)

/2п(х, г) = аncos ^ [1 - Я(х - (2.11)

2пп(х-гС)

/зп(х, г) = Ь^т [1 - Я(х - (2.12)

в которых а0, ап, Ьп - коэффициенты ряда Фурье:

¿■'о у 4 у 4 I Решение уравнения (2.3) может быть найдено:

"о = 1/0г№Ж (2.13)

Яп = ^/^(^^(^у^х, (2.14)

Ьп = !/пг/(^т( ^ ^х. (2.15)

и(х, Ь) = и1(х, Ь) + 'Е'^=1[и2п(х, Ь) + и3п(х, ^^и^х, Ь) — и1 (х, Ь — +

+ 1п=1 [й2п(х, О — й2П (Х,1:—~)]+ %п=1 [Щп(Х, Ь) — И3п (х^ — ^)], где и1, и2п и и3п - поперечные прогибы балки под действием соответственно /1, /2п и

/Зп.

щ, и2п и й3п могут быть решены с помощью уравнений:

ЕКх)д_^±)+ + = (2.16)

Е1(х)д + тд2и2^ + с дит£Х) = !2п(х, г), (2.17)

Е!(х) + т + с = ъп(х, I). (2.18)

Дифференциальное уравнение (2.16) является общим уравнением движения балки под действием бесконечной равномерно распределенной силы, движущейся с постоянной скоростью. Уравнения (2.17) и (2.18) являются общими уравнениями движения балки под действием бесконечной синусоидальной распределенной силы, движущейся с постоянной скоростью.

Пусть фп обозначают режим п-ых колебаний балки, которые удовлетворяют граничным условиям. Согласно принципу суперпозиции, поперечные перемещения любого сечения балки и(х, Ь) из-за п -го колебания могут быть записаны в модальных координатах в виде:

и(хЛ) = %П=1ип(х) (2.19)

где Цп(Х), - функции времени или обобщенные (главные) координаты, соответствующие п-му колебанию;

ип(х) - формы главных колебаний. Для балки на двух опорах, п модальная форма вибрации:

фп(х) = (2.20)

И частота колебания получается:

^2^2 1Е1

= —Ъ (2.21)

Подставляя выражение (2.19) в уравнения (2.16 - 2.18), умножая ^п(х), а затем интегрирования по х от 0 до Ь, получаем уравнение движения для п - го режима колебаний шарнирно - опертой балки как:

которое отсоединяется от других режимов вибрации.

Из этого уравнения, обобщенная координата дп для п - го режима может быть решена как:

где и(х, £) - перемещение балки, вызванное движущейся нагрузкой и загруженной с учетом эффекта затухания;

Пп - частота вынужденных колебаний балки;

- частота свободных колебаний балки; п - порядок тона колебания; Ь - длина балки; £п - коэффициент затухания; 5П - переходная функция.

Это именно перемещение балки, вызванное одной движущейся нагрузкой и загруженной с учетом эффекта затухания. В уравнении (2.23), члены с 0.пг представляют вынужденные колебания моста, вызванные движущейся нагрузкой, а члены с ю^пг представляют свободные вибрации, которые в конечном итоге затухают. Опять же, это уравнение применяется только тогда, когда действующее положение уг движущейся нагрузки находится в диапазоне балки [119].

Решение уравнения (2.22), для изгибающего момента М(х, £) = О, полученное Inglis, С. Е. [95], представляют отклонение балки в сечении х, вызванное движущейся нагрузкой /, действующего в положении уг, выглядят следующим образом:

9 2 /

<7п(0 + 2 £п + = —^т

ш! I '

2 Г . птсгС — Sin-

(2.22)

и(х, £) = ^

):

(2.24)

я ^ Ь 1

Для широкого класса задач подвижной нагрузки, с которыми сталкиваются на практике, эффект затухания на мосту и время прохождения действующей нагрузки настолько малы, что их не учитывают.

2.2 Разработка математических моделей динамических взаимодействий системы «подвижной состав - пролетное строение» при введении двухсторонних голономных связей

Для уменьшения вынужденных колебаний системы устанавливают специальные механические устройства. Наиболее простыми и качественными среди которых являются: пассивные демпфирующие устройства. Применение таковых позволяет в пролетных строениях изменять динамическое поведение системы «подвижной состав - пролетное строение» и накладывает свои ограничения на вынужденные колебания как движущейся нагрузки, так и пролетного строения за счет двухсторонних голономных связей. Поэтому необходимы математические модели, позволяющие определять динамические взаимодействия этой системы при введении двухсторонних голономных связей.

В соответствии с методом главных координат перемещение любого сечения балки с абсциссой х может быть представлено в виде уравнения (2.19). Если формы колебаний известны на основании соответствующих расчетов или экспериментов, то задача об изгибных колебаниях стержня решается просто, а именно для каждого п-го колебания определяется:

обобщенная масса Мп = / т0(х)и2(х)^х, (2.26)

обобщённая жесткость = / £/(х)и^(х)йх, (2.27)

обобщенная сила = £ ^пО^Ж^), (2.28)

где то(х) - погонная масса;

Е1(х) - изгибная жесткость;

- поперечная сила, приложенная в сечении х = х5.

При определении Mn и Kn должно быть учтено в случае необходимости влияние инерции поворота сечений, перерезывающих сил и других факторов на частоты собственных колебаний системы «подвижной состав - пролетное строение». Дифференциальное уравнение для определения главной координаты:

MnPn + KnPn = Qn(t). (2.29)

В частном случае, когда к пролетному строению в сечении х = х0 приложена одна сила P(t) = Po sin rot, уравнение имеет вид:

Мпрп + Кпрп = P(t) = un(x0)P0smu>t. (2.30)

Из этого уравнения находится:

_ ип(хо)ро О 1 \

= Мп(1*-Ш2)' ( )

где квадрат частоты n-го главного колебания равен:

Полное перемещение пролетного строения при действии одной гармонической силы найдём, если подставим в формулу (2.19) выражение (2.31) для pn

и(х, t) = P0sinutZ (2.33)

мп( Án- ш )

При учете сил сопротивления полное перемещение балки определяется по формуле:

и(х, t) = Р0 sinut Z "nwyjsinfrt-^ (2.34)

MnJ( ъ- Yn

где yn - коэффициент внутреннего сопротивления;

Yn

Sin фп = ■ .

К- yI

Совместные колебания балки и устройства рассматриваем в соответствии с методом последовательных усложнений, развитым С.А. Гершгориным и П.Ф. Папковичем [40]. Систему «балка - устройство» можно представить в следующем виде (рисунок 2.3).

Рисунок 2.3 - Балка с устройством Пусть под действием каких-то начальных условий балка совершает поперечные вертикальные колебания, а масса устройства - вертикальные колебания. Требуется найти форму колебаний некоторого тона системы и соответствующую этому тону частоту колебаний устройства X. Представим, что внутренняя сила реакции пружины на балку является внешней. Это сила изменяется с такой же частотой, какая присуща рассматриваемому тону колебаний системы и при этом, растягивает пружину:

Д = Д05тХ£ (2.35)

Эта сила в соответствии с формулой (2.33) и рисунком 2.3, вызывает перемещение балки:

ип(х)ип(с)

и(х, t) = R0 sinXtY Податливость балки в точке х = с будет:

и(с, t) = R0 sinXt£

Мп( Х2п- \2У

ип2(с)

Мп( Х2п- X2)'

(2.36)

(2.37)

Движение массы устройства в колебании рассматриваемого тона описывается дифференциальным уравнением:

mz = R0 sin \t, (2.38)

где z - перемещение массы устройства от положения статического равновесия.

Заметим, что сила, растягивающая пружину в данной расчетной схеме, выражается через жесткость пружины к, а податливость балки в точке с равна

величине u(c,t). Тогда, математически эту силу можно выразить следующим образом:

R0 sin Xt = k[z- и(с, t)]. (2.39)

Подставив формулу 2.39 в уравнение 2.38, получим:

mz + kz = kR0 sin Xt V (2.40)

0 X2- X2) v 7

Вынужденные перемещения массы устройства, соответствующее дифференциальному уравнению 2.40:

г = (241)

Из формул 2.36 и 2.41 видно, что формами колебаний, соответствующими частоте X, будут выражения перемещений для балки и для массы устройства соответственно:

a(x) = V%8r$>- (2.42)

7 = X2 V_ип2(с)__(2 43)

z X^-X2 V Мп(X2-X2)' (2.43)

где = J^/m - собственная частота свободных колебаний изолированного устройства.

Из выражений видно, что в этой форме колебаний с частотой отношение перемещений точки с на балке к перемещению массы m динамического устройства колебаний будет равно:

n = m. = 3-L. (2.44)

Чтобы получить уравнение для определения частоты, надо в формулу (2.39) подставить значение u(c) по z выражениям (2.35) и (2.41), получим

кх2 £ = i. (2.45)

X2-X2^Mn(Xl-X2) Последнее выражение удобно представить в виде

1(i-12)=H(l)' (246)

где балки.

- приведенная относительная масса устройства для г-го тона колебаний

(с)

Мг

Н (Х) = Хг£

Л2 Мгип2(с)

\1-\2Мпиг2(сУ

(2.47)

(2.48)

Выражение (2.46) представляет собой искомое частотное уравнение, корнями которого являются частоты главных свободных колебаний системы балка-устройство. Определение корней уравнения (2.46) может быть произведено путем построения графика функции Н (Х)(рис. 2.4). Точки пересечения этого графика с

прямой — (1 — т^) дадут искомые частоты. Заметим, что прямая — (1 —

Цт Л2 Мт ^ Лъ'

проходит тем выше, чем меньше относительная приведенная массы устройства [!г.

Рисунок 2.4 позволяет наглядно проследить влияние изменения жесткости основной пружины устройства и относительной массы [!г на искомые значения частоты X. С помощью этого графика можно определить, как изменяются все частоты главных свободных колебаний системы, если устройство настроено в резонанс с каким-либо тоном главных свободных колебаний балки.

Допустим, что устройство настроено в резонанс со вторым из главных

свободных колебаний балки. Тогда прямая — (1 — пройдет через точки А и X =

иг \ Л7/

^2 —

Рисунок 2.4 - Определение частот совместных колебаний балки и устройства

Из рисунка 2.4 видно, что частота тона колебаний балки в резонанс раздваивается. Остальные же частоты для более низких тонов, чем тот, на который настроен виброгаситель уменьшаются, а для более высоких тонов - увеличивается.

Проследим теперь влияние устройства на частоты свободных колебаний для случая балки на двух опорах. Применительно к рассматриваемому случаю для п-го колебания, формы главных колебаний ип(х) и обобщенной массыМп, будут равны:

ип = зт^-^, (2.49)

Íl п пх т01 Мб sin¿—j—dx = — = —

М„ = тп I sin2 —;— dx = —— = ——.

Подставляя значение формы и обобщенной массы в выражение (2.48), получим

. уППС

_ sin2—;—

hM^V^. (2.50)

После того как частоты ...X¡n становятся известными, определяем

формы колебаний балки и массы виброустройства по выражениям (2.42) и (2.43). Далее, вычисляем обобщенные массы системы «балка - устройство» и обобщенные силы, вызывающие вибрацию, а затем и вынужденные колебания системы.

Новые обобщенные массы вычисляются по формулам:

Щ = f°m0(x)ñl(x)dx + ^±m, (2.51)

VI

щ = ¡°т0(х)й2 (х)йх + Щ^т, (2.52)

где и1(х) - ординаты форма колебаний первого тона системы балка-устройство; и2(х) - ординаты формы колебаний второго тона системы балка-устройство; щ (с) - ордината форма колебаний системы балка - устройство в точке подвеса устройства колебаний первого тона;

и2(с) - ордината форма колебаний системы балка-устройство в точке подвеса устройства колебаний второго тона; х2-7К 2

П1 = \2г - выражение (2.44) для первого тона колебаний; Л2

\2-% 2

П2 = \22 - выражение (2.44) для второго тона колебаний. Л2

Новые обобщенные силы определяются по формулам:

(Qito = ройi(хо) sin wt, 53

Ц?2:(0 = P0^¿2(^0)sinwt, '

Вынужденные перемещения сечений балки в новой системе балка-устройство можно определить по выражению:

ñ(x,t) = sin wtlün(x) ' (2'54)

мп( хп- ш )

ип(хР)Ро

1п( лп- ш

Перемещения сечения в точке подвеса устройства к балке (рисунок 2.3) при

х = с:

й(с,0 = 51п^£йп(с) . (2.55)

Перемещение массы устройства можно определить по формуле:

= I ^ = I йп(с, V -^-2. (2.56)

Чп Л2 - Лп

Для упрощения вычислений по выражениям (2.54), (2.55) и (2.56) можно использовать вместо формы йп(х), определенной для балки в системе балка-устройство, форму того же тона ип(х), полученную для этой балки без устройства:

йп(х) ~ ип(х). (2.57)

Тогда для обобщенной массы получим:

т и

Mn = Mn+-f. (2.58)

Пп

Для перемещения сечений балки получим выражение:

u(x,t) = sin wtZun(x) , (2.59)

мп( хп- ш )

или

ип (хо)Ро

u(x,t) = sinwtZun(x)

mv2

мп +—2г

п пП

(хп-ш2)

с:

Выражение для перемещения сечения балки в точке подвеса устройства х

u(c,t) = sinwtlun(c),--' (2.60)

м +тип(с)

тП+ 2 ПП

( хп- ш2)

„fj-\ ип(х0) Ро /о СЛ\

z(t) = sin ut -т,2(глЛ _-' (2 61)

Vn

п пп

(хп- ш2)

В результате анализа системы «подвижная нагрузка - пролетное строение» с учетом двухсторонних голономных связей получаем формулы (2.60-2.61) для определения перемещений сечения балки в точке с и массы устройства.

2.3 Учет сопротивлений в динамическом поведении системы «пролетное строение - устройство»

Учет сопротивлений, возникающих при колебаниях основной конструкций и

устройства колебаний производим по гипотезе Сорокина Е.С., получившей

широкое распространение. В соответствии с данной гипотезой, полное внутреннее

сопротивление при циклических деформациях конструкций складывается из

упругого сопротивления, равного упругой восстанавливающей силе, и неупругого

сопротивления, пропорционального значения этой силы, но сдвинутых по фазе

л

относительно последней на -.

К характеристикам неупругого сопротивления относятся: коэффициент поглощения, характеризующий демпфирование или рассеивание энергии при колебаниях и период затухающих колебаний. Математически применение гипотезы Е.С. Сорокина сводится к умножению значения упругой силы, входящей в дифференциальные уравнения колебаний системы, на комплексный множитель

1+ г у, где I = V—1.

Коэффициент внутреннего сопротивления у связан с коэффициентом поглощения энергии у и логарифмическим декрементом колебаний 5 за один период зависимостью:

у = ± = (2.62)

'2 п 2 к '

Коэффициент поглощения у характеризует демпфирование в элементах балочных конструкций, его можно определить выражением [10]:

■ПН1йП } П

у = —гп^ип = п (2.63)

•'П П щ+1 4 >

где П^ и П^ максимальные значения потенциальной энергии 1) - го и i -го циклов затухающих колебаний мостового сооружения.

При перемещениях сечений балки на величину и (х, I) при i - м цикле вынужденных колебаний системы «балка - устройство», потенциальная энергия пролетного строения равна работе восстанавливающей силы на этом перемещении, определяемая по формуле:

П = С^П = duь (2.64)

где р^ = Кп(ип) • щ - восстанавливающая сила,

Кп(ип) - функция жесткости системы, определяемой по формуле (2.27).

Если отнести размерные величины р, и, К, П к их значениям при максимальном отклонении от положения равновесия i - го цикла вынужденных колебаний, то формула потенциальной энергии в безразмерном виде будет

П = (2.65)

Функция обобщенной жесткости Кп(ип) балки в системе всегда зависит нелинейно от перемещения сечения балки. Преобладают, как правило два типа функций.

Рассмотрим зависимость жесткости от перемещения сечения балки по функции:

К^щ)= а + в • щ2, (2.66)

где а и в - коэффициенты, определяемые экспериментально.

Формула коэффициента поглощения запишется уравнением

у = 21п ) + 1п 2а+ви/ . (2.67)

Если первый член уравнения (2.67) определяется замерами амплитуды затухающих колебаний балки, то для определения второго члена нужно знать значения а и р.

Для случая, когда функция обобщенной жесткости в системе балка -устройство выражается степенной функцией перемещения:

%(щ) = уи?, (2.68)

где у и п - экспериментально определяемые коэффициенты.

Выражение (2.68) в безразмерном виде согласно (2.66) можно записать в

виде:

К (и) = ип. (2.69)

Функции жесткости при максимальном отклонении балки от положения равновесия в I- ый и (/ + 1) - ый циклы колебаний будут равны ^ = 1.

ГА- Лп

К1 = ^ . (2.70)

Ai

Учитывая уравнения (2.65) и (2.69), величина восстанавливающей силы запишется выражением:

p = K(u)u = ип+1, (2.71)

при u^-0, если n > -1, то p ^0, если n<-1, то p ^œ. Производная восстанавливающей силы по перемещению :

fu = (n+iyu-, (2.72)

„ _ dp _ _ dp при u^-0, если n>0, то-->0, если n< 0, то--> œ.

du du

Подставим (2.72) в уравнение (2.67) получим потенциальную энергию колебания:

П = Сип+Чи = — ип+2. (2.73)

J0 п+2 v '

В соответствии с формулой (2.74) максимальная потенциальная энергия i -го и (i + 1) -го циклов затухающих колебаний будет равна соответственно

П = é-At2- (2.74)

п+2

ÏAi+г

п+2

Ш + 1 =

Ч + 1 п+2

А,! (2.75)

Подставляя выражения (2.74) и (2.75) в уравнение (2.63) и учитывая (2.70), получим выражения коэффициента поглощения при колебания балочных конструкций:

А- К-

У =2- 1п + Iп—. (2.76)

А1+1 ^¿+1

Подставляя полученные значения в уравнение (2.62), определим коэффициент внутреннего сопротивления у пролетного строения.

2.4 Фазовый сдвиг между перемещением устройства и перемещением пролетного строения

Дифференциальные уравнения движения массы пролетного строения (рисунок 2.5), составленные из условия уравновешивания возмущающей восстанавливающей силы, а также инерционных сил, с учетом коэффициента внутреннего сопротивления, запишутся в виде:

где у - перемещение пролетного строения;

г - перемещение устройства, отсчитываемая от положения их статического равновесия;

т0 - масса пролетного строения;

тг - масса устройства;

К - жесткость пролетного строения;

с0 - жесткость несущей пружины устройства;

Уу - коэффициент внутреннего сопротивления пролетного строения; уъ - коэффициент внутреннего сопротивления устройства; Р - амплитудное значение возмущающие силы; ю - частота возмущающей силы; е - основание натуральных логарифмов.

т0у + (1 + 1уу)К •у—(1 + 1уг)с0(г — у) = Ре т±г + (1 + ¿у2)с0(г — у) = 0,

(2.77)

(2.78)

к %

Ре м ? ,по

тУ

^ ТТ.

» г

Рисунок 2.5 - Расчетная схема устройства гашения колебаний на пролетном

строении

Считаем, что если свободные колебания системы, возникающие в начальный момент времени, быстро затухают, то это колебания - установившиеся. Частные интегралы системы уравнений (2.78), описывающих установившиеся колебания имеют вид:

у=У0е1ш1,г = ?1е1ш1, (2.79)

где У0 — амплитуда колебаний пролетного строения;