Перестановки интегралов в банаховых пространствах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Осипов, Олег Сергеевич

• Осипов, Олег Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Осипов, Олег Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ

1.1. Вопрос аффинности и замкнутости области сумм

1.2. Перестановки несобственных интегралов

2. ПЕРЕСТАНОВКИ ИНТЕГРАЛОВ

2.1. Изоморфизмы пространств с мерами

2.1.1. Метрическая булева алгебра

2.1.2. Точечный изоморфизм измеримых пространств

2.1.3. Изоморфизм измеримых пространств

2.1.4. Взаимосвязь изоморфизма и точечного изоморфизма измеримого пространства

2.2. Перестановки несобственных интегралов

2.3. Невозрастающие перестановки функций Харди-Литтльвуда

2.4. Связь перестановок и невозрастающих перестановок функций Харди-Литгльвуда

3. ОБЛАСТЬ СУММ ИНТЕГРАЛА

3.1. Область сумм интегрального аналога ряда Марцинкевича - Никишина -Корнилова

3.2. Область сумм интегрального аналога ряда с двухточечной областью сумм

3.3. О линейности области сумм интеграла в конечномерном нормированном пространстве

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Перестановки интегралов в банаховых пространствах»

Актуальность работы. В задаче 106 «Шотландской книги» [24] С. Банах оо сформулировал следующую проблему. Пусть ^ хп - такой ряд в банаховом п—1 пространстве, что при двух определенных упорядочиваниях слагаемых его сумма равна у0 и у1 соответственно. Доказать, что для любого вещественного I существует такое упорядочивание слагаемых данного ряда, что сумма равна iy0 + ti-i)yr оо

М. И. Кадец [5] ввел определение области сумм ряда ^ хп векторов ба

71 = 1 нахова пространства X как множества всех таких у Е X, что при некоторой оо перестановке тт натуральных чисел ряд ^£„;(п) сходится к у. В случае услов

71=1 но сходящихся числовых рядов согласно классической теореме Римана область сумм совпадает с множеством всех.вещественных чисел.„Для рядов комплексных-чисел описание области cj^vim было дано П. Леви в 1905. Е. Штейниц [22] в оо

1913 доказал следующую теорему: область сумм ряда хп в т -мерном про

П=1 странстве X есть подпространство вида s + Г0, где s — сумма указанного ряда оо оо

У^ж,, Г0 - аннулятор множества Г = {/ G X*; f(xn) | сходится }.

1. п=1

В бесконечномерном банаховом пространстве аналог теоремы Штейница не верен, и область сумм ряда-может быть нелинейной; (Марцинкевич [23], Е. Никишин [10]), незамкнутой (М. И. Островский [17]), состоять из нескольких точек (М.И. Кадец и К. Возняковский [20], Г1. А. Корнилов [7]).

Из курса анализа хорошо известна аналогия между свойствами числовых рядов и несобственных интегралов. Естественно возникает, вопрос: что можно сказать о множестве тех чисел или векторов, к которым сходится «перестановоо ка» условно сходящегося интеграла J* f(x)d,x ? Останется ли справедливым о аналог теоремы Римана, аналог теоремы Штейница? Каковы свойства «области сумм» несобственного интеграла в бесконечномерном пространстве и что можно сказать относительно интегральных аналогов рядов, для которых не выполняется утверждение теоремы Штейница? Эти вопросы изучаются в данной работе.

Цель работы. Целью работы является получение новых результатов о свойствах перестановок и областей сумм несобственных интегралов-,в банаховых пространствах, исследование интегральных аналогов рядов с нелинейной областью сумм.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются-новыми. К основным результатам работы можно отнести следующие.

1. Рассмотрено новое понятие — перестановка измеримого пространства. Установлена связь между автоморфизмами метрической булевой алгебры и перестановками на измеримом пространстве Лебега-Рохлина. Установлена связь между невозрастающими перестановками функций Харди-Литтльвуда и перестановками на измеримом пространстве ([0, -f-oo), [ij, где |л — мера Лебега.

2. Доказано, что область сумм интегрального аналога ряда Марцинкеви-ча-Никишина-Корнилова совпадает с пространством Lp [0,1].

3. Доказано, что область сумм интегрального аналога ряда Корнилова (область сумм ряда состоит из двух точек) совпадает с множеством постоянных функций пространства £р[0,1].

4. Рассмотрен подкласс перестановок тт пространства ([0, +оо), (i,), где N х - мера Лебега, со свойством -к[а,Ь) = (^J [с t, dn) для любых неотрицательных

П=1 чисел а, Ъ. Доказано, что область сумм несобственного интеграла в любом конечномерном нормированном пространстве при указанных перестановках является аффинным множеством.

Практическая значимость работы. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть полезны специалистам, работающим в областях функционального анализа, связанных с рядами, теорией меры, интегралами Лебега-Бохнера.

Апробация работы. Основные результаты и положения работы были доложены:

- на XLIV, XLV и XLVI международных научных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс», г. Новосибирск, 2006 г., 2007 г. и 2008 г.

- на научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов ММФ, посвященной трехсотлетию со дня рождения Леонарда Эйлера, г. Томск, 2007 г.

- на XV международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов», г. Москва, 2008 г.

- на международной конференции «Современные проблемы анализа и геометрии», г. Новосибирск, 2009 г.

- на семинарах по функциональному анализу кафедры математического анализа Томского государственного университета, 2006 г., 2007 г., 2008 г., 2009 г.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 2 статьи и 4 тезиса докладов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы, содержащей 24 наименования. Первая глава состоит из двух разделов, вторая — из четырех разделов, третья — из трех разделов. Объем диссертации — 74 страницы.

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Осипов, Олег Сергеевич

Выводы и результаты

1. Доказано, что область сумм интегрального аналога ряда Марцинкевича-Никишина-Корнилова совпадает с пространством Lp [0,1), р > 1.

2. Доказано, что область сумм интегрального аналога ряда Корнилова, область сумм которого состоит из двух точек, совпадает с множеством постоянных функций пространства Lj0,l), р > 1.

3. Рассмотрено подмножество множества перестановок Р, используемое при доказательстве теорем 3.1.2 и 3,2.1. Доказано, что в конечномерном нормированном пространстве область сумм несобственного интеграла при перестановках множества Р является аффинных пространством.

4. Доказан интегральных аналог теоремы Римана об области сумм условно сходящегося числового ряда.

В заключение можно отметить следующие выводы и результаты.

1. Введено определение перестановки на измеримом пространстве.

2. Доказаны свойства перестановок: о композиции двух перестановок, об обратном отображении от перестановки. Доказано, что перестановка не изменяет значения интеграла Лебега-Бохнера.

3. Установлена связь между автоморфизмами метрической булевой алгебры и перестановками на измеримом пространстве Лебега-Рохлина.

4. Установлена связь между невозрастающими перестановками функций

Харди-Литтльвуда и перестановками на измеримом пространстве где |i - мера Лебега.

5. Доказано, что область сумм интегрального аналога ряда Марцинкеви-ча-Никишина-Корнилова совпадает с пространством Lp [0,1).

6. Доказано, что область сумм интегрального аналога ряда Корнилова, область сумм которого состоит из двух точек, совпадает с множеством постоянных функций пространства Lp [0,1).

7. Рассмотрено подмножество Р множества перестановок -к со свойстN вом: тг[а,Ъ) = [с;,dn) для любых неотрицательных чисел а, Ъ. Доказано, что

П = 1 в конечномерном нормированном пространстве область сумм несобственного интеграла при перестановках множества Р является аффинных пространством.

8. Доказан интегральных аналог теоремы Римана об области сумм условно сходящегося числового ряда.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Осипов, Олег Сергеевич, 2009 год

1. Богачев В.И. Основы теории меры: В 2-х томах. Т. 1. — Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2003. - 544 с.

2. Богачев В.И. Основы теории меры: В 2-х томах. Т. 2. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2003. - 576 с.

3. Гусман М. Дифференцирование интегралов в К". М.: Мир, 1978. -200 с.

4. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2-х томах. Т. 1. М.: Мир, 1964.-616 с.

5. Кадец М.И. Об условно сходящихся рядах в пространстве Lp II Успехиматем. наук.-1954.-Т. 54, 1.-С. 107-110.

6. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды. М.: Наука, 1984. -496 с.

7. Корнилов П.А. О множестве сумм условно сходящегося функционального ряда // Математический сборник. 1988. - 1 (9). — С. 114-127.

8. Крейн С. Г. Интерполяция линейных операторов / С.Г. Крейн, Ю.И. Петунии, Е.М. Семенов. М.: Главная редакция физико-математической литературы «Наука», 1978. - 400 с.

9. Либ Э., Лосс М. Анализ. Новосибирск: Научная книга, 1998. - 276 с.

10. Никишин Е.М. Перестановки функциональных рядов // Матем. сб. -1971. т. 85(127). - С. 272-286.

11. Осипов О.С. Об области сумм условно сходящегося интеграла в пространстве Банаха // Вестник Томского государственного университета. -2007.-№297.-С. 150-156.

12. Осипов О.С. Об интегральном аналоге ряда с двухточечной областью сумм // Сибирский математический журнал. — 2009. 50, № 6. - С. 13481355.

13. Островский М.И. Области сумм условно сходящихся рядов в банаховых пространствах // Теория функций, функциональный анализ и приложения. 1986. - № 46. - С: 77-85.

14. Харди Г.Г. Неравенства / Г.Г. Харди, Дж. Е. Литтльвуд, Г. Полиа. М.: ГИИЛ, 1948.-456 с.

15. Kadets M.I., Kadets V.M. Series in Banach spaces: conditional and unconditional convergence. Basel-Boston-Berlin: Birkhauser, 1997.

16. Kadets M.I., Wozniakowski K. On series whose permutations have only two sums // Bull Polish Acad. Sci. Math. 1989. - V. 37. - P. 15-21.21. von Neumann J. Einige Satze iiber messbare Abbildungen // Ann. Math. -1932.-V. 233.-P. 574-586.

17. Steinitz E. Bedingt konvergente Reihen und konvexe systeme // J. Reine Angrew. Math. 1913. - V. 143. - P. 128-175; 1914. - V. 144. - P. 1-49; 1916. - V. 146. — P. 68-111.

18. The Scottish book // edited by R. Daniel Mauldin. Boston: Birkhauser, 1981.

19. Ulam S. A collection of mathematical problems. Interscience Publ.: New York-London, 1960.